初中数学练习题(含答案)
初中数学练习题及答案
初中数学练习题及答案【练习题一】题目:已知一个直角三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米,求斜边的长度。
【答案】根据勾股定理,直角三角形的斜边长度可以通过以下公式计算:\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中,\( a \) 和 \( b \) 分别是直角三角形的两条直角边,\( c \) 是斜边。
将题目中的数值代入公式:\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]所以,斜边的长度是5厘米。
【练习题二】题目:一个圆的半径是7厘米,求这个圆的面积。
【答案】圆的面积可以通过以下公式计算:\[ A = \pi r^2 \]其中,\( r \) 是圆的半径。
将题目中的数值代入公式:\[ A = \pi \times 7^2 = 49\pi \]如果使用圆周率的近似值3.14,那么面积为:\[ A \approx 49 \times 3.14 = 153.86 \]所以,这个圆的面积约为153.86平方厘米。
【练习题三】题目:一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米和3厘米,求这个长方体的体积。
【答案】长方体的体积可以通过以下公式计算:\[ V = l \times w \times h \]其中,\( l \) 是长,\( w \) 是宽,\( h \) 是高。
将题目中的数值代入公式:\[ V = 5 \times 4 \times 3 = 60 \]所以,这个长方体的体积是60立方厘米。
【练习题四】题目:一个分数是\( \frac{3}{4} \),如果分子增加9,新的分数是多少?【答案】分数的分子增加9后,新的分数的分子变为:\[ 3 + 9 = 12 \]分母不变,所以新的分数是:\[ \frac{12}{4} \]这个分数可以化简为:\[ \frac{12}{4} = 3 \]所以,新的分数是3。
【练习题五】题目:一个数的\( \frac{1}{3} \) 等于12,求这个数。
初中数学经典试题及答案
初中数学经典试题及答案1. 试题一:求平方根将以下数分别求出它们的平方根:a) 9b) 16c) 25d) 36答案及解析:a) √9 = 3b) √16 = 4c) √25 = 5d) √36 = 6解析:平方根的定义是与一个数乘积为该数的平方的非负数。
对于给定的数,我们可以通过求平方根来找到它的平方根。
例如,在本题中,9的平方根是3,因为3乘以3等于9。
同样地,16的平方根是4,25的平方根是5,36的平方根是6。
2. 试题二:等差数列求和求下列等差数列的前n项和:2, 5, 8, 11, ...我们首先观察到该等差数列的公差为3,即每一项与前一项之间的差为3。
因此,我们可以将等差数列通项公式应用于该题目。
通项公式:a_n = a_1 + (n-1)d其中,a_n表示第n项,a_1表示第1项,d表示公差。
根据题目给定的等差数列,我们可以得到:a_1 = 2d = 3我们接下来使用前n项和公式求解,该公式为:S_n = n/2 * (a_1 + a_n)将题目给定的数值代入公式:S_n = n/2 * (2 + (2 + (n-1)*3))简化得到:S_n = n/2 * (4 + 3n)所以,该等差数列的前n项和为:S_n = n/2 * (4 + 3n)3. 试题三:比例与百分数计算现有一本数学书,共有300页。
其中,60%的页数为练习题。
请问该书练习题页数有多少?将60%转化为小数形式,即:60% = 0.60。
我们可以使用百分数与数值的乘法来计算题目中的要求。
题目中给出的总页数为300页,我们用该总页数乘以0.60即可得到练习题页数:练习题页数 = 300 * 0.60 = 180页所以,该数学书的练习题页数为180页。
4. 试题四:解方程求解以下方程:3x + 7 = 22答案及解析:我们可以通过移项与化简的方法求解该方程。
首先,我们将方程中的常数项7移到另一侧,得到:3x = 22 - 7继续计算得到:3x = 15最后,我们将方程两边同时除以系数3,即可求解出x的值:x = 15/3x = 5解答:方程3x + 7 = 22的解为x = 5。
初中数学练习题及答案
