中考数学总复习 教学案 3.5 函数的综合运用

3-6 函数的综合运用知识考点：会综合运用函数、方程、几何等知识解决与函数有关的综合题以及函数应用问题。

精典例题：【例1】如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于D 点，OB ＝10，tan ∠DOB ＝31。

（1）求反比例函数的解析式；（2）设点A 的横坐标为m ，△ABO 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式；并写出自变量m 的取值范围。

（3）当△OCD 的面积等于2S 时，试判断过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长能否等于3？如果能，求出此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。

解析：（1）xy 3= （2）A （m ，m 3），直线AB ：m m x m y -+=31D （3-m ，0）)31(321m m S S S ADOBDO +⋅-=+=∆∆ 易得：30<<m ，mm S 292-=（30<<m ） （3）由2S S OCD=∆有mm m m 29212)3(22-⋅=-，解得11=m ，32=m （舍去） ∴A （1，3），过A 、B 两点的抛物线的解析式为a x a ax y 32)21(2-+++=，设抛物线与x 轴两交点的横坐标为1x 、2x ，则a a x x 2121+-=+，aax x 3221-= 若321=-x x 有9324212=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛+-a a a a 整理得01472=+-a a ，由于△＝－12＜0方程无实根故过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长不能等于3。

评注：解此题要善于利用反比例函数、一次函数、二次函数以及三角形面积等知识，并注意挖掘问题中的隐含条件。

【例2】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 之间的函数关系式（不必写出自变量x 的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（4）商店要想月销售利润最大，销售单价应定为多少元？最大月销售利润是多少？ 解析：（1）[]675010)5055(500)4055(=⨯--⨯-（元）（2）[]10)50(500)40(⨯---=x x y 400001400102-+-=x x （3）当8000=y 时，801=x ，602=x （舍去）（4）9000)70(102+--=x y ，销售单价定为70元时，月销售利润最大为9000元。

评注：本题是一道实际生活中经济效益的决策性应用问题，解答时要认真审题，从实际问题中建立二次函数的解析式，然后应用其性质求解。

探索与创新：【问题】如图，A （－8，0），B （2，0），以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作⊙P 与y 轴的负半轴交于点C 。

（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）设M 为（1）中抛物线的顶点，求顶点M 的坐标和直线MC 的解析式；（3）判定（2）中的直线MC 与⊙P 的位置关系，并说明理由；（4）过原点O 作直线BC 的平行线OG ，与（2）中的直线MC 交于点G ，连结AG ，求出G 点的坐标，并证明AG ⊥MC 。

解析：（1）OB OA OC ⋅=2，423412-+=x x y ； （2）M （－3，425），直线MC ：443-=x y（3）直线MC 交x 轴于N （316，0），易证222PN CN PC =+，直线MC 与⊙问题图P 相切；（4）直线BC ：42-=x y ，直线OG ：x y 2=，由⎪⎩⎪⎨⎧-==4432x y x y 解得： G （516-，532-），∵BC ∥OG ，∴GN ON CN BN =，易证△NBC ∽△NGA ，有NA CN CN BN =∴NACN GN ON =，又∠CNO ＝∠ANG ，∴△NOC ∽△NGA ，∴∠AGN ＝∠CON ＝900，故AG ⊥MC 。

评注：这是一道代数、几何横向联系的综合开放题，解这类问题的关键是运用数形结合的思想方法，从数量关系与图形特征两个方面入手来解决。

跟踪训练： 一、选择题：1、若抛物线1222+++-=m m mx x y 的顶点在第二象限，则常数m 的取值范围是（ ）A 、1-<m 或2>mB 、01<<-mC 、21<<-mD 、0>m2、抛物线c bx ax y ++=2（a ＞0）与y 轴交于P ，与x 轴交于A （1x ，0），B （2x ，0）两点，且210x x <<，若OP OB OA 3121==，则b 的值是（ ） A 、32 B 、29 C 、23- D 、29-3、某商人将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销价提高（ ）A 、8元或10元B 、12元C 、8元D 、10元 二、填空题：1、函数132++-=x ax ax y 的图像与x 轴有且只有一个交点，那么a 的值是 ，与x 轴的交点坐标为 。

2、已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线xy 21=上，点N 在直线3+=x y 上， 设点M （a ，b ），则抛物线x b a abx y )(2++-=的顶点坐标为 。

3、将抛物线5632+-=x x y 绕顶点旋转1800，再沿对称轴平移，得到一条与直线2--=x y 交于点（2，m ）的新抛物线，新抛物线的解析式为 。

4、已知抛物线4822+-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，连结AC 、BC ，点A 1、A 2、A 3、…1-n A 把AC n 等分，过各分点作x 轴的平行线，分别交BC 于B 1、B 2、B 3、…1-n B ，线段A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3、…、11--n n B A 的和为 。

（用含n 的式子表示）三、解答题：1、汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”。

刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40千米／小时以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发情况不对，同时刹车，但还是相碰了。

事后现场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的刹车距离超过10米，但小于12米。

查有关资料知：甲种车的刹车距离甲S （米）与车速x （千米／小时）之间有下列关系，x x S 1.001.02+=甲；乙种车的刹车距离乙S （米）与车速x （千米／小时）的关系如图所示。

请你就两车的速度方面分析相碰的原因。

第1题图2、如图，已知直线l 与x 轴交于点P （－1，0），与x 轴所夹的锐角为θ，县tan θ＝32，直线l 与抛物线c bx ax y ++=2)0(<a 交于点A （m ，2）和点B （－3，n ）（1）求A 、B 两点的坐标，并用含a 的代数式表示b 和c ； （2）设关于x 的方程023362=-++a ax x 的两实数根为1x 、2x ，且021<⋅x x ，221=x x ，求此时抛物线的解析式； （3）若点Q 是由（2）所得的抛物线上一点，且在x 轴上方，当满足∠AOQ ＝900时，求点Q 的坐标及△AOQ 外接圆的面积。

第2题图3、如图，抛物线1C 经过A 、B 、C 三点，顶点为D ，且与x 轴的另一个交点为E 。

（1）求抛物线1C 的解析式； （2）求四边形ABDE 的面积；（3）△AOB 与△BDA 是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由。

（4）设抛物线1C 的对称轴与x 轴交于点F ，另一条抛物线2C 经过点E （抛物线1C 与抛物线2C 不重合），且顶点为M （a ，b ），对称轴与x 轴交于点G ，且以M 、G 、E 为顶点的三角形与以D 、E 、F 为顶点的三角形全等，求a 、b 的值（只须写出结果，不必写出解答过程）。

4、如图，直线333+=x y 与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙M 经过原点O 及A 、B 两点。

（1）求以OA 、OB 两线段长为根的一元二次方程；（2）C 是⊙M 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，写出经过O 、C 、A 三点的二次函数解析式；（3）若延长BC 到E ，使DE ＝2，连结AE ，试判断直线EA 与⊙M 的位置关系，并说明理由。

第4题图5、如图，P 为x 轴正半轴上一点，半圆P 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，弦AE 分别交OC 、CB 于点D 、F ，已知⋂⋂=CE AC 。

（1）求证：AD ＝CD ； （2）若DF ＝45，tan ∠ECB ＝43，求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（3）设M 为x 轴负半轴上一点，OM ＝21AE ，是否存在过点M 的直线，使该直线与（2）中所得的抛物线的两个交点到y 轴距离相等？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在，请说明理由。

第5题图。