高二上学期数学检测题(推荐)

合集下载

福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期第一次阶段性质量检测数学试卷

福建省部分优质高中2024-2025学年高二上学期第一次阶段性质量检测数学试卷一、单选题1．已知2b a c =+，则直线0ax by c ++=恒过定点（） A ．(1,2)- B ．(1,2) C ．(1,2)-D ．(1,2)--2．已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（） A ．(][),11,-∞-+∞U B ．[]1, 1-C ．[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．下列命题中正确的是（）A ．点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1--B ．若直线l 的方向向量为()1,1,2e =-r ，平面α的法向量为()6,4,1m =-r，则l α⊥C ．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120o ，则直线l 与平面α所成的角为30oD ．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r ，则12m =-4．已知{},,a b c r r r为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）A ．a b +r r ，c b +r r ，a c -r rB ．2a b +r r，b r ，a c -r r C ．2a b +r r，2c b +r r ，a b c ++r r rD ．a b +r r ，a b c ++r r r ，c r5．过点()1,4A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（） A ．30x y -+=B ．50x y +-=C ．40x y -=或50x y +-=D ．40x y -=或30x y -+=6．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，侧面11A ADD 是正方形，且1120A AB ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB =，若P 是1C D 与1CD 的交点，则异面直线AP 与DC 的夹角的余弦值为（）A B C D 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（）A B C D 8．平面几何中有定理：已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ，且AC BD ⊥，过点E 分别作边AB ，BC ，CD ，DA 的垂线，垂足分别为1P ，2P ，3P ，4P ，则1P ，2P ，3P ，4P 在同一个圆上，记该圆为圆F .若在此定理中，直线AB ，BC ，AC 的方程分别为0x y -=，20x y +=，2x =，点()43,1P ，则圆F 的方程为（）A ．()221252416x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭B ．()22113239x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C ．()221412416x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ D ．()22125239x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭二、多选题9．已知向量()1,1,0a =-r ，()1,0,1b =-r ，()2,3,1c =-r，则（） A ．6a b -=rr B ．()()37a b b c +⋅+=r r rrC ．()4a b c +⊥r r rD ．()a b c -r rr ∥10．给出下列命题正确的是（）A ．直线l 的方向向量为()3,1,2a =-r，平面α的法向量为12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，则l 与α平行B ．直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-C ．已知直线()2210a x ay ++-=与直线320ax y -+=垂直，则实数a 的值是43-D ．已知,,A B C 三点不共线，对于空间任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则,,,P A B C 四点共面11．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，AB ，AD ，1AA 两两所成夹角均为60o ，点E ，F 分别在棱1BB ，1DD 上，且12BE B E =，12D F DF =，则（）A ．A ，E ，1C ，F 四点共面B ．1AA u u u r 在1AC uuu r 方向上的投影向量为113AC u u u urC ．EF u u u rD ．直线1AC 与EF三、填空题12．1:30l x y -+=，与直线2:220l x my +-=平行，则直线1l 与2l 的距离为.13．已知{},,a b c r r r是空间向量的一个基底，{},,a b a b c +-r r r r r 是空间向量的另一个基底，若向量p r 在基底{},,a b c r r r 下的坐标为()4,2,3，则向量p r在基底{},,a b a b c +-r r r r r 下的坐标为．14．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设()11,A x y ，()22,B x y ，则A ，B 两点间的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-．已知()4,6M ，点N 在圆22:640C x y x y +++=上运动，若点P 满足(),2d M P =，则PN 的最大值为．四、解答题15．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为矩形，且12,,AA AB AD E F ==分别为111,C D DD 的中点.(1)证明：//AF 平面1A EB .(2)求平面11A B B 与平面1A BE 夹角的余弦值.16．已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =. (1)求直线BC 的方程和点C 的坐标； (2)求ABC V 的面积．17．设直线1:230l x y -+=和直线2:30l x y ++=的交点为P .(1)若直线l 经过点P ，且与直线250x y ++=垂直，求直线l 的方程； (2)若直线m 与直线250x y ++=关于点P 对称，求直线m 的方程. 18．在空间几何体ABC DEF -中，四边形,ABED ADFC 均为直角梯形，π2FCA CAD DAB ABE ∠=∠=∠=∠=，4,5,6AB AC CF AD BE =====．(1)如图1，若π2CAB ∠=，求直线FD 与平面BEF 所成角的正弦值； (2)如图2，设π02CAB θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭（ⅰ）求证：平面BEF ⊥平面DEF ；（ⅱ）若二面角E BF D --cos θ的值．19．已知圆C 经过坐标原点O 和点()2,2G -，且圆心C 在直线20x y +-=上．（1）求圆C 的方程；（2）设PA PB 、是圆C 的两条切线，其中,A B 为切点． ①若点P 在直线20x y --=上运动，求证：直线AB 经过定点； ②若点P 在曲线214y x =（其中4x >）上运动，记直线PA PB 、与x 轴的交点分别为 M N 、，求PMN V 面积的最小值．。

山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)

2024~2025学年高二10月质量检测卷数学（A 卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章～第二章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（）A. B. C. D.3.在长方体中，为棱的中点.若，，，则（）A. B. C. D.4.两平行直线，之间的距离为（）B.3D.5.曲线轴围成区域的面积为（）l (A (B l 6π3π23π56πC 2242110x y x y ++--=C ()2,1-()2,1-()4,2-()4,2-1111ABCD A B C D -M 1CC AB a = AD b =1AA c = AM =111222a b c -+ 111222a b c ++12a b c-+12a b c++ 1:20l x y --=2:240l x y -+=y =xA. B. C. D.6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（）A. B.D.37.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8.在正三棱柱中，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（）A.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

重庆市西南大学附中2023-2024学年高二上学期10月阶段性检测数学试题(含答案)

西南大学附中 3- 4学年高二上阶段性检测（一）数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）2023年10月注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在以下调查中，适合用全面调查的个数是（）①调查一个班级学生的吃早餐情况 ②调查某种饮料质量合格情况 ③调查某批飞行员的身体健康指标 ④调查某个水库中草鱼的所占比例 A ．1B ．2C ．3D ．42．样本中共有5个个体，其值分别为12345x x x x x ，，，，．若该样本的平均数为3，则131x +，234531313131x x x x ++++，，，的平均数为（）A ．1B ．3C ．9D ．103．围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流．在用户出行旅游决策中，某机构调查了某地区1000户偏爱酒店的用户与1000户偏爱民宿的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台，得到如下统计图，则下列说法中不正确的是（）A ．偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高B ．在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等C ．在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高D ．小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中的占比不相等4．现代足球的前身起源于中国古代山东淄州（今淄博市）的球类游戏“蹴鞠”，后经阿拉伯人由中国传至欧洲，逐渐演变发展为现代足球．周末，高二年级甲、乙两位同学出于对足球的热爱，去体育场练习点球．在同一罚球点，两人各自踢了10个球，甲进了9个球，乙进了8个球，以频率估计各自进球的概率．记事件A ：甲踢进球；事件B ：乙踢进球．甲、乙两人是否进球互不影响，则接下来一次点球中，()P A B =（）A ．45B ．910C ．1825D ．49505．过点A （1，−2）且与直线:2630l x y −−=平行的直线方程是（）A ．370x y −−=B ．350x y −+=C ．310x y +−=D ．350x y −−=6．抛掷一个骰子，将得到的点数记为a ，则a ，4，5能够构成锐角三角形的概率是（）A ．16 B ．13C ．12D ．237．某学校对高中年级的手机情况进行分层抽样调查，该校高一、高二、高三年级学生各有700人、600人、700人．其中高一年级平均每人拥有1.1个手机，方差为0.5；高二年级平均每人拥有1个手机，方差为0.4；高三年级平均每人拥有0.9个手机，方差为0.4，试估计高中年级带手机状况的方差为（） A ．0.433B ．0.435C ．0.442D ．0.4518． “缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲、乙、丙、丁、戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（）种不同的出场顺序． A ．72B ．78C ．96D ．120二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A =“两人都中奖”；B =“两人都没中奖”；C =“恰有一人中奖”；D =“至少一人没中奖”；下列关系正确的是（） A ．BC D =B ．AC ≠∅ C ．CD ⊆ D ．B D B =10．小张、小陈为了了解自己的数学学习情况，他们对去年一年的数学测试情况进行了统计分析．其中小张每次测试的平均成绩是135分，全年测试成绩的标准差为6.3；小陈每次测试的平均成绩是130分，全年测试成绩的标准差为3.5．下列说法正确的是（） A ．小张数学测试的最高成绩一定比小陈高 B ．小张测试表现时而好，时而糟糕 C ．小陈比小张的测试发挥水平更稳定D ．平均来说小陈比小张数学成绩更好11．下列说法错误有（）A ．“1a =−”是“210a x y −+=与直线20x ay −−=互相垂直”的充要条件B ．过（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的直线的方程为112121y y x x y y x x −−=−− C ．直线22cos sin 10x y αα+−=恒过定点（1，1）D ．经过点（1，2）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为30x y +−=12．甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为1、2、3的三个号签；乙袋有编号为1、2、3、4、5、6的六个号签. 现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件A ：从甲袋中抽取号签1；事件B ：从乙袋中抽取号签6；事件C ：抽取的两个号签和为3；事件D ：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是（） A ．1()18P AB =B ．1()9P C =C ．事件A 与事件C 相互独立D ．事件A 与事件D 相互独立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．数据2，4，5，8，a ，10，11的平均数是7，则这组数据的第60百分位数为__________． 14．若A ，B 两个事件相互独立，且1()3P AB =，则()P A B = ．15．已知两点A （−1，1），B （3，−2），过点P （2，−1）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l （不考虑斜率不存在的情况）的斜率k 的取值范围是__________．16．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3∶1取得胜利的概率为__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (10分) 钛合金具有较高的抗拉强度，为了了解某厂家钛合金的抗拉强度情况，随机抽取了10件钛合金产品进行抗拉强度（单位：MPa ）测试，统计数据如下：910 905 900 896 907 912 915 893 903 899(1) 求这10件产品的平均抗拉强度x 和标准差s ；(2) 该10件产品的抗拉强度位于x s −和x s +之间所占的百分比是多少？18． (12分) 已知平面内两点P （−1，−3），Q （3，3）．(1) 求PQ 的垂直平分线所在直线的直线方程；(2) 过点Q 作直线l ，分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，当||||OA OB +取得最小值时，求直线l 的方程．19． (12分) 某中学为研究本校高二学生学完“概率与统计”之后的情况，进行了一次测验，随机抽取了100位同学的测试成绩作为样本，得到以[8090)，，[90100)，，[100110)，，[110120)，，[120130)，，[130140)，，[140150]，分组的样本频率分布直方图如图．(1) 求直方图中x 的值；(2) 请估计本次该年级学生数学成绩的中位数和平均数；（计算结果精确到0.1） (3) 样本内数学分数在[130140)，，[140150]，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在[130140)，中的概率．20． (12分）已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin()cos A B C B A C +=−=，． (1) 求sin A ；(2) 若3b =，求AC 边上的高．数学分数21． (12分) 多项选择题是高考的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．现高二某同学正在进行第一次月考，做到多项选择题的11题和12题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是12，选择两个选项的概率是13，选择三个选项的概率是16．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第11题正确答案是两个选项，第12题正确答案是三个选项．(1) 求该同学11题得5分的概率；(2) 求该同学两个题总共得分不小于7分的概率．22． (12分) 如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1111386B A B C AA AB BC AB BC ====⊥，，，，，D 为AC 中点，15tan 12BB D ∠=． (1) 求证：1BC B D ⊥；(2) 线段11B C 上是否存在一点E ，使得AE 与面11BCC B 的夹角．A参考答案一、选择题1—4BDCD 5—8ACCB 9.ACD 10.BC11.ABD12.ABD二、填空题13.914.2315.2(,1][,)3-∞--+∞ 16.0.17417.（1）91090590089690791291589390389990410x +++++++++==22222222222(910904)(905904)(900904)(896904)(907904)(912904)(915904)(893904)(903904)(899904)45.810s -+-+-+-+-+-+-+-+-+-==∴s =（2）∵67<<∴897898x s <-<，910911x s <+<∴610010⨯％=60％18.（1）∵(1,3),(3,3)P Q --∴PQ 中点3(1,0),2PQ M k =∴23k =-直线222:(1)333l y x x =--=-+（2）设(,0),(0,)A a B b 其中（,0a b >）则直线:1x yl a b+=∵Q 在直线上∴331a b+=∴3333()(612b a a b a b a b a b+=++=++≥当且仅当6a b ==时，等号成立此时，:6l y x =-+19.（1）(0.0120.0220.0280.0180.0080.002)101x ++++++⨯=解得0.01x =（2）中位数0.1610010105.70.28=+⨯=0.12850.22950.281050.181150.11250.081350.02145107.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）[130,140)：1000.088⨯=（人）；[140,150]:1000.022⨯=（人）∴在[130,140)中抽取4人，[140,150]中抽取1人总共有10种情况，A:恰有一人成绩在[130,140)中：4种∴42()105P A ==20.（1）∵2,A B C A B C π+=++=∴3C π=sin()cos cos()B AC A B -==-+sin cos cos sin cos cos sin sin B A B A A B A B-=-+化简得(cos sin )(cos sin )0B B A A +-=∴344B A ππ==（舍）或∴2sin 2A =（2）212362sin sin()sin cos cos sin 22224B A C A C A C =+=+=⨯+⨯=由正弦定理sin sin b c B C =，可得92362c -=∴92362933sin 222c A --=⨯=21.解：（1）根据题意，11题得5分需满足选两个选项且选对，选两个选项共有6种情况,,,,,AB AC AD BC BD CD .所以1113618P =⨯=…………………………………………………………………………………….5分（2）总得分不低于7分共3种情况，它们分别是：第11题得5分且第12题得2分；第11题得2分且第12题得5分；第11题得5分且第12题得5分,记事件1A ：11题得2分；事件2A ：11题得5分；事件1B ：12题得2分；事件2B ：12题得5分则1121()244P A =⨯=；21()18P A =1131113()=243224P B =⨯+⨯；2111()6424P B =⨯=………………………………..9分12212237()()()864P P A B P A B P A B =++=……………………………………………….12分22.（1）证明：连接BD ∵8,6,AB BC AB BC ==⊥∴10AC =∵D 为AC 中点∴5BD =∵15tan 12BB D ∠=，∴2221111112cos 213B D BB BD BB D B D BB +-∠==⋅∴112B D =∵22211B D BD BB +=∴1B D BD ⊥……………………………………….2分∵11B A BC =且D 为AC 中点∴1B D AC ⊥………………………………………3分∵11B D ACB D BD AC BD D ⊥⎧⎪⊥⎨⎪=⎩∴1B D ABC ⊥面…………………………………4分∵BC ABC⊂面∴1BC B D ⊥……………………………………….5分（2）如图，以D 为原点，CB 为x 轴正向，AB 为y 轴正向，1DB为z 轴正向建立如图所示的空间直角坐标系.(3,4,0),(3,4,0),(3,4,0),(0,0,12),(6,0,12)A B C B C ---，(6,0,0),(3,4,12)BC BB =-=--令111B E B C λ=，则(6,0,12)E λ-，(63,4,12)AE λ=-- ………………………………..…………….7分令面11BCC B 的法向量为n10n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴(0,3,1)n = ……………………………………………………………………..10分||1274sin cos 185||||n AE n AE θα⋅===⋅解得13λ=所以E 是靠近1B 的三等分点……………………………………………………………………….12分。

四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案

高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。

福建省宁德第一中学2023-2024学年高二上学期开学检测数学试题(解析版)