初中数学练习题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 下列哪个数是最小的正整数?A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16,那么这个数是:A. 4B. -4C. 4或-4D. 23. 一个圆的半径是5厘米,那么它的周长是:A. 10π cmB. 20π cmC. 30π cmD. 40π cm4. 一个等腰三角形的两边长分别为3厘米和4厘米,那么它的周长是:A. 7厘米B. 10厘米C. 11厘米D. 无法确定5. 一个数的立方根是2,那么这个数是:A. 2B. 4C. 8D. 无法确定二、填空题(每题2分,共20分)6. 一个数的相反数是-5,那么这个数是______。
7. 一个数的绝对值是5,那么这个数可以是______。
8. 一个数的平方是25,那么这个数的立方是______。
9. 如果一个三角形的内角和是180°,那么一个直角三角形的两个锐角的和是______。
10. 一个数的算术平方根是3,那么这个数的立方根是______。
三、计算题(每题10分,共30分)11. 计算下列表达式的值:(2+3)×(5-2)。
12. 计算下列方程的解:x²-4x+4=0。
13. 计算下列方程组的解:\begin{cases} x+y=5 \\ 2x-y=1\end{cases}四、解答题(每题15分,共30分)14. 一个长方体的长、宽、高分别是8厘米、6厘米和5厘米,求它的表面积。
15. 一个直角三角形的两条直角边分别是6厘米和8厘米,求斜边的长度。
答案:1. B2. C3. B4. C5. C6. 57. ±58. 1259. 90° 10. 311. 24 12. x=2 13. x=2, y=314. 表面积=2×(8×6+6×5+5×8)=236平方厘米15. 斜边=√(6²+8²)=10厘米。
初中数学练习题(含答案)
一、填空题:1、 5的绝对值是 ______________ ;2、 2010年我国粮食产量将达到 540 000 000 000千克,用科学记数法可表示为 ______________ 千克。
3、 已知反比例函数 y k 的图像过点(6, 丄),则k= ______________ ;x 3 4、 函数y=、;―3x 中,自变量 x 的取值范围是 _______________ ; 5、已知数据 3, 2, 1,1, 2,a 的中位数是 1,则a= __________8、 两圆的半径分别为 5和8,若两圆内切,则圆心距等于 ___________ 。
11 9、 同时抛两枚1元硬币,岀现两个正面的概率为丄,其中“丄”含义为44_________________________________________________________ ?10、把多项式 x 4y+2x 2y 3 5xy 4+6 3x 3y 2按x 的升幕排歹U 是 _____________________________________ 11、 如图是4张一样大小的矩形纸片拼成的图形。
请利用图形写 出一个有关多项式分解因式的等式 __________________________ ; 12、 观察下列图形的排列规律(其中△是三角形, □是正方形,O 是圆),□△。
□□△。
□□△。
□□厶。
口……若第一个图形是正方形, 则第2006个图形是 _______ (填图形名称) 二、选择题13、下列运算正确的是() 八224f ,2^2^九年级数学练习题6、不等式组2x 4的解集是;31 x7、圆锥底面的半径为 5cm,高为12cm,则圆锥的侧面积为2______ c m。
8242C 、a 十 a =aD 、a3 5a=aA a +a =a B、4a 2a =2 14、小丽制作了一个如下左图所示的正方体礼品盒,其对面图案都相同,那么这个正方体的平面展开图可能是()217、如图,O O 的半径为 5, OCL AB 垂足为C, OC=3则弦AB 的长为(B 、818、把抛物线y=2x 23向右平移1个单位,再向上平移4个单位,则所得抛物线的解析式是() 2A 、y=2(x+1) +1B 、y=2(x1)2+1 C 、y=2(x+1) 2 7 D 、y=2(x 1)2 7三、解答题:(第19~26题每题各8分,27~28题各13分,共90分)19、计算:(2006 sin 60 )0 2 8 20、先化简,再选一个你喜欢的值代入求值。
初中数学练习题及答案
初中数学练习题及答案1. 代数基础问题:如果一个数的平方等于该数本身,这个数是什么?答案:这个数是0或1。
