计算量子化学习题答案

量子化学习题

1、求处于基态的一维箱中的粒子出现在0.250.75a x a ≤≤内的几率。a 是一维箱的长。

解：基态波函数为：1()x

x a

πψ=

几率：dx a x

a xdx a a p a a a a ⎰⎰-==75.025.075.025.0222cos

12sin 2ππ dx a

x a dx a a

a a a ⎰⎰-=75.025.075.025.02cos 1212π a

a

a x a a a a 75.025.02sin 21)25.075.0(2⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⨯--=ππ )2sin 23(sin 215.0π

ππ--=

π

1

5.0+=

818.0=

2、一电子在长为0.6 nm 的一维箱中运动，由能级n =5跃迁到n =4所发出的光子的波长是多少？

解：22

2

8e n h E m a

= 222

54222

25169888e e e h h h E m a m a m a -∆=-=

λ

νhc

h E ==∆-45

348

7342

54

31926.62610310 1.32010 m 132.0 nm 9(6.62610)89.11010(0.610)hc E λ------⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯∆⨯⨯⨯⨯ 3、证明如果ˆF

和ˆG 是线性算符，则a ˆF +b ˆG 和G F ˆˆ也是线性算符。式中a ，b 为常数。

证明：(1) 如果ˆF

和ˆG 是线性算符，则有： ˆˆ)(ˆ2121u F u F u u F +=+ （1） ˆˆ)(ˆ2

1

2

1

u F a u F a u u F

a +=+ （2） 2121ˆˆ)(ˆu G u G u u G +=+ （3） 2

量子化学期末考试试卷及参考答案

硕士研究生 2009 / 2010 学年第 1 学期期末考试卷

HOMO LUMO

各原子所带的电荷：

优化结构后的键长：Total atomic charges:

1 C

2 C

3 C

4 C

5 C

6 C

7 O

8 H

9 H

10 H

11 C

12 H

第 4 页，共 4 页

基础量子化学练习

2010基础量子化学练习（1）

一、判断正误

（）1、一个态函数总是等于时间的函数乘以坐标的函数。

（）2、态函数总是Hamiltonian 算符的本征函数。

（）3、 Hamiltonian 算符的本征函数的任意线性组合是Hamiltonian 算符

的本征函数。

（）4、如果态函数不是算符ˆA

的本征函数，则性质A 的一次测量可给出一个不是ˆA

的本征值的值。（）5、几率密度与时间无关。

（）6、如果两个算符具有共同的本征函数，那么这两个算符可对易。

（）7、算符ˆx 与d i dx

-可对易。（）8、氢原子Hamiltonian 算符的束缚态的本征函数构成完备集。

（）9、厄米算符的本征函数是正交的。

（）10、描述电子轨道运动的波函数必须是奇函数。

二、已知：2ˆˆˆ,A d dx B x ==，计算2ˆˆˆˆ,()A B A B ⎡⎤+⎣⎦

及三、已知：11223344

ˆˆˆˆ,,,,A a A b A a A d ϕϕϕϕϕϕϕϕ====如果任意状态可以表示为12343253,ψϕϕϕϕ=+++那么当我们对该状态进行测量时，获得a 和d

的几率各是多少？求任意状态? 的性质A 的平均值。

2010基础量子化学练习（2）

一、判断正误

（）11、算符ˆˆˆ,,A B C 满足ˆˆˆˆ,0,,0

A B A C ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦，则三个算符存在共同的本征函数集。

（）12、不能对易的算符不可能具有共同的本征函数。

（）13、当对本征态的性质A 进行测量时，能够得到的唯一仅有的值是算

量子习题-练习册答案

为0.544eV的激发态氢原子，其电子处在n=—5— 的轨道上运动。
解：
1 me 4
En n2 ( 8 02h2 ) 13.6eV
n=1,2,3, …
E1 13.6eV
13.6 EN 0.544eV n2 eV
n=5
5、氢原子由定态L跃迁到定态K可发射一个光子，
已知定态L的电离能为0.86eV.又知从基态使氢原子激发到定态K所需能量为10.8eV，则在上述跃迁中氢原子所发射的光子的能量为——1—.9—5——eV.
(1)(2,0,1,1/2)
(2) (2,1,0, －1/2)
(3)(2,1,1,1/2)
(4) (2,1, －1, －1/2)
（A）只有（1）（2）正确
（B）只有（2）（3）正确
（C）只有（2）（3）（4）正确
分析：n=1,2,3, …
ml=0,1,2, …, ±l
l=0,1,2, …,n－1
ms=±1/2
最大动能变化为___E_k__E_0_均__不___变____。
解答： h A E0 Ek E0 eUa
E0 h A
Ek h A eUa
10、用X射线照射物质时，可观察到康普顿效应，在偏离入射光的各个方向上可观察到散射光，散射光中包括_与__入__射__ 光波相同光波及波长变长的光波，且波长变化只与散射角有关，而与散射物质无关。