宁德一中2023-2024学年度第一学期期初高二阶段检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和2n n S c q =+⋅，*n ∈N ，且314S =，则4a =（） A. 48 B. 32 C. 16 D. 8【答案】C 【解析】【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n −= = −≥ ，作差求出c ，再根据314S =，求出q ，即可得到通项公式，再代入计算可得；【详解】解：因为公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和2nn S c q =+⋅①，当1n =时112a S c q ==+⋅，当2n ≥时112n n S c q−−=+⋅②，①−②得()112222n nn n a q q q q −−−==⋅⋅⋅−，所以222q c q −=+，则2c =−，又314S =，所以334221S q =−+⋅=，解得2q ，所以2n n a =，则44162a ==；故选：C2. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知342a a =，则一定成立的是（） A. 25a a > B. 1n n a a +<C. 90S =D. 数列{}n S 有最大项【答案】C 【解析】【分析】设等差数列的公差为d ，由342a a =，得14a d =−，然后根据等差数列的通项公式和求和公式逐个分析判断即可【详解】设等差数列的公差为d ，由342a a =，得1122(3)a d a d ++，化简得14a d =−，对于A ，213a a d d =+=−，5140a a d =+=，当0d >时，25a a <，所以A 错误，对于B ，1n n a a d +−=，当0d <时，1n n a a +<，所以B 错误，对于C ，因为14a d =−，所以199519()99(4)02a a S a a d +===+=，所以C 正确，对于D ，因为14a d =−，所以221(1)11114422222n n n S na d dn dn dn dn d d n −=+=−+−=−+，当0d >时，n S 无最大值，所以此时数列{}n S 无最大项，所以D 错误，故选：C3. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第六层球的个数为（）A. 15B. 18C. 20D. 21【答案】D 【解析】n 项求和公式计算得出结果. 【详解】根据题意，设各层球的个数构成数列{}n a ，由题意可知，1211,212,a a a ==+=+3213123,,123n n a a a a n n −=+=++=+=++++ ，则有()()1122n n n n n a +×+==，故第六层球的个数667212a ×==，故选：D.4. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1310a a +=，5758a a +=，则该数列的公比为（）A. 2B. 1C.12D.14【答案】C 【解析】【分析】由等比数列的定义和性质知34571a a q a a +=+，结合0q >可得.【详解】设数列{}n a 公比q ，因数列{}n a 各项均为正数，故0q >，则()()464244571111135108a a a q a q q a a q q a a q +=+=+=+==，得4116q =解得12q =或12q =−（负值舍去）．故选：C ．5. 已知{}n a 为递增的等比数列，且满足34a =，151158a a +=，则7a =（） A.12B. 1C. 16D. 32【答案】C 【解析】【分析】首先化简等式，并结合等比数列的性质求得15,a a ，再根据等比数列的基本量求7a . 【详解】由题意，2151531515516108a a a a a a a a a +===+=，，∴，联立15151610a a a a =+= ，则1528a a = = 或1582a a = = 因为{}n a 是递增的数列，得1528a a ==，，设等比数列{}n a 的公比为q ，则4514a qa == 47316a a q ∴==.故选：C.6. 已知数列{}n a 为各项为正数的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则数列{}n a （） A. 单调递增 B. 单调递减C. 先递增后递减D. 是常数列【答案】D 【解析】为【分析】根据等差数列、等比数列的性质计算基本量即可得通项公式；【详解】设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，因为1a ，3a ，2a 成等差数列，，则3122a a a =+，即21112a q a a q =+，因为10a ≠，所以可得2210q q −−=，数列{}n a 为各项为正数，解得1q =或12q =−（舍），可得1n a a =为常数列. 故选：D.7. 设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（） A. 63 B. 45C. 43D. 27【答案】B 【解析】【分析】由36396,,S S S S S −−成等差数列即可求解.【详解】解：由等差数列性质知36396,,S S S S S −−成等差数列，即969,27,S S −成等差数列，96227945S S −=×−=. ∴78996=45a a a S S ++=−. 故选:B ．8. 首项为20−的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（） A. 209d >B. 52d ≤C.20592d <≤ D.20592d ≤< 【答案】C 【解析】【分析】由题意可得9100a a ≤ > ，从而求出公差d 的取值范围. 【详解】因为首项为20−的等差数列，从第10项起开始为正数，所以91000a a ≤ > ，即20802090d d −+≤ −+> ，解得20592d <≤，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．的9. 已知数列{}n a ，{}n b 均为等比数列，则下列结论中一定正确的有（） A. 数列{}n n a b 是等比数列B. 数列{}n n a b +是等比数列C. 数列lg n n b a是等差数列D. 数列(){}22lg n a b n是等差数列【答案】ACD 【解析】【分析】根据等比数列和等差数列的定义或通项公式判断．【详解】设数列{}n a 的公比为1q ，数列{}n b 的公比为2q ，所以111n n a a q −=，112n n b b q −=.对于A ，()11111121112n n n n n a b a b q q a b q q −−−==，从而数列{}n n a b 的公比为12q q ，故A 正确.对于B ，111112n n n na b a q b q −−+=+，1q 与2q 不一定相等，所以数列{}n n a b +不是等比数列，故B 错误.对于C ，1121211111lg lg lg (1)lg n n n n b b q b q n a a q a q −−==+−，从而数列lg n n b a的公差为21lg q q .故C 正确. 对于D ，()221112lg 2lg 2lg 2(1)lg n nn n a b a b a b n q q ==+−，从而数列(){}22lg n n a b 的公差为122lg q q，D 正确. 故选：ACD ．【点睛】结论点睛：本题考查等差数列和等比数列的判断．掌握等差数列和等比数列的定义是关键．判断方法有：（1）定义法；（2）通项公式法；（3）等差中项、等比中项法；（2）前n 项和公式．特别注意等比数列中各项均不为0．10. 在数列{}n a 中，221n n a a p −−=（*2,,n n p ≥∈N 为非零常数），则称{}n a 为“等方差数列”，p 称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A. {}(3)n−是等方差数列B. 若正项等方差数列{}n a 的首项11a =，且124,,a a a是等比数列，则n a =C. 等比数列不可能为等方差数列D. 存在数列{}n a 既是等差数列，又是等方差数列【答案】BC 【解析】【分析】根据等方差数列的定义依次分析四个选项可得答案.【详解】对于A ，因为22(3)9nn n a =−=，222219972a a −=−=，22323299648a a −=−=， 22222132a a a a −≠−，所以{}(3)n −不是等方差数列，故A 错误；对于B ，因为0n a >，11a =，221(1)1n a a n p pn p =+−=−+，所以22211a p p p =−+=+，4a =因为 124,,a a a 是等比数列，所以2214a a a =，所以1p +=，所以20p p −=，因为0p ≠，所以1p =，所以2n a n =，又0n a >，所以n a =B 正确；对于C ，设等比数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q−=，则当2n ≥时，2222222422421111(1)n n n n n a a a q a q a q q −−−−−=−=−，若22421(1)n a q q −−为常数，则必有210q −=，此时2210n n a a −−=，则数列{}n a 不可能是等方差数列，故C 正确；对于D ，假设存在数列{}n a 既是等差数列，又是等方差数列，则当2n ≥时，1n n a a d −−=且221n n a a p −−=(0)p ≠，若0d =，则1n n a a −=，则2210n n a a p −−==，不合题意，若0d ≠，则11()()n n n n a a a a p −−−+=，得1n n p a a d−+=，又1n n a a d −−=，所以22nd p a d=+为常数，必有210n n a a −−=，与假设矛盾，故存在数列{}n a 既是等差数列，又是等方差数列.故D 错误；故选：BC11. 下列说法中，正确的有（）A. 已知12n n a a +=−，则数列{}n a 是递减数列 B. 数列{}n a 的通项22n a n kn =−+，若{}n a 为单调递增数列，则3k <C. 已知正项等比数列{}n a ，则有1845a a a a +≤+D. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为24,4,10n S S S ==，则618S = 【答案】ABD 【解析】【分析】由12n n a a +−=−，可判定A ；1210n n a a n k +−=+−>恒成立，可判定B ；根据11a =，2q ，得到1845a a a a +>+，可判定C ；由24264,,S S S S S −−构成等差数列，列出方程求得618S =，可判定D.【详解】对于A 中，由12n n a a +=−，可得12n n a a +−=−，所以数列{}n a 是递减数列，所以A 正确；对于B 中，若数列{}n a 的通项22n a n kn =−+，则()()221(1)122210n n a a n k n n kn n k + −=+−++−−+=+−> 恒成立，所以3k <，所以B 正确；对于C 中，正项递增的等比数列{}n a ，若11,2a q ==，可得734184512129,2224a a a a +=+=+=+=，此时1845a a a a +>+，所以C 不正确；对于D 中，等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且244,10S S ==，根据24264,,S S S S S −−构成等差数列，即64,6,10S −构成等差数列，可得641026S +−=×，解得618S =，所以D 正确. 故选：ABD. 12. 数列{}n a 满是()1N 218nna n ∗=∈−，则（） A. 数列{}n a 的最大项为6a B. 数列{}n a 的最大项为5a C. 数列{}n a 的最小项为5a D. 数列{}n a 的最小项为4a【答案】BD 【解析】【分析】根据条件()1N 218n na n ∗=∈−，判断出数列{}n a 的单调性即可求出结果. 【详解】因为()1N 218n na n ∗=∈−，所以11111112182182218218(218)(218)(218)(218)n n nn n n n n n n n a a +++++−−−−−=−==−−−−−−，由10n n a a +−>，得到9218n <<，且易知，4n ≤时，0n a <，当5n ≥时，0n a >，所以12345610016a a a a a a >=−>>><<>> 所以数列{}n a 的最大项为5a ，最小项为4a ，故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知在等比数列{a n }中，a 3=7，S 3=21，则公比q =__________ 【答案】1或12− 【解析】【分析】由a 3=7，S 3=21，得到21117,14a q a a q =+=求解. 【详解】解：因为在等比数列{a n }中，a 3=7，S 3=21，所以21117,14a q a a q =+=，两式相除得： 2210q q −−=，解得1q =或12q =−，故答案为：1或12−14. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若243546216a a a a a a ++=，则35a a +=________．【答案】4 【解析】【分析】由等比数列性质求解即可.【详解】由243546216a a a a a a ++=可得：223355216a a a a ++=，则()23516a a +=，因为等比数列{}n a 的各项均为正数，则354a a +=. 故答案为：4 15. 已知数列{}n a 为32，43，54，65，，则该数列的一个通项公式可以是________．【答案】21n n a n +=+（答案不唯一）【解析】【分析】分析数列{}n a 前4项的特征，求出前4项都满足的一个通项公式作答.的【详解】依题意，312422532642,,,211321431541++++====++++，所以前4 项都满足的一个通项公式为21n n a n +=+. 故答案为：21n n a n +=+ 16. 已知等差数列{}n a ，{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且满足321n n S n T n +=−，59a T =___________．【答案】451【解析】【分析】运用等差数列的性质即可得出21n S −与n a 的关系，从而得出结论. 【详解】运用等差数列的性质()2121n n S n a −=−,可得599,S a =即9519a S =⋅，由等差数列性质可知599911124991751a S T T =⋅=×=．故答案为：451. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 有一批空气净化器，原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台，则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类空气净化器，问去哪家商场购买花费较少？【答案】若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少. 【解析】【分析】设某单位需要购买x 台空气净化器，甲、乙两商场的购货款的差价为y ，根据题意列出分段函数，求出0y =时对应的x ，再根据函数的单调性说明即可．【详解】设某单位需要购买x 台空气净化器，甲、乙两商场的购货款的差价为y ， ∵去甲商场购买共花费(80020)x x −，由题意，有80020440x − ，∴118x∴()*(80020)80075%,11844080075%,18x x x x yx x x x −−× ∈−×> N ， .即()2*20020,118160,18x x x yx x x −∈−> N ，当110x ≤<时，0y >；当10x =时，0y =；当10x >时，0y <.所以，若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少.【点睛】本题考查分段函数的应用，解本类题的关键在于读懂题意，根据题意写出函数表达式，属于基础题．18. 已知函数11221(),2n n n f x x S f f f f n n n n −−=+=++++，其中*N n ∈，且2n ≥.（1）当2n ≥时，求n S ；（2）设112a =，()()()*11,211n n n a n n S S +=∈≥++N ，记数列{}n a 的前n 项和为n T ，求使得2n m T <恒成立的m 的最小正整数. 【答案】（1）1n S n =− （2）2 【解析】【分析】（1）依据题给条件，利用等差数列前n 项和公式即可求得n S ；（2）先利用裂项相消法求得数列{}n a 的前n 项和n T ，再依据题给条件列出关于m 的不等式，解之即可求得m 的最小整数【小问1详解】由()11221,2n n n f x x S f f f f n n n n −−=+=++++，可得11212111++++2222n n n S n n n n −−=++++12211(1)1++1222n n n n n n n n n n n n −−−−− =++++==−，则当2n ≥时，1n S n =−. 【小问2详解】由（1）可得，当2n ≥时，1n S n =−，则当2n ≥时， ()()[]11111(11)(1)11n n n a S S n n +=++−++−+111(1)1n n n n ==−++，则当2n ≥时，数列{}n a 的前n 项和1111111233411112n T n n n + −−−=− ++ +++ ，又当2n ≥时，13n +≥，11013n <≤+，211131n ≤−<+，由2n m T <恒成立，可得12m ≤，解之得2m ≥，则当2n ≥时，使得2n m T <恒成立的m 的最小整数为2. 当1n =时，112121T a m ==<=成立，综上，使得2n m T <恒成立的m 的最小整数为2. 19. 在等差数列{}n a 中，已知公差0d <，110a =，且2a ，5a ，7a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求1260a a a +++ 的值.【答案】（1）11na n =− （2）1280【解析】【分析】（1）根据已知条件求得公差d ，由此求得n a .（2）先判断n a 的符号，根据等差数列前n 项和公式求得正确答案.【小问1详解】210a d =+，5104a d =+，7106a d =+，又2a ，5a ，7a 成等比数列，所以2(10)(106)(104)d d d ++=+，化简得20d d +=，解得1d =−或0d =，又0d <，所以1d =−，可得数列{}n a 的通项公式10(1)11n a n n =−−=−；【小问2详解】由（1）得11na n =−，由110n a n =−≥，得111n ≤≤，由110n a n =−<，得11n >，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以126012111213606011||||||()()2a a a a a a a a a S S +++=+++−+++=−+ 16011160()11()2128022a a a a ++=−+×=，所以1260||||||1280a a a +++=. 20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足0n a >，()42n n n S a a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等差数列{}n b 满足32n n S n b n c −=+，且1b ，212b ，313b 成等比数列，求c ．【答案】（1）*()2n a n n N =∈ （2）12c =−【解析】【分析】（1）利用11,2,1n n n S S n a S n −−≥ = = ，可知数列{}n a 为2为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式计算即可；（2）求数列{}n a 的前n 项和为n S ，根据等差数列及等比数列的性质可求出c ．【小问1详解】因为()42n n n S a a =+，当2n ≥时，()11142n n n S a a −−−+=两式相减得()()11112242222n n n n n n n n n a a a a a a a a a −−−−=−=−+−++ 化简得()()()1112n n n n n n a a a a a a −−−=+−−，0n a > ，10n n a a −∴+>，12n n a a −∴−=当1n =时，()11142a a a +=，解得12a =或10a =（舍去）故数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列．()()*2122N n a n n n ∴=+−×=∈．【小问2详解】由（1）知，2(1)222n n n S n n n −=+×=+，2322n n n S n n b n n c c−+−∴==+， 111b c ∴=+，262b c =+，3153b c=+， 1b ，212b ，313b 成等比数列，22131123b b b ∴=× ，即259(3)(1)(2)c c c =+++，整理得：241670c c ++=， 72c ∴=−或12c =−． ①当12c =−时，2n b n =，所以12n n b b +-=（定值），满足{}n b 为等差数列， ②当72c =−时，24227n n n b n −=−， 125b ∴=−，24b =−，330b =−，不满足2132b b b =+，故此时数列{}n b 不为等差数列（舍去）．综上可得12c =−． 21. 已知数列{}n a 满足11a =，且122n n n a a −=+（2n ≥，且*N n ∈）．（1）求2a ，3a ；（2）求数列{}n a 的通项公式n a .【答案】（1）26a =；320a =（2）122n n a n =−⋅ 【解析】【分析】（1）根据递推公式，赋值求23,a a ；（2）首先变形递推公式，证明数列2n n a是等差数列，即可求通项公式. 【小问1详解】当2n =时，221226a a =+=，当3n =时，3322220a a +；【小问2详解】依题意，122n n n a a −=+，两边同时除以2n ，得11122n n n n a a −−=+，即11122n n n n a a −−−=，2n ≥，*N n ∈，所以数列2n n a是首项为1122a =，公差为1等差数列，即()1111222n n a n n =+−×=−，所以122n n a n=−⋅. 22. 已知数列{}n a 的通项为n a ，前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b 中，11b =，点()1,n n P b b +在直线20x y −+=上. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式n a 、n b ；（2）设{}n b 的前n 项和为n B ，试比较12111nB B B +++ 与2的大小；（3）设1212n n nb b b T a a a =+++ ，若对一切正整数n ，()n Tc c Z <∈恒成立，求c 的最小值. 【答案】（1）2,21n n n a b n ==−；（2）121112nB B B +++< ；（3）3. 【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质列式，然后结合11,1,2n nn S n a S S n −= = −≥ 求得数列{}n a 的通项公式.将P 点坐标代入直线方程，由此证得{}n b 是等差数列，进而求得数列{}n b 的通项公式.（2）先求得n B ，然后利用放缩法结合裂项求和法证得121112nB B B +++< .（3）利用错位相减求和法求得n T ，由此求得c 的最小值. 【详解】（1）由于n a 是n S 与2的等差中项，故22n n S a +=，当1n =时，12a =，当2n ≥时，22n n S a +=，1122n n S a −−+=，两式相减并化简得12n n a a −=，故数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n a =.将()1,n n P b b +代入20x y −+=上，故12n n b b +=+，故{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，故21nb n =−. 的（2）依题意21212n n B n n +−=⋅=，所以2222121111111123n B B B n ++…+=+++…+111111*********(1)2231n n n n <+++…+=+−+−+…+− ××−⋅−122n =−<，所以121112nB B B +++< . （3）22135212222n n n T −=+++…+①，234111352122222n n n T +−=+++…+② ①-②得2331111122212222222n n n n T +−=++++…+−，化简得21213322n n n n T −−=−−<，又因为42341347372222216T =+++=>，所以满足条件n T c <的最小整数值3c =. 【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列通项公式的求法，考查等差中项的性质，考查裂项求和法与错位相减求和法，考查放缩法，属于中档题.。

贵州省高二上学期期末教学质量监测数学试题(解析版)

一、单选题1．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（） l 30 lA ．BCD 12【答案】D【分析】根据计算即可.tan k α=【详解】由题意可得直线l 的斜率tan 30k == 故选：D2．已知向量，若，则实数的值为（） ()()1,2,3,2,,4a b x =-=- a b ⊥x A ．8 B ．7C ．D ．147-【答案】B【分析】根据向量垂直，则向量数量积为0，得到，解出即可.()122340x -⨯++⨯-=【详解】已知向量，因为， ()()1,2,3,2,,4a b x =-=- a b ⊥所以，解得． ()122340x -⨯++⨯-=7x =故选：B ．3．若P ，Q 分别为直线与直线上任意一点，则的最小值为34120x y +-=6810x y ++=PQ （） A ．B ．C ．D ．32135231052【答案】D【分析】先判定两直线平行，再求出两平行线之间的距离即得解. 【详解】解：因为，所以两直线平行，3412=681≠-将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，，所以|PQ |的最小值为. 255102=52故选：D.4．已知抛物线：上一点到轴的距离是5，则该点到抛物线焦点的距离是（） C 24y x =y C A ． B ．C ．D ．5678【答案】B【分析】求出抛物线的准线方程，由焦半径公式求出答案.【详解】由题意得：抛物线：的准线方程为， C 24y x ==1x -由焦半径公式得：该点到抛物线焦点的距离等于. C 516+=故选：B5．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（）． (),M a b 22:1O x y +=1ax by +=O A ．相切 B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B【分析】由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系.【详解】点在圆外，， (),M a b 22:1O x y +=221a b ∴+>圆心到直线距离，O 1ax by +=1d =<直线与圆相交.∴1ax by +=O 故选B.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（）22221(0)x y b a a b-=>>π3A ．2B ．2CD 【答案】A【分析】根据渐近线方程和两条渐近线的夹角为可得. π3b a=2e =【详解】由题意可得双曲线的渐近线方程为；22221(0)x y b a a b-=>>b y x a =±又，所以，0b a >>1ba>由两条渐近线的夹角为，可得渐近线方程为， π3y =则； b a =2e ==故选：A7．我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方33⨯格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，2n n n ⨯这个正方形叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那n S 345S =么10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为（）A ．555B ．101C ．505D ．1010【答案】C【分析】利用等差数列求和公式得到，进而求出10阶幻方每行、每列、每条对角线上的105050S =数的和.【详解】由题意得：，()10100110012310050502S ⨯+=++++== 故10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为. 505010505÷=故选：C8．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得()()22:341C x y -+-=(),0A m -()(),00B m m >C P ，则的最大值为90APB ∠=︒m A ．7 B ．6C ．5D ．4【答案】B【详解】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.15m -=【解析】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.二、多选题9．若等比数列的第4项和第6项分别是48和12，下列选项中说法正确的是（） {}n a A ．的公比为或B ．的第5项是24 {}n a 1212-{}n a C ． D ．3202212024a a a a ⋅=⋅3202212024a a a a +=+【答案】AC【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列下标性质逐一判断即可.【详解】设该等比数列的公比为，q 由题意可知：，选项A 正确； 226412114842a a q q q =⇒==⇒=±，选项B 不正确，54148242a a q ⎛⎫==⨯±=± ⎪⎝⎭由等比数列性质知：任意两项的下标和相等，则其乘积相等，故选项C 正确，D 不正确．故选：AC10．已知曲线C 方程为：，则下列结论正确的是（）()222101x y m m m -=≠+A ．若，则曲线C 为双曲线B ．若曲线C 0m >C ．曲线C 不可能为一个圆D ．当时，其渐近线方程为1m =2xy =±【答案】AC【分析】根据椭圆、双曲线标准方程的结构特征及其几何性质可得.【详解】当时，显然A 正确；当，，故0m >0m <210m m +>->a =，B 不正确；因为恒成立，所以C 正确；当时，方程为，2a =21m m +>-1m =2212x y -=其渐近线方程为，故D 不正确. y x =故选：AC11．已知过点作圆的两条切线，切点分别为，两点，下列说法正确的是()2,1P 22:1O x y +=M N （）A ．其中一条切线方程是 1y =B ．切线长2PN =C ．点到圆 P O 1D ．四边形的面积为2 PMON 【答案】ABCD【分析】利用圆心到切线距离判断A ，根据切线长定理判断B ，由圆的性质判断C ，根据四边形面积为两全等直角三角面积判断D.【详解】由题意，切线斜率存在，设切线方程为：，()12120y k x kx y k -=-⇒-+-=，解得：或， 10k =43所以切线方程为：或，选项A 正确；10y -=4350x y --=由切线长定理：，选项B 正确；||||2PN PM ===点P 到圆上一点的距离最小值为，C 选项错；O ||1PO r -=由知四边形的面积为2，选项D 正确．1=22||122POM PMON S S PM =⨯⨯⨯=△四边形PMON 故选：ABCD12．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列说法正确{}n a n n S d 312a =120S >70a <的是（） A ．60a >B ．当取得最大值时， n S 6n =C ．时，的最小值为130n S <n D ．数列是递增数列．1n a ⎧⎫⎨⎩⎭【答案】ABC【分析】根据，，代入等差数列求和公式，可得AB 120S >70a <()()112126712602a a S a a +==+>选项正确；根据，可知C 选项正确；由时，，()11371371313213022a a a S a +⨯===<[]1,6n ∈10n a >时，可知数列不是递增数列. 7n ≥10na <1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【详解】由已知得，*N n ∈ 311212,122a a d a d =+=∴=- 由 ()()112126712602a a S a a +==+>又，所以，故A ，B 选项正确； 70a <60a >由于， ()11371371313213022a a a S a +⨯===<而，所以时，的最小值为13，故C 选项正确；120S >0n S <n 由，解得， 716167161240512302112470a a d d a a d d a a a d d =+=+<⎧⎪=+=+>⎨⎪+=+=+>⎩2437d -<<-又，()()33123n a a n d n d =+-=+-当时，，时，，[]1,6n ∈0n a >7n ≥0n a <又，所以时，， ()11123n d a n =+-[]1,6n ∈10na >时，，所以在（）上单调递增，7n ≥10na <1n a []1,6n ∈*N n ∈在（）上单调递增， 1na [)7n ∞∈+，*N n ∈所以数列不是递增数列，故D 选项不正确．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭故选：ABC.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与前和公式的基本性质，代入公式化简时要充分利n 用题设给定的条件，通过与问题联立转化变形即可求解.三、填空题13．在长方体中，，，，则________．（用向量，1111ABCD A B C D -AB a = AD b =1AA c = 1AC = a b，表示）c【答案】a b c ++r r r 【分析】根据空间向量的加法法则及图形即可求解.【详解】由题意得，111AC AB BC C D a b C AB A AA c =++=++=++故答案为：.a b c ++14．已知数列的前项之和为，满足，且，则时，{}n a n n S ()122n n S S n -=≥11a =2n ≥n a =__________．【答案】22n -【分析】先得到是等比数列，求出，从而利用时，求出答案.{}n S 12n n S -=2n ≥1n n n a S S -=-【详解】∵，， ()122n n S S n -=≥111S a ==∴是以1为首项，2为公比的等比数列，{}n S ∴，12n n S -=∴时，．2n ≥212n n n n a S S --=-=故答案为：.22n -15．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数的点的A B (0,1)λλλ>≠轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：已知AB，，动点与点的距离是它与的轨迹方程为()2,0A -()2,0B M A B M ________．【答案】22412x y -+=（）【分析】设，根据动点与点和点的距离关系列方程得到(),M x y M A B.=【详解】解：设，又因为，，依题有(),M x y ()2,0A -()2,0B化简，得，即M 的轨迹方程为：． 22840x x y -++=()22412x y -+=故答案为：.()22412x y -+=四、双空题16．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则1111ABCD A B C D -122AA AB AD ===E F 1BB 11D C 长方体的外接球表面积为________，平面被三棱锥外接球截得的1111ABCD A B C D -11A BCD 1C CEF -截面圆面积为________．【答案】9π9π8【分析】第一空，求出长方体的体对角线即可得长方体外接球的半径，即可求得外接球表面积；第二空，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，即可证明，从而确定三棱锥外EF EC ⊥1C CEF -接球的球心位置，求出外接球半径，继而求得截面圆半径，即可求得答案.【详解】设长方体外接圆半径为R ，，， 23R ==32R ∴=所以长方体外接球表面积为；24π9πR =以点为原点,以为轴，建立空间直角坐标系如图所示：D 1,,DA DC DD ,,x y z依题意得：，，，()0,2,0C ()1,2,1E ()0,1,2F 则，，()1,0,1EC =--()111EF ,,=-- 所以，则即； 1010EC EF ⋅=+-= EF EC ⊥EF EC ⊥设为中点，连接,O CF 1,EO C O 因为，，则， EF EC ⊥11C F C C ⊥1EO OC FO C O ===所以点为三棱锥外接球的球心，O 1C CEF -则三棱锥外接球的半径为， 1C CEF -12R CF =='=设球心到平面的距离为，又因为为中点， O 11A BCD h O CF 所以点到平面的距离为，F 11A BCD 2h 根据长方体特征可知平面平面, 1111ABCD A B C D -11A D ⊥111,DCC D DC ⊂11DCC D 所以,又，而平面， 111A D DC ⊥11⊥D C DC 1111111,A D D C D A D D C =⊂ ，11A BCD 故平面，设交于H ，则平面,1DC ⊥11A BCD 11,D C C D 1C H ⊥11A BCD故到平面的距离为,1C 11A BCD 111122C H CD ==⨯=因为F 为的中点，故11D C 1122h C H ==h =故截面圆的半径为 r ==所以截面圆面积为， 298r ππ=故答案为：；9π9π8【点睛】关键点点睛：要求得平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积，关键点在于11A BCD 1C CEF -首先要确定外接球的球心位置，从而可得其半径，继而求出截面圆的半径，即可求得答案.五、解答题17．已知是等差数列，，. {}n a 11a =47a =(1)求数列的通项公式及前项和；{}n a n n S (2)若等比数列满足，，求的通项公式.{}n b 22b a =35b a ={}n b 【答案】(1)，21n a n =-2n S n =(2)13n n b -=【分析】（1）根据条件列出方程求出公差即可得解；（2）根据条件列出方程求出公比，即可得出通项公式. 【详解】（1）设等差数列的公差为， {}n a d 则. 41712413a a d --===-∴，()12121n a n n =+-=-.()21212n n n S n +-==（2）设等比数列的公比为， {}n b q 由，，可得， 223b a ==359==b a 323b q b ==∴的通项公式为.{}n b 21333n n n b --=⨯=18．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．1111ABCD A B C D -E 1AA F AE(1)求证：平面； //CE BDF (2)求三棱锥的体积． E BDF -【答案】(1)证明见解析 (2) 13【分析】(1)利用中位线的性质、线面平行的判定定理即可证明；(2)利用等体积法求解即可.【详解】（1）如图，连接交于点，再连接,AC BD O OF 在中，为中点，为的中，所以, ACE △O AC F AE //OF CE 且平面，平面,所以平面.CE ⊄BDF OF ⊂BDF //CE BDF （2）因为该几何体为正方体，所以点到平面的距离等于， D 11ABB A AD 所以点到平面的距离等于，D BEF AD 根据等体积法可知.11113323E BDF D BEF BEF V V S AD EF AB AD --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△19．已知圆：和圆相交于两点.1C 2220x y x +-=222:6440C x y x y +--+=,A B (1)求公共弦所在直线的方程. AB (2)求的面积. 2ABC △【答案】(1) 10x y +-=(2)【分析】（1）将两圆的方程相减即可得到公共弦所在直线的方程；AB（2）利用垂径定理构造直角三角形，再利用点到直线的距离公式求出，勾股定理求出，2C O AO 然后求面积即可.【详解】（1）因为：，：，所以得：1C 2220x y x +-=2C 226440x y x y +--+=12C C -，即，所以公共弦所在的直线方程为：.4440x y +-=10x y +-=10x y +-=（2）如图，取中点，连接，，，，根据圆的性质可得，AB O AB 2AC 2BC 2C O 2C O AB ⊥圆可整理为，所以，， 2C 226440x y x y +--+=()()22329x y -+-=()23,2C 23AC =点到直线的距离，2C ABd1AO ==2AB =. 2122ABC S =⨯⨯=A 20．已知数列的前项和为，，．{}n a n n S 12a =()()11n n na S n n n ++=++∈N (1)求证：数列是等差数列；{}n a (2)设，求数列的前项和． 11n n n b a a +={}n b n n T 【答案】(1)证明见解析(2) n T 4(1)n n =+【分析】（1）由条件得数列的递推关系，证明数列为等差数列；{}n a （2）由（1）写出数列的通项公式，用裂项相消法求和.{}n a 【详解】（1）证明：由题意，当时，，1n =2112224a S =+⨯=+=当时，由，可得，2n ≥1(1)n n na S n n +=++1(1)(1)n n n a S n n --=+-两式相减，可得，1(1)2n n n na n a a n +--=+化简整理，得， 12n n a a +-=也满足上式，即当时，，212a a -=2n ≥12n n a a --=数列是以2为首项，2为公差的等差数列.{}n a （2）由（1）知，数列是以2为首项，2为公差的等差数列，{}n a ，，22(1)2n a n n =+-=N n +∈可得， 1111111()22(1)4(1)41n n n b a a n n n n n n +====-⋅+++则 12n n T b b b =++⋅⋅⋅+11111111(1)()(4242341n n =⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+． 11111111(1(1)4(42231141)n n n n n =⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=+++21．如图，四棱锥中，平面，E P ABCD -PA ⊥ABCD ,//,22,AB ADAD BC AD BC AB ⊥===为中点．CD(1)求证：平面；CD ⊥PAE (2)若的余弦值．PA =--A PBE 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）证明，，可得平面.CD AE ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAE （2）分别求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.PAB PBE 【详解】（1）连接，如图所示： AC中，，Rt ABC△2AC ===，为等腰三角形，E 为中点，∴，AC AD =ACD A CD AE ⊥平面，平面，∴PA ⊥ABCD DC ⊂ABCD PA CD ⊥，平面，PA AE A = ,PA AE ⊂PAE 所以平面.CD ⊥PAE （2）以A 为原点，，，的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角AB AD AP 坐标系，有，，，，，， ()0,0,0A )B (P 3,02E ⎫⎪⎪⎭(BP =23,PE = 平面的一个法向量，PAB ()0,1,0m = 设平面的一个法向量为，PBE (),,n x y z = 则，令，得,∴, 0302n BP n PE y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1y =x z =n = 二面角的平面角为， --A PB E θcos m n m n θ⋅=== 所以二面角. --A PB E 22．欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点．现有椭圆，长轴长为4，从椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>C 的一个焦点发出的一条光线经该椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且． F P x 72PF =(1)求椭圆的标准方程；C (2)已知为坐标原点，A 为椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点A 的直线与椭圆交于，O C k l C M 两点，记直线，的斜率分别为，，且满足，且，求N AM AN 1k 2k ()122k k k +=225OM ON +=k的值.【答案】(1) 2214x y +=(2)k =12k =± 【分析】（1）利用椭圆的定义得出，再利用垂直关系和进行求解； 121PF =212b a =（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，韦达定l y kx m =+x 理，利用斜率公式及得到关于、的关系式，化简两根之和与积，利用()122k k k +=k m 及点在椭圆上得到，代入化简即可求解.22||5OM ON +=22124x x +=【详解】（1）不妨设、是椭圆的左焦点、右焦点，F 1F则轴，又因为，，1PF x ⊥72PF =24a =所以，所以点，代入得，1212PF a PF =-=1(,2P c 22214x y b +=221144c b +=又，解得，，22224c a b b =-=-21b =23c =所以椭圆的标准方程为：；2214x y +=（2）设直线的方程为，，，l y kx m =+11(,)M x y 22(,)N x y 联立，得：，2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(14)84(1)0k x kmx m +++-=则，，122814km x x k +=-+21224(1)14m x x k -=+因为，所以， ()122k k k +=1212222y y x x k +=++即，1212211212()(2)()(2)222(2)(2)kx m kx m kx m x kx m x x x x x k++++++++==++++即，121212122(2)()422()4kx x k m x x mx x x x k++++=+++即，221212(22)(24)()480k x x k km x x mk -++-++-=则， 222224(1)(22)8(24)4801414m k km k km mk k k --+--+-=++即，即，则或， 2210920k km m -+=(2)(52)0k m k m --=2m k =52m k =当时，直线可化为，即直线过定点（与左焦点重合，舍2m k =:l y kx m =+:(2)l y k x =+l (2,0)-去），所以，则，， 52m k =21222014k x x k +=-+212225414k x x k -=+且， 2222222255=6416(14)(1)64()16(14)[()1]022k m k m k k k k ∆-+-=-+->解得；因为，所以， 249k <22||5OM ON +=222211225x y x y +++=即，即，即， 2222121211544x x x x +-++-=22124x x +=21212()24x x x x +-=即， 4222222400(508)(14)4(14)(14)k k k k k -+-=++即，即，42682520k k -+=22(172)(41)0k k --=则或，所以 2217k =214k =k =12k =±。

