不等式证明--比较法
不等式证明的基本方法
4． 放缩法是在证明不等式或变形中， 将条件或结论或变换中的 式子放大或缩小进行求证的方法．放缩时要看准目标，做到 有的放矢， 注意放缩适度． 放缩法是证明不等式的常用技巧， 有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，要控制难 度．
比较法
(2010 年高考江苏卷试题)设 a、b 是非负实数，求证：a3 ＋b3≥ ab(a2＋b2)． 【思路分析】 先作差，再用不等式的基本性质解答．
不等式证明的基本方法
1．比较法是证明不等式最常用最基本的方法，有两种： (1)求差法：a＞b⇔a－b＞0； a (2)求商法：a＞b＞0⇔b>1，(b>0)．
2．分析法、综合法是证明数学问题的两大最基本的方法． 综合法是以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直 到推出问题的结论为止，简而言之，就是“由因导果”． 分析法是从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐 步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件或已知事实吻合 为止，简而言之，就是“执果索因”．
分析法与综合法
如果 a＞0，b＞0，求证：a3＋b3≥a2b＋ab2. 【证法一】 (用分析法) 要证 a3＋b3≥a2b＋ab2， 只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b) ∵a＞0，b＞0，有 a＋b＞0，故只需证 a2－ab＋b2≥ab， 只需证(a－b)2≥0 显然(a－b)2≥0 成立，以上各步均可逆， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2
1．设 a>0，a≠1,0<x<1.求证：|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
证明：方法一：(平方后作差)
2 log2 (1 － x ) － log a a(1＋x)
＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)]· [loga(1－x)－loga(1＋x)]＝ 1－x loga(1－x )· loga . 1＋x
证明不等式的基本方法
8、已知 f ( x ) x 2 px q ，求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至 少有一个不小于
1
.
2 1 分析：设 | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 ， 2 观察： f (1) 1 p q , f (2) 4 2 p q , f (3) 9 3 p q
cd b cd d d dac cd
把以上四个不等式相加 得 abcd abcd abd bca cbd d ac ab cd . 即 ab cd a b c d 1 2 abd bca cba d ac a b c d
利用综合法证明不等式 时 , 应注意对已证 不等式的使用 , 常用的不等式有 : (1)a 2 0; ( 2 ) a 0; ( 3 )a 2 b 2 2 ab ; 它的变形形式又有 ( a b ) 4 ab ;
2
a b
2
2
2
ab 2
2
(4)
ab
2 a b a b 2( ab 0 ); 2( ab 0 ) b a b a
6、已知 x , y 0,且 x y 2, 1 x 1 y 试证 , 中至少有一个小于 2. y x
1 x 1 y 证明 : 假设 , 都 不 小 于 2, y x
1 x 1 y 即 2, 且 2, y x x , y 0 , 1 x 2 y , 1 y 2 x , 2 x y 2( x y ) x y 2 , 这 与 已 知 条 件 x y 2矛 盾 . 1 x y 与 1 y x 中 至 少 有 一 个 小 于2
证明不等式的基本方法——比较法.pdf
第二讲证明不等式的基本方法课题：第01 课时不等式的证明方法之一：比较法一．教学目标（一）知识目标（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；（2）会用比较法证明不等式,熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据,以及“转化”的数学思想。
（二）能力目标（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；（3）训练学生思维的灵活性。
（三）德育目标（1）激发学习的内在动机；（2）养成良好的学习习惯。
