江苏省启东中学2010年高三适应性考试(数学)
江苏省启东中学-第一学期高三数学期中考试卷
10.关于函数 f ( x) 4sin(2 x ) (x R) ,有下列命题: 3
(1) y
4
f(x
) 为偶函数,( 2)要得到函数 g( x)
3
4sin 2 x 的图像,只需将 f (x) 的
图像向右平移 个单位,( 3) y f (x) 的图像关于直线 x 3
对称。( 4) y 12
[0, 2
] 内的增区间为
(1) 求 a1, a3, a5 , a7 ;
(2) 求数列 an 的前 2n 项和为 S2n ;
(3) 设 f (n)
1 sin n (
2 sin n
3) , Tn
( 1)f (2) ( 1)f (3) ( 1) f (4)
( 1)f (n 1)
+
+
+…
,
a1a2
a3a4
a5a6
a2n 1a2 n
3
3( 1 m) ( m) 0 解得 m
……………………………………………… 9 分
4
(3)∠ C为直角,则 BC AC ,
15
(2 m)( 1 m) (1 m)( m) 0 , 解得 m
……………………………… 11 分
2
综上, m
7 或m
4
3
15
或m
………………………………………………
4
2
x3
5 [0,
] 和 [ 11
,2
] 。其中正确命题的序号为
12 12
f (x) 在
11.若 f( x)是 R 上的减函数,且 f( x)的图象经过点 A( 0,3)和 B( 3,- 1),则不等
式|f(x+1)- 1|< 2 的解集是 ___________________. 二、选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
启东中学2010届高三考前辅导解题指津参考答案
参考答案一、语言基础知识1、D 这道题考查多音字。
(A. zh e ng/zh e ng zh 1 /sh qi a ng m u /m B .;1 /q 1c i /s 1 zhu o /zh a o qi a o/qi C a jO; a n z a i/z dsh i /sh e a ngD.c a ng ch a ng hu b o u )2、B这道题考查同音字。
(B都读sh u A项“间”、“槛”读“ji a n”,其余读“ji a n” C 项分别读xu a n、x u n、x u n、x u n Df e i、p a i、f e i、f e i)3、A 这道题考查的是易误读的字。
(B项酵ji a o, “叨”应读t a o ,氛f e n,C项“栖”应读q 1,镌应读ju a n ,拎I 1 n D项渲xu a n,瞥pi e, “楔”应读xi e。
)4、A (A项,两义成语。
“光风霁月”指清新明镜的气候和景象;也比喻人胸怀坦荡,品德高尚;也比喻太平清明的政治局面。
在此句中就用了第二个意思,合乎语境。
B项张冠李戴门墙桃李:门墙:指师长之门;桃李:比喻后进者或学生。
称他人的学生。
C不合语境,祸不单行:指不幸的事接二连三地发生,前文并没有灾祸发生 D “顿时恍然大悟”重复。
)5、B (A项,坐而论道:原指坐着议论政事,后泛指空谈大道理。
褒贬失当。
B项,判若云泥:比喻差别悬殊就像云彩和泥土的距离那样大。
合乎语境,使用恰当。
C 一叶知秋,比喻通过个别的细微的迹象,可以看到整个形势的发展趋向与结果。
此处使用不符语境,没有注意程度的深浅。
惊动世界的事情,就不是小事情,细微的事情了。
D “漠不关心”,多作谓语,谓语前常有介宾短语作状语,后面也不能带宾语,句子带上了“人民疾苦”不当。
)6、D(A褒贬失当,“半斤八两”比喻彼此不一样,不相上下,多含贬义。
B项搭配不当,“翻天覆地”多用做定语,如“翻天覆地的变化”,而常用做“杀、闹、吵”等词语的补语的应是“天翻地覆”, C 项自相矛盾,“亡羊补牢”比喻出了问题以后想办法补救,可以防止继续受损失。
大练习14答案
启东中学2010~2011学年第一学期高三年级期中质量检测数学试题一、填空题1、已知函数f(x)=-x 3+ax-4(a ∈R),若函数y=f(x)的图像在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为450,则a= 。
42、集合A {(,)|{(,)|(2)}x y y B x y y k x ====-,若集合A ∩B 有两个元素,则实数k 的取值范围是。
(0]3-3、在平面向量a ,b 中,已知a =(4,-3),|b |=1,且a ·b则b = .(4/5,-3/5)4、如图函数f(x)的图像是折线段ABC ,其中A(0,4),B(2,0),C(6,4),则f(f(3))= .25、设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为 。
(-1,0)∪(0,1) 上的零点至少有 个。
7、一次考试,某班级数学优秀率为75%,语文优秀率为70%,英语优秀率为72%,则上述三门学科中至少有两门优秀的百分率最少为 。
58.5%8、有一种波,其波形为函数y=sin2πx 的图像。
若在区间[0,t]上至少有两个波峰(图像的最高点),则正整数t 的最小值是 。
5 9、函数0.51log (1)1y x x =++-(x>1)的值域是 。
(-∞,-2]10、双曲线22221x y ab-=(a>0,b>0)离心率为,则双曲线的渐近线方程为 。
y=±x11、函数y=|sinx|+|cosx|(x ∈R)的单调减区间为 。
[,]2422k k ππππ++12、△ABC 中,a=4,B=450,若此三角形有且只有唯一解,则b 的值应满足 。
4b b =≥13、在平面直角坐标系xOy 中,设直线l :kx-y+1=0与圆C :x 2+y 2=4相交于A 、B 两点,以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ,若点M 在圆C 上,则实数k 的值为 。
2010年江苏省高三模拟试题(数学)Word版含答案
江苏省2010年高考预测考试数学一.填空题1.已知(1)1z i -=,则复数z 在复平面上对应的点位于第 象限。
2.“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的 条件。