2. 方程求解问题:解方程 \( x + 5 = 10 \)。
答案:将5从等式的两边减去,得到 \( x = 5 \)。
3. 因式分解问题:将 \( 2x^2 - 6x \) 因式分解。
答案:提取公因数 \( 2x \),得到 \( 2x(x - 3) \)。
4. 几何问题问题:如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,求斜边的长度。
答案:根据勾股定理,斜边长度 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \)。
5. 比例问题问题:如果 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \),且 \( b = 4 \),\( c = 6 \),求 \( a \) 和 \( d \)。
答案:根据比例的性质,\( a = \frac{6}{4} \times b =\frac{3}{2} \times 4 = 6 \),\( d = \frac{b}{c} \times d =\frac{4}{6} \times 6 = 4 \)。
6. 函数图像问题:如果函数 \( y = 2x + 3 \),当 \( x = 1 \) 时,求\( y \) 的值。
答案:将 \( x = 1 \) 代入函数,得到 \( y = 2 \times 1 + 3= 5 \)。
7. 统计问题问题:一组数据为 2, 4, 6, 8, 10,求这组数据的平均数和中位数。
答案:平均数是所有数值的总和除以数值的数量,即\( \frac{2+4+6+8+10}{5} = 6 \)。
中位数是数据排序后位于中间的数,即6。
8. 应用题问题:一个班级有30名学生,其中15名学生喜欢数学,12名学生喜欢英语,5名学生既喜欢数学又喜欢英语。
求只喜欢数学的学生人数。
答案:根据容斥原理,只喜欢数学的学生人数为 \( 15 - 5 = 10 \)。
初中生数学习题大全及答案
初中生数学习题大全及答案初中生数学习题大全及答案数学是一门既有趣又具有挑战性的学科,对于初中生来说,掌握好数学知识和解题技巧是非常重要的。
为了帮助初中生更好地学习数学,提高解题能力,本文将为大家分享一些常见的数学习题及其答案。
一、整数与有理数1. 将-3/4与2/3比较大小。
解答:首先,我们需要将两个分数化为相同的分母。
-3/4乘以3/3得到-9/12,2/3乘以4/4得到8/12。
显然,-9/12小于8/12,所以-3/4小于2/3。
2. 计算-5 + (-3) + 2 + (-1)。
解答:将所有的负数相加,再将所有的正数相加。
-5 + (-3) + 2 + (-1) = -9 + 1 = -8。
二、代数式与方程式1. 计算3x - 2y,其中x = 4,y = 5。
解答:将x和y的值代入代数式中,得到3x - 2y = 3(4) - 2(5) = 12 - 10 = 2。
2. 解方程2x + 5 = 13。
解答:首先,将方程中的常数项移到等号的另一边,得到2x = 13 - 5 = 8。
然后,将方程两边同时除以系数2,得到x = 8/2 = 4。
三、几何1. 计算矩形的面积和周长,已知长为5cm,宽为3cm。
解答:矩形的面积等于长乘以宽,所以面积= 5cm * 3cm = 15cm²。
矩形的周长等于长的两倍加宽的两倍,所以周长 = 2 * 5cm + 2 * 3cm = 10cm + 6cm =16cm。
2. 判断一个三角形是否为直角三角形,已知三边长分别为3cm,4cm,5cm。
解答:根据勾股定理,如果一个三角形的边长满足a² + b² = c²,那么这个三角形就是直角三角形。
将三边长代入公式,3² + 4² = 9 + 16 = 25,而5² = 25,所以这个三角形是直角三角形。
四、概率与统计1. 从一副标准扑克牌中随机抽取一张牌,求抽到红心的概率。
初中数学圆练习题(含答案)
圆的相关练习题1、 已知:弦AB 把圆周分成1: 5的两部分,这弦AB 所对应的圆心角的度数为2、 如图:在。
O 中,/ AOB 的度数为1200,贝U 的长是圆周的1 3、 已知:。
O 中的半径为4cm ,弦AB 所对的劣弧为圆的-,则弦AB 的长为3C . 2个D . 3个二”的度数是60°,求弦AB 的弦心距。
