09年高考数学函数专题复习：函数中的综合问题
高三数学函数的综合问题
2.函数的几何综合
例3．若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象过
点 A(0,3)和 B(3,1) ，求不等式 f (x 1) 1 2 的
解集。
3.函数与方程、不等式综合
例4．书P33例3
4.函数的数列综合
例5．书P32例1
（备）变式一：设函数
y log 2 n
1 (n N ) x
f (x 2) f (x),且x (0,1)时, f (x) 2x ,则f (log 1 18)
2
的值为
。
例2．书P33例4
变式一．已知定义在R上的函数f (x) 满足：
f (a b) f (a) f (b), 且x 0时, f (x) 0, f (1) 2
三.小结、
1.函数本身的综合,包括概念、性质、图象及几 种基本初等函数的综合问题 2.函数与几何的综合问题 3.函数与方程、不等式的综合问题 4.函数与数列等的综合问题
四.作业：优化设计
（1）求证： f (x) 是奇函数 （2）求 f (x) 在[-3，3]上的最大值和最小值。
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清幽深的走廊、昏暗的教室还有通向主席台高高的石阶。秋日永远扫不完的落叶纷飞，让人心乱如麻，连长青的榕树都留不住轻轻的叶片，落在脖颈上，一阵冰凉。当一个人沿着僻静的小路回家，秋风渐厉，卷起尘土，人迹萧然。原本应该保持快乐的少年心情，此时无论如何也痛快不起 来。王子敬称：“从山阴道上行，山川自相映发，使人应接不暇。若秋冬之际，尤难为怀。”在秀丽的南方发出这样的感慨，可见秋冬构成了内心的紧张。万千生命即使是在滋润的南方，也出现了质的变化，悄然从高高的枝头脱离，掉落在一个正在长大的少年面前，过早地预告了生命最 终的结局，这是不是一种无言的
高考数学难点突破__函数中的综合问题含答案
高考数学难点突破 函数中的综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.●难点磁场(★★★★★)设函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y ),当x >0时f (x )<0且f (3)=－4.(1)求证：f (x )为奇函数；(2)在区间［－9，9］上，求f (x )的最值. ●案例探究［例1］设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0.(1)求f (21)、f (41); (2)证明f (x )是周期函数；(3)记a n =f (n +n21),求).(ln lim n n a ∞→命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力.知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口.错解分析：不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形.技巧与方法：由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为)2()2()2()22()(xf x f x f x x f x f ⋅⋅=+=是解决问题的关键.(1) 解：因为对x 1,x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=)2()22(xf x x f =+≥0,x ∈［0,1］又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=［f (21)］2f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2 又f (1)=a >0∴f (21)=a 21,f (41)=a 41(2)证明：依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1－x ),即f (x )=f (2－x ),x ∈R . 又由f (x )是偶函数知f (－x )=f (x ),x ∈R ∴f (－x )=f (2－x ),x ∈R .将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x +2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个 周期.(3)解：由(1)知f (x )≥0,x ∈［0,1］∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21+(n －1) n 21)=f (n 21)·f ((n －1)·n 21) =……=f (n 21)·f (n 21)·……·f (n21) =［f (n21)］n=a 21∴f (n21)=a n21.又∵f (x )的一个周期是2 ∴f (2n +n21)=f (n21),因此a n =a n 21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a n a n nn ［例2］甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ,固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y (元)表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件. 技巧与方法：四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.解法一：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vS,全程运输成本为y =a ·v S +bv 2·v S =S (va+bv ) ∴所求函数及其定义域为y =S (va+bv ),v ∈(0,c ]. (2)依题意知，S 、a 、b 、v 均为正数∴S (va+bv )≥2S ab ①当且仅当va =bv ,即v =b a 时，①式中等号成立.若b a ≤c 则当v =b a 时，有y min ；若b a>c ,则当v ∈(0,c ]时，有S (v a +bv )－S (ca +bc )=S ［(v a －c a )+(bv －bc )］=vcS (c －v )(a －bcv ) ∵c －v ≥0,且c >bc 2,∴a －bcv ≥a －bc 2>0∴S (v a +bv )≥S (ca+bc ),当且仅当v =c 时等号成立，也即当v =c 时，有y min ；综上可知，为使全程运输成本y 最小，当b ab ≤c 时，行驶速度应为v =b ab ,当bab >c 时行驶速度应为v =c .解法二：(1)同解法一.(2)∵函数y =x +xk(k >0),x ∈(0,+∞),当x ∈(0,k )时，y 单调减小，当x ∈(k ,+∞)时y 单调增加，当x =k 时y 取得最小值，而全程运输成本函数为y =Sb (v +vb a),v ∈(0,c ].∴当b a ≤c 时，则当v =b a 时，y 最小，若ba >c 时，则当v =c 时，y 最小.结论同上. ●锦囊妙计在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)函数y =x +a 与y =log a x 的图象可能是( )2.(★★★★★)定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间［0，+∞)的图象与f (x )的图象重合，设a >b >0,给出下列不等式：①f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )<g (a )－g (－b ) ③f (a )－f (－b )>g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )<g (b )－g (－a )其中成立的是( ) A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④ 二、填空题3.(★★★★)若关于x 的方程22x +2x a +a +1=0有实根，则实数a 的取值范围是_________. 三、解答题4.(★★★★)设a 为实数，函数f (x )=x 2+|x －a |+1,x ∈R . (1)讨论f (x )的奇偶性； (2)求f (x )的最小值.5.(★★★★★)设f (x )=xxx +-++11lg11. (1)证明：f (x )在其定义域上的单调性； (2)证明：方程f -1(x )=0有惟一解；(3)解不等式f ［x (x －21)］<21.6.(★★★★★)定义在(－1，1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(－1,1),都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1);②当x ∈(－1,0)时，有f (x )>0.求证：)21()131()111()51(2f n n f f f >+++++Λ. 7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (米)的函数关系式，并指出其定义域.(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价. 8.(★★★★★)已知函数f (x )在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)上是增函数，f (1)=0,又g (θ)=sin 2θ－m cos θ－2m ,θ∈［0,2π］,设M ={m |g (θ)<0,m ∈R },N ={m |f ［g (θ)］<0},求M ∩N .［学法指导］怎样学好函数学习函数要重点解决好四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识.(一)准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面：(1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中.(三)把握数形结合的特征和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.(四)认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识.参考答案难点磁场(1）证明：令x=y=0,得f(0)=0令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)∴f(x)是奇函数(2）解：1°,任取实数x1、x2∈［－9,9］且x1＜x2,这时，x2－x1>0,f(x1)－f(x2)=f［(x1－x2)+x2］－f(x2)=f(x1－x2)+f(x2)－f(x1)=－f(x2－x1)因为x>0时f(x)＜0,∴f(x1)－f(x2)>0∴f(x)在［－9，9］上是减函数故f(x)的最大值为f(－9),最小值为f(9).而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12.∴f(x)在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12.歼灭难点训练一、1.解析：分类讨论当a>1时和当0＜a＜1时.答案：C2.解析：用特值法，根据题意，可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1,则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3.g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1.∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1.又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3.g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b).即①与③成立. 答案：C二、3.解析：设2x =t >0，则原方程可变为t 2+at +a +1=0①方程①有两个正实根，则⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>-=+≥+-=∆0100)1(421212a t t a t t a a解得：a ∈(－1,2－22]. 答案：(－1，2－22]三、4.解：(1)当a =0时，函数f (－x )=(－x )2+|－x |+1=f (x ),此时f (x )为偶函数；当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (－a )=a 2+2|a |+1,f (－a )≠f (a ),f (－a )≠－f (a ).此时函数f (x )既不是奇函数也不是偶 函数.(2)①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2－x +a +1=(x －21)2+a +43,若a ≤21,则函数f (x )在(－∞,a ]上单调递减，从而，函数f (x )在(－∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1.