3.直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点(1,3)A ,则b 的值为 。
4.若样本1a ,2a ,3a 的方差是2,则样本21a +3,22a +3,21a +3的方差是 。
5.下列流程图(假设函数rnd (0,1)是产生随机数的函数,它能随机产生区间(0,1)内的任何一个实数)。
随着输入N 的不断增大,输出的值q 会在某个常数p 附近摆动并趋于稳定,则常数p 的值是 。
6.设0a b >>,那么21()a b a b +-的最小值是 。
7.已知1c o s 32π=,21cos cos 554ππ=,231cos cos cos 7778πππ=,…, 根据这些结果,猜想出的一般结论是 。
8.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中为真命题的序号是 。
①m n m n αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭;②a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭③//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭;④////m n m n αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭9.动点(,)P a b 在不等式2000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动,则31a b w a +-=-的取值范围是 。
10.ABC 内接于以O 为圆心半径为1的圆,且3450OA OB OC ++=,则ABC 的面积 S = 。
11.过双曲线22221(0,0)x y a b a b+=>>的右顶点A 作斜率-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C .若12AB BC =,则双曲线的离心率是 。
12.当θ取遍所有值时,直线cos sin )4x y πθθθ⋅+⋅=+所围成的图形面积为。
3江苏省苏泰州南通2010届高三第三次数学模拟考试word版
南通市2010届高三第三次调研测试数学参考答案及评分建议必做题部分一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1. 有一容量为10的样本:2,4,7,6,5,9,7,10,3,8,则数据落在[)5.5,7.5内的频率为 ▲ .2. 已知直线l ,m ,n ,平面α,m α⊂,n α⊂,则“l α⊥”是“,l m l n ⊥⊥且”的 ▲ 条件.(填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一)3. 已知集合{}274(2)i A m m =-++,,(其中i 为虚数单位,m ∈R ),{83}B =,,且A B ≠∅,则m 的值为 ▲ .4. 在区间[0,1]上任取两个数a ,b ,则关于x 的方程2220x ax b ++=有实数根的概率为 ▲ .5. 若函数2tan 0()log ()0x x f x x x ⎧=⎨-<⎩,≥,,,则()()3π24f f = ▲ .6. 在区间[](0)a a a ->,内不间断的偶函数()f x 满足(0)()0f f a ⋅<,且()f x 在区间[]0a ,上是单调函数,则函数()y f x =在区间()a a -,内零点的个数是 ▲ . 7. 执行如图所示的程序框图后,输出的结果是 ▲ .8. 不等式21x x<-的解集是 ▲ .9. 如图,点A 、B 在函数()ππtan 42y x =-的图象上,则直线AB 的方程为 ▲ .BAy x1 O(第9题)(第7题)输出n0S ←开始6n ←S <15 NY1n n ←-S S n ←+结束10. 双曲线221169y x -=上的点P 到点(5, 0)的距离是6,则点P 的坐标是 ▲ . 11. 已知数列{}n a 为等差数列,若561aa <-,则数列{}n a 的最小项是第 ▲ 项.12. 在菱形ABCD 中,若4AC =,则CA AB ⋅= ▲ .13. 已知点P 在直线210x y +-=上,点Q 在直线230x y ++=上,PQ 的中点为00(,)M x y ,且002y x >+,则y x 的取值范围是____▲____. 14. 数列{}n a 满足:11121(234)n n a a n a -==-=⋅⋅⋅,,,,,若数列{}n a 有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++的通项公式,其中A B ωϕ、、、均为实数,且π002A ωϕ>><,,,则n a = ▲ .(只要写出一个通项公式即可)【填空题答案】1.0.3 2.充分不必要 3.-2 4.125.16.2 7.3 8.{}201x x x <-<<或 9.20x y --= 10.(8,± 11.612.-8 13.()1125--, 14()2ππ1332n -+二、解答题:本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分14分)已知向量()1sin 2A =,m与()3sin A A =,n 共线,其中A 是△ABC 的内角.(1)求角A 的大小;(2)若BC =2,求△ABC 面积S 的最大值,并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 【解】(1)因为m //n ,所以3sin (sin )02A A A ⋅+-=. ………………………2分所以1cos 232022A A -+-=,12cos 212A A -=, …………3分即 ()πsin 216A -=. …………………………………………………4分ABCD EF(第16题)G O因为(0,π)A ∈ , 所以()ππ11π2666A -∈-,. …………………………………5分 故ππ262A -=,π3A =. ………………………………7分 (2)由余弦定理,得 224b c bc =+-. ……………………………………8分 又1sin 2ABC S bc A ∆==, ……………………………………9分而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤,(当且仅当b c=时等号成立) …………11分所以1sin 42ABC S bc A ∆===. ………………………12分 当△ABC 的面积取最大值时,b c =.