8 已知:如图,O O 中,AB 是直径,CO 丄AB ,D 是CO 的中点,DE / AB , 求证:I ::二卩9. 已知:AB 交圆O 于C 、D ,且AC = BD.你认为OA = 为什么?10. 如图所示,是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的 若油cm 。
AB 的弦心距为 4、 如图,在O O 中,AB //CD ,川 的度数为45°,则/ COD 的度数为5、 如图, 在三角形ABC 中, / A=700,O O 截厶ABC 的三边所得的弦长相等,则 / BOC= ( )。
A . 140°B . 135C . 130°D . 125°&下列语句中,正确的有((1)相等的圆心角所对的弧相等;(2)平分弦的直径垂直于弦; (3)长度相等的两条弧是等弧;(4)圆是轴对称图形,任何一条直径都是对称轴 A . 0个 B . 1个 7、已知:在直径是10的。
O 中, OB 吗?横截面, 0 600 AIB (第2题图)CiC D (第4题图) L J B(第5题图)面宽AB=600mm,求油面的最大深度。
11. 如图所示,AB 是圆0的直径,以OA 为直径的圆C 与圆0的弦AD 相交于点E 你认为图中有哪些相等的线段?为什么?答案:1.60度22.- 34.90 度5. D6. A7.2.58. 提示:连接0E ,求出角COE 的度数为60度即可9. 略10.100毫米11.AC=0C , OA=OB ,AE=ED3. 4.3。
初一数学练习题及答案
初一数学练习题及答案初一数学练习题及答案初中数学是学生们学习的重点科目之一,对于初一的学生来说,掌握好数学知识点和解题方法是非常重要的。
为了帮助初一学生更好地学习数学,下面将提供一些常见的初一数学练习题及答案。
一、整数运算1. 计算:(-3)+(-5)+(-2)= ?答案:-102. 计算:(-4)× 6 - 3 ×(-5)= ?答案:-33. 计算:(-7)÷(-2)= ?答案:3.5二、分数运算1. 计算:(2/3)+(1/4)= ?答案:11/122. 计算:(3/5)-(1/10)= ?答案:7/103. 计算:(2/3)×(3/4)= ?答案:1/24. 计算:(5/6)÷(2/3)= ?答案:5/4三、代数式化简1. 化简代数式:3a - 2a + 5b - 3b = ?答案:a + 2b2. 化简代数式:4x + 2y - 3x - y = ?答案:x + y四、方程解答1. 解方程:2x + 5 = 15答案:x = 52. 解方程:3y - 7 = 8答案:y = 5五、几何图形1. 判断下列图形是否为正方形:a) 边长分别为4cm的四边形b) 边长分别为5cm的四边形c) 边长分别为6cm的四边形答案:a) 不是正方形 b) 不是正方形 c) 是正方形2. 计算下列图形的面积:a) 边长为6cm的正方形b) 长为8cm,宽为5cm的矩形c) 半径为3cm的圆答案:a) 36cm² b) 40cm² c) 28.27cm²六、统计与概率1. 有10个学生,其中4个是男生,6个是女生。
从中随机选择一个学生,男生的概率是多少?答案:4/10 = 2/52. 一枚硬币抛掷10次,出现正面的次数是6次的概率是多少?答案:C(10, 6) × (1/2)^6 × (1/2)^4 = 210/1024 ≈ 0.2051以上是一些常见的初一数学练习题及答案,希望能对初一的同学们有所帮助。
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专题七新定义阅读理解题(2019·重庆A卷)《道德经》中的“道生一,一生二,二生三,三生万物”道出了自然数的特征,在数的学习过程中,我们会对其中一些具有某种特性数进行研究.如学习自然数时,我们研究了奇数、偶数、质数、合数等,现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”.定义:对于自然数n,在计算n+(n+1)+(n+2)时,各数位都不产生进位,则称这个自然数n为“纯数”.例如:32是“纯数”,因为计算32+33+34时,各数位都不产生进位;23不是“纯数”,因为计算23+24+25时,个位产生了进位.(1)判断2 019和2 020是否是“纯数”?请说明理由;(2)求出不大于100的“纯数”的个数.【分析】(1)根据纯数的定义逐一判断2 019和2 020即可;(2)判断不大于100的“纯数”的个数,可先从个位数字入手,确定个位数字的特点,再确定十位数字的特点,即可得到对应的“纯数”.【自主解答】1.(2018·重庆A卷)对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”.