隐函数存在性的探讨

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关于隐函数存在定理证明教学的新探讨

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周刊 2011年第79期 ○ 数学教学与研究着一函数 y=y （x ），使得： 1 ）y0=y （x0 ）； 2 ）y （x ）在［x0-η ，x0+η ］上连续；初学者有所助益。 2. 隐函数存在定理的证明分析数学上任何命题，定理的讨论，都离不开对定理精细、透彻的分析。我们习惯用的分析方法是由结论找需知，具体说来，就是从 “ 未知 ” 出发，通过层层剖析，看 “ 需知 ” 什么，再根据 “ 未知 ” 和 “ 已知 ” 条件或隐含的 “ 已知 ” 条件之间的联系、转化，逐步 “ 运用已知 ” 想到 “ 可知 ”。这种方法对于此定理的分析也是适宜的。分析：（1 ）因为我们限定在（x 0 ，y 0 ）某领域内找方程 F （x ，y ） =0 的解，可利用泰勒公式用线性函数来逼近函数 F （x ，y ）： F （x ，y ）=F （x0 ，y0 ）+F′x （x0 ，y0 ）（x-x0 ）+F′y （x0 ，y0 ）（y-y0 ）+0 （ρ ），所以在（x0 ，y0 ）附近，函数 F （x ， y ）可近似看成线性函数（忽略 0 （ρ ）），这样求方程 F （x ，y ） =0 的其中 ρ=

隐函数存在唯一性定理

定义：隐函数的定义（一个多元函数F（x，y）构成的方程F （x，y）=0，隐含了一个隐函数y=f（x））

显函数的表达式是包含自变量的某个算式，而隐函数中自变量与因变量之间的对应法则则是由一个方程式来确定的。

定理1：隐函数的存在性条件（既然隐函数要表现成等于0的方程形式，那么其零点对于隐函数的存在性非常重要）隐函数存在唯一性定理：若满足下列条件：

（1）函数F在P（x0，y0，z0）为内点的某一区域D上连续；

（2）F（x0，y0，z0）=0（通常称为初始条件）；

（3）在D内存在连续的偏导数Fx，Fy，Fz；

（4）Fz（x0，y0，z0）！=0，

则在点P的某领域U（P）内，方程F（x，y，z）=0唯一确定了一个定义在Q（x，y）的某领域U（P）内的二元连续函数（隐函数）z=f（x，y）。

还可以推广到n元上去。

数学分析18.1隐函数定理及其应用之隐函数

第十七章隐函数定理及其定理

1隐函数

一、隐函数的概念

设E ⊂R 2,函数F:E →R 2.如果存在集合I,J ⊂E,对任何x ∈I, 有惟一确定的y ∈J, 使得(x,y)∈E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称 F(x,y)=0确定了一个定义在I 上, 值域含于J 的隐函数. 若把它记为 y=f(x), x ∈I, y ∈J, 则有F(x,f(x))≡0, x ∈I.

注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.

二、隐函数存在性条件的分析

隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线， ∴要使隐函数存在，至少要存在点P 0(x 0,y 0), 使F(x 0,y 0)=0, y 0=f(x 0).

要使隐函数y=f(x)在点P 0连续，需F 在点P 0可微，且(F x (P 0),F y (P 0))≠(0,0), 即曲面z=F(x,y)在点P 0存在切平面.

要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P 0可微, 则在F 可微的假设下，通过F(x,y)=0在P 0处对x 求导，由链式法则得：F x (P 0)+F y (P 0)0

x x dx

dy ==0.

当F y (P 0)≠0时，可得0

x x dx

dy ==-

)

(P F )

(P F 0y 0x , 同理，当 F x (P 0)≠0时，可得

y y dy

==-

)

(P F )(P F 0x 0y .

