2020江苏高考数学一轮复习学案：第45课__直线与圆的位置关系含解析

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(江苏专用)高考数学大一轮复习第八章不等式第45课一元二次不等式(含分式不等式) 文-人教版

第45课一元二次不等式(含分式不等式)(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P75例1改编)不等式-3x2+6x>2的解集为.【答案】331x x⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭【解析】将不等式-3x2+6x>2转化为3x2-6x+2<0，所以不等式的解集为33|1-133x x⎧⎪<<+⎨⎪⎪⎩⎭.2.(必修5P80习题11改编)不等式-13xx+<0的解集为.【答案】{x|-3<x<1}3.(必修5P71习题7改编)已知不等式ax2+bx-1>0的解集是{x|3<x<4}，则a=，b=.【答案】-1127124.(必修5P78例3改编)某厂生产一批产品，日销售量x(单位：件)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p=160-2x，生产x件所需成本C=500+30x元.若使得日获利不少于1300元，则该厂日产量所要满足的条件是.【答案】[20，45]【解析】由题意得(160-2x)·x-(500+30x)≥1300，解得20≤x≤45.5.(必修5P80习题8改编)若不等式x2-2x+k2-2>0对于任意的x∈[2，+∞)恒成立，则实数k的取值X围是.【答案】(-∞，2∪2【解析】由x2-2x+k2-2>0，得k2>-x2+2x+2，设f(x)=-x2+2x+2，f(x)=-(x-1)2+3，当x≥2，可求得f(x)max=2，则k2>f(x)max=2，所以k>2或k<-2.1.一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集：设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ=b2-4ac，则不等式的解的各种情况如下表：Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根有两个相异实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实数根x1=x2=-b2a无实数根ax2+bx+c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}bx|x-2a⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2} ∅∅2.求解一元二次不等式的三个步骤：(1)解一元二次方程ax2+bx+c=0得到根；(2)结合二次函数y=ax2+bx+c的图象；(3)写出一元二次不等式的解集.3.分式不等式--x ax b<0(a<b)的解集为{x|a<x<b}.分式不等式--x ax b >0(a<b)的解集为{x|x<a或x>b}.4.二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R的条件是0 a>⎧⎨∆<⎩，.二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R的条件是a<⎧⎨∆<⎩，.【要点导学】要点导学各个击破一元二次不等式及分式不等式的解法例1 解下列关于x的不等式.(1)-6x2-5x+1<0；(2)1xx+≤3.【思维引导】(1)本题考查一元二次不等式的解法，求解时注意与相应的二次函数的图象相结合.(2)由于是分式不等式，所以要移项通分，不能直接去分母.所以有1xx+-3≤0，通分得-21xx+≤0，即2-1xx≥0，又2-1xx≥0等价于(2x-1)x≥0且x≠0，不等式(2x-1)x≥0对应方程的根为x1=0，x2=12，由口诀“大于取两边，小于取中间”得不等式的解为x≥12或x<0.【解答】(1)原不等式转化为6x 2+5x -1>0，方程6x 2+5x -1=0的解为x 1=16，x 2=-1.根据y =6x 2+5x -1的图象，可得原不等式的解集为1|-16x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或. (2)原不等式变形为1x x +-3≤0，即2-1x x ≥0，所以原不等式的解集为1|02x x x ⎧⎫≥<⎨⎬⎩⎭或. 【精要点评】(1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集；(2)遇到分式不等式一般有两种方法：方法一是转化变形为--x ax b <0(a <b )或者--x ax b >0(a <b )的形式，方法二是针对分母的正负进行讨论；如第(2)题，就可以转化成001313x x x x x x ><⎧⎧⎨⎨+≤+≥⎩⎩，，或者，再分别求解.变式1 解下列关于x 的不等式. (1)x -3x >-2；(2)x 2-(a 2+a )x +a 3<0(a >0). 【解答】(1)解不等式x -3x >-2，可得x >2或x <1.由x >2，得x >4；由x <1，得x <1且x ≥0，即0≤x <1.所以不等式的解集为{x |x >4或0≤x <1}.(2)原不等式转化为(x -a )(x -a 2)<0.当a 2>a ，即a >1时，不等式的解集为{x |a <x <a 2}；当a 2<a ，即0<a <1时，不等式的解集为{x |a 2<x <a }；当a 2=a ，即a =1时，不等式的解集为∅.变式2 已知关于x 的不等式(1)-3-1a x x +<1. (1)当a =1时，解该不等式； (2)当a 为任意实数时，解该不等式.【解答】(1)当a=1时，不等式化为2-3-1xx<1，化为-2-1xx<0，所以1<x<2，解集为{x|1<x<2}.(2)由(1)-3-1a xx+<1，得-2-1axx<0，即(ax-2)(x-1)<0.当2a=1，即a=2时，解集为∅；当2a>1，即0<a<2时，解集为2|1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当2a<1，即a>2时，解集为2|1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a=0时，解集为{x|x>1}；当a<0时，解集为{x|x<2a或x>1}.三个“二次”的关系例2 已知函数f(x)=2x2+bx+c(b，c∈R)的值域为[0，+∞)，若关于x的不等式f(x)<m 的解集为(n，n+10)，某某数m的值.【解答】因为函数f(x)=2x2+bx+c(b，c∈R)的值域为[0，+∞)，所以Δ=b2-8c=0，所以c=28b，因为不等式f(x)<m的解集为(n，n+10)，所以2x2+bx+28b<m，即2x2+bx+28b-m<0的解集为(n，n+10)，设方程2x 2+bx +28b -m =0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=-2b，x 1x 2=216b -2m ，所以|x 1-x 2|=21212()-4x x x x +=22--4-2162b b m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2m=10，解得m =50.【精要点评】(1)一元二次不等式解的两个边界就是一元二次方程的根，二次函数的零点，也就是二次函数图象与x 轴交点的横坐标.(2)若x 1，x 2为ax 2+bx +c =0(a ≠0)两根，则|x 1-x 2|=21212()-4x x x x +=2--4b c a a ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=2-4||b aca =||a ∆.变式(2015·某某期末)若不等式x 2-ax -b <0 的解集为(2，3). (1)某某数a ，b 的值；(2)求不等式bx 2-ax -1>0 的解集.【解答】(1)由题设可知不等式x 2-ax -b <0的解集是{x |2<x <3}. 所以2和3是方程x 2-ax -b =0的两个根，由韦达定理得2323-a b +=⎧⎨⨯=⎩，，解得5-6.a b =⎧⎨=⎩，(2)不等式bx 2-ax -1>0，即为-6x 2-5x -1>0，不等式-6x 2-5x -1>0可化为6x 2+5x +1<0，即(2x +1)(3x +1)<0，解得-12<x <-13，所以所求不等式的解集为{x 11--}23x <<.例3(1)已知方程x 2+ax +2=0的两根都小于-1，某某数a 的取值X 围；(2)若α，β是方程x2+(2m -1)x+4-2m=0的两个根，且α<2<β，某某数m的取值X围. 【思维引导】数形结合的方法，即利用一元二次方程和相应二次函数之间的关系：(1)--12(-1)0af∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，，；(2)f(2)<0.【解答】(1)令f(x)=x2+ax+2，因为x2+ax+2=0的两根都小于-1，所以--12(-1)0af∆≥⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，，，所以22≤a<3，即实数a的取值X围是[22，3).(2)令f(x)=x2+(2m-1)x+4-2m，则此二次函数的图象开口向上.又α<2<β，所以f(2)<0，即4+(2m-1)·2+4-2m<0，所以m<-3，即实数m的取值X围是(-∞，-3).【精要点评】利用二次函数的图象分析一元二次方程的根的问题，通常要考查其开口方向、判别式、对称轴及端点处函数值的符号.恒成立问题求参数例4 如果不等式ax2-ax+1≥0恒成立，那么实数a的取值X围为.【答案】[0，4]【解析】当a=0时，原不等式变为1≥0，恒成立，符合题意；当a≠0时，由ax2-ax+1≥0恒成立，得2-40aa a>⎧⎨∆=≤⎩，，解得0<a≤4.综上，实数a的取值X围为[0，4].变式已知当x∈(0，+∞)时，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，某某数m的取值X围.【解答】令t=3x(t>1)，则由已知得函数f(t)=t2-mt+m+1(t∈(1，+∞))的图象恒在x轴的上方，即Δ=(-m)2-4(m+1)<0或12(1)1-10mf m m∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=++≥⎪⎩，，，解得m<2+22.即实数m的取值X围是(-∞，2+22).1.(2015·某某卷)不等式2-2x x<4的解集为.【答案】(-1，2)【解析】由题意得x2-x<2⇒-1<x<2，故解集为(-1，2).2.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点为2和3，那么不等式ax2-bx+c<0的解集为.