点睛-高数
《高数下》讲义笔记习题答案
22111~2x y x y +-课时一多元函数（一）考点重要程度分值常见题型1.重极限★★3~0选择、填空2.偏导数，全微分，隐函数求偏导必考10~6大题一、重极限题型1.有理化(,)(0,0)(,)(0,0)24(24)(24)lim lim(24)x y x y xy xy xy xy xy xy →→-+-+++=++41421lim )42(lim)0,0(),()0,0(),(-=++-=++-=→→xy xy xy xy y x y x 题型2.重要极限公式2lim sin lim sin lim )0,2(),()0,2(),()0,2(),(===→→→x x yx xy y xy y x y x y x 题型3.无穷小替换121lim 21lim 111lim)0,2(),(2)0,2(),(2)0,2(),(===--+→→→x xy y x e y x y x y x xy y x ☆重要极限公式1）1sin lim 0=→xxx 2）exx x x xx =+=+∞→→)11(lim )1(lim 10☆无穷小替换公式：当0→x 时1)1~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~-+xe x x x x x x 2)x x 21~11-+221~cos 1x x -0sin lim1xy xyxy →=这里的x 要当做是一个整体，比如若0xy →，xy 作为一个整体也满足这些公式。
1~xy e xy-22()()a b a b a b +-=-xxy xz 863+=∂∂2292zx y y ∂=-∂二、偏导数、全微分、隐函数求导（对某个变量求导的时候，其余变量均看作常数）题型1.6243232+-+=y x y x z ，求：①xz ∂∂，yz ∂∂②在（1,1）点偏导解：①②题型2：22444y x y x z -+=，求22x z ∂∂，y x z ∂∂∂2，22y z ∂∂，xy z∂∂∂2解：2384xy x x z -=∂∂，2384yx y y z-=∂∂则2222812y x x z -=∂∂，xy y x z 162-=∂∂∂2222812x y yz -=∂∂，xy x y z 162-=∂∂∂题型3.设y xz arcsin=，)0(>y ，求dz 解：2221111()zxyx y x y∂==∂--2222(1()z x yy x y y x y∂=-=∂--dyxy y x dx xy dz 22221---=题型4.xyz arctan =，求(1,1)dz 解：2222(1,1)11(21()z y y y x x x y x ∂=⋅-=-=-∂++222(1,1)11121()z x y y x x y x∂=⋅==∂++1122dz dx dy=-+1()()1(ln )()ln u x xx xx x e e x x a a aμμ-'='='='=22(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc x x x x x x x x'='=-'='=-22(sec )sec tan 1(arctan )11(arcsin )1x x x x x x x'='=+'=-221(arccot )11(arccos )11(log )ln a x x x x x x a'=-+'=--'=注意：千万不要忘了写成全微分形式注意：y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2在区域D 内连续，则xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂223(1,1)6814z xy x x∂=+=∂22(1,1)927zx y y∂=-=∂隐函数解题方法：1）构造函数),,(z y x F ；2）求xF yF zF 3）zxF F x z-=∂∂zy F F y z-=∂∂题型5：63sin 3=--+z e z y x ，求x z ∂∂，yz ∂∂解：令63sin 3---+=ze z y x F x F x cos =，3=y F ，23zz F z e =--由公式法得2cos 3x zz F z xx F z e ∂=-=∂+233y z z F z y F z e∂=-=∂+题型6：设ln x zz y=，求(0,1)dz 解：将(0,1)点带入方程得1z =，得这个点(0,1,1)令ln ln ln x z xF z y z y z=-=-+(0,1,1)11x F z ==，(0,1,1)11y F y==，(0,1,1)2211z x x zF z z z +=--=-=-由公式法得1x zF zx F ∂=-=∂1y zF zy F ∂=-=∂dz dx dy=+练习1.1：2sin 2xy z x y e =-，求x z ∂∂，yz∂∂练习1.2：求222z y x u ++=，求(1,1,1)du -练习1.3：设ln x zz y=，求22z x ∂∂练习1.4：设()y x z ,由方程()11sin =--xyz xyz 所确定，求(0,1)dz 。
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诗词名句-高考作文必备备战高考离恨远萦杨柳，梦魂长绕梨花。
刘迎《乌夜啼·离恨远萦杨柳》心之忧危，若蹈虎尾，涉于春冰。
《尚书·周书·君牙》八月涛声吼地来，头高数丈触山回。
刘禹锡《浪淘沙九首》寒沙四面平，飞雪千里惊。
范云《效古诗》抽刀断水水更流，举杯销愁愁更愁。
李白《宣州谢脁楼饯别校书叔云/陪侍御叔华登楼歌》牧童归去横牛背，短笛无腔信口吹。
雷震《村晚》慎徽五典，五典克从；《尚书·虞书·舜典》来是春初，去是春将老。
曾允元《点绛唇·一夜东风》人生亦有命，安能行叹复坐愁？鲍照《拟行路难·其四》我欲乘风归去，又恐琼楼玉宇，高处不胜寒。
苏轼《水调歌头·明月几时有》初报边烽照石头，旋闻胡马集瓜州。
陆游《送七兄赴扬州帅幕》视其所以，观其所由，察其所安，人焉廋哉？人焉廋哉？《论语·为政篇》黄河西来决昆仑，咆哮万里触龙门。
李白《公无渡河》年年今夜，月华如练，长是人千里。
范仲淹《御街行·秋日怀旧》1粽包分两髻，艾束著危冠。
陆游《乙卯重五诗》一杯酒，问何似，身后名？辛弃疾《水调歌头·壬子三山被召陈端仁给事饮饯席上作》君子尊德性，而道问学，致广大，而尽精微，极高明，而道中庸。
温故，而知新，敦厚以崇礼。
《中庸·第二十七章》善在身，介然必以自好也；不善在身，菑然必以自恶也。
《荀子·修身》想雁空、北落冬深，澹墨晚天云阔。
吴文英《暗香疏影·夹钟宫赋墨梅》事丰奇伟，辞富膏腴，无益经典而有助文章。
《文心雕龙·正纬》竹马踉蹡冲淖去，纸鸢跋扈挟风鸣。
陆游《观村童戏溪上》日日思君不见君，共饮长江水。
李之仪《卜算子·我住长江头》柔情似水，佳期如梦，忍顾鹊桥归路。
秦观《鹊桥仙·纤云弄巧》记当日、门掩梨花，翦灯深夜语。
史达祖《绮罗香·咏春雨》仁者爱万物而智者备祸於未形，不仁不智，何以为国？《史记·赵世家》多情只有春庭月，犹为离人照落花。
高数基础知识总结
( ) sin x
=
x−
x3 3!
+
x5 5!
+Λ
+ (−1)n
x 2n+1
(2n +1)!
+
0
x 2n+1
( ) cos x = 1−
x2 2!
+
x4 4!
−Λ
+ (−1)n
x 2n
(2n)!