上海市宝山区海滨中学2024-2025学年高二上学期期中学业质量检测数学试卷

上海市宝山区海滨中学2024-2025学年高二上学期期中学业质量检测数学试卷一、填空题1．已知平面α，直线l ，点,A B ，若,A l B l ∈∈，且,A B αα∈∈，则l α（填数学符号）．2．空间中两条直线的位置关系有.3．已知复数11iz i-=+（i 为虚数单位），则|z |＝.4．有下列四个说法：①不在同一直线上的三点确定一个平面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域．其中错误说法的序号是．5．若球的半径为5，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为．6．已知关于x 的不等式2251x x a-<-的解集为M ，若3M ∈，则实数a 的取值范围是．7．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1AA 靠近1A 的三等分点，点F 是棱1BB 靠近1B 的四等分点，则三棱锥E BCF -的体积为．8．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是．9．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11BCC B 所成角的正弦值是．10．已知二面角l αβ--的大小为140 ，直线,a b 分别在平面,αβ内且都垂直于棱l ，则a 与b 所成角的大小为.11．如图所示，已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，4PA =，3AB =，5AC =．则点A 到平面PBC 的距离．12．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B 是母线SA 上一点，且10AB =公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B的观光铁路.这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为公里.二、单选题13．下列几何体中，多面体是（）A ．B ．C ．D ．14．已知直线a 在平面β上，则“直线l a ⊥”是“直线l β⊥”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要15．在三棱锥A BCD -中，若AD BC ⊥，AD BD ⊥，那么必有（）A ．平面ADC ⊥平面BCDB ．平面ABC ⊥平面BCD C ．平面ABD ⊥平面ADCD ．平面ABD ⊥平面ABC16．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB y AD =++，则x :y =（）A ．12B ．1C ．32D ．2三、解答题17．正方体ABCD A B C D -''''中，求证：(1)AC ⊥平面B D DB ''；(2)BD 与B C '的夹角的余弦值．．．．18．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．(1)求该蒙古包的侧面积．(2)求该蒙古包的体积．19．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求()g x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；20．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点.(1)求证:1//BA 平面1C AD ；(2)求二面角1A BC A --的大小（用反三角函数衣示）.21．我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵111ABC A B C -中，若AC BC ⊥，12A A AB ==.(1)求证：四棱锥11B AA C C -为阳马；(2)若直线1A B 与平面11AAC C 所成的角为π6时，求该堑堵111ABC A B C -的体积；(3)当阳马11B AA C C -的体积最大时，求点1C 到平面1A BC 的距离.。

高二上册数学月考试卷

高二上册数学月考试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1.下列说法正确的是（）A. 一个骰子掷一次得到2的概率是1/6，则掷6次一定会出现一次2B. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元C. 随机事件发生的概率是随着试验次数的增加而改变的D. 随机事件发生的概率与试验次数无关答案：D2.在棱长均等的正三棱柱ABC-A'B'C'中，直线AB与A'C'所成角的余弦值为（）A. -√3/2B. √3/3C. -√2/2D. √2/2答案：（此处需要具体计算，但选项未直接给出，需通过空间向量或几何法求解）3.已知直线l经过点P(4,1)，且与直线2x-y-3=0垂直，则直线l的方程是（）A. x+2y-8=0B. x+2y+8=0C. 2x-y-4=0D. 2x-y+4=0答案：A4.在四面体ABCD中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在AB上，且OM=2MA，N为BC中点，则MN等于（）A. -(1/2)a-(1/2)b+(1/2)cB. (1/2)a+(1/2)b+(1/2)cC. -(1/2)a-(1/2)b-(1/2)cD. -(1/2)a+(1/2)b-(1/2)c答案：B（通过向量运算求解）5-8. （其他选择题，题目和选项略）二、填空题（每小题5分，共20分）9.已知直线l的方程为x-3y-2=0，则直线l的倾斜角为______。

答案：30°（通过斜率求解）10.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，则AB的中点坐标为______。

答案：(5/2, 7/2, 9/2)（通过中点公式求解）11-12. （其他填空题，题目和答案略）三、解答题（共40分）13.已知向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2-x,2-y)，且a⊥b，a⊥c。

（1）求x+y的值；（2）求向量a+b与2a-c的夹角。

山东省淄博市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测试题数学含解析

2023—2024学年度第一学期高二教学质量检测数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线1x =的倾斜角是（）A.0B.π4C.π2D.不存在2.抛物线22y x =的准线方程为（）A.14y =- B.18y =-C.14x =-D.18x =-3.过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程为（）A .3270x y ++= B.3210x y +-=C.2350x y -+= D.2380x y -+=4.甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为12，14，则两人中至少有一人通过的概率为（）A.58 B.15C.110D.3105.直线142x y+=与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（）A.224230x y x y +---=B.22420x y x y +--=C.224230x y x y +--+= D.22240x y x y +--=6.如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别为,BC AE 的中点，G 为ACD 的重心，则FG =（）A.1113124AB AC AD -++B.1114123AB AC AD -++C.1114123AB AC AD -+D.1113124AB AC AD +-7.已知正方体1111ABCD A B C D -，若P 是棱11B C 的中点，则异面直线1A P 和1CD 夹角的余弦值为（）A.15B.5C.D.1058.双曲线C ：22221x y a b-=的左、右顶点分别为1A ，2A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若22AB BF =，且121cos 4F BF ∠=，则直线1A B 与2A B 的斜率之积为（）A.53 B.35C.43D.34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()05,P y 在抛物线上，且6PF =，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，则（）A.2p = B.抛物线的准线为直线1y =C.0y =D.FPQ △的面积为10.若()16P AB =，()23P A =，()12P B =，则下列说法正确的是（）A.()12P A =B.事件A 与B 相互独立C.事件A 与B 不互斥D.()56P A B +=11.点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A.||PQ 的最小值为3B.||PQ 的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为43-D.两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 满足1AP AB AD AA λμγ=++，λ，μ，γ∈R （P ，B ，D ，1A 四点不重合），则下列说法正确的是（）．A.当1λμγ++=时，PA 的最小值是1B.当1λ=，μγ=时，PB ∥平面11AB DC.当1λμ==，12γ=时，平面PBD ⊥平面1A BDD.当1λμ=，0γ=时，直线1PA 与平面1111D C B A 所成角的正切值的最大值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为__________.14.经过两条直线12:2,:21l x y l x y +=-=的交点，且直线的一个方向向量()3,2v =的直线方程为__________.15.P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知3AB =，4=AD ，1PA =，则点P 到BD 的距离为__．16.已知1F ，2F 分别为椭圆22219x y b+=的左、右焦点，以2F 为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线80x -+=相切．P 为椭圆上一点，I 为12PF F △的内心，且1122IPF IF F IPF S S S λ=- ，则λ的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==.设1,,AB a AC b AA c === .（1）试用,,a b c表示向量MN ；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===，求MN 的长.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -+=上，与直线20x +-=相切于点(-.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点()2,0的直线与圆C 相交于M ，N 两点，若MNC 的面积为423，求该直线的方程.19.已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32.（1）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上；（2）这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于,A B 两点，求AB .20.某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过".并给予录取.甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为53,65，在面试中“通过”的概率依次为23,34，笔试和面试是否“通过”是独立的.（1）甲､乙两人谁获得录取的可能性大？请说明理由：（2）求甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率.21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，()0AF t t =>，M 是线段EF 的中点.（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求平面ADF 与平面BDF 夹角的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值.22.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，且经过点A .（1）求双曲线C 的方程；（2）点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足.证明：①直线MN 过定点；②存在定点Q ，使得DQ 为定值.2023—2024学年度第一学期高二教学质量检测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线1x =的倾斜角是（）A.0B.π4C.π2D.不存在【答案】C 【解析】【分析】利用直线倾斜角的定义即可得解.【详解】因为直线1x =与x 轴垂直，因此直线1x =的倾斜角是π2．故选：C ．2.抛物线22y x =的准线方程为（）A.14y =- B.18y =-C.14x =-D.18x =-【答案】B 【解析】【分析】把抛物线方程化成标准形式，再求出其准线方程即得.【详解】抛物线22y x =方程化为212x y =，所以抛物线22y x =的准线方程为18y =-.故选：B3.过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程为（）A.3270x y ++=B.3210x y +-=C.2350x y -+=D.2380x y -+=【答案】B 【解析】【分析】根据直线垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解.【详解】直线2340x y -+=的斜率为23，所以与直线2340x y -+=垂直的直线斜率为32-，故由点斜式可得()312x +y-2=-，即3210x y +-=，故选：B4.甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为12，14，则两人中至少有一人通过的概率为（）A.58 B.15C.110D.310【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解即得.【详解】依题意，两人中至少有一人通过的概率为1151(1)(1)248--⋅-=.故选：A 5.直线142x y+=与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（）A.224230x y x y +---=B.22420x y x y +--=C.224230x y x y +--+=D.22240x y x y +--=【答案】B 【解析】【分析】根据直线方程求出A ，B 点的坐标，法一：利用圆的直径式方程直接求得；法二：求出A B 中点即为圆心，AB 长的一半为半径，利用圆的标准方程直接写出，再化为一般方程即可.【详解】由题：(4,0),(0,2)A B 法一：根据圆的直径式方程可以得到：以线段AB 为直径的圆的方程为(4)(2)0x x y y -+-=，即22420x x y y -+-=，故选：B .法二：AB 中点为(2,1)，AB ==故以线段AB 为直径的圆的圆心为(2,1)，半径为所以圆的方程为()()22215x y -+-=，展开化简得：22420x y x y +--=，故选：B .6.如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别为,BC AE 的中点，G 为ACD 的重心，则FG =（）A.1113124AB AC AD -++B.1114123AB AC AD -++C.1114123AB AC AD -+D.1113124AB AC AD +-【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，将F G用,,AB AC AD 表示即可.【详解】因为,E F 分别为,BC AE 的中点，所以()1124AF AE AB AC ==+.因为G 为ACD 的重心，所以()13AG AC AD =+，所以()()11111344123FG AG AF AC AD AB AC AB AC AD =-=+-+=-++.故选：B.7.已知正方体1111ABCD A B C D -，若P 是棱11B C 的中点，则异面直线1A P 和1CD 夹角的余弦值为（）A.15B.5C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，结合正方体的结构特征，利用几何法求出异面直线夹角的余弦值.【详解】令正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，连接1,BA BP，则11A P BP A B ===四边形11A BCD 是正方体1AC 的对角面，则四边形11A BCD 是矩形，即11//A B CD ，因此1BA P ∠是异面直线1A P 和1CD 所成的角，在等腰1PA B中，11112cos 5A BBA P A P∠===，所以异面直线1A P 和1CD夹角的余弦值为5.故选：D8.双曲线C ：22221x y a b-=的左、右顶点分别为1A ，2A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若22AB BF =，且121cos 4F BF ∠=，则直线1A B 与2A B 的斜率之积为（）A.53 B.35C.43D.34【答案】A【解析】【分析】设2BF m =，利用双曲线定义推出相关线段的长，进而在2ABF △和12F BF 中利用余弦定理，求出43m a =以及2238c a =，继而求得2235b a =，再结合双曲线方程推出1222A B A B b ak k ⋅=，即可求得答案.【详解】由题意结合双曲线定义可知211222AF AF aBF BF a⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，且22AB BF =，不妨设2BF m =，则2AB m =，12BF m a =+，11||2AF BF AB a m =-=-，24AF a m =-.在2ABF △中，121cos 4F BF ∠=，由余弦定理得21222222||||2||||cos AF AB BF AB BF F BF =+-∠⋅⋅，即22221(4)444a m m m m -=+-⨯，即2238160m am a +-=，解得43m a =.在12F BF 中，由余弦定理得21222212112||||2||cos ||F F BF BF BF BF F BF =+-∠⋅⋅，即22214(2)2(2)4c m a m m a m =++-+⨯，即2228368c m ma a =++，结合43m a =，即得2238c a =，故得2223)(8b a a +=，即2235b a =.又可设00(,)B x y ，则22222200002221,()x y b y x a a b a-=∴=-，而12(,0),(,0)A a A a -，故122000220220053A B A B y y y k k x a x a b x a a ⋅=⋅=+-==-，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据所给121cos 4F BF ∠=，分别在2ABF △和12F BF 中利用余弦定理，求出43m a =，继而求得2235b a =，再结合双曲线方程推出1222A B A B b ak k ⋅=，即可求解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()05,P y 在抛物线上，且6PF =，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，则（）A.2p =B.抛物线的准线为直线1y =C.0y =D.FPQ △的面积为【答案】AD 【解析】【分析】根据抛物线的定义以及焦半径的长度求出p 值判断AB ；求出点P 的纵坐标判断C ；求出FPQ △的面积判断D.【详解】抛物线22(0)y px p =>的准线为直线2px =-，过点P 向准线作垂线垂足为M ，由抛物线的定义知562pPF PM ==+=，解得2p =，则抛物线的方程为24y x =，准线为直线=1x -，A 正确，B 错误；将5x =代入抛物线方程，解得0y =±C 错误；焦点(1,0)F ，点(5,P ±，即||PQ =，则1(51)2FPQ S =⨯-=△，D 正确.故选：AD10.若()16P AB =，()23P A =，()12P B =，则下列说法正确的是（）A.()12P A =B.事件A 与B 相互独立C .事件A 与B 不互斥D.()56P A B +=【答案】BC 【解析】【分析】利用对立事件概率计算判断A ；利用相互独立事件的定义判断B ；利用互斥事件的意义判断C ；利用概率的基本性质计算判断D.【详解】对于A ，由()23P A =，得()21133P A =-=，A 错误；对于B ，由()12P B =，()13P A =，()16P AB =，得()()()P AB P A P B =，事件A 与B 相互独立，B 正确；对于C ，由()16P AB =，得事件A 与B 可以同时发生，则事件A 与B 不互斥，C 正确；对于D ，()1112()()()3263P A B P A P B P AB +=+-=+-=，D 错误.故选：BC11.点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A.||PQ 的最小值为3B.||PQ 的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为43- D.两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=【答案】ABC 【解析】【分析】分别找出两圆的圆心1C 和2C 的坐标，以及半径r 和R ，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离12C C ，根据12C C 大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又P 为圆1C 上的点，Q 为圆2C 上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出12C C k .【详解】圆221:1C x y +=的圆心坐标1(0,0)C ，半径1r =圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=的圆心坐标2(3,4)C -，半径1R =∴圆心距125C C ==又 P 在圆1C 上，Q 在圆2C 上则PQ 的最小值为12min 3PQ C C R r =--=，最大值为12max 7PQ C C R r =++=．故A 、B 正确；两圆圆心所在的直线斜率为12404303C C k --==--，C 正确；圆心距125C C ==大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D 错误.故答案为：ABC12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 满足1AP AB AD AA λμγ=++，λ，μ，γ∈R （P ，B ，D ，1A 四点不重合），则下列说法正确的是（）．A.当1λμγ++=时，PA 的最小值是1B.当1λ=，μγ=时，PB ∥平面11AB DC.当1λμ==，12γ=时，平面PBD ⊥平面1A BDD.当1λμ=，0γ=时，直线1PA 与平面1111D C B A 所成角的正切值的最大值为2【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：根据空间向量分析可知点P 在平面1A BD 内，利用等体积法求点A 到平面1A BD 的距离；对于B ：根据空间向量分析可知点P 在直线1BC 上，根据线面平行的判定定理分析判断；对于C ：根据空间向量分析可知点P 为取1CC 的中点，结合线面垂直关系分析证明；对于D ：根据空间向量分析可知点P 在平面ABCD 内，根据线面夹角的定义结合基本不等式分析判断.【详解】对于选项A ：当1λμγ++=时，即()1γλμ=-+，则()111AP AB AD AA AB AD AA λμγλμλμ⎡⎤=++=++-+⎣⎦ ，可得()()111AP AA AB AA AD AA λμ-=-+- ，则111λμ=+uuu r uuu r uuu rA P AB A D ，可知点P 在平面1A BD 内，设点A 到平面1A BD 的距离为d ，可知11A B A D BD ===由11A A BD A ABD V V --=可得111111132232d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得3d =，所以PA 的最小值是3d =，故A 错误；对于选项B ：当1λ=，μγ=时，则11λμγμμ=++=++uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r AP AB AD AA AB AD AA ，可得()1AP AB AD AA μ-=+ ，则1μ=uu r uuu r BP AD ，由正方体的性质可知：AB ∥11C D ，且11AB C D =，则11ABC D 为平行四边形，可得1AD ∥1BC ，且11AD BC =，即11AD BC =，则1μ=uu r uuu r BP BC ，可知点P 在直线1BC 上，直线PB 即为直线1BC ，且1AD ∥1BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，所以1BC ∥平面11AB D ，即PB ∥平面11AB D ，故B 正确；对于选项C ：当1λμ==，12γ=时，则1111122λμγ=++=++=+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r AP AB AD AA AB AD AA AC CC ，取1CC 的中点M ，可得112=+=+=uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu rAP AC CC AC CM AM ，可知点P 即为点M ，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA BD ⊥，设AC BD O = ，连接OP ，可知AC BD ⊥，1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11AA C C ，所以BD ⊥平面11AA C C ，且1AC ⊂平面11AA C C ，可得1BD AC ⊥，同理可得：11A B AC ⊥，且1BD A B B = ，1,BD A B ⊂平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，又因为,O P 分别为1,AC CC 的中点，则OP ∥1AC ，可得OP ⊥平面1A BD ，且OP ⊂平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面1A BD ，故C 正确；对于选项D ：当1λμ=，0γ=时，则1λμγλμ=++=+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu rAP AB AD AA AB AD ，可知点P 在平面ABCD 内，因为平面ABCD ∥平面1111D C B A ，则直线1PA 与平面1111D C B A 所成角即为直线1PA 与平面ABCD 所成的角，因为1AA ⊥平面ABCD ，则直线1PA 与平面ABCD 所成的角为1A PA ∠，可得111tan ∠==AA A PA AP AP，又因为1λμ=，即1μλ=，则1λλ=+uu u r uu u r uuu r AP AB AD ，可得22222221122λλλλ=++⋅=+≥=uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r AP AB AD AB AD ，当且仅当221λλ=，即1λ=±时，等号成立，可知AP 11tan ∠=A PAAP 2=，所以直线1PA 与平面1111D C B A 所成角的正切值的最大值为2，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点睛：根据空间向量的线性运算，结合向量共线或共面的判定定理确定点P 的位置，方可结合立体几何相关知识分析求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为__________.【答案】35##0.6【解析】【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率公式计算即得.【详解】从2至6的5个整数中随机取2个不同数的试验的样本空间为：{(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}Ω=（交换数字位置算一种情况），共10个样本点，所取2个数互质的事件{(2,3),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(5,6)}A =，共6个样本点，所以这2个数互质的概率为63()105P A ==.故答案为：3514.经过两条直线12:2,:21l x y l x y +=-=的交点，且直线的一个方向向量()3,2v =的直线方程为__________.【答案】2310x y -+=【解析】【分析】求出交点坐标，根据直线的方向向量得到直线方程.【详解】221x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，故交点坐标为()1,1，因为直线的一个方向向量()3,2v =，所以直线方程为()2113y x -=-，即2310x y -+=.故答案为：2310x y -+=15.P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知3AB =，4=AD ，1PA =，则点P 到BD 的距离为__．【答案】135##2.6【解析】【分析】方法一：过A 作AE BD ⊥，交BD 于E ，连结PE ，则可得PE 是点P 到BD 的距离，然后求解即可，方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】方法一矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，5BD ∴==，过A 作AE BD ⊥，交BD 于E ，连结PE ，PA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又AE BD ⊥，PA AE A = ，BD ∴⊥平面PAE ，∵PE ⊂平面PAE ，PE BD ∴⊥，即PE 是点P 到BD 的距离，1122AB AD BD AE ⨯⨯=⨯⨯ ，125AB AD AE BD ⨯∴==，135PE ∴===，∴点P 到BD 的距离为135．方法二∵PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，∴,PA AB PA AD ⊥⊥，∵AB AD⊥∴PA AB AD 、、三线两两垂直，∴以A 为原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()()()001300040P B D ∴，，，，，，，，，()301BP ∴=- ，，，()340BD =- ，，，∴cos ,91691510BP BD BP BD BP BD⋅==+⋅+，∴点P 到BD 的距离为229131cos ,1015510d BP BD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故答案为：13516.已知1F ，2F 分别为椭圆22219x y b+=的左、右焦点，以2F 为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线380x -+=相切．P 为椭圆上一点，I 为12PF F △的内心，且1122IPF IF F IPF S S S λ=- ，则λ的值为______．【答案】32##1.5【解析】【分析】根据题意利用点到直线的距离公式求出椭圆焦点坐标，再利用三角形内接圆与三角形面积的关系列式，结合椭圆定义即可求出答案.【详解】设()1,0F c -，()2,0F c ，2F 为圆心且过椭圆左顶点的圆的半径为3R a c c =+=+，根据题意可知813c R +=+，解得2c =设12PF F △的内接圆半径为r ，则1112IPF S PF r =⋅△，121212IF F S F F r =⋅ ，2212IPF S PF r =⋅△故112212212F F P r P r r F F λ⋅⋅-⋅=，化简可得1212PF PF F F λ+=，即22a c λ=⋅，解得32λ=故答案为：32四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==.设1,,AB a AC b AA c === .（1）试用,,a b c表示向量MN ；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===，求MN 的长.【答案】（1）122333MN a b c=-++（2【解析】【分析】（1）利用向量加减法及向量数乘的几何意义，基底法表示MN；（2）利用向量的数量积运算求解向量的模.【小问1详解】1111MN MA A C C N=++ 12133BA AC CB =++()1221333AB AA AC AB AC=-+++-1122333AB AA AC =-++，又AB a =，AC b =，1AA c = ，∴122=333MN a b c -++ ．【小问2详解】因为11AB AC AA ===，1a b c ===．90BAC ∠=︒ ，0a b ∴⋅=．1160BAA CAA ∠=∠=︒ ，12a cbc ∴⋅=⋅= ，()22122=9MN a b c ∴=-++ ()2221114444899a b c a b a c b c ++-⋅-⋅+⋅=，3MN ∴= ．18.已知圆C 的圆心在直线20x y -+=上，与直线20x +-=相切于点(-.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点()2,0的直线与圆C 相交于M ，N 两点，若MNC的面积为3，求该直线的方程.【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）20x -=或20x ±-=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出经过切点的半径所在直线方程，再求出圆心坐标即可得解.（2）根据给定条件，利用点到直线的距离公式及弦长公式，列式计算即得.【小问1详解】依题意，过点(-且垂直于直线20x +-=的直线方程为1)y x =+，则圆C 的圆心C在直线y =+上，由20x y y -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩20x y =-⎧⎨=⎩，即点(2,0)C -，因此圆C的半径2r =，所以圆C 的标准方程为22(2)4x y ++=.【小问2详解】显然直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=，则点C 到直线MN的距离d =||MN ==，于是MNC 的面积218||1342||213MNCk S MN d k =⋅==+，解得11k =±或5k =±，所以直线MN的方程为(2)11y x =±-或(2)5y x =±-，即20x ±-=或20x ±-=.19.已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32.（1）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上；（2）这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于,A B 两点，求AB .【答案】（1）证明见解析（2）133【解析】【分析】（1）设这组平行直线的方程为32y x m =+，与椭圆方程联立，借助韦达定理求得弦中点坐标即可判断得解.（2）求出椭圆焦点坐标及直线AB 的方程，再利用弦长公式计算即得.【小问1详解】设这组平行直线的方程为32y x m =+，则2232149y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得22962180x mx m ++-=，由()()()222Δ64921836180m m m =-⨯⨯-=->，得3232m -<<设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，则1223x x m +=-，因此这组平行直线与椭圆交点的中点坐标为11(,)32m m -，显然点11(,)32m m -始终在直线32y x =-上，所以这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线32y x =-上.【小问2详解】椭圆22149x y +=的焦点坐标为(0,，由对称性，不妨取焦点F ，直线3:2AB y x =设3344(,),(,)A x y A x y ，由（1）知，343489x x x x +==-，所以133AB =..20.某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过".并给予录取.甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为53,65，在面试中“通过”的概率依次为23,34，笔试和面试是否“通过”是独立的.（1）甲､乙两人谁获得录取的可能性大？请说明理由：（2）求甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率.【答案】（1）甲获得录取的可能性大，理由见解析，（2）3445【解析】【分析】（1）由相互独立事件的概率乘法公式分别计算甲乙两人被录取的概率，再比较即可，（2）甲､乙两人中至少有一人获得录取包括3种情况：甲被录取乙没被录取，甲没被录取乙被录取，甲､乙都被录取，求出每种情况的概率，再利用互斥事件的概率加法公式可求得结果.【小问1详解】记“甲通过笔试”为事件1A ，“甲通过面试”为事件2A ，“甲获得录取”为事件A ，“乙通过笔试”为事件1B ，“乙通过面试”为事件2B ，“乙获得录取”为事件B ，则由题意得12125233(),(),(),()6354P A P A P B P B ====，笔试和面试是否“通过”是独立的，所以12525()()()639P A P A P A ==⨯=,12339()()()5420P B P B P B ==⨯=,因为59920>，即()()P A P B >，所以甲获得录取的可能性大【小问2详解】记“甲､乙两人中至少有一人获得录取”为事件C ，则由题意得()()()()P C P AB P AB P AB =++()((()()()P A P B P A P B P A P B =++595959341192092092045⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率为3445.21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，()0AF t t =>，M 是线段EF 的中点.（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求平面ADF 与平面BDF 夹角的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值.【答案】（1）证明负了解析；（2）π3；（3.【解析】【分析】（1）设AC 与BD 交于点O ，连接,EO AM ，结合平行四边形的判定性质，再利用线面平行的判定定理推理即得.（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法求解即得.（3）由（2）的信息，利用空间向量垂直的坐标表示建立函数求解即可.【小问1详解】设AC BD O = ，连结AM ，EO ，矩形ACEF 中，M 是线段EF 的中点，O 是线段AC 的中点，则//EM AO ，EM AO =，于是OAME 为平行四边形，则//AM EO ，又AM ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，所以//AM 平面BDE.【小问2详解】由平面ABCD ⊥平面ACEF ，EC AC ⊥，平面ABCD 平面ACEF AC =，EC ⊂平面ACEF ，得EC ⊥平面ABCD ，又CD CB ⊥，则直线,,CD CB CE 两两垂直，以点C 为原点，直线,,CD CB CE 分别为,,x y z 轴建立如空间直角坐标系，1t =，则(0,0,0),(0,0,1),C D A F E B，BD =，DF = ，设平面BDF 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n DF z n BD ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，得(1,1,n = ，由(0,0,1),(0,AF AD == ，得平面ADF 的一个法向量为(1,0,0)m = ，设平面ADF 与平面BDF 夹角为θ，则||1cos |cos ,|2||||m n m n m n θ⋅=〈〉== ，解得π3θ=，所以平面ADF 与平面BDF 夹角的大小为π3.【小问3详解】由（2）知，(0,0,0),),(0,0,),(0,C A F t E t B ，则(0,)BE t =，(AC = ，设1)0(AP AC λλ=≤≤ ，则(,,0)AP =，,0)P，于是,)PF t = ，由PF BE ⊥，得0PF BE ⋅= ，即220t λ-+=，因此22t λ=，又[]0,1λ∈，所以22t ≤，即t .【点睛】关键点睛：第三问，设CP CA λ= ，其中[]0,1λ∈，根据向量的坐标表示得到),PF t =-，()0,BE t = ，再由垂直关系列方程得到参数关系为关键.22.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，且经过点A .（1）求双曲线C 的方程；（2）点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足.证明：①直线MN 过定点；②存在定点Q ，使得DQ 为定值.【答案】22.22139x y -=；23.①证明见解析；②存在定点1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由给定的点和离心率求出,a b 即可得双曲线C 的方程.（2）设出点,M N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+，联立直线与双曲线方程，结合已知求得,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，验证直线斜率不存在的情况，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【小问1详解】由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，得2a ==，则b =，由双曲线C 过点A ，得22431a b -=，于是3a b ==，所以双曲线C 的方程为22139x y -=.【小问2详解】①设点1122(,),(,)M x y N x y ，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，由2239y kx m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得，222(3)290k x kmx m -+++=，显然2222230Δ44(3)(9)0k k m k m ⎧-≠⎨=--+>⎩，即22230930k m k ⎧-≠⎨+->⎩，212122229,33km m x x x x k k ++=-=--，由AM AN ⊥，得0AM AN ⋅= ，而1122(2,(2,AM x y AN x y =--=- ，则12121212(2)(2)((2)(2)(0x x y y x x kx m kx m --+=--++-+-=，整理得221212(1)[(2]()(40k x x k m x x m ++--++-+=，即22222(1)(9)2[(2]7033k m km k m m k k ++--+-+=--，整理得(20k m k m +-+=，显然直线MN 不过点A ，即20k m +-≠，因此40k m -+=，即4m k =+符合题意，直线MN ：(4)y k x =++过定点(4,P -，当直线MN 斜率不存在时，点11(,)N x y -，2111(2)(0x y y -+--=，而221139x y -=，显然12x ≠，解得14x =-，直线MN ：4x =-过点(4,P -，所以直线MN 过定点(4,P -.②由①知，直线MN 过定点(4,P -，而点A ，线段AP 中点1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，又AD MN ⊥，当点D 与P 不重合时，点D 是以线段AP 为斜边的直角三角形的直角顶点，则1||||22DQ AP ==，当点D 与P 重合时，1||||22DQ AP ==，所以存在定点1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，使得DQ 为定值2.【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．。

