初中数学练习题(含答案)

专题七新定义阅读理解题

(2019·重庆A卷)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性数进行研究．如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．

定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．

例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；

23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．

(1)判断2 019和2 020是否是“纯数”？请说明理由；

(2)求出不大于100的“纯数”的个数．

【分析】(1)根据纯数的定义逐一判断2 019和2 020即可；

(2)判断不大于100的“纯数”的个数，可先从个位数字入手，确定个位数字的特点，再确定十位数字的特点，即可得到对应的“纯数”．

【自主解答】

1．(2018·重庆A卷)对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，

百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．

(1)请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；

(2) 如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，

若四位数m为“极数”，记D(m)＝m

33

.求满足D(m)是完全平方数的所有m.

2．(2020·原创)若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“中2数”，记作F(N)，如34

的“中2数”为F(34)＝324；若将一个两位正整数M加2后得到一个新数，我们称这个新数为M的“尾2数”，记作P(M)，如34的“尾2数”为P(34)＝36.

对于任意一个两位正整数T，令Q(T)＝F（T）－P（T）

9

.

(1)判断Q(T)是否为整数，并说明理由；

(2)对于一个两位正整数M，若P(M)的各位数之和是M的各位数之和的一半，求M的值．

3．(2017·重庆A卷)对于任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后，可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和

与111的商记为F(n)，例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位和个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，∴F(123)＝6.

(1)计算：F(243)，F(617)；

(2)若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y(1≤x ≤9，1≤y ≤9，

x ，y 都是正整数)，规定：k ＝F （s ）F （t ）

，当F(s)＋F(t)＝18时，求k 的最大值．

4．(2020·原创)事实：我们知道若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除，反之也成立．

定义：对于一个两位数m 和一个三位数n ，它们各个数位上的数字都不为0，将数m 任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n 任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这样方式产生的所有新的两

位数的和我们称之为“二三联合”，用F(m，n)表示．例如数12与345的“二三联合”为F(12，345)＝13＋14＋15＋23＋24＋25＝114.

(1)填空：F(11，369)＝________ ；F(16，123)＝________ ；

(2)若一个两位数s＝21x＋y，一个三位数t＝121x＋y＋199(其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x，y均为整数)，交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中的“二三联合”的最大值．

5．(2019·九龙坡区模拟)数学不仅是一门科学，也是一种文化，即数学文化．数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面．古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，

然后是8粒、16粒、32粒…一直到第64格．”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑．大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里有这么多米吗？题中问题就是求1＋21＋22＋23＋…＋263是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了．

设S＝1＋21＋22＋23＋…＋263，则2S＝2(1＋21＋22＋23＋24＋…＋263)＝2＋22＋23＋24＋…＋263＋264.2S－S＝2(1＋21＋22＋23＋24＋…＋263)－(1＋21＋22＋23＋24＋…＋263)，

即：S＝264－1.事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的64个格子需要1＋21＋22＋23＋…＋263＝(264－1)粒米．那么264－1到底多大呢？借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个20位数：18 446 744 073 709 551 615，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求．请用你学到的方法解决以下问题：

(1)我国古代数学名著《算法统宗》中有一问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有多少盏灯？

(2)计算：1＋3＋9＋27＋…＋3n；

(3)某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知一列数：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，…，依此类推．求满足如下条件的所有正整数N：10＜N＜100，且这一列数前N项和为2的正整数幂．请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数N的值．