+
0
x 2n
( ) ln(1 + x) = x − x2 + x3 − Λ + (− )1 n+1 xn + 0 xn
连续，则 f (x) 必在 [a,b]上有界。
定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x) 在闭
区间 [a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和
最小值 m 。 其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：
定义 设 f (x0 ) = M 是区间 [a,b]上某点 x0 处的函数
(log a
lim
f (x) g(x)
=
A
（或
∞
）
7．利用导数定义求极限
基本公式： lim ∆x→0
f (x0 + ∆x) −
∆x
f (x0 ) =
f ′(x0 )
[如果
值，如果对于区间 [a,b]上的任一点 x ，总有 f (x) ≤ M ，
则称 M 为函数 f (x) 在 [a,b]上的最大值。同样可以定义最
整数），则
lim
n→∞
xn
=
A 存在，且 A ≤
M
准则 2．（夹逼定理）设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
23高数切片讲义第5章课后习题与答案
第五章 二重积分【基础练习题44】1. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小 （1）2d Dx y 与 3d Dx y ，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线1x y 所围成； （2）2d Dx y 与 3d Dx y ，其中积分区域D 是由圆周 22212x y 所围成； （3）ln d Dx y 与 2ln d Dx y，其中积分区域D 是三角形闭区域，三个顶点分别为 1,0,1,1,2,0； （4）ln d Dx y 与 2ln d Dx y，其中 ,35,01.D x y x y2.设1D I,222cos()d DI x y ,2223cos()d DI x y, 其中22(,)1D x y x y ，则 （ ）（A ）123I I I . （B ）321I I I . （C ）312I I I .（D ）213I I I .【基础练习题44解析】1.【解析】（1）在积分区域D 上，01x y ，故有32()()x y x y . 故32d d DDx y x y . （2）由于积分区域D 位于半平面(,)1x y x y 内，故在D 上有23()()x y x y . 从而23d d DDx y x y . （3）由于积分区域D 位于条形区域(,)12x y x y 内，故知区域D 上的点满足0ln()1x y ，从而有2[ln()]ln()x y x y . 因此高等数学切片课后习题23高数切片讲义第3章课后习题与答案2ln d ln d DDx y x y. （4）由于积分区域D 位于半平面(,)e x y x y 内，故在D 上有ln()1x y ，从而2[ln()]ln()x y x y. 因此 2ln d ln d DDx y x y. 2.【答案】A.【解析】当221x y 时，有222220()1x y x y又cos x 在 0,1上为减函数，故有22222cos()cos x y x y且等号仅在部分点成立，由二重积分的比较性质知，321.I I I【基础练习题45】1. 画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）D ，其中D 是由两条抛物线y 2y x 所围成的闭区域；（2）2d Dxy，其中D 是由圆周224x y 及y 轴所围成的右半闭区域； （3）e d x y D，其中(,) 1D x y x y ； （4）22()d D xy x ，其中D 是由直线2,y y x 及2y x 所围成的闭区域.2. 改换下列二次积分的积分次序： （1）10d (,)d yy f x y x；（2）2220d (,)d yy y f x y x；（3）10d (,)d y f x y x ； （4）212d (,)d x x f x y y ；（5）11d (,)d xx f x y y；（6）sin 0sin2d (,)d xxx f x y y.【基础练习题45解析】1.【解析】（1）D 可用不等式表示为2x y 01x （如图1）.于是，237111424000226d d ()d .3355Dx x x y x y x x x x（2）D 可用不等式表示为0x 22y （如图2）.故，22222222164d d d (4)d .215Dxy y y x x y y y图1 图2 （3）如图3，12D D D ，其中12(,)11,10,(,) 11,01.D x y x y x x D x y x y x x因此，12e d e d e d x y x y x yDD D 0111111e d e d e d e d x x x y x y x x x y x y1211211(ee )d (e e )d x x x x1e e . （4）:,022yD x y y （如图4），故 2222202()d d ()d yy Dx y x y x y x x32222d 32yy x x y x y232019313d 2486y y y.图3 图4 2.【解析】（1）所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y ，其中 (,)0,01D x y x y y .D 可改写为 (,)1,01x y x y x （如图5），于是 原式110d (,)d xx f x y y.（2）所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y ，其中 2(,)2 ,D x y yx y02y .又D可表示为(,)42x x y y x（如图6），因此原式42d (,)d x x f x y y.图5 图6 （3）所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y ，其中(,)1D x y x y.又D可表示为(,)011x y y x （如图7）， 因此原式11d (,)d x f x y y.（4）所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y，其中(,)2D x y x y12x . 又D可表示为(,)211x y y x y （如图8），故原式1102d (,)d yy f x y x.图7 图8 （5）111101d (,)d d (,)d d (,)d .xyxx f x y y x f x y y y f x y x【注】原二次积分11d (,)d xx f x y y中对y 的积分上限小于下限，不符合累次积分转化规则，需要线添加负号互换上下限. （6）如图9，将积分区域D 表示为12D D ，其中12(,)arcsin arcsin ,01,(,)2arcsin ,10.D x y y x y y D x y y x y于是，原式1arcsin 00arcsin 12arcsin d (,)d d (,)d yyyy f x y x y f x y x.图9【基础练习题46】1. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： （1）222d )d ax x y y； （2）0d a x y；（3）211222d ()d x xx x y y； （4）220d )d ay x y x .2. 选用适当的坐标计算下列各题： （1）22d Dx y，其中D 是由直线2,x y x 及曲线1xy 所围成的闭区域； （2）D，其中D 是由圆周221x y 及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域； （3）22()d Dx y ，其中D 是由直线,,,3 (0)y x y x a y a y a a 所围成的闭区域.3. 作适当变换，计算下列二重积分： （1）22sin d d Dx y x y x y ，其中D 是平行四边形闭区域，它的四个顶点是π,0,2π,π,π,2π,0,π；（2）22d d Dx y x y ，其中D 是由两条双曲线1xy 和2xy 与两条直线y x 和4y x 所围成的在第一象限内的闭区域.【基础练习题46解析】1.【解析】（1）积分区域D 如图1所示. 在极坐标系中，(,)02cos ,02D a，于是，2cos 42cos 2220444420d d d 43134cos d 4.4224a a aa a原式（2）如图2，在极坐标系中，(,) 0sec ,04D a.图1 图2 于是，原式3sec 3440d d sec d 3a a340sec tan ln(sec tan )6a31)]6a . （3）积分区域D 如图3所示. 在极坐标系中，抛物线2y x 的方程是22sin cos ，即tan sec ；射线 (0)y x x 的方程是4，故 (,)0tan sec , 04D.图3于是tan sec44401d d tan sec d sec 1.原式（4）积分区域(,)0(,)0, 02D x y x y a a，故42420d d 248aa a原式.2.【解析】（1）D 如图4所示，根据D 的形状，选用直角坐标较宜，1(,) ,12D x y y x x x，故22223122119d d d ()d 4x x Dx x x y x x x y y.图4（2）根据积分区域D 的形状和被积函数的特点，选用极坐标为宜，(,)01,02D，故200d d d d D原式23111000d 221124011)2241201arcsin 22(2)8. （3）D 如图5所示. 选用直角坐标为宜. 又根据D 的边界曲线的情况，宜采用先对x 、后对y 的积分次序. 于是3332222224()d d ()d 2d 14.3a yaa y aaDa xy y x y x ay a y y a图53.【解析】（1）令,u x y v x y ，则,22u v v ux y. 在这变换下，D 的边界x y ，x y ，x y ，3x y 依次与u ，v ，u ，3v对应. 后者构成uOv 平面上D 对应的闭区域D 的边界，于是(,),3D u v u v （如图6）.图6又 11(,)12211(,)222x y J u v ， 因此2222223341()sin ()d d sin d d 21d sin d 21sin 2.23243D D x y x y x y u v u v u u v v u v v（2）令,yu xy v x，则x y . 在这变换下，D 的边界1xy ,y x ， 2,4xy y x 依次与1,1,2,4u v u v 对应，后者构成uOv 平面上与D对应的闭区域D 的边界. 于是(,),4D u v u v （如图7）.图7又(,)1111(,)42x y J u v v v v. 因此242222111117d d d d d d ln 2.223DD x y x y u u v u u v v v【基础练习题47】1.设222222322111d ,cos sin d ,e 1d ,xy x y x y x y M x y N x y P则必有（ ） （A ） M N P . （B ） N M P . （C ） M N P . （D ） N P M .2. 设区域D 为222x y R ，则22d d Dx x y a ．3. 设22(,)1D x y x y ，则2()d d Dx y x y . 4. 已知22,2D x y xy y ，计算二重积分32d d Dx y x y .5. 已知 ,,,1D x y y x y x x，计算二重积分esin d d xDy x y .6. 已知区域D 为圆224x y 在第一象限所围的部分，计算二重积分d d Dxx y x y .7. 求二重积分 22121e d d x y Dy x x y的值，其中D 是由直线,1y x y ，1x 围成的平面区域.8. 设区域22(,)1,0D x y x y x ，计算二重积分221d d 1Dxyx y x y . 【基础练习题47解析】1.【答案】（B ）.【解析】因为 3322333x y x x y xy y ，函数3223,3,3,x x y xy y 分别是关于,,,x y x y 的奇函数，又积分区域1x y 关于x 轴、y 轴对称，故31d 0.x y M x y又22cos sin x y 在积分区域221x y 上大于0，且不恒为0；22e1x y 在积分区域221x y 上小于0，由二重积分的比较性质知2222222211cos sin d 0,e1d 0.x y x y x y N x y P故 N M P ，（B ）正确.2.