指数函数复习教案

指数函数

一、考纲点击

1．了解指数函数模型的实际背景；

2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；

3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点； 4．知道指数函数是一类重要的函数模型。 二、热点、难点提示

1.指数幂的运算、指数函数的图象、单调性是高考考查的热点.

2.常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题,考查分类讨论思想和数形结合思想.

3.多以选择、填空题形式出现,但若以e 为底的指数函数与导数交汇命题则以解答题形式出现. 1．根式

（1）根式的概念

根式的概念

符号表示 备注

如果n

x a =,那么x 叫做a 的n 次方根

1n n N *>∈且

当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数 n

a

零的n 次方根是零

当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为相反数

(0)n a a ±>

负数没有偶次方根

（2）．两个重要公式

①(0)(0)n n n

a

n x a a a

a a n a a ⎧⎪=⇒=≥⎧⎨=⎨⎪-<⎩⎩

为奇数为偶数

；

②

)()n n

n a a a a =注意必须使有意义。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正整数指数幂:()n

n a a a

a n N *=∈个

;

②零指数幂:0

1(0)a a =≠; ③负整数指数幂:1(0,);p

p a

a p N a

-*

=

≠∈

④正分数指数幂

:(0,,1)m n m n

a

a a m n N n *=>∈>、且;

⑤负分数指数幂: 11

(0,,1)m n

m n

m

n

a

a m n N n a a

-

*=

=

>∈>、且

⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质

①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 y=a x

a>1

0

图象

定义域 R 值域 （0，+∞） 性质

（1）过定点（0，1）

（2）当x>0时，y>1; x<0时,0

(2) 当x>0时，01

(3)在（-∞，+∞）上是增函数

（3）在（-∞，+∞）上是减函数

思考：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

【热点难点全析】

一、幂的运算的一般规律及要求 1．相关链接

(1)分数指数幂与根式根据*(,,,)=∈m m n n

a

a a 0m n N n 1＞且＞可以相互转化.

(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将24

a 写成12

a 等必须认真考查a 的取值才能决定,如

()

()

,-=

-=22

4

4

111而()12

-=-11无意义.

(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.

(4)指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.

指数幂的化简与求值的原则及结果要求 （1）化简原则

①化根式为分数指数幂； ②化负指数幂为正指数幂； ③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序.

注：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质运算。 （2）结果要求

①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；

②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示； ③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂。 2．例题解析

〖例1〗（1）化简：533233

23

23

323

134

)2(248a

a a a a

b a

a

ab b b

a a ⋅⋅⨯

-÷++--

；

（2）计算：25

.021

21

32

5.032

0625.0])32.0()02.0()008.0()94

5()833[(÷⨯÷+---

分析：（1）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算。 （2）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求。

解：（1）原式=51

31212

13231312

3131312313

3133131)()

(2)

2()2()(]

)2()[(a a a a a

b a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷

+⋅+-

2

3

23

16

1653

13

13

13

13

1

2)2(a a a a a

a b

a a

b a a =⨯⨯=⨯

-⨯

-=；