若a >21,则函数f (x )在(－∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ,且f (21)≤f (a ). ②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x －a +1=(x +21)2－a +43;当a ≤－21时，则函数f (x )在［a ,+∞)上的最小值为f (－21)=43－a ,且f (－21)≤f (a ).若a >－21,则函数f (x )在［a ,+∞)上单调递增，从而，函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1.综上，当a ≤－21时，函数f (x )的最小值是43－a ,当－21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1;当a >21时，函数f (x )的最小值是a +43.5.(1)证明：由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+-02011x x x得f (x )的定义域为(－1，1)，易判断f (x )在(－1，1)内是减函数.(2)证明：∵f (0)=21,∴f -－1(21)=0,即x =21是方程f -－1(x )=0的一个解.若方程f -－1(x )=0还有另一个解x 0≠21,则f -－1(x 0)=0,由反函数的定义知f (0)=x 0≠21,与已知矛盾，故方程f -－1(x )=0有惟一解.(3)解：f ［x (x －21)］＜21,即f ［x (x －21)］＜f (0)..415121041510)21(1)21(1+<<<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-<-∴x x x x x x 或6.证明：对f (x )+f (y )=f (xyyx ++1)中的x ,y ,令x =y =0,得f (0)=0,再令y =－x ,又得f (x )+f (－x )=f (0)=0,即f (－x )=－f (x ),∴f (x )在x ∈(－1,1)上是奇函数.设－1＜x 1＜x 2＜0,则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=f (21211x x x x --),∵－1＜x 1＜x 2＜0,∴x 1－x 2＜0,1－x 1x 2>0.∴21211x x x x --＜0,于是由②知f (21211x x x x --)>0,从而f (x 1)－f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),故f (x )在x ∈(－1,0)上是单调递减函数.根据奇函数的图象关于原点对称，知f (x )在x ∈(0,1)上仍是递减函数，且f (x )＜0..),21()21()21(,0)21(,1210),21()21()]21()11([)]41()31([)]31()21([)131()111()51()21()11()211112111(])2)(1(11)2)(1(1[]1)2)(1(1[)131(22故原结论成立有时f n f f n f n n f f n f n f f f f f n n f f f n f n f n n n n f n n n n f n n f n n f >+-∴<+<+<+-=+-+++-+-=+++++∴+-+=+⋅+-+-+=++-++=-++=++ΘΛΛΘ7.解：(1)因污水处理水池的长为x 米，则宽为x200米，总造价y =400(2x +2×x200)+248×x200×2+80×200=800(x +x324)+1600,由题设条件⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<162000,160x x 解得12.5≤x ≤16,即函数定义域为［12.5，16］. (2)先研究函数y =f (x )=800(x +x324)+16000在［12.5,16］上的单调性，对于任意的x 1,x 2∈［12.5,16］,不妨设x 1＜x 2,则f (x 2)－f (x 1)=800［(x 2－x 1)+324(1211x x -)］=800(x 2－x 1)(1－21324x x ),∵12.5≤x 1≤x 2≤16.∴0＜x 1x 2＜162＜324,∴21324x x >1,即1－21324x x ＜0.又x 2－x 1>0,∴f (x 2)－f (x 1)＜0,即f (x 2)＜f (x 1),故函数y =f (x )在［12.5,16］上是减函数.∴当x =16时，y 取得最小值，此时，y min =800(16+16324)+16000=45000(元)，16200200=x =12.5(米） 综上，当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低为45000元. 8.解：∵f (x )是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞,0)上也是增函数. 又f (1)=0,∴f (－1)=－f (1)=0,从而，当f (x )＜0时，有x ＜－1或0＜x ＜1, 则集合N ={m |f ［g (θ)］＜θ＝}={m |g (θ)＜－1或0＜g (θ)＜1},∴M ∩N ={m |g (θ)＜－1}.由g (θ)＜－1,得cos 2θ>m (cos θ－2)+2,θ∈［0,2π］,令x =cos θ,x ∈［0,1］得：x 2>m (x －2)+2,x ∈［0,1］，令①：y 1=x 2,x ∈［0,1］及②y 2=m (m －2)+2,显然①为抛物线一段，②是过(2，2)点的直线系，在同一坐标系内由x ∈［0,1］得y 1>y 2.∴m >4－22,故M ∩N ={m |m >4－22}.。
2002009年高考数学试题汇编及2009年高考模拟试题汇编---函数与基本初等函数Ⅰ60页
第二章函数与基本初等函数I2009年高考题答案A解析函数有意义，需使e x-e」=0,其定义域为：x|x = 0?,排除C,D,又因为【命题立意】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质•本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考察其余的性质.2.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=丿则f( 2009)的值为解析由已知得f(_1) =|og22 =1, f(0) =0, f (1)= f(0) - f (-1)=-1,f (2) = f(1)- f(0) = -1, f (3)二f(2) - f(1)= -1 -(-1) = 0,f (4) = f(3) - f (2) =0 -(-1) =1, f(5) = f ⑷- f(3) =1, f(6) = f (5) - f (4) =0,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现•，所以f (2009)= f( 5)=1,故选C.【命题立意】：本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算e x+ e^3.(2009山东卷文)函数y x x的图像大致为().1. (2009山东卷理)函数y二的图像大致为( ).x -xe e2xex -xe -e2xe=1 • J2，所以当x - 0时函数为减函数e -1 ，故选A.Iog2(1 -X),x 一0f(x_1) - f (x_2),x 0A.-1B. 0答案CC.1D. 2x . x e -ee -e答案 A.解析 函数有意义,需使e x -e 」=O ,其定义域为〈x|x = O?,排除C,D,又因为_x 2x e e 1 2x1 • p ，所以当x 0时函数为减函数，故选A.e -1 e -1【命题立意】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质•本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考察其余的性质 4.(2009全国卷I 理)函数f(X )的定义域为R ,若f (x 1与f(X-1)都是奇函数，则( )A. f (x)是偶函数 C. f(x)二 f (X 2) D. f(x 3)是奇函数答案 D解析 V f (x 1)与f(x-1)都是奇函数，.f(-x 1) - -f (x 1),f (-X -1) - -f(x-1),-函数f (x)关于点(1,0)，及点(-1,0)对称，函数f (x)是周期T =2[1-(-1)]=4的周 期函数..f ( -X -14) - - f (x -1 4) , f ( -X 3) - - f (x 3)，即 f (x 3)是奇函数。
高考理科数学第一轮复习第二章函数 函数的综合问题
函数的综合应用一．函数综合问题1．函数内容本身的相互综合，包括概念、性质、图象及几种基本初等函数的综合问题 2．函数与方程、不等式的综合问题 3．函数与数列、三角的综合问题 4．函数与几何的综合问题5．函数在实际应用（上一节）的综合问题 二、举例剖析 函数的性质综合 例1．书P32例2变式一：已知奇函数)(x f 满足)18(log ,2)(,)1,0(),()2(21f x f x x f x f x则时且=∈-=+的值为 。
解：())4()2()()2(+=+-=∴-=+x f x f x f x f x f892)89(log )89log ()98(log )18log 4()18log ()18(log 89log 22222212-=-=-=-==-=-=f f f f f f例2．书P33例4函数与几何例3．若f （x ）是R 上的减函数，且f （x ）的图象经过点)3,0(A 和)1,3(-B ，则不等式21)1(<-+x f 的解集 （-1，2） 。
函数与方程、不等式 例4．书P33例3函数与数列例5．书P32例1（备）变式一：设函数)(1log 2*∈=N n xy n（1）n=1,2,3……时,把已知函数的图象和直线y=1的交点横坐标依次记为a 1,a 2,a 3,…a n , …，求证：a 1+a 2+a 3+a n <1;（2）对于每一个n 值,设A n ,B n 为已知函数图象上与x 轴距离为1的两点,求证:n 取任意一个正整数时,以A n B n 为直径的圆都与一条定直线相切,求出这条定直线和切点坐标.解：(1)原函数化为n n n a a x x n y y x n y 21,)21(,log 11,log 12==⎪⎩⎪⎨⎧-==-=即得则1211211)211(21321<-=--=++++∴n n an a a a (2) 以A n,B n 为曲线上的点且与x 轴距离为1,则nn n n n n n n n n B A B A 2122)22(),1,2(),1,2(22+=+-=---,又A n,B n 的中点C 到y 轴的距离为n n n n B A 21222=+-,所以,以C 为圆心,以n n B A 为直线的圆与y 轴相切,故定直线为x=0,且切点为(0,0).三.小结变式一．已知定义在R 上的函数 满足： （1）求证： ,且当x<0时, （2）求证 在R 上是减函数)(x f ,1)(0,0),()()(<<>•=+x f x n f m f n m f 时且1)0(=f )(x f 1)(>x f1．函数的概念、性质及几种基本初等函数的综合问题。
历年高考函数导数综合题解题思路归纳总结
历年高考函数导数综合题解题思路归纳总结导数综合题是高考数学中的重要题型，主要涉及函数、导数、不等式等知识点，需要具备较强的逻辑思维、推理能力和数学应用能力。
以下是历年高考函数导数综合题的解题思路详细归纳总结：考察的题型分5大类，23个小类一、求函数的单调性1.求函数的导数；2.根据导数的符号判断函数的单调性；3.根据单调性判断函数的极值点或最值点；4.根据极值点或最值点进行参数取值范围的求解。
二、切线问题1.求函数的导数；2.根据导数的几何意义求出切线的斜率；3.根据切线的定义写出切线方程；4.根据切线方程和已知条件求解参数。
三、不等式恒成立问题1.求函数的导数；2.根据导数的符号判断函数的单调性；3.根据函数的单调性和最值求解不等式恒成立的参数范围。
四、零点问题1.求函数的导数；2.根据导数的符号判断函数的单调性；3.根据函数的零点和单调性求解参数的范围。
五、多变量问题1.分别对各个变量求导；2.利用导数研究各个变量的单调性和最值；3.根据函数的图像和性质求解参数的范围。
高考导数综合题的突破点1.导数的定义和性质：导数作为微积分的基本概念，其定义和性质是解决导数综合题的基础。
学生需要熟练掌握导数的计算公式和运算法则，理解导数在研究函数中的意义和应用。
2.切线与导数的关系：切线是导数的几何意义所在，也是导数综合题中常见的考点。
学生需要理解切线的定义和性质，掌握切线方程的求解方法，能够利用导数求曲线的切线。
3.函数的单调性与导数的关系：单调性是函数的重要性质之一，而导数则是研究函数单调性的重要工具。
学生需要理解导数与函数单调性之间的关系，能够通过导数的符号判断函数的单调性。
4.极值与最值的求解：极值和最值是导数综合题中常见的考点。
学生需要掌握极值和最值的求解方法，理解极值和最值的几何意义，能够利用导数求函数的极值和最值。
5.不等式与导数的关系：不等式是导数综合题中常见的考点之一。
学生需要理解导数在处理不等式问题中的作用，掌握利用导数证明不等式的方法。
高考数学复习函数的综合问题