【答案】42π4R a .【解析】 【法1】直接利用极坐标计算2422322201d d cos d d 4RDx R x y r r a a a.【法2】由于积分区域D 关于y x 对称知222222222π222220044221d d d d d d 211d d d d 221π2π.244D DD R D x y x y x y x y x y a a a a x y x y r r r a a R R a a3.【答案】π4. 【解析】22()d d d d d d DDDx y x y x x y y x y ，因为积分区域D 关于x 轴对称，被积函数y 为关于y 的奇函数，故d d 0.Dy x y又积分区域D 关于y x 对称，故由轮换对称性知，222222π12001()d d d d d d d d 21πd d .24DDDDx y x y x x y y x y x y x y r r r4.【解析】因为积分区域D 关于y 轴对称，被积函数32x y 为关于x 的奇函数，故32d d 0.Dx y x y 5.【解析】因为积分区域D 关于x 轴对称，被积函数e sin xy 为关于y 的奇函数，故e sin d d 0.x Dy x y 6.【解析】因为积分区域D 关于y x 对称，故由轮换对称性知，21d d d d d d 2111ππd d 2.22242D DD D Dx y x y x y x y x y x y x y x y x y x y S7.【解析】如图，积分区域D 可拆分为12,D D ，其中1D 关于y 轴对称，2D 关于x 轴对称.又2121222211221e d d d d e d d ,x y x D D y D D D y x x y y x y xy x y 积分函数y 为关于y 的奇函数，关于x 的偶函数，而积分函数2212ex y xy 为关于,x y 的奇函数，由对称性知，12210210211e d d d d d d 22d .3y x y y D D y x x y y x y y y x y y8.【解析】因为22222211d d d d d d ,111D D Dxy xyx y x y x y x y x y x y 又积分区域D 关于x 轴对称，由对称性知，22d d 0,1Dxyx y x y 故 π12π202211220022221d d 11d 1πln22πln 1π.12211d d d d 11D Dr r xy x y x y x r y x y r r r。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第二章 导数与微分【圣才出品】
第二章 导数与微分2.2 课后习题详解习题2-1 导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】 当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。
高数习题第一二章习题黄立宏第4版
习题1-11. 下列函数是否相等,为什么?222(1)()();(2)sin (31),sin (31);1(3)(),() 1.1f xg x y x u t x x f x g x x x ===+=+-==+- 解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-解: (1)要使函数有意义,必须400x x -≥⎧⎨≠⎩即 40x x ≤⎧⎨≠⎩所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞.(2)要使函数有意义,必须30lg(1)010x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩即 301x x x ≥-⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).(3)要使函数有意义,必须210x -≠ 即 1x ≠±所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞.(4)要使函数有意义,必须12sin 1x -≤≤ 即 11sin 22x -≤≤即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π66k x k +≤≤+,(k 为整数). 也即ππππ66k x k -+≤≤+ (k 为整数).3. 设1()1x f x x -=+,求1(0),(),().f f x f x-解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-==+--1111().111x x f x x x--==++ 4. 设1,10()1,02x f x x x -≤<⎧=⎨+≤≤⎩,求(1)f x -.解: 1,1101,01(1).(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤<⎧⎧-==⎨⎨-+≤-≤≤≤⎩⎩5. 设()2,()ln xf xg x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x . 解: ()ln (())22,g x x x f g x ==(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).xf x f f xg g x g x g x x x x x ====6. 求下列函数的反函数及其定义域:2531(1); (2)ln(2)1;1(3)3; (4)1cos ,[0,π].x xy y x xy y x x +-==+++==+∈ 解: (1)由11xy x-=+解得11y x y -=+,所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1xy x x-=≠-+. (2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-,所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e2()x y x -=-∈ R .(3)由253x y +=解得31(log 5)2x y =- 所以,函数253x y +=的反函数为31(log 5)(0)2y x x =-> .(4)由31cos y x =+得cos x =又[0,π]x ∈,故x =又由1cos 1x -≤≤得301cos 2x ≤+≤,即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos ,[0,π]y x x =+∈的反函数为3arccos 1(02)y x x =-≤≤ .7. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:2(1); (2)ln 1xy y x x x ==++ 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有201x x ≤+,当0x >时,有21122x x x x ≤=+, 故(,),x ∀∈-∞+∞有12y ≤.即函数21xy x =+有上界. 又因为函数21xy x =+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数21xy x =+有界. 又由1212121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而 当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数21xy x=+在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞),10,0M x ∀>∃>且12;e 0M x M x >∃>>,使2ln x M >.取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增.8. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解:011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+从而 0cot SBC h hϕ=-.000()22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h hBC h hS S h h h hϕϕϕϕϕ=++==+=+---=+=+由00,cot 0S h BC h hϕ>=->得定义域为.9. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?5122412(1)(1);(2)sin (12);1(3)(110);(4).1arcsin 2xy x y x y y x-=+=+=+=+解: (1)124(1)y x =+是由124,1y u u x ==+复合而成.(2)2sin (12)y x =+是由2,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)512(110)x y -=+是由152,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.(4)11arcsin 2y x=+是由1,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.习题1-21. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:1234579(1)0,,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,; (3)3,,,,.3456357----解: 1(1),1n n x n -=+当n →∞时,1n x →.1(2)cos π2n n x n -=,当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.21(3)(1)21n n n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.2. 对下列数列求lim n n a x →∞=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有n x a ε-<:1π(1)sin ,0.001; (2)0.0001.2n n n x x n εε====解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使11π0sin2n n x n n ε-=<<,只须1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,必有0n x ε-<.当0.001ε=时,110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于1000的整数. (2)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使0n x ε-==<=<1ε>即21n ε>即可.取21N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 821100.0001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于108的整数. 3. 根据数列极限的定义，证明:21313(1)lim0;(2)lim ;212(3)1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 个证: (1)0ε∀>,要使22110n n ε=<-,只要n >.取N =,则当n>N 时,恒有210nε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε∀>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要5n ε>,取5N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故313lim212n n n →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使2221a n ε=<<-,只要n >,取n =,则当n>N 时,1ε<-,从而lim 1n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-个,故0ε∀>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<-个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则当n N >时,恒有,0.9991n ε<-个故lim 0.9991n n →∞=个.4. 