二．教学的重难点及教学设计（一）教学重点不等式证明比较法的基本思想, 用作差、作商达到比较大小的目的（二）教学难点借助与0 或1 比较大小转化的数学思想,证明不等式的依据和用途（三）教学设计要点1. 情境设计用糖水加糖更甜,实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境,激发学生学习动机,通过将实际问题转化为不等式大小的比较,引入新课。
2. 教学内容的处理（1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。
（2）补充一组证明不等式的变式练习。
（3）在作业中补充何时该用作差法,何时用作商法的习题,帮助同学们更好地理解比较法。
3. 教学方法独立探究,合作交流与教师引导相结合。
三．教具准备水杯、水、白糖、调羹、粉笔等四．教学过程( 一) 、新课学习：1. 作差比较法的依据：a b a b 0证明：采用差值比较法：已知a, b, m都是正数,并且 a b,则下面给出证明.a,b证明：注意到要证的不等式关于对称,不妨设当a b 0时, 1,a b 0（, ）1例5. 若a b c 0,求证1．已知a 1. 求证：（1）a2 2a 1;最终比较差与0 的大小关结果与1 的大小关系系。
初中数学知识点：不等式证明的六大方法
马行软地易失蹄，人贪安逸易失志。
对待生命要认真，对待生活要活泼。
以下是为您推荐初中数学知识点：不等式证明的六大方法。
1、比较法：包括比差和比商两种方法。
2、综合法
证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法。
3、分析法
证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。
4、放缩法
证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。
5、数学归纳法
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
6、反证法
证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的
条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
例谈证明不等式的三种常用方法
考点透视不等式证明问题比较常见，且具有较强的综合性，常与向量、集合、数列、函数等知识相结合.求解此类问题的方法很多，掌握一些常用的证明方法，有助于拓展解题的思路，提升解题的效率.本文主要谈一谈证明不等式的三种常用方法：比较法、换元法、放缩法.一、比较法比较法是证明不等式的常用方法，包括作差比较法和作商比较法.运用比较法证明不等式的步骤为：①根据不等式的结构特点，将不等式左右两边的式子作差或作商；②将差式或商式进行因式分解或配方；③将所得差值与0比较，所得的商式与1比较.比较法的适用范围广，适用于解答大多数不等式证明问题.例1.若集合M ={}|x -1<x <1，试证明：当a ，b ∈M 时，||a +b <||1+ab .证明：由题意可知，将不等式两边的式子平方后相减可得：()a +b 2-()1+ab 2=a 2+2ab +b 2-()1+2ab +a 2b 2=()a 2-1()1-b 2，∵-1<a <1，-1<b <1，∴0≤a 2<1，0≤b 2<1，即a 2-1<0，1-b 2>0，∴()a 2-1()1-b 2<0，()a +b 2<()1+ab 2，∴当a ,b ∈M 时，不等式||a +b <||1+ab 成立.不等式两边的式子均为平方式，很难比较出它们的大小，于是将其两边平方并作差，再将其结果与0比较，即可证明不等式.为了便于比较出差式与0的大小，往往要将差式化简为几个因式的积或完全平方式的形式.例2.已知a >0，b >0，试证明：a b +b a≥a +b .证明:∵aba +b =ab a +b=()a +b ()a -ab +bab ()a+b =+1，当a >0，b >0+1≥-1=1(当a =b 时等号成立)，∵aba +b≥1，∴+≥a +b成立.要证明的不等式中含有根式，需运用作商比较法证明不等式.在化简商式时，需将商式化为最简形式，以便判断该式与1的大小关系，从而证明不等式成立.二、换元法换元法适用于证明变量的个数较多或结构复杂的不等式.运用换元法证明不等式，需先仔细观察已知条件和所要证明不等式的结构，找到条件与所证目标之间的联系；然后根据二者之间的联系，选择合适的式子或某一部分用新变量替换；再化简换元后的不等式，并根据基本不等式、函数单调性、导函数的性质证明不等式成立.例3.若x ∈()0,+∞，试证明：x +1x -≤2-3，证明:令x +=u，∴u=x ≥2,u 2=x +1x +2,∴只需证明u -u 2-1=1u +u 2-1≤2-3，∵u ≥2，函数y =1u +u 2-1单调递减，∴1u +u 2-1≤2-3，∴x 1≤2-3.仔细观察该不等式，可发现x +1x 与x +1x 之间存在一定的联系：æèçx +2=x +1x+2，于是令x =u ，将不等式转化为关于u 且不含有根式的不等式，运用基本不等式即可证明目标不等式成立.例4.