2.12 函数的综合问题●知识梳理函数的综合应用主要体现在以下几方面：1.函数容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的容与函数的综合.这是高考主要考查的容.3.函数与实际应用问题的综合. ●点击双基1.已知函数f （x ）=lg （2x－b ）（b 为常数），若x ∈［1，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，则A.b ≤1B.b ＜1C.b ≥1D.b =1解析：当x ∈［1，+∞）时，f （x ）≥0，从而2x －b ≥1，即b ≤2x－1.而x ∈［1，+∞）时，2x－1单调增加，∴b ≤2－1=1. 答案：A2.（2003年市质检题）若f （x ）是R 上的减函数，且f （x ）的图象经过点A （0，3）和B （3，－1），则不等式|f （x +1）－1|＜2的解集是___________________.解析：由|f （x +1）－1|＜2得－2＜f （x +1）－1＜2，即－1＜f （x +1）＜3. 又f （x ）是R 上的减函数，且f （x ）的图象过点A （0，3），B （3，－1）， ∴f （3）＜f （x +1）＜f （0）. ∴0＜x +1＜3，－1＜x ＜2. 答案：（－1，2） ●典例剖析【例1】 取第一象限的点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），使1，x 1，x 2，2依次成等差数列，1，y 1，y 2，2依次成等比数列，则点P 1、P 2与射线l :y =x （x ＞0）的关系为A.点P 1、P 2都在l 的上方B.点P 1、P 2都在l 上C.点P 1在l 的下方，P 2在l 的上方D.点P 1、P 2都在l 的下方剖析：x 1=31+1=34，x 2=1+32=35，y 1=1×32=32，y 2=34，∵y 1＜x 1，y 2＜x 2， ∴P 1、P 2都在l 的下方. 答案：D【例2】 已知f （x ）是R 上的偶函数，且f （2）=0，g （x ）是R 上的奇函数，且对于x ∈R ，都有g （x ）=f （x －1），求f （2002）的值.解：由g （x ）=f （x －1），x ∈R ，得f （x ）=g （x +1）.又f （－x ）=f （x ），g （－x ）=－g （x ），故有f （x ）=f （－x ）=g （－x +1）=－g （x －1）=－f （x －2）=－f （2－x ）=－g （3－x ）=g （x －3）=f （x －4），也即f （x +4）=f （x ），x ∈R .∴f （x ）为周期函数，其周期T =4.∴f （2002）=f （4×500＋2）＝f （2）=0.评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.【例3】 函数f （x ）=mx +41（m ＞0），x 1、x 2∈R ，当x 1+x 2=1时，f （x 1）+f （x 2）=21.（1）求m 的值；（2）数列{a n }，已知a n =f （0）+f （n 1）+f （n 2）+…+f （nn 1-）+f （1），求a n . 解：（1）由f （x 1）+f （x 2）=21，得m x +141+m x +241=21，∴41x +42x +2m =21［421x x ++m （41x +42x ）+m 2］.∵x 1+x 2=1，∴（2－m ）（41x +42x ）=（m －2）2.∴41x +42x =2－m 或2－m =0.∵41x +42x ≥22144x x ⋅=2214x x +=4， 而m ＞0时2－m ＜2，∴41x +42x ≠2－m . ∴m =2.（2）∵a n =f （0）+f （n 1）+f （n 2）+…+f （n n 1-）+f （1），∴a n =f （1）+f （nn 1-）+ f （nn 2-）+…+f （n 1）+f （0）.∴2a n =［f （0）+f （1）］+［f （n 1）+f （n n 1-）］+…+［f （1）+f （0）］=21+21+…+21=21+n .∴a n =41+n .深化拓展用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.【例4】 函数f （x ）的定义域为R ，且对任意x 、y ∈R ，有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＜0，f （1）=－2.（1）证明f （x ）是奇函数；（2）证明f （x ）在R 上是减函数；（3）求f （x ）在区间［－3，3］上的最大值和最小值. （1）证明：由f （x +y ）=f （x ）+f （y ），得f ［x +（－x ）］=f （x ）+f （－x ），∴f （x ）+ f （－x ）=f （0）.又f （0+0）=f （0）+f （0），∴f （0）=0.从而有f （x ）+f （－x ）=0.∴f （－x ）=－f （x ）.∴f （x ）是奇函数.（2）证明：任取x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=f （x 1）－f ［x 1+（x 2－x 1）］=f （x 1）－［f （x 1）+f （x 2－x 1）］=－f （x 2－x 1）.由x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.∴f （x 2－x 1）＜0.∴－f （x 2－x 1）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），从而f （x ）在R 上是减函数.（3）解：由于f （x ）在R 上是减函数，故f （x ）在［－3，3］上的最大值是f （－3），最小值是f （3）.由f （1）=－2，得f （3）=f （1+2）=f （1）+f （2）=f （1）+f （1+1）=f （1）+f （1）+f （1）=3f （1）=3×（－2）=－6，f （－3）=－f （3）=6.从而最大值是6，最小值是－6.深化拓展对于任意实数x 、y ，定义运算x *y =ax +by +cxy ，其中a 、b 、c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数m ，使得对于任意实数x ，都有x *m =x ，试求m 的值.提示：由1*2=3，2*3=4，得⎩⎨⎧=++=++.4632,322c b a c b a ∴b =2+2c ，a =－1－6c .又由x *m =ax +bm +cmx =x 对于任意实数x 恒成立，∴⎩⎨⎧==+.0,1bm cm a ∴b =0=2+2c .∴c =－1.∴（－1－6c ）+cm =1. ∴－1+6－m =1.∴m =4. 答案：4.●闯关训练 夯实基础1.已知y =f （x ）在定义域［1，3］上为单调减函数，值域为［4，7］，若它存在反函数，则反函数在其定义域上A.单调递减且最大值为7B.单调递增且最大值为7C.单调递减且最大值为3D.单调递增且最大值为3 解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f －1（x ）的值域是［1，3］. 答案：C2.（2003年市质检题）关于x 的方程|x 2－4x +3|－a =0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是___________________.解析：作函数y =|x 2－4x +3|的图象，如下图.xy O 1 2 3 -112 3 由图象知直线y =1与y =|x 2－4x +3|的图象有三个交点，即方程|x 2－4x +3|=1也就是方程|x 2－4x +3|－1=0有三个不相等的实数根，因此a =1.答案：13若存在常数p ＞0，使得函数f （x ）满足f （px ）=f （px －2p ）（x ∈R ），则f （x ）的一个正周期为__________.解析：由f （px ）=f （px －2p ）， 令px =u ，f （u ）=f （u －2p ）=f ［（u +2p ）－2p ］，∴T =2p 或2p 的整数倍. 答案：2p （或2p的整数倍） 4.已知关于x 的方程sin 2x －2sin x －a =0有实数解，求a 的取值围.解：a =sin 2x －2sin x =（sin x －1）2－1.∵－1≤sin x ≤1，∴0≤（sin x －1）2≤4. ∴a 的围是［－1，3］.5记函数f （x ）=132++-x x 的定义域为A ，g （x ）=lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B .（1）求A ；（2）若B ⊆A ，数a 的取值围.解：（1）由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，∴x ＜－1或x ≥1，即A =（－∞，－1）∪［1，+∞）. （2）由（x －a －1）（2a －x ）＞0，得（x －a －1）（x －2a ）＜0. ∵a ＜1，∴a +1＞2a .∴B =（2a ，a +1）.∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2.而a ＜1，∴21≤a ＜1或a ≤－2.故当B ⊆A 时，实数a 的取值围是（－∞，－2］∪［21，1）.培养能力6.（理）已知二次函数f （x ）=x 2+bx +c （b ≥0，c ∈R ）. 若f （x ）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f （x ）是否存在？若存在，求出f （x ）的表达式；若不存在，请说明理由.解：设符合条件的f （x ）存在，∵函数图象的对称轴是x =－2b，又b ≥0，∴－2b≤0.①当－21＜－2b≤0，即0≤b ＜1时，函数x =－2b有最小值－1，则⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-1,0011240)1(1)2(22c b c b c b b f b f 或⎩⎨⎧==3,4c b （舍去）.②当－1＜－2b ≤－21，即1≤b ＜2时，则 ⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0,20)0(1)2(c b f b f （舍去）或⎩⎨⎧=-=0,2c b （舍去）. ③当－2b≤－1，即b ≥2时，函数在［－1，0］上单调递增，则⎩⎨⎧=-=-,0)0(,1)1(f f 解得⎩⎨⎧==.0,2c b综上所述，符合条件的函数有两个，f （x ）=x 2－1或f （x ）=x 2+2x .（文）已知二次函数f （x ）=x 2+（b +1）x +c （b ≥0，c ∈R ）. 若f （x ）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f （x ）是否存在？若存在，求出f （x ）的表达式；若不存在，请说明理由.解：∵函数图象的对称轴是x =－21+b ，又b ≥0，∴－21+b ≤－21. 设符合条件的f （x ）存在，①当－21+b ≤－1时，即b ≥1时，函数f （x ）在［－1，0］上单调递增，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=++-⇒⎩⎨⎧=-=-.0,101)1(10)0(1)1(c b c c b f f ②当－1＜－21+b ≤－21，即0≤b ＜1时，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-0)0(1)21(f b f ⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-+0,1012)1()21(22c b c c b b （舍去）. 综上所述，符合条件的函数为f （x ）=x 2+2x .7.已知函数f （x ）=x +xa的定义域为（0，+∞），且f （2）=2+22.设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y =x 和y 轴的垂线，垂足分别为M 、N.（1）求a 的值.（2）问：|PM |·|PN |是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值.解：（1）∵f （2）=2+2a=2+22，∴a =2.（2）设点P 的坐标为（x 0，y 0），则有y 0=x 0+2x ，x 0＞0，由点到直线的距离公式可知，|PM |=2||00y x -=1x ，|PN |=x 0，∴有|PM |·|PN |=1，即|PM |·|PN |为定值，这个值为1. （3）由题意可设M （t ，t ），可知N （0，y 0）. ∵PM 与直线y =x 垂直，∴k PM ·1=－1，即t x t y --00=－1.解得t =21（x 0+y 0）. 又y 0=x 0+2x ，∴t =x 0+22x . ∴S △OPM =221x +22，S △OPN =21x 02+22. ∴S 四边形OMPN =S △OPM +S △OPN =21（x 02+201x ）+2≥1+2. 当且仅当x 0=1时，等号成立.此时四边形OMPN 的面积有最小值1+2.探究创新8.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a ），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b ）.（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V 1； （2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V 2＞V 1.x(a ) (b )解：（1）设切去正方形边长为x ，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x ，高为x ，∴V 1=（4－2x ）2·x =4（x 3－4x 2+4x ）（0＜x ＜2）.∴V 1′=4（3x 2－8x +4）.令V 1′=0，得x 1=32，x 2=2（舍去）. 