高二上学期期末教学质量检测数学试题(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！教学质量检测试卷高二数学一､单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1. 向量()2,4,5a =r ，向量()1,2,b t =r ，若a b ^r r，则实数t =（）A.52B. 1C. 2-D. 85-【1题答案】【答案】C 【解析】【分析】由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.【详解】因为向量()2,4,5a =r ，向量()1,2,b t =r ，若a b ^r r，则214250a b t ×=´+´+=r r，解得：2t =-，故选：C.2. 如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，则MN =uuuu r（）A. 111222OB OC OA +-uuur uuu r uuu r B. 111222OA OC OB --uuur uuu r uuu r C. 111222OB OC OA ++uuur uuu r uuu r D. 111222OA OC OB +-uuur uuu r uuu r 【2题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用向量的加法法则直接求解.【详解】Q 在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，()()11112222111111222222MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OAOA OB OC OA OB OC OA \=+=++=+-+-=++-=+-uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 故选：A ．3. 以x 轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（）A. 28y x= B. 28y x =-C. 28y x =或28y x =- D. 28x y =或28x y=-【3题答案】【答案】C 【解析】【分析】由分焦点在x 轴的正半轴上和焦点在x 轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据28p =，即可求解.【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，且通经长为8，当抛物线的焦点在x 轴的正半轴上时，设抛物线的方程为22(0)y px p =>，可得28p =，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =；当抛物线的焦点在x 轴的负半轴上时，设抛物线的方程为22(0)y px p =->，可得28p =，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =-，所以所求抛物线的方程为28y x =±.故选：C.4. 圆2241210x y x y ++-+=关于直线60(0,0)ax by a b -+=>>对称，则26a b+的最小值是（）A. B.203C.323D.163【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得33a b +=，然后由()2621333a b a b a b æö+=++ç÷èø，展开利用均值不等式可得答案.【详解】由圆2241210++-+=x y x y 可得标准方程为()()222639x y ++-=，因为圆2241210++-+=x y x y 关于直线60(0,0)ax by a b -+=>>对称，\该直线经过圆心()2,6-，即2660a b --+=，33(0,0)a b a b \+=>>，()26213233232319103333a b a b a b a b b a ææöæö\+=++=+++³+=çç÷ç÷çèøèøè，当且仅当33b a a b=，即34a b ==时取等号，故选：C.5. 某研究所计划建设n 个实验室，从第1实验室到第n 实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用多15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元.现在总共有建设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是（）A. 10B. 11C. 12D. 13【5题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列通项公式，列出方程组72361561a a a a -=ìí+=î，求出1203a d ==，的值，进而求出令n S ，根据题意令438n S £，即可求解.【详解】设第n 实验室的建设费用为n a 万元，其中1,2,3,n =×××，则{}n a 为等差数列，设公差为d ，则由题意可得723615152761a a d a a a d -==ìí+=+=î，解得1203a d =ìí=î，则()23133720222n n n S n n n -=+=+.令438n S £，即23378760n n +-£，解得73123n -££，又*N n Î，所以112n ££，*N n Î，所以最多可以建设12个实验室.故选：C.6. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且56476a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=LL （）A. 53 B. 5C. 3log 15D. 30【6题答案】【答案】B 【解析】【分析】利用对数的运算性质，结合等比数列的性质可求得结果.【详解】{}n a Q 是各项均为正数的等比数列，11029384756a a a a a a a a a a \====，56476a a a a +=Q ，56473a a a a \==，53132310312103log log log log ()log 35a a a a a a \+++===LL LL .故选：B7. 从直线34:15x l y +=上动点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为C 、D ，则CPD Ð最大时，四边形OCPD （O 为坐标原点）面积是（）A.B.C. D. 2【7题答案】【答案】B 【解析】【分析】分析可知当OP l ^时，CPD Ð最大，计算出OP 、PC ，进而可计算得出四边形OCPD （O 为坐标原点）面积.【详解】圆221x y +=的圆心为坐标原点O ，连接OC 、OD 、OP ，则OPC OPD Ð=Ð，设OPC OPD q Ð=Ð=，则2CPD q Ð=，OC PC ^，则1sin OC OP OPq==，的当OP 取最小值时，OP l ^，此时3OP ==，=，OC OD =，OP OP =，故OPC OPD @△△，此时，21OPC OCPD S S OC PC ==×=´=△四边形故选：B.8. 已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF V 是等腰三角形，且120A Ð=o ，则1ABF V 的周长为（）A.8 B. )41- C.8+ D. )22-【8题答案】【答案】A 【解析】【分析】设2AF m =，2BF n =．根据双曲线的定义和等腰三角形可得4n =，再利用余弦定理可求得m ，从而可得1ABF V 的周长.【详解】由双曲线2221(0)4x y b b-=>可得2a =．设2AF m =，2BF n =．则1224AF AF a -==，1224BF BF a -==，所以14AF m =+，14BF n =+．因为1ABF V 是等腰三角形，且120A Ð=°，所以1AF AB =，即4m m n +=+，所以4n =，所以18BF =，4AB m =+，在1ABF V 中，由余弦定理得2221112|cos BF AF AB AF AB A =+-´´´，即()()()22221844242m m m æö=+++-+´-ç÷èø，所以()23464m +=，解得4m =，1ABF \V 的周长44m m n n=+++++()828m n =++=．故选：A ．【点睛】关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.二､多选题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9. 已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{,,}MA MB MC uuu r uuur uuu u r成为空间的一个基底的是（）A. 111345OM OA OB OC=++uuuu r uuu r uuu r uuu r B. 2MA MB MC=+uuu r uuu r uuu u rC. 23OM OA OB OC=++uuuu r uuu r uuu r uuu r D. 32MA MB MC=-uuu r uuu r uuu u r【9题答案】【答案】AC 【解析】【分析】根据基底的性质，结合各选项中向量的线性关系、空间向量基本定理判断M 、A 、B 、C 是否共面，即可知{,,}MA MB MC uuu r uuur uuu u r是否能成为空间基底.【详解】A ：因为111345OM OA OB OC =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，且1111345++¹，利用平面向量基本定理知：点M 不在平面ABC 内，向量,,MA MB MC uuu r uuur uuu u r能构成一个空间基底；B ：因为2MA MB MC =+uuu r uuu r uuu u r，利用平面向量基本定理知：向量,,MA MB MC uuu r uuur uuu u r 共面，不能构成一个空间基底；C ：由23,1231OM OA OB OC =++++¹uuuu r uuu r uuu r uuu r，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM 是以点O 为顶点的对角线，向量,,MA MB MC uuu r uuur uuu u r能构成一个空间基底；D ：由32MA MB MC =-uuu r uuu r uuu u r，根据平面向量的基本定理知：向量,,MA MB MC uuu r uuur uuu u r 共面，不能构成空间的一个基底.故选：AC.10. 圆221:20+-=Q x y x 和圆222:240++-=Q x y x y 的交点为A ，B ，则有（）A. 公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B. 线段AB 中垂线方程为10x y +-=C. 公共弦ABD. P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大1+【10题答案】【答案】ABD 【解析】【分析】两圆方程作差即可求解公共弦AB 所在直线方程，可判断A ；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆1Q 的圆心即可线段AB 中垂线方程，可判断B ；求出圆心1Q 到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C ；求出圆心1Q 到公共弦AB 所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.【详解】对于A ，由圆221:20+-=Q x y x 与圆222:240++-=Q x y x y 的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20+-=Q x y x 的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-´-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆22=x ，圆心1Q ()1,0到0x y -=的距离为d1r ==，故C 不正确；对于D ，P 为圆1Q 上一动点，圆心1Q ()1,0到0x y -=的距离为d =，半径1r =，即P 到直线AB 距1+，故D 正确.故选：ABD11. 已知数列{a n }的n 项和为233n S n n =-+，则下列说法正确的是（）A. 234n a n =-+ B. S 16为S n 的最小值C. 1216272a a a +++=LD. 使得0n S >成立的n 的最大值为33【11题答案】【答案】AC 【解析】【分析】根据已知条件求得n a ，结合等差数列前n 项和公式确定正确选项.【详解】233n S n n =-+，当1n =时，1132a S ==，当2n ³时，()()221331331234n n n a S S n n n n n -éù=-=-+---+-=-+ëû，132a =也符合上式，所以234n a n =-+，A 正确.由于233n S n n =-+开口向下，对称轴为3316.52n ==，所以16S 是n S 的最大值，B 错误.由2340n a n =-+³解得*117,N n n ££Î，所以21216121616163316272a a a a a a S +++=+++==-+´=L L ，C 正确.()*233330133,N n S n n n n n n =-+=-->Þ£<Î，所以使0n S >成立的n 的最大值为32，D 错误.故选：AC12. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为 1F ，2F 且122F F =，点 ()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（）A. 1QF QP +的最小值为 21a -B. 椭圆C 的短轴长可能为2C. 椭圆C 的离心率的取值范围为æççèD. 若11PF FQ =uuu r uuur ，则椭圆 C +【12题答案】【答案】ACD【解析】【分析】A. 将1QF QP +，利用椭圆的定义转化为12222+=-+³-QF QP a QF QP a PF 求解；B.假设椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，与点P 在椭圆的内部验证；C. 根据点()1,1P 在椭圆内部，得到22111a b +<，又221a b -=，解得a ，再由1e a =求解；D. 根据11PF FQ =uuu r uuur，得到1F 为线段PQ 的中点，求得Q 坐标，代入椭圆方程求解.【详解】A. 因为122F F =，所以()221,0,1F PF =，所以1222221QF QP a QF QP a PF a +=-+³-=-，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以22111a b+<，又221a b -=，所以221b a =-，所以221111a a +<-，即42310a a -+>，解得2a >=，所以a >，所以1e a =<，所以椭圆C 的离心率的取值范围为æççèD. 若11PF FQ =uuur uuur ，则1F 为线段PQ中点，所以()3,1Q --，所以22911ab+=，又221a b -=，即421190a a -+=，解得2a ===，所以a =，所以椭圆C .故选：ACD【点睛】本题主要考查椭圆的定义，点与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三､填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知等比数列{}n a 满足1135121a a a a =++=，，则357a a a ++=_________．【13题答案】【答案】84的【分析】设公比为q ，求出2q ，再由通项公式代入可得结论．【详解】设公比为q ，则24135121a a a q q ++=++=，解得24q =所以()246224357184a a a q q q q q q++=++=++=．故答案为：84．14. 已知圆22:1214600M x y x y +--+=，圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，则圆N 的标准方程为________．【14题答案】【答案】22(6)(1)1x y -+-=【解析】【分析】根据题干求得圆M 的圆心及半径，再利用圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上确定圆N 的圆心及半径.【详解】圆的标准方程为22(6)(7)25x y -+-=，所以圆心()6,7M ，半径为5．由圆心N 在直线6x =上，可设()06,N y ．因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =．因此，圆N 的标准方程为22(6)(1)1x y -+-=．故答案为：22(6)(1)1x y -+-=【点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．两圆相切注意讨论内切外切两种情况.15. 已知(3,2,3)a =--r ，(1,1,1)b x =--r ，且a r 与b r的夹角为钝角，则x 的取值范围是___.【15题答案】【答案】523æö-ç÷èø，∪5+3¥æöç÷èø，【解析】【分析】根据题意得出0a b ×<r r 且a r 与b r不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件求出x 的取【详解】∵a r 与b r 的夹角为钝角，0a b \×<r r 且a r 与b r 不共线，即()32130a b x ×=----<r r ，且1132x --¹-，解得2x >-，且53x ¹，∴x 的取值范围是523æö-ç÷èø，∪5+3¥æöç÷èø，.故答案为：523æö-ç÷èø，∪5+3¥æöç÷èø.16. 如图，椭圆E 的左右焦点为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过原点，且与椭圆E 在第一象限交于点P ，若过P ､1F 的直线l 与圆2F 相切，则直线l 的斜率k =______；椭圆E 的离心率e =______.【16题答案】【答案】①. ②. 1-【解析】【分析】根据直角三角形的性质求得12PF F Ð，由此求得k ，结合椭圆的定义求得离心率.【详解】连接2PF ，由于l 是圆2F 的切线，所以12PF PF ^.在12Rt PF F V 中，212PF OF OF c ===，所以21212PF F F =，所以126PF F p Ð=，所以直线l 的斜率6tan πk ==.1PF =，根据椭圆的定义可知1212212F Fc cea a PF PF======-+.1-【点睛】本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，属于中档题.四､解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17. 直线l经过两直线1:3420l x y+-=和2:220l x y++=的交点．（1）若直线l与直线310x y+-=平行，求直线l的方程；（2）若点(3,1)A到直线l的距离为5，求直线l的方程．【17~18题答案】【答案】（1）340x y++=（2）2x=-或125340x y-+=【解析】【分析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出l的方程．（2）分类讨论直线l的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线l的方程．【小问1详解】解：由3420220x yx y+-=ìí++=î，解得22xy=-ìí=î，所以两直线1:3420l x y+-=和2:220l x y++=的交点为(2,2)-．当直线l与直线310x y+-=平行，设l的方程为30x y m++=，把点(2,2)-代入求得4m=，可得l 的方程为340x y ++=．【小问2详解】解：斜率不存在时，直线l 方程为2x =-，满足点(3,1)A 到直线l 的距离为5．当l 的斜率存在时，设直限l 的方程为2(2)y k x -=+，即220kx y k -++=，则点A 到直线l5=，求得125k =，故l 的方程为122205x y k -++=，即125340x y -+=．综上，直线l 的方程为2x =-或125340x y -+=．18. 已知等差数列{}n a 满足：25a =，5726a a +=，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求n a 及n S ；（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和nT 【18题答案】【答案】（1）22n n +；（2）23122n n n -++【解析】【分析】(1)先根据已知求出13,2a d ==，再求n a 及n S .(2)先根据已知得到13n n n b a -=+，再利用分组求和求数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以11521026a d a d +=ìí+=î，解得13,2a d ==，所以32(1)=2n+1n a n =+-；n S =n(n-1)3n+22´=2n +2n . （2）由已知得13n n n b a --=，由（1）知2n+1n a =，所以 13n n n b a -=+，n T =()123113322n n n S n n --+++×××+=++.【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项和前n 项和求法，考查分组求和和等比数列的求和公式，意在考的查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.19. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1// 22AD BC AB AD AB AD AA BC ^====，，（1）求二面角111C B C D --的余弦值；（2）若点P 为棱AD 的中点，点Q 在棱AB 上，且直线1B C 与平面1B PQ AQ 的长．【19题答案】【答案】（1）23，（2）1=AQ 【解析】【分析】（1）推导出11,,AB AA AD AA AB AD ^^^，以A 为原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角111C B C D --的余弦值；（2）设(02)AQ l l =££，则(,0,0)Q l ，求出平面1B PQ 的法向量，利用空间向量求出AQ 的长【详解】解（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1AA ^平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，AD Ì平面ABCD ，所以11,,AB AA AD AA ^^因为AB AD ^，所以以A 为原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为122AB AD AA BC ====，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),A B C D 1111(0,0,2),(2,0,2),(2,1,2),(0,2,2)A B C D ,所以111(2,2,0),(0,1,2)B D B C =-=-uuuur uuur ，设平面11B CD 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则11122020n B D x y n B C y z ì×=-+=ïí×=-=ïîr uuuur r uuur ，令2x =，则(2,2,1)n =r ，因为AB ^平面11B C C ，所以平面11B C C 的一个法向量为(2,0,0)AB =u u u r ，设二面角111C B C D --的平面角为a ，由图可知a 为锐角，所以二面角111C B C D --的余弦值为42cos 323n AB n AB a ×===´r uuu r r uuu r （2）设(02)AQ l l =££，则(,0,0)Q l ，因为点P 为AD 的中点，所以(0,1,0)P ，则1(,1,0),(2,0,2)PQ B Q l l =-=--uuu r uuur ，设平面1B PQ 一个法向量为111(,,)z m x y =u r ，则111110(2)20m PQ x y m B Q x z l l ì×=-=ïí×=--=ïîu r uuu r u r uuur ，令12x =，则(2,2,2)m l l =-u r ，设直线1B C 与平面1B PQ 所成角的大小为b ，因为直线1B C 与平面1B PQ，所以sin b =，解得1l =或15l =-（舍去）所以1=AQ 的【点睛】关键点点睛：此题考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查运算能力，解题的关键是根据是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，属于中档题20. 已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>过点，且离心率e =（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，1112AF BF ×=uuur uuu r ，求1ABF V 的面积．【20题答案】【答案】（Ⅰ）2212x y +=；【解析】【分析】（Ⅰ）根据已知点，离心率以及222c a b =-列方程组，解方程组可得,a b 的值即可求解；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x my =+，联立直线与椭圆方程消去x ，可得12y y +，12y y ，利用向量数量积的坐标表示列方程可得m 的值，计算12y y -，利用面积公式计算1121212ABF S F F y y =-V 即可求解.【详解】（Ⅰ）将代入椭圆方程可得2213241a b +=，即2213124a b +=①因为离心率c e a ===222a b =，②由①②解得21b =，22a =，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（Ⅱ）由题意可得()11,0F -，()21,0F ，设直线l 的方程为1x my =+．将直线l 的方程代入2212x y +=中，得()222210m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222m y y m +=-+，12212y y m =-+．所以()1111,AF x y =---uuur ，()1221,BF x y =---uuu r ，所以()()111212121212111AF BF x x y y x x x x y y ×=+×++=++++uuur uuu r ()()()1212122111m y y my my y y =+++++++222222222142222m m m m m m m =----++++2272m m -=+，由227122m m -=+，解得24m =，所以1223y y +=±，1216y y =-，因此1121211222ABF S F F y y =-=´=V 21. 已知数列{}n a 满足12a =，()*112N n na n a +=-Î．（1）设11n n b a =-，求证数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<对任意的*N n Î都成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，试说明理由．【21题答案】【答案】（1）1+=n n a n ；（2）存在，3．【解析】【分析】(1)结合递推关系可证得b n +1－b n =1，且b 1＝1，可证数列{b n }为等差数列，据此可得数列{}n a 的通项公式；(2)结合通项公式裂项有21122n n c c n n ，+æö=-ç÷+èø求和有111213212n T n n æö=+--<ç÷++èø，再结合条件可得()134m m +³ ，即求．【详解】（1）证明：∵1111111111112111n n n n n n n n n a b b a a a a a a ++-=-=-=-=-------，又由a 1＝2，得b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以b n ＝1+(n －1)×1＝n ，由11n n b a =-，得1+=n n a n．（2）解：∵221n n a c n n==+，()2411222n n c c n n n n +æö==-ç÷++èø，所以11111111212133242212n T n n n n æöæö=-+-++-=+--<ç÷ç÷+++èøèøL ，依题意，要使11n m m T c c +<对于n ∈N *恒成立，只需()134m m +³，解得m ≥3或m ≤-4．又m ＞0，所以m ≥3，所以正整数m 的最小值为3．22. 如图，方程为22x py =的抛物线C ，其上一点(),2Q a 到焦点F 的距离为3，直线AB 与C 交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧，点B 在y 轴右侧），与y 轴交于D 点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若4OA OB ×=-uuu r uuu r ，求证直线AB 过定点，并求出定点坐标；（3）若()0,5D ，OA BF ^，求直线OA 的斜率t 的值.【22题答案】【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析，定点为()0,2；（3）【解析】【分析】（1）本题首先可根据抛物线方程得出准线方程为2p y =-，然后根据抛物线定义得出232p +=，解得p 的值，即可得出结果；（2）本题首先可设直线AB 的方程为y kx b =+，然后联立直线方程与抛物线方程，得出124x x k +=、124x x b =-，从而得出212y y b =，最后根据4OA OB ×=-uuu r uuu r 即可求出b 的值以及直线经过的定点坐标；（3）本题首先可以设直线OA 的方程为y tx =，与抛物线方程联立得出()24,4A t t ，然后得出直线AB 方程，与抛物线方程联立得出2525,4B t t æöç÷-ç÷èø，最后根据OA BF ^即可求出斜率t 的值.【详解】（1）因为抛物线C 的方程为22x py =，所以抛物线C 的准线方程为2p y =-，因为抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点F 的距离为3，所以结合抛物线定义易知，232p +=，解得2p =，故抛物线C 的方程为24x y =，()0,1F .（2）由题意易知直线AB 的斜率定存在，设直线AB 的方程为y kx b =+，联立24y kx b x y=+ìí=î，整理得2440x kx b --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x b =-，故()22222212121244y y k x x kb x x b bk kb b b =+++=-++=，因4OA OB ×=-uuu r uuu r ，所以12124x x y y +=-，即2440b b -+=，解得2b =，故直线AB 的方程为2y kx =+，过定点()0,2.（3）设直线OA 的方程为y tx =，联立24y tx x y =ìí=î，整理得240x tx -=，解得0x =或4t ，()24,4A t t ，则2454AD t K t -=，直线AB 方程为24554t y x t-=+，联立2245544t y x t x y ì-=+ïíï=î，整理得2245200t x x t ---=，解得4x t =或5t -，2525,4B t t æöç÷-ç÷èø，则()24,4OA t t =uuu r ，2525,14BF t t æöç÷=-ç÷èøuuu r ，因为OA BF ^，所以2204250OA BF t ×=+-=uuu r uuu r，解得t =±，结合图像易知，t =-OA 的斜率t的值为.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线定义的应用以及直线与抛物线相交的相关问题的求解，抛物线的定义为到定点和定直线的距离相等的点的轨迹，考查韦达定理的应用，考查向量数量积的坐标表示以及利用向量垂直求参数，考查计算能力，考查函数方程思想，是难题.为。

