第4章+习题

I z = 478.8 × 10 6 mm 4 ；材料为红松，其许用弯曲正应力 [σ ] = 10 MPa ，许用顺纹切应力 [τ ] = 1.1 MPa ； 胶合缝的许用切应力 [τ 胶 ] = 0.35 MPa 。试校核梁的强度。
6. 图示箱形截面简支梁用四块木板胶合而成，受三个集中力作用如图所示。已知横截面对中性轴的惯性矩
任意 x 截面，下边缘的拉应力：
q
A
x
dx
l
B
x
M ( x ) 6M ( x ) σ ( x) = = Wz bh 2
根据胡克定律，任意 x 截面，下边缘的纵向线应变：
y
ε ( x) =
l
σ ( x)
E
=
6 M ( x) Ebh 2
l
于是梁的下边缘的总伸长为：
6 1 1 2 ql 3 Δl = ∫ ε ( x ) d x = ∫ ( qlx − qx ) d x = 0 0 Ebh 2 2 2 2 Ebh 2
4. 图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用，其横截面尺寸为 b，h，长度为 l。 （1）试证明在离自由端为 x 处的横截面上切向内力元素 τ d A 的合力等于该截面上的剪力，而法向内力 元素 σ d A 的合力偶矩等于该截面上的弯矩。 （2）如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示，试问在截开面上的切应力 τ ′ 沿梁长度的变化规律如 何？该面上总的水平剪力有多大？由什么力来平衡？
+ max
+ σmax = 26.2 MPa ，在截面 C 下边缘
9.矩形截面钢条长 l ，总重为 F ，放在刚性水平面上，在钢条 A 端作用 正应力。
F 向上的拉力时，试求钢条内最大 3
F/3 A C
解：在截面 C 处， 有
1 MC = =0 ρ EI F F ( l )2 2l 即 M C = × l A C − × A C = 0, l A C = 3 l 2 3 A C 段可视为受均布载荷 q 作用的简支梁， M max 发生在跨中 σmax = M max q ( l A C )2 / 8 Fl = = 2 W bt / 6 3bt 2
因此有： 由弯曲正应力的强度条件：
D
1 q (l − x) 2 8
σ max =
3
M max 6 M max 6 M max 3M max = = = ≤ [σ ] Wz bh 2 b(2b) 2 2b 3
3M max 3 3 × 3.03 × 10 3 得到： b ≥ = = 0.0769 m = 76.9 mm 2[σ ] 2 × 10 × 10 6 由上可见，矩形截面梁的最小尺寸是宽 77 mm，高 154 mm。
2
正应力沿横截面高度分布为 σ =
于是整个截面的 σ d A 对中性轴的矩是：
M y Iz
∫σ
A
yd A =
M Iz
∫
A
y2 d A =
M ⋅ Iz = M Iz
（2）对此悬臂梁任意 x 截面的剪力为 FS ( x) = q x 。 矩形截面的中性层处的横向切应力为： τ =
根据切应力互等定律，得截开面上切应力 τ 沿梁长度的变化规律为：
则
a= [ FS ] 700 = = 42.4 mm τ ′b 0.33×106 × 50×10−3
q A q 4m 2m 2m 40 kN x 40 kN 40 kN ⋅ m x
40 kN ⋅ m
令
C
20 B 180
100
20
z 82
11.
已知简支梁 q = 20 kN/m ，其截面形状及剪力图和弯 FS
* S za = 20 × 150 × 152 × 10 −9 = 0.456 × 10 −3 m 3
* FS max S za 18 × 10 3 × 0.456 × 10 −3 τa = = = 0.343 × 10 6 Pa = 0.343 MPa < [τ 胶 ] −6 −3 478.8 × 10 × 50 × 10 I zb
q=F/l B
10. 一 根 木 梁 的 两 部 分 用 单 排 钉 连 接 而 成 ， 已 知 惯 性 矩
F 87.5 a
I z = 113.5×10−6 m 4 ， F = 3 kN ，横截面如图示，每个钉的
许用剪力 [FS ] = 700 N ， 试求钉沿梁纵向的间距 a 。 （ C 为形心）
τ ′′ = 3.63 MPa,
危险截面上的正应力及切应力的分布如图所示。 12. T 形截面铸铁梁，承受纯弯曲且弯矩为正，材料的许用拉压应力
30 hc C ht b z
[σ ]+ 1 之比 = ，试求水平翼板的合理宽度 b 。 [σ ]− 4
ht [σ ]+ 1 解：由 = − = , 又 ht + hc = 400 hc [σ ] 4 求得： ht = 80 mm, hc = 320 mm
200 C 50 z
50 200
解：缝间水平切应力
τ′ = τ =
FS ⋅ S z* FS z* = bI z bI z
3 000×[200× 50×(87.5 − 25) + 50×(87.5 − 50)2 / 2]×10−9 = = 0.33 MPa 50×10−3 ×113.5×10−6 τ ′ba = [FS ] = 700 N
7 4
试求梁横截面上的最 矩图如图所示，I z = 3.97 ×10 mm ， 大正应力及最大切应力，并绘出危险截面上正应力及切应力的 分布图。 M
40 kN
20
5
解：截面 C：上边缘 σmax = 下边缘 σmin = −σmax ×
M max y max = 118.9 MPa Iz
8.2 = −82.6 MPa 11.8
l l
5.