若x ,y 满足xy =100，x ≥10，y ≥10，试证明：34≤lg ()y lg x ≤1.证明:设u =lg ()y lg x=lg x lg y ，∵xy =100，∴y =100x，∴u =lg x ()2-lg x ，陈刚34考点透视∵x≥10，y≥10，∴lg x≥12，lg100x≥12，即lg x≤32，可知lg x∈éëùû12，32，令lg x=t，∴u=-()t-12+1，t∈éëùû12，32，∵函数u()t在æèöø12,1上单调递增，在æèöø1，32上单调递减，∴当lg x=1，即x=10,y=10时，u=lg x lg y=1，该值为函数的最大值，当lg x=12或lg x=32时，x=10,y=1010或x=1010,y=10，∴u=lg x lg y=34，该值为函数的最小值，∵u()t∈éëùû34，1，∴34≤lg()y lg x≤1.根据已知条件和对数函数的运算性质将所证目标不等式进行化简、消元，便可将函数式转化为关于lg x的函数式，再令lg x=t，通过换元，将函数式转化为关于t的简单二次函数，根据二次函数的性质和对数函数的值域即可解题.三、放缩法放缩法是证明不等式的常用方法.运用放缩法证明不等式，需仔细观察所要证明的不等式的结构特点，根据切线的几何意义，通过添项或减项，借助基本不等式，利用函数的单调性等对不等式进行适当的放大或缩小.例5.已知a>12，x>1，试证明：ax2-a-ln x>1x-e1-x成立.证明:由题意可得a>1x-e1-x+ln xx2-1，则当x趋近于1时，1x-e1-x+ln xx2-1趋近12，当x趋近于+∞时，1x-e1-x+ln xx2-1趋近0，可知a>12>1x-e1-x+ln xx2-1，只需证明1x-e1-x+ln xx2-1<12在()1,+∞上恒成立，即证明12x2-12-ln x-1x+e1-x>0在()1,+∞上恒成立，设g()x=12x2-12-ln x-1x+e1-x，则g′()x=x-1x+1x2-e1-x=x-e1-x+1-xx2，令h()x=e1-x，x∈()1,+∞，则h′()x=-e1-x<0，函数h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<1，所以g′()x=x-e1-x+1-x x2>x-1+1-x x2=()x-1æèçöø÷1-1x2>0，故函数g()x在()1,+∞上单调递增，则g()x>g()1=0，因为1x-e1-x+ln xx2-1<12在()1,+∞上恒成立，所以当a>12，x>1时，ax2-a-ln x>1x-e1-x.该不等式中含有指数函数式、对数函数式，较为复杂，需先把参数分离，将问题转化为证明12x2-12-ln x-1x+e1-x>0在()1,+∞上恒成立，然后构造函数，利用函数的单调性求得最值，进而证明不等式成立.例6.已知a,b∈R，且a≠b，若a3-b3=a2-b2，求证：1<a+b<43.证明:由a3-b3=a2-b2可得()a-b()a2+ab+b2=()a-b()a+b，因为a≠b，所以a2+ab+b2=a+b，则()a+b2>a2+ab+b2=a+b，由a+b>0可得a+b>1，且ab<14()a+b2，则a+b=()a+b2-ab>()a+b2-æèöøa+b22，即a+b<43,故不等式1<a+b<43成立.将已知关系式进行变形，可发现a2+ab+b2=a+b与基本不等式a2+b2≥2ab之间有联系，于是两次利用基本不等式将代数进行放缩，从而证明结论.在运用基本不等式放缩不等式时，要注意三个前提条件：一正、二定、三相等，尤其要注意等号成立的条件.总之，证明不等式，需仔细观察不等式的结构特征，建立已知条件和所要求证不等式之间的联系，再通过作差、作商、换元、放缩等方式来进行合理的变形、化简.（作者单位：江苏省苏州市昆山经济技术开发区高级中学）35。
证明不等式的基本方法
x2
例7(1)设
y2
1, 求x
y的最大值，
16 9
并求此时的x, y值。 三角换元
（2）设 x, y R，且 x2 y 2 1，
求证：| x2 2xy y 2 | 2 ；
（1）设 x r sin, y r cos,且 | r | 1
证明：∵ a, b 是正数，且 a b ， ∴要证 aabb abba ,只要证 lg (aabb ) lg(abba ) ,
只要证 a lg a b lgb b lg a a lgb .
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) = (a b)(lg a lg b)
= (a2 b2 )(a b) = (a b)(a b)2
∵ a,b 是正数，且 a b ,∴ a b 0, (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a3 b3 a2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外，有时还可作商比较.
当且仅当(a b)(b c)≥0 时,等号成立.