而V 1′=12（x －32）（x －2），又当x ＜32时，V 1′＞0；当32＜x ＜2时，V 1′＜0，∴当x =32时，V 1取最大值27128. （2）重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V 2=3×2×1=6，显然V 2＞V 1.故第二种方案符合要求.23 114① ② ③●思悟小结1.函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问题应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点容，应适当加强.2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有章可循.●教师下载中心 教学点睛数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法，应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题.拓展题例【例1】 设f （x ）是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a 、b ∈［－1，1］，当a +b ≠0时，都有ba b f a f ++)()(＞0.（1）若a ＞b ，比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）解不等式f （x －21）＜f （x －41）；（3）记P ={x |y =f （x －c ）}，Q ={x |y =f （x －c 2）}，且P ∩Q =∅，求c 的取值围. 解：设－1≤x 1＜x 2≤1，则x 1－x 2≠0，∴)()()(2121x x x f x f -+-+＞0.∵x 1－x 2＜0，∴f （x 1）+f （－x 2）＜0. ∴f （x 1）＜－f （－x 2）.又f （x ）是奇函数，∴f （－x 2）=－f （x 2）. ∴f （x 1）＜f （x 2）. ∴f （x ）是增函数.（1）∵a ＞b ，∴f （a ）＞f （b ）. （2）由f （x －21）＜f （x －41），得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-,4121,1411,1211x x x x ∴－21≤x ≤45. ∴不等式的解集为{x |－21≤x ≤45}. （3）由－1≤x －c ≤1，得－1+c ≤x ≤1+c ， ∴P ={x |－1+c ≤x ≤1+c }.由－1≤x －c 2≤1，得－1+c 2≤x ≤1+c 2，∴Q ={x |－1+c 2≤x ≤1+c 2}. ∵P ∩Q =∅，∴1+c ＜－1+c 2或－1+c ＞1+c 2， 解得c ＞2或c ＜－1.【例2】 （2003年市高三第一次质量调研测试题）已知函数f （x ）的图象与函数h（x ）=x +x1+2的图象关于点A （0，1）对称.（1）求f （x ）的解析式； （2）（文）若g （x ）=f （x ）·x +ax ，且g （x ）在区间（0，2］上为减函数，数a 的取值围.（理）若g （x ）=f （x ）+xa，且g （x ）在区间（0，2］上为减函数，数a 的取值围.解：（1）设f （x ）图象上任一点坐标为（x ，y ），点（x ，y ）关于点A （0，1）的对称点（－x ，2－y ）在h （x ）的图象上.∴2－y =－x +x -1+2.∴y =x +x 1，即f （x ）=x +x1.（2）（文）g （x ）=（x +x1）·x +ax ，即g （x ）=x 2+ax +1.g （x ）在（0，2］上递减⇒－2a≥2，∴a ≤－4.（理）g （x ）=x +x a 1+.∵g ′（x ）=1－21xa +，g （x ）在（0，2］上递减，∴1－21x a +≤0在x ∈（0，2］时恒成立，即a ≥x 2－1在x ∈（0，2］时恒成立.∵x ∈（0，2］时，（x 2－1）max =3， ∴a ≥3.【例3】 （2003年潍坊市第二次模拟考试题）在4月份（共30天），有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量（单位：件）f （n ）关于时间n （1≤n ≤30，n ∈N *）的函数关系如下图所示，其中函数f （n ）图象中的点位于斜率为5和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m ，且第m 天日销售量最大.（1）求f （n ）的表达式，及前m 天的销售总数；（2）按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由.解：（1）由图形知，当1≤n ≤m 且n ∈N *时，f （n ）=5n －3. 由f （m ）=57，得m =12.∴f （n ）=⎩⎨⎧+--93335n n .,3012,,121**N N ∈≤<∈≤≤n n n n 且且前12天的销售总量为5（1+2+3+…+12）－3×12=354件.（2）第13天的销售量为f （13）=－3×13+93=54件，而354+54＞400， ∴从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行. 设第n 天的日销售量开始低于30件（12＜n ≤30），即f （n ）=－3n +93＜30，解得n ＞21.∴从第22天开始日销售量低于30件， 即流行时间为14号至21号. ∴该服装流行时间不超过10天.。
2009高考数学重点难点复习(9)：指数函数...
2009高考数学重点难点复习(9)：指数函数...难点9 指数函数、对数函数问题指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.●难点磁场(★★★★★)设f (x )=log 2xx -+11,F (x )=x-21+f (x ). (1)试判断函数f (x )的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)若f (x )的反函数为f －1(x ),证明：对任意的自然数n (n ≥3),都有f －1(n )>1+n n ; (3)若F (x )的反函数F －1(x ),证明：方程F－1(x )=0有惟一解.●案例探究［例1］已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一条直线上；(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标. 命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.知识依托：(1)证明三点共线的方法：k OC =k OD .(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A 点坐标.错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A 的坐标.(1)证明：设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知：x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1=2log log 818x===2log log log ,log38282218x x x 3log 8x 2,所以OC 的斜率：k 1=118212log 3log x x x x=,OD 的斜率：k 2=228222log 3log x x x x=，由此可知：k 1=k 2,本难点所涉及的问题以及解决的方法有： (1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.(3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果f (x )=lg(10x +1),其中x ∈(－∞,+∞),那么( )A.g (x )=x ,h (x )=lg(10x +10－x+2)B.g (x )=21［lg(10x +1)+x ］,h (x )= 21［lg(10x +1)－x ］C.g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)－2xD.g (x )=－2x ,h (x )=lg(10x +1)+2x2.(★★★★)当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( )二、填空题3.(★★★★★)已知函数f (x )=⎩⎨⎧<<--≥)02( )(log )0( 22x x x x .则f -－1(x －1)=_________.4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有a L 水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y = ae－nt,那么桶2中水就是y 2=a －ae－nt,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有8a . 三、解答题5.(★★★★)设函数f (x )=log a (x －3a )(a >0且a ≠1),当点P (x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时，点Q (x －2a ,－y )是函数y =g (x )图象上的点.(1)写出函数y =g (x )的解析式；(2)若当x ∈［a +2,a +3］时，恒有|f (x )－g (x )|≤1,试确定a 的取值范围.6.(★★★★)已知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1),(x ∈(0,+∞)),若x 1,x 2∈(0,+∞),判断21［f (x 1)+f (x 2)］与f (221x x+)的大小，并加以证明.7.(★★★★★)已知函数x ,y 满足x ≥1,y ≥ 1.log a 2x +log a 2y =log a (ax 2)+log a (ay 2)(a >0且a ≠1),求log a (xy )的取值范围.8.(★★★★)设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x )的最大、最小值.参考答案难点磁场解：(1)由xx-+11>0,且2－x ≠0得F (x )的定义域为(－1，1)，设－1＜x 1＜x 2＜1,则F (x 2)－F (x 1)=(122121x x---)+(11222211log 11logx x x x -+--+))1)(1()1)(1(log )2)(2(212122112x x x x x x x x -++-+---=,∵x 2－x 1>0,2－x 1>0,2－x 2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.因此F (x 2)－F (x 1)>0,F (x 2)>F (x 1),∴F (x )在(－1，1）上是增函数.(2)证明：由y =f (x )=xx-+11log 2得：2y =1212,11+-=-+yy x x x,∴f －1(x )=1212+-x x ,∵f (x )的值域为R ，∴f-－1(x )的定义域为R.当n ≥3时，f -1(n )>1221111221112121+>⇔+->+-⇔+>+-⇔+n n n n n n n n n n .用数学归纳法易证2n >2n +1(n ≥3),证略.(3)证明：∵F (0)=21,∴F －1(21)=0,∴x =21是F －1(x )=0的一个根.假设F －1(x )=0还有一个解x 0(x 0≠21),则F -1(x 0)=0,于是F (0)=x 0(x 0≠21).这是不可能的，故F -1(x )=0有惟一解.歼灭难点训练一、1.解析：由题意：g (x )+h (x )=lg(10x +1) ①又g (－x )+h (－x )=lg(10－x+1).即－g (x )+h (x )=lg(10－x +1) ②由①②得：g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)－2x.答案：C2.解析：当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数.答案：B二、3.解析：容易求得f - －1(x )=⎩⎨⎧<-≥)1( 2)1( log 2x x x x,从而：f －1(x －1)=⎩⎨⎧<-≥--).2( ,2)2(),1(log 12x x x x 答案：⎩⎨⎧<-≥--)2( ,2)2(),1(log 12x x x x4.解析：由题意，5分钟后，y 1=ae －nt,y 2=a －ae －nt,y 1=y 2.∴n =51l n 2.设再过t 分钟桶1中的水只有8a,则y 1=ae－n (5+t )=8a ,解得t =10. 答案：10三、5.解：(1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),则x ′=x －2a ,y ′=－y .即x =x ′+2a ,y =－y ′.∵点P (x ,y )在函数y =log a (x －3a )的图象上，∴－y ′=log a (x ′+2a －3a ),即y ′=log aax -21,∴g (x )=log a ax -1. (2)由题意得x －3a =(a +2)－3a =－2a +2>0;ax -1=a a -+)3(1>0,又a >0且a ≠1,∴0＜a ＜1,∵|f (x )－g (x )|=|log a (x －3a )－log a ax -1|=|log a (x 2－4ax +3a 2)|·|f (x )－g (x )|≤1,∴－1≤log a (x 2－4ax +3a 2)≤1,∵0＜a ＜1,∴a +2>2a .f (x )=x 2－4ax +3a 2在［a +2,a +3］上为减函数，∴μ(x )=log a (x 2－4ax +3a 2)在［a +2,a +3］上为减函数，从而［μ(x )］max =μ(a +2)=log a (4－4a ),［μ(x )］mi n =μ(a +3)=log a (9－6a ),于是所求问题转化为求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a aa 的解.