基础量子化学练习

2010基础量子化学练习（1）

一、判断正误

（）1、一个态函数总是等于时间的函数乘以坐标的函数。

ˆA 的d i dx 可对易。Hamiltonian （二、已知：2ˆˆˆ,A d dx B x ==，计算2ˆˆˆˆ,()A B A B ⎡⎤+⎣⎦

及三、已知：11223344

ˆˆˆˆ,,,,A a A b A a A d ϕϕϕϕϕϕϕϕ====如果任意状态可以表示为12343253,ψϕϕϕϕ=+++那么当我们对该状态进行测量时，获得a 和d 的几率各是多少？求任意状态? 的性质A 的平均值。

2010基础量子化学练习（2）

（）11、算符ˆˆˆ,,A B C 满足ˆˆˆˆ,0,,0

A B A C ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦，则三个算符存在共同的本征函数集。（）12、不能对易的算符不可能具有共同的本征函数。

（）13、当对本征态的性质A 进行测量时，能够得到的唯一仅有的值是算符ˆA 的本征值。

（1。（（（（（为，如果三个量子数分别为4、2、4，则能量的简并度是。

三、（1）证明：2ˆˆ,0z p p ⎡⎤=⎣⎦；（2）22ˆˆ,2y y p y

∂⎡⎤=⎣⎦∂是否正确？若不正确，给出正确结果。 2010基础量子化学练习（3）

（）20、一维势箱中，粒子位置的平均值为l /2，表示粒子在势箱中间出现的几率最大。

（）21、若体系受中心力作用，22ˆˆˆˆˆˆ,0,,0,0z z H L L L H L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⇒=⎣⎦⎣⎦⎣⎦

。（）22、对氢原子的某本征态(),m l Y θφ进行观测，可得到z p 的观测值为m ，而22ˆˆx y

应化所量子化学考试题库及其答案详解

Principles Of Quantum Chemistry——Kwong.S.T

名词解释

1.测不准关系：()()4

1M L 2

2

≥

∆⋅∆{∫ψ*

i[L ,M ]ψdx}22.酉矩阵：S +=S -1

3.厄米算符：算符L 满足∫u 1*(x)L u 2(x)dx=∫u 2(x)L *u 1*(x)dx,其中u 1(x)和u 2(x)是任意两个平方可积函数，积分遍于自变量全部区域。则称L 是厄米算符。

4.等价表示：矩阵群M 和M’所包含的每一个对应矩阵之间只差一个同样的相似变换，就说M’和M 是等价表示。

5.可约表示：如果一个矩阵表示可以表示成子矩阵的直和，那么这个矩阵表示是可约表示。

6.不可约表示特征标：不可约表示矩阵群的对角元素之和称为这个不可约表示的特征标。

7.投影算符：P R R h

l k j R

j j k

*∑Γ=

λλ)()

()

(，其中R 为群元素，*Γk j R λ)()(是第j 个不可约表示操作R 的第λ行第k 列的矩

阵元，l j 是第j 个不可约表示的维数，h 为群的阶。

8.轨道近似：认为各个电子的运动是彼此独立的，每个电子都在核与其它电子所形成的稳定的平均场中运动，从而每个电子的状态可以用一个单电子波函数来描写。

9.定域分子轨道：认为成键电子只是集中在相邻两原子间的键轴区域内。10.正则分子轨道：由HFR 方程解出的分子轨道。

11.Slater 行列式：描述多电子体系满足保里原理的波函数。

12.ab initio ：严格的按HFR 方程进行计算称为从头计算。

13.NDO ：假设原子轨道在空间任何地方都不重叠。

量子化学试题及答案

6-31G*=6-31G(d)