四.反证法:
假设命题结论的反面成立，经过正确的推理, 引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题 成立,这样的证明方法叫反证法.(正难则反)
例、已知 f (x) x2 px q，求证：
1
| f (1) |,| f (2) |,| f (3) |中至少有一个不小于2 。
求证:已知a, b, c R+,求证 :书P25页2（2）
证明不等式的基本方法——比较法
证明不等式的基本方法——比较法不等式的基本方法之一是比较法（或称为递推法）。
该方法的主要思想是通过比较不等式两边的表达式来确定它们的大小关系。
在使用比较法证明不等式时，我们通常需要注意以下几点：1.明确不等式的目标：确定我们想要证明的具体不等式。
2.选择合适的比较对象：我们需要找到一个或多个合适的表达式作为比较对象，通常是在已知不等式中出现过的表达式。
3.建立递推关系：通过比较对象与目标表达式的大小关系，建立一种递推关系。
递推关系可以是通过改变不等式两边的表达式，或是通过引入新的变量来推导出来。
4.递归执行递推关系：通过递归执行建立好的递推关系，最终推导出目标不等式的结果。
下面将通过具体的例子来说明比较法的应用。
例1：证明对于任意正整数n，有$n^2>n$。
解：首先明确不等式的目标是$n^2>n$。
可以选择$n-1$作为比较对象，因为$n^2>n$与$n>n-1$是等价的。
建立递推关系：假设$n>1$，则有$(n-1)^2=n^2-2n+1<n^2<n(n-1)$。
递归执行递推关系，当$n=2$时，有$2^2=4>2$。
对于$n>2$，可以继续推导出$n^2>n$。
综上所述，对于任意正整数n，有$n^2>n$。
例2：证明对于任意正整数n，有$2^n>n$。
解：首先明确不等式的目标是$2^n>n$。
可以选择$n-1$作为比较对象，因为$2^n>n$与$n>n-1$是等价的。
建立递推关系：假设$n>1$，则有$2^{n-1} = \frac{1}{2^n} <\frac{n}{2}$。
递归执行递推关系，当$n=2$时，有$2^2=4>2$。
对于$n>2$，可以继续推导出$2^n>n$。
综上所述，对于任意正整数n，有$2^n>n$。
比较法是一种简单直观的证明不等式的方法。
通过找到合适的比较对象，建立递推关系，并递归执行递推关系，我们可以有效地证明不等式。
数学：不等式证明四法比较法综合法分析法反证法与放缩法
不等式证明一（比较法）比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。
比较法分为：作差法和作商法 一、 作差法若a ，b ∈R ，则： a —b ＞0⇔a ＞b ；a —b ＝0⇔a ＝b ；a —b ＜0⇔a ＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论. 作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。
作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.例１、求证：x ２ + ３ > ３x 证：∵（x ２ + ３） ３x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x ２ + ３ > ３x例2、 （课本P ２２例２）已知a, b, m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a,b,m 都是正数，并且a<b ，∴b + m > 0 , b a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：bam b m a >++变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？例3、 已知a, b 都是正数，并且a b ，求证：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２ 证：（a ５ + b ５ ）（a ２b ３ + a ３b ２） = （ a ５ a ３b ２） + （b ５ a２b ３）= a ３ （a ２b ２ ）b ３ （a ２b ２） = （a ２b ２ ）（a ３ b ３）= （a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b ２）∵a, b 都是正数，∴a + b, a ２ + ab + b ２ > 0又∵a b ，∴（a b ）２ > 0 ∴（a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b２） > 0即：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２例4、 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t １, t ２，则：21122,22t n S m S S n t m t=+=+可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S, m, n 都是正数，且m n ，∴t １ t ２ < 0 即：t １ < t ２从而：甲先到到达指定地点。
2.证明不等式的基本方法
1 2
2
2 k 1 k
k k k k k 1
1 2
2
2 k k 1
k k k k k 1
补.已知实数 x, y, z不全为零 ， 求证：
(2)易导出与已知矛盾的命题；
(3)“否定性”命题； (4)“唯一性”命题； (5)“必然性”命题；
反证法的思维方法：
正难则反
(6)“至多”，“至少”类问题y 0, 且x y 2,
试证1 x , 1 y 中至少有一个小于2. yx
y
x
例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
abc > 0， 求证：a>0, b>0, c > 0
分析：a,b,c至少有一个不大于0.
证明：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0
因为14 即18证成2立1， 所25以 2 7 3 6成立。 显然成立的.所以，命题成立.
P263,4
P265，6
2.3 证明不等式的基本方法
－反证法
(1)反证法
先假设要证的命题不成立,以此为出发点, 结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行 正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定 理,性质,明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明 假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法称 为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常 常用反证法证明.
证明不等式的基本方法-比较法
5.设 P = a 2 b 2 + 5, Q = 2ab − a 2 − 4a , 若 P > Q , 则实数 a , b
a b b a
a−b
a−b
≥1
∴ a b ≥ a b ,当且仅当 a = b时, 等号成立 .