三、隐函数定理

定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：

(1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D⊂R2上连续；

隐函数存在性的探讨

摘要隐函数存在唯一性定理是一个充分不必要条件。本文把定理中第四个条件要求的改为时,对隐函数存在性作探讨。本文引入了拐点,解决了本文提出的问题。

关键词隐函数存在性

一、引言

应用课本学习过的知识,判断一个较为复杂方程是否存在隐函数时,主要判断其是否满足隐函数存在唯一性定理的条件。通过实际例子知道,这个定理只是一个充分不必要条件。那么在什么情况下方程存在隐函数呢?本文专门研究了这个问题,并取得了一些小小的进展。

二、拐点法证明隐函数的存在性

(一)分析在定理中的作用。

回顾定理的证明过程,第(4)个条件中的,主要是为了说明对于每个固定的,作为的一元函数,必定在上严格单调。而当的时,出现的情况是,在内,作为的一元函数下,可能不具有单调性。而单调性又是在证明隐函数存在唯一性定理中不可缺少的一个条件,所以当,如果再加一个或几个条件,使对于每个固定的,即令,作为的一元函数,也在上严格单调。那么就可满足要求。此时根据隐函数存在唯一性定理,便能证明在该点邻域内能确定隐函数,问题也就解决了。

(二)单调性分析及证明。

在曲面中,如果我们把区域中的每个的值固定,即令,曲面与平面的交线就是以为自变量的一个函数,如果这个函数在点的邻域内具有单调性,那么问题即可解决.其实可以证明如果点为拐点,则在其邻域内具有单调性。

证明:因为点为拐点,拐点即为凸函数和凹函数的分界点。不妨假设在内是凸函数(若在内是凹函数,则可讨论),在上是凹函数。根据数学分析上册定理6.13的等价论断10及论断20,即如果为上的凸函数,则为上的增函数;如果为上的凹函数,则为上的减函数。

隐函数组知识点总结

隐函数组，是指一个由若干个代数方程式组成的方程组，在这个方程组中涉及到的变量和

函数之间的关系可以是显式的，也可以是隐式的。对于这种类型的方程组，我们可以利用

不同的方法来求解。

1. 隐函数的定义

隐函数是指一个方程中的未知数与自变量之间的关系式中不是显式的函数关系，而是通过

方程隐含的函数关系。例如，对于方程x^2+y^2=25，我们无法直接将y表示为x的函数，因此y是x的隐函数。

2. 隐函数的存在性与唯一性

一个隐函数是否存在以及是否唯一取决于它的导数是否存在且不为零。如果某一个方程组中的未知数与自变量之间的关系是隐含的，并且这个关系存在唯一的隐函数对该隐函数组

有意义。

3. 隐函数的求解方法

对于隐函数组的求解，常用的方法有牛顿迭代法、分离变量法、对数微分法等。其中，牛

顿迭代法是一种迭代算法，通过迭代计算来逼近隐函数的解；分离变量法是指将含有隐函

数的方程变换成纯粹的函数方程；对数微分法是利用对数微分法则对隐函数组进行求解。

4. 隐函数的应用

隐函数在物理、经济、生物等领域有着广泛的应用。在物理学中，许多物理过程可以用隐函数组来描述，如牛顿运动定律、热传导方程等；在经济学中，供需曲线、边际成本曲线

等都可以用隐函数组进行表示；在生物学中，隐函数组可以用来描述生物体的生长、代谢

等过程。

5. 隐函数的求导

当我们想要对隐函数进行求导时，可以使用隐函数微分法或者求偏导数的方式进行求解。

其中，隐函数微分法是利用导数的链式法则对隐函数进行求导；求偏导数的方式则是通过

对方程两边对自变量求导来得到隐函数的导数。

数学分析18.1隐函数定理及其应用之隐函数

第十七章隐函数定理及其定理

1隐函数

一、隐函数的概念

注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.

二、隐函数存在性条件的分析

隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线， ∴要使隐函数存在，至少要存在点P 0(x 0,y 0), 使F(x 0,y 0)=0, y 0=f(x 0).