6：代表每个内层轨道由六个高斯型基函数拟合而成；

价层轨道劈裂成两个Salter型基函数，内层轨道不发生劈裂，其中一个Salter型基函数由一个Gauss型基函数拟合而成，另一个Salter型基函数由一个Gauss型基函数拟合而成；

d：表示要对出氢以外的原子都要加d轨道

Salter型基函数：2*4+（1+2+2*3+6）*2=38

Gauss型基函数：4*4+（6+4+4*3+1*6）*2=72

2、解：

第一种方法：

C

H,1, 1.08290068

H,1, 1.08290068,2, 109.47122063

H,1, 1.08290068,2, 109.47122063,3,120.0,0

H,1, 1.08290068,2, 109.47122063,3,-120.0,0

第二种方法：

C

H 1 B1

H 1 B2 2 A1

H 1 B3 2 A2 3 D1 0

H 1 B4 2 A3 3 D2 0

B1 1.08290068

B2 1.08290068

B3 1.08290068

B4 1.08290068

A1 109.47122063

A2 109.47122063

A3 109.47122063

D1 120.00000000

D2 -120.00000000

3、解：

在分子势能面上有五类极值点，分别如下：整体极小点、局部极小点、整体极大点、局部极大点及鞍点。

整体极小点：整个势能面上的最低点，代表了能量最低也就是最稳定的结构；

局部极小点：势能面某个区域内的最低点，代表了局部区域内能量最低的点；

量子化学习题及答案

②原子 A 的 Py 原子轨道与原子 B 的任意原子轨道都无法形成分子轨道。 ③原子 A 的 Pz 原子轨道与原子 B 的 dyz 原子轨道形成型分子轨道(如图 4)。
4.写出任意一个原子的能量算符。写出 Na+和 F-的薛定谔方程算符表达式。
ˆ H 原子的能量算符： H
Na+的薛定谔方程

H 2 O定核近似下的薛定谔方程表达式为：
10 10 10 10 10 ˆ 1 2 1 1 8 1 8 8 1 H i 2 i1 Ra1 Ra2 Ra3 i 1 rH1i i 1 rH2i i 1 rO i 1 i j rij i
h2 8 2

2
e2 4 0 r
2 2 2 10 10 10 ˆ h 2 11e e H i 8 2 m i 1 i 1 4 0 ri i 1 i j 4 0 rij
ˆ E H
10 h 2 10 2 10 9e 2 e2 ˆ H i 8 2 m i1 i 1 40 ri i 1 i j 4 0 rij
e10 ei i H eff i 由平均值公式 ei ，可得矩阵： i i 12 ei S12
c 2i e10 ei 由矩阵②可推导出： c1i 12 ei S12
组合成各种类型的分子轨道，它们有着一定的能级顺序。分子中的所有电子就要遵循某种规律占据分子轨道。LCAO-MO 是人们讨论分子结构的一种近似的理论方法，这种方法近似地给出了分子中电子可能具有的各种状态，有了电子填充规则，则分子中全部电子的运动形象就被近似地描绘出来。 14. 变分原理的含义？何为线性变分法？

结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

.

精品

量子力学基础习题

一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）

1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。

1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值

_______________。

1103、在电子衍射实验中，│ψ│2

对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。

1105、一组正交、归一的波函数ψ

1， ψ2， ψ3，…。正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。 1106、│ψ (x 1， y 1， z 1， x 2， y 2， z 2

)│2

代表______________________。 1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。

1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动，

(1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ；

(2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ；

(3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ；

(4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ；

(5)若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动，则其本征函数集为

量子化学习题解(仅供参考)

2 2 2
2
(5) ax+b (6) sinx (7)sinx+cosx 2 2 e 是 d/dx 与 d /dx 的本征函数
ax
2 2 2
d 2 (e ax ) dx 2 d (2axeax ) dx 2aeax 4a 2 x 2 eax
不是
(3) d(x)/dx=1 不是 d2(x)/dx2=0 是 (4) d(x2)/dx=2x 不是 d2(x2)/dx2=2 不是 (5) d(ax+b)/dx=a 不是 d2(ax+b)/dx2=0 是 (6) dsin(x)/dx=cos(x) 不是 (1) d/dx d /dx
x
ˆ , x] ˆ, p ˆ x ] 与 [H 时的对易子 [ H ˆ 定义为 Lf ˆ ( x) e px f ( x)dx 1.10 拉普拉斯变换算符L
0
ˆ 是否是线性算符，(2)计算L ˆ (1)；计算Le ˆ ax，假定 p>a (1) L ˆ h 为T ˆ hf(x)= f(x+h)， 1.11 定义平移算符T
量子化学习题解(仅供参考)
第一章量子力学基础 1.1 如果 g= Âf 对每一组 Â 与 f 求 g。 (1) Â=d/dx, f=cos(x2+1)； (2) Â=5, f=sinx； (3) Â=( )2, f=sinx； (4) Â=exp , f=lnx； (5) Â=d2/dx2, f=ln3x； (6) Â=d2/dx2+3xd/dx, f=4x3；