1.求证 : 若a, b, c ∈ R+ , 则a b c ≥ ( abc )
a b c
a + b+ c 3
2.若a, b, m, n都是正实数, 且m + n = 1, 试证明 ma + nb ≥ m a + n b
2
= (a + b )(a − b )2
Q a , b > 0,∴ a + b > 0
又 Q a ≠ b ∴ (a − b ) > 0
2
故 (a + b )(a − b )2 > 0即(a 3 + b 3 ) − ( a 2b + ab 2 ) > 0
∴ a + b > a b + ab
3 3 2
2
a 例 2 如果用 akg 白糖制出 bkg 糖溶液 , 则其浓度为 , b 若在上述溶液中再添加 mkg 白糖 , 此时溶液的浓度 a+m , 将这个事实抽象为数学 问题 , 并给出证明 . 增加到 b+m 解 : 可以把上述事实抽象成 如下不等式问题 :
证明不等式的基本方法一比较法
证明不等式的基本方法一比较法不等式的基本方法一比较法是以较为常用和广泛的方法之一，用于证明不等式的真实性或者不真实性。
该方法基于两个原则：1.如果对于不等式两边的所有常数，左边的常数小于右边的常数，则不等式成立；2.如果不等式两边的所有元素中的其中一个元素，在一些范围内小于另一个元素，则不等式成立。
下面通过一些例子来详细介绍基本方法一比较法的具体步骤和应用。
例子1：证明对于所有的正整数n，都有n^2>n。
证明：根据不等式的基本方法一比较法，我们可以利用两个原则来进行证明。
首先，根据原则1，我们可以比较n^2和n。
当n=1时，n^2=1，n=1，所以n^2>n成立。
对于n>1的情况，由于n^2是n的平方，而n的平方大于n，因此n^2>n成立。
其次，根据原则2，我们可以比较n^2和n。
当n=1时，n^2=1，n=1，所以n^2>n成立。
对于n>1的情况，考虑到n^2是n的平方，而n的平方是n乘以n，所以n^2>n成立。
综上所述，我们可以得出结论，对于所有的正整数n，n^2>n成立。
例子2：证明对于所有的正整数n，都有n^2+n>2n。
证明：同样地，我们可以利用不等式的基本方法一比较法来证明该不等式。
首先，根据原则1，我们可以比较n^2+n和2n。
对于n=1的情况，n^2+n=1+1=2，2n=2，所以n^2+n>2n成立。
对于n>1的情况，我们可以将不等式简化为n^2>n，这是一个已经证明过的不等式。
其次，根据原则2，我们可以比较n^2+n和2n。
当n=1时，n^2+n=2，2n=2，所以n^2+n>2n成立。
对于n>1的情况，我们可以继续简化不等式为n^2>n，这同样是一个已经证明过的不等式。
综上所述，我们可以得出结论，对于所有的正整数n，n^2+n>2n成立。
通过上述例子，我们可以总结论证不等式的基本方法一比较法的步骤如下：1.确定要证明的不等式形式；2.根据不等式的特点，选择合适的比较方法，并根据比较原则进行证明；3.在证明过程中，可以使用数学推导、归纳法等数学方法来辅助证明；4.利用已经证明过的不等式和已知的数学定理等，简化和推导不等式；5.综合所有的证明过程，得出最终结论。
证明不等式的基本方法
恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”； 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常 数，求函数的最值”； 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”；
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，
即a的取值范围是________． [答案] a≤10
[点评与警示] 论证过程中，执果索因与由因导果总是不
断变化，交替出现．尤其综合题推理较盲目时，利用分析法从
要证的问题入手，逐步推求，再用综合法逐步完善，最后找到 起始条件为止．
(人教版选修 4—5 第 30 页第 1 题)已知 a， b， c∈(0,1)， 1 求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不同时大于4.
[证明]
(反证法)假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 都大于 ①
1 1 (1－b)c· (1－c)a>64 4，则(1－a)b· 1 即[a(1－a)· b(1－b)· c(1－c)]>64
a＋1－a 2 1 而 0<a(1－a)≤[ ]＝ ， 2 4
1 1 0<b(1－b)≤ ，0<c(1－c)≤ 4 4 1 ∴[a(1－a)][b(1－b)][c(1－c)]≤ 与①矛盾 64 1 ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不同时大于 . 4
) B．a2＞b2 1a 1b D．(2) ＜(2)
1 2 ．若 a ＞ b ＞ 1 ， P ＝ lga· lgb ， Q ＝ (lga ＋ lgb) ， R ＝ 2 a＋b lg( )，则( 2 A．R＜P＜Q C．Q＜P＜R
[解析]
) B．P＜Q＜R
D．P＜R＜Q 1 ∵lga＞lgb＞0，∴ (lga＋lgb)＞ lga· lgb，即 Q 2
不等式的证明方法总结
不等式的证明方法总结一．比较法（作差比较，作商比较）例1．已知x<y<0，求证(x 2+y 2)(x-y)>(x 2-y 2)(x+y)．证明：∵(x 2+y 2)(x-y)-(x 2-y 2)(x+y)=(x-y)[(x 2+y 2)-(x+y)2]=-2xy(x-y)>0∴(x 2+y 2)(x-y)>(x 2-y 2)(x+y)．例2．已知a>b>c ，求证a 2b+b 2c+c 2a>ab 2+bc 2+ca 2．证明：∵(a 2b+b 2c+c 2a)-(ab 2+bc 2+ca 2)=a 2(b-c)+a(c 2-b 2)+bc(b-c)=(b-c)(a 2-ac-ab+bc)=(b-c)[a(a-c)-b(a-c)]=(a-b)(a-c)(b-c)>0∴a 2b+b 2c+c 2a>ab 2+bc 2+ca 2．例3．已知a ，b>0，a ≠b ，求证a a b b >a b b a ． 证明：b a a b b a a b b a )ba (b a b a b a ---==． 当a>b>0时， a-b>0，1ba > ∴上式>1； 当b>a>0时， a-b<0，0<1b a < ∴上式>1； ∴a a b b >a b b a ．二．综合法例4．