2023-2024学年济南市高二数学上学期期末质量检测试卷附答案解析

2023-2024学年济南市高二数学上学期期末质量检测试卷2024年1月全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线10x y -+=的倾斜角是（）A．30︒B．45︒C．60︒D．120︒2．已知双曲线2212y x -=，则其渐近线方程为（）A．12y x=±B．y x =C．y =D．2y x=±3．已知正项等比数列{}n a 中，2816⋅=a a ，则5a 等于（）A．2B．4C．5D．84．在三棱柱111ABC A B C -中，若AC a = ，AB b = ，1AA c =，则1CB = （）A．a b c +-r r r B．a b c-+r r rC．a b c -+- D．a b c-++5．2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会．某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n 站比第n 1-站多n 千瓶（2n ≥且*N n ∈），第10站准备的饮用水的数量为（）A．45千瓶B．50千瓶C．55千瓶D．60千瓶6．已知(2,0)A ，(8,0)B ，若直线y kx =上存在点M 使得0AM BM ⋅=，则实数k 的取值范围为（）A．33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．44,33⎡⎤-⎢⎣⎦C．33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D．44,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，其中A、2F 分别为双曲线的左顶点、右焦点，P 为双曲线上的点，满足2PF 垂直于x 轴且222AF PF =，则双曲线的离心率为（）A．32B．43C．2D．38．如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P 为直线DE 上的动点，则P 到直线AB 距离的最小值为（）A．22B．63C．74D．105二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．一条光线从点(2,3)A -射出，射向点(1,0)B ，经x 轴反射后过点(,1)C a ，则下列结论正确的是（）A．直线AB 的斜率是1-B．AB BC⊥C．3a =D．||||AB BC +=10．已知1F ，2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点A，B 的动点，则下列结论正确的是（）A．椭圆C 的焦距为6B．12PF F △的周长为16C．128PF ≤≤D．12PF F △的面积的最大值为1611．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P，Q 分别满足111D P D B λ= ，1DQ DA λ= ，则（）A．()0,1λ∃∈，使1PQ A D ⊥且11PQ B D ⊥B．()0,1λ∀∈，//PQ 平面11ABB A C．()0,1λ∃∈，使PQ 与平面ABCD 所成角的正切值为23D．()0,1λ∀∈，BP 与AQ 是异面直线12．已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ，{}*32,B x x n n ==-∈N ．将A B ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（）A．23a =B．46n n a a +-=C．20233035a =D．若2024n S >，则52n ≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知(2,1,1)a = ，(6,,3)b λ=-- ，若a b ∥ ，则λ的值为．14．已知等差数列{}n a 首项17a =，公差2d =-，则前n 项和n S 的最大值为．15．已知圆22:4C x y +=，直线:10l mx y m +--=，直线l 被圆C 截得的最短弦长为．16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F，过点F 作与x 轴不垂直的直线l 交C 于点A，B，过点A 做垂直于x 轴的直线交C 于点D，若点M 是ABD △的外心，则||||AB MF 的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{}n a ，满足25215a a +=，47a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令(1)nn n b a =-，求{}n b的前2n 项和2n T ．18．已知圆心为C 的圆经过()0,0O，(0,A 两点，且圆心C在直线:l y =上．(1)求圆C 的标准方程；(2)点P 在圆C 上运动，求22PO PA+的取值范围．19．已知抛物线的准线方程为2x =-，直线l 与抛物线交于,A B 两点，O 为坐标原点．(1)若OAB 为等腰直角三角形，求OAB 的面积；(2)若OA OB ⊥，证明：直线l 过定点P，并求出定点P 的坐标．20．如图（1）所示PAB 中，AP AB ⊥，12AB AP ==．,D C 分别为,PA PB 中点．将PDC △沿DC 向平面ABCD上方翻折至图（2）所示的位置，使得PA =．连接,,PA PB PC 得到四棱锥P ABCD -．记PB 的中点为N ，连接CN ．(1)证明：CN ⊥平面PAB ；(2)点Q 在线段CN 上且2QC QN =，连接,AQ PQ ，求平面PAQ 与平面ABCD 的夹角的余弦值．21．设数列{}n a ，其前n 项和为n S ，2233n S n n =+，{}n b 为单调递增的等比数列，123729b b b =，1236b a b a +=-．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)记mc 为{}n b 在区间(]()*0,m a m ∈N 中的项的个数，求数列{}m c 的前100项和100T．22．在平面直角坐标系．xOy 中，设1A ，2A 两点的坐标分别为(2,0)-，(2,0)．直线1A M，2A M相交于点M，且它们的斜率之积是12-．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)记动点M 的轨迹为曲线E，过(1,0)P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l与曲线E 交于A、B 两点，2l 与曲线E 交于C、D 两点，求AC BD ⋅ 的最大值．1．B【分析】根据直线的一般方程与斜率的关系，结合斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】直线10x y -+=的斜率为1，故倾斜角为45︒.故选：B 2．C【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．【详解】由于双曲线为2212y x -=，所以其渐近线方程为2y =±.故选：C.3．B【分析】根据等比中项的性质计算即可.【详解】由题意易知228516a a a ⋅==，又{}n a 各项为正数，所以54a =.故选：B4．D【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.【详解】由题可知111CB CC CB AA AB AC a b c =+=+-=-++ .故选：D5．C【分析】设第n 站的饮用水的数量为n a (1,2,3,,10)n = ，由题意得：11a =，212a a -=，323a a -=，L，10910a a -=，然后利用累加法即可求解.【详解】设第n 站的饮用水的数量为n a (1,2,3,,10)n = ，由题意得：11a =，212a a -=，323a a -=，L ，10910a a -=，以上等式相加得：，()()()()10121321091101012310552a a a a a a a a +⨯=+-+-++-=++++== ，即1055a =.故选：C6．A【分析】由题可得点M 的轨迹方程，再由直线与圆有公共点建立不等式，求解即可.【详解】因为0AM BM ⋅=，所以AM BM ⊥，则点M 在以AB 为直径的圆上，因为AB 的中点坐标为(5,0)，6AB =，所以点M 的轨迹方程为22(5)9x y -+=，由题可知，直线y kx =与圆22(5)9x y -+=3≤，解得：3344k -≤≤.故选：C7．A 【分析】设()0,P c y ，代入双曲线方程求出y ，根据222AF PF =可得答案.【详解】设()0,P c y ，则220221y c a b -=，解得20b y a =，即22b PF a =，2AF a c =+，因为222AF PF =，所以22+=b a c a ，可得()2222a ac c a +=-，2230e e --=，解得32e =.故选：A.8．B【分析】作出该几何体，确定直线DE 和直线AB 为异面直线，再根据平面ABC //平面DEF ，结合等体积法求得D 到平面ABC 的距离即可.【详解】把平面展开图还原为空间八面体，如图所示：由题意，P 到直线AB 距离的最小值即直线DF 到直线AB 的距离，又DF //AC ，AC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，故DF //平面ABC .又1BC BD EC ED ====，故四边形BCED 为菱形，则DE //BC .BC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，故DE //平面ABC .又DF DE D = ，,DF DE ⊂平面DEF ，故平面DEF //平面ABC .故直线DF 到直线AB 的距离为平面DEF 到平面ABC 的距离.则D 到平面ABC 的距离即为P 到直线AB 距离的最小值.设AF 与CD 交于O ，则易得O 为正四棱锥B ADFC -中心.则1BA BC BD AC AD =====，CD ===，故BCD △为直角三角形，故2OB =.设D 到平面ABC 的距离为h ，则由B ACDD ABC V V --=，故1133ACD ABC S BO S h ⋅=⋅ ，故12311224h ⨯⨯⨯=，解得h =.故选：B9．ABD【分析】选项A 应用斜率公式计算即可；选项B，先求得点A 关于x 轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得点C 的坐标；选项D 应用两点间距离公式求解即可.【详解】由于(2,3)A -、(1,0)B ，由斜率公式得：0311(2)AB k -==---，选项A 正确；点(2,3)A -关于x 轴的对称点1A 的坐标为(2,3)--，经x 轴反射后直线BC 的斜率为：10(3)11(2)BC A B k k --===--，且1BC AB k k ⋅=-，所以AB BC ⊥，选项B 正确；直线BC 即直线1A B的方程为：01(1)y x -=⨯-，即1y x =-，将1y =代入得：2x =，所以点(2,1)C ，2a =，选项C 不正确；由两点间距离公式得：||||AB BC +=选项D 正确；故选：ABD.10．AB【分析】由椭圆方程求得a ，b ，c 的值，根据椭圆的几何性质结合选项即可逐一求解.【详解】由椭圆22:12516x y C +=，得5a =，4b =，3c =，∴椭圆C 的焦距为26c =，故A 正确；又P 为椭圆C 上异于长轴端点A ，B 的动点，∴△12PF F 的周长为2216a c +=，故B 正确；12||8a c PF a c =-<<+=，故C 错误；当P 为椭圆C 的短轴的一个端点时，△12PF F 的面积取最大值为12122c b bc ⨯⨯==，故D 错误．故选：AB．11．BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一计算判定选项即可.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意可知()()()()()()11,,1,,0,,1,0,1,0,0,1,1,1,0,1,0,0P Q A D B A λλλλ，则()()()()10,,1,1,0,1,1,1,1,1,0,PQ DA BP AQ λλλλλλ=--==--=-，平面11ABB A 的一个法向量为()1,0,0m = ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n = ，对于A，若1PQ A D⊥，则()()10,,11,0,110PQ DA λλλ⋅=--⋅=-=()10,1λ⇒=∉，故A 错误；对于B，易知()()0,,11,0,00PQ m λλ⋅=--⋅=恒成立，且PQ ⊄平面11ABB A ，则//PQ 平面11ABB A ，故B 正确；对于C，设PQ 与平面ABCD 所成角为π0,2αα⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若2tan sin 3αα=⇒=，即sin cos ,PQ nPQ n PQ nα⋅====⋅，解之得35λ=或3λ=，显然()0,1λ∃∈，使得结论成立，故C 正确；对于D，因为()()1,1,1,1,0,BP AQ λλλλ=--=-，若,BP AQ 共线，则存在实数k ，使得()11101k BP k AQ k k λλλλ⎧-=-⎪=⇒-=⨯⎨⎪=⎩ ，解得()10,1λ=∉，所以()0,1λ∀∈，,BP AQ不共线，故D 正确.故选：BCD12．ABD【分析】求得,A B A B 中的一些元素，结合等差数列的定义、通项公式、求和公式，对选项逐一判断即可.【详解】由题意可得：{}*65,A B x x n n ⋂==-∈N ,可得{}1,3,4,5,7,9,10,11,13,15,16,17,19,A B ⋃= ，则123456781,3,4,5,7,9,10,11,,a a a a a a a a ======== 对于选项A:易得23a =，故A 正确；对于选项B:易得46n n a a +-=，故B 正确；对于选项C:由46n n a a +-=，可得202335056430303034a a =+⨯=+=，故C 错误；对于选项D:易得数列{}n a 每隔四个一组求和，可构成等差数列，其首项为13，公差为24，由11312121124107020242⨯+⨯⨯⨯=<，11313131224204120242⨯+⨯⨯⨯=>，则2024n S >，此时有52n ≥，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：关键是通过123456781,3,4,5,7,9,10,11,,a a a a a a a a ======== 找到46n n a a +-=，由此借助等差数列的相关知识，进而求解即可.13．3-【分析】根据向量共线即可求解.【详解】由(2,1,1)a = ，(6,,3)b λ=-- ，a b ∥ ，可得3b a =-r r ，故3λ=-，故答案为：3-14．16【分析】利用等差数列前n 项和公式和,结合二次函数的性质即可求解．【详解】等差数列{}n a 首项17a =，公差2d =-，22(1)7(2)8(4)162n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+．则前n 项和nS 的最大值为16．故答案为：16．15．【分析】先求出直线l 过定点()1,1A ，数形结合得到当AC 与故直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求出最短弦长.【详解】:10l mx y m +--=变形为()110m x y -+-=，故直线l 过定点()1,1A ，故当AC 与故直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，其中22:4C x y +=的圆心为()0,0C ，半径为2，此时弦长为=.故答案为：16．2【分析】设直线():10l x my m =+≠，联立方程，利用韦达定理求AB以及点M 的坐标，即可得结果.【详解】由题意可知：抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，可知直线l 与抛物线必相交，设直线():10l x my m =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，可得()11,A x y -，联立方程241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x 得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，可得()241AB m =+，1222y y m +=，且212212x x m +=+，即线段AB 的中点()221,2m m +，则线段AB 的中垂线方程为()2221y m m x m -=---，由题意可知：点M 在x 轴上，令0y =，可得223x m =+，即()223,0M m +，则()221MF m =+，所以()()2241221m AB MF m +==+.故答案为：2.【点睛】方法点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解，在使用根与系数的关系时，在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在．17．(1)21n a n =-(2)22n T n=【分析】（1）由题意得()111241537a d a d a d ⎧+++=⎪⎨+=⎪⎩，代入等差数列通项公式即可求解；（2）由(1)(21)n n b n =--，代入求和即可.【详解】（1）由已知，得()111241537a d a d a d ⎧+++=⎪⎨+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，故21n a n =-（2）由（1）得(1)(21)nn b n =--，所以122122(1)(41)(1)(43)41(43)2n n n n b b n n n n --=--+--=--+-=，得21234212()()()2n n n T b b b b b b n-=++++++= ．18．(1)()(2214x y -+=(2)[]8,24【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可；（2）设P 坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.【详解】（1）圆经过()0,0O，(0,A 两点，得圆心在OA的中垂线y =又圆心C在直线:l y =上，联立直线方程有y y ⎧⎪⎨⎪⎩，得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即圆心坐标为(C ，又224r CO ==，故圆C 的标准方程为()(2214x y -+=．（2）设()00,P x y ，易知[]01,3x ∈-，则((22222222000000226PO PA x y x y x y +=+++-=++（*），因为点P 在圆C 上运动，则()(220014x y -+=，故（*）式可化简为，()2222000||||22416412PO PA x x x ⎡⎤+=+--+=+⎣⎦，由[]01,3x ∈-得22PO PA+的取值范围为[]8,24．19．(1)64(2)证明见解析，(8,0)P 【分析】（1）先根据准线方程求得抛物线方程，再由抛物线及等腰直角三角形的对称性得AOB 90∠=，OA OB =，从而求得,A B 坐标计算面积即可；（2）设直线l 方程及,A B 坐标，与抛物线方程联立，由垂直关系及韦达定理计算即可.【详解】（1）因为抛物线的准线为2x =-，可得抛物线的方程为：28y x =，又AOB 为等腰直角三角形，根据抛物线及等腰直角三角形的对称性可知：AOB 90∠=，OA OB =，且,A B 两点关于横轴对称，则直线:OA y x =．于是28y x y x =⎧⎨=⎩得()8,8A ，则()8,8B -，所以()1888642OAB S =⨯⨯+= ．（2）设直线:l x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立28x my n y x =+⎧⎨=⎩，得2880y my n --=，264320m n +∆=>，且128y y m +=，128y y n ⋅=-又因为OA OB ⊥，则12121OA OB y y k k x x ⋅==-，即12120y y x x +=．由28y x =，得2118y x =，2228y x =，222121264y y x x n ==，即2121280y y x x n n +=-=，解得8n =或0n =（舍去）．当8n =时，满足0∆>．此时，直线l 的方程8x my =+．则l 过定点(8,0)P ．20．(1)证明见解析(2)31919【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角.【详解】（1）取AB 中点M，连接NM，CM．则//,CD AM CD AM =，即四边形AMCD 为平行四边形，所以CM AD ∥，又因为AB AD ⊥，所以AB CM ⊥，由PD CD ⊥，CD AB ∥，即AB PD ⊥，又AB AD ⊥，=PD AD D ⋂，,PD AD ⊂平面PAD ,所以AB ⊥平面PAD ，又AP ⊂平面PAD ，故AB AP ⊥，又因为NM AP ∥，则AB NM ⊥，又NM CM M = ，,NM CM ⊂平面NCM所以AB ⊥平面NCM ，又CN ⊂平面NCM ，所以CN AB ⊥，又在PCD 中，6PD CD ==且PD CD ⊥，在BCM 中，6CM BM ==且⊥CM BM ，则PC BC ==N 为PB 中点，所以CN PB ⊥，又AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ,所以CN ⊥平面PAB ．（2）由6PD AD ==，AP =222PD AD AP +=，即PD AD ⊥，又PD CD ⊥，AD CD ⊥，故以D 为坐标原点，以,,DA DC DP 所在直线x 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,6)P ，(0,0,0)D ，(0,6,0)C ，(6,0,0)A ，(6,12,0)B ，(3,6,3)N ，故(3,0,3)CN = ，(6,0,6)PA =- ，因为2(2,0,2)3CQ CN ==，所以(2,6,2)Q ，(2,6,4)PQ =-，设平面PAQ 的法向量()1111,,n x y z =，平面ABCD 的法向量()2222,,n x y z =，则111116602640PA n x z PQ n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取13x =，解得1(3,1,3)n = ，易知DP ⊥平面ABCD ，即2(0,0,1)n =，所以12319cos ,19n n ==，所以平面PAQ 与平面ABCD的夹角的余弦值为．21．(1)3n a n=，()*3n n b n =∈N (2)384【分析】（1）根据,n na S 的关系即可求解3n a n=，根据等比数列基本量的计算即可求解()*3n n b n =∈N ，（2）利用列举法即可逐一求解{}m c 的前100项，即可求和得解.【详解】（1）对于数列{}n a ，因为2233n S n n =+①，所以2123(1)3(1)n S n n -=-+-，2n ≥，*n ∈N ②-①②得()*32,n a n n n =≥∈N由①式，当1n =时，得13a =，也满足3n a n=，所以()*3n a n n =∈N ．因为数列{}n b 为等比数列，由等比数列的性质得31232729b b b b ==，得29b =，设数列{}n b 的公比为q ，又因为26a =，618=a ，所以1236b a b a +=-即96918q q +=-，解得3q =或13-，又因为{}n b为单调递增的等比数列，所以3q =，所以()*3n n b n =∈N （2）由于133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，所以1c ，2c 对应的区间为(0,3]，(0,6]，则121c c ==，即有2个1；3c ，4c ，…,8c 对应的区间为(0,9]，(0,12]，…,(0,24]，则3482c c c ==⋅⋅⋅==，即有6个2；9c ，10c ，…,26c 对应的区间为(0,27]，(0,30]，…,(0,78]，则910263c c c ==⋅⋅⋅==，即有18个3；27c ，28c ，…,80c 对应的区间为(0,81]，(0,84]，…,(0,240]，则2728804c c c ==⋅⋅⋅==，即有54个4；81c ，82c ，…,100c 对应的区间为(0,243]，(0,246]，…,(0,300]，则81821005c c c ==⋅⋅⋅==，即有20个5；所以1001226318454520384T =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22．(1)221(0)42x y y +=≠(2)4-【分析】（1）设出点M 的坐标为(,)x y ，根据斜率之积得到方程，求出轨迹方程，注意0y ≠；（2）设1:(1)l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，设()33,C x y ，()44,D x y，同理得到两根之和，两根之积，根据直线1l ，2l 相互垂直，得到()()()222291212k AC BD kk -+⋅=++，利用基本不等式求出最大值.【详解】（1）设点M 的坐标为(,)x y ，因为直线1A M ，2A M的斜率之积是12-，所以1222y y x x ⋅=-+-，所以22142x y +=，因为点M 与1A ，2A 两点不重合，所以点M 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠．（2）显然直线1l，2l 的斜率都存在且不为0，设1:(1)l y k x =-，21:(1)l y x k =--，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2222214240k x k x k +-+=-，显然()()4222164212424160k k k k ∆=-+-=+>，所以212221224212421k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以()()()2222221121212222224431111212121k k k y y k x x k x x x x k k k k ⎣⎛⎫ -⎪--=--=-++=+=⎡⎭⎦⎝⎤+++，同理23422223422234221442121124242121133,2121k x x k k k k x x k k k y y k k ⎧⎛⎫-⎪⎪⎝⎭⎪+==⎪+⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-- ⎪-⎪⎝⎭==⎨+⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-- ⎪⎪-⎝⎭⎪==+⎪⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线1l ，2l 相互垂直，所以0AP PD PC BP ⋅=⋅=，所以()()AC BD AP PC BP PD AP BP PC PD ⋅=+⋅+=⋅+⋅()()()()121234341111x x y y x x y y =--++--+()()12121234343411x x x x y y x x x x y y =-++++-+++22222222222443244311212121222k k k k k k k k k k ----=-+++-++++++++22223333212k k k k ----=+++，则()()()()()()222222222911942122122k kAC BD k k k k -++⋅=≤-=-++⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当22212k k +=+，即1k =±时取得等号，所以AC BD ⋅的最大值为4-．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。

湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题(含答案)

长郡中学2024年高二暑假作业检测试卷数学得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“对任意，”的否定为A ．对任意， B ．存在，C ．对任意，D ．存在，2．已知，，则A ． B ．C ．D ．3．已知，则A ．2B ．C ．4D ．★4．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（-∞，0]上单调递增，若对任意的，不等式恒成立，则a 的取值范围是A ．B ．C ．（-2，2） D ．（-∞，-2）∪（2，＋∞）5．已知，，则A．B ．C ．D ．★6．若函数有两个零点，则实数m 的取值范围是A ．（-1，2）B ．（-1，1）C ．（0，1）D ．（-1，0）7．如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，最短路线长度为x ∈R 2240x x -+≤x ∈R 2240x x -+≥0x ∈R 200240x x -+>x ∉R 2240x x -+≥0x ∉R 200240x x -+>{}|43A x x =-≤≤(){}|lg 10B x x =->A B = {}|42x x -<≤{}|42x x -≤≤{}|23x x <<{}|23x x <≤3i1iz +=-|1|z +=x ∈R ()()21f ax f x >+11,22⎛⎫-⎪⎝⎭11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭()2tan 5αβ+=πtan 4β⎛⎫+=⎪⎝⎭3221318161322()|e 1|xf x m =-+12PA =23AB AP =A ．B ．16C ．D ．128．在△ABC 中，，O 是△ABC 的外心，M 为BC 的中点，，N 是直线OM 上异于M ，O 两点的任意一点，则A ．3B ．6C ．7D ．9二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知事件A ，B 发生的概率分别为，，则A ．若，则事件与B 相互独立 B ．若A 与B 相互独立，则C ．若A 与B 互斥，则 D ．若B 发生时A10．，，若在上的投影向量为，则A ． B ． C ． D ．11．已知，，且，则A ． B ．C ．的最大值为2D ．选择题答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知函数则________．AC =8AB AO ⋅=AN BC ⋅=()13P A =()16P B =()19P AB =A ()49P A B = ()49P A B =(),1a λ= ()1,1b =-a b b 3λ=a b P ()a ab ⊥- ||a b -=1x >1y >4xy =45x y +<≤220log log 1x y <⋅≤2log yx21log log 2x x y -+<≤()()3,0,2,0,x x f x f x x ⎧>⎪=⎨+⎪⎩≤31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭13．一组数据42，38，45，43，41，47，44，46的第75百分位数是________．★14．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）★15．（13分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，．（1）求△ABC 的面积；（2）若b ．16．（15分）已知函数，．（1）解不等式；（2）若对任意的恒成立，求m 的取值范围．★17．（15分）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是菱形，，，E 为AD 的中点，点F 在PA 上，．（1）证明：；（2）若，且PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值．18．（17分）已知函数f （x ）满足：，，且当时，，函数．（1）求实数m 的值；111ABC A B C -1AB =12AC AA ==2π3BAC ∠=1S 2S 3S 123S S S -+=1sin 3B=sin sin A C =()πcos 1224x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()sin 2g x x =()1f x ≥()()mf x g x ≤π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦PBC ABCD ⊥平面平面30ACD ∠=︒3AP AF =PC BEF 平面P PDC PDB ∠=∠x ∀∈R ()()132f x f x +=-[]0,3x ∈()2f x x x m =--+()()21xg x =-（2）若，且，求x 的取值范围；（3）已知，其中，是否存在实数λ，使得恒成立？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（17分）设整数集合，其中，且对任意i ，j （），若，则．（1）请写出一个满足条件的集合A ；（2）证明：对任意，；（3）若，求满足条件的集合A 的个数．长郡中学2024年高二暑假作业检测试卷数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案BDBCADCBABADABC8．B 【解析】因为O 是△ABC 的外心，M 为BC 的中点，设AC 的中点为D ，连接OD ，所以，，设，则，又O 是△ABC 的外心，所以，所以．故选B ．(0,3]x ∈()()0g x f x ->()223h x x x λλ=-+-+[]0,1x ∈()()()()g h x f h x >{}12100,,,A a a a = 121001205a a a <<< ≤≤1100i j ≤≤≤i j A +∈i j a a A +∈{}101,102,,200x ∈ x A ∉100205a =OM BC ⊥OD AC ⊥ON OM λ= ()AN BC AO ON BC AO BC OM BCλ⋅=+⋅=⋅+⋅ ()AO BC AO BA AC=⋅=⋅+AO BA AO AC AO AB AO AC =⋅+⋅=-⋅+⋅ ()(2211||||cos ||cos ||||1422AO AC AO AC CAO AO CAO AC AC ⋅=⋅∠=∠⋅==⨯= 8146AN BC AO AB AO AC ⋅=-⋅+⋅=-+=11．ABC 【解析】因为，所以，因为所以，对于A ，，令，，由双勾函数的性质可得函数f （x ）在（1，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增，所以，又，，所以，即，故A 正确；对于B ，，由，得，所以，即，故B 正确；对于C ，令，则，即，即，则，由，得，所以当时，lg k 取得最大值lg2，所以k 的最大值为2，即的最大值为2，故C 正确；对于D ，，令，，则，4xy =4y x=1,41,x y x >⎧⎪⎨=>⎪⎩14x <<4x y x x +=+()4f x x x=+14x <<()()min 24f x f ==()15f =()45f =()[4,5)f x ∈45x y +<≤()()222222224log log log log log 2log log 11x y x x x x x⋅=⋅=⋅-=--+14x <<20log 2x <<()220log 111x <--+≤220log log 1x y <⋅≤2log yxk =224log log log x y k x==4lglg lg 2lg k x x =2lg 2lg lg lg 2lg x kx -=()()()22lg 2lg 2lg lg lg 2lg 2lg lg 2lg 2x x x k -+⋅--+==14x <<0lg 2lg 2x <<lg lg 2x =2log yx2224log log log log log 2log 21x xx x y x x x+=+=+-2log t x ∈()0,2t ∈1log 2x t=则，令，，由双勾函数的性质可得函数g （t ）在上单调递减，在上单调递增所以，当x →0时，g （t ）→＋∞，所以，即，故D 错误．故选ABC ．三、填空题12．13．45.5 14．四、解答题15．【解析】（1）由题意得，，，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，所以，即，则．（2）由正弦定理得，则，222log log log 2log 211x xx y x t t+=+-=+-()21g t t t=+-()0,2t ∈()2()min 1g t g==()1,)g t ∈-+∞2log log 1x x y +≥811640π322112S a =⋅=22S =23S =222123S S S a -+=-+=2222a c b +-=222cos 2a c b B ac+-=cos 1ac B =cos 0B >1sin 3B =cos B ==1cos ac B ==1sin 2ABC S ac B ==△sin sin sin b a cB A C==229sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =⋅===则，所以．16．【解析】（1）依题意，，由，得则，，解得，，所以不等式的解集为（）．（2）由，得，由，得，令，，原不等式化为，即，显然函数在上单调递增，则当时，，因此，所以m 的取值范围为．17．【解析】（1）设AC ，BE 的交点为O ，连接FO ，易知O 为△ABD 的重心，所以，而，所以在△APC 中，，所以，又，，所以．（2）因为，所以，所以△DCB 为等边三角形，所以，又因为，所以，所以，取BC 的中点为H ，连接PH ，则，3sin 2b B =31sin 22b B ==()212sin cos 12sin 222222x x x x x x f x ⎫=-+=+-⎪⎪⎭πsin cos 4x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()1f x ≥πsin 4x ⎛⎫+⎪⎝⎭ππ3π2π2π444k x k +++≤≤k ∈Z π2π2π2k x k +≤≤k ∈Z ()1f x ≥π2π,2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦k ∈Z ()()mf x g x ≤()sin cos sin 2m x x x +≤π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πππ442x +≤≤πsin 14x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭2sin 22sin cos 1x x x t ==-21mt t -≤211t mt t t t-=-≤1y t t =-1t =min 0y =0m ≤0m ≤12AO OC =12AF FP =12AO AF OC FP ==FO PC P FO BEF ⊂平面PC BEF ⊄平面PCBEF 平面P 30ACD ∠=︒30ACB ∠=︒DC DB =PDC PDB ∠=∠PDB PDC △≌△PB PC =PH BC ⊥因为，，所以，以H 为坐标原点，HD ，HB ，HP 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为PD 与平面ABCD 所成的角为，所以，设菱形ABCD 的边长为2，则，B （0，1，0），，，，因为，所以，，，，设平面AEF 的法向量为，则令，，，所以，设平面BEF 的法向量为，则令，，所以，则PBC ABCD ⊥平面平面PBC ABCD BC = 平面平面PH ABCD ⊥平面45PDH ∠=︒PH DH =PH DH ==(P )2,0A )D)E3AP AF = 43F 13EF ⎛= ⎝ ()0,1,0AE =-)BE =(),,n x y z =0,0,10,03y n AE x y z n EF -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎪⎪⎩⎩ 1x =0y =1z =()1,0,1n =()222,,m x y z =22220,0,100,3m BE m EF x y z =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩ 2y =20x =21z =-()1m =-cos ,||||m n m n m n ⋅==所以平面AEF 与平面BEF．18．【解析】（1）由题意得，即，解得．（2）时，，即，令，定义域为，可以看出，又在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故的解集为（2，3]．（3）的定义域为（0，＋∞），要使恒成立，首先满足在上恒成立，由于开口向下，只需解得，此时，故当时，对任意时恒成立，令，则恒成立，即恒成立，由（2）可知，的解集为（2，3]，故只需解得，综上，存在满足条件．19．【解析】（1）答案不唯一．如．()()1302f f =-21332m m --+=-8m =(0,3]x ∈()()0g x f x ->()22180xx x -++->()()2218xu x x x =-+-(0,3]x ∈()234280u =++-=()()21xg x =-(0,3]x ∈22133824y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭(0,3]x ∈()()2218xu x x x =-++-(0,3]x ∈()()0g x f x ->()()21xg x =-()()()()g h x f h x >()0h x >[0,1]x ∈()223h x x x λλ=-+-+()()22030,1130,h h λλλ⎧=-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩1λ-<<()22233333244h x x λλλ⎛⎫=---+-+ ⎪⎝⎭≤≤1λ-<<()03h x <≤[0,1]x ∈()()03s h x s =<≤()()g s f s >()()0g s f s ->()()0g s f s ->()()22032,1132,h h λλλ⎧=-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩01λ<<01λ<<{}1,2,3,,100A =（2）假设存在一个使得，令，其中且，由题意，得，由为正整数，得，这与为集合A 中的最大元素矛盾，所以对任意．（3）设集合中有个元素，，由题意，得，，由（2）知，．假设，则．因为，由题设条件，得，因为，所以由（2）可得，这与为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以，又因为，，所以．任给集合{201，202，203，204}的元子集B ，令，以下证明集合符合题意：对于任意i ，j （），则．若，则有，所以，，从而．故集合符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{201，202，203，204}的子集个数相同，{}0101,102,,200x ∈ 0x A ∈0100x s =+s ∈N 1100s ≤≤100s a a A +∈s a 100100s a a a +>100a {}101,102,,200x ∈ x A ∉{}201,202,,205A ()15m m ≤≤100m a b -=12100200m a a a -<<< ≤10011002100200m m a a a -+-+<<<< 100100m a b -=≤100b m >-1000b m -+>10010010055100b m m -+-+=<-≤100100m b m a a A --++∈100100100100200m b m a a --+++=≤100100100m b m a a --++≤100m a -100100m a m --≤121001m a a a -<<< ≤i a ∈N ()1100i a i i m =-≤≤1m -{}{}01,2,,100205A m B =- 0A 1100i j ≤≤≤200i j +≤0i j A +∈100i j m +-≤i a i =j a j =0i j a a i j A +=+∈0A故满足条件的集合A 有个．4216。