若lim n n x a →∞=,证明lim n n x a →∞=,并举反例说明反之不一定成立.证:lim 0n n x →∞=,由极限的定义知,0,0N ε∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<.而 n n x x a a ε-<-<0,0N ε∴∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<,由极限的定义知lim .n n x a →∞=但这个结论的逆不成立.如(1),lim 1,nn n n x x →∞=-=但lim n n x →∞不存在.5. 利用收敛准则证明下列数列有极限,并求其极限值:1111(1)1,2,; (2)1,1,1,2,.1nn n nx x x n x x n x ++=====+=+证: (1)122x =<,不妨设2k x <,则12k x +<=.故对所有正整数n 有2n x<,即数列{}n x 有上界.又1n n n x x x+-==0>,又由2n x <从而10n n x x +->即1n n x x +>, 即数列{}n x 是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限. 设lim n n x a →∞=,则a =,于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞∴=.(2) 因为110x =>,且111nn nx x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界又 111111111(1)(1)nn n n n n n n n n x x x x x x x xx x --+---⎛⎫⎛⎫++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号， 从而可推得1n n x x +-与21x x -同号， 而 1221131,1,022x x x x ==+=-> 故10n n x x +->, 即1n n x x +>所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在. 设lim n n x a →∞=, 则11a a a=++， 解得1122a a +-==(不合题意，舍去). 所以1lim 2n n x →∞+=习题1-31. 选择题 （1）设1,1()0,1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，则0lim ()x f x →=（ ） A.不存在 B.∞ C.0 D.1（2）设()f x x =，则1lim ()x f x →=（ ） A.1- B.1 C.0 D.不存在（3）0(0)f x +与0(0)f x -都存在是函数()f x 在点0x x =处有极限的一个（ ）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件（4）函数()f x 在点0x x =处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的（ ）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件 （5）设1()1x f x x -=-，则1lim ()x f x →=（ ）A.0B.1-C.1D.不存在 2.证明01lim arctanx x→不存在. 3. 用函数极限定义证明：22222102sin 314(1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4; 42141(4)lim 2; (5)lim sin 0.21x x x x x x x x xx x x x x x →+∞→∞→-→→---===-++-==+证：(1)0ε∀>,要使1sin sin 0x xx x xε=≤<-, 只须1x ε>,取1X ε>，则当x X >时，必有sin 0xxε<-, 故sin lim0x xx→+∞=.(2)0ε∀>,要使22221313313||44x x x x ε-=<<-++,只须x >取X =X x >时，必有223134x x ε-<-+, 故2231lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使24(4)22x x x ε-=<--++, 只要取δε=，则当02x δ<<+时，必有24(4)2x x ε-<--+,故224lim42x x x →--=-+.(4) 0ε∀>,要使21142221221x x x x ε-==<+-++,只须122x ε<+，取2εδ=，则当102x δ<<+时，必有214221x x ε-<-+故21214lim 221x x x →--=+.(5) 0ε∀>,要使11sin0sin x x x x xε=≤<-, 只要取δε=，则当00x δ<<-时，必有1sin0x xε<-, 故01lim sin0x x x→=. 习题1-41. 选择题：（1）设α和β分别是同一变化过程中的无穷小量与无穷大量，则αβ+是同一变化过程中的（ ）A.无穷小量B.有界变量C.常量D.无穷大量（2）“当0x x →时，()f x A -是一个无穷小量”是“函数()f x 在点0x x =处以A 为极限”的（ ）A.必要而不充分条件B.充分而不必要的条件C.充分必要条件D.无关条件 （3）当0x →时，11cos x x是（ ） A.无穷小量 B.无穷大量 C.无界变量 D.有界变量 2.求下列极限：（1）201lim cos x x x →； （2）arctan lim x xx→∞.习题1-51.若对某极限过程，()lim f x 与()lim g x 均不存在，问()()()lim f x g x ±是否一定不存在？举例说明.2.若对某极限过程，()lim f x 存在，()lim g x 不存在，问()()()lim f x g x ±，()()()lim f x g x ⋅是否存在？为什么？3. 求下列极限：2222313242233112131(1)lim ;(2)lim ;1211(3)lim ;(4)lim ;3121131(5)lim ;(6)lim ;111(7)lim 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→∞→→∞→∞→→→--+---+-++-⎛⎫- ⎪---⎝⎭- ()()33212(8)lim .23x x x x x →∞+--+-解：()()2232233lim 33933(1)lim 1lim 9151x x x x x x x →→→---===+++. 22223334224241111(2)limlim .1121221111lim (3)lim lim 0.3131311lim 1x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞--==----⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===-+⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭(4)(5) (6) (7) (8)习题1-61. 选择题：（1）当n →∞时，1sinn n是一个（ ） A.无穷小量 B.无穷大量 C.无界变量 D.有界变量（2）若x a →时，有0()()f x g x ≤≤，则lim ()0x ag x →=是()f x 在x a →过程中为无穷小量的（ ）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件 2. 利用夹逼定理求下列数列的极限:1(1)(2)lim[(1)],01;(3);(4)lim(123).n k k n n nn nn n n k →∞→∞+-<<++其中为给定的正常数解: (1)11111n n<+<+ 而1lim10,lim(1)1n n n→∞→∞=+=故 1n =. 1111(2)0(1)(1)1(1)1k k k kk k n n n n n n n -⎡⎤⎡⎤<+-=<=+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而lim 00n →∞=,当1k <时,11lim0kn n -→∞=lim[(1)]0k k n n n →∞∴+-=.(3)记12max{,,,}m a a a a =则有n<<即 1na m a <<⋅而1lim , lim ,nn n a a m a a →∞→∞=⋅=故n a =即 12lim max{,,,}m n a a a =.(4)111(3)(123)(33)n nn n nn n<++<⋅即 113(123)3n nn nn+<++<而 1lim33,lim33n nn n +→∞→∞==故 1lim(123)3nn nn →∞++=.3.求下列极限:(1)0sin 2lim;sin 5x xx → (2) 0lim cot ;x x x →(3)0arctan lim;x x x → (4) 201lim 1;xx x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭(5)213lim ;2x x x x +→∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭(6) ()2cot 2lim 13tan ;xx x →+习题1-71. 当1x →时，无穷小量1x -与221(1)1,(2)(1)2x x --是否同阶？是否等价？ 解：211111(1)limlim 112x x x x x →→-==-+ ∴当1x →时，1x -是与21x -同阶的无穷小.2111(1)12(2)lim lim 112x x x xx →→-+==-∴当1x →时，1x -是与21(1)2x -等价的无穷小.2. 当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪个是高阶无穷小量？解：232200limlim 022x x x x x x x x x→→--==-- ∴当0x →时，23x x -是比22x x -高阶的无穷小量.3.利用等价无穷小量，求下列极限：(1)0sin lim;sin x mxnx → 0(2)lim cot ;x x x →01cos 2(3)lim ;sin x xx x→- (4) tan sin 601lim 1x x x e e →--. 解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx所以00sin limlim .sin x x mx mx mnx nx n→→==00002000limcos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x x x x→→→→→→→→=⋅===-=== (4)习题1-81. 研究下列函数的连续性，并画出图形：2,1,,01,(1)()(2)()1,1;2,12;x x x x f x f x x x x≤⎧≤≤⎧==⎨⎨>-<<⎩⎩ 解：(1)由初等函数的连续性知，()f x 在（0，1），（1，2）内连续， 又21111lim ()lim(2)1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=== 1lim ()1,x f x →∴= 而(1)1f =，()f x ∴在1x =处连续，又，由2lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===，知()f x 在0x =处右连续， 综上所述，函数()f x 在[0，2)内连续. 函数图形如下：图1-2(2) 由初等函数的连续性知()f x 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞内连续，又由1111lim ()lim 11,lim ()lim 1,x x x x f x f x x --++→-→-→-→-====-知1lim ()x f x -→-不存在，于是()f x 在1x =-处不连续.又由1111lim ()lim 1,lim ()lim11,x x x x f x x f x --++→→→→==== 及(1)1f =知1lim ()(1)x f x f →=，从而()f x 在x =1处连续，综上所述，函数()f x 在(,1)-∞-及(1,)-+∞内连续，在1x =-处间断.