又π3A =,故此时△ABC 为等边三角形.…14分16. (本题满分14分)如图,已知四边形ABCD 为矩形,AD ⊥平面ABE ,AE =EB =BC =2, F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE . (1)求证:AE //平面BDF ; (2)求三棱锥D -ACE 的体积. 【证明】 (1)设ACBD G=,连结GF .因为BF ⊥面ACE ,CE ⊂面ACE ,所以BF CE ⊥.因为BE BC =,所以F 为EC 的中点. ……………………………3分在矩形ABCD 中,G 为AC 中点,所以//GF AE . ………………5分 因为AE ⊄面BFD ,GF ⊂面BFD ,所以//AE 面BFD . ………………7分 (2)取AB 中点O ,连结OE .因为AE EB =,所以OE AB ⊥. 因为AD ⊥面ABE ,OE ⊂面ABE ,所以OE AD ⊥,所以OE ⊥面ADC . ……………………………………………9分 因为BF ⊥面ACE ,AE ⊂面ACE ,所以BF AE ⊥. 因为CB ⊥面ABE ,AE ⊂面ABE ,所以AE BC ⊥. 又BFBC B=,所以AE ⊥平面BCE . ……………………………11分又BE⊂面BCE ,所以AEEB ⊥.所以AB ==,12OE AB ==…………12分故三棱锥E ADC -的体积为111423323D AECE ADC ADC V V S OE --∆==⋅=⨯⨯⨯=. …………………14分17 . (本题满分15分)田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的3匹马分别为A 、B 、C ,田忌的3匹马分别为a ,b ,c ,6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为:A ,a ,B ,b ,C ,c . 两人约定:6匹马均需参赛,共赛3场,每场比赛双方各出1匹马,最终至少胜两场者为获胜. (1)如果双方均不知道对方的出马顺序,求田忌获胜的概率;(2)颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情,得知齐王第一场必出A 马. 那么,田忌应怎样安排马的出场顺序,才能使获胜的概率最大? 【解】记A 与a 比赛为(A ,a ),其它同理.(l )(方法1)齐王与田忌赛马,有如下6种情况: (A ,a ),(B ,b ),(C ,c );(A ,a ),(B ,c ),(C ,b ); (A ,b ),(B ,c ),(C ,a );(A ,b ),(B ,a ),(C ,c );(A ,c ),(B ,a ),(C ,b );(A ,c ),(B ,b ),(C ,a ). ……………2分 其中田忌获胜的只有一种:(A ,c ),(B ,a ),(C ,b ). ……………………4分 故田忌获胜的概率为16P =. …………………………………7分(方法2)齐王与田忌赛马对局有6种可能: A B Ca b c a c b b a c b c a c a bc b a ……………………………………………………………2分 其中田忌获胜的只有一种:(A ,c ),(B ,a ),(C ,b ). ………………4分 若齐王出马顺序还有ACB , BAC , BCA ,CAB ,CBA 等五种;每种田忌有一种能够获胜. 故田忌获胜的概率为61666P ==⨯. ……………………………………7分(2)已知齐王第一场必出上等马A ,若田忌第一场必出上等马a 或中等马b ,则剩下二场,田忌至少输一场,这时田忌必败.为了使自己获胜的概率最大,田忌第一场应出下等马c .……9分 后两场有两种情形:①若齐王第二场派出中等马B ,可能的对阵为:(B ,a ),(C ,b )或(B ,b ),(C ,a ). 田忌获胜的概率为12. ……………………………………………………11分②若齐王第二场派出下等马C ,可能的对阵为:(C ,a ),(B ,b )或(C ,b ),(B ,a ). 田忌获胜的概率也为12. ……………………………………………………13分所以,田忌按c , a , b 或c , b , a 的顺序出马,才能使自己获胜的概率达到最大12…14分答:(l )田忌获胜的概率16.(2)田忌按c , a , b 或c , b , a 的顺序出马,才能使获胜的概率达到最大为12……15分18. (本题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中,已知对于任意实数k,直线)((130x k y k ++-=恒过定点F . 设椭圆C 的中心在原点,一个焦点为F ,且椭圆C 上的点到F的最大距离为2+.(1)求椭圆C 的方程;(2)设(m ,n )是椭圆C 上的任意一点,圆O :222(0)x y r r +=>与椭圆C 有4个相异公共点,试分别判断圆O 与直线l 1:mx +ny =1和l 2:mx +ny =4的位置关系. 【解】 (1))((130x k y k ++-=)(30y k x ⇔+-+=, …1分解30,0,y x +-=-=⎪⎩得)0F . ……………………………………3分设椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ,2b ,2c ,则由题设,知2c a c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 于是a =2,b 2=1. ………………………………5分所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += …………………………………………6分(2)因为圆O :222(0)x y r r +=>与椭圆C 有4个相异公共点,所以b r a <<,即1 2.r << …………………………………8分 因为点(m ,n )是椭圆2214x y +=上的点,所以221224m n m +=,且-≤≤.