【答案】{x|-3<x<-2}【解析】因为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点为2和3，所以f(x)=a(x-2)(x-3)，进而函数g(x)=ax2-bx+c=a(x+2)(x+3).又因为a>0，所以不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|-3<x<-2}.3.(2014·某某期末)已知函数f(x)=212(-1)0xxx x⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≥⎩，，，，若f(f(-2))>f(k)，则实数k的取值X围为.【答案】(lo12g9，4)【解析】由题设知f(x)=212(-1)0xxx x⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≥⎩，，，，所以f(f(-2))=f(4)=9.所以原不等式等价于f(k)<9，即192kk<⎧⎪⎨⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎩，或2(-1)9kk≥⎧⎨<⎩，，解得k∈(lo12g9，4).4.若关于x的不等式ax2+x-2a<0的解集中有且仅有4个整数解，则实数a的取值X围是.【答案】23 77⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】当a≤0时，不等式ax2+x-2a<0的解集中有无数个整数解，因此a>0.设f(x)=ax2+x-2a，因为f(0)=-2a<0，f(1)=1-a，f(2)=2+2a>0.若a>1，则f(1)=1-a<0，4个整数解应为1，0，-1，-2，而f(-2)=4a-2-2a=2a-2>0，矛盾.所以假设错误，故0<a≤1，所以4个整数解应为0，-1，-2，-3，所以f(-3)=7a-3<0，f(-4)=14a-4≥0，所以实数a的取值X围是2377⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.5.(2015·某某二模)已知函数y=2-2x x a+的定义域为R，值域为[0，+∞)，则实数a的取值集合为.【答案】{1}【解析】由定义域为R，知x2-2x+a≥0恒成立.又值域为[0，+∞)，则函数y=x2-2x+a的图象只能与x轴有1个交点，所以Δ=4-4a=0，则a=1，所以实数a的取值集合为{1}.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第89~90页.【检测与评估】第八章不等式第45课一元二次不等式(含分式不等式)一、填空题1.(2015·某某卷)不等式-x 2-3x +4>0的解集为.(用区间表示)2.不等式2-1xx <0的解集为.3.(2015·某某期末)已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |-1<x <2}，则实数a +b =.4.(2014·苏北五市模拟)已知集合A={x ||x -a |≤1}，B={x |x 2-5x +4≥0}.若A∩B=∅，则实数a的取值X 围是.5.若关于x 的不等式ax 2-|x |+2a <0的解集为空集，则实数a 的取值X 围是.6.若一元二次不等式ax 2-ax +b <0的解集为(m ，m +1)，则实数b =.7.对于满足0≤a ≤4的实数a ，使x 2+ax >4x +a -3恒成立的x 的取值X 围是.8.(2014·某某期末)已知函数f (x )=220-0x x x x x x ⎧+≥⎨+<⎩，，，，那么不等式f (x 2-x +1)<12的解集为.二、解答题9.设命题p ：实数x 满足(x -4a )(x -a )<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x 2-4x +3≤0. (1)若a =1，且p ∧q 为真，某某数x 的取值X 围； (2)若p 是q 成立的必要不充分条件，某某数a 的取值X 围.10.国家为了加强对烟酒的生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约销售100万瓶.若政府征收附加税，每销售100元征税R 元(叫作税率R%)，则每年产销量将减少10R 万瓶.要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R 应怎样确定?11.(2015·某某期末)已知关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0，a∈R.(1)已知不等式的解集为(-∞，-1]∪[2，+∞)，某某数a的值；(2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立，某某数a的取值X围.(3)解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.当x∈(-∞，-1]时，不等式(m-m2)4x+2x+1>0恒成立，则实数m的取值X围是.13.(2015·某某三模)已知a，t为正实数，函数f(x)=x2-2x+a，且对任意的x∈[0，t]，都有f(x)∈[-a，a].若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为.【检测与评估答案】第八章不等式第45课一元二次不等式(含分式不等式)1.(-4，1)【解析】由-x2-3x+4>0，得-4<x<1，所以不等式-x2-3x+4>0的解集为(-4，1).2.1 02⎛⎫ ⎪⎝⎭，3.0【解析】因为解集为(-1，2)，所以由韦达定理可得-12-2-12baa⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，，解得-11ab=⎧⎨=⎩，，所以a+b=0.4.(2，3)【解析】由题意知A=[a-1，a+1]，B=(-∞，1]∪[4，+∞).因为A∩B=∅，所以a+1<4且a-1>1，即2<a<3.5.4∞⎫+⎪⎪⎣⎭【解析】当x=0时，不等式变为2a<0，因为此不等式的解集为∅，所以a ≥0；当x ≠0时，不等式可化为a<2||2x x +=11||||x x +，因为此不等式的解集为∅，所以a ≥max 11||||x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪+ ⎪⎝⎭，又|x|+1||x11||||x x +≤4，所以a≥4.综上，实数a 的取值X围是∞⎫+⎪⎪⎣⎭.6. 0【解析】由根与系数的关系可知11(1)m m b m m a ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，所以m=0，b=0.7.(-∞，-1)∪(3，+∞)【解析】原不等式等价于x 2+ax-4x-a+3>0，所以a (x-1)+x 2-4x+3>0，令f (a )=a (x-1)+x 2-4x+3，则函数f (a )=a (x-1)+x 2-4x+3表示一条直线，所以要使f (a )=a (x-1)+x 2-4x+3>0，则有f (0)>0，f (4)>0，即x 2-4x+3>0且x 2-1>0，解得x>3或x<-1，即使原不等式恒成立的x 的取值X 围为(-∞，-1)∪(3，+∞).8.(-1，2)【解析】易知f (x )=220-0x x x x x x ⎧+≥⎨+<⎩，，，是奇函数，且在R 上单调递增，f (3)=12，所以原不等式等价于x 2-x+1<3，解得-1<x<2，即不等式f (x 2-x+1)<12的解集为(-1，2).9. (1) 由(x-4a )(x-a )<0，a>0，得a<x<4a.当a=1时，1<x<4，即p 为真命题时，实数x 的取值X 围为{x|1<x<4}. 由x 2-4x+3≤0，得1≤x ≤3.所以q 为真时，实数x 的取值X 围为{x|1≤x ≤3}. 若p ∧q 为真，则1<x ≤3，所以实数x的取值X围是(1，3].(2) 设A={x|a<x<4a}，B={x|1≤x≤3}，q是p的充分不必要条件，则B A，所以0143aa<<⎧⎨>⎩，⇒34<a<1，所以实数a的取值X围是314⎛⎫⎪⎝⎭，.10.设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收税金为70x·R%(万元)，且x=100-10R.由题意知70(100-10R)·R%≥112，化简得R2-10R+16≤0，解得2≤R≤8，可知税率定在2%到8%之间，年收入附加税不少于112万元.11.因为ax2+(a-2)x-2≥0的解集为(-∞，-1]∪[2，+∞)，所以方程ax2+(a-2)x-2=0的两根为x=-1或x=2，所以-1×2=-2a，解得a=1.(2) 若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立，则(a-2)x2+(a-2)x+1≥0对x∈R恒成立.因此，①当a=2时，不等式变为1≥0，显然成立，②当a≠2时，2-20(-2)-4(-2)0aa a>⎧⎨≤⎩，，得2<a≤6.综上，实数a的取值X围为[2，6].(3) ax2+(a-2)x-2≥0⇔(x+1)(ax-2)≥0.当a=0时，原不等式变形为-2x-2≥0，解得x≤-1；当a≠0时，ax2+(a-2)x-2=0的两根为x=-1或x=2 a，当a>0时，-1<2a，所以(x+1)(ax-2)≥0⇒x≤-1或x≥2a；当a<-2时，-1<2a，所以(x+1)(ax-2)≥0⇒-1≤x≤2a；当a=-2时，-1=2a，所以(x+1)(ax-2)≥0⇔(x+1)2≤0⇒x=-1；当-2<a<0时，-1>2 a；所以(x+1)(ax-2)≥0⇒2a≤x≤-1，综上可得，①当a=0时，原不等式的解集为{x|x≤-1}；②当a>0时，原不等式的解集为2|-1x x xa⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或；③当-2<a<0时，原不等式的解集为2|-1x xa⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；④当a=-2时，原不等式的解集为{}|-1x x=；⑤当a<-2时，原不等式的解集为2|-1x xa⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.12.(-2，3)【解析】因为(m-m2)4x+2x+1>0恒成立，所以m-m2>-214xx+.设t=12x⎛⎫⎪⎝⎭，因为x∈(-∞，-1]，所以t≥2，所以m-m2>-t2-t，令g(t)=-t2-t(t≥2)，g(t)=-212t⎛⎫+⎪⎝⎭+14≤-6，所以m-m2>-6，解得-2<m<3.13.(0，1)∪{2}【解析】因为f(x)=(x-1)2+a-1，且f(0)=f(2)=a.当a-1≥-a，即a≥12时，此时恒有[a-1，a]⊆[-a，a]，故t∈(0，2]，从而它的最大值为2；当a-1<-a，即0<a<12时，此时t∈(0，1)且t2-2t+a≥-a在a∈12⎛⎫⎪⎝⎭，时恒成立，即t≥1不成立，舍去)或t≤10<a<12，故t∈(0，1).综上，g(a)的值域为(0，1)∪{2}.。