(1)请任意写出三个“极数”;并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,请说明理由;(2) 如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数,若四位数m为“极数”,记D(m)=m33.求满足D(m)是完全平方数的所有m.2.(2020·原创)若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2,组成一个新的三位数,我们称这个三位数为N的“中2数”,记作F(N),如34的“中2数”为F(34)=324;若将一个两位正整数M加2后得到一个新数,我们称这个新数为M的“尾2数”,记作P(M),如34的“尾2数”为P(34)=36.对于任意一个两位正整数T,令Q(T)=F(T)-P(T)9.(1)判断Q(T)是否为整数,并说明理由;(2)对于一个两位正整数M,若P(M)的各位数之和是M的各位数之和的一半,求M的值.3.(2017·重庆A卷)对于任意一个三位数n,如果n满足各数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”,将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后,可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F(n),例如n =123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位和个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,∴F(123)=6.(1)计算:F(243),F(617);(2)若s ,t 都是“相异数”,其中s =100x +32,t =150+y(1≤x ≤9,1≤y ≤9,x ,y 都是正整数),规定:k =F (s )F (t ),当F(s)+F(t)=18时,求k 的最大值.4.(2020·原创)事实:我们知道若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除,则这个数就能被3整除,反之也成立.定义:对于一个两位数m 和一个三位数n ,它们各个数位上的数字都不为0,将数m 任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字,将数n 任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字,按照这样方式产生的所有新的两位数的和我们称之为“二三联合”,用F(m,n)表示.例如数12与345的“二三联合”为F(12,345)=13+14+15+23+24+25=114.(1)填空:F(11,369)=________ ;F(16,123)=________ ;(2)若一个两位数s=21x+y,一个三位数t=121x+y+199(其中1≤x≤4,1≤y≤5,且x,y均为整数),交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′,当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除,称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”,求所有“珊瑚数对”中的“二三联合”的最大值.5.(2019·九龙坡区模拟)数学不仅是一门科学,也是一种文化,即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候,在某个王国里有一位聪明的大臣,他发明了国际象棋献给了国王,国王从此迷上了下棋,为了对聪明的大臣表示感谢,国王答应满足这位大臣一个要求.大臣说:“就在这个棋盘上放一些米粒吧,第1格放1粒米,第2格放2粒米,第3格放4粒米,然后是8粒、16粒、32粒…一直到第64格.”“你真傻!就要这么一点米粒?”国王哈哈大笑.大臣说:“就怕您的国库里没有这么多米!”国王的国库里有这么多米吗?题中问题就是求1+21+22+23+…+263是多少?请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.