长沙理工大学大学物理计算题题库

1.题目：电荷q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点)．
答案：解：设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示．
细杆的电荷线密度λ＝q / (2l)，在x处取电荷元d q = λd x＝q d x / (2l)，它在P点产生的电势为
4分
整个杆上电荷在P点产生的电势
4分2 题目：圆形平行板电容器，从q= 0开始充电，试画出充电过程中，极板间某点P处电场强度的方向和磁场强度的方向．
答案：解：
见图．，2分；，2分
3题目：氢原子可以看成电子在平面内绕核作匀速圆周运动的带电系统．已知电子电荷为e，质量为m e，圆周运动的速率为v，求圆心处的磁感强度的值B．
答案：解：由
有2分
2分
2分
2分
4
5 题目：一平面线圈由半径为0.2 m的1/4圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流2 A，把它放在磁感强度为0.5 T的均匀磁场中，求：
(1) 线圈平面与磁场垂直时(如图)，圆弧段所受的磁力．
(2) 线圈平面与磁场成60°角时，线圈所受的磁力矩．
答案：解：(1) 圆弧所受的磁力：在均匀磁场中通电圆弧所受的磁力与通有相同电流的直线所受的磁力相等，故有
F AC = N 3分
方向：与AC直线垂直，与OC夹角45°，如图． 1分
(2) 磁力矩：线圈的磁矩为
本小问中设线圈平面与成60°角，则与成30°角，有力矩
M =1.57×10-2 N·m 3分
方向：力矩将驱使线圈法线转向与平行. 1分6 题目：两根导线沿半径方向接到一半径R =9.00 cm的导电圆环上．如图．圆弧ADB是铝导线，铝线电阻率为ρ1 =2.50×10-8Ω·m，圆弧ACB是铜导线，铜线电阻率为ρ2 =1.60×10-8Ω·m．两种导线截面积相同，圆弧ACB的弧长是圆周长的1/π．直导线在很远处与电源相联，弧ACB上的电流I2=2.00Ａ，求圆心O点处磁感强度B的大小．(真空磁导率μ0 =4π×10-7 T·m/A)
答案：解：设弧ADB = L1，弧ACB = L2，两段弧上电流在圆心处产生的磁感强度分别为
3分、方向相反．
圆心处总磁感强度值为
2分
两段导线的电阻分别为1分
因并联2分又
∴=1.60×10-8 T 2分7题目：如图所示，一长为10 cm的均匀带正电细杆，其电荷为1.5×10-8C，试
求在杆的延长线上距杆的端点 5 cm处的P点的电场强度．(＝9×109 N·m2/C2 )
答案：解：设P点在杆的右边，选取杆的左端为坐标原点O，x轴沿杆的方向，如图，
并设杆的长度为L．P点离杆的端点距离为d．
在x处取一电荷元d q=(q/L)d x，它在P点产生场强
3分P点处的总场强为
3分代入题目所给数据，得
E＝1.8×104 N/m 1分
的方向沿x轴正向． 1分
11题目：半径分别为 1.0 cm与 2.0 cm的两个球形导体，各带电荷 1.0×10-8C，两球相距很远．若用细导线将两球相连接．求(1) 每个球所带电荷；(2) 每球的电势．()
答案：解：两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响．球上电荷均匀分布．设两球半径分别为r1和r2，导线连接后的电荷分别为q1和q2，而q1 + q1 = 2q，则两球电势分别是
，2分
两球相连后电势相等，，则有
2分
由此得到 C 1分
C 1分
两球电势V 2分
1
13题目：
如图所示，两个点电荷＋q和－3q，相距为d. 试求：
(1) 在它们的连线上电场强度的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？
(2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U=0的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？
答案：解：设点电荷q所在处为坐标原点O，x轴沿两点电荷的连线．
(1) 设的点的坐标为，则
2分可得
解出距q左边 2分另有一解不符合题意，舍去．
(2) 设坐标x处U＝0，则
2分
得d-4x = 0, x = d/4 距q右边 2分
14题目：
一段半径为a的细圆弧，对圆心的张角为θ0，其上均匀分布有正电荷q，如图所示．试以a，q，θ0表示出圆心O处的电场强度．
答案：解：取坐标xOy如图，由对称性可知： 2分
2分