云南省高二上学期期末教育学业质量监测数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，则（） {}2210,{02}A xx x B x x =--≤=<<∣∣A B = A ． B ．C ．D ．(]0,1[]1,2-1,12⎛⎤⎥⎝⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由题知，再根据集合交集运算求解即可. 112A xx ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭∣【详解】解：解不等式得，2210x x --≤112x -≤≤所以， {}2121012A xx x x x ⎧⎫=--=-⎨⎬⎩⎭∣∣………所以. {01}A B xx ⋂=<∣…故选：A2．设，则（） 232i z z +=-1z +=A ．BC ．D 【答案】C【分析】设，，则由已知条件可求出复数，从而可求出 i z a b =+,a b ∈R z 1z +【详解】设，，则，则，， i z a b =+,a b ∈R 23i 32i +=-=-z z a b 1a =2b =所以 112i 122i +=++=+z=故选：C3．已知数列，则这个数列的第8项为（）3151,1,,,,4216-- A ．B ．C ．D ． 18-116-964-1132-【答案】B【分析】依据前五项的规律写出数列的通项公式，由通项公式求出数列的第8项即可. 【详解】由已知条件得 ∵数列，，，， 0112=1212-=-23342=31422-=-455,162= ∴， 11(1)2n n n n a +-=-则 98781(1).216a =-=-故选：.B4．双曲线的实轴长为（） 22432-=x y A ．1 BC ．2D ．【答案】B【分析】由双曲线的标准方程可求出，即可求双曲线的实轴长.a 【详解】由可得：， 22432-=x y 2211223x y -=，即212a ∴=a =实轴长∴2a =故选：B5．已知椭圆的两个焦点分别为，，是椭圆上一点，2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F P ，且的短半轴长等于焦距，则椭圆的标准方程为（）12||||10PF PF +=C C A ．B ．2212510x y +=2212520x y +=C ．D ．2213020+=x y 2214530+=x y 【答案】B【分析】由题可得，，即求. 5a =2222,==+b c a b c 【详解】因为， 12210PF PF a +==所以.5a =因为， 2222,==+b c ab c 所以c b ==故椭圆的标准方程为.C 2212520x y +=故选：B.6．已知等比数列的前n 项和为，公比为q ，若，，则（） {}n a n S 639S S =445S =1qa =A ．3 B ．6C ．9D ．12【答案】B【分析】根据等比数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】设的公比为q ，因为，所以，则有，{}n a 639S S =1q ≠6311(1)(1)911a q a q q q --=⋅--即，解得.又，所以，.319q +=2q =()41124512a -=-13a =16qa =故选：B7．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）0mn <221x y m n+=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当，则且或且，此时方程表示的曲线一定为双曲0mn <0m >0n <0m <0n >221x y m n+=线；则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立，221x y m n+=0mn <故选：.C 8．已知数列满足，其前n 项和为，则（） {}n a sin 26n n a p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n S 2021S =A ．B ．C ．D 12-12【答案】D【分析】利用代入法可以判断出该数列的周期，利用周期性进行求解即可.【详解】因为，，，1a 212a =-3a =412a =5a =所以是周期为4的周期数列，，所以. {}n a 40S =20211S a ==故选：D9．椭圆，则（） 22182x y m +=-m =A ．6 B ．10C ．6或18D ．10或18【答案】C【分析】对椭圆的焦点位置分两种情况讨论，解方程即得解.【详解】解：当椭圆的焦点在轴上时，.22182x y m +=-x 820,210m m >->∴<<则，得； ()2828m --=6m =当椭圆的焦点在轴上时，.22182x y m +=-y 28,10m m ->∴>则，得. ()2282m m --=-18m =故选：C10．已知经过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标22(0)y px p =>F ()11,A x y ()22,B x y O 原点，直线交抛物线的准线于点，则下列说法不正确的是（）OA l D A ．B ． 212y y p =-12AB x x p =++C ．D ．直线平行于轴2122p x x =DB x 【答案】C【分析】根据焦点弦的性质判断B ，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消AB 2px my =+元、列出韦达定理，即可判断A 、C ，求出点的纵坐标，即可判断D.D 【详解】解：由题知，焦点的坐标为，准线的方程为，所以点的横坐标为F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭l 2p x =-D 2p -.由抛物线的定义知，，所以，故B 正确. 12pAF x =+22p BF x =+12AB x x p =++设直线的方程为，联立方程组得，AB 2p x my =+222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩2220y pmy p --=则，所以，故A 正确，C 错误. 212y y p =-2221212244y y p x x p ==因为直线的方程为，所以点的纵坐标为，因为，所以直线平行于OA 12p y x y =D 21p y -221p y y =-DB 轴，故D 正确.x 故选：C11．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数n 为{}n a ()()()1112n n n a n a n --=+≥12a =870n a <（） A ．28 B ．29C ．30D ．31【答案】A【分析】依题意可得，再利用累乘法求出通项公式，再解一元二次不等式即可； 111n n a n a n -+=-【详解】解：由，得， ()()()1112n n n a n a n --=+≥111n n a n a n -+=-所以 23211213412121n n n a a a n a a n n a a a n -+=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=+- 因为，所以，解得，所以满足条件的最大正整数n 为28. 870n a <28700n n +-<3029n -<<故选：A12．3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm ，下底直径为6cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为（）A B cm C D 【答案】D【分析】作该塔筒的轴截面图像并建立坐标系，根据双曲线的性质求出其实轴长度即可. 【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以C 为喉部对应点，设A 与B 分别为上、下底面对应点，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在轴为x 轴建立如图所示的坐标系.由题意可知，，， 2A x =3B x =9A B y y -=设，则．()2,A m ()3,9B m -设双曲线的方程为，()222210,0x y a b a b-=>>∵∴．=3b a =方程可化简为(*)，22299x y a -=将A 和B 的坐标代入(*)式可得解得 ()2222369,8199,m a m a ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩a =则喉部的直径cm ． 2a =故选：D二、双空题13．某地区在2020年底全面建成小康社会，随着乡村振兴战略规划的实施，该地区农村居民的收入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加.现统计了该地区2016年到2020年农村居民人均消费支出情况，对有关数据进行处理后，制成如图所示的折线图，其中变量（万元）表示该地区农村居y 民人均年消费支出，则这五年该地区农村居民人均年消费支出的平均数为___________，方差为___________.（本题第一空2分，第二空3分）【答案】 1.3 0.04【分析】根据题意得该地区农村居民人均年消费支出数据为，进而根据公式求解即1,1.2,1.3,1.4,1.6可.【详解】解：该地区农村居民人均年消费支出数据为， 1,1.2,1.3,1.4,1.6所以这五年该地区农村居民人均年消费支出的平均数，1 1.2 1.3 1.4 1.61.35x ++++==方差.222222(1.31)(1.3 1.2)(1.3 1.3)(1.3 1.4)(1.3 1.6)0.045s -+-+-+-+-==故答案为：；1.30.04三、填空题14．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.现有一道和书中内容类似的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且较多的三份面包个数之和的是较少的两份13面包个数之和，则最少的一份面包个数为_____________.【答案】10【分析】设每人所得的面包个数从小到大依次为，，，，， 2a d -a d -a a d +2a d +由题意列方程组求出a ，d ，即可得到结论.【详解】设每人所得的面包个数从小到大依次为，，，，， 2a d -a d -a a d +2a d +则， 225100a d a d a a d a d a -+-+++++==所以. 20a =因为，所以，所以，()1223a d a d a a d a d -+-=++++()14036033d d -=+5d =所以最少的一份面包个数为. 210a d -=故答案为：1015．抛物线上有一动点，其焦点为，则的最小值为___________. 224y x =-P (),9,5F A -PF PA +【答案】15【分析】根据抛物线的定义得到，进而结合几何图形可确定最小值.PF PA PC PA +=+【详解】由题可知，抛物线焦点为，准线为， (6,0)F -:6l x =过作准线的垂线为交准线为点， P PC C 根据抛物线的定义可知， PF PC =所以，PF PA PC PA +=+因为为抛物线上的动点，所以当为点时，P P P '取到最小值为,PF PA PC PA +=+6(9)15AB =--=故答案为: .1516．动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点的轨迹方程是P ()2,0F 8x =1:2P ___________.【答案】2211612x y +=【分析】设动点，用坐标表示已知条件并化简即可．(,)P x y 【详解】设，化简得：，(,)P x y 12=2211612x y +=故答案为：．2211612x y +=【点睛】本题考查动点轨迹方程，解题方法是直接法，即设动点坐标为，用坐标表示出题中动(,)x y 点满足的几何条件，然后化简即可．四、解答题17．已知等差数列的前项和为，公差是的等比中项，. {}n a n n S 20,d a ≠15,a a 575S =(1)求的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和.11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1) 63n a n =-(2)189n n +【分析】（1）根据等差数列的公式列方程求解得，进而得通项公式；16,3,d a =⎧⎨=⎩（2）结合（1）得，再根据裂项求和法求解即可. 1111166363n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭【详解】（1）解：由题意知 ()()2111514,51075,a a d a d S a d ⎧+=+⎪⎨=+=⎪⎩因为，所以 0d ≠16,3,d a =⎧⎨=⎩所以.63n a n =-（2）解：因为()()111111636366363n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以 111111111163991563636363189n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ .18．已知的内角所对的边分别为，且.ABC A ,,A B C ,,a b c 3cos 5sin 3cos b C a A c B =-(1)求；sin A (2)若，求的面积.3,5a b ==ABC A 【答案】(1)35(2)6【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；（2）首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用余弦定理求出，最后根据面积公式计cos A c 算可得；【详解】（1）解：因为， 3cos 5sin 3cos b C a A c B =-所以，3sin cos 5sin sin 3sin cos B C A A C B =-所以， 23sin cos 3sin cos 3sin()5sin B C C B B C A +=+=即， 23sin 5sin A A =因为，所以. sin 0A ≠3sin 5A =（2）解:因为，所以，所以. a b <A B <4cos 5A ==因为，2222cos ,3,5a b c bc A a b =+-==所以，所以，24925255c c =+-⨯⨯28160c c -+=解得，4c =故的面积为.ABC A 113sin 546225bc A =⨯⨯⨯=19．如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的动点，且a 1111OABC O A B C -E F AB BC .AE BF =(1)求证：；11A F C E ⊥(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角余弦值.1B BEF -1B EF BEF【答案】(1)证明见解析 (2) 13【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，表示出、的坐标，根据空间向量法得到AE BF x ==E F ，即可得证；110A C E F ⋅=（2）利用基本不等式求出三棱锥的体积的最大值，从而求出，过作于，1B BEF -x B BD EF ⊥D 即可得到，则是二面角的平面角，再根据锐角三角函数计算可得. 1B D EF ⊥1B DF ∠1B EF B --【详解】（1）证明：如图建立坐标系设，则，，，AE BF x ==()1,0,A a a ()1,,0F a x a -()1,,C x a a --所以，， ()1,,A F x a a =-- ()1,,C E a x a a =--所以， ()2110A F C E xa a x a a ⋅=-+-+= 所以；11A F C E ⊥（2）解：由（1）可知，，BE a x =-BF x =所以三棱锥的体积， 1B BEF -()()221166224x a x a V x a x a a ⎡⎤+-=-≤⋅=⎢⎥⎣⎦当且仅当，即时取得最大值， x a x =-2ax =过作于，又平面，平面， B BD EF ⊥D 1BB ⊥ABCD EF ⊂ABCD 所以，又，平面， 1BB EF ⊥1BB BD B ⋂=1,BB BD ⊂1BB D 所以平面，平面，EF ⊥1BB D 1B D ⊂1BB D所以，1B D EF ⊥所以是二面角的平面角，1B DF ∠1B EF B --在直角三角形中，，， BEF 2a BE BF ==12BD EF ===所以且， 11tan B B B DB BD ∠==111sin tan cos B DB B DB B DB ∠∠=∠2211sin cos 1B DB B DB ∠+∠=解得或（舍去）， 11cos 3B DB ∠=11cos 3B DB ∠=-因此平面与平面的夹角余弦值为. 1B EF BEF 1320．甲､乙两名同学玩摸球游戏，在一个不透明的纸箱中装有大小相同的6个球，其中编号为1的球有3个，编号为2的球有2个，编号为3的球有1个，规定每人一次性取其中的3个，取出编号为1的球记1分，取出编号为2的球记2分，取出编号为3的球记3分.首先由甲取出3个球，并不再将所取球放回原纸箱中，然后由乙取出剩余的3个球.规定取出球的总积分多者获.(1)求甲不输的概率；(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.【答案】(1) 1320(2)先后取球的顺序不影响比赛的公平性【分析】（1）根据题意，记编号为1的球为，编号为2的球为，编号为3的球为，进,,a b c ,d e f 而列举基本事件，结合古典概型概率公式和对立事件公式求解即可；（2）结合（1），分别求甲、乙获胜的概率即可判断.【详解】（1）解：记编号为1的球为，编号为2的球为，编号为3的球为， ,,a b c ,d e f 则甲取球的所有情况有,,,,,,,,,,,,,,,,,abc abd abe abf acd ace acf ade adf aef bcd bce bcf bde bdf bef cde cdf ，，共20种.,cef def 因为6个小球的总分为分，31221310⨯+⨯+⨯=所以若要甲不输，则甲要至少得5分.设事件表示“甲不输”，则包含，共7个基本事件， A A ,,,,,,abc abd abe acd ace bcd bce 所以， ()720P A =故甲不输的概率. ()71312020P A =-=（2）解：由甲先取球时，若甲获胜，得分只能是7分或6分，即取出的3个小球中有1个编号为3的球和2个编号为2的球，或有1个编号为3的球和1个编号为2的球和1个编号为1的球，有，，共7种情况，,,,,adf aef bdf bef cdf ,cef def 即甲获胜的概率. 1720P =若甲､乙平局，则各得5分，包含，共6个基本事件，,,,,,abf acf bcf ade bde cde 所以甲､乙平局的概率， 2632010P ==所以甲输，即乙获胜的概率， 33771102020P =--=因此甲､乙获胜的概率相同.同理，由乙先取球时，甲､乙获胜的概率也相同.故先后取球的顺序不影响比赛的公平性.21．已知函数．()()e 1e x x f x a -=++(1)若是偶函数，求a 的值；()f x (2)若对任意，不等式恒成立，求a 的取值范围．()0,x ∈+∞()1f x a +…【答案】(1)0(2)(],3-∞【分析】（1）由偶函数的定义得出a 的值；（2）由分离参数得，利用换元法得出的最小值，即可得出a ()1f x a +…2e e 1e 1x x x a -+≤-2e e 1e 1x x x -+-的取值范围．【详解】（1）因为是偶函数，所以，()f x ()()f x f x -=即，故．()()e 1e e 1e x x x x a a --++=++0a =（2）由题意知在上恒成立，()e 1e 1x x a a -++≥+()0,∞+则，又因为，所以，()2e 1e e 1x x x a --+…()0,x ∈+∞e 1x >则．令，则， 2e e 1e 1x x x a -+≤-()e 10x t t -=>e 1x t =+可得， ()()22111111t t t t a t t t t+-++++≤==++又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即a 的取值范围是． 113t t ++≥1t =3a ≤(],3-∞22．已知双曲线. 221416x y -=(1)过点的直线与双曲线交于，两点，点能否是线段的中点，为什么？()1,1N S T N ST(2)直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、():2l y kx m k =+≠±M M l x y 轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.(),0A x ()0,B y M (),P x y 【答案】(1)不能，理由见解析(2)的轨迹方程为，其中，的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10P 22100125x y -=0y ≠P x 的双曲线（去掉两个顶点）.【分析】（1）设，，线段的中点为，设直线的方程为()11,S x y ()22,T x y ST ()00,Q x y ST ，联立直线与双曲线方程，即可求出，再令求出，再代入检验即可；()11y n x -=-0x 01x =n （2）联立直线与双曲线方程，消元，根据，得到，即可得到的坐标，即可Δ0=()2244m k =-M 求出过点且与直线垂直的直线方程，从而得到、的关系，即可得解.M l x y 【详解】（1）解：点不能是线段的中点，理由如下：N ST 设，，线段的中点为，()11,S x y ()22,T x y ST ()00,Q x y 显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即.ST ST ()11y n x -=-1y nx n =-+因为双曲线的渐近线的斜率为，所以.2±2n ≠±联立方程组得①， 2211416y nx n x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242(1)(1)160n x n n x n -+----=所以，则，令，解得. 1222(1)4n n x x n -+=-02(1)4n n x n -=-2(1)14n n n -=-4n =当时，方程①变为，因为，4n =21224250x x -+=Δ0<所以方程①没有实数根，所以不能作一条直线与双曲线交于，两点，使点是线段的中点.S T N ST （2）解：联立方程组得，221416x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩()()22242160k x kmx m ---+=因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，2k ≠±M l 所以，得，()()222Δ(2)44160km k m =-+-+=()2244m k =-所以点的坐标为，其中. M 416,k mm ⎛⎫-- ⎪⎝⎭0km ≠因为过点且与直线垂直的直线为， M l 1614k y x m k m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭令，得，令，得， 0y =20k x m =-0x =20y m =-所以， 22222224004001600410010044k m x y m m m ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭即的轨迹方程为，其中， P 22100125x y -=0y ≠的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.P x。

高二上期期末检测数学模拟试题(参考答案)

高二上期期末检测模拟试题数学试题参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1、【答案】B2、【答案】D解析：由题意，得存在实数x ，y ，使得AD x AB y AC =+成立，即(5,6,)(2,1,3)(1,4,2)x y λ−=−+−−，所以52,64,32,x y x y x y λ=− −=−+ =− 解得2,1,8,x y λ==− = 故选D. 3、【答案】C解析：由535S S =，且21(21)n n S n a −=−，得()312355a a a a =++，所以120a a +=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()341248a a a a d +−+==，所以121d a ==−，，所以5147a a d =+=. 4、【答案】A 5、【答案】D解析：()57134a a a a +=+，则4q = ，∴4624a q a ==故选：D 6、【答案】D 7、【答案】C小题，共9、【答案】ACD解析：因为数列是一类特殊的函数，其自变量n +∈N ，故数列的图象是一群孤立的点，A 正确；数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B 错误；，…前四项的规律，可知一个通项公式可以是()1nna n n +=∈+N ，C 正确； 10、【答案】ABD解析：当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A 选项正确；设(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(),m n ，则满足212122n mn m − =−+ =+ ，解得：11m n = = ，故点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，B 正确；当在x 轴和y 轴上截距都等于0时，此时直线为y x =，故C 错误；直线20x y −−=与两坐标轴的交点坐标为()2,0与()0,2−，故与两坐标轴围成的三角形的面积为12222××=，D 正确. 故选：ABD. 11、【答案】BC解析：因为双曲线22:1169x y C −=，所以5c =，又因为12112102022P P F P F S c y y =⋅=⋅⋅= ，所以4P y =，所以选项A 错误；将其代入22:1169x y C −=得2241169x −=，即20||3x =，由对称性，不妨取P 的坐标为20,43，可知2133PF =，由双曲线定义可知1213372833PF PF ++ 所以121337|||350|33PF PF +=+=，所以选项B 正确；由对称性，对于上面点P ，在12PF F 中，12371321033PF c PF =>=>=，且24012020553PF k −==>−，所以12PF F 为钝角三角形，选项C 正确；因为122920tan tan 22PF F b S θθ===，所以9πtan tan 2206θ=<=，即π26θ<，所以12π3F PF θ∠=<，所以选项D 错误（余弦定理也可以解决）； 12、【答案】ABD 解析：作出如图所示图形:对A,由抛物线定义及题意得222sin 302M M py py +==− , 即2212MM py p y+= =−,解得3p =,故A 正确; 对B,3p =,则30,2F,当直线l 的斜率不存在时,显然不合题意,设()11,M x y ,()22,N x y ,设直线l 的方程为y kx =22py =得2690x kx −−=,则12126,9x x k x x +==−, 121322MON S x x =×−=△当且仅当0k =时等号成立,故B 正确;对C,121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ ()()()221212393919162424k x x k x x k k k =++++=−++⋅+故MON ∠钝角,则不存在直线l ,使得90OMF ONF ∠+∠>°,故C 错误; 对D,26x y =,即216y x =,故13y x ′=,1x ,在点N 2x ,为121x x =−,故相切的两条直线互相垂直,故D 正确.故选:ABD.三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13、【答案】解析：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1；圆心()1,0−到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =.故答案为：.14、【答案】33,84解析：设00(,)P x y ,则有2200143x y +=,即2200443x y −=.①由题意知12(2,0),(2,0)A A −,设直线1PA 的斜率为1k ,直线2PA 的斜率为2k ,则001200,22y y k k x x ==+−, 所以212204y k k x ⋅=−.② 由①②得1234k k ⋅=−.因为2[2,1]k ∈−−,所以1k 的取值范围为33,84,故选B.15、【答案】21nn + 解析：由题意，11a =，当(,1]x n n ∈+时，{}1x n =+，(22{},21x x n n n n ⋅∈+++ ，{{}}x x ⋅的取值依次为2221,2,,21n n n n n n ++++++ ，…，221n n ++，共1n +个，即11n n a a n +=++，由此可得(1)1211123,22(1)1n n n n a n a n n n n + =++++===− ++，所以1211121n n a a a n +++=+ . 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、【答案】解析：本题考查抛物线、双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.由题意得,02p F，设直线l 的方程为2p x my =+，()11,A x y ，()22,B x y .由22,,2y px p x my = =+消去x 得2220y mpy p −−=，0∆>， 122y y mp ∴+=①，212y y p ⋅=−②.又||(3||AF FB =+，即(3AF FB =+，1122,(3,22p p x y x y∴−−=+−,12(3y y ∴=−+③.将③代入①得21)y mp +=−④，将③代入②得222(3y p +=⑤，再由④⑤解得21m =，故直线l 的斜率1k =±.又抛物线22(0)y px p =>的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的右焦点，2p c ∴=.∴直线l 的方程即为()y k x c =−. 由双曲线的左焦点(,0)c −到直线l的距离2d b =>，解得c >，即222c b >.又222b c a =−,()2222c c a ∴>−,即ce a=<, 又1e >，∴双曲线的离心率e ∈. 17、【答案】(1).依题意得()()12111410,28,a d a d a a d +=+=+因为0d ≠，解得12,2.a d ==所以()2122n a n n =+−×=.(2).由(1)得()2222n n n S n n +==+，所以211111nS n n n n ==−++. 所以11111111223111n n T nn n n =−+−++−=−=+++…. 解析：18、【答案】（解析:（1）1BB ⊥ 平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 1BB BC ∴⊥,平面111//A B C 平面ABC , 1BB ∴⊥平面111A B C , 11B C ⊂ 平面111A B C , 111BB B C ∴⊥11111tan B C C BB BB∴∠==1tan B CB ∠==111C BB B CB ∴∠=∠, 1190CBC B CB ∴∠+∠=°, 即11BC B C ⊥,又111A B BB ⊥,1111A B B C ⊥,1111BB B C B = ,1BB ⊂平面11BCC B ,11C B ⊂平面11BCC B , 11A B ∴⊥平面11BCC B , 111A B BC ∴⊥,1111A B B C B = ,1B C ⊂平面11A B C ,11A B ⊂平面11A B C , 1BC ∴⊥平面11A B C , 1A C ⊂ 平面11A B C ,11BC A C ∴⊥.（2）如图,作1A H AC ⊥于H ,在直角梯形11ABB A 中,得1AA =同理可得1CC =在等腰梯形11ACC A 中,()1112AH AC AC =−=则1A H ==1112A AC S AC A H ∴=⋅=△设B 到平面1A AC 的距离为d , 由11A ABC B A AC V V −−=,1113ABC A AC S BB S d ⋅=⋅△△, 则11ABC A AC S BB dS ⋅=△△又1A B =所以直线1A B 与平面1ACC A =.19、【答案】(1)圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++= (2)反射光线所在直线的方程为29150x y +−= 解析：(1)设圆222:()()(0)C x a y b r r −+−=>.由题意，得30a b −=①，||r a =②，227r +=③. 由①得3a b =，则3||r b =，代入③得21b =.当1b =时，3a =，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=；当1b =−时，3a =−，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y +++=.综上所述，圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++=. (2) 圆C 与y 轴正半轴相切， ∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=. 设(1,2)M −−关于直线4y x =+的对称点为(,)M x y ′，则21,1214,22y x y x + =− + −− =+ 解得6,3,x y =− = (6,3)M ′∴−，∴反射光线所在直线的斜率1336k −==+∴反射光线所在直线的方程为23(6)9y x −=−+，即29150x y +−=.20、【答案】解析：解法一：取CD 的中点T ，连接AT ，可得AT CD ⊥，所以AB AT ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，故以P A ，AB ，AT 所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图.可得(,0,0)B a ，1,02C a ，1,02D a −，(0,0,)P b . (1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(,0,)PB a b =− ，3,02BD a a =−，所以11110,30,2ax bz ax ay −=−=令1x b =，则(,)b a =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为(0,0,)AP b =，1,02AC a =，所以2220,10,2bz ax = = 令21y =，则(n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC .(2)易得1,04O a，3,08M a，设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为1,,4OP a b =−，1,08OM a =，所以333331410,8ax ay bz ax −+= 31y =，则1(n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为1,2PD a b =−−，7,08MD a =−，所以4444410,270,8ax bz ax −−=−=令47y b =，则2,7)b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，由tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n =解法二：过点O 作//OT PA ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以OT ⊥平面ABCD .因为四边形ABCD 为菱形，所以OC OD ⊥，如图，以OC ，OD ，OT 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，(1,0,0)A −，(1,0,0)C ，(0,B ，D ，(1,0,)P b −.(1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(1,)PB b =− ，(0,BD =，所以11110,0,x bz −−= = 令11z =，则(,0,1)b =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为平面P AC 即为xOz 平面，所以(0,1,0)=n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC . (2)易得1,0,02M.设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为(1,0,)OP b − ，1,0,02OM=，所以3330,10,2x bz x −+== 可取1(0,1,0)=n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为)PD b =− ，12MD=−，所以444440,10,2x bz x +−= −=令4y b =，则2,b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，则tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n解得b =CD ==12112111222111111113333333222242n n n n n T b b b −−−=−+−++−=−+++++=+++++22、【答案】(1)标准方程为. (2)存在，点(0,0)M .2212x y +=解析：(1)因为椭圆E，所以c a =，所以直线1l 的斜率为-1.如图，设E 的右焦点为F ，右顶点为P ，上顶点为Q ，过点P 作于点D ，则π||14PD PFD ∠=，所以，即1a c c −=−=，解得，则1,b a ==.故椭圆E 的标准方程为.(2)由题意可得点O 是线段AB 的中点. 又||||AC BC =，所以OA OC ⊥.①当直线AC 的斜率存在时，设直线AC 的方程为()()1122,,,,y kx m A x y C x y =+，由2212x y y kx m+==+ ，得()222214220k x kmx m +++−=，则()()222(4)421220km k m ∆=−+−>，即22210k m −+>. 由根与系数的关系可得2121222422,2121km m x x x x k k −+=−=++，由OA OC ⊥可得12120x x y y +=，即()()12120x x kx m kx m +++=，即()()22121210k x x km x x m++++=，所以()()2222222122402121k m k m m k k +−−+=++，故22312k m =−. 假设存在点()0,0M x 满足条件，设点M 到直线AC 的距离为d ，则()()2200222213kx m kx m d k m++==+，,a b c 1PD l ⊥|||PF PD =1c =2212x y +=当00x =时，2d 为定值23，即d ②当直线AC 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得11x y =，所以221112x x +=，故2123x =，点(0,0)到直线AC综上可得，存在点(0,0)M ，使得点M 到直线AC。

天津高二上学期期末线上质量监测数学试题(解析版)