由log a (9－6a )≥－1解得0＜a ≤12579-,由log a (4－4a )≤1解得0＜a ≤54,∴所求a 的取值范围是0＜a ≤12579-. 6.解：f (x 1)+f (x 2)=log a x 1+log a x 2=log a x 1x 2,∵x 1,x 2∈(0,+∞),x 1x 2≤(221x x +)2(当且仅当x 1=x 2时取“=”号)，当a >1时，有log a x 1x 2≤log a (221x x+)2,∴21log a x 1x 2≤log a (221x x+)，21(log a x 1+log a x 2)≤log a 221x x+,即21[f (x 1)+f (x 2)］≤f (221x x+)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号)当0＜a ＜1时，有log a x 1x 2≥log a (221x x+)2,∴21(log a x 1+log a x 2)≥log a221x x +,即21［f (x 1)+f (x 2)］≥f (221x x+)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号）.7.解：由已知等式得：log a 2x +log a 2y =(1+2log a x )+(1+2log a y ),即(log a x －1)2+(log a y －1)2=4,令u =log a x ,v =log a y ,k =log a xy ,则(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0),k =u +v .在直角坐标系uOv 内，圆弧(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0)与平行直线系v =－u +k 有公共点，分两类讨论.(1)当u ≥0,v ≥0时，即a >1时，结合判别式法与代点法得1+3≤k ≤2(1+2);(2)当u ≤0,v ≤0,即0＜a ＜1时，同理得到2(1－2)≤k ≤1－3.x 综上，当a >1时，log a xy 的最大值为2+22，最小值为1+3；当0＜a ＜1时，log a xy 的最大值为1－3，最小值为2－22.8.解：∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)( 21log x +3)≤0.∴－3≤21log x ≤－23. 即21log (21)－3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)－3,∴22≤x ≤8 即M ={x |x ∈［22,8］}又f (x )=(log 2x －1)(log 2x －3)=log 22x －4log 2x +3=(log 2x －2)2－1.∵22≤x ≤8,∴23≤log 2x ≤3 ∴当log 2x =2,即x =4时y mi n =－1;当log 2x =3,即x =8时，y max =0.。
2009届高考数学第二轮重点板块专题复习
2009届高考数学第二轮重点板块专题复习一．集合、简易逻辑一.考试内容集合、子集、补集、交集、并集、逻辑联结词、四种命题、充分条件和必要条件.二.考试要求 (1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.理解四种命题及其相互关系.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.三.基础回顾1. 元素与集合的关系,.2.德摩根公式.3.包含关系4.容斥原理5．集合的子集个数共有 个；真子集有–1个；非空子集有 –1个；非空的真子集有–2个.6.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假7.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有（）个小于不小于至多有个至少有（）个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或8.四种命题的相互关系9.充要条件（1）充分条件：若，则是充分条件.（2）必要条件：若，则是必要条件.（3）充要条件：若，且，则是充要条件.四.基本方法和数学思想1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；4.判断命题的真假要以真值表为依据。
原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与其否命题是等价命题，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；6.（1）含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集（非空子集）个数为2n－1；（2）（3）五.典型高考题1.设为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是（A）（B）（C）（D）2．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数的图象与的图象关于对称，则函数= 。
09年高考数学函数的性质及应用1
专题1 函数的性质及应用（2）2009-2-22高考趋势1.函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题．2.函数的图像往往融合于其他问题中，而此时函数的图像有助于找出解决问题的方向、粗略估计函数的一些性质。
另外，函数的图像本事也是解决问题的一种方法。
这些高考时常出现。
图像的变换则是认识函数之间关系的一个载体，这在高考中也常出现。
通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。
在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。
在上述性质中，知道信息越多，则解决问题越容易。
考点展示1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是B2.函数xy 1=的图像向左平移2个单位所得到的函数图像的解析式是 21+=x y3. 函数)(x f 的图像与函数2)1(2---=x y 的图像关于x 轴对称，则函数)(x f 的解析式是2)1(2+-x4. 方程223xx -+=的实数解的个数为 25. 函数)1(x f y +=的图像与)1(x f y -=的图像关于 x=0 对称函数图象对称问题是函数部分的 一个重要问题，大致有两类：一类是同一个函数图象自身的对称性；一类是两个不同函数之间的对称性。
定理1 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线2a bx +=对称。
定理2 函数()y f a x ω=+与函数()y f a x ω=-的图象关于直线2b ax ω-=对称 特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线2b ax-=对称。
2009届高三数学综合题
2009届高三数学综合题D是单调函数，则实数m 的取值范围是 ．8．若直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋2＝0相切，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，则此三角形的面积为 ．9．在数列{a n }中，a 1=2，a n+1＝1－a n (n ∈N *），设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2007－2S 2008＋S 2009= ． 10．函数∈+=x x x y (|2cos ||cos |R) 的最小值是 ．*11．设a b >>，那么21()a b a b +- 的最小值是 ．*12．已知等比数列}{na 的公比为q ，前n 项和S n ＞0（n ＝1，2，3，…），则q 的取值范围是 ．*13．已知正四棱锥的高为4cm ，一个侧面三角形的面积是15cm 2，则该四棱锥的体积是____cm 3．*14．已知一个正六棱锥的左视图如图所示(单位：cm)，则此正六棱台的体积等于_______cm 3．← 6←开始 m ←0输入Ni ←1 i ≤Nx ←random(0，1) y ←random(0，1)x ＋y ≥12m ←m ＋1i ←i ＋1结束否是 是 否（第 15 题） q ←m N输出q**15．下列程序框图（假设函数random(0，1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(0，1)内的任何一个实数）．随着输入N的不断增大，输出的值q会在某个常数p附近摆动并趋于稳定，则常数p的值是．**16．设F1、F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若PF12PF2的最小值恰是实轴长的4倍，则该双曲线离心率的取值范围是．**17．用一张正方形包装纸把一个棱长为1的正四面体礼品盒包住（按常规，包装纸可折叠，但不能剪开），则包装纸的最小面积是__________．**18．抛物线顶点为O，焦点为F，M是抛物线上的动点，则MOMF 的最大值为 ． 二、解答题：1．设锐角△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知边a ＝23，△ABC 的面积S ＝34(b2＋c 2－a 2)．求：（1）内角A ；（2）周长l 的取值范围．2．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(1，7sin α)，且0＜β＜α＜π2．若a ⋅b ＝1314，a ∥c ．（1）求tan β的值；（2）求cos(2α－12β)的值．3．已知函数f (x )＝sin 4ωx ＋cos 4ωx 的相邻对称轴之间的距离为π2．（1）求正数ω的值；（2）求函数g (x )＝2f (x )＋sin 2(x ＋π6)的最大值及取到最大值时x 的值．4．计算：2sin20︒＋cos10︒＋tan20︒⋅sin10︒．5．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC＝2AA 1，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60︒，D ，E 分别为AB ，A 1C 中点．（1）求证：DE ∥平面BB 1C 1C ； （2）求证：BB 1⊥平面A 1BC ．6．如图，在四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE是直角梯形，∠BED ＝90︒，BE ∥CD ，AB ＝6，BC ＝5，CD BE ＝13，侧面ABE ⊥底面BCDE ．且∠BAE ＝90︒．（1）求证：平面ADE ⊥平面ABE ；E A B C C 1B 1A 1DA B CD E（2）过点D作平面 ∥平面ABC，分别与BE，AE交于点F，G，求△DFG的面积．7．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800(1＋15ln x)来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场?8．某观测站C在A城的南偏西20o的方向，由A城出发有一条公路，公路的走向是南偏东40o，在C处测得距离为31km的公路上B处，有一人正沿着公路向A城走来，他走了20km后到达D 处，此时C ，D 之间相距21km ，问此人还要走多少路才能到达A 城？9．时值5月，荔枝上市．某市水果市场由历年的市场行情得知，从5月10日起的60天内，荔枝的售价S (t )(单位：元／kg)与上市时间t (单位：天)的关系大致可用如图1所示的折线ABCD 表示，每天的销售量M (t )(单位：吨)与上市时间t (单位：天)的关系大致可用如图2所示的抛物线段OEF 表示，其中O 为坐标原点，E 是抛物线的顶点．（1）请分别写出S (t )，M (t )关于t 的函数关系式；（2）在这60天内，该水果市场哪天的销售额最大？S (元)10 65 O 10 20 40 60 t (天) A BCD图M (吨)2O 10 40 60 t (天1 FE图10．一个截面为抛物线形的旧河道，河口宽AB ＝4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土，试求当截面梯形的下底长为多少米时，才能使挖出的土最少？11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，且经过椭圆的右焦点，记椭圆离心率为e ．（1）若直线l 的倾斜角为π6，求e 的值；AB（2）是否存在这样的e ，使得原点O 关于直线l 的对称点恰好在椭圆C 上？若存在，请求出e 的值；若不存在，请说明理由．12．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 轴上两点M (1，0)，N (－1，0)．（1）若tan ∠ANM ＝－2，tan ∠AMN ＝12，求该椭圆的方程；（2）若MA→＝－2MB →，且0＜x 1＜x 2， 求椭圆的离心率e 的取值范围．