微积分学广义积分敛散性判别_图文.ppt
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广义积分敛散性的判别
比较判别法
比较判别法是一种通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数来判定广义积分敛散性的方法。如果被 积函数小于已知收敛的函数，则该广义积分收敛；如果被积函数大于已知发散的函数，则该广义积分 发散。
应用比较判别法时，需要选择合适的已知函数作为比较对象，以便准确判断被积函数的敛散性。
拉贝判别法
拉贝判别法是一种通过判断被积函数 的单调性和无界性来判定广义积分敛 散性的方法。如果被积函数在积分区 间上单调递减且无界，则该广义积分 收敛；如果被积函数在积分区间上单 调递增或无界，则该广义积分发散。
VS
应用拉贝判别法时，需要准确判断被 积函数的单调性和无界性，以便准确 判断该广义积分的敛散性。
06
广义积分的计算方法
分部积分法
总结词
分部积分法是一种通过将积分拆分为两个或 更多部分来简化积分的方法。
详细描述
分部积分法是将一个积分转换为两个或更多 个积分的和或差，以便更容易地计算每个积 分。这种方法通常用于处理难以直接积分的 函数。
柯西准则
如果存在某个正数$T$，使得在区间$(-infty, T]$和$[T, +infty)$上，函数$f(x)$均收敛，则函数$f(x)$的广义积 分收敛。
04
广义积分的应用
在物理中的应用
描述连续介质性质
01
广义积分可以用来描述连续介质在时间和空间上的性质，例如
温度分布、电荷密度等。
解决物理问题
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化积分的方法。
详细描述
换元积分法是通过引入新的变量来简化积分的计算。这种方法通常用于处理具有复杂或 难以处理的边界条件的积分。通过引入新的变量，可以将原始积分转换为更易于处理的
高等数学教学资料微积分学广义积分敛散性判别
a
g ( x) d x 收敛 ,
则由 (1) 立即可得出矛盾 :
a
f ( x) d x 收敛 .
定理
（比较判别法的极限形式法）
设 f ( x) , g ( x) 为定义在 [a, ) 上的非负函数 , A [a, ) ,
f ( x) , g ( x) R( [a, A] ) . 若有极限 lim
0 f (t ) d t g (t ) d t ,
a a
x
x
从而, 积分上限函数
F ( x) f (t ) d t 在 [a, ) 上有上界 ,
a x
故积分
a
f ( x) d x 收敛 .
(2) 运用反证法.
如果
a
f ( x) d x 发散时 , 积分
(3) 当 时 , 无穷积分
a
g ( x) d x 发散 , 则
a
例1 解
判别无穷积分
1
arctan x d x 的敛散性. x
因为
arctan x lim x lim arctan x , x x x 2
故无穷积分
b
f ( x) d x lim
b x
x
这样可以利用积分上限 函数来进行有关的讨论 .
定理
设函数 f ( x) C( [a, ) ) , 且 f ( x) 0 .
若积分上限函数 F ( x) f (t ) d t 在 [a, )
a x
上有上界 , 则无穷积分
f ( x), g ( x) R( [a, A] ) , 且满足
广义积分的敛散性
广义积分的敛散性
广义积分判断敛散性的方法是积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散。
广义积分判别法只要研究被积函数自身的性态,即可知其敛散性。
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。
广义积分判别法不仅比传统的判别法更加精细,而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。
定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。
但在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。
因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。
这种推广的积分，由于它异于通常的定积分，故称之为广义积分，也称之为反常积分。
微积分学广义积分敛散性判别
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
1. 无穷积分的概念
设函数 f (x) 在[a, ) 上有定义 .
A R , A a , 且 f (x) R( [a, A] ) . 记
A
f (x) d x lim f (x) d x ,
a
A a
称之为 f (x) 在[a, ) 上的无穷积分 .
又已知函数 F (x) 在[a, ) 上有上界, 从而
x
F (x) a f (t) d t
在[a, ) 上单调增加且有上界. 由极限存在准则
可知极限 lim F (x) lim
x
f (t) d t
存在 .
x
x a
即无穷积分 f (x) d x 收敛 . a
定理 （ 比较判别法 ）
若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值
即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积
分发散 .