要使隐函数y=f(x)在点P 0连续，需F 在点P 0可微，且(F x (P 0),F y (P 0))≠(0,0), 即曲面z=F(x,y)在点P 0存在切平面.

要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P 0可微, 则在F 可微的假设下，通过F(x,y)=0在P 0处对x 求导，由链式法则得：F x (P 0)+F y (P 0)0

x x dx

dy ==0.

当F y (P 0)≠0时，可得0

x x dx

dy ==-

)

(P F )

(P F 0y 0x , 同理，当 F x (P 0)≠0时，可得

y y dy

==-

)

(P F )(P F 0x 0y .

三、隐函数定理

定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：

(1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D⊂R2上连续；

11.1 隐函数的存在性

第十一章隐函数

§5.3已给出隐函数的概念和隐函数的求导法则.本章将在一个二元方程所确定的隐函数的基础上，进一步推广到方程组所确定的隐函数，并证明隐函数的存在性、连续性、可微性.讨论方程组所确定的隐函数要用到多元函数微分学中的一个重要工具——函数行列式.我们将给出函数行列式的性质及其简单的应用.

§11.1 隐函数的存在性

一、隐函数的概念

在§5.3中，已经给出有二元方程0),(=y x F 所确定的隐函数.

例1 二元方程0753),(2=--+=y x xy y x F .)5(≠∈∀x R x ，通过方程对应唯一一

个y ，即x

x y --=57

32.显然，有

0)573,(2≡--x

x x F

由隐函数定义，x x y --=57

32是方程0753),(2=--+=y x xy y x F 所确定的隐函数.

它的几何意义是，平面曲线x

x y --=57

32是空间曲面7532--+=y x xy z 与0

=z （xy 平面）的单值交线.

例2 二元方程0),(2

22=-+=a y x y x F )0(>a ,),(a a x -∈∀,通过方程对应两个y .

如果限定y 的变化范围+∞<<y 0或0<<∞-y ，则),(a a x -∈∀只对应唯一一个

y ，即

221x a y -=或222x a y --=. 显然有 0),(),(221≡-=x a x F y x F 与

0),(),(222≡--=x a x F y x F

由隐函数定义，221x a y -=

与222x a y --=都是方程

隐函数的存在性(北工大)

x 0
lim y lim[ f ( x x ) f ( x )] 0.
x 0
y f ( x) 在
x 连续，在
连续．
３）隐函数 y f ( x ) 在区间有连续导函数．
由（４）式有
Fx' ( x 1x , y y ) 0 1 1 y , . x F ' y ( x , y 2 y ) 0 2 1
确定的隐函数 z f ( x , y ) 的偏导数．例８设方程，证明
其确定一个隐函数 y f ( x ) ，求其 f ' ( x ) ．
2
y,
2
或 y2 a x .
z x 2 y 2 a 2 与平面几何意义:空间曲面
z 0 的两条单值交线.
例3
F ( x , y ) xy 2 x 2 y 0, 二元方程
是否对 x ( , ),
通过方程对应唯一
一个 y , 即 y ( x ). 有 F ( x , ( x )) 0. 例4 二元方程 F ( x , y ) x 2 y 2 r 2 0( r 0),
Fx' ( x 1x , y y ) y f ( x x ) f ( x ) x . F ' y ( x , y 2 y )

隐函数存在定理

注3 隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的
取值范围．例如由方程 x 2 y 2 1 可确定如下两
个函数：

y f1 ( x ) (
1 x2 ),
x [ 1 , 1 ] , y [ 0 , 1 ] ;
－－－－
x
. .P .
x
0
O
x
x
图3 隐函数连续性示意图
推知
F ( x, y ) 0 , F ( x, y ) 0 .