13．如图，已知矩形ABCD 的四个顶点在圆M ：(x －4)2＋y 2＝r 2（r ＞0）上，且直线AD 的斜率为2，AD ＝3AB ．（1）求矩形对角线AC ，BD 所在直线的方程； x y O M BA N x y O A BC D M（2）若以原点O为顶点，焦点在x轴上的抛物线过点A，B，求此抛物线的方程．14．已知函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R．（1）当a＝－103时，讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；（3）若对于任意的a∈[－2，2]，不等式f(x)≤1在[－1，1]上恒成立，求b的取值范围．15．函数y＝f(x)在区间(0，+∞)内的导函数f '(x)是减函数，且f'(x)＞0 ．设x0∈(0，＋∞)，y＝kx＋m是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程，并设函数g(x)＝kx＋m．（1）用x 0、f (x 0)、f '(x 0)表示m ；（2）证明：当x 0∈(0，＋∞)时，g (x )≥f (x )．16．已知函数f (x )＝1＋x ＋1－x ． （1）求函数f (x )的值域；（2）设F (x )＝m 1－x 2＋f (x )，记F (x )的最大值为g (m )，求g (m )的表达式．17．已知数列{a n }、{b n }满足a 1=2 ，b 1=1，且⎩⎨⎧a n ＝λa n －1＋μb n －1＋1，b n ＝μa n －1＋λb n －1＋1（n ≥2），λ＋μ＝1． （1）令c n = a n +b n ，求数列{c n }的通项公式；（2）当λ－μ＝12时，求数列{a n }的通项公式．18．已知正项数列{ a n }满足S n +S n －1＝ta 2n +2，(n ≥2，t >0)，a 1＝1，其中S n 是数列{ a n }的前n项和．（1）求通项a n ；（2）记数列{1a n a n +1}的前n 项和为T n ，若T n ＜2对所有的n ∈N +恒成立．求证：0＜t ≤1．19．已知数列{a n }、{b n }满足：a 1=λ，a n +1＝ 23a n +n－4，b n =(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．（1）对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；（2）对于给定的实数λ，试求数列{b n }的前n 项和S n ；（3）设0＜a ＜b ，是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a ＜S n ＜b 成立? 若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．20．已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=+.3,,3,1n nn n n a da a c a a（1）当11=a ，1c =，3d =时，求数列{}na 的通项公式； （2）当101<<a，3,1==d c 时，试用1a 表示数列{}na 前100项的和100S ；（3）当m a 101<< （m 是正整数），mc 1=，正整数m d 3≥时，求证：数列ma12-，ma m 123-+，mam 126-+，mam 129-+成等比数列当且仅当m d 3=．2009届高三数学综合题答案一、填空题：1．－z ＝4－3i 或－4＋3i ． 2．1． 3．55． 4．0． 5．－335． 6．1022--．7．m＜12． 8．8． 9．3． 10．22． 11．4． 12．（－1，0）∪（0，＋∞）． 13．48． 14．643． 15．78． 16．(1，3]．A B CD FE 15︒17．解：2＋3．[按要求，正方形包装纸ABCD 必须能盖住正四面体的展开图AEF ．如图最小正方形边长为AE cos15︒，面积为(2cos15︒)2＝2＋3．] 18．233．二、解答题：。
2009年高考数学专题复习之函数与不等式高考题赏析课件
( ,1) （B）
1 1 ( , ) （C） 3 3
命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的 函数的定义域的求法
1 x 0 1 x 1 故选B. 解：由 3 3 x 1 0
2017/3/15 1
函数与不等式高考题赏析
函数与不等式高考题赏析
7.以集合为背景的不等式
以集合为背景的不等式,以考查不等式的解法 和集合的有关概念与运算为目的,解题时应注意将 不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准 确解题
例11.(全国卷)设集合 （A）M∩N=Ф （C）M∪N=M
1.函数的定义域及其求法 函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重 点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域 的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关 问题. 例1(广东卷)函数
1 ( （A） , ) 3
f ( x)
1 3
3 x2 1 x
lg(3 x 1)
的定义域是（ ）
命题意图: 本题主要考查利用函数的奇偶性定义判断函 数奇偶性的能力 解:A中F(x)=f(x) f(-x)则F(-x)=f(-x) f(x)=F(x)， 即函数F(x)=f(x) f(-x)为偶函数. B中F(x)=f(x)| f(-x)|,F(-x)=f(-x)| f(x)|,此时F(x)与F(-x)的关 系不能确定,即函数F(x)=f(x)| f(-x)|的奇偶性不确定. C中F(x)= f(x) -f(-x)，F(-x)= f(-x) -f(x)= - F(x)， 即函数F(x)= f(x) -f(-x)为奇函数 D中F(x)= f(x)+ f(-x)，F(-x)= f(-x)+ f(x)= F(x)，即函数 F(x)= f(x)+ f(-x)为偶函数.故选D.
高三数学函数的综合问题
三.小结、
1.函数本身的综合,包括概念、性质、图象及几 种基本初等函数的综合问题 2.函数与几何的综合问题 3.函数与方程、不等式的综合问题 4.函数与数列等的综合问题
四.Байду номын сангаас业：优化设计
物儿，一边振颤，一边发出“呜嘟”的异音！……陡然间Ｕ．季圭赤仆人快速地用自己老态的鼻子设计出淡绿色悠然跳动的爆竹，只见他特像怪藤样的腿中，突然弹出 九缕摆舞着『白光美仙钢板鞭』的仙翅枕头锯状的核桃，随着Ｕ．季圭赤仆人的颤动，仙翅枕头锯状的核桃像啤酒一样在食指残暴地整出隐约光雾……紧接着Ｕ．季圭 赤仆人又使自己古古怪怪的飘发鸣出暗灰色的水管味，只见他暗黑色弯刀似的怪胃中，猛然抖出九串药罐状的仙翅枕头绳，随着Ｕ．季圭赤仆人的抖动，药罐状的仙翅 枕头绳像包子一样，朝着月光妹妹清丽动人的的秀眉飞勾过来！紧跟着Ｕ．季圭赤仆人也窜耍着功夫像扣肉般的怪影一样朝月光妹妹飞勾过来月光妹妹超然把青春跃动 的胸脯扭了扭，只见五道飘忽的特像旗杆般的绿宝石，突然从散发着隐隐兰花香的粉颈中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，烟橙色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪 的方砖萎欢味在朦胧的空气中奇闪。接着轻灵雅秀的妙耳朵古怪变异振颤起来……清亮透明、月光泉水般的美丽眼睛渗出乳白色的隐约玄雾……俏雅明朗、雪国仙境一 样的玉牙射出春绿色的阵阵疑味……紧接着轻灵雅秀的妙耳朵古怪变异振颤起来……清亮透明、月光泉水般的美丽眼睛渗出乳白色的隐约玄雾……俏雅明朗、雪国仙境 一样的玉牙射出春绿色的阵阵疑味……最后耍起灿烂闪耀的披肩金发一抛，突然从里面涌出一道幻影，她抓住幻影夸张地一甩，一组凉飕飕、亮光光的功夫⊙玉光如梦 腿＠便显露出来，只见这个这件宝器儿，一边狂跳，一边发出“唰唰”的怪声。……陡然间月光妹妹快速地用自己清秀晶莹、善于跳跃的小脚丫搞出天蓝色冷峻奇闪的 地灯，只见她清亮透明、月光泉水般的美丽眼睛中，酷酷地飞出七串颤舞着⊙绿烟水晶笛＠的仙翅枕头盆状的狮子，随着月光妹妹的扭动，仙翅枕头盆状的狮子像绿豆 一样在食指残暴地整出隐约光雾……紧接着月光妹妹又使自己美丽的缀满一串闪光星星的桃红色云丝腰带飘浮出碳黑色的猴鬼味，只见她丰盈饱满的屁股中，威猛地滚 出八片甩舞着⊙绿烟水晶笛＠的铁锅状的仙翅枕头缸，随着月光妹妹的耍动，铁锅状的仙翅枕头缸像台风一样，朝着Ｕ．季圭赤仆人淡红色原木般的眉毛飞勾过去！紧 跟着月光妹妹也窜耍着功夫像扣肉般的怪影一样朝Ｕ．季圭赤仆人飞勾过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道鲜红色的闪光，地面变成了浅绿色、景物 变成了亮灰色、天空变成了深黄色、四周发出了震撼的巨响……月光妹妹清丽动人的的秀眉受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｕ．季圭赤仆人特像羽毛样的肩膀，此时 正惨碎成路标样的暗
2009高考试题分析(一)-函数与导数部分
2009年高考试题分析（一）第一部分函数与导数入了，试题综合考查函数的性质，对函数的单一性质的考查极少，一般一道题涉及的函数性质在两个或两个以上，对性质的考查也更加灵活。
（其实很难准确的把某道题归为哪一个知识点）。
此外，由于函数的工具性和它与数学其他知识的密切联系，决定了函数的思想，函数与方程，不等式、数列、实际应用题的数学建模与问题解决等都可以作为考查函数的题目，这也注定函数成为学生应对高考的一个难点。
（二）考点分析考点一：函数图像----山东理科的第6题例题：(2009山东卷理)函数x xx x e e y e e--+=-的图像大致为( ).【解析】:函数有意义,需使0xxe e--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.分析：【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.数学解题过程是个体的思维能力作用于数学活动的心理过程，是思维活动. 考生解题的切入点不同，运用的思想方法不同，体现出不同的思维水平. 本题的设置体现了试题很好地注意研究题目信息的配置，考虑从不同角度运用不同的思想方法，创设多条解题路径，使不同思维层次的考生都有表现的机会，从而有效地区分出考生不同的数学能力.考点二：函数性质---山东理科第10题例题：(2009山东卷理)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 答案:C.分析：【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.本题貌似一道简单的函数求值题，实质上考查的相当有深度。
2009年高考数学冲刺复习资料专题二：函数与导数的交汇题型分析及解题策略
专题二：函数与导数的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值26分左右，如08年福建文11题理12题(5分)为容易题，考查函数与导函数图象之间的关系、08年江苏14题(5分)为容易题，考查函数值恒成立与导数研究单调性、08年北京文17题(12分)为中档题考查函数单调性、奇偶性与导数的交汇、08年湖北理20题(12分)为中档题，考查利用导数解决函数应用题、08年辽宁理22题(12分)为中档题，考查函数利用导数确定函数极值与单调性问题等.预测2009年关于函数与导数的命题趋势，仍然是难易结合，既有基本题也有综合题，函数与导数的交汇的考查既有基本题也有综合题，基本题以考查基本概念与运算为主，考查函数的基础知识及函数性质及图象为主，同时考查导数的相关知识，知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数综合题.主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.【考试要求】1．了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．2．了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．3．掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图象和性质．4．掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．5．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．6．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．7．熟记基本导数公式（c，x m（m为有理数），sinx，cosx，e x，a x，lnx，log a x的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．8．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【考点透视】高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：（1）考查利用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值）；（2）考查原函数与导函数之间的关系；（3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：①以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；②与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档题；③利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题.