2020届高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆(含解析)

直线与圆、圆与圆一、学习目标1. 掌握直线与圆、圆与圆的位置关系及判定；2. 能解决与圆有关的综合问题．二、基础自测1. 已知直线l 过点(1,2)P 且与圆22:2C x y +=相交于,A B 两点，ABC ∆的面积为1，则直线l 的方程为 .10x -=或3450x y -+=2. 过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于A ,B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为 .2450x y +-=3. 已知直线:60l x -+=与圆2212x y +=交于A ,B 两点，过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则CD = .44. 已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为 .3-+三、典例分析题型一：与圆有关的求值问题1. 方程10)x y -≥表示的曲线长度为 .2. 已知圆22410x y x +--=与圆22240x y x y +--=相交于M N ，两点，则公共弦MN 的长为．3. 在平面直角坐标系xOy 60y +-=与圆22((1)2x y +-=交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为．60o4. 已知点P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，PA ，PB 是圆C ：2220x y y +-= 的两条切线，切点分别为A ，B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ．2题型二：与圆有关的求范围问题1. 已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，点(4,0)A ，若直线1y kx =+上总存在点Q ，使点Q 恰是线段AP 的中点，则实数k 的取值范围是__________．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2. 已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围为．[7,13]3. 从直线3480x y ++=上一点P 向圆22:2210C x y x y +--+=引切线,PA PB ,,A B 为切点,则四边形PACB 的周长最小值为．224+4. 设直线l ：340x y a ++=，圆C ：()2222x y -+=，若在圆C 上存在两点P ， Q ，在直线l 上存在一点M ，使得PM PQ ⊥，则实数a 的取值范围是_________．164a -≤≤变式：1. 已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是 .[]1,52. 在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为．[6262]-+，3. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C :224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ,N 两点,点P 为圆C 上任意一点,则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最大值为______. 442+4. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是．[21,21]-+题型三：与圆有关的综合问题1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ．（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【解】（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为2．因为l AB ∥，(1,0)A -，(1,2)B ，所以直线l 的斜率为2011(1)-=--，设直线l 的方程为0x y m -+=， ……………………………………………2分则圆心C 到直线l的距离为d ==4分因为MN AB =而222()2MN CM d =+，所以2(2)422m +=+， ……………………………6分解得0m =或4m =-，故直线l 的方程为0x y -=或40x y --=．…………………………………8分（2）假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， ………………………………10分因为|22|22-+，……………………………………12分所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，所以点P 的个数为2．…………………………………………………………14分 2. 已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=u u u u r u u u r，其中O 为坐标原点，求MN .【解】（1）由l 与圆交于,M N 两点，所以直线的斜率必存在. 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+.由圆C 的方程，可得圆心为()2,3C ，则(),1d C l <1<，解得4433k <<. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,OM x y =u u u u r ，()22,ON x y =u u u r，121212OM ON x x y y =+=u u u u r u u u r g g g .把直线1y kx =+代入到()()22231x y -+-=中，得()()2214470k x k x +-++=. 由根与系数的关系，得12271x x k =+，122441kx x k ++=+.则()()21212121224117111k k x x y y x x kx k kx k k++⋅+⋅=⋅+--==+，解得1k =. 所以直线l 的方程为1y x =+.又圆心()2,3C 到直线l 的距离(),0d C l ==，即直线l 过圆心C .所以2MN =.3. 平面直角坐标系xOy 中，直线10x y -+=截以原点O（1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；（3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP ，NP 分别交于x 轴于点(,0)m 和(,0)n ，问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解】（1）因为O 点到直线10x y -+=， ………………………2分所以圆O= 故圆O 的方程为222x y +=． ………………4分（2）设直线l 的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，即0bx ay ab +-=，由直线l 与圆O=221112a b +=， ……………6分 2222222112()()8DE a b a b a b=+=++≥，当且仅当2a b ==时取等号，此时直线l 的方程为20x y +-=．………10分（3）设11(,)M x y ，22(,)P x y ，则11(,)N x y -，22112x y +=，22222x y +=，直线MP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y --，122121x y x y m y y -=-，直线NP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y ++，122121x y x y n y y +=+， …………………14分 222222221221122112211221222221212121(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y -+----====-+--g ，故mn 为定值2． …………………16分4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过(0,2)A ，(0,0)O ，(,0)(0)D t t >三点，M 是线段AD 上的动点，12,l l 是过点(1,0)B 且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点．（1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程；（2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，求EPQ ∆的面积的最小值．【解】（1）由题意可知，圆C 的直径为A D ，所以，圆C 方程为：22(3)(1)10x y -+-=．设2l 方程为：(1)yk x =-，则222(21)3101k k-+=+，解得 10k =，243k =，当0k=时，直线1l 与y 轴无交点，不合，舍去．所以，43k =此时直线2l 的方程为4340x y --=．（2）设(,)M x y ，由点M 在线段A D 上，得12x yt +=，即220x ty t +-=．由AM ≤2ＢM ，得224220()()339x y -++≥．依题意知，线段A D 与圆224220()()339x y -++≥至多有一个公共点，88||3t -≥，解得1611t -≥或1611t +≥．因为t 是使AM ≤2BM 恒成立的最小正整数，所以，t =4．所以，圆C 方程为：22(2)(1)5x y -+-= ①当直线2l ：1x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQ S =V ； ②当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为：(1)y k x =-（0k ≠），则1l 的方程为：1(1)yx k =--，点1(0,)E k．所以，BE =又圆心Ｃ到2l，所以，PQ ==故12EPQS BE PQ =⋅===≥V四、自我检测1. 已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ，则0x 的取值范围为________.(1,0)(0,2)-U2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为.3. 已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则实数m 的最大值为 .4. 已知圆O 的方程是2220x y +-=，圆O '的方程是228100x y x +-+=，若由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 .5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22220x y x y ++-=，直线l ：(1)0m x y m +--=经过定点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若PA，则直线l斜率的取值范围是．⎡⎣6. 如图，已知圆O：x2+y2=1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M是劣弧AC（点A、C除外）上任一点．直线AM与BC交于点P，直线CM与x轴交于点N，设直线PM，PN的斜率分别为m，n．（1）当四边形ABCM的面积最大时，求直线AM的斜率；（2）求m-2n的值；（3）试探究直线PN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．。

高考数学第一轮单元复习课件第45讲直线与圆、圆与圆的位置关系

► 探究点2 圆的切线问题
例 2 已知圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若 C 的切线在 x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程； (2)从圆 C 外一点 P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为 M， O 为原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的 P 点的坐标.
【思路】 (1)依据截距关系确定切线的斜率，设出直线方程，利用点到直线的距离等于半径求解；
(2)首先确定P点的轨迹方程，从而确定|PM|最短时点 P的坐标满足的关系式.
【解答】 (1)∵切线在 x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1.设切线的方程为 y＝x＋b 或 y＝－x＋b，由点到直线的距离公式解得切线的方程为：x＋y －3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0.
变式题求圆心在直线 x＋y＝0 上，且过两圆 x2＋y2 －2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0 的交点的圆的方程.
【思路】求出两圆的交点坐标，利用圆心到两交点的距离都相等于半径，求出圆心和半径，也可以利用两交点连结所得弦的垂直平分线与直线x＋y＝0的交点，就是圆心；还可以利用圆系，先设出过两圆点的圆的方程，再求系数.
①
x d 2 y2 r22 ②
将①②两式联立，研究此方程组的解.
如果方程组有解，且只有两解，这时相应的两圆相交于两点。如图 45－2.
图 45－2
如果方程组有唯一解，这时两圆相切(外切或内切) 。如图 45－3.
图 45－3
如果方程组无解，这时两圆外离或内含。如图 45－4.
知识梳理
1.直线与圆的位置关系的判定方法 (1)代数法(或 Δ 法)：看由直线与圆的方程组成的方程组有无实数解。将直线 l 的方程与圆 C 的方程联立，消元后得到关于 x(或 y)的一元二次方程. ①当 Δ＞0 时，方程有两解，此时方程组也有两组实数解，说明直线 l 与圆 C 相交； ②当 Δ＝0 时，方程有唯一解，此时方程组也有唯一一组解，说明直线 l 与圆 C 相切；

高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。

高三一轮复习-直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系（2）课型：高三数学一轮复习课课题：直线与圆的位置关系(2)课时：第二课时教材：苏教版对教材内容的理解分析：１、本节内容在全书及章节的地位：直线与圆的位置关系是高中数学新教材“圆的方程”的综合课．２、本节课的复习内容：本节课的主要内容是直线与圆的位置关系及判定方法的应用，它是高考中的热点内容之一．３、教材的地位与作用：本节课是平面解析几何学的基础知识，它既复习了前面刚学过的直线与圆的方程，又为今后学习直线与圆锥曲线的位置关系奠定基础．它虽然是解析几何中较为简单的内容，但有着广泛的应用，也具有较强的综合性，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力．[教学目标]知识目标:学习目标：（1）判断直线与圆位置；（2）相切时会求切线方程；（3）相交时会求弦长；（4）相离时会求有关距离最值．能力目标:让学生在解决问题的过程中体会到数形结合、转化、化归等数学思想，注重培养学生的分析、计算、总结归纳等能力．情感态度价值观目标:培养学生合作交流,善于思考的良好品质,激发学生学习数学的积极性．[重点难点]重难点:几何法在直线与圆的位置关系的判定中的应用；动中之定。

[教学方法]启发式、自主探究相结合．[教具资料]三角板、圆规、GGB软件一、【基础训练】1. 已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)在平面内到直线到直线4x＋3y＝25距离为2的点的轨迹方程为___________(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．+--+=上一点到直线3x+ 4y- 2 = 0的距离的最小值为________．2. 圆2264120x y x y3. 直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________4. 直线l ：y ＝k (x －2)＋2与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0相切，则直线l 的斜率等于________5. 直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .6. 若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是________．【设计意图】以小题的形式复习第一课时所学知识，第1题改编自2011的湖南高考题，为下面的例题2的处理打下伏笔；第2、4小题为第一小题的处理打下基础。

高中数学_直线与圆的位置关系教学设计学情分析教材分析课后反思

《直线与圆的位置关系》教学设计教学目标： 1、掌握直线和圆的位置关系及其判断办法2、能够解决直线与圆的有关综合题3、使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系，培养学生辩证唯物主义观点教学重点：直线和圆的位置关系的应用。

教学方法:启发—讨论—探究式教学教学过程：一、高考考情分析：二、温故知新师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程．可以展示下面的表格，使问题直观形象．1、直线Ax+By+C＝0①与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0②的位置关系有三种：相离、相切、相交。

2、判断方法有两种：（1）由方程组①②组成方程组，利用方程组解的个数来判断（2）利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系如下表：关系相离相切相交二元一次方程组方程组无解方程组有一组解方程组有两组不同的解消元后的一元二次方程方程无实数根（Δ<0）方程有两相等的实数根（Δ＝0）方程有两个不相等的实数根（Δ>0）圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系d>r d=r d<r图示设计意图：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解．问题：方法一是用平面几何知识判断直线与圆的位置关系，你能根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系吗？设计意图：引导学生用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，体验坐标法的思想方法．问题：这是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判别直线与圆的位置关系．请问用这种方法的一般步骤如何？设计意图：对判断直线与圆的位置关系步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想．师生活动：教师引导学生分析归纳：（1）建立平面直角坐标系；（2）求出直线方程，圆心坐标与圆的半径；（3）求出圆心到直线的距离（4）比较与的大小，确定直线与圆的位置关系．三、考点讲解考点一直线与圆的位置关系的判断[例1] (1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不确定(2) 若直线1+=kx y 与椭圆1522=+my x 总有公共点，则m 的取值范围（） 510501≠≥>>>>m Dm m C Bm m A 且设计意图：通过此例题让学生体会这种方法的解题步骤，进一步加深学生对这种方法的记忆。

