五年级奥数-立体图形问题

课程五

立体图形问题

1.长方体、正方体表面积的计算

2.长方体、正方体的切割问题

3.长方体、正方体的体积

4.不规则物体的体积

计算长方体和正方体的表面积应注意的问题

（1）找出必备条件（长、宽、高或棱长），如题中没有直接给出，则 先求出必备条件，再求表面积（有盖还是无盖）。

（2）统一计量单位，单位不统一的，一般要通过化、聚，使单位统一 后再计算。

（3）求所需用的面积材料时，一般用“进一法“取近似值。 （4）用同样多的立体拼图，由于拼法不同，重叠的次数不同，表面积 就会发生变化，每重叠一次，就减少两个面；每切一刀，就增加两个面。

1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式 （1）长方体体积＝长×宽×高 V 长方体＝abc

（2） 正方体体积＝棱长×棱长×棱长 V 正方体＝a 3 2.求不规则物体的体积

水中物体的体积＝容器的底面积×水上升或下降的高度。 水上升或下降的高度＝水中物体的体积÷容器的底面积

容器的底面积＝水中物体的体积÷水上升或下降的高度

例1

有一个长15厘米，宽10厘米，高8厘米的长方体，现在要在这个长方体中挖去一个棱长为5厘米的小正方体，那么剩下部分的表面积是多少？

学习目标

重 点

总 结

（1） （2） （3）

分析与解法

根据长方体的特征我们可以知道，挖去小正方体的位置有3种情况，可能是在面上，如图（1），可能在顶点上，如图（2），可能在棱上，如图（3）。在面上时，可以用长方体的表面积＋小正方体4个面的面积;在角上时，正好等于长方体的表面积；在棱上时，要用长方体的表面积+小正方体2个面的面积。

解：原长方体表面积为:

（15×10+15×8+10×8） ×2=700（平方厘米） 在角上时，剩下部分的表面积是700（平方厘米）； 在面上时，剩下部分的表面积是： 700+5×5×4=800（平方厘米）

在棱上时，剩下部分的表面积是：700＋5×5×2＝750（平方厘米）

所以剩下部分的表面积是700平方厘米，或800平方厘米，或750平方厘米。 说明：本题也是要考虑可能出现的各种情况，要做到不重不漏。

例2

如图棱长是2分米的正方体，沿与AB 棱垂直的方向切3刀，沿与BC 棱垂直的方向切4刀，沿与BF 棱垂直的方向切5刀，共得到大小长方体120个。问这120个长方体的表面积之和是多少平方分米。

分析与解法

在这道题中，120个长方体表面积的总和是由原来正方体的表面积与所有切面的面积两部分组成。每切一刀，就增加2个边长是2分米的正方形，共切12刀，增加了24个边长是2分米的正方形。

解： 2×2×6＋2×2×[（3＋4＋5）×2] ＝24＋96

＝120（平方分米）

答：这120个长方体的表面积是120平方分米。

说明：此题并没有要求是平均切，所以只能考虑在原来基础上增加了多少。

例3

有一根长3.5米的方木，把它截成3段，表面积增加了144平方厘米，这根方木的体积是多少立方分米？

分析与解法

A

D

H G

F

E B

C

把方木截成三段要截2次，每截一次要增加2个面，截2次增加4个面，4个面的面积为144平方厘米，144÷4＝36（平方厘米），根据体积公式就能求出方木的体积。

解：144÷4＝36（平方厘米）

36×350＝12600（立方厘米）＝12.6（立方分米）

答：这根方木的体积是12.6立方分米。

说明：切n 刀分出（n+1）段，增加2n个面。

例4

一个长方体的表面积是67.92平方分米，底面积是19平方分米，底面周长是17.6分米，这个长方体的体积是多少？

分析与解法

表面积减去两个底面积，差就是长方体的侧面积，侧面积除以底面周长是长方体的高。根据公式“底面积×高”求出长方体的体积。

（67.92-19×2）÷17.6

＝29.92÷17.6

＝1.7（分米）

19×1.7＝32.3（立方分米）

例5

一个长方体正块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它的六个面上都漆满油漆然后锯成棱长都是1分米的正方体木块，锯成的小正方体木块中，几个三面有红色？两个面、一个面有红色的各有几个？有没有六个面都没有红色的？如果有，有几个？

分析与解法

切开后三个面是红色的8个顶点处；两个面是红色的在每条棱的中间（两头各去掉1个）；一面是红色的在每个面的中间（上下和左右都各去掉1个）。六个面都没有红色的，在原来的长方体的正中，也就是把原来长方体涂色的面都去掉剩下的长方体。

解：切开后三面有红色的有8个；

两个面有红色的有[（5－2）+（3－2）＋（4－2）]×4＝24（个）

一个面有红色的有[（5－2）×（3－2）＋（5－2）×（4－2）＋（3－2）×（4－2）]×2＝22（个）

六个面都没有红色的有（5-2）×（3-2）×（4-2）=6（个）

说明：平时要多动手，多培养自己的动手能力和空间想象能力。

例6

在长为16厘米，宽为15厘米的长方体水箱中有10厘米深的水。现在往水箱里放一块石头完全沉入水中，这时水面上升了4厘米。如果把石头取出来又放入一个铁球（球浸没在水中，且水没有溢出），这时水深17厘米，正好是水箱的高度。求水箱的容积和铁球、石头的体积。

分析与解法

水上升4厘米的体积就是石头的体积。

17－10＝7（厘米），这7厘米高的水的体积就是铁球的体积，由这些已知条件，再根据长方体的体积公式就能分别求出它们的体积。

解：16×15×4＝960（立方厘米）

16×15×（17－10）＝1680（立方厘米）

16×15×17＝4080（立方厘米）

答：水箱的容积是4080立方厘米，铁球的体积是1680立方厘米，石头的体积是960立方厘米。

说明：仔细读题，注意“上升了”，“水深”等词语，很容易解题。

例7

一个棱长都是整数的长方体的表面积是110平方厘米，已知它的6个面中有2个相对面是正方形，它的体积是多少？

分析与解法

根据题意得知，这个长方体6个面中有两个面是正方形，假设它的长、宽相等。假设长和宽用字母a表示，高用h表示，根据等量关系式就能找到答案。

解：设长方体的长和宽都是a厘米，高是h厘米。由题意可知：

2a2+4ah=110

即a（a+2h）=55=5×11

因为a和h都是整数，所以a＝5，a＋2h＝11

所以a=5,h=3

长方体的体积是5×5×3＝75（立方厘米）

答：长方体的体积是75立方厘米。

说明: 当题目出现未知数时，列方程解方程是比较简便的方法。

例8

小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如图（1），从侧面看如图（2），那么他最多用了多少块木块？最少用了多少块木块？

（1）（2）

分析与解法

（1）最多用了25块正方体，第一层放3×4＝12块，第二层放3×3＝9块，第三层的4角各放一块共4块，总共用了12＋9＋4＝25块。

（2）在（1）的基础上不影响视图（1）、（2）的情况下逐步减少正方体，最少用9块。

我们用图来说明