图示一梁跨度 l = 6 m ，荷载集度 q = 2kN/m ，木梁的许用弯曲正应力
A
q (l − x ) / 2 C l
x B
[σ ] = 10 MPa ，并已知 h = 2 。试求：
b
（1）在用料最经济的情况下，确定支座 C 位置的 x 值； （2）选择矩形截面木梁的尺寸。 解： （1）欲使次梁用料最经济，应使 C 截面与 D 截面的弯矩绝对值相等， 即：
I z=6.013 ×10−5 m 4
解：弯矩如图
4
20 kN . m A M C B D . 10 kN m x
截面 B 的 σ 截面 C 的 σ
+ max
M By 20×103 × 73×10−3 = = = 24.1 MPa Iz 76.013×10−5 M C y 10×103 ×157×10−3 = = = 26.2 MPa Iz 6.013×10−5
qa 2 / 2
M
ql 2 qla − 8 8
注意：本题亦可改为“从弯矩方面考虑，求使梁的两支座间距离最合理的 a 值” 。 2. 试作图示各梁的剪力弯矩图。
4 kN ⋅ m 4 kN/m 4m
FS
FS
20 kN ⋅ m B
A 3m
C
30 kN
15 kN/ m
A
1m
B
0. 5 m
37.5 kN⋅ m
1 2 qx 2 A
C
MD = MC
B
1 1 1 q(l − x ) 2 − qx 2 = qx 2 8 4 2 − 2 + 4 + 20 x= l = 0.29l = 0.29 × 6 = 1.74 m 10 （2）当 x = 1.74 m 时，求得梁的最大弯矩是： 1 1 M max = qx 2 = × 2 × 1.74 2 = 3.03 kN⋅ m 2 2
3FS 3qx = 。 2bh 2bh
τ′ =τ =
3qx 2bh
q B
A
τ′
l
x
其总的水平剪力为：
3qx 3ql 2 dx= 0 0 2h A′ 4h 水平剪力 FS′ 由根部横截面下半部的法向内力元素 σ dA 组成的 x 方向的合力来平衡。 FS′ = ∫ τ ′ d A′ = ∫ τ ′b d x = ∫
3
解：由对称性知
FA = FB = 18 kN (↑) M C = 18 × 1 = 18 kN⋅ m M D = 18 × 2 − 10 × 1 = 26 kN⋅ m
易知最大剪力在 AC 段 （值为 18kN） 及 EB 段 （值 为－18kN） ，最大弯矩在 D 处，值为 26 kN ⋅ m 。 （1） 正应力强度校核
q A B
b z y
x
l
解： （1）矩形截面切应力沿高度分布为：
τ=
* FS S z F b 3FS = S ⋅ (h 2 − 4 y 2 ) = (h 2 − 4 y 2 ) bI z bI z 8 2bh 3
h
于是整个横截面的切向内力构成的合力为：
∫ τ d A = 2b ∫ 2
A
0
3FS (h 2 − 4 y 2 ) d y = FS 3 2bh
又
2
340 60
由
S z = 0 即 60b (80 −
则 b = 510 mm
* S zb = 20 × 50 × 168 × 10 −9 = 0.168 × 10 −3 m 3
τb =Biblioteka * FS max S zb 18 × 103 × 0.168 × 10 −3 = = 0.315 × 10 6 Pa = 0.315 MPa < [τ 胶 ] −6 −3 478.8 × 10 × 20 × 10 I zb
截面 A 中性轴处： 2(20 − 8.2)× 2×(20 − 8.2) S z max = = 278.5×103 mm 3 ， 2 FSmaxS z max τ max = = 7 MPa I zb