结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

量子力学基础习题

一、填空题在题中的空格处填上正确答案

1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________;

1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值

_______________;

1103、在电子衍射实验中,│ψ│2对一个电子来说,代表___________________;

1104、测不准关系是_____________________,它说明了_____________________;

1105、一组正交、归一的波函数ψ1, ψ2, ψ3,…;正交性的数学表达式为 ,

归一性的表达式为 ;

1106、│ψ x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2│2代表______________________;

1107、物理量xp y - yp x 的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____;

1108、质量为 m 的一个粒子在长为l 的一维势箱中运动,

1体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ；

2体系的本征值谱为____________________, 最低能量为____________ ；

3体系处于基态时, 粒子出现在0 ─ l /2间的概率为_______________ ；

4势箱越长, 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ；

5若该粒子在长l 、宽为2l 的长方形势箱中运动, 则其本征函数集为____________,本征值谱为 _______________________________;

量子化学习题及参考答案

量子化学习题集及答案

1、（1）求一维势箱中运动粒子的波函数。

（2）当势箱长度为10nm 时，度求粒子在以下区域出现的概率。

4.95

5.05

3l

l 解：2

2

ˆ2d H

m dx =-

由schrodinger 方程可得：

22

2122

122

2

1212

2

122

2

22

2

20(cos sin )222sin

0220sin 000222sin

08ax

d mE

dx

C bx C bx

mE

r i mE

mE

C x C x x l mE

mE

C C C mE

mE

C l C l l n n h E ml ψψψψψπ

+=+=∴=+=+==+===其通解为=e (1)

又

或时,=0

即: 得

得解得:

将其2*222220002

22sin sin()sin()sin ()12l l l n C x

l

n n n dx C x C x dx C x dx l l l

C C l n x l

π

ψπππψψπψ====∴=⇒=

∴=

⎰⎰⎰代入方程(1)则有:

将其正交归一: （2）

5.05 5.05

24.95 4.95 4.955.05 5.054.95 4.954.95 5.05

1021cos()222)sin()sin ()2

12122(cos())[(5.05 4.95)(sin( 5.05)sin( 4.95))]

2x l nm

n x n n n l x x dx x dx dx

l l l l l l n l n n dx x dx l l l n l l

π

πππρπππ

π<<=-===-=---⎰⎰⎰⎰⎰即:=得: 0.0121

量子化学课程习题及标准答案

量子化学习题及标准答案

Chapter 01

1. A certain one-particle, one-dimensional system has

/2bmx ibt e ae --=ψ, where a and b are constants and m is the particle ’s mass. Find the potential-energy function V for this system. (Hint : Use the time-dependent Schrodinger equation.)

Solution ：As ψ(x,t) is known, we can derive the corresponding derivatives.

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ψ+ψ-=∂ψ∂ψ-=∂ψ∂⇒=ψ--222222/42),(),(),(2 x m b bm x

t x ib t t x e ae t x bmx ibt

According to time-dependent Schroedinger equation,

substituting into the derivatives, we get

2

22),(mx b t x V =

2. At a certain instant of time, a one-particle, one-dimensional system has b

x xe b /||2/13)/2(-=ψ, where b = 3.000 nm. If a measurement of x is made at this time in the system, find the probability that the result (a) lies between 0.9000 nm and 0.9001 nm (treat this interval as infinitesimal); (b) lies between 0 and 2 nm (use the table of integrals, if necessary). (c) For what value of x is the probability density a minimum? (There is no need to use calculus to answer this.) (d) Verify that ψ is normalized.