天津外大附校2022~2023学年度第一学期高二年级期末线上质量监测数学试卷本试卷共150分，用时120分钟.一、选择题（共18小题，每小题5分，共90分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.）1. 双曲线的离心率为（）22194x y -=A.B.C.D.3223【答案】D 【解析】【分析】根据给定的双曲线方程，直接求出离心率作答.【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，因此半焦距22194x y -=3a =2b =，c ==所以双曲线的离心率22194x y -=c e a ==故选：D2. 抛物线的准线方程为（） 224y x =A.B.C.D.3x =-6x =-12x =-24x =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线标准方程求准线方程，注意焦点所在位置．【详解】由题意可知：抛物线的焦点在x 轴正半轴，且，即， 224y x =224p =62p=故抛物线的准线方程为. 224y x =62px =-=-故选：B.3. 若数列中，，，.则（） {}n a 11a =131n n a a +=-*n ∈N 3a =A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】根据递推公式赋值运算求解. 【详解】当时，则， 1n =21312a a =-=当时，则. 2n =32315a a =-=故选：A.4. 直线l ：被圆O ：截得的弦长为（） 20x y -+=229x y +=A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式计算.【详解】圆O ：的圆心，半径， 229x y +=()0,0O 3r =则圆心到直线l ：的距离，()0,0O20x y -+=d =∴弦长为. =故选：A.5. 已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，{}n a {}n b 111a b ==2332a a b +=，，则（） 5237b a -=44b a -=A. 7 B. 4 C. 1 D. –2【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式可求，进而可求结果. ,d q 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，{}n a d {}n b 0q >由题意可得：，则，即，解得23352237a a b b a +=⎧⎨-=⎩()()()241122317d d qq d ⎧+++=⎪⎨-+=⎪⎩24232310d q q d ⎧+=⎨-=⎩或（舍去）， 22d q =⎧⎨=⎩22d q =⎧⎨=-⎩故.()344131b a q d -=-+=故选：C.6. 如图，在三棱锥中，底面，，，S ABC -SA ⊥ABC AB AC ⊥2SA AC ==1AB =，D 为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）SA SB DCA.B.C.D.453525【答案】D 【解析】【分析】建系，利用空间向量解决异面直线夹角的问题. 【详解】如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则,()()()()0,0,2,1,0,0,0,0,1,0,2,0S B D C ∵，则，()()1,0,2,0,2,1SB DC =-=-u u r u u u r 2cos ,5SB DC SB DC SB DC⋅===u u r u u u ru u r u u u r u u r u u u r ∴异面直线与所成角的余弦值为. SB DC 25故选：D.7. 设是等差数列的前n 项和，若，则的值是（） n S {}n a 660S =34a a +A. 10 B. 20C. 30D. 60【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的求和公式结合等差数列的下标和性质运算求解. 【详解】由题意可得：，则.()()1663463602a a S a a +==+=3420a a +=故选：B.8. 已知双曲线（，）的一条渐近线与圆相切，则22221x y a b-=0a >0b >22(2)1x y -+=该双曲线的离心率为（）A.B.C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】求出双曲线的渐近线的方程，再利用圆的切线性质列式并求出离心率作答. 【详解】双曲线的渐近线方程为：，即，双曲线半焦距22221x y a b-=b y x a =±0bx ay ±=为c ，而圆的圆心为，半径为1，即有，22(2)1x y -+=(2,0)1=2c b =，a ==所以该双曲线的离心率. c e a ==故选：C9. 已知抛物线C ：的焦点为F ，点P 在抛物线上，，则点P 的横坐标为28y x =||8PF =（） A. 5 B. 8C. 4D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求解作答.【详解】抛物线C ：的焦点，准线，令点P 的横坐标为， 28y x =(2,0)F :2l x =-0x 由抛物线定义得，解得， 0||28PF x =+=06x =所以点P 的横坐标为6. 故选：D10. 已知数列满足，则数列的前2023项之和为（） {}n a (1)n a n n =+1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭A.B.C.D.20232024202520242022202320242023【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用裂项相消法求解作答.【详解】数列中，，则， {}n a (1)n a n n =+1111(1)1n a n n n n ==-++数列的前n 项和，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11111111(1)((()122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++L 所以数列的前2023项之和. 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭202320232024S =故选：A11. 如图，在长方体中，，则直线与平1111ABCD A B C D-1AB AA ==1AD =1BC面所成角的正弦值为（）1A BDA.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. D 【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， D 则，()()((11,0,0,0,,B D AC ，()((11,,DB DA BC ===-设平面的法向量，1A BD (),,n x y z =则，可取， 10n DB x n DA x⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ )1,1n =-- 则，111cos ,n BC n BC n BC ⋅===所以直线与平面1BC 1A BD故选：C.12. 如图，在直三棱柱中，，，，点D111ABC A B C -AC BC ⊥2AC =14BC CC ==是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（）AB 11ABB A 1BCDA.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】建系，求两平面的法向量，利用空间向量解决面面夹角问题. 【详解】如图，以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，则，()()()()()12,0,0,0,0,0,0,4,0,1,2,0,0,4,4A C B D B 设平面的法向量，11ABB A (),,n x y z =∵，则，()()12,4,0,0,0,4BA BB =-=u u r u u u r 124040n BA x y n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令，则，2x =1,0y z ==∴，()2,1,0n =同理可得：平面的法向量，1B CD ()2,1,1m =-故，cos ,n m n m n m⋅===r u rr u r r u r 设平面与平面所成角为，则11ABB A 1B CD π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos θ=故平面与平面所成角的正弦值. 11ABB A1B CD sin θ==故选：B.13. 已知等比数列的前n 项和为，若，则的公比（） {}n a n S 6398S S ={}n a q =A. B.C. 或1D.或112-1212-12【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的前n 项和公式运算求解，注意讨论公比是否为1. q 【详解】当时，则，不合题意，舍去； 1q =613169238S a S a ==≠当时，则，解得； 1q ≠()()61363311911811a q S q q S a q q--==+=--12q =综上所述：. 12q =故选：B.14. 已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之{}n a 1212n n a n -=-+*N n ∈{}n a 和为（） A.B.C.D.10099992+100100992+10199982+101100982+【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用分组求和法，结合等差数列、等比数列求和公式计算作答. 【详解】数列的通项公式为：，数列的前n 项和为，{}n a 1212n n a n -=-+{}n a n S 则有()()()112112135211242212nn n n n S n -+--⎡⎤=++++-+++++=+⎣⎦- ，221n n =+-所以数列的前100项之和.{}n a 21001001002199992n S =+-=+故选：A15. 已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为{}n a 1212n n n a --=*n ∈N {}n a （） A. B. C.D.9920162-9920362-1001000021-1001010021-【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用错位相减法求和作答. 【详解】令数列的前n 项和为，因为， {}n a n S 1212n n n a --=则， 2135211222n n n S --=++++ 则有23111232122225232n n n n n S ---=+++++ 两式相减得：， 122111111212123211131222222212n n n n n n n n n S -----+=+++++-=+-=-- 因此，有， 12362n n n S -+=-1009920362S =-所以数列的前100项之和为. {}n a 9920362-故选：B16. 已知双曲线H ：（），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆22219x y a -=0a >与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的面积为，则双曲线ABCD 4a 的方程为（）A B.C.D.22199x y -=221189x y -=221279x y -= 221369x y -=【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线在第一三象限的渐近线倾斜角正切，再结合四边形面积求解作答.【详解】双曲线H ：的渐近线方程为：，令直线的倾斜角22219x y a -=3y x a =±3y x a =为，则， θ3tan aθ=由对称性不妨令点分别在第一、四象限，坐标原点为O ，则， ,A B 2AOB ∠θ=于是得，而双曲22222sin cos 2tan 6sin sin 22sin cos sin cos tan 19aAOB a θθθθθθθθθ∠=====+++线的虚半轴长为3，即，显然四边形为矩形，其面积||||3OA OB ==ABCD ，解得22110844sin 429AOB aS S OA AOB a a ==⨯∠==+ 218a =所以双曲线的方程为.221189x y -=故选：B17. 过抛物线C ：（）的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于两点A ，B ，若22y px =0p >，则直线l 的斜率（）35AF FB =k =A. B.C. D. ±【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理及向量关系求解作答.【详解】抛物线C ：的焦点，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方22y px =(,0)2pF 程为， 2p x ty =+由消去x 并整理得：，设，则222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2220y pty p --=1122(,),(,)A x y B x y ，212122,y y pt y y p +==-，由得：，而1122(,),(,)22p p AF x y FB x y =--=- 35AF FB = 1253y y =-，122y y pt +=则有，因此，解得125,3y pt y pt ==-2221215y y p t p =-=-t =1k t==所以直线l 的斜率. k =故选：A18. 已知数列的通项公式为：，数列的前n 项和为，若对任意{}n a 1(1)3n n n n a -+={}n a n S 的正整数n ，不等式恒成立，则实数c 的取值范围是（） (1)nn S c >-A.B.C. D.(1,4)-(2,4)-271,4⎛⎤- ⎥⎝⎦272,4⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得数列为递增数列，讨论n 的奇偶性结合恒成立问题分析求解. {}n S 【详解】∵，()()111203n nn n S n n S a ++++-==>∴数列为递增数列，{}n S 若对任意的正整数n ，不等式恒成立，则有：(1)nn S c >-当为奇数时，则，故，即； n n S c >-112c a S ==>-2c >-当为偶数时，则，故，即； n n S c >2124a a S c =+=>4c <综上所述：实数c 的取值范围是. (2,4)-故选：B.二、填空题19. 已知抛物线（）的焦点坐标为，则p 的值为____________. 22y px =0p >(4,0)【答案】8 【解析】【分析】根据抛物线的焦点即可得解.【详解】解：因为抛物线（）的焦点坐标为， 22y px =0p >(4,0)所以，即. 42p=8p =故答案为：.820. 已知等差数列的前5项和，则____________． {}n a 5520,6S a ==10a =【答案】11 【解析】【分析】由等差数列的性质求解，【详解】由题意得，得， 1555()202a a S +==12a =故，，则， 5144a a d -==1d =101911a a d =+=故答案为：1121. 设双曲线的左、右焦点分别为、，点P 在双曲线的右支上，则22154x y -=1F 2F ________.12PF PF -=【答案】【解析】【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解.【详解】由题意可得：，a =∵点P 在双曲线的右支上，则， 12PF PF >∴. 122PF PF a -==故答案为：22. 已知过抛物线C ：的焦点F 且与x 轴垂直的直线与抛物线交于A 、B 两点，则28y x =________.||AB =【答案】8 【解析】【分析】根据给定条件，求出直接AB 的方程，即可计算作答. 【详解】抛物线C ：的焦点，则直线， 28y x =(2,0)F :2AB x =由得：， 228x y x=⎧⎨=⎩||4y =所以. ||8AB =故答案为：823. 已知数列的通项公式为：，，前n 项和为，则{}n a ()2(1)nn a n n =-⋅-*n ∈N n S ___________.40S =【答案】800 【解析】【分析】利用并项求和法求解即可.【详解】解：由，()()2(1)(1)1nnn a n n n n =-⋅-=-⋅-得4012343940S a a a a a a =++++++ ()()()()10213243546539384039=-⨯+⨯+-⨯+⨯+-⨯+⨯++-⨯+⨯ ()()()()120342564394038=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-22325239=+⨯+⨯++⨯()213539=++++ .()1392028002+⨯=⨯=故答案为：800.24. 已知互不相同的三点M 、N 、P 均在双曲线H ：上，，2212x y -=PM PN ⊥，垂足为D ，点O 为坐标原点，若，则的最大值为PD MN ⊥||OP = OP PD ⋅___________.【答案】 2+【解析】【分析】先利用和双曲线方程求出的坐标，由于双曲线的对称线，取||OP =P，接着讨论直线斜率不存在和存在时，利用韦达定理，结合向量的数量积，()2,1P MN 推出、的关系，说明直线过点，即可得到点的轨迹方程为k m MN (6,3)H -D ，故设，利用数量积，辅助角公式()()22418x y -++=()4,1D θθ+-和三角函数性质即可得到答案【详解】设，因为，所以①，(),P a b ||OP ==225a b +=因为在双曲线上，所以②，(),P a b 2212x y -=2212a b -=由①②可得，由于双曲线的对称性，不妨设， 224,1a b ==()2,1P ①直线斜率不存在时， MN 可设，，(,)M M M x y (,)N N N x y ，()2,1P ，， ∴(2,1)M M PM x y =-- (2,1)N N PN x y =--又，，M NMN x x y y =⎧⎨=-⎩PM PN ⊥，解得，，∴()()()222211012M M M MM PN PM x yy x y ⎧⋅=-+---=⎪⎨-=⎪⎩M (6,N ，为垂足，，PD MN ⊥ D (6,1)D \②直线斜率存在时，设直线， MN :MN y kx m =+2212x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩整理得，()222124220kxkmx m ----=设，，，，则，， 1(M x 1)y 2(N x 2)y 122412km x x k +=-21222212m x x k+=--因为，所以， PM PN ⊥1212(2)(2)(1)(1)0PM PN x x y y ⋅=--+--=得，221212(1)(2)()250k x x km k x x m m ++--++-+=所以， 2222222(1)(21)()25041212m kmm k k k m m k k ⎛⎫++-+--+-+= ⎪--⎝⎭得，即，22128230k mk m m +++-=(63)(21)0k m k m +++-=当即时，直线过定点，不符合题210k m +-=21m k =-+:21MN y kx k =-+(2,1)P 意；当即时，直线过定点， 630k m ++=63m k =--:63MN y kx k =--(6,3)H -综上，点在以为直径的圆上，的中点为D PH PH ==PH (4,)1-，所以点的轨迹方程为， D ()()22418x y -++=故可设的坐标为，D ()4,1θθ+-所以()2(2,1)2,OP PD θθ⋅=⋅+-（其中 ()422θθαθ=+--=-+sin αα==所以当时，取得最大值 ()sin 1αθ-=OP PD ⋅2+故答案为：2+【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； 12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.三、解答题（共2题，共30分.）25. 设椭圆的右焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，已知()222210x y a b a b+=>>. ||||BF AB =（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线与椭圆有唯一公共点M （M 在第一象限中），与轴交于N ，l y ||||OM ON =，其中O 为坐标原点. （i ）求直线的斜率；l（ii ）若，求椭圆的方程. ||MN =【答案】（1（2）（i ）（ii ）221246x y +=【解析】【分析】（1）根据题意结合椭圆的性质运算求解；（2）先证椭圆在点22221x y a b+=处的切线为.（i ）设点M 及直线，根据题意列式运算求()00,P x y 00221x x y ya b+=l 00,x y ，进而可得斜率；（ii ）根据题意结合（i ）中的坐标求，即可得方程. ,a b 【小问1详解】由题意可得：，则，()()(),0,0,,,0A a B b F c ABBF a ===∵，解得， ||||BF AB==22245a a b =+2a b =∴c e a ==故椭圆的离心率. e =【小问2详解】先证：椭圆在点处的切线为.()222210x y a b a b+=>>()00,P x y 00221x x y y a b +=证明：∵点在椭圆上，则，即，()00,P x y 22221x y a b +=2200221x y a b +=2200221x y a b=-∴点在直线上， ()00,P x y 00221x x y ya b+=联立方程，消去得， 0022222211x x y ya b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 222220*********x y y x x x a a b b ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，即方程组只有一个解，()22200020x x x x x x -+=-=故椭圆在点处的切线为.()222210x y a b a b+=>>()00,P x y 00221x x y y a b +=（i ）设点，则直线为，故，()()0000,0,0M x y x y >>l 00221x x y ya b +=200,b N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵，||||OM ON =2b y =∴，422020b x y y +=由题意可得，解得， 22002222422002000140,0x y a b a b b x y y x y ⎧+=⎪⎪=⎪⎨⎪+=⎪⎪>>⎩00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故直线：的斜率l 00221x x y y a b +=2020b x ka y =-=（ii ）由（i ）可得：， (),0M N ⎫⎪⎪⎭∵，||MN ==b =∴，2a b ==故椭圆方程为.221246x y +=26. 已知是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为，，且，{}n a n S 11a =33S a +，成等差数列.55S a +44S a +（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和； ,21,N (35),2(1)(1)n n na n kb n n a n k n n *=-⎧⎪=∈+⎨=⎪-+⎩{}n b 2n 2n T （3）设，，证明：.1n n c a n =+*N n ∈216nk k c =<∑【答案】（1）； 112n n a -=（2）； 21081033(21)4n nn T n +=-+⋅（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用等差中项列式求出公比q ，再求出通项公式作答. （2）由（1）的结论求出，再利用等比数列前n 项和公式、裂项相消法分组求和作答. n b （2）求出，验证当时不等式成立，当时，证得，再利用放缩的方2n c 3n ≤4n ≥22n n -≥法结合裂项相消法求和推理作答. 【小问1详解】设正项等比数列的公比为，因为，，成等差数列， {}n a (0)q q >33S a +55S a +44S a +则，即有，5533442()S a S a S a +=+++53545342S S S S a a a -+-+=+即，因此，，而，解得，又5455342a a a a a a +++=+534a a =25314a q a ==0q >12q =，11a =所以数列的通项公式是. {}n a 112n n a -=【小问2详解】由（1）知，，当时，， 112n n a -=21,N n k k *=-∈21212212n k k k b b a ---===当时，2,N n k k *=∈2122212121(65)65(65)2(21)(21)(21)(21)2[(21)2][(21)2]k k n k k k k k a k k b b k k k k k k +--++++⋅====-+-+⋅-⋅+⋅， 2121212121214[(21)2(21)2]114[[(21)2][(21)2](21)2(21)2k k k k k k k k k k k k +--+-++⋅--⋅==--⋅+⋅-⋅+⋅123421213212224()()n n n n n T b b b b b b b b b b b b --=++++++=+++++++ 24223352121111111111(1)4[()()()]22212323252(21)2(21)2n n n n n --+=+++++-+-++-⨯⨯⨯⨯-⋅+⋅， 2111114421081044[212(21)2334(21)433(21)414n n n n n n n n n +-+=+-=-+-=-+⋅⨯+⨯+⨯-所以数列的前项和. {}n b 2n 21081033(21)4n nn T n +=-+⋅【小问3详解】由（1）知，，则，有，，1112n n c n -=+212211142n n n c n n--=++⋅214c =221c =，2231149()43144c =+=当时，，当时，，当时，1n =2146c =<2n =221256c c +=<3n =， 2221234956144c c c ++=+<即当时，不等式成立，3,N n n *≤∈216nkk c=<∑当时，4n ≥22012201222222222(11)C C C C C C C n n n n n n n n n n ----------=+=++++≥++ ，(2)(3)1213242n n n n n n n --=+-+≥-+-=-≥则， 2121211121814[(21)(21)]1114(44(2)4(21)(21)42121n n n n n n n c n n n n n n ----+--≤+=+<+=+--+-+ 3222222211234511(1)4911644)()54()1144721(14n k k n n c c c c c c c n =--++++++<+++-+-=∑ ， 114911442351455614448347212523421n n n n --=++-+-=+--<⋅+⋅+综上得：，. N n *∀∈216nk k c =<∑【点睛】易错点睛：裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．。

高二数学上检测题

56高二数学（上）检测题一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1.先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反而情况,4. TWWP, M 娓( )5. 一次选拔运动员，测得7名选手的身髙（单位：cm ）分布茎叶图为18 17平均身髙为177 on,贝哒7夕选4身高的旄为（B. 14：则指针停在红色或蓝色的区域的概率为编号和不小于14的概率为（9.学校为了了解髙二年级教学情况，对全省班.实验班、普通班、中加班的学生做分层抽A. C. D. 则下列事件包含3个基本事件的是（） “至少一枚硬币正面向上” “两枚硬币都是正而向上"“两枚駛币一枚正面向上, 2 •阅读如图所示的程序框图, A. 8；B. 18：B. “只有一枚硬币正面向上”:另一枚反面向上” •运行相对应的程序，则输出S 的值为（）C. 26：D. 80.3.下列给出的賦值语句中准确的是（A 、M =_MB 、3 = AC 、B = A = 2D 、x + y = OA ・ 32（8）：B ・111⑸;C. 101010 (2):D.6. 一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑, 并且它们所占面积的比为6 ： 2 ： 1 ： 4,口 7B-l3c4D-13-7.某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画岀了样本的频率分布直方图（如图所示），则新生婴儿的体重（单位：kg ）在［3. 2, 4. 0）的人数是（） A. 30；B. 40；C. 50；D. 55.8. 一个中袋中装有大小相同,编号分别为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8的八张卡体重（kg ）片，现从中无放回地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的 1A.—；3 B.—； 561 C.—: 141D.—28（第2题图）（第7题图）样调査•假设我校髙二年级总人数为川其中全省班有学生96人.若在全省班、实验班、普通班、中加班抽取的人数分别为12,21,25,43,则总人数“为（）A.801：B. 808：C. 853：D. 912.10 •设匕〃为燉则丄或/,>丄”是“Ov"vl”的（）b aA.充分条件但不是必要条件；B.必要条件但不是充分条件：C.既是充分条件，也是必要条件：D.既不是充分条件，也不是必要条件.11.全称命题“任意平行四边形的两条对角线相等且相互平分”的否泄是（）A.任意平行四边形的两条对角线不相等或者不相互平分B.不是平行四边形的四边形两条对角线不相等或者不相互平分C.存有一个平行四边形，它的两条对角线不相等且不相互平分D.存有一个平行四边形，它的两条对角线不相等或者不相互平分⑵ 在贵阳市创建全国文明城市工作验收时，国家文明委相关部门对我校髙二年级6名学生实行了问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.如果用简单随机抽样方法从这6划学生中抽取2剑，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0. 5的概率为（）二、填空题（本大题共4个小题，每题4分，共16分）13._______________________________________________________ 命题：玉•丘/?」2_兀+1=0的否定是__________________________________________________14.如果执行如图所示的程序，则输岀的数/=___・0 < x < 215.在区域M=｛（圮刃”｝内随机撒一把黄豆，黄豆落在区域0 < y < 4x+ y <4N = ｛（x, y） I b，> x ｝内的概率是_______________ •x>016.已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的丄，则其体积缩小到原来的丄:2 8②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等：③直线“y + l = 0与圆宀相切.其中貞•命题的序号为三、解答题（本大题共6个小题，每题8分，共48分）17.学校举行演讲比赛，高二（12）班有4需男同学和3爼女同学都很想参加这次活动，现从中选一名男同学和一名女同学代表本班参赛，求女同学甲参赛的槪率是多少？18・随机抽取某中学甲、乙两班各10需同学，测量他们的身髙（单位：cm）,获得身髙数据的茎叶图如图.甲班乙班21819 9 10170 3 6 8 98 8 3 216 2 5 88159（1）计算甲班的样本方差：⑵现从乙班这10名同学中随机抽取两名身髙不低于173 cm的同学，求身髙为176 cm 的同学被抽中的概率.19・为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画岀了频率分布直方图（如图所示）.已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1 ： 2 ： 3,第2小组的频数为12,求抽取的学生人数.20.甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假立它们在一昼夜的时间段中随机到达, 试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的槪率.21.已知c>0且心1,设“：指数函数y = (2c-l)“在R上为减函数，§：不等式X2-(4C-1)X +(4C2-1)>0的解集为若〃和彳有且仅有一个准确，求c的取值范围。

湖南省部分省示范性高中2024-2025学年高二上学期开学检测数学试题

湖南省部分省示范性高中2024-2025学年高二上学期开学检测数学试题一、单选题 1．复数7i3iz =+的虚部为（） A ．2110B ．2110-C ．21i 10D ．21i 10-2．已知集合1151,1,52225x U A x x B x ⎧⎫⎧⎫==<+<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭R ，则（）A ．U AB ⊆ð B ．U A B ⊆ðC ．()U A B U ⋃=ðD ．A B U ⋃=3．已知1πcos2,0,82αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（）A ．34B C ．34-D ．4．已知命题甲：“实数x ，y 满足y xx y=”，乙“实数x ，y 满足22x y =”，则甲是乙的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知()0.40.144,0.1,log 0.1a b c ===，则（） A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>6．将函数()()ππcos 204f x x ωωω-⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的最大值为（）A ．14B ．12C ．34D ．17．由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（） A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样D ．采用哪种方案无法确定8．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，已知奇函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()28f -=-，对于区间[]0,2上的任意12,x x 都有()()1221440f x f x x x +-+>-，若关于x 的不等式()2619f x a a ≥-对任意的x ∈R 恒成立，则[]a 的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、多选题9．设向量()()3,,2,1a k b ==-r r，则下列说法错误的是（） A ．若a r与b r的夹角为钝角，则6k > B ．a r的最小值为9C ．与b r共线的单位向量只有一个，为⎝⎭ D ．若3a b =r r，则6k =±10．随机抽取8位同学对2024年数学新高考Ⅰ卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有（）A ．均值为101B ．极差为9C ．方差为8D ．第60百分位数为10111．阳马和鳖臑[biēnào]是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）.若图1中的长方体是棱长为1的正方体，则下列结论正确的是（）A ．鳖臑中的四个直角三角形全等B ．堑堵的表面积等于阳马与鳖臑的表面积之和C ．鳖臑的体积等于阳马体积的一半D ．鳖臑的内切球表面积为(3π-三、填空题12．若A ，B ，C 三点共线，对任意一点O ，有22cos OA OC OB α-=⋅u u u r u u u r u u u r（α为锐角）成立，则α=.13．已知函数()31x af x =+，满足()102f =，则()()20242024f f +-=.14．如图已知点,A B 在圆锥SO 的底面圆周上，S 为圆锥顶点，O 为圆锥的底面中心，且圆锥SO 的底面积为4π，30ASB ︒∠=，若AB 与截面SAO 所成角为60︒，则圆锥SO 的侧面积为.四、解答题15．已知函数()()2sin cos cos 05f x x x x ωωω=-<<满足π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求ω；(2)求()f x 在区间π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.16．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知1sin cos cos sin 2A a C b A a C ⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. (1)求A ；(2)若2224b c a +-=，求ABC V 的面积.17．随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图.(1)求a ；(2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值． 19．在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为()01αα<<.猜是反面的概率为1α-；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为()01ββ<<，猜是正面的概率为1β-.假设每次扔硬币相互独立.(1)若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为12,P P ，试比较12,P P 的大小；(2)若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率，（i ）从下面①②③④中选出一定错误的结论： ①32αβ+=；②1αβ+=；③12αβ=，④14αβ=（ii ）从（i ）中选出一个可能正确的结论作为条件.用X 表示猜测的正反文字串，将X 中正面的个数记为()n X ，如X =“正反正反”，则()2n X =，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求()()2P n X =的取值范围.。

2023-2024学年北京市海淀区高二上学期期中数学检测试卷(有解析)

k 值，利用弦长公式求解即可. 【详解】由题设，直线 l 的斜率必存在，设过 P(1, 2) 的直线 MN 为 y 2 k(x 1) ，联立双
曲线： (2 k 2 )x2 2k(k 2)x (k 4 4k 6) 0
设
M
(x1 ,
y1 ),
N (x2 ,
y2
)
，则
x1
x2
2k (k 2
则△PF1F2 的面积为
.
18．已知曲线 C 的方程为 x2 4 y 4 ，则下列说法正确的是
．
①曲线 C 关于坐标原点对称； ②y 的取值范围是[1,1]；
③曲线 C 是一个椭圆；面积．
E : x2 y2 1
④曲线 C 围成区域的面积小于椭圆 4
围成区域的
三、解答题，本题共 4 小题，共 40 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
，
由抛物线的性质可知：点 M (1, m) 到焦点的距离等于 M (1, m) 到准线的距离，
1 a 3 即 4 ，得a
8 ，抛物线方程为 y2
8x ，
-1-
则焦点坐标为 (2,0) ，焦点到 y 轴的距离为 2.
故选：C
5．D
b 2 【分析】由条件可得 a ，即可得离心率.
【详解】因为双曲线 C ：
故选：A. 8．D
【分析】直线 y kx 过原点，且与双曲线 x2 y2 1的两支各有一个交点，则直线 y kx 在
两条渐近线之间，数形结合即可得到答案. 【详解】由双曲线 x2 y2 1，得渐近线方程为 y x ，由题意得，直线 y kx 应该在两条渐近线之间，如图得， k (1,1) . 故选：D.
D．3
x2 y2 12．已知椭圆 a2 b2