函数图形如下：图1-32. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：221(1),1,2;32π(2),π,π,0,1,2,.tan 2x y x x x x x y x k x k k x -===-+===+=±±解：22111(1)(1)(1)lim lim 232(1)(2)x x x x x x x x x →→--+==--+-- 2221lim 32x x x x →-=∞-+ 1x ∴=是函数的可去间断点.因为函数在x =1处无定义，若补充定义(1)2f =-，则函数在x =1处连续；x =2是无穷间断点.π0π2(2)lim1,lim 0tan tan x x k x x x x →→+==当0k ≠时，πlimtan x k xx →=∞.π0,π,0,1,2,2x x k k ∴==+=±±为可去间断点，分别补充定义f (0)=1,π(π)02f k +=，可使函数在x =0,及ππ2x k =+处连续.(0,1,2,k =±±);π,0,1,2,x k k k =≠=±±为无穷间断点3. 当x =0时，下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使其在x =0处连续:tan2(1)()(2)().xf x f xx ==解：0003(1)lim ()2x x x f x →→→=== ∴补充定义3(0),2f =可使函数在x =0处连续. 000tan 22(2)lim ()lim lim 2.x x x x xf x x x→→→=== ∴补充定义(0)2,f =可使函数在x =0处连续. 4. 怎样选取a , b 的值，使f (x )在(－∞,+∞)上连续？π1,,e ,0,2(1)()(2)()π,0;sin ,.2xax x x f x f x a x x x b x ⎧+<⎪⎧<⎪==⎨⎨+≥⎩⎪+≥⎪⎩解：(1)()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上显然连续，而0lim ()lim(),x x f x a x a ++→→=+= 0lim ()lim e 1,xx x f x --→→== 且(0)f a =, ∴当(0)(0)(0)f f f -+==，即1a =时，()f x 在0x =处连续，所以，当1a =时，()f x 在(,)-∞+∞上连续.(2)()f x 在ππ(,),(,)22-∞+∞内显然连续.而ππ22ππ22lim ()lim (sin )1,πlim ()lim (1)1,2π()1,2x x x x f x x b b f x ax a f b ++--→→→→=+=+=+=+=+ ∴当π112b a +=+，即π2b a =时，()f x 在π2x =处连续，因而()f x 在(,)-∞+∞上连续.5. 试证：方程21xx ⋅=至少有一个小于1的正根.证：令()21xf x x =⋅-，则()f x 在[0,1]上连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>,由零点定理，(0,1)ξ∃∈使()0f ξ=即210ξξ⋅-=即方程21xx ⋅=有一个小于1的正根. 6. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：()11002(1)lim ;(2)lim ;e 3111(3)lim ;(4)lim .sin cos 1x x xxxxx x x xx x a b c x x x x →→→∞→∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(5) ()23lim cos 2.x x x →解：(1)令1(e )xxy x =+，则1ln ln(e )x y x x=+于是：()0000ln e ln 111e lim ln lim ln lim ln e lim 1e e x x x x x x x x x x x y x x x x →→→→⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭===++ ⎪⎝⎭e 0001e 1lim 1lim lim ln 1ln 11e e e e 11ln e 2x xxx x x x x x x x x x →→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⋅= 即()lim ln 2x y →= 即20lim e x y →= 即()120lim e e x x x x →=+. (2)令13xxxxa b c y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1ln ln3x x x a b c y x ++= 于是00333303300001lim(ln )lim ln 313lim ln 1333lim lim ln 1331111lim ln lim 13x x x x x x xxx x x xx x a b c x x x a b c x xxxxxxa b c x x x x x x x x x x a b c y x a b c x a b c a b c x a b c a b c x x x →→++-++-→++-→→→→++=⎡⎤⎛⎫++-=⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦++-⎛⎫++-=⋅+ ⎪⎝⎭⎛⎫---++=⋅++ ⎪+⎝⎭33331(ln ln ln )ln e ln 3x x x a b c a b c ++-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=++⋅=即0lim(ln )ln x y →= 即()lim ln x y →=故0lim x y →=即1lim 3x x xxx a b c →⎛⎫++=⎪⎝⎭(3)令11sin cos xy x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则11ln ln sin cos y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 于是11sin cos 1111sin cos 1111sin cos 111lim ln lim ln 1sin cos 11111lim ln 1sin cos 1sin cos 111sin 1cos lim ln lim 11xx x x x x x xx x y x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+-→∞→∞+-→∞→∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎛⎫=⎨⎬++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫- ⎪=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭111sin cos 1111sin cos 1x x x x x +-→∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎨⎬++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭2111sin 2ln e (10)ln e 1limlim 11x x x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭=⋅=-⋅= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 即limln 1x y →∞= 从而()lim ln 1x y →∞= 故lim e x y →∞= 即 11lim e sin cos xx x x →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(4)令211xy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则21ln ln 1y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭于是：22221222211lim(ln )lim ln lim ln 111111lim ln lim lim ln 110ln e 0x x x x x x x x x x y x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎢⎥ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫==⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅= 即 ()lim lim(ln )0,ln 0x x y y →∞→∞== lim 1x y →∞∴= 即21lim 11xx x →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.习题一1. 填空题（1） 已知当0x →时，1与2x 是等价无穷小，则常数a = -2 .（2）()ln 1lim1cos x x x x→+=- 2 .（3）3332lim 3x x x x →∞⎛⎫+=⎪-⎝⎭5e . （4）若函数22,4,()20,4x c x f x cx x ⎧-<=⎨+≥⎩在(),-∞+∞上连续，则常数c 的值为 -2 .（5）已知0x =是函数2x e ay x+=的第一类间断点，则常数a 的值为 -1 .2. 选择题（1）设函数f x ()在∞∞(-,+)内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ B ）.A.若{}n x 收敛，则(){}n f x 收敛B.若{}n x 单调，则(){}n f x 收敛 C.若(){}n f x 收敛，则{}n x 收敛 D.若(){}n f x 单调，则{}n x 收敛 （2）当0x +→B ）.A. 1-B. 1xC. 1D. 1-（3）极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦（ C ），这里,a b 为常数. A. 1 B. e C. a b e - D. b ae -（4）设函数1112,0,()22,0,x xe xf x e x ⎧+⎪≠⎪=⎨+⎪⎪=⎩则0x =是函数()f x 的（ B ）.A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.连续点 （5）设*n N ∈，则函数21()lim1nn xf x x →∞+=+（ D ）.A. 存在间断点1x =B. 存在间断点1x =-C. 存在间断点0x =D. 不存在间断点3. 求函数⎧≠⎪=⎨⎪=⎩1sin ,0,0,x y xx 的定义域与值域.4. 判断下列函数的奇偶性:22(1)()(2)e e sin .x x f x y x -=+=-+解: (1)()()f x f x -==()f x ∴=.(2)222222()e e sin()e e sin (e e sin )()x x x x x x f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=-∴函数22e e sin x x y x -=-+是奇函数.5. 设()f x 定义在(-∞,+∞)上,证明:(1) ()()f x f x +-为偶函数; (2)()()f x f x --为奇函数. 证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ∀∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ∀∈-∞+∞,有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=- 故()()f x f x --为奇函数.6. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为x , 则准备费为103x ;又每批有产品610x 件,库存数为6102x 件,库存费为6100.052x ⨯元. 设总费用为,则63100.05102y x x⨯=+.7. 邮局规定国内的平信,每20g 付邮资0.80元,不足20 g 按20 g 计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y 与重量x 的关系. 