已知a ，b ，c>0，求证c b a cab b ca a bc ++≥++． 证明：∵c 2bca a bc 2b ca a bc =⋅≥+， 同理a 2cab b ca ≥+， b 2abc c ab ≥+， ∴)c b a (2)cab b ca a bc (2++≥++， 即c b a c ab b ca a bc ++≥++． 例5．已知a ，b ，c>0，a+b+c=1，求证8)1c1)(1b 1)(1a 1(≥---． 证明：)1c1)(1b 1)(1a 1(--- =c c 1b b 1a a 1-⋅-⋅-=cb a bc a a c b +⋅+⋅+ c ab 2b ac 2a bc 2⋅⋅≥=8三．分析法例6．已知a ≥3，求证3a 2a 1a a ---≤--． 证明：要证原式，只需证2a 1a 3a a -+-≤-+， 即证22)2a 1a ()3a a (-+-≤-+ 即证)2a )(1a (23a 2)3a (a 23a 2--+-≤-+- 即证)2a )(1a ()3a (a --≤- 即证a 2-3a ≤a 2-3a+2即证0≤2因为上式成立，所以原式也成立．四．换元法例7．已知0<x<1，a ，b>0，求证222)b a (x1b x a +≥-+． 证明：方法一.令x=sin 2α，则1-x=cos 2α．x 1b x a 22-+ =a 2csc 2α+b 2sec 2α=a 2(1+cot 2α)+b 2(1+tan 2α)=a 2+b 2+a 2cot 2α+b 2tan 2α≥a 2+b 2+2acot α·btan α=(a+b)2 方法二. 222222222)(1)1()]1()[1(1b a xx b x x a b a x x x b x a x b x a +≥-+-++=-+-+=-+. 五．放缩法例8．已知a ，b ，c ，d>0，求证2ca d db dc c a c b bd b a a 1<+++++++++++<． 证明：ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ >1bc ad d a b d c c d a c b b c d b a a =+++++++++++++++； c a d d b d c c a c b b d b a a +++++++++++<2cd d d c c a b b b a a =+++++++． 六．反证法例10．已知p 3+q 3=2，求证p+q ≤2．证明：假设p+q>2，则(p+q)3>23，即p 3+3p 2q+3pq 2+q 3>8，即p 2q+pq 2>2，即p 2q+pq 2>p 3+q 3，即pq(p+q)>(p+q)(p 2-pq+q 2)，即pq>p 2-pq+q 2，即p 2 +q 2<2pq ，与p 2 +q 2>2pq 矛盾，所以p+q ≤2．例11．已知f(x)=x 2+px+q ，求证⑴f(3)+f(1)-2f(2)=2；⑵|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于0．5．证明：⑴f(3)+f(1)-2f(2)=(9+3p+q)+(1+p+q)-2(4+2p+q)=2；⑵假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|<0．5，则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2，而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|>|f(1)-2f(2)+f(3)|=2，矛盾．所以|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于0．5．七．判别式法例12．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2．证明：当a=b=0时，上式显然成立；当a ，b 不全为0时，因为关于x 的不等式(ax-c)2+(bx-d)2≥0恒成立，即(a 2+b 2)x 2-2(ac+bd)x+(c 2+d 2)≥0恒成立，由△≤0，即得(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2．综上所述(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2．八．构造向量例13．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2． 证明：设向量x =(a ，b)，y =(c ，d)． ∵y x y x ⋅≤⋅，∴|ac+bd|≤2222d c b a +⋅+，平方即得(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2．九．构造函数例14．已知△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且m>0，求证m c c m b b m a a +>+++． 证明：令函数f(x)=).0x (,mx x >+ 由f(x)=,mx m 1m x m m x +-=+-+知f(x)在(0，+∞)上是增函数．∵a+b>c∴f(a+b)>f(c) ∴m c c )c (f )b a (f m b a b a m b a b m b a a m b b m a a +=>+=+++=+++++>+++，得证．例15．已知b>a>e ，求证a b >b a ． 证明：令)e x (,x xln )x (f >=，0x xln 1)x (f 2'<-= ，∴f(x)在(e ，+∞)上是减函数．∵b>a>e ，∴f(b)<f(a)， 即a aln b b ln <，∴alnb<blna ，∴lnb a <lna b ， ∴a b >b a ．。
高二数学证明不等式的基本方法1
二、综合法 一般地，从已知条件出发，利用定 义，公理，定理，性质等，经过一系 列的推理，论证而得出命题成立，这 种证明的方法叫做综合法
例1、已知a, b, c 0, 且全不相等，求证 a(b c ) b(a c ) c(a b ) 6abc
2 2 2 2 2 2
例2、已知a1 , a2 , 求证(1 a1 )(1 a2 )
证明不等式的基本方法
一、比较法 原理:
a b a b 0 a b a b 0 a b a 0
步骤： 作差---变形---判号---定论
关键： 判号，常用方法是将“差式” 变形为一个常数，或几个因式的 乘积.