4分15题目：有一电荷面密度为σ的“无限大”均匀带电平面．若以该平面处为电势零点，试求带电平面周围空间的电势分布．
答案：解：选坐标原点在带电平面所在处，x轴垂直于平面．由高斯定理可得场强分布为E=±σ / (2ε0) 2分
(式中“＋”对x＞0区域，“－”对x＜0区域) . 平面外任意点x处电势：
在x≤0区域
3分
在x≥0区域
3分
16题目：如图所示，载有电流I1和I2的长直导线ab和cd相互平行，相距为3r，今有载有电流I3的导线MN = r，水平放置，且其两端MN分别与I1、I2的距离都是r，ab、cd和MN共面，求导线MN所受的磁力大小和方向．
答案：解：载流导线MN上任一点处的磁感强度大小为：
3分MN上电流元I
d x所受磁力：2分
3
3分若，则的方向向下，，则的方向向上 2分
17题目：在真空中一长为l＝10 cm的细杆上均匀分布着电荷，其电荷线密度λ＝ 1.0×10-5C/m．在杆的延长线上，距杆的一端距离d＝10 cm的一点上，有一点电荷q0＝ 2.0×10-5C，如图所示．试求该点电荷所受的电场力．(真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C2·N-1·m-2 )
答案：解：
选杆的左端为坐标原点，x轴沿杆的方向．在x处取一电荷元λd x，它在点电荷所在处产生场强为：
3分整个杆上电荷在该点的场强为：
2分点电荷q0所受的电场力为：
＝0.90 N 沿x轴负向 3分18题目：AA＇和CC＇为两个正交地放置的圆形线圈，其圆心相重合．AA＇线圈半径为20.0 cm，共10匝，通有电流10.0 A；而CC＇线圈的半径为10.0 cm，共20匝，通有电流 5.0 A．求两线圈公共中心O点的磁感强度的大小和方向．(μ0 =4π×10-7 N·A-2)
答案：解：
AA＇线圈在O点所产生的磁感强度
(方向垂直AA＇平面) 3分
CC＇线圈在O点所产生的磁感强度
(方向垂直CC＇平面) 3分
O点的合磁感强度T 2分B的方向在和AA＇、CC＇都垂直的平面内，和CC＇平面的夹角
2分
19题目：两个点电荷分别为q1＝＋2×10-7 C和q2＝－2×10-7 C，相距0.3 m．求距q1为0.4 m、距q2为0.5 m处P点的电场强度． (=9.00×109 Nm2 /C2) 答案：解：如图所示，
P点场强为：
建坐标系Oxy，则在x、y轴方向的分量为
2分
2分
可得E Px= 0.432×104 N·C-1，E Py= 0.549×104 N·C-1
合场强大小= 0.699×104 N·C-1 2分
方向：与x轴正向夹角= 51.8° 2分
22题目：一边长a =10 cm的正方形铜线圈，放在均匀外磁场中，竖直向上，且B = 9.40×10-3 T，线圈中电流为I =10 A．
(1) 今使线圈平面保持竖直，问线圈所受的磁力矩为多少？
(2) 假若线圈能以某一条水平边为固定轴自由摆动，问线圈平衡时，线圈平面与竖直面夹角为多少？(已知铜线横截面积S= 2.00 mm2，铜的密度ρ= 8.90 g/cm3)
答案：解：
(1) ，方向垂直于线圈平面．
= 9.40×10-4 N·m 2分
(2) 设线圈绕AD边转动，并且线圈稳定时，线圈平面与竖直平面夹角为θ ，则磁场对线圈的力矩为
2分
重力矩：2分
2分于是θ = 15°
24题目：电荷以相同的面密度σ 分布在半径为r1＝10 cm和r2＝20 cm的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U0＝300 V．
(1) 求电荷面密度σ．
(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？
［ε0＝8.85×10-12 C2 /(N·m2)］
答案：解：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即
3分
＝8.85×10-9 C / m2 2分(2) 设外球面上放电后电荷面密度为，则应有
= 0
即2分外球面上应变成带负电，共应放掉电荷
＝6.67×10-9 C 3分
26题目：一半径R= 1.0 cm的无限长1/4圆柱形金属薄片，沿轴向通有电流I= 10.0 A的电流，设电流在金属片上均匀分布，试求圆柱轴线上任意一点P的磁感强度．
答案：解：取d l段，其中电流为
2分
在P点2分
选坐标如图
,
2分
2分
1.8×10-4 T
方向，α =225°，α为与x轴正向的夹角． 2分28题目：图所示为两条穿过y轴且垂直于x－y平面的平行长直导线的正视图，两条导线皆通有电流I，但方向相反，它们到x轴的距离皆为a．
(1) 推导出x轴上P点处的磁感强度的表达式.