高考数学一轮复习课时作业(四十五)第45讲直线与圆、圆与圆的位置关系文

课时作业(四十五)第45讲直线与圆、圆与圆的位置关系时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.[2017·温州二模]若直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点,则实数b的取值范围是 ()A. [-1,1]B. [0,1]C. [0,]D. [-,]2.圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+4=0的公切线有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条3.[2017·西安模拟]直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为()A. 1B. 2C. 4D. 44.[2017·深圳二调]已知直线l:x+my-3=0与圆C:x2+y2=4相切,则m= .5.[2017·湖北七校联考]过点P(1,)的直线l将圆C:(x-2)2+y2=8分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k= .能力提升6.[2017·湖北六校联考]过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=1相切,且与直线ax+y-1=0垂直,则实数a的值为()A. 0B. -C. 0或D.7.[2017·重庆调研]设直线x-y-a=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB 为等边三角形,则实数a的值为 ()A. ±B. ±C. ±3D. ±98.[2017·唐山三模]在平面直角坐标系xOy中,圆O的方程为x2+y2=4,直线l的方程为y=k(x+2),若在圆O上至少存在三点到直线l的距离为1,则实数k的取值范围是() A. B.C. D.9.[2017·潍坊二模]已知圆C1:(x+6)2+(y-5)2=4,圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1,M,N分别为圆C1和C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A. 13B. 10C. 8D. 710.[2017·河北名校质检]已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2与y轴在第二象限所围区域的面积为S,直线y=3x+b将圆C的内部分为两部分,其中一部分的面积也为S,则b= ()A. -1±B. 1±C. -1-D. 1-11.[2017·安阳二模]已知圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上,则△PC1C2的面积的最大值为.12.已知圆C:x2+y2-4x-6y+3=0,直线l:mx+2y-4m-10=0,当直线l被圆C截得的弦长最短时,m= .13.(10分)[2017·山西四校一模]已知点A(2,0),直线4x+3y+1=0被圆C:(x+3)2+(y-m)2=13(m<3)所截得的弦长为4,且P为圆C上任意一点.(1)求|PA|的最大值与最小值;(2)圆C与两坐标轴相交于三点,求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.14.(15分)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与两坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.难点突破15.(15分)如图K45-1所示,在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程;(3)若点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.图K45-1课时作业(四十五)1.D[解析] 由题意可知,圆的圆心坐标为(0,0),半径为1,因为直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点,所以≤1,解得-≤b≤.2. D[解析] 圆C1:(x+1)2+(y+1)2=4,圆心为C1(-1,-1),半径r1=2,圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1,圆心为C2(2,1),半径r2=1,∴圆心距d==,r1+r2=3,∴d>r1+r2,∴两圆外离,故公切线有4条.3. D[解析] 由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5,所以圆的圆心坐标是(1,2),半径r=.圆心到直线x+2y-5+=0的距离d===1,所以直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为2=4.4.±[解析] 因为直线l:x+my-3=0与圆C:x2+y2=4相切,所以圆心C(0,0)到直线l:x+my-3=0的距离d==2,解得m=±.5.[解析] 由题意知,点P(1,)在圆(x-2)2+y2=8的内部,圆心为C(2,0),要使劣弧所对的圆心角最小,则有l⊥CP,所以k=-=.6. C[解析] 圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1,显然点P(1,2)在圆的外部.过点P能作两条圆的切线,其中一条为x=1,此时a=0;设另一条切线的斜率为k,则切线方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0.根据圆心O到直线kx-y+2-k=0的距离等于半径,可得=1,求得k=,∴直线ax+y-1=0的斜率为-,∴a=.7.B[解析] 由圆的方程得圆心坐标为(0,0),半径r=2,由△AOB为等边三角形,得圆心到直线x-y-a=0的距离d==,解得a=±.8. B[解析] 若在圆O上至少存在三点到直线l的距离为1,则圆心O(0,0)到直线kx-y+2k=0的距离d应满足d≤1,即≤1,解得k2≤,故实数k的取值范围是.9.D[解析] 圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标为A(-6,-5),半径为2,圆C2的圆心坐标为(2,1),半径为1,|PM|+|PN|的最小值即为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,即-3=7.10. A[解析] 由题意得,圆心(1,2)到直线y=3x+b的距离为1,即=1,∴b=-1±.11. 4[解析] 圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,即(x+2)2+(y-2)2=11,圆心为(-2,2),圆C2:x2+y2-4x-12=0,即(x-2)2+y2=16,圆心为(2,0),半径为4,∴|C1C2|==2,∴△PC1C2的面积的最大值为×2×4=4.12. 2[解析] 圆C:x2+y2-4x-6y+3=0,即(x-2)2+(y-3)2=10,圆心为C(2,3),半径为.直线l:mx+2y-4m-10=0,即m(x-4)+(2y-10)=0,由得故直线l经过定点A(4,5).要使直线l被圆C截得的弦长最短,需CA⊥l,故有k CA·k l=-1,即·=-1,求得m=2.13.解:(1)∵直线4x+3y+1=0被圆C:(x+3)2+(y-m)2=13(m<3)所截得的弦长为4,∴圆心到直线的距离d==1,∵m<3,∴m=2,∴|AC|=,∴|PA|的最大值与最小值分别为+,-.(2)由(1)可得圆C的方程为(x+3)2+(y-2)2=13,令x=0,则y=0或4,令y=0,则x=0或-6,∴圆C与两坐标轴相交于三点M(0,4),O(0,0),N(-6,0),∴△MON为直角三角形,|MN|=2,∴所求内切圆的半径为=5-.14.解:(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0), 故可设圆C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1,则圆C的半径为=3,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0,从而x1+x2=4-a,x1x2=.①由OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②由①②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.15.解:圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心为M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<2,且圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1,因此圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d==.因为|BC|=|OA|==2,而|MC|2=d2+,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),+=,所以①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25,于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤≤5+5,解得2-2≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].。

{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练45《直线与圆圆与圆的位置关系》附答案详析

{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练45《直线与圆圆与圆的位置关系》(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．(2019·广州模拟)若一个圆的圆心为(0,1)，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是( ) A ．x 2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．(x －1)2＋y 2＝42．(2019·昆明摸底调研)直线l ：x －y ＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝6相交于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A ．2 B ．4 C ． 2 D. 63．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是( )A ．{1，－1}B ．{3，－3}C ．{1，－1,3，－3}D ．{5，－5,3，－3}4．已知直线l ：kx －y －3＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝2，则k ＝( ) A ．2 B ．± 2 C ．±2 D ． 25．已知过原点的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点坐标为D (2，2)，则弦长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题6．(2019·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．7．(2019·兰州月考)点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．8．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点且两圆在点A 处切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处切线互相垂直，则两切线分别过另一圆圆心，∴O 1A ⊥OA ．三、解答题9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．10．(2018·河北邢台月考)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．B组能力提升1．已知两点A(－m,0)和B(2＋m,0)(m＞0)，若在直线l：x＋3y－9＝0上存在点P，使得PA⊥PB，则实数m 的取值范围是( )A．(0,3) B．(0,4)C．[3，＋∞)D．[4，＋∞)2．(2019·达州联考)若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是( )A．(4,6) B．(4,6]C ．[4,6)D ．[4,6]3．若直线x sin θ＋y cos θ＝1与圆x 2＋y 2－2x －2y cos θ＋cos 2θ＋1516＝0相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是________．4．(2018·江苏南通模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1，0)，B (1,2)．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，|MN |＝|AB |，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得|PA |2＋|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．解析{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练45《直线与圆圆与圆的位置关系》(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．(2019·广州模拟)若一个圆的圆心为(0,1)，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是( ) A ．x 2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．(x －1)2＋y 2＝4A [由于圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，故r ＝|2|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.故选A ．]2．(2019·昆明摸底调研)直线l ：x －y ＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝6相交于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A ．2 B ．4 C ． 2 D. 6B [由题意知，圆C 的圆心为C (2,0)，半径为6，圆心C 到直线l 的距离为2，所以|AB |＝262－22＝4，故选B.]3．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是( )A ．{1，－1}B ．{3，－3}C ．{1，－1,3，－3}D ．{5，－5,3，－3}C [因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a |＝1；外切时，|a |＝3，所以实数a 的取值集合是{1，－1,3，－3}．]4．已知直线l ：kx －y －3＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝2，则k ＝( ) A ．2 B ．± 2 C ．±2 D ． 2 B [圆O ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，设OA →与OB →的夹角为θ，则 2×2×cos θ＝2，解得cos θ＝12，θ＝π3，∴圆心到直线l 的距离为2cos π6＝3，可得|－3|1＋k2＝3，解得k ＝± 2.]5．已知过原点的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点坐标为D (2，2)，则弦长为( )A．2 B．3C．4 D．5A[将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，整理得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2.∵线段AB的中点坐标为D(2，2)，∴|CD|＝1＋2＝3，∴|AB|＝24－3＝2.故选A．]二、填空题6．(2019·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．－1[由题意知，圆C的半径是4，△ABC为直角三角形，则圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为22，所以|a＋a－2|a2＋1＝22，解得a＝－1.]7．(2019·兰州月考)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．35－5[把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d＝＋2＋＋2＝35＞5.故圆C1与圆C2相离，所以|PQ|的最小值是35－5.]8．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点且两圆在点A处切线互相垂直，则线段AB的长度是________．4[由题意⊙O1与⊙O在A处切线互相垂直，则两切线分别过另一圆圆心，∴O1A⊥OA．又|OA|＝5，|O1A|＝25，∴|O1O|＝5.又A，B关于O1O所在直线对称，∴AB是Rt△OAO1斜边上高的2倍．∴|AB|＝2×5×255＝4.]三、解答题9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． [解] (1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )，则a －2＋－2a ＋2＝|a －2a －1|2. 化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1. ∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝－2＋－2＋2＝ 2.∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， ∴直线l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＝0或y ＝－34x .10．(2018·河北邢台月考)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标． [解] (1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，|PC |＝2，设P (a,2a )，则a 2＋a －2＝2，解得a ＝2或a ＝65，∴点P 的坐标为(2,4)或⎝⎛⎭⎫65，125.(2)设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝165，∴该圆必经过定点(0,4)和⎝⎛⎭⎫85，165.B 组能力提升1．已知两点A (－m,0)和B (2＋m,0)(m ＞0)，若在直线l ：x ＋3y －9＝0上存在点P ，使得PA ⊥PB ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,4)C ．[3，＋∞)D ．[4，＋∞)C [因为A (－m,0)，B (2＋m,0)(m ＞0)，所以以AB 为直径的圆的圆心为(1,0)，半径为1＋m ，即方程为(x －1)2＋y 2＝(1＋m )2.若直线l ：x ＋3y －9＝0上存在点P ，使得PA ⊥PB ，则直线l 与圆有公共点． ∴|1－9|2≤1＋m ，解得m ≥3.] 2．(2019·达州联考)若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．(4,6]C ．[4,6)D ．[4,6]A [由圆的标准方程得圆心坐标(3，－5)，则圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离d ＝|4×3－－－2|32＋42＝255＝5. 若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则满足d －1＜r ＜d ＋1，即4＜r ＜6，故选A ．]3．若直线x sin θ＋y cos θ＝1与圆x 2＋y 2－2x －2y cos θ＋cos 2θ＋1516＝0相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是________．－33 [圆x 2＋y 2－2x －2y cos θ＋cos 2θ＋1516＝0化为标准方程得(x －1)2＋(y －cos θ)2＝116，圆心为(1，cos θ)，半径为14，由题意得，圆心到直线的距离d ＝|1×sin θ＋cos 2θ－1|cos 2θ＋sin 2θ＝14，所以|sin θ－sin 2θ|＝14.因为θ为锐角，所以0＜sin 2θ＜sin θ＜1，sin 2θ－sin θ＋14＝0，解得sin θ＝12，故cos θ＝32，所以直线x sin θ＋y cos θ＝1的斜率k ＝－sin θcos θ＝－1232＝－33.]4．(2018·江苏南通模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1，0)，B (1,2)．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，|MN |＝|AB |，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得|PA |2＋|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．[解] (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2,0)，半径为2.因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－－＝1.设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2.因为|MN |＝|AB |＝22＋22＝22，而|CM |2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|MN |22，所以4＝＋m 22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4，|PA |2＋|PB |2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，化简得x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4.因为|2－2|＜－2＋－2＜2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以存在点P ，使|PA |2＋|PB |2＝12，点P 的个数为2.。