例1、已知a, b都是正数，且a b, 求证：a b a b ab
, an R , 且a1a2 (1 an ) 2
n
an 1
三、分析法 证明命题时，从要证的结论出发， 逐步寻找使它成立的充分条件，直至 所需条件为已知条件或一个明显成立 的事实，从而得出要证的命题成立.
例3、试比较 2 7与 3 6的大小.
例4、已知a, b, c 0, 求证 a b b c c a abc abc
步骤： 作商---变形---与1比较---定论
1、作商法的前提为a,b为 注意： 正实数； 2、在证明幂、指数不等式时常用 作商法.
例3、已知a, b是正数，求证a b a b ，
a b b a
当且仅当a b时等号成立.
练习：已知0 x 1, a 0, a 1, 试比较 log a (1 x) 与 log a (1 x) 的大小 并说明理由
2 2 2 2 2 2
小结： 简述比较法、综合法、分析法
不等式证明技巧
不等式证明技巧
1. 比较法，这就像我们走路，要知道哪条路更近！比如证明 2x+3＞
x+5，我们就把左边减去右边，看看是不是大于 0 就知道啦！
2. 分析法，哎呀呀，就像侦探破案一样，一步步找到证据来证明不等式！比如证明根号(x+1)＞x，咱们就从结论往回推，找到能说明它成立的条件。
3. 综合法，这不就是把各种线索都放到一起嘛！比如说已知 a＞b，b＞c，
那咱就能直接得出 a＞c 啦。
4. 放缩法，哈哈，就像把东西变胖或变瘦一样！比如要证明一个式子小于
1/2，咱可以把一些项放大一点，让它更容易看出来。
就好比证明 1/(n+1)!＜1/2^n。
5. 反证法，哇哦，和别人争论的时候常用到呀，假设不对然后推出矛盾！例如证明不存在整数 x 让 x^2-2x-3=0 成立。
6. 数学归纳法，就像爬楼梯一样，先证明第一步能行，再假设第 n 步行然
后证明第n+1 步也没问题！像证明1+2+3+…+n=n(n+1)/2 就很适用呢。
7. 构造函数法，嘿，这就像给自己打造一个专属工具来解决问题！比如构造个函数来证明不等式 x^2+2x+2＞0。
8. 换元法，相当于给问题换个包装呀！像证明(1+2^x)(1+3^x)≥4 ，咱可
以换个元来让它更简单明了。
9. 利用基本不等式，这可是个宝贝啊！举例来说，已知 x＞0，y＞0，要证
明x+y≥2 根号(xy) 是不是很常用！
我觉得呀，这些不等式证明技巧都超级实用，就像我们手里的武器，能帮我们攻克一个又一个难题！大家可得好好掌握它们呀！。
不等式的八种证明方法及一题多证
不等式的证明：一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 步骤：“作差----变形----判断符号”。
使用此法作差后主要变形形式的处理：○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。
○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。
○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。
总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。
2．作商比较法方法：要证A>B,常分以下三种情况：若B>0，只需证明1AB >； 若B=0，只需证明A>0； 若B<0，只需证明1AB<。
（3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小” 例：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++解析：用作差比较法∵)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：b a m b m a >++ 例：已知a>b>0,求证：()2a ba ba b ab +>解析：用作商比较法∵()222222a b a b a b a b a b a b a b a b a ba ababb ab -++-----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭又∵a>b>0,()221,012a b a ba ba ab a b b a b ab -+-⎛⎫∴>>∴> ⎪⎝⎭∴>例：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。
不等式的证明(1)--比较法
法，因式分解法，有时把差变 2 (a b)(a b) (a b )(a b) 形为常数或变形为常数与几个 数的平方和的形式或变形为几 a, b是正数, 且a b, 2 个因式积的形式.变形到可判断 a b 0, (a b) 符号为止. 0,
