沪科版八年级数学下册教案

第1课时二次根式的概念

1．了解二次根式的概念；(重点)

2．理解二次根式有意义的条件；(重点)

3．理解a(a≥0)是一个非负数，并会应用a(a≥0)的非负性解决实际问题．(难点)

一、情境导入

1．小明准备了一张正方形的纸剪窗花，他算了一下，这张纸的面积是8平方厘米，那么它的边长是多少？

2．已知圆的面积是6π，你能求出该圆的半径吗？

大家在七年级已经学习过数的开方，现在让我们一起来解决这些问题吧！

二、合作探究

探究点一：二次根式的概念

【类型一】二次根式的识别

(2015·安顺期末)下列各式：①1

2；②2

x；③x2＋y2；④－5；⑤35，

其中二次根式的个数有( )

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：根据二次根式的概念可直接判断，只有①③满足题意．故选B.

方法总结：判断一个式子是否为二次根式，要看式子是否同时具备两个特征：①含有二次根号“”；②被开方数为非负数．两者缺一不可．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

【类型二】二次根式有意义的条件

代数式

x＋1

x－1有意义，则x的取值范围是( )

A．x≥－1且x≠1 B．x≠1

C．x≥1且x≠－1 D．x≥－1

解析：根据题意可知x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥－1且x≠1.故选A.

方法总结：(1)要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负数，而不是所含字母为非负数；(2)若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数；

(3)若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

探究点二：利用二次根式的非负性求值

【类型一】 利用被开方数的非负性求字母的值

(1)已知a ，b 满足2a ＋8＋|b －1|＝0，求2a －b 的值； (2)已知实数a ，b 满足a ＝b －2＋2－b ＋3，求a ，b 的值． 解析：根据二次根式的被开方数是非负数及绝对值的意义求值即可．

解：(1)由题意知⎩⎨⎧2a ＋8＝0，

b －1＝0，得2a ＝－8，b ＝1，则2a －b ＝－9；

(2)由题意知⎩

⎨⎧b －2≥0，

2－b ≥0，解得b ＝2.所以a ＝0＋0＋3＝3.

方法总结：①当几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0；②当题目中，同时出现

a 和－a 时(即二次根式下的被开方数互为相反数)，则可得a ＝0.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型二】 与二次根式有关的最值问题

当x ＝________时，3x ＋2＋3的值最小，最小值为________．

解析：由二次根式的非负性知3x ＋2≥0，∴当3x ＋2＝0即x ＝－2

3时，3x ＋2＋3

的值最小，此时最小值为3.故答案为－2

3

，3.

方法总结：对于二次根式a ≥0(a ≥0)，可知其有最小值0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计

本节课的内容是在我们已学过的平

方根、算术平方根知识的基础上，进一步引入二次根式的概念．教学过程中，应鼓励学生积极参与，并让学生探究和总结二次根式在实数范围内有意义的条件

第2课时二次根式的性质

1．理解和掌握(a)2＝a(a≥0)和a2＝|a|；(重点)

2．能正确运用二次根式的性质1和性质2进行化简和计算．(难点)

一、情境导入

如果正方形的面积是3，那么它的边长是多少？若边长是3，则面积是多少？

如果正方形的面积是a，那么它的边长是多少？若边长是a，则面积是多少？你会计算吗？

二、合作探究

探究点一：利用二次根式的性质进行计算

【类型一】利用(a)2＝a(a≥0)计算

计算：

(1)(0.3)2; (2)(－13)2；

(3)(23)2; (4)(2x－y)2.

解析：(1)可直接运用(a)2＝a(a≥0)计算，(2)(3)(4)在二次根号前有一个因数，先利用(ab)2＝a2b2，再利用(a)2＝a(a≥0)进行计算．

解：(1)(0.3)2＝0.3；

(2)(－13)2＝(－1)2×(13)2＝13；

(3)(23)2＝22×(3)2＝12；

(4)(2x－y)2＝22×(x－y)2＝4(x－y)＝4x－4y.

方法总结：形如(n m)2(m≥0)的二次根式的化简，可先利用(ab)2＝a2b2，化为n2·(m)2(m≥0)后再化简．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型二】利用a2＝|a|计算

计算： (1)22； (2)

（－2

3

）2； (3)－（－π）2.

解析：利用a 2＝|a |进行计算． 解：(1)22＝2； (2)

（－23）2＝|－23|＝23

；

(3)－（－π）2＝－|－π|＝－π.

方法总结：a 2＝|a |的实质是求a 2的算术平方根，其结果一定是非负数． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题

【类型三】 利用二次根式的性质化简求值

先化简，再求值：a ＋1＋2a ＋a 2，其中a ＝－2或3. 解析：先把二次根式化简，再代入求值，即可解答．

解：a ＋1＋2a ＋a 2＝a ＋（a ＋1）2＝a ＋|a ＋1|，当a ＝－2时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；当a ＝3时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.

方法总结：本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是先化简，再求值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题 探究点二：利用二次根式的性质进行化简 【类型一】 与数轴的综合

如图所示为a ，b 在数轴上的位置，化简2a 2－（a －b ）2＋（a ＋b ）2.

解析：由a ，b 在数轴上的位置确定a ＜0，a －b ＜0，a ＋b ＜0.再根据a 2＝|a |进行化简．

解：由数轴可知－2＜a ＜－1，0＜b ＜1，则a －b ＜0，a ＋b ＜0.原式＝2|a |－|a －b |＋|a ＋b |＝－2a ＋a －b －(a ＋b )＝－2a －2b .

方法总结：利用a 2＝|a |化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型二】 与三角形三边关系的综合

已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简（a ＋b ＋c ）2－（b ＋c －a ）2＋