高考数学一轮复习教案第44课直线与圆的位置关系

一、考纲要求1．理解直线与圆的位置关系,会利用直线与圆的方程判断其位置关系,能够根据所给关系解决相关问题； 2 理解圆与圆的位置关系,能够根据两圆的方程判断它们的位置关系;3 会利用直线与圆的方程解决简单的综合问题,领悟用代数方法处理几何问题的本质，二、知识梳理回顾要求1．阅读教材第112页~116页，理解直线和圆有哪些位置关系，用直线与圆的方程怎么判断直线和圆的关系？2．理解圆心到直线的距离公式，能否用圆心到直线的距离判断直线和圆的关系？ 3．当知道了圆心到直线的距离为d ，能否写出直线与圆相交形成的弦AB 的长度？ 4．两圆的关系有哪些，怎么来判定他们的关系 5．阅读教材113页的例2后思考，切线的长度怎么求要点解析1、直线与圆有相离、相切、相交三种关系，可以用直线和圆方程联立方程组，消去y ，后观察二次方程的∆即可，0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离。

2、用点到直线距离公式可以写出圆心到直线的距离d ，比较d 与半径r 的关系。

r d >，直线和圆相离，r d <，直线与圆相交；r d =，直线与圆相切。

3、把半径r 和d 以及弦长的一半放在一个直角三角形中，222d r AB -=。

4、根据两圆圆心21O O 之间距离和两半径之间关系可以分成：外离、外切、相交、内切、内含五种情况。

5、切线的长度由点到圆心距离PO ，半径r 构成的直角三角形中求得，以后再碰到切线的问题，转化为圆心的直线的距离PO 的问题。

三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4小题，在学习笔记栏写出基本方法，课前抽查部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误，点评时要简洁，要点击要害2、诊断练习点评题1.0y m -+=与圆22220x y x +--=相切,则实数m 等于．【分析与点评】方法一：直线与圆相切从形转：化到数，d r =方法二：直线和圆的方程联立方程组，消去y ，令0=∆【变式】0y m -+=与圆2220x y +-=相交,则实数m 范围．题2. 过原点且倾斜角为60的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为．【分析与点评】重点巩固半径，圆心距，半径构成的特征三角形的关系【变式】过原点的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为1的有______条，弦长为4的有___________条.题3. 圆22:4210A x y x y ++++=与圆22:2610B x y x y +--+=的位置关系是_________ 【分析与点评】外切将圆A 的方程标准化可得()()22214x y +++=，可得()2,1,2A R --=，圆B 的方程标准化()()22139x y -+-=可得()1,3,3B r =，所以5AB ==，所以AB R r =+，所以圆,A B 外切。

2020年高考江苏版高考数学 14.3 直线与圆、圆与圆的位置关系

AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为 .
答案 20 6
2.已知直线 l 与圆 C:x2+y2+2x-4y+a=0 相交于 A,B 两点,弦 AB 的中点为 M(0,1).
(1)若圆 C 的半径为 3,求实数 a 的值;
(2)若弦 AB 的长为 6,求实数 a 的值;
(3)当 a=1 时,圆 O:x2+y2=2 与圆 C 交于 M,N 两点,求弦 MN 的长.
( ) ( ) 所以 2a=
( 3-
3)2 +
12
2-0 +
( 3+
3)2 +
12
2 - 0 =4,
所以 a=2. 因为 a2=b2+c2,所以 b=1,
��2
所以椭圆 C 的方程为 4 +y2=1. (2)①由题意知直线 l 与圆 O 和椭圆 C 均相切,且切点在第一象限,所以直线 l 的斜率 k 存在且 k<0, 设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0,m>0), 将直线 l 的方程代入圆 O 的方程,得 x2+(kx+m)2=3, 整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0, 因为直线 l 与圆 O 相切,所以 Δ=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得 m2=3k2+3,
��2 ��2
所以可设椭圆 C 的方程为��2+��2=1(a>b>0).
( )1
又点 3,2 在椭圆 C 上,
{ { 所以
31
��2
+
4��2

高考数学一轮复习课件：第45课直线与圆的综合运用

直线：yl=kx与圆C交于M,N两点，
（１）求k的取值范围；
2
1
1
（２）设Q(m,n)是线段MN上的点，且OQ 2 OM 2 ON 2
请将n表示为m的函数
第（2）小题的处理方法：分析①：点Q(m,n)在直线 l : y kx 上，则
有 n km ；
② 下一个目标是消去k。
问题1：如何消去k？
2、若集合 N {(x, y) | (x 1)2 ( y 1)2 r2 ,r ，0}
和集合 M {( x, y) | x2 y 2 4} 当 M N N
时，实数 r 的取值范围是 (0,2 2] 。
3、已知直线 x y a 与圆 x2 y2 4 交于
A,B两点，且 OA OB OA OB ,其中O为原点，
2、在解题过程中，要培养学生动手作图的习惯。强调图象在研究问题中的关键作用，体会形转化数（例1、例2的第二题）、数转化为形（诊断练习中题3的变式题）的主要思想方法。
当堂反馈
1、已知点P（x,y)满足x
y
y
x
4
，过点P
x 1
的直线与圆 x2 ， y2 14 相交于A,B两
点，则AB的最小值为 4 。
方法三几何法：由方法
二可知OP MN ，进一
步发现CP MN，即OP
与CP重合,直线OP方程
为: y 1 x
解得t
2
2
,则
2 t
1 2
t,
或 t 2 ;检
验 t 2 不合题意.
故有 (x 2)2 ( y 1)2 5
ｙ
ＢＭ
·P
· ＣＮ
Ｏ
Ａ
ｘ
例３、已知圆 C : x2 ( y 4)2 4，点O是坐标原点，