(2) 求P点在x轴上何处时，该点的B取得最大值．
答案：解：(1) 利用安培环路定理可求得1导线在P点产生的磁感强度的大小为：
2分
2导线在P点产生的磁感强度的大小为：
2分
、的方向如图所示．
P点总场
， 3分
(2) 当，时，B(x)最大．
由此可得：x = 0处，B有最大值． 3分
29题目：一根同轴线由半径为R1的长导线和套在它外面的内半径为R2、外半径为R3的同轴导体圆筒组成．中间充满磁导率为 的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图．传导电流I沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的．求同轴线内外的磁感强度大小B的分布．
答案：解：由安培环路定理：
0< r <R1区域：
，3分
R
< r <R2区域：
1
，3分
R
< r <R3区域：
2
3分
r >R
区域：H = 0，B = 0 3分
3
30题目：
图中所示，A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，A面上电荷面密度σA＝－17.7×10-8 C·m-2，B面的电荷面密度σB＝35.4 ×10-8 C·m-2．试计算两平面之间和两平面外的电场强度．(真空介电常量ε0＝8.85×10-12C2·N-1·m-2)
答案：解：两带电平面各自产生的场强分别为：
方向如图示 1分
方向如图示 1分
由叠加原理两面间电场强度为
=3×104 N/C 方向沿x轴负方向 2分两面外左侧
=1×104 N/C 方向沿x轴负方向 2分
两面外右侧= 1×104 N/C 方向沿x轴正方向 2分
31题目：电荷线密度为 的“无限长”均匀带电细线，弯成图示形状．若半圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强．
答案：解:以O点作坐标原点，建立坐标如图所示．
半无限长直线A∞在O点产生的场强，
2分
半无限长直线B∞在O点产生的场强，
2分
半圆弧线段在O点产生的场强，
2分
由场强叠加原理，O点合场强为
2分
32题目：在真空中有两根相互平行的无限长直导线L1和L2，相距10 cm，通有方向相反的电流，I1=20 A，I2=10 A，试求与两根导线在同一平面内且在导线L2两侧并与导线L2的距离均为 5.0 cm的两点的磁感强度的大小．(μ0 =4π×10-7 H·m-1)
答案：解：(1) L1中电流在两导线间的a点所产生的磁感强度
T 2分L2中电流在a点所产生的磁感强度T 1分
由于、的方向相同，所以a点的合磁感强度的大小
T 2分(2) L中电流在两导线外侧b点所产生的磁感强度
T 2分
L2中电流在b点所产生的磁感强度T 1分由于和和的方向相反，所以b点的合磁感强度的大小
T 2分33题目：一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0)，半径为R，通有均匀分布的电流I．今取一矩形平面S (长为1 m，宽为2 R)，位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量．
答案：解：由安培环路定律，圆柱体内部与中心轴线相距为r处的磁感强度的大小为
3分
因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通Φ1为
3分
圆形导体外与中心轴线相距r处的磁感强度大小为2分
因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通Φ2为
3分穿过整个矩形平面的磁通量1分
35题目：如图所示，一根长为L的金属细杆ab绕竖直轴O1O2以角速度ω在水平面内旋转．O1O2在离细杆a端L/5处．若已知地磁场在竖直方向的分量为．求ab两端间的电势差．
答案：解：间的动生电动势：
4分b点电势高于O点．
间的动生电动势：
4分a点电势高于O点．
∴2分36题目：已知均匀磁场，其磁感强度B = 2.0 Wb·m-2，方向沿x轴正向，如图所示．试求：
(1) 通过图中abOc面的磁通量；
(2) 通过图中bedO面的磁通量；
(3) 通过图中acde面的磁通量．
答案：解：
匀强磁场对平面的磁通量为：
设各面向外的法线方向为正
(1) Wb 2分