量子化学习题及答案

1.1998及2013年度诺贝尔化学奖分别授予了量子化学以及分子模拟领域的杰出贡献者，谈谈你的了解及认识。

答：1998年诺贝尔化学奖得主：瓦尔特·科恩和约翰·波普尔。1964-1965年瓦尔特·科恩提出：一个量子力学体系的能量仅由其电子密度所决定，这个量比薛定谔方程中复杂的波函数更容易处理得多。他同时还提供一种方法来建立方程，从其解可以得到体系的电子密度和能量，这种方法称为密度泛函理论，已经在化学中得到广泛应用，因为方法简单，可以应用于较大的分子。沃尔特·库恩的密度泛函理论对化学作出了巨大的贡献。约翰·波普尔发展了化学中的计算方法，这些方法是基于对薛定谔方程中的波函数作不同的描述。他创建了一个理论模型化学，其中用一系列越来越精确的近似值，系统地促进量子化学方程的正确解析，从而可以控制计算的精度，这些技术是通过高斯计算机程序向研究人员提供的。今天这个程序在所有化学领域中都用来作量子化学的计算。

2013年诺贝尔化学奖得主：马丁·卡普拉斯、迈克尔·莱维特、阿里耶·瓦谢勒。他们为复杂化学系统创立了多尺度模型。为研发了解和预测化学过程的强有力的计算机程序奠定了基础。对于今天的化学家来说，计算机就像试管一样重要。模拟过程是如此的真实以至于传统实验的结果也能被计算机预测出来。多尺度复杂化学系统模型的出现无疑翻开了化学史的“新篇章”。化学反应发生的速度堪比光速。刹那间，电子就从一个原子核跳到另一个原子核，以前，对化学反应的每个步骤进行追踪几乎是不可能完成的任务。而在由这三位科学家研发出的多尺度模型的辅助下，化学家们让计算机做“做帮手”来揭示化学过程。20世纪70年代，这三位科学家设计出这种多尺度模型，让传统的化学实验走上了信息化的快车道。

量子化学习题集

n az z e dz
n ! at a 2t 2 a nt n e 1 at ... a n 1 2! n!
(2) x, x2, 3x21; (3) sinx, cosx;
(4) sinxBaidu Nhomakorabea cosx, tanx;
(5)
sin2x, cos2x, 1;
(6) sinx, cosx, eix (7) sin2x, cos2y, 1
2.2 三维势箱中一粒子的波函数是下列那些算符的本征函数？
ˆ x (2)p ˆx (1) p
判断下列函数那些是偶函数，那些是奇函数？
(1) sinx (2) cosx (3) tanx
(4) ex
(5) 12
(6)22x
2.6 对谐振子 v=1 的态，求粒子最可能的位置 2.7 对氢原子的基态，求(1) r 的平均值；(2) r 的最可几值；(3)求 2p 态的r 2.8 证明对于定态，T+V=E 2.9 计算氢原子基态的T，V 2.10 已知,力学量 A 的不确定度为A， A
ˆ Ĉ]]+ [B, ˆ [Ĉ, Â]]+ [Ĉ, [Â, B]]=0 ˆ (4) [Â, [B,
2 ˆ p ˆx 1.9 H 分别计算(1)当 V(x)=V(常数)， (2)当 V(x)=kx2/2， (3)当 V(x) 2m V ( x ) ，

量子化学复习题

Chapter1

Chapter3/4

求矩阵的本征值及其近似值

例2.在F 表象中Q 算符为，求Q 的本征值和正交归一的本征函数。

F

*

ψF

⎦

⎤

⎢⎣⎡-=33i i Q

解：由得

即

又C1,C2均不为0，则有解得入1=4，入2=2

当入1=4时，解得

此时

当入2=2时，解得此时

例3. 一个正交基构成了如下的哈密顿算符矩阵

⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=c c c H 000000200030001 c 为常数

1）求H 2） 3）比较（1）和（2解：（1）因为 023120

030=----=---λλ

λλ

λc c

c c c

)3)(1[(---λλ212c +±

(2)修正到二级近似

<+=||''W E E E 21211c E -

= 222

1

3c E += 23-=c E （3）)211(21222

c c +±=+±2213c +=和)2

1

1(2c - 比较结果即可知。

Chapter4 会写slater 行列式

λψψ=Q 211=C i C 2

12=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡

=ψ221)(i x 21

1=C 2

2i

C -=⎥

⎥

⎤⎢⎢⎡=ψ21)(x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2100212133C C C C C C i i λλλ033=---λ

λi i

C H λ=ˆ

He 基态原子的组态1S 2，其波函数为

会算简单的行列式（二阶He 、三阶Li ） He 1S 2

Li 1S 22S 1 和

什么是变分原理？

答:给定一个体系的哈密顿算符，如果是任意一个合格条件下的函数，则有 E 0 （E 0为基态能量，未归一化）