2020届江苏高考数学(理)总复习讲义：直线与圆、圆与圆的位置关系

••＞必过数材美相离相切相交图形量化方程观点 0 △= 0△> 0几何观点d> r d = rd v ri 2!2相离外切相交内切内含图形l@l量的关系d > R + r 2 d = n+ r 2|r 1 — r 2| v d v□ + r 2d = |r 1— r 2| d v |r 1 — r 2|［小题体验］1. _____ (2019徐州调研)已知圆x 2+ y 2= r 2与圆x 2 + y 2 + 6x — 8y — 11 = 0相内切，则正数r 的值为 ______ .解析：圆 x 2+ y 2+ 6x — 8y — 11= 0 的标准方程为(x + 3)2 + (y — 4)2= 36，圆心为(一3,4), 半径为6,圆x 2+ y 2= r 2的圆心为(0,0),半径为r ，则圆心距d = | . — 3 2+ 42|= 5.若两圆内切，则 |r — 6|= 5,得 r — 6 = 5 或 r — 6 =— 5,即卩 r = 11 或 1.答案：1或112. ________________________________________________________________________ 直线 l : 3x — y — 6= 0 与圆 x 2+ y 2— 2x — 4y = 0 相交于 A , B 两点，贝V AB = ____________ .解析：由 x 2 + y 2— 2x — 4y = 0，得(x — 1)2+ (y — 2)2= 5, 所以该圆的圆心坐标为(1,2),半径r = 5,圆与圆的位置关系又圆心(1,2)到直线3x—y— 6 = 0的距离为d= |3「2-生=逅°,由fAB：2= r2- d2，得心2+(-竹2丿AB2= 4 5 — 2 = 10,即AB = 10.答案：103. ________________________________________________________________________ 若直线x—y+ 1 = 0与圆(x —a)2+ y2= 2有公共点，贝U实数a的取值范围为_____________ . 解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为.2,所以—2" 2三"J2,即|a+ 1|w 2,解得一3w a w 1.12+ - 12答案：［—3,1］4. __________________________________________________________________ 若圆x2+y2= 4与圆x2+ y2—2mx+ m2— 1 = 0相外切，则实数m = ________________________ .解析：将圆x2+ y2—2mx+ m2— 1 = 0化成标准方程，得(x—m)2+ y2= 1，圆心为(m,0), 半径r1 = 1,圆x2+ y2= 4的圆心为(0,0),半径r2= 2.由两圆相外切，得|m|= r1+ r2= 3，解得m = ^3.答案：±31. 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形.2. 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形.［小题纠偏］1.过点(2,3)与圆(x—1)2+ y2= 1相切的直线的方程为__________ .解析：①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y= k(x—2) + 3,由圆心(1,0)到切线的距离为半径1,所以切线方程为4x—3y+ 1 = 0,②若切线的斜率不存在，则切线方程为x = 2,也是圆的切线,所以直线方程为4x—3y+ 1 = 0或x= 2.答案：x= 2 或4x—3y+ 1 = 02.若圆x2+ y2= 1 与圆(x+ 4)2+ (y—a)2= 25 相切，则常数a= ___________ ,答案：±2 5或0考点一直线与圆的位置关系基础送分型考点一一自主练透［题组练透］2 2 -1.(易错题)(2018 苏北四市调研)直线(a + 1)x + (a — 1)y + 2a = 0(a € R )与圆 x + y — 2x + 2y — 7= 0的位置关系是 ________ .解析：法一：x 2+ y 2— 2x + 2y — 7= 0化为圆的标准方程为(x — 1)2+ (y + 1)2= 9,故圆心坐标为(1, — 1)，半径r = 3，圆心到直线的距离d =胆工■匸孕二世竽再根据#(a + 1)+ (a — 1)2 #2a 2 + 2由(a + 1)x + (a — 1)y + 2a = 0(a € R )整理得 x — y + a(x + y + 2) = 0，贝U 由 x — y = 0， x + y + 2 = 0，—1)，又(一1)2+ (— 1)2— 2X (— 1) + 2X (— 1) — 7=— 5v 0，则点(一1，— 1)在圆 x 2+ y 2— 2x + 2y — 7= 0 的内部，故直线(a + 1)x + (a — 1)y + 2a = 0(a € R )与圆 x 2 + y 2— 2x + 2y — 7 = 0相交.答案：相交BC = AC = r = 4,所以圆心 C 到直线 AB 的距离为2^2，从而有忸甘!二2 = 2羽，解得a =— 1.V a + 1答案：—13. (2018苏州高三暑假测试)已知点A(1,0)和点B(0,1)，若圆x 2+ y 2— 4x — 2y + t = 0上 1仅有两个不同的点 P ，使得△ PAB 的面积为，则实数t 的取值范围是解析：由题可得AB = 2，若△ PAB 的面积为1，则点P 到直线AB 的距离为于圆x 2+ y 2— 4x — 2y + t = 0的标准方程为(x — 2)2 + (y — 1)2= 5 — t ,圆心到直线 AB 的距离为• .2,所以 5—t —jv 2 v 5— t 十中，解得丁< t v ；.［谨记通法］判断直线与圆的位置关系的两种方法(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系.这种方法的特点是计算量较小.r 2— d 2= 9 — 4a+ 8a + 4 7a— 4a+ 7,而 7a 2— 4a + 7 = 0 的判别式 △= 16— 196=— 180v 0,2a 2 + 2 avi故有r 2 > d 2,即d v r ，故直线与圆相交.法二：解得 x =— 1, y =— 1，即直线(a + 1)x + (a — 1)y + 2a = 0(a € R )过定点(一1,2. (2019南京学情调研)在平面直角坐标系圆(x — 1)2+ (y — a)2= 16 相交于 A , B 两点，xOy 中，若直线ax + y — 2= 0与圆心为 C 的ABC 为直角三角形，则实数a 的值是解析：因为△ ABC 为直角三角形，所以答案:1 9、2，2(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程,该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系•这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法.考点二切线、弦长问题题点多变型考点一一多角探明［锁定考向］与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，常见的命题角度有: (1)求圆的切线方程(切线长)； (2)求弦长；⑶由弦长或切线问题求参数.［题点全练］角度一：求圆的切线方程(切线长)1. _______________________________________________________________________ 已知圆的方程为 x 2+y 2= 1,则在y 轴上截距为寸2的切线方程为 _______________________________ .解析：在y 轴上截距为.2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为 y = kx+ >/2,则丿0 = 1,所以k =±，故所求切线方程为 y = x + Q 2或y =— x +羽.f k + 1答案：y = x + .2或 y =— x + 2 角度二：求弦长2.若a 2+ b 2= 2C 2(C M 0)，则直线ax + by + c = 0被圆x 2+ / = 1所截得的弦长为解析：因为圆心(0,0)到直线ax + by + C = 0的距离d =——a +b 因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于所以弦长为，2. 答案：2角度三：由弦长或切线问题求参数23. (2018苏州期末)在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点 M(1, 1)的直线l 与圆(x + 1) + (y — 2)2= 5相切，且与直线 ax + y — 1 = 0垂直，则实数 a = ___________________ . 解析：因为点 M 在圆上，所以切线方程为(1+ 1)(x + 1) + (1 — 2)(y — 2) = 5，即2x — y —1=0,所以12a — 1 = 0, 即卩 a = ?. 答案：1 24.已知圆C ： (x — 1)2+ (y — 2)2= 2截y 轴所得线段与截直线 y = 2x + b 所得线段的长度|c| =^2 |C | 2，12相等，则b= _________ .解析：记圆C与y轴的两个交点分别是A, B,由圆心C到y轴的距离为1, CA = CB=.2可知，圆心C(1,2)到直线2x — y + b = 0的距离也等于1才符合题意，于是 "1 ；十"=1，解得 b = 土, 5.答案：土 5［通法在握］1.圆的切线方程的 2种求法(1) 代数法：设切线方程为 y — y o = k(x — x o ),与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式A= 0进而求得k.(2) 几何法：设切线方程为 y — y o = k(x — x o ),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ,然后令d = r ，进而求出k.［提醒］若点M(X 0, y o )在圆x 2 + y 2= r 2上，则过M 点的圆的切线方程为 X o x + y o y =上2.弦长的2种求法(1) 代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程•在判别式 A>o 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2) 几何法：若弦心距为d ,圆的半径长为 r ,则弦长1= 2 , r 2— d 2.［演练冲关］2 21. (2。