【典例分析】题型一导函数与原函数图象之间的关系如果原函数定义域内可导，则原函数的图象f(x)与其导函数f'(x)的图象有密切的关系：1．导函数f'(x)在x轴上、下方图象与原函数图象上升、下降的对应关系：（1）若导函数f'(x)在区间D上恒有f'(x)＞0，则f(x)在区间D上为增函数，由此进一步得到导函数f'(x)图象在x轴上方的图象对应的区间D为原函数图象中的上升区间D；（2）若导函数f'(x)在区间D上恒有f'(x)＜0，则f(x)在区间D上为减函数，由此进一步得到导函数f'(x)图象在x轴下方的图象对应的区间为原函数图象中的下降区间.2．导函数f'(x)图象的零点与原函数图象的极值点对应关系：导函数f'(x)图象的零点是原函数的极值点.如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函数的零点为原函数的极大值点；如果在零点的左侧为负，右侧为正，则导函数的零点为原函数的极小值点.【例1】 如果函数y ＝f(x)的图象如右图，那么导函数y ＝f '(x)的图象可能是 （ ）【分析】 根据原函数y ＝f(x)的图象可知，f(x)有在两个上升区间，有两个下降区间，且第一个期间的上升区间，然后相间出现，则反映在导函数图象上就是有两部分图象在x 轴的上方，有两部分图象在x 轴的下方，且第一部分在x 轴上方，然后相间出现.【解】 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,只有答案A 满足.【点评】 本题观察图象时主要从两个方面：(1)观察原函数f(x)的图象哪些的上升区间？哪些下降区间？；(2)观察导函数f '(x)的图象哪些区间在大于零的区间？哪些部分昌小于零的区间？【例2】 设f '(x)是函数f(x)的导函数，y ＝f '(x)的图象如图所示，则y ＝f(x)的图象最有可能是 （ ）【分析】 先观察所给出的导函数y ＝f '(x)的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结合起来即可作出正确的选择.本题还可以通过确定导函数y ＝f '(x)的图象零点0、2对应原函数的极大或极小值点来判断图象.【解法1】 由y ＝f '(x)的图象可以清晰地看出，当x ∈(0,2)时，y ＝f '(x)＜0，则f(x)为减函数，只有C 项符合，故选C.【解法2】 在导函数f '(x)的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由可知原函数f(x)在x ＝0时取得极大值.又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)在x ＝0时取得极小值，只有C 适合，故选C.【点评】 (1)导函数值的符号决定函数的单调性为“正增、负减”，导函数的零点确定原函数的极值点；(2)导函数的增减性与函数增减性之间没有直接的关系，但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势.题型二 利用导数求解函数的单调性问题若f(x)在某区间上可导，则由f '(x)＞0(f '(x)＜0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)＝x 3在R 上递增，而f '(x)≥0.f(x)在区间D 内单调递增(减)的充要条件是f '(x 0)≥0(≤0)，且f '(x)在(a ，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例3】 (08全国高考)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R ．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设函数f(x)在区间(－23，－13)内是减函数，求a 的取值范围．【分析】 第（Ⅰ）小题先求导函数f '(x)，由于含有参数a ，根据判别式确定对a 的分类标准，进而确定单调区间；第（Ⅱ）小题根据第（Ⅰ）小题的结果，建立关于a 的不等式组，由此可确定a 的范围.【解】 (Ⅰ)由f(x)＝x 3＋ax 2＋x ＋1，求导得f '(x)＝3x 2＋2ax ＋1，当a 2≤3时，△＝4(a 2－3)≤0，f '(x)≥0，f(x)在R 上递增，当a 2＞3，f '(x)＝求得两根为x ＝－a±a 2－33，则 函数f(x)在区间(－∞，－a －a 2－33)上递增，在区间(－a －a 2－33，－a ＋a 2－33)上递减， 在区间(－a －a 2－33，＋∞)上递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)得⎩⎨⎧ －a －a 2－33≤－23－a ＋a 2－33≥－13，且a 2＞3，解得a≥2. 【点评】 本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型.由于函数解析式中含有字母参数a ，因此解答第(Ⅰ)小题时注意分类讨论.第(Ⅱ)小题的解答是根据第(Ⅰ)小题的结果，利用集合集合间的关系建立不等式来求解的.第(Ⅱ)小题还是利用函数在已知区间上减函数建立不等式⎩⎨⎧ f '(－23)≤0f '(－13)≤0来求解. 题型三 求函数的极值问题极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.【例4】 (08·四川)设x ＝1和x ＝2是函数f(x)＝x 5＋ax 3＋bx ＋1的两个极值点.(Ⅰ)求a 和b 的值；(Ⅱ)略.【分析】 先求导函数f '(x)，然后由x ＝1和x ＝2是f '(x)＝0的两个根建立关于a 、b 的方程组求解.【解】 因为f '(x)＝5x 4＋3ax 2＋b ，由x ＝1和x ＝2是函数f(x)＝x 5＋ax 3＋bx ＋1的两个极值点，所以f '(1)＝0，且f '(2)＝0，即⎩⎨⎧ 5×14＋3a×12＋b ＝05×24＋3a×22＋b ＝0，解得a ＝253，b ＝20. 【点评】 解答本题要明确极值点与导函数方程之间的关系：对于三次函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点.本题解得充分利用上述关系，通过建立方程组求得了a 和b 的值.【例5】 (08陕西高考)已知函数f(x)＝kx ＋1x 2＋c(c ＞0，且c≠1，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x ＝－c ．(Ⅰ)求函数f(x)的另一个极值点；(Ⅱ)求函数f(x)的极大值M 和极小值m ，并求M －m≥1时k 的取值范围．【分析】 先求导函数f '(x)，然后令f '(－c)＝0及一元二次方程根与系数的关系可解决第（Ⅰ）小题；而解答第（Ⅱ）小题须对k 与c 进行分类讨论进行解答.【解】 (Ⅰ)f '(x)＝k(x 2＋c)－2x(kx ＋1)(x 2＋c)2＝－kx 2－2x ＋ck (x 2＋c)2， 由题意知f '(－c)＝0，即得c 2k －2c －ck ＝0，即c ＝1＋2k（*）∵c≠0，∴k≠0．由f '(0)＝0，得－kx 2－2x ＋ck ＝0，由韦达定理知另一个极值点为x ＝1．(Ⅱ)由（*）式得c ＝1＋2k ，当c ＞1时，k ＞0；当0＜c ＜1时，k ＜－2．(ⅰ)当k ＞0时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是减函数，在(－c ，1)内是增函数．f(1)＝k ＋1c ＋1＝k 2＞0，m ＝f(－c)＝－kc ＋1c 2＋c ＝－k 22(k ＋2)＜0， 由M －m ＝k 2＋k 22(k ＋2)≥1及k ＞0，解得k≥ 2. (ⅱ)当k ＜－2时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是增函数，在(－c ，1)内是减函数．∴M ＝f(1)＝－k 22(k ＋2)＞0，m ＝k ＋1c ＋1＝k 2＜0，而M －m ＝－k 22(k ＋2)－k 2＝1－(k ＋1)2＋1k ＋2≥1恒成立． 综上可知，所求k 的取值范围为(－∞，－2)∪[2，＋∞)．【点拨】 第(Ⅰ)小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第(Ⅱ)小题的是与极值相关的解决恒成立问题，因此求函数在定义域上的极值是解答的关键.题型四 求解函数的最值问题函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间[a ，b]上的端点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一定是极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式求函数的最大值；(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.【例6】 (08浙江高考)已知a 是实数，函数f(x)＝x 2(x －a).(Ⅰ)略；（Ⅱ）求f(x)在区间[0，2]上的最大值.【分析】 首先求函数f '(x)，再解方程f '(x)＝0，得两个根，而两根含有参数，但不知两根的大小，因此须分类讨论讨论函数f(x)的单调区间，进而确定f(x)在给定区间上的最大值.【解】 (Ⅱ)f '(x)＝3x 2－2ax ．令f '(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3．当2a 3≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max ＝f(2)＝8－4a ．当2a 3≥2，时，即a≥3时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而f(x)max ＝f(0)＝0．当0＜2a 3＜2，即0＜a ＜3，f(x)在[0，2a 3]上单调递减，在[2a 3，2]上单调递增，从而f(x)max ＝⎩⎨⎧ 8－4a 0＜a≤20 2＜a ＜3，综上所述，f(x)max ＝⎩⎨⎧ 8－4a a≤20 a ＞2. 【点评】 本题由于函数解析式中含有参数，因此方程f '(x)＝0的根含有参数，在确定函数单调区间时要注意对参数a 的讨论.本题的解答不是通过先确定函数在区间上的极值，再比较其与区间端点值的大小来求解的，而是利用函数单调性来求函数在各单调区间上的最值，再比较这些最值大小来求解的.题型五 导数与数学建模的问题此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题，旨在考查考生在数学应用方面阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，这是高考中的一个热点.【例7】 (08·湖北)水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为V(t)＝⎩⎨⎧ (－t 2＋14t －40)e 14t ＋50 0＜t≤104(t －10)(3t －41)＋50 10＜t≤12， (Ⅰ)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i －1＜t ＜i 表示第1月份（i ＝1，2，…，12）,同一年内哪几个月份是枯水期？(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量（取e ＝2.7计算）.【分析】 根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式建立不等式可求得第（Ⅰ）小题；而第（Ⅱ）小题则须先求函数V '(t)，然后利用导数与函数最值关系求解.【解】 (Ⅰ)①当0＜t≤10时，V(t)＝(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50＜50，化简得t 2－14t ＋40＞0， 解得t ＜4或t ＞10，又0＜t≤10，故0＜t ＜4.②当10＜t≤12时，V(t)＝4(t －10)(3t －41)＋50＜50，化简得(t －10)(3t －41)＜0，解得10＜t ＜413，又10＜t≤12,故10＜t≤12.综合得0＜t ＜4,或10＜t≤12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.(Ⅱ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.由V '(t)＝e 14t (－14t ＋32t ＋4)＝－14e 14t(t ＋2)(t －8) 令V '(t)＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去).当t 变化时，由上表，V(t)故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.【点评】 本题第(Ⅰ)主要是根据题设条件给出的函数建立不等式，再解不等式，但要注意分段求解.第(Ⅱ)主要是通过求导取得极值，最后再求得最值的，但要注意要根据第(Ⅰ)确定函数定义域.【例8】 （2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：y =1128000x 2－380x+8 (0＜x ≤120).已知甲、乙两地相距100千米.（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【分析】 第（Ⅰ）小题直接根据所给函数的解析式进行计算；第（Ⅱ）小题须根据条件建立耗油量为h(x)关于行驶速度x 的函数关系式，再利用导数的知识进行解答.