类似地可定义：
b
b
(1) f (x) d x lim f (x) d x (B b) .
B B
c
(2) f (x) d x f (x) d x f (x) d x
c
c
A
lim f (x) d x lim f (x) d x .
设函数 f (x) , g(x) 在[a, ) 上有界, A R , A a ,
f (x), g(x) R( [a, A] ) , 且满足
g(x) f (x) 0，
则 (1) 当 g(x) d x 收敛时，积分 f (x) d x 也收敛 .
a
a
(2) 当 f (x) d x 发散时，积分 g(x) d x 也发散 .
从而 , 积分上限函数
1. 无穷积分的概念
设函数 f (x) 在[a, ) 上有定义 .
A R , A a , 且 f (x) R( [a, A] ) . 记
A
f (x) d x lim f (x) d x ,
a
A a
称之为 f (x) 在[a, ) 上的无穷积分 .
又已知函数 F (x) 在[a, ) 上有上界, 从而
x
F (x) a f (t) d t
在[a, ) 上单调增加且有上界. 由极限存在准则
可知极限 lim F (x) lim
x
f (t) d t
存在 .
x
x a
即无穷积分 f (x) d x 收敛 . a
定理 （ 比较判别法 ）
若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值
即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积
分发散 .
类似地可定义：
b
b
(1) f (x) d x lim f (x) d x (B b) .
B B
c
(2) f (x) d x f (x) d x f (x) d x
c
c
A
lim f (x) d x lim f (x) d x .
设函数 f (x) , g(x) 在[a, ) 上有界, A R , A a ,
f (x), g(x) R( [a, A] ) , 且满足
g(x) f (x) 0，
则 (1) 当 g(x) d x 收敛时，积分 f (x) d x 也收敛 .
a
a
(2) 当 f (x) d x 发散时，积分 g(x) d x 也发散 .
从而 , 积分上限函数
高等数学(微积分)课件§广义积分敛散性的判别
'
x (1 x)2
,
x (1,1)
23
幂函数性质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ运用(求和函数)
例 求 级 数 ( 1 )n 1xn的 和 函 数 .
解 s(xn ) 1 (1n )n1xn, 显s然 (0)0,
n1
n
s (x ) 1 x x 2 1 , 1 x
(1x1)
两边积分得
x
s(t)d tln1 (x)
n0
(anxn) nanxn1.
n0
n1
(收敛半径不变)
22
幂函数性质的运用(求和函数)
例：求幂 级n数 xn的和函数。
n1
解：由 1
1－x
n0
xn,
x (1,1)
1－1x
'
n0
xn
'
(xn )'
n0
n1
nxn1,
x (1,1)
上式两边乘以x，可得：
nxn
n1
x 1－1 x
解：由于该幂级数的系 数a 2n1 0(n 0,1,2,...), 故不能直接用前面的定 理。
而直接利用比值判别法 。
lim un1 n un
lim
n
x 2(n1) 2 n 1
2n x2n
1 x2 2
由比值判别法：1 x2 1, 即当 x
2时，
1 x2n绝对收敛；
2
n1 2n
当 x
2时，
n0
(R,R)内可积 ,且对x(R,R)可逐项积分 .
即0xs(x)dx 0x(anxn)dx
x 0
anxndx
n0
n0an xn1. n0 n1
微积分学广义积分敛散性判别公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积
分发散 .
第1页
类似地可定义：
b
b
(1) f (x) d x lim f (x) d x (B b) .
B B
c
(2) f (x) d x f (x) d x f (x) d x
c
c
A
lim f (x) d x lim f (x) d x .
a
a
则由(1) 立即可得出矛盾: f (x) d x 收敛 . a
与级数的情形类似 , 比较判别法也是判别无穷积分 敛散性的重要方法 . P 积分是重要的比较标准之一 .
第13页
定理 （比较判别法极限形式法）
设 f (x) , g(x) 为定义在[a, ) 上的非负函数, A[a, ) ,
为书写方便起见，若 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，则约定
f (x)d x F(x)
a
0
lim
x
F
(x)
F
(a)
.
b
f (x)d x F(x)
b
F
(b)
lim
x
F
(x)
.
f (x)d x F(x)
lim
x
F ( x)
lim
x
F ( x)
.