解: 当x 能被20整除,即[]2020x x =时,邮资0.802025x x y =⨯=; 当x 不能被20整除时,即[]2020x x ≠时,由题意知邮资0.80120x y ⎡⎤=⨯+⎢⎥⎣⎦.综上所述有,02000;2520200.80,02000.1202020x xx x y x x x x ⎧⎡⎤<≤=⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎡⎤⎪⨯<≤≠+⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎩且且 其中20x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,120x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦分别表示不超过20x ,120x +的最大整数. 8. 证明:11(1)arcsin h ln(h ln ,1121xx x x x x+=+=-<<-证: (1)由e e sinh 2x x y x --==得2e 2e 10x xy --=解方程2e2e 10xx y --=得e x y =因为e 0x >,所以e x y =ln(x y =+所以sinh y x =的反函数是arcsin h ln(().y x x x ==-∞<<+∞(2)由e e tanh e e x x x xy x ---==+得21e 1xy y +=-,得1112ln ,ln 121y y x x y y ++==--;又由101yy+>-得11y -<<, 所以函数tanh y x =的反函数为11arctan h ln (11).21xy x x x+==-<<-9.设数列{}n x 满足10x π<<，()1sin 1,2,n n x x n +==.证明lim nn x →∞存在，并求该极限.解：当1n =时，10x π<<，1sin n n x x += 则有1sin 1n n x x +=≤所以，数列{}n x 有界.令函数()sin f x x x =-，其中(0,)x π∈ 则 ()cos 10f x x '=-≤ ()(0)f x f ≤sin x x ≤1sin n n n x x x +=≤所以数列{}n x 单调递减根据单调收敛定理知：数列{}n x 极限存在令lim n n x A →∞=在1sin n n x x +=两边去极限得sin A A = 所以 0A = 故lim 0n n x →∞=10.设函数()f x =1()()x f x ϕ=，1()(())n n x f x ϕϕ-=，2,3,n =试计算极限()n n x .解：由题设()()21()x x f x ϕϕ====，依此类推，一般地，有()n xϕ=()1,0,,0,0,0,1,0.0,0n n n x xx x x x x x >⎧⎧≠⎪⎪====⎨⎨⎪⎪-<=⎩⎩=11. 求下列极限：221(1)lim(1)(1)(1)(1);)(1)nx n x x x x x x →∞→+++<-122222(1)lim(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)lim 111lim .11nnn x x x x x x x x x x x x x x x+→∞→∞→∞+++<-+++=--==--111211211(1)(1)(2)lim (1))(1))(1)11.234!n n x n n n n x n n n n x n x x x x x x x x n n -→--→-→--=++++=++++==⨯⨯⨯⨯12.利用等价无穷小量，计算下列极限：0arctan 3(1)lim;(2)lim 2sin ;2n n x n x xx →→∞()22102320020041arctan (3)lim ;(4)lim ;arcsin(12)sin arcsin 2tan sin cos cos (5)lim ;(6)lim ,;sin 1cos 4(8)lim 2sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αβαβ→→→→→→----- 为常数()222200;tan ln cos ln(sin e )(9)lim ,0;(10)lim .ln cos ln(e )2x x x x x x ax x xa b b bx x x→→++-≠+- 为常数,解：(1)因为当0x →时，arctan3~3,x x 所以00arctan 33limlim 3x x x xx x →→==.sin sin 22(2)lim 2sin lim lim .222n nn n n n n n nx x x x x x x x →∞→∞→∞=⋅== (3)因为当12x →时，arcsin(12)~12x x --,所以22111122224141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→---+===-+=---- (4)因为当0x →时，22arctan ~,sin~,arcsin ~,22x xx x x x 所以 2200arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x xx x x →→==⋅.(5)因为当0x →时，2331sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以 233300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x xx x x →→→→⋅--==⋅== (6)因为当0x →时，sin~,sin~2222x x x x αβαβαβαβ++--，所以220020222sin sin cos cos 22lim lim 222lim 1().2x x x x xx x x x x xxαβαβαβαβαββα→→→+---=+--⋅⋅==- (7)因为当0x →时，~)~,x x --所以00 1.x x x →→→==-=-(8)因为当0x →时，sin ~,sin 2~2,x x x x 所以2222200222200201cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )2(2)8lim lim (2sec )2sec 84.lim(2sec )x x x x x x xx x x x x x x x x x x xx x →→→→→-=++⋅==++==+ (9)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时，cos 10,cos 10ax bx -→-→故 ln[1(cos 1)]~cos 1,ln[1(cos 1)]~cos 1,ax ax bx bx +--+-- 又当x →0进，2222111cos ~,1cos ~,22ax a x bx b x --所以22220000221ln cos cos 11cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2x x x x a xax ax ax a bx bx bx b b x→→→→--====-- (10)因为当0x →时，222sin 0,0e exx x x →→ 故 222222sin sin ln ~,ln ~,11e ee e x x xx x xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以22222222200022222000020sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim lim lim ln(e )2ln(e )ln e ln 1e sin sin sin e lim lim e lim e lim e e 1 1.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x →→→→→→→⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭==+-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅= 13.设n N *∈，研究下列函数的连续性，并画出图形 ：221(1)()lim ;(2)()lim .1x x nx x nn n n n x f x f x x n n x --→∞→∞--==++(1)∵当x <0时，221()lim lim 1,1x x x xx x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++ 当x =0时，00()lim 0,n n n f x n n →∞-==+ 当x >0时，2222111()limlim lim 1111x xxx x xx n n n xn n n n f x n n n n --→∞→∞→∞---====+++1,0,()lim0,0,1,0.x xx xn x n n f x x n n x --→∞-<⎧-⎪∴===⎨+⎪>⎩由初等函数的连续性知()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续， 又由 0lim ()lim11,lim ()lim(1)1x x x x f x f x ++--→→→→===-=-知0lim ()x f x →不存在，从而()f x 在0x =处间断.综上所述，函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，在0x =处间断.图形如下：图1-4(2)当|x |=1时，221()lim0,1nnn x f x x x →∞-==+ 当|x |<1时，221()lim,1nnn x f x x x x →∞-==+ 当|x |>1时，2222111()limlim 111nnn nn n x x f x x x x x x →∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==⋅=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭即 ,1,()0,1,, 1.x x f x x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩由初等函数的连续性知()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由1111lim ()lim ()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x --++→-→-→-→-=-===-知1lim ()x f x →-不存在，从而()f x 在1x =-处不连续.又由 1111lim ()lim()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=-== 知1lim ()x f x →不存在，从而()f x 在1x =处不连续.综上所述，()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在1x =±处间断. 图形如下：图1-514. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点?21(1)cos,0;y x x == 1,1,(2) 1.3,1,x x y x x x -≤⎧==⎨->⎩解：(1)∵当0x →时，21cosx 呈振荡无极限， ∴x =0是函数的振荡间断点.(第二类间断点). (2)∵11lim lim(1)0x x y x --→→=-= ∴x =1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)15. 当x =0时，下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使其在x =0处连续:11(1)()sin sin ;(2)()(1).x f x x f x x x==+解：01(1)limsin sin0x x x→= ∴补充定义(0)0,f =可使函数在x =0处连续.10(2)lim ()lim(1)e xx x f x x →→=+=∴补充定义(0)e,f =可使函数在x =0处连续16. 试证：方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根，其中0,0a b >>. 