[12],. ………………………………………10分于是圆心O 到直线l 1的距离11d r <,……………………………12分 圆心O 到直线l 2的距离22d r >. ……………………………14分 故直线l 1与圆O 相交,直线l 2与圆O 相离.……………………………………15分19. (本题满分16分)设数列{a n }是由正数组成的等比数列,公比为q ,S n 是其前n 项和. (11n S +<;(2)设31442,1555n n n n b a a a ++=++记数列{}n b 的前n 项和为T n ,试比较q 2S n 和T n 的大小.【证明】(1)由题设知a 1>0,q >0. ………………………………………1分(i)当q =1时,S n =na 1,于是 S n ·S n +2-21n S +=na 1·(n +2)a 1-(n +1)221a =-21a <0, …3分 (ii)当q ≠1时,()111n n a q S q-=-,于是S n ·S n +2-21+n S ()()()()()22221112211111n n n a q q a q q q ++---=---=210n a q -<. …………7分由(i)和(ii),得S n ·S n +2-21n S +<0.所以S n ·S n +2<21n S +1n S +. ……………8分 (2) 方法一:331442442,15551555n n n n n n n b a a a a q a q a ++=++=++ …………11分T n =3113442442()15551555k k k nnk n n k k n b q a q a q a q S S S ==+==+++∑∑,T n -q 2S n =32(415126)15nS q q q -++, …………………………………13分 =22(4(2)(2)2)15nS q q q -+-+≥2>0, …………………………………15分 所以T n >q 2S . …………………………………………………………16分 方法二:T n =3113442442()15551555k k k nnk n n k k n b q a q a q a q S S S ==+==+++∑∑, ………11分由24421555nn T q q S q =++, …………………………………………………13分 因为0q >,所以44155q q +≥44155q q =,即q ==”号),215>,所以21nnTq S>,即T n>q2S. ……………………………16分20.(本题满分16分)已知函数2*()2cosπln(f x x a k x k=-⋅∈N,a∈R,且0a>).(1)讨论函数()f x的单调性;(2)若2010k=,关于x的方程()2f x ax=有唯一解,求a的值.【解】(1)由已知得x>0且2()2(1)k af x xx'=--⋅.当k是奇数时,()0f x'>,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;……………3分当k是偶数时,则2()2af x xx'=-. ……………………5分所以当x∈(时,()0f x'<,当x∈(),a+∞时,()0f x'>.故当k是偶数时,f (x)在(上是减函数,在(),a+∞上是增函数.………………7分(2)若2010k=,则2*()2ln()f x x a x k=-∈N.记g (x) = f (x) – 2ax = x2– 2 a x ln x – 2ax, 222()22()ag x x a x ax ax x'=--=--, 若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解;…………………………9分令()0g x'=,得20x ax a--=.因为0,0a x>>,所以1x=<(舍去),2x. ……………………11分当2(0,)x x∈时,()0g x'<,()g x在2(0,)x是单调递减函数;当2(,)x x∈+∞时,()0g x'>,()g x在2(,)x+∞上是单调递增函数.当x=x2时,2()0g x'=,min2()()g x g x=. …………………………12分因为()0g x=有唯一解,所以2()0g x=.则22()0()0g xg x=⎧⎨'=⎩,,即22222222ln20x a x axx ax a⎧--=⎪⎨--=⎪⎩,,…………………………13分两式相减得22ln0a x ax a+-=,因为a>0,所以222ln10 (*)x x+-=.……14分设函数()2ln1h x x x=+-,因为在x>0时,h (x)是增函数,所以h (x) = 0至多有一解.因为h (1) = 0,所以方程(*)的解为x 2 = 1,从而解得12a =…………16分附加题部分21. (选做题)本大题包括A ,B ,C ,D 共4小题,请从这4题中选做2小题. 每小题10分,共20分.请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1:几何证明选讲如图,AB 是⊙O 的直径,,C F 是⊙O 上的两点,OC ⊥AB 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D .连结CF 交AB 于点E .求证:2DE DB DA =⋅.【证明】连结OF .因为DF 切⊙O 于F ,所以∠OFD =90°. 所以∠OFC +∠CFD =90°.因为OC =OF ,所以∠OCF =∠OFC .因为CO ⊥AB 于O ,所以∠OCF +∠CEO =90°. ………………………5分 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ,所以DF =DE .