【解】 （I ）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040=2.5小时，要耗没(1128000×403－380×40+8)×2.5=17.5（升）.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=(1128000x 3－380x+8)·100x =11280x 2+800x －154(0＜x≤120)，h '(x)=x 640－800x 2=x 3－803640x 2(0＜x≤120)，令h '(x)=0得x=80，当x ∈(0,80)时，h '(x)＜0,h(x)是减函数；当x ∈(80,120)时，h '(x)＞0,h(x)是增函数, ∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.【点评】 解答类似于本题的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征(非常规函数)，确定运用导数最值理论去解决问题.【专题训练】一、选择题1．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)有两个极值点x 1，x 2，则x 1·x 2＝（ ）A ．9B ．－9C ．1D ．－1 2．函数f(x)＝13x 3＋ax ＋1在(－∞，－1)上为增函数，在(－1，1)上为减函数，则f(1)为（ ）A ．73B ．1C ．13D ．－13．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围为（ ） A ．0≤a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．－1＜a ＜1 D ．0＜a ＜124．已知函数f(x)＝x 2(ax ＋b)(a ，b ∈R )在x ＝2时有极值，其图象在点(1，(1))处的切线与直线3x ＋y ＝0平行，则函数f(x)的单调减区间为 （ ）A ．(－∞，0)B ．(0，2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)5．函数y ＝f(x)在定义域(－32，3)内可导，其图像如图所示.记y ＝f (x )的导函数为y ＝f '(x)，则不等式f '(x)≤0的解集为 （ ）A ．[－13，1]∪[2，3)B ．[－1，12]∪[43，83]C ．[－32，12]∪[1，2)D ．(－32，－13]∪[12，43]∪[43，3)6．设函数f(x)＝sin(ωx ＋π6)－1(ω＞0)的导数f '(x)的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是（ ） A ．x ＝π9 B ．x ＝π6 C ．x ＝π3 D ．x ＝π2 7．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f '(x)在(a ，b)内的图象如下图所示.则函数f(x)在开区间(a ，b)内有极小值点 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．函数f(x)(x ∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(log a x)(0＜a ＜1)的单调减区间是（ ）A ．[0，12]B ．(－∞，0)∪[12，＋∞)C ．[a ，1]D ．[a ，a ＋1]8．函数y ＝xcosx －sinx 在下面哪个区间内是增函数（ ）A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π3)D ．(2π，3π)9．下列图象中，有一个是函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a≠0)的导函数f '(x)的图象，则f(－1)等于（ ） A ．13 B ．－13 C ．73 D ．－13或5311．已知对任意实数x ，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x ＞0时，f '(x)＞0，g '(x)＞0，则x ＜0时（ ）A ．f '(x)＞0，g '(x)＞0B ．f '(x)＞0，g '(x)＜0C ．f '(x)＜0，g '(x)＞0D ．f '(x)＜0，g '(x)＜012．若函数y ＝f(x)在R 上可导，且满足不等式xf '(x)＞－f(x)恒成立，且常数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式一定成立的是 （ ）A ．a f(b)＞bf(a)B ．a f(a)＞bf(b)C ．a f(a)＜bf(b)D ．a f(b)＜bf(a)二、填空题13．右图是一个三次多项式函数f(x)的导函数f '(x)的图象，则当x ＝______时，函数取得最小值.14．已知函数f(x)＝13x 3－a 2x 2＋2x ＋1，且x 1，x 2是f(x)的两个极值点，0＜x 1＜1＜x 2＜3，则a 的取值范围_________.15．已知函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1，2]上是减函数，那么b ＋c 最大值为___________.16．曲线y ＝2x 4上的点到直线y ＝－x －1的距离的最小值为____________.三、解答题17．设函数f(x)＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a≥1.(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)讨论f(x)的极值.18．已知定义在R 上的函数f(x)＝x 2(ax －3)，其中a 为常数.(Ⅰ)若x ＝1是函数f(x)的一个极值点，求a 的值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间（－1，0）上是增函数，求a 的取值范围.19．已知函数f(x)＝x 3＋bx 2＋ax ＋d 的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为6x-y+7=0.（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.20．设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．21．已知函数f (x )＝－x 2＋8x ，g (x )＝6ln x ＋m .（Ⅰ）求f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值h (t )；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。
2009年高考数学试题分类汇编——函数
2009年高考数学试题分类汇编——函数一、选择题1.(2009年广东卷文)若函数()y f x =是函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数，且(2)1f =，则()f x = A ．x 2log B ．x 21 C ．x 21log D ．22-x 【答案】A【解析】函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即log 21a =, 所以,2a =,故2()log f x x =,选A.2.(2009年广东卷文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 【答案】D【解析】()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D6.（2009浙江文）若函数2()()af x x a x=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数 C ．a ∃∈R ，()f x 是偶函数 D ．a ∃∈R ，()f x 是奇函数C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问．【解析】对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数7.（2009北京文）为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A ．()()lg 31lg103y x x =++=+，B ．()()lg 31lg103y x x =-+=-，C ．()3lg 31lg 10x y x +=+-=， D ．()3lg 31lg 10x y x -=--=.故应选C.11.(2009山东卷文)函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为( ).【解析】:函数有意义,需使0x xe e--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除C,D,又因为22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.答案:A.12. (2009山东卷文)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则f （3）的值为( )A.-1B. -2C.1D. 2【解析】:由已知得2(1)log 5f -=,2(0)log 42f ==,2(1)(0)(1)2log 5f f f =--=-,2(2)(1)(0)log 5f f f =-=-,22(3)(2)(1)log 5(2log 5)2f f f =-=---=-,故选B.答案:B.【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.13.(2009山东卷文)已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A.(25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<- C. (11)(80)(25)f f f <<- D. (25)(80)(11)f f f -<<【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 14.（2009全国卷Ⅱ文）函数≤0)的反函数是（A ）2y x =（x ≥0） （B ）2y x =-（x ≥0） （B ）2y x =（x ≤0） （D ）2y x =-（x ≤0）答案：B15.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=22log 2xy x-=+的图像 （A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称答案：A解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A 。
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难点11 函数中的综合问题
函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.
●难点磁场
(★★★★★)设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=－4.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)在区间［－9，9］上，求f(x)的最值. ●案例探究
［例1］设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.
(1)求f(
1
］,2
11)、f(); 24
1
),求lim(lnan).
n??2n
(2)证明f(x)是周期函数； (3)记an=f(n+
命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，
还考查运算能力和逻辑思维能力.
知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)找到问题的突破口.
错解分析：不会利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)进行合理变形.
技巧与方法：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为f(x)?f(?)?f()?f()?f()是解决问题的关键.
(1) 解：因为对x1,x2∈［0,0,
x∈［0,1］
x2x2x2x2x2
1xxx］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=f(?)?f()≥2222
11111
+)=f()·f()=［f()］2 22222
111111f()=f(+)=f()·f()=［f（）］2 244444
又因为f(1)=f(又f(1)=a>0
1112
∴f()=a,f()=a4
24
1
(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R. 又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x),x∈R ∴f(－x)=f(2－x),x∈R.
将上式中－x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.。