(2) 1分
(3) Wb 2分
39题目：用两根彼此平行的半无限长直导线L1、L2把半径为R的均匀导体圆环联到电源上，如图所示．已知直导线中的电流为I．求圆环中心O点的磁感强度．
答案：解：设L1中电流在O点产生的磁感强度为B1，由于L1与O点在一条直线上，由毕奥－萨伐定律可求出 2分
设L2中电流在O点产生的磁感强度为B2，L2为半无限长直电流，它在O处产生的场是无限长直电流的一半，由安培环路定律和叠加原理有
方向垂直图面向外． 3分以下求圆环中电流在O点产生的磁感强度．电流由L1经a点分两路流入圆环，一路由a点经1/4圆弧流至b，称此回路为L3．另一路由a点经3/4圆弧流至b，称此段回路为L4．由于圆环为均匀导体，若L2的电路电阻为R，则L4的电阻必为3R．因此电流在L3、L4上的分配情况为L3中电流为3 I/4，L4中电流为I/ 4．L3、L4中电流在O点产生的磁感强度的大小相等，方向相反，总值为0．即
故O点的磁感强度：
方向垂直图面向外． 3分40题目：一无限长竖直导线上通有稳定电流I，电流方向向上．导线旁有一与导线共面、长度为L的金属棒，绕其一端O在该平面内顺时针匀速转动，如图所示．转动角速度为ω，O点到导线的垂直距离为r0 (r0 >L)．试求金属棒转到与水平面成θ角时，棒内感应电动势的大小和方向．
答案：解：
棒上线元d l中的动生电动势为：
3分金属棒中总的感生电动势为
1分
4分
方向由O指向另一端． 2分
41题目：在两根平行放置相距2a的无限长直导线之间，有一与其共面的矩形线圈，线圈边长分别为l和2b，且l边与长直导线平行．两根长直导线中通有等值同向稳恒电流I，线圈以恒定速度垂直直导线向右运动(如图所示) ．求：线圈运动到两导线的中心位置(即线圈的中心线与两根导线距离均为a )时，线圈中的感应电动势．
答案：解：取顺时针方向回路正向．
2分
2分
2分
∴2分43题目：载有电流I的平面闭合回路由半径为R1及R2 (R1 > R2 )的两个同心半圆弧和两个直导线段组成．已知两个直导线段在半圆弧中心O点产生的磁感强度均为零．若闭合回路在O点产生的总的磁感强度B大于半径为R2的半圆弧在O 点产生的磁感强度B2，
(1) 画出载流回路的形状；
(2) 求出O点的总磁感强度B．
答案：解：(1) 可知． 2分
故闭合回路形状如图所示． 3分
(2) ， 2分
1分
题目：实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度垂直于地面向下，大小约为100 N/C；在离地面1.5 km高的地方，也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C．
(1) 假设地面上各处都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；
(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在
地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量＝8.85×10-12 C2·N-1·m-2)
答案：解：(1) 设电荷的平均体密度为ρ，取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面，底面∆S平行地面)上下底面处的场强分别为E1和E2，则通过高斯面的电场强度通量为：·＝E2∆S-E1∆S＝(E2-E1) ∆S 2分
高斯面S包围的电荷∑q i＝h∆Sρ 1分
由高斯定理(E2－E1) ∆S＝h∆Sρ /ε0 1分
∴＝4.43×10-13 C/m3 2分
(2) 设地面面电荷密度为σ．由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2) 1分
由高斯定理·=
-E∆S= 1分
∴σ=－ε0 E＝－8.9×10-10 C/m3 2分45题目：如图所示，真空中一矩形线圈宽和长分别为2a和b，通有电流I2，可绕其中心对称轴OO＇转动．与轴平行且相距为d+a处有一固定不动的长直电流I1，开始时矩形线圈与长直电流在同一平面内，求：
(1) 在图示位置时，I1产生的磁场通过线圈平面的磁通量；
(2) 线圈与直线电流间的互感系数．
(3) 保持I1、I2不变，使线圈绕轴OO＇转过90°外力要做多少功?