类似于前面 (c) ， 0, 使得
( x , x ) ( x0 , x0 ),
y
+ ＋
＋＋
件 F ( x0 , y0 ) 0 可知
F ( x0 , y0 ) 0, F ( x0 , y0 ) 0.
y0
0 _
y0
_ _ _
O x0
x0 x0 x
(b) 正、负上下分

y f 2 ( x ) ( 1 x 2 ) , x [ 1 , 1 ] , y [ 1 , 0 ] .
注4 类似地可定义多元隐函数．例如: 由方程
F ( x , y , z ) 0 确定的隐函数 z f ( x , y ) , 由方程 F ( x , y , z , u) 0 确定的隐函数 u f ( x , y , z ) , 等

关于隐函数定义的探讨与改进

所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。

函数的定义一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)。则y=f(x)的反函数为y=f^-1(x)。

存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)

【反函数的性质】 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称; (2)函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射; (3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; (4)一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(x)=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

(5)一切隐函数具有反函数; (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性; (7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。

(8)反函数是相互的 (9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反)

(10)原函数一旦确定，反函数即确定(三定)

例：y=2x-1的反函数是y=

0.5x+

0.5

y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数解：y=3x-2的定义域为R，值域为R.

由y=3x-2解得 x=1/3(y+2)

将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)

反函数的基本性质一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x 是自变量y的函数，这样的函数x= (y)(y∈C)叫做函数

讨论隐函数的存在性连续性与可微性不仅是出于深刻了

(c) 为使 y f ( x) 在 x0 可导，即曲线 y f ( x) 在
点 P0 存在切线，而此切线是曲面 z F ( x, y) 在点
P0 的切平面与 z 0 的交线，故应要求 F ( x, y) 在
点 P0 可微，且 (Fx ( x0 , y0 ), Fy ( x0 , y0 )) (0, 0).
三、隐函数定理
定理11.1 ( 隐函数存在惟一性定理 ) 设方程 (1) 中的函数 F( x, y) 满足以下四个条件： (i) 在以 P0( x0 , y0 )为内点的某区域 D R2上连续； (ii) F ( x0 , y0 ) 0 ( 初始条件 )； (iii) 在 D 内存在连续的偏导数 Fy( x, y)； (iv) Fy ( x0, y0 ) 0. 则有如下结论成立：
F(x, y) 0.
(1)
若存在 I、J R, 使得对任一 x I , 有惟一确定的
y J 与之对应, 能使 ( x, y) E, 且满足方程 (1) ,
则称由方程 (1) 确定了一个定义在 I , 值域含于 J
的隐函数. 如果把此隐函数记为
y f (x), x I , yJ, 则成立恒等式
因此 f ( x) 在 x 连续. 由 x 的任意性, 便证得 f ( x) 在 ( x0 , x0 ) 上处处连续．

关于隐函数存在定理证明教学的新探讨

关于隐函数存在定理证明教学的新探讨关键词：隐函数存在定理分析证明分析论证思想

1.问题的提出

数学分析教学中“隐函数存在定理”的证明，是一个较为复杂，不易被学生很快理解和掌握的定理。现把该定理复述如下：

定理：设F（某，y）在（某，y）的领域内连续，并有连续的偏导数F′（某，y），如果

F（某，y）=0摇摇摇F′（某，y）≠0

则在（某，y）的某领域内，方程F（某，y）=0有唯一的连续解y=f （某），也就是说，这时存在某η>0，使得在［某-η，某+η］上存在着一函数y=y（某），使得：

1）y=y（某）；

2）y（某）在［某-η，某+η］上连续；

3）在［某-η，某+η］上恒等式F（某，y（某））=0成立；

4）满足条件1）—3）的函数y（某）是唯一的。

在定理所给条件下，找到满足结论条件的隐函数y=f（某），从几何直观来看就是：若在（某，y）附近z=F（某，y）为光滑曲面，则它在点（某，y）附近与z=0的交线为光滑曲线，并能表示为y为某的函数（当F′（某，y）≠0），如图1所示。

