机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算.

ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
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变换可定义为空间的一个运动。
已知一直角坐标系中的某点坐标，那么该点在另一直角坐标系中的
坐标可通过齐次坐标变换来求得。 变换可分为如下形式： 纯平移 纯旋转 平移与旋转的结合
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1.平移的齐次变换
空间某一点在直角坐标系中的平移,由 A(x, y, z)平移至A′(x′, y′, z′), 即
x ' x x y ' y y z ' z z
x' 1 y ' 0 z ' 0 1 0 0 0 x 1 0 y 0 1 z 0 0 1 x y z 1
0 1 0 0
0 x cos sin 0 y 1 z Rot( z, ) 0 0 1 0
0 sin 1 0 0 cos 0 0
0 0 0 1
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如图所示单操作手臂，并且手腕 也具有一个旋转自由度。已知手 部的起始位姿矩阵为G1.
若手臂绕Z0轴旋转90°，则手臂 到达G2；若手臂不动，仅手部绕 手腕Z1轴转90°，则手部到达 G3.写出手部坐标系G2、G3表达 式。
记为: a′=Rot(z, θ)a
旋转算子
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绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin Rot( z, ) 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：
0 1 0 cos Rot( x, ) 0 sin 0 0 0 sin cos 0 0 cos 0 0 Rot( y, ) 0 sin 1 0
2．旋转的齐次变换
点在空间直角坐标系中的旋转如图所示。A(x, y, z)绕Z轴旋 转θ角后至A’(x’, y’, z’),则A与A’之间的关系为 ：
x' x cos y sin y ' x sin y cos z' z
x' cos y ' sin z' 0 1 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 x y z 1
0 1 0 1 0 0 A' 0 0 1 0 0 0
1 1 1 1
0 3 3 1 0 1 0 1 1 0 0 2 A' ' 0 0 1 1 0 0 0 1
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a′=Trans(Δx, Δy, Δz)a
平移算子
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1 0 T rans (x, y, z ) 0 0
0 1 0 0
0 x 0 y 1 z 0 1
① 算子左乘: 表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。 ② 算子右乘: 表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。 ③ 该公式亦适用于坐标系的平移变换、 物体的平移变换, 如机 器人手部的平移变换。
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3．复合齐次变换
复合变换是由固 定参考坐标系或 当前运动坐标系 的一系列沿轴平 移和绕轴旋转变 换所组成的。任 何变换都可以分 解为按一定顺序 的一组平移和旋 转变换。
相对于固定坐标系
算子左乘
相对于动坐标系
算子右乘
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已知坐标系中点U的位置矢量 u 7 3 2 1，将此点绕Z轴 旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变换后 所得的点W。
T
W Rot(Y ,90)Rot( Z ,90)U
0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 7 3 0 0 1 0 2 0 1 1
机器人学基础
——齐次变换矩阵及其运算
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齐次变换矩阵及其运算
由于各种原因，变换矩 阵应写成方型形式，3*3 或4*4均可. 为保证所表示的矩阵为 方阵，如果在同一矩阵 中既表示姿态又表示位 置，那么可在矩阵中加 入比例因子使之成为4*4 矩阵。
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nx n F y nz 0
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平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例 中点U若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移变换 算子即可得到最后的列阵表达式。
E Trans(4,3,7) Rot( y,90) Rot( z,90)u
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A 齐次变换矩阵 BT 的数学意义：
（1）同一点在不同坐标系{B}和{A}中的变换； （2）描述坐标系{B}相对于坐标系{A}的位置和方位； （3）点的运动算子。
A B p A T p B
0 1 A BT 0 0
0 0 1 0
1 1 0 3 0 4 0 1
1 0 T rans (x, y, z ) 0 0
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例 动坐标系{A}相对于固定坐标系的X0、Y0、Z0轴作 (-1,2,2)平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动系) 的X、Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到{A’’}。已知A,写出坐标系 {A’}、 {A’’}
0 1 0 1 0 0 A 0 0 1 0 0 0