这样就将无穷积分计算与定积分计算联系起来了.
1
x
解 因为
lim x arctan x lim arctan x ,
x
x
x
2
故无穷积分 arctan x页
例11
判别无穷积分
1
x3 d x 1 x2
的敛散性 .
解 因为
微积分第二版课件第二节数项级数敛散性判别法
定理 正项级数 un 收敛的充分必要条件为：它的 n1
前n 项部分和所构成的数列 {Sn}有上界.
定理(比较判别法1) 设两个正项级数 un与 vn ,
n1
n1
如果满足 un vn ,(n 1,2,)，那么
(1) 若 vn收敛, 则 un 收敛.（大的收敛小的必收敛）
n1
n1
(2) 若 un 发散, 则 vn 发散. (小的发散大的必发散）
kvn (k
0) ，则正项级数
un
也发散.
n1
例
判定级数
(1)
n1
1 2n
; 1
(2)
n1
n 2n
1
n
的敛散性.
解
(1)因为
un
1 1 0(n 1,2,) 2n 1 2n
而级数
1
发散，由比较法知
1
发散.
n12n
n12n 1
(2)对于正项级数
n1
n n 2n 1
因为
un
n
n
比值的极限 lim un1 ，则
n1
n un
（1）当 1时，级数收敛；
（2）当 1 时，级数发散；
（3）当 1时，级数可能收敛也可能发散.
说明：比值判别法比比较判别法使用方便，它主 要判别一般项由指数幂或阶乘等形式构成的正项级数
的敛散性.但当 1 时，判别法失效.
例
判定 (1)
综合上述有 n1n1p当p 1时收敛，0 p 1时发散.
例 判定 (1)
1
, (2)
1
的敛散性.
n1(n 1)(n 4) n1n n 2
解
(1)因为 0 un
微积分学广义积分敛散性判别01429
狄利克雷判别法:
设 f (x) , g(x) 在[a, ) 上有定义.
若在 [a, ) 上 f (x) 存在有界的原函数F(x) x f (t) d t ， a
g(x) 单调减少且 lim g(x) 0 , 则积分 f (x)g(x) d x 收敛 .
x
a
例13
实际上, 我们可以将无穷积分的定义式写成下面的形式:
x
f (x) d x lim f (t) d t ;
a
x a
b
b
f (x) d x lim f (t) d t .
x x
这样可以利用积分上限函数来进行有关的讨论.
定理
设函数 f (x) C( [a, ) ) , 且 f (x) 0 .
1
21
t
显然，g(t)
1 t
[1, ) ,
且
lim g(t) lim
t
t
1 t
0，
| F(t) | |
t
sin u d u | | cosu
t | | cos1 cost | 2 ,
(1 t ) .
1
1
由狄利克雷判别法可知 原积分收敛，但 lim sin x2 不存在 . x
其中P 为任意常数.
解 当 P 1 时:
d x ln | x |
ax
a
lim ln | x | ln a , x
故 p 1 时，P 积分发散.
当 P 1 时:
d x x1 p
a x 1 p
,
a
a 1 p
广义积分的判别法PPT课件
则称
例4. 判断反常积分 的敛散性 .
解:
较审敛原理知
给积分收敛 (绝对收敛) .
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绝对收敛 ; 条件收敛 .
根据比 故由定理5知所
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(2013)
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二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如 由定义
例2. 判别反常积 分
解:
的敛散性 .
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别反常积分
的敛散性 .
解: 根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
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定理5.
证：
则
而
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定义. 设反常积 分
则称
第一讲 反常积分的审敛法 函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
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一、无穷限广义积分
定义1. 设
若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分, 记作
这时称广义积分 就称广义积分
收敛 ;如果上述极限不存在, 发散 .
类似定理5, 有下列结 论:
称为绝对收敛 .
则反常积分
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三、 函 数
1. 定义
下面证明这个特殊函数在
内收敛 . 令
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综上所述 ,
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