三、例题讲解
作商比较法是将问题 a b 转化为商与1的关系， a b (ab) 故变形时要注意1的几 a b a b b a 种情形，如 a b 2 (ab) a0 2 2 2 同理 b a a b ( ) a 1 1=a =log a=a/a等，对 ab b 商的变形目的常为 a b an,logan等形式，以利 b a 2 (ab) a b 于利用指数函数和对 数函数的单调性作出 a b a b b a 判断. 2 a b (ab) a b
a b a b 0 a b a b 0 a b ab 0
作差比较法的步骤： 作差——变形（化简）——定号 （差值 的符号）
一、复习引入 2.作商比较法的原理及步骤：
a, b R a a b 1 b a a b 1 b a a b 1 b
(a 2) 2 0 2 4a
4a 1. 2 4a
四、练习
a b 4.已知 c a b 0, 求证 . c a c b
a b ( a b )c 证明: c a c b (c a)(c b) c a b 0,
( a b)c 0 (c a)(c b) a b . ca cb
作差法：作差—变形—定号.变形常用因式分解，分组配 方等；作商法：作商——变形（化简）——判断（商值与 实数1的大小关系），对商的变形常有约分化简，合并等. 3.一般情况下，多项式比较用作差法，而积商幂的形式用 作商法.
比较法证明不等式
- 1 – “学海无涯苦作舟，书山有路勤为径” 证明不等式的方法— 比较法1．比较法证明不等式的一般步骤：作差（商）—变形—判断—结论.2．作差法：a －b ＞0⇒a ＞b ，a －b ＜0⇒a ＜b .作差法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解（分式通分、无理式有理化等）后，把差写成积的形式或配成完全平方式.3．作商法：a ＞0，b ＞0，ba ＞1⇒a ＞b . 比商法要注意使用条件，若b a ＞1不能推出a ＞b .这里要注意a 、b 两数的符号. 1．设0＜x ＜1，则a =2x ，b =1+x ，c =x-11中最大的一个是 A. a B. b C. c D.不能确定2．若a 、b ∈R ，有下列不等式：①a 2+3＞2a ；②a 2+b 2≥2（a －b －1）；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a +a1≥2.其中一定成立的是__________.（把成立的不等式的序号都填上） 【典型例题】1、已知,a b 都是正数，并且a b ≠，求证：.2233ab b a b a +>+变式训练：当m ＞n 时，求证：m 3－m 2n －3mn 2＞2m 2n －6mn 2＋n 3．2、已知,a b 都是正数，求证：,a b b a b a b a ≥ 当且仅当b a =时，等号成立。
3、求证x x 332>+4、 已知a ，b ，m 都是正数，并且b a <，求证：ba mb m a >++ 5、 已知a ，b 是正数，且a ≠b ，求证322355b a b a b a +>+6、设a , b ∈ R +，求证：a b b a b a b a ab b a ≥≥+2)(。
不等式的证明--比较法
假分数越加越小
用比较法证明： （1）求证a2 b2 2 2a 2b
(2)已知ad bc, 求证 a2 b2 c2 d 2 (ac bd )2
(3)已知a b, 求证： a4 6a2b2 b4 4ab(a2 b2 )
1、比较法（求差比较法）证明不等式，它是不等式证明中最基 本、最重要的证明方法 2、用比较法证明不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段， 判断符号才是目的。 3、掌握求差后对差式变形的常用方法：配方法、因式分解和通 分法 4、差变形为：一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数 的平方和的形式等。能够判断出差的符号是正或负即可。
------魏海霞
m
am a bm b
b a
关于实数a，b的大小关系，有以下基本事实
a bab 0 a b ab0
a bab 0
要比较两个实数a，b的大小，只要考察a与b的差 值的符号就可以了。
例1：求证 x 2 3 3x
证明：x2 3 3x
作差
x2 3x 3
x2
3x
3
2
-
3
2
3
判号
2 2x3来自23变形
2 4
0 x2 3 3x
例2：已知a，b是正数，且a b, 求证：a3 b3 a2b ab2
例3：已知a，b，m是正数，且 a b, 求证：a m a
bm b
a，b，m是正数，则： ①当a b时, a m a 真分数越加越大
bm b
②当a b时, a m a bm b