对于这个定理，一般的分析教科书上多采用的传统证法是基于它的几何意义，而从下面几方面去进行推断。

（一）定理的结论，实质是找曲面z=F（某，y）和平面z=0的交线

y=f（某），使得这曲线过（某，y）且在某附近连续，唯一。

（二）要这曲线过（某，y）必须曲面过（某，y），即F（某，y）

=0。

（三）要这曲线在某附近连续，只需曲面z=F（某，y）在（某，y）

附近连续。

（四）要曲线唯一，也就需证，对某附近任一某，有唯一确定的y。

在定理题设中有，F′（某，y）≠0，不妨假定它大于0，由于F′（某，y）连续，因此存在（某，y）的某个领域，其中每一点F′都大于0。在该领域内，固定某=某，令φ（y）=F（某，y），由于φ′（y）>0，因此φ（y）是单调上升的，只要证明存在y及y，使得φ（y）>0，φ（y）<0，则由一元连续函数的中值定理，就存在一点M（某，y）使F （某，y）=0，这是定理证明的核心。其几何意义是：曲面z=F（某，y）

隐函数定理与微分方程解的存在性

隐函数定理与微分方程解的存在性隐函数定理是微分学中重要的定理之一，它在研究微分方程解的存在性方面具有重要的作用。在微分方程中，有些方程可能无法通过常规的方法直接求解，而隐函数定理可以帮助我们判断微分方程是否存在解，以及如何找到解的存在性。

隐函数定理最早由数学家柯西提出，并经过数学家魏尔斯特拉斯的完善和证明，成为微分学中的基本定理之一。该定理主要用于研究由一个或多个未知函数构成的方程组，具体来说，对于由n个未知函数构成的含有n个方程的方程组，如果这些方程满足一定的光滑条件，那么在满足某些条件的前提下，就可以通过隐函数定理得到这些未知函数的存在性和连续性。

隐函数定理的一个重要应用就是研究微分方程的解的存在性。微分方程是自变量和未知函数之间的关系式，通常表示为关于未知函数的导数和自变量的函数关系。有时候，微分方程无法通过常规方法直接求解，这时就需要借助隐函数定理来研究解的存在性。

在研究微分方程解的存在性时，首先需要对微分方程进行适当的化简和变形，使得其满足隐函数定理的条件。然后可以通过求偏导数、雅可比行列式等方法来验证这些条件是否成立。如果条件满足，就可以得出微分方程的解存在，并且可以通过一定的方法来求解。

总的来说，隐函数定理在研究微分方程解的存在性方面发挥着重要的作用。通过对微分方程进行分析和变形，结合隐函数定理的条件，可以判断微分方程解的存在性，并找到解的具体形式。隐函数定理为

微分方程的研究提供了重要的理论基础，也为解决实际问题提供了有力的工具。

多元函数的隐函数存在定理

多元函数的隐函数存在定理隐函数存在定理是微积分中的一个重要定理，用于研究多元函数中的隐函数。该定理可以说明在一定条件下，可以通过方程解析式的变换得到隐式表达的函数。本文将介绍多元函数的隐函数存在定理。

1. 隐函数存在定理的前提条件

隐函数存在定理有以下两个前提条件：

- 函数连续性：多元函数需要在一定区域内连续，这是保证隐函数存在的基本条件之一。

- 偏导数连续性：多元函数的偏导数需要在一定区域内连续，这是保证隐函数存在的重要条件。

2. 隐函数存在定理的表述

设多元函数F(x, y)在平面区域D上连续且具有一阶连续偏导数，则对于D中的任意一点(x0, y0)，如果F(x0, y0)=0且F对y在点(x0, y0)的偏导数F_y(x0, y0)≠0，则在(x0, y0)的某一邻域内，方程F(x, y)=0决定了一个连续的隐函数y=f(x)。