设S=1+21+22+23+…+263,则2S=2(1+21+22+23+24+…+263)=2+22+23+24+…+263+264.2S-S=2(1+21+22+23+24+…+263)-(1+21+22+23+24+…+263),即:S=264-1.事实上,按照这位大臣的要求,放满一个棋盘上的64个格子需要1+21+22+23+…+263=(264-1)粒米.那么264-1到底多大呢?借助计算机中的计算器进行计算,可知答案是一个20位数:18 446 744 073 709 551 615,这是一个非常大的数,所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:(1)我国古代数学名著《算法统宗》中有一问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增;共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有多少盏灯?(2)计算:1+3+9+27+…+3n;(3)某中学“数学社团”开发了一款应用软件,推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知一列数:1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,…,依此类推.求满足如下条件的所有正整数N:10<N<100,且这一列数前N项和为2的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数N的值.参考答案【例1】解:(1)当n=2 019时,n+1=2 020,n+2=2 021,∵9+0+1=10,需进位,∴2 019不是“纯数”;当n=2 020时,n+1=2 021,n+2=2 022,个位:0+1+2=3,不需要进位;十位:2+2+2=6,不需要进位;百位:0+0+0=0,不需要进位;千位:2+2+2=6,不需要进位;∴2 020是“纯数”.(2)当n=0时,n+1=1,n+2=2,则0+1+2=3,不需要进位,∴0是“纯数”;当n=1时,n+1=2,n+2=3,1+2+3=6,不需要进位,∴1是“纯数”;当n=2时,n+1=3,n+2=4,2+3+4=9,不需要进位,∴2是“纯数”;当n=3时,n+1=4,n+2=5,3+4+5=12,需要进位,∴3不是“纯数”,综上可知,当这个自然数是一位自然数时,只能是0,1,2;当这个自然数是两位自然数时,这个自然数可以是10,11,12,20,21,22,30,31,32,共9个,当这个自然数是三位自然数时,100是“纯数”,∴不大于100的自然数中,“纯数”的个数为3+9+1=13.跟踪训练1.解:(1)1 188;2 475; 9 900.(答案不唯一)猜想:任意一个“极数”是99的倍数.理由如下:设任意一个“极数”为xy(9-x)(9-y)(其中1≤x≤9,0≤y≤9,且x,y均为整数),则xy(9-x)(9-y)=1 000x+100y+10(9-x)+9-y=1 000x+100y+90-10x+9-y=99(10x+y+1).∵x,y为整数,∴10x+y+1为整数,∴任意一个“极数”是99的倍数.(2)设m=xy(9-x)(9-y),由题意可知,D(m)=99(10x+y+1)33=3(10x+y+1),∵1≤x≤9,0≤y≤9,∴33≤3(10x+y+1)≤300,∵D(m)是完全平方数,∴D(m)可取的值为36,81,144,225,当D(m)=36时,3(10x+y+1)=36,则x=1,y=1,m=1 188;当D(m)=81时,3(10x+y+1)=81,则x=2,y=6,m=2 673;当D(m)=144时,3(10x+y+1)=144,则x=4,y=7,m=4 752;当D(m)=225时,3(10x+y+1)=225,则x=7,y=4,m=7 425.综上所述,满足D(m)为完全平方数的m的值为1 188,2 673,4 752,7 425.2.解:(1)Q(T)是整数.理由如下:设两位正整数T 为ab ,则T =10a +b ,∴F(T)=a2b =100a +20+b ,P(T)=10a +b +2,∴F(T)-P(T)=100a +20+b -(10a +b +2)=90a +18=9(10a +2),∵a 为整数,∴10a+2为整数,∴Q(T)=F (T )-P (T )9是整数. (2)设M =ab ,1≤a≤9,0≤b≤9,∴M+2=10a +b +2,∵M+2的各数位上的数之和比M 各数位上的数之和小,∴M+2后,个位发生了进位,∴b≥8,且M +2=10(a +1)+(b +2-10),∴a+1+b +2-10=12(a +b), 整理得a +b =14,∴a=6,b =8,或a =5,b =9,∴M 为68或59.3.