证：令()sin f x x a x b =--，则()f x 在[0,]a b +上连续， 且 (0)0,()(1sin )0f b f a b a x =-<+=-≥, 若()0f a b +=，则a b +就是方程sin x a x b =+的根. 若()0f a b +>，则由零点定理得.(0,)a b ξ∃∈+,使()0f ξ=即sin 0a b ξξ--=即sin a b ξξ=+，即ξ是方程sin x a x b =+的根，综上所述，方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根.17. 设a 为正常数，()f x 在[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =,证明：方程()()f x f x a =+在[0，a ]内至少有一根.证：令()()()F x f x f x a =-+,由()f x 在[0,2]a 上连续知，()F x 在[0,]a 上连续，且(0)(0)(),()()(2)()(0)F f f a F a f a f a f a f =-=-=-若(0)()(2),f f a f a ==则0,x x a ==都是方程()()f x f x a =+的根，若(0)()f f a ≠，则(0)()0F F a <，由零点定理知，至少(0,)a ξ∃∈,使()0F ξ=, 即()()f f a ξξ=+，即ξ是方程()()f x f x a =+的根，综上所述，方程()()f x f x a =+在[0,]a 内至少有一根.18. 设()f x 在[0,1]上连续，且0()1f x ≤≤，证明：至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=. 证：令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续，且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤ 若(0)0f =，则0,ξ=若(1)1f =,则1ξ=,若(0)0,(1)1f f ><,则(0)(1)0F F ⋅<,由零点定理，至少存在一点(0,1)ξ∈,使()0F ξ=即()f ξξ=.综上所述，至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=. 19. 若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<<,证明:在1[,]n x x 中必有ξ，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.证: 由题设知()f x 在1[,]n x x 上连续，则()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ，于是12()()()n f x f x f x m M n+++≤≤,由介值定理知，必有1[,]n x x ξ∈，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.。
高数前四章习题标注
闭区间上连续函数的性质
有界性与最大值最小值定理
零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法)
习题
1－10
1，3★
3
第1章
总复习题
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法
总复习题一
1，2，3(2)，9(2) (4)，
9(6)★，11★，12★，13★
9(6)，11，12，13
2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．
2.5小时
第3章第2节
洛必达法则
洛必达法则及其应用
习题
3－2
1(1)(3)(5) (6) (12)，
1(15)★，2★，4★
1(15)，2，4
时间
复习章节
复习知识点
习题章节
习题
重难点题
大纲要求
2.5小时
第3章第3节
泰勒公式
泰勒中值定理
麦克劳林展开式
习题
3－3
2，3，4★，5★，6，7，10(1)，10(3)★
习题
3－6
1，4★
P165例1
4
1．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．
2．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．
2.5小时
第3章第7节
曲率
弧微分
曲率的定义，曲率的计算公式
曲率圆、曲率半径
习题
3－7
1，4，5，7★
P173例1
7
2.5小时
第3章
总复习题三
总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法
总复习题三
1，2(1)，2(2)★，4★，6，9★，10(1)(3)，11(3)，12，17★，19★
最新人教A版高数数学必修一课件：1.3 集合的基本运算第2课时并集与交集
1.3 集合的基本运算
第2课时 补集及综合运算
学习目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给 定子集的补集 2.能运用Venn图表达补集运算
素养要求 数学运算 直观想象
|自学导引|
补集的概念
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的_所__有__元__素_，那么就称这个集合为全集．
|素养达成|
1．补集定义的理解(体现了数学运算的核心素养)．
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集．比如，当研 究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想． (3)从符号角度来看，若x∈U，A U，则x∈A和x∈∁UA二者必居其一．
U (2)记法：全集通常记作________．
2．补集
对于一个集合 A，由全集 U 中_不__属__于__集__合__A___的所有元素组成 文字语言 的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，记作___∁_U_A___
符号语言
∁UA＝_{_x_|x_∈__U__且__x_∉_A_}__
图形语言
A．{1,4}
B．{1}
C．{4}
D．∅
【答案】A
【解析】∁UA＝{0,1,4}，B∩(∁UA)＝{1,4}．故选A．
2．(题型2)已知集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B＝
A．{－2，－1}
B．{－2}
()
C．{－1,0,1}
D．{0,1}
【答案】A
5．(题型2)已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁UA，∁UB， (∁UA)∩(∁UB)．
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同济大学《高等数学》(第四版)第二章习题课
1 1 1 1 1 1 , ( ) 4 2 4 2 2x x 2(1 u ) 4 u 1 u 1 1 u
2
x , u ( 1 x ) x 2 1 x 1 yx . 3 2 (2 x x ) 1 x
x 2t t dy 例3 设 ,求 2 dx y 5t 4t t
f ( 2) f ( 2),
2
f ( x )在x 2处不可导.
3 x 4 x , x 2, 或x 0 f ( x ) 0, x 0, 3 x 4 x ,0 x 2,
2
例6
设y x(sin x )cos x , 求 y.
一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为 函数f ( x )的n阶导数, 记作
d n y d n f ( x) f ( n ) ( x ), y ( n ) , n 或 . n dx dx
5、微分的定义
定义 设函数y f ( x )在某区间内有定义, x 0 及x 0 x
d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
d (a x ) a x ln adx 1 dx x ln a 1 d (arcsin x ) dx 2 1 x 1 d (arctan x ) 2 dx 1 x d (log a x )
lim( x 1)( x 2)( x 100)
x 0
100!
1 1 1 x 1 2 例2 设 y arctan 1 x ln , 2 2 4 1 x 1 求 y .
2
解 设 u 1 x2 ,
y u
高等数学教学中引入典型应用性例题的尝试与探讨
不拖堂 ， 不 影 响其 他 老师 的教 学 。 促成 学 生 全面 发展 ； 打造
高素质高水平人才 。 ４ ． 人要做个睿智之人 。２ ０ １ １ 年我在省级刊物《 实践教 学与装备》 发表了论文《 珍惜学生思维 的火花》 ， 摒弃 了“ 满 堂灌” 、 “ 填鸭式 ” 教学法 ， 改革创新求活力 ， 曾发表论文《 学 生“ 画龙” 我“ 点睛” 》 ， 旨在论述让学生参与备课讲课 ， 激发 学生浓厚的学习兴趣 ， 激发学生强烈 的求知欲。在听学生 讲课 的过程 中自己也受益匪浅 ， 在赞赏 、 鼓励学 生的基础 上， 纠正其讲课 中的偏差之处 ， 点出本课 的重点难点 ， 起到 画龙点睛的效果 。我力求注重学生的个性发展 ， 在教学 中 用游戏 、 图画 、 歌 曲、 诗词等有效手段 ， 让课堂气氛更活跃 ， 使学生学得更愉快。 理解 、 信任学生， 培养其 良好 的行为习
杂志 ， 随时了解教育改革的新动 向， 捕捉教学发展 的新信 息， 掌握教学课改的新方法 。（ ２ ） 教材要求 学生做的 ， 如背 课文、 写生字等我就提前去做 ， 一探虚实和难易 ， 估计学生 在学习时可能出现 的各种 问题 ，想出解决的良方妙策 ， 制 定出可行的教法。 （ ３ ） 通读 教参 ， 画出重要部分 ， 反复读 ， 理 解、 吃透教参 ， 取其精华 ， 充分发挥其作用。 （ ４ ） 把 自己当成 学生 ， 看看学到什么程度 ， 最为恰 当。 要准确合理的估计学 生， 不可过高或过低 ， 便于 因材施教。（ ５ ） 认真写出切实可 行的教案 ， 以饱满 的热情去给学生讲课 。 （ ６ ） 组织学生开展 学习竞赛 ， 及时检查学生学习效果 ， 严格把关 ， 不让一个学 生掉 队。 （ ７ ） 不断进行教学反思 ， 勤于总结 ， 开拓创新 ， 形成 套具有独特风格的 、 高效的教学方法。（ ８ ） 不体罚学生 ，
2025届漳州市重点中学高三下学期联合考试数学试题含解析
2025届漳州市重点中学高三下学期联合考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]2．函数cos ()22x x x x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A ． B ． C ．D ．3．在正方体1111ABCD A BC D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//AQ 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．234．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cm +D ．()2454cm +6．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．24π+B ．24π-C ．242π-D ．243π-8．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．39．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23B ．25C ．28D ．2912．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A ．20x = B ．20x y ±= C 20x y ±=D ．20x y ±=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
同济大学《高等数学》(第四版)第一章习题课知识讲解
函数的分类
有 有理整函数(多项式函数) 理
代 数
函 数 有理分函数(分式函数)初 等来自函 数函无理函数
函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若 对 于 每 一 个 x D ,仅 有 一 个 值 yf(x )与 之 对 应 ,则 称 f(x )为 单 值 函 数 ,否 则 就 是 多 值 函 数 .