苏教版高三数学一轮复习---9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

§9.4直线与圆、圆与圆的位置关系2020高考会这样考 1.考查直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2.计算弦长、面积，考查与圆有关的最值；根据条件求圆的方程．复习备考要这样做 1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想．1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ2.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，222[难点正本疑点清源]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的． 2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法运用根与系数关系及弦长公式 AB ＝1＋k 2|x A －x B |＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].1．(2011·重庆)过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________．答案 2x －y ＝0解析圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －2)2＝1，又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，由此得直线过圆心(1,2)，故所求直线方程为2x －y ＝0.2．若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围为__________．答案 (－3，3)解析由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是2k 2＋1>1，解得－3<k <3，即k ∈(－3，3)．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．答案 (－13,13)解析由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.∵d ＝|c |122＋52＝|c |13，∴0≤|c |<13，即c ∈(－13,13)．4．从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．答案 35解析圆的方程整理为(x －1)2＋(y －1)2＝1，C (1,1)，∴sin ∠APC ＝15，则cos ∠APB ＝cos 2∠APC＝1－2×⎝⎛⎭⎫152＝35. 5．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有_____条．答案 2解析 ⊙C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，圆心C 1(－1，－1)，半径r 1＝2.⊙C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，半径r 2＝2. ∴C 1C 2＝13，∴|r 1－r 2|＝0<C 1C 2<r 1＋r 2＝4， ∴两圆相交，有两条公切线．题型一直线与圆的位置关系例1 已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.(1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．思维启迪：直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定．方法一 (1)证明由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，(x －1)2＋(y ＋1)2＝12，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0，因为Δ＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． (2)解设直线与圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则直线l 被圆C 截得的弦长 AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝28－4k ＋11k 21＋k 2＝211－4k ＋31＋k 2，令t ＝4k ＋31＋k2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0，当t ＝0时，k ＝－34，当t ≠0时，因为k ∈R ，所以Δ＝16－4t (t －3)≥0，解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时AB 最小为27.方法二 (1)证明圆心C (1，－1)到直线l 的距离d ＝|k ＋2|1＋k 2，圆C 的半径R ＝23，R 2－d 2＝12－k 2＋4k ＋41＋k 2＝11k 2－4k ＋81＋k2，而在S ＝11k 2－4k ＋8中， Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故11k 2－4k ＋8>0对k ∈R 恒成立，所以R 2－d 2>0，即d <R ，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． (2)解由平面几何知识，知AB ＝2R 2－d 2＝28－4k ＋11k 21＋k2，下同方法一．方法三 (1)证明因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0，1)，而PC ＝5<23＝R ，所以点P (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点P . 所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．(2)解由平面几何知识知过圆内定点P (0,1)的弦，只有和PC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点P (0,1)为弦AB 的中点，由勾股定理，知AB ＝212－5＝27，即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.探究提高 (1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系； (2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法．(2012·安徽改编)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a的取值范围是__________．答案 [－3,1]解析由题意知，圆心为(a,0)，半径r ＝ 2.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径，即|a －0＋1|2≤2，∴|a ＋1|≤2.∴－3≤a ≤1. 题型二圆的切线问题例2 已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．思维启迪：(1)过点求切线，可考虑切线斜率存在和不存在两种情况．对于斜率存在的情况可考虑用待定系数法求解． (2)充分利用几何意义求解．(3)注意利用关系⎝⎛⎭⎫L 22＝r 2－d 2.解 (1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2， ①当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切．②当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝⎛⎭⎫2322＝4，解得a ＝－34.探究提高求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a 的值及切线方程．解 (1)由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝±3. 当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0， ∴a ＝3时，切线方程为x ＋3y －4＝0， a ＝－3时，切线方程为x －3y －4＝0. (2)设直线方程为x ＋y ＝b ，由于直线过点A ，∴1＋a ＝b ，∴直线方程为x ＋y ＝1＋a ，即x ＋y －a －1＝0. 又直线与圆相切，∴d ＝|a ＋1|2＝2，∴a ＝±22－1.∴切线方程为x ＋y ＋22＝0或x ＋y －22＝0. 题型三圆与圆的位置关系例3 a 为何值时，圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0.(1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切．思维启迪：(1)分别表示出两圆的圆心坐标和半径；(2)利用圆心距与两圆半径的关系求解．解将两圆方程写成标准方程． C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9， C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4. ∴两圆的圆心和半径分别为C 1(a ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，a )，r 2＝2，设两圆的圆心距为d ，则d 2＝(a ＋1)2＋(－2－a )2＝2a 2＋6a ＋5. (1)当d ＝5，即2a 2＋6a ＋5＝25时，两圆外切，此时a ＝－5或a ＝2.(2)当1<d <5，即1<2a 2＋6a ＋5<25时，两圆相交，此时－5<a <－2或－1<a <2. (3)当d >5，即2a 2＋6a ＋5>25时，两圆外离，此时a >2或a <－5. (4)当d ＝1，即2a 2＋6a ＋5＝1时，两圆内切，此时a ＝－1或a ＝－2.探究提高判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．已知圆C 与圆C 1：x 2＋y 2－2x ＝0相外切，并且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点P (3，－3)，求圆C 的方程．解设所求圆的圆心为C (a ，b )，半径长为r ，则圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， ∵C (a ，b )在过点P 且与l 垂直的直线上， ∴b ＋3a －3＝ 3.① 又∵圆C 与l 相切于点P ，∴r ＝|a ＋3b |2.② ∵圆C 与圆C 1相外切，∴(a －1)2＋b 2＝r ＋1.③ 由①得3a －b －43＝0，从而由②③④可得4a 2－26a ＋49＝|2a －6|＋1，④解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝－43，此时，r ＝2或r ＝6.即所求的圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.与圆有关的探索问题典例：(14分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．审题视角 (1)假设存在两点A 、B 关于直线对称，则直线过圆心．(2)若以AB 为直径的圆过原点，则OA ⊥OB ，转化为OA →·OB →＝0. 规范解答解圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C (1，－2)．假设在圆C 上存在两点A 、B 满足条件，则圆心C (1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1.[4分]于是可知，k AB ＝1.设l AB ：y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程，整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，则Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0，即b 2＋6b －9<0. 解得－3－32<b <－3＋3 2.[9分]设点A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12b 2＋2b －2.由题意知OA ⊥OB ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝0. ∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0.[12分]∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0. 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ>0，即直线AB 的方程为x －y －4＝0，或x －y ＋1＝0.[14分]第一步：假设符合要求的结论存在．第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解．第三步：确定符合要求的结论存在或不存在．第四步：给出明确结果．第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范．温馨提醒 (1)本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质答题．(2)要注意解答这类题目的答题格式．使答题过程完整规范．(3)本题的易错点是转化方向不明确，思路不清晰．方法与技巧1．过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0. 2．过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法 (1)几何方法当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程． (2)代数方法设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出． 3．两圆公共弦所在直线方程求法若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 4．圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2.(2)代数法：设直线与圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，消y 后得关于x 的一元二次方程，从而求得x 1＋x 2，x 1x 2，则弦长为 AB ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2](k 为直线斜率)．失误与防范1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的____________条件．答案充分不必要解析若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．2．已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，若AB ＝3，则该圆的标准方程是________________．答案 (x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 解析根据AB ＝3，可得圆心到x 轴的距离为12，故圆心坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1. 3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为________．答案 2 3解析过原点且倾斜角为60°的直线方程为3x －y ＝0，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心(0,2)到直线的距离为d ＝|3×0－2|3＋1＝1，因此弦长为2R 2－d 2＝24－1＝2 3.4．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎦⎤－33，33解析如图，若MN ＝23，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d 2＝22－(3)2＝1. ∵直线方程为y ＝kx ＋3，∴d ＝|k ·2－3＋3|1＋k2＝1，解得k ＝±33.若MN ≥23，则－33≤k ≤33.5．设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0 解析 d ＝|a ＋1|a 2＋1，由已知条件d 2＋3＝4，即d ＝1，|a ＋1|a 2＋1＝1，解得a ＝0. 6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0 (a >0)的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 1解析方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4.相减得2ay ＝2，则y ＝1a .由已知条件22－(3)2＝1a ，即a ＝1.7．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2. 整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.二、解答题(共27分)8．(13分)求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程．解设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线，且有MA ＝AP ＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －1＝2－31＋1(m －1)2＋(n －2)2＝(m －4)2＋(n ＋1)2＝r，解得m ＝3，n ＝1，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.9．(14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率k OC ＝b a＝－1，故b ＝－a ，则OC ＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－2，结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ (m －4)2＋n 2＝42m 2＋n 2≠0(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得⎩⎨⎧ m ＝45n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125符合题意．B 组专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·天津改编)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是____________．答案 (－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)解析圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n ＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，所以m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.2．(2011·江西改编)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________．答案 (－33，0)∪(0，33)解析 C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意，则－33<m <0或0<m <33. 综上知－33<m <0或0<m <33. 3．(2011·大纲全国改编)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离 C 1C 2＝________.答案 8解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17.∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32，∴C 1C 2＝(a －b )2＋(a －b )2＝32×2＝8.4．若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为______________．答案 (－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32 解析圆方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0a 2>3－2a ，解得a <－3或1<a <32. 5．若过定点M (－1,0)且斜率为k 的直线与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是__________．答案 (0，5)解析圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝9，令x ＝0得圆与y 轴的两个交点为(0，±5)，如图，直线k AM ＝ 5.若过定点M (－1,0)且斜率为k的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是0<k < 5.6．过点M ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_________________．答案 2x －4y ＋3＝0解析由题意得，当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，从而直线方程y －1＝－1－120－1⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.二、解答题(共28分)7．(14分)m 为何值时，直线y ＝mx ＋2与圆x 2＋y 2＝2相交于P 、Q 两点，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)．解设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝mx ＋2x 2＋y 2＝2，得(1＋m 2)x 2＋4mx ＋2＝0，由Δ＝16m 2－8(1＋m 2)>0，得m 2>1.即m >1或m <－1.① 又∵x 1＋x 2＝－4m 1＋m 2，x 1x 2＝21＋m 2， ∴y 1y 2＝(mx 1＋2)(mx 2＋2)＝m 2x 1x 2＋2m (x 1＋x 2)＋4＝2m 21＋m 2－8m 21＋m 2＋4＝4－2m 21＋m 2. 由OP ⊥OQ 知y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴21＋m 2＋4－2m 21＋m 2＝0，解得m ＝±3.② 由①、②知当m ＝±3时，直线与圆相交于P 、Q 两点且OP ⊥OQ .8．(14分)已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点．(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程．解 (1)设圆A 的半径为R ，由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5. ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连结AQ ，则AQ ⊥MN .∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1，则由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.。

高高考数学课时45直线与圆、圆与圆的位置关系

课时45 直线与圆、圆与圆的位置关系1.已知p:“a=”,q:“直线x+y=0与圆x2+(y-a)2=1相切”,则p是q的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切,且与直线l2:3x+4y-6=0平行,则直线l1的方程是( )A.3x+4y-1=0B.3x+4y+1=0或3x+4y-9=0C.3x+4y+9=0D.3x+4y-1=0或3x+4y+9=03.在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长等于( )A.3B.2C.D.14.若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交,则实数m的取值范围为( )A.(-∞,+∞)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(-∞,0)∪(0,+∞)5.过圆x2+y2=1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )A. B. C.2 D.36.若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程为( )A.y2-4x+4y+8=0B.y2+2x-2y+2=0C.y2+4x-4y+8=0D.y2-2x-y-1=07.圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为.8.已知△ABC的三个顶点分别为A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,1),则BC边上的中线长为.9.设O为坐标原点,C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足=0,则=.10.过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率为多少.11.已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a),(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程;(2)若a=,过点M的圆的两条弦AC,BD互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值.12.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2)若直线l是圆心C下方的切线,当a在(0,4]上变化时,求m的取值范围.1．答案:A解析:由直线x+y=0与圆x2+(y-a)2=1相切,可得=1,即a=±.∴p⇒q.而q p,∴p是q的充分而不必要条件. 2．答案:D解析:设直线l1的方程为3x+4y+m=0.∵直线l1与圆x2+y2+2y=0相切,∴=1.∴|m-4|=5.∴m=-1或m=9.∴直线l1的方程为3x+4y-1=0或3x+4y+9=0.3．答案:B解析:如图所示,设AB的中点为D,则OD⊥AB,垂足为D,连接OA.由点到直线的距离得|OD|==1,∴|AD|2=|OA|2-|OD|2=4-1=3,|AD|=,∴|AB|=2|AD|=2.4．答案:D解析:由圆的方程可知圆心坐标为(1,1),半径为1,因为直线与圆相交,所以有<1,解得m2>0,所以实数m的取值范围为(-∞,0)∪(0,+∞).5．答案:C解析:设圆上的点为(x0,y0),其中x0>0,y0>0,则切线方程为x0x+y0y=1.分别令y=0,x=0,得A,B,∴|AB|==2当且仅当x0=y0时,等号成立.6．答案:C解析:由圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y=x-1上,故可得a=2,即点C(-2,2),所以过点C(-2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x+2)2+(y-2)2=x2,整理得y2+4x-4y+8=0.7．答案:x2+y2=2解析:圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离d=.∴圆的方程为x2+y2=2.8．答案:解析:BC中点坐标为D,所以|AD|=.9．答案:或-解析:∵·=0,∴OM⊥CM,∴OM是圆的切线.设OM的方程为y=kx,由,得k=±,即=±.10．解:曲线y=的图象如图所示:若直线l与曲线相交于A,B两点,则直线l的斜率k<0,设l:y=k(x-),则点O到l的距离d=.又S△AOB=|AB|·d=×2·d=,当且仅当1-d2=d2,即d2=时,S△AOB取得最大值.∴,∴k2=,∴k=-. 11．解:(1)由条件知点M在圆O上,所以1+a2=4,解得a=±.当a=时,点M为(1,),k OM=,k切线=-,此时切线方程为y-=-(x-1),即x+y-4=0.当a=-时,点M为(1,-),k OM=-,k切线=,此时切线方程为y+(x-1),即x-y-4=0.所以所求的切线方程为x+y-4=0,或x-y-4=0.(2)设O到直线AC,BD的距离分别为d1,d2(d1,d2≥0),则=|OM|2=3.于是|AC|=2,|BD|=2.所以|AC|+|BD|=2+2.则(|AC|+|BD|)2=4(4-+4-+2)=4[5+2]=4(5+2).因为2d1d2≤=3,所以,当且仅当d1=d2=时取等号.所以.所以(|AC|+|BD|)2≤4×=40.所以|AC|+|BD|≤2,即|AC|+|BD|的最大值为2.12．解:(1)∵x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0,∴(x+a)2+(y-a)2=4a,∴圆心为C(-a,a),半径为r=2.设直线l被圆C所截得的弦长为2t,圆心C到直线l的距离为d,当m=4时,直线l:x-y+4=0,圆心C到直线l的距离为d=|a-2|,t2=(2)2-2(a-2)2=-2a2+12a-8=-2(a-3)2+10,又0<a≤4,∴当a=3时,直线l被圆C所截得弦长的值最大,其最大值为2.(2)圆心C到直线l的距离为d=|m-2a|,∵直线l是圆C的切线,∴d=r,即=2,∴m=2a±2,∵直线l在圆心C的下方,∴m=2a-2=(-1)2-1,∵a∈(0,4],∴m∈[-1,8-4].。