解:(1)F(243)=(423+342+234)÷111=9,F(617)=(167+716+671)÷111=14.(2)∵s,t 都是相异数,∴F(s)=(302+10x +230+x +100x +23)÷111=x +5,F(t)=(510+y +100y +51+105+10y)÷111=y +6,∵F(s)+F(t)=18,∴x+5+y +6=x +y +11=18,∴x+y =7,∵1≤x≤9,1≤y≤9,且x ,y 都是正整数,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =1y =6或⎩⎪⎨⎪⎧x =2y =5或⎩⎪⎨⎪⎧x =3y =4或⎩⎪⎨⎪⎧x =4y =3或⎩⎪⎨⎪⎧x =5y =2或⎩⎪⎨⎪⎧x =6y =1, ∵s 是相异数,∴x≠2,x≠3,∵t 是相异数,∴y≠1,y≠5,∴满足条件的有⎩⎪⎨⎪⎧x =1y =6或⎩⎪⎨⎪⎧x =4y =3或⎩⎪⎨⎪⎧x =5y =2, ∴⎩⎪⎨⎪⎧F (s )=6F (t )=12或⎩⎪⎨⎪⎧F (s )=9F (t )=9或⎩⎪⎨⎪⎧F (s )=10F (t )=8, ∴k=F (s )F (t )=612=12或k =F (s )F (t )=99=1或k =F (s )F (t )=108=54, ∵12<1<54, ∴k 的最大值为54. 4.解:(1)F(11,369)=13+16+19+13+16+19=96;F(16,123)=11+12+13+61+62+63=222.(2)已知s =21x +y =20x +(x +y),t =121x +y +199=100(x +2)+20x +(x +y -1),∵1≤x≤4,1≤y≤5,且x ,y 均为整数,∴t′+3(x +y)=100(x +y -1)+20x +x +2+3(x +y)=124x +103y -98, ∵t′+3(x +y)能被11整除,∴t′+3(x +y )11=121x +99y -9911+3x +4y +111=11x +9y -9+3x +4y +111为整数,∴3x +4y +111是整数,∵1≤x≤4,1≤y≤5, ∴8≤3x+4y +1≤33,∴当3x +4y +1=11时,x =2,y =1,此时s =43,t =442;当3x +4y +1=22时,得x =3,y =3,此时s =66,t =565;当3x +4y +1=33时,x =4,y =5,此时s =89,t =688.∴F(s,t)的最大值为F(89,688)=554.5.解:(1)设塔的顶层有x 盏灯,依题意得:x +21x +22x +23x +24x +25x +26x =381,解得:x =3,答:塔的顶层共有3盏灯.(2)设S =1+3+9+27+…+3n ,则3S =3(1+3+9+27+…+3n )=3+9+27+…+3n +3n +1,∴3S-S =(3+9+27+3n +3n +1)-(1+3+9+27+3n ),∴2S=3n +1-1,∴S=3n +1-12, 即:1+3+9+27+…+3n =3n +1-12. (3)由题意这列数分n +1组:前n 组含有的项数分别为:1,2,3,…,n ,最后一组x 项,根据材料可知每组和公式,求得前n 组每组的和分别为:21-1,22-1,23-1,…,2n -1,前n 组共有项数为N′=1+2+3+…+n =n (n +1)2,前n 组所有项数的和为S n =21-1+22-1+23-1+…+2n -1=(21+22+23+…+2n )-n =2n +1-2-n ,由题意可知:2n +1为2的整数幂.只需最后一组x 项将-2-n 消去即可,则①1+2+(-2-n)=0,解得:n =1,总项数为N =1×(1+1)2+2=3,不满足10<N<100,②1+2+4+(-2-n)=0,解得:n =5,总项数为N =5×(5+1)2+3=18,满足10<N<100,③1+2+4+8+(-2-n)=0,解得:n =13,总项数为N =13×(13+1)2+4=95,满足10<N<100,④1+2+4+8+16+(-2-n)=0,解得:n =29,总项数为N =29×(29+1)2+5=440,不满足10<N<100,∴所有满足条件的软件激活码正整数N 的值为:18或95.。