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
1、函数的定义
定义设 x和y是两个变D量是，一个给定的 集．如果对于x每 D 个，数变量 y按照一定法 则总有确定的数对值应和，它则y是 称x的函数， 记作y f(x)．
数集 D叫做这个函数 ， x的 叫定 做义 自域 变量 y叫做因变量．
9、双曲函数与反双曲函数
双曲 si正 n xh ex 弦 ex 2
双曲 co 余 xse h x 弦 ex 2
双曲 tax n 正 sh ix n 切 e x h e x co xs e xh e x
双曲函数常用公式
sx i y n ) sh x i c n y ( o c h x s o sh y i ; s n h cx o y ) s cx h o cy o ( s sh x s i sn h y i ;n h co 2x s s hi2 n x h 1 ;si2 n x 2 h six n co h x ;s co 2 x s ch 2 o x s si 2 h x n . h 反双曲 ya正 rsi弦 nx;h
课堂点睛答案
课堂点睛答案在课堂上，老师讲解的知识点内容繁杂，很多同学难以掌握重点。
而有时，这些重点知识点，就是我们学习的核心。
为了在学习中更好地理解和掌握重点，学生们经常会将问题记录下来，并在课后查询答案。
然而，在学习的过程中，仅仅有答案是不够的。
学生们需要知道的是：答案背后的原理。
从而更好地理解和应用这些知识点。
因此，在这篇文章中，我将会为大家讲述一些课堂点睛答案背后的原理，并且给出一些有用的学习方法。
转化表达式在数学学科中，有一部分知识尤其需要我们理解和掌握，那就是“转化表达式”。
因为，背后的原理是数学中的真理。
分数的四则运算是这个方面中重点的一个，掌握这个还是比较重要的。
比如说，在除法的运算中，我们会遇到两种不同的情况。
如果这个除数是整数，那就可以采用长除法计算出商和余数。
如果除数是分数，我们就不能直接使用长除法了。
但是，仍然可以使用乘法和分数运算法则来解出答案。
这样，学生们就需要将除法运算转化为乘法和分数运算，然后才能解出答案。
掌握转化表达式的关键是：理解并运用数学公式，在实践中掌握技巧。
其中，数学公式既可以来自课本，也可以来自老师给出的例子或作业。
另外，理解公式的同时，也要善于联想实际生活中的问题，将其转化为数学问题，以便更好地制定解题策略。
证明定理在学习中，老师经常会讲到各种定理，是为了让学生更好地掌握知识。
当然，理解定理的原理也是非常关键的。
那么，在学习定理时，我们应该注意哪些问题呢？首先，我们应该学会如何证明定理。
证明定理通常需要依据一些前提条件，并且需要运用一些数学公式和推理方法。
初学者可能会觉得证明定理很难，并且不知道如何入手。
但是，通过课堂学习以及自主思考，我们可以掌握证明定理的方法，从而更好地掌握课程核心。
其次，在掌握定理的证明方法后，我们还需要善于展开思虑，运用定理来解决实际问题。
例如，斜率公式常被运用于各种三角形的计算中。
而矩形面积三定理、勾股定理等，也是在实际问题中得到广泛应用的。
同济大学(高等数学)-第二章-导数与微分
第二篇 一元函数微积分第二章 导数与微分微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念．导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时,函数大体上变化了多少,即函数的局部改变量的估值．本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方法和简单应用．第1节 导数的概念1.1 导数概念的引入1。
1。
1 质点做变速直线运动的瞬时速度问题现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程s 与运动时间t 的函数关系式记为()s s t =，求在0t 时刻时质点的瞬时速度0()v t 为多少？整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的．设质点从时刻0t 改变到时刻0t t +∆，在时间增量t ∆内，质点经过的路程为00()()s s t t s t ∆=+∆-，在t ∆时间内的平均速度为00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆， 当时间增量t ∆越小时，平均速度v 越接近于时刻0t 的瞬时速度0()v t ,于是当0t ∆→时，v 的极限就是质点在时刻0t 时的瞬时速度0()v t ，即00000()()()lim limlim t t t s t t s t sv t v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆． 1.1.2 平面曲线的切线斜率问题已知曲线:()C y f x =，求曲线C 上点000(,)M x y 处的切线斜率．欲求曲线C 上点000(,)M x y 的切线斜率，由切线为割线的极限位置,容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限．图2—1如图2—1所示，取曲线C 上另外一点00(,)M x x y y +∆+∆，则割线0M M 的斜率为000()()tan M M f x x f x y k x x+∆-∆===∆∆ϕ． 当点M 沿曲线C 趋于0M 时,即当0x ∆→时，0M M 的极限位置就是曲线C 在点0M 的切线0M T ，此时割线的倾斜角ϕ趋于切线的倾斜角α，故切线的斜率为00000()()lim tan limlimx x x f x x f x yk x x∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ϕ． 前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题,虽然实际意义不同，但如果舍弃其实际背景,从数学角度看,却有着相同的数学形式,即当自变量的改变量趋于零时，求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限．在自然科学、社会科学和经济领域中，许多问题都可以转化为上述极限形式进行研究，如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边际成本和边际利润等．因此，我们舍弃这些问题的实际意义，抽象出它们数量关系上的共同本质—-导数．1。
同济大学《高等数学》(第四版)3-4节 函数单调性的判定法
(2 在[a, b] 上单调增加； ) 如果在 ( a, b)内 f ′( x) < 0，
那末函数 y = f ( x) 在 [a, b] 上单调减少.
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证
∀ x1 , x2 ∈ ( a , b ), 且 x1 < x2 , 应用拉氏定理 得 应用拉氏定理,得 ( x1 < ξ < x2 )
∴ f ( x2 ) < f ( x1 .
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例1 讨论函数 y = e x − x − 1的单调性 . 的单调性 解 ∵ y′ = e x − 1. 又 ∵ D : ( −∞ ,+∞ ).
在( −∞ ,0)内, y′ < 0,
上单调增加； 当0 < x < +∞ 时， f ′( x ) > 0, ∴ 在[0,+∞ )上单调增加；
−∞ 单调区间为 (−∞ ,0]， [0,+∞ ).
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注意:区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性 注意 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性 区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性.
y = x 3 , y′ x = 0 = 0, 但在( −∞ ,+∞ )上单调增加. 例如, 例如
例4 当x > 0时, 试证x > ln(1 + x )成立.
x . 证 设f ( x ) = x − ln(1 + x ), 则 f ′( x ) = 1+ x
∵ f ( x )在[0,+∞ )上连续 , 且(0,+∞ )可导， f ′( x ) > 0, 可导，
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思考题
若 f ′( 0) > 0 ，是否能断定 f ( x ) 在原点的 充分小的邻域内单调递增？ 充分小的邻域内单调递增？
自考《高等数学(工专)》课后习题答案详解
自考《高等数学（工专）》课后习题答案详解《高等数学(工专)》真题：积分的性质单选题正确答案：A答案解析：本题考查积分的性质。
由于在[0，1]上，根号x大于x，所以I1>I2。
《高等数学(工专)》真题：微分概念单选题《高等数学(工专)》真题：驻点的概念单选题1.函数f(x，y)=x2+xy+y2+x-y+1的驻点为()。
A.(1，-1)B.(-1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)正确答案：C答案解析：本题考查驻点的概念。
对x的偏导数为2x+y+1，对y的偏导数为x+2y-1，由于求驻点，也就是偏导数为0的点，所以2x+y+1=0，x+2y-1=0，得到x=-1，y=1。
《高等数学(工专)》真题：矩阵逆的求法单选题1.如果A2=10E，则(A+3E)-1=()。
A.A-2EB.A+2EC.A+3ED.A-3E正确答案：D答案解析：本题考查矩阵逆的求法。
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《高等数学(工专)》真题：矩阵的计算性质单选题1.设A是k×l阶矩阵，B是m×n阶矩阵，如果A·CT·B有意义，则C是()矩阵。
A.k×nB.k×mC.l×mD.m×l正确答案：D答案解析：本题考查矩阵的计算性质。
首先我们判断CT是l×m阶矩阵，所以C是m×l阶矩阵。
《高等数学(工专)》真题：连续的定义单选题1.试确定k的值，使f(x)在x=1处连续，其中()A.k=-2B.k=-1C.k=0D.k=2正确答案：D答案解析：本题考查连续的定义。
《高等数学(工专)》真题：矩阵的性质单选题1.关于矩阵的乘法的说法，正确的是()。