3. 隐函数存在定理的证明

根据隐函数存在定理的表述，我们可以通过证明分析来得到结果。由于篇幅限制，本文无法展示完整的证明过程，但可以简要说明其中的要点。

（1）利用特殊的连续性条件：假设F(x, y)满足隐函数存在定理的

两个前提条件，即连续性和偏导数连续性。利用这两个条件可以导出

一个等式，即F(x, f(x))=0。这个等式可以理解为，对于函数F的隐函

数f(x)，代入后应满足等式。

（2）应用导数的定义：通过求偏导数F_x和F_y，并利用导数的定义进行求解，可以得到导数关系式。根据等式F(x, f(x))=0的条件，可

以根据导数关系式求出f(x)的导数。

（3）应用极限的性质：通过取极限计算，可以得到f(x)在某一区间上的连续性。在证明中需使用一些极限的性质和推导。

隐函数存在定理的证明 -回复

隐函数存在定理的证明-回复

隐函数存在定理是微积分中的重要内容之一，它主要用来研究给定方程是否存在可由隐函数表示的解。本文将一步一步地解释隐函数存在定理的证明。

首先，我们来明确隐函数的概念。在多元函数的研究中，我们往往会遇到形如F(x,y)=0 的方程，其中F 是一个多元函数。如果该方程中的变量y 可以通过x 唯一地表示出来，那么我们称y 是x 的隐函数。隐函数存在定理正是用来研究这样的问题。

隐函数存在定理的证明可以分为几个关键步骤。

步骤一：列出隐函数的存在条件。

首先，我们需要明确隐函数存在的条件。隐函数存在的条件一般有两个：连续性和可微性。即要求F(x,y)=0 在某个点(a,b) 上连续，并且存在x 和y 的偏导数。同时，我们还需要假设F 是一个解析函数，即在一个足够小的区域内可以展开成幂级数。

步骤二：利用连续性和可微性找到解的初步范围。

假设我们要研究的方程是F(x,y)=0 ，我们可以找到一个(a,b) 点，使得F(a,b)=0 。根据连续函数的定义，我们可以找到任意小的邻域U(a,b) ，使得对于U(a,b) 中的点(x,y) ，有F(x,y) \approx 0 。这样我们就对解

的范围有了初步的把握。

步骤三：利用可微性进行逐步逼近。

根据隐函数存在定理的证明思路，我们需要逐步逼近解。首先，由于

F(x,y)=0 在点(a,b) 处存在连续偏导数，我们可以利用隐函数的连续性找到一个x 的足够小的邻域V(a) ，使得对于V(a) 中的每一个x ，方程F(x,y)=0 都有一个解y=g(x) 。这样我们就找到了一个关于x 的函数

讨论隐函数的存在性连续性与可微性不仅是出于深刻了

O x0 x0 x0 x
(d) 利用介值性
若记 U (P0 ) I J , 则定理结论 1 得证．
下面再来证明上述隐函数的连续性:
即 x ( x0 , x0 ) , 欲证上述 f ( x) 在 x 连续.
如图 11－2 所示, 0, 取
y
足够小，使得
F(x, y) 0.
(1)
若存在 I、J R, 使得对任一 x I , 有惟一确定的
y J 与之对应ຫໍສະໝຸດ Baidu 能使 ( x, y) E, 且满足方程 (1) ,
则称由方程 (1) 确定了一个定义在 I , 值域含于 J
的隐函数. 如果把此隐函数记为
y f (x), x I , yJ, 则成立恒等式
二、隐函数存在性条件分析
要讨论的问题是：当函数 F ( x, y) 满足怎样一些条件时，由方程 (1) 能确定隐函数 y f ( x), 并使该隐函数具有连续、可微等良好性质? (a) 把上述 y f ( x) 看作曲面 z F( x, y) 与坐标平面 z 0 的交线，故至少要求该交集非空，即 P0( x0 , y0 )，满足 F ( x0 , y0 ) 0 , y0 f ( x0 ) . (b) 为使 y f ( x) 在 x0 连续，故要求 F ( x, y) 在点 P0 连续是合理的．