答案：解：(1) 按题意是指图示位置时的Φ．
4分
(2) 2分
(3) 2分
47题目：两相互平行无限长的直导线载有大小相等方向相反的电流，长度为b 的金属杆CD与两导线共面且垂直，相对位置如图．CD杆以速度平行直线电流运动，求CD杆中的感应电动势，并判断C、D两端哪端电势较高？
答案：解：建立坐标(如图)
则：
，2分
，方向⊙ 1分
2分
2分
感应电动势方向为C→D，D端电势较高． 1分
48题目：两根平行无限长直导线相距为d，载有大小相等方向相反的电流I，电流变化率d I /d t = >0．一个边长为d的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距d，如图所示．求线圈中的感应电动势E，并说明线圈中的感应电流是顺时针还是逆时针方向．
答案：解：(1) 载流为I的无限长直导线在与其相距为r处产生的磁感强度为：
2分
以顺时针绕向为线圈回路的正方向，与线圈相距较远的导线在线圈中产生的磁通量为：
与线圈相距较近的导线对线圈的磁通量为：
总磁通量4分
感应电动势为：2分
由E >0和回路正方向为顺时针，所以E的绕向为顺时针方向，线圈中的感应电流
亦是顺时针方向． 2分49题目：如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无限远处为电势零点，试求：
(1) 球壳内外表面上的电荷．
(2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势．
(3) 球心O点处的总电势．
答案：解：
(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上感生电荷-q，外表面上电荷q+Q 2分
(2) 球壳内表面上任一电荷元离O点的距离都是a，由这些电荷在O点产生的电势为
2分(3) 分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点产生的电势代数和为
2分
2分
50题目：假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为R的导体球带电．(1) 当球上已带有电荷q时，再将一个电荷元d q从无限远处移到球上的过程中，外力作多少功？
(2) 使球上电荷从零开始增加到Q的过程中，外力共作多少功？
答案：解：(1) 令无限远处电势为零，则带电荷为q的导体球，其电势为
将d q从无限远处搬到球上过程中，外力作的功等于该电荷元在球上所具有的电
势能3分
(2) 带电球体的电荷从零增加到Q的过程中，外力作功为
2分51题目：无限长直导线折成V形，顶角为 ，置于xy平面内，一个角边与x轴重合，如图．当导线中有电流I时，求y轴上一点P(0，a)处的磁感强度大小．
答案：解：如图所示，将V形导线的两根半无限长导线分别标为1和2．
则导线1中电流在P点的磁感强度为
方向垂直纸面向内． 3分导线2中电流在P点的磁感强度为
方向垂直纸面向外． 3分
P点的总磁感强度为
的方向垂直纸面向外． 2分
52题目：假定地球的磁场是由地球中心的载流小环产生的，已知地极附近磁感强度B为 6.27×10-5 T，地球半径为R =6.37×106 m．μ0 =4π×10-7 H/m．试用毕奥－萨伐尔定律求该电流环的磁矩大小．
答案：解：毕奥─萨伐尔定律：2分
如图示，， (a为电流环的半径)．
∵r >> a∴
3分小电流环的磁矩
∴ 2分在极地附近z≈R，并可以认为磁感强度的轴向分量B z就是极地的磁感强度B，因
而有：≈8.10×1022 A·m2 3分54题目：如图所示，在x－y平面内有与y轴平行、位于x＝a / 2和x＝-a / 2处的两条“无限长”平行的均匀带电细线，电荷线密度分别为＋λ和－λ．求z 轴上任一点的电场强度．
答案：解：过z轴上任一点(0 , 0 , z)分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯
面，如图所示． 2分
按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强大小为
场强方向如图所示． 3分按场强叠加原理，该处合场强的大小为
2分
方向如图所示． 3分
或用矢量表示。