2020江苏高考数学一轮复习学案：第45课__直线与圆的位置关系含解析.docx

第45课直线与圆的位置关系（2）1. 能利用直线与圆的方程及其相关性质，解决直线与圆的简单综合问题2. 掌握处理直线与圆的综合性问题的基本方法.3.领悟并基本掌握“等价转化” “数形结合”等数学思想方法，会选择并掌握合理简捷的运算途径1•阅读：必修2第115〜117页. 2.解悟：①进一步熟悉直线方程与圆的方程及其相互关系；②过圆上一点作圆的切线，有几条？能否写出圆的切线方程？若是过圆外一点呢？③研究直线与圆的位置关系，一般有哪些方法？④定点、定值问题有哪些基本方法？ 3.践习：在教材空白处，完成必修 2第128页复习题第12、14题，第129页复习题第26题.基础诊断- Y'1.由直线y =+ 1上的一点向圆（一3）2+ y 2= 1引切线，则切线长的最小值为.7 .解析：由直线y =+ 1上的一点向圆（一3）2+ y 2= 1引切线，当直线上的点到圆心的距离最小，即圆(2 2) 2 — 1= 7.2. 过点（—1,— 2）的直线I 被圆2+ y 2— 2— 2y + 1 = 0截得的弦长为.2,则直线I 的斜率为|2k — 3| \[2 17+ 2=(+ °即-y 一 2= 0,所以k 2+ 1 = 2，解得=1或=7,故直线1的斜率为温53 KL ULN XI心到直线的距离最小时，切线长也最小17_1或7解析：将圆的方程化为标准方程得(—1)2+ (y — 1)2= 1,所以圆心为(1, 1),半径为r = 1•又因为弦长为2,所以圆心到直线I 的距离d =2 = 22因为直线i 的斜率存在，设为,所以直线 I ： y 17 1或7 .考纲KAO GAFK ； JlL XI•因为圆心到直线的距离为所以切线长最小为3. 已知圆O：2+ y2= 5,直线I: cos B+y sin B=1 9^，设圆0上到直线I的距离等于1的点的个数为，则实数=_4— W.解析：因为圆O: 2+ y2= 5,所以圆心O（0, 0）,半径r = 5.因为圆心O到直线I的距离d=22= 1< 5,且r — d = 5 — 1>1，所以圆O 上到直线I 的距离等于1的点的个数为4，即=cos > 9 4sin r B4. 已知曲线C : (- 1)2+ y 2= 1,点A( — 2, 0), B(3, a),从点A 观察点B ,要使视线不被曲线住，则实数a 的取值范围是 _(—汽一_54[ U (54",+ m)_•解析：由题意知过点 A 的圆的切线方程的斜率存在，则设切线方程为 y = (+ 2),即一y + 2= 0，则圆心到切线的距离 d = -|3= = 1,解得=士半，所以过点A 的圆的切线方程为y =±¥(+ 2).当=3\ k 2+144范例导航两考向？直线与圆相交的弦的问题 P(2, 2)，过点P 作直线I 交圆C 于A ，B 两点.⑶当直线I 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长.解析：⑴ 因为圆C : (— 1)2 + y 2= 9的圆心为C(1, 0),直线I 经过两点P , C ,2— 0所以直线I 的斜率为= =2,所以直线I 的方程为y = 2(— 1),即卩2— y — 2= 0.2— 11⑵ 当弦AB 被点P 平分时，I 丄PC ,所以直线I 的方程为y — 2=— 2( — 2),即+ 2y — 6= 0.⑶ 当直线I 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线I 的方程为y — 2=— 2,即一y = 0,1则圆心C(1, 0)到直线I 的距离为——.又圆的半径为3,所以弦AB = 34.翦跟踪练习才已知圆2 + y 2 = 8内一点P(— 1, 2),过点P 的直线I 的倾斜角为a,直线I 交圆于A , B 两点.3 n|—(1)若久=4，则 AB =30 ;⑵ 若弦AB 被点P 平分时，则直线I 的方程为2y + 5 = 0_ W .4. 时，y =士？所以所求的a 的取值范围为i,—例1 已知圆C : (— 1)2+ y 2= 9内有一点(1)当直线I 经过圆心C 时，求直线I 的方程; (2)当弦AB 被点P 平分时，求直线I 的方程;,).3 n解析：⑴ 因为a = 4，所以AB =- 1,所以直线I 的方程为y — 2=— (+ 1),即+ y - 1= 0,所以圆|0 + 0— i| /\[2心0(0, 0)到AB 的距离d = ------------------ = ，贝y AB = 2V 2 2解析：(2)因为弦AB 被点P 平分，所以OP 丄AB.1 1又因为 OP = — 2，所以 AB = 2，所以直线 I : y — 2= 2( + 1),即一 2y + 5= 0. I ；习考向？定点、定值问题例2如图，在平面直角坐标系 Oy 中，已知点A( — 3, 4), B(9, 0), C , D 分别为线段 0A , 0B 上的动点，且满足AC = BD.(1)若AC = 4,求直线CD 的方程;⑵ 求证：△ OCD 的外接圆恒过定点•(异于原点0)解析：(1)因为A( — 3, 4),所以 0A =(— 3) 2+ 42 = 5.由 BD = 4,得 D(5 , 0),1所以直线CD 的方程为y =— 7(— 5),即+ 7y — 5= 0.(2) 设 C(— 3m , 4m)(0<m < 1),贝U 0C = 5m , 则 AC = 0A — 0C = 5— 5m.因为 AC = BD ，所以 0D = 0B — BD = 5m + 4,所以直线CD 的斜率为1 7‘因为AC = 4，所以0C = 1,所以3 5’ 45' 3所以点D的坐标为(5m+ 4, 0).又设△ 0CD的外接圆的方程为2+y2+ D + Ey+ F= 0,■p F = 0,则有9m2+ 16m2—3mD + 4mE + F = 0,.(5m + 4) 2+( 5m + 4) D + F= 0,解得 D = —(5m + 4), F = 0, E =—10m—3,所以△ OCD的外接圆的方程为2+ y2—(5m + 4)—(10m+ 3)y= 0,整理得2+ y2—4—3y—5m(+ 2y)= 0."x2+ y2—4x —3y= 0,令』x+ 2y= 0,x= 0, x = 2,得(舍)或y= 0 y=—1,所以△ OCD的外接圆恒过定点(2,—1).嗓跟踪纷习廿(2、已知以点C t, - (t € R, 0)为圆心的圆与轴交于点O, A,与y轴交于点O, B,其中O为原< t丿占八、、-(1)求证：△ OAB的面积为定值；⑵设直线y=—2+ 4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程.r 2^2 2 4解析：(1)由题意知圆C的方程为(一t) + y— - = t +吾化简得2—2t + y2—；y= 0.当y= 0 时，=0 或2t,贝U A(2t, 0); 当=0 时，y= 0 或：，J则B 0, 4,1 1所以S A OAB=2OA • OB=齐 |2t| X所以△ OAB的面积为定值.(2)因为OM = ON , CM = CN ,所以OC垂直平分MN .1 因为MN=—2,所以OC= 2,21 t2 所以 OC = 2=t = ，所以 t =± 2.当t = 2时，圆心C (2, 1),半径r = OC = 5,所以所求直线方程为 4+ 3y + 15= 0或4+ 3y — 15= 0.⑵ 方法一：假设存在这样的点B(t , 0).当点P 为圆C 与轴的左交点(一3, 0)时，此时点C 到直线y =— 2+ 4的距离d = 亠5<5所以圆C 与直线y =— 2+ 4相交于两点;当 t = — 2 时，圆心 C (— 2,— 1),半径 r = OC = 5,此时点C 到直线y =— 2+ 4的距离d =所以圆C 与直线y =— 2+ 4不相交，所以t =— 2不符题意. 综上，圆C 的方程为(—2)2+ (y — 1)2= 5.考向？隐圆问题例 3 如图，已知圆 C : 2+ y 2= 9,点 A( — 5, 0),直线 I : 3— 4y = 0.(1) 求与圆C 相切，且与直线I 垂直的直线方程；(2) 在直线OA 上(O 为坐标原点)，是否存在定点B(不同于点A),满足：对于圆 PB都有pA 为一常数•若存在，求出所有满足条件的点B 的坐标；若不存在，请说明理由C 上任意一点P ,解析：⑴ 由题意可设所求直线方程为因为直线与圆相切,所以I — b|,42+ 32 =3,得 b =± 15, 4+ 3y — b = 0.PB |t + 3|PA = 2当点P为圆C与轴的右交点(3, 0)时,PB |t — 3| PA 8依题意，代；3|」—31，解得t = — 5(舍去)或t =—；. 2 8 5设 P(, y),则 y = 9—2,PB 3所以PA = 5为常数.PB方法二：假设存在这样的点B(t , 0),使得为常数入，贝U PB 2=*PA 2,设P(, y),所以(—t)2+ y 2PA= x 2[( + 5)2 + y 2]，将 y 2= 9—2 代入，得2— 2t + t 2+ 9— 2=於(2 + 10+ 25+ 9—2),去)，(9 ) PB 3故存在点B 「5,。