因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA .所以DE 2=DB ·DA . ……………10分B. 选修4-2:矩阵与变换求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量. 【解】特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--, …………3分 由()0f λ=,解得121,3λλ==. ………………………………………6分将11λ=代入特征方程组,得0,00x y x y x y --=⎧⇒+=⎨--=⎩. 可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量. …………………………8分将23λ=代入特征方程组, 得0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩. 可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量.综上所述,矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==,;属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦, 属于23λ= 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………………………………10分C. 选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=,直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数).(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设直线l 与x 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求MN 的最大值.【解】(1)曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=. ……………………2分 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===,所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=. ………………………4分 (2)将直线l 的参数方程化为直角坐标方程,得4(2)3y x =--.…………………6分令0y =,得2x =,即M 点的坐标为(2,0).又曲线C 为圆,圆C 的圆心坐标为(1,0),半径1r =,则MC =…………8分(第22题)BACA 1B 1C 1所以1MN MC r +=≤. (10)分D .选修4-5:不等式选讲设123a a a ,,均为正数,且123a a a m ++=,求证1231119.a a a m ++≥【证明】因为123111()m a a a ++123123111()()a a a a aa =++++9≥,当且仅当1233m a a a ===时等号成立.又因为1230m a a a =++>,所以1231119.a a a m++≥ ……………10分22. 必做题, 本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,AB AC ⊥,顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ,且12AB AC A B ===.(1)求棱1AA 与BC 所成的角的大小;(2)在棱11B C 上确定一点P ,使AP =1P AB A --的平面角的余弦值.【解】(1)如图,以A 为原点建立空间直角坐标系,则 ()()()()11200020022042C B A B ,,,,,,,,,,,, ()1022AA =,,,()11220BC B C ==-,,.1111cos 28AA BC AA BC AA BC⋅-〈〉===-⋅,,故1AA 与棱BC 所成的角是π3. ………………………4分(2)设()111220B P B C λλλ==-,,,则()2422P λλ-,,. 于是12AP λ==(32λ=舍去), 则P 为棱11B C 的中点,其坐标为()132P ,,. …………6分 设平面1P AB A --的法向量为n 1(),,x y z =,则110320220.0.0AP x y z x z y y AB ⎧⋅=++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⋅=⎩⎩⎪⎩,,,n n 故n 1()201=-,,.……………………………………8分而平面1ABA 的法向量是n 2=(1,0,0),则121212cos ,⋅〈〉===⋅n n n n n n故二面角1P AB A --.……………10分23.必做题, 本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数22()ln (1)1x f x x x=+-+,2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--. (1)证明:当(0)x ∈+∞,时,()0g x <; (2)求函数()f x 的的极值.【解】(1)2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--,则()2ln(1)2g x x x '=+-. 令()2ln(1)2h x x x =+-,则22()211x h x x x -'=-=++. ……………1分当10x -<<时,()0h x '>, ()h x 在(1,0)-上为增函数.当x >0时,()0h x '<,()h x 在(0)+∞,上为减函数. ……………………3分 所以h (x )在x =0处取得极大值,而h (0)=0,所以()0(0)g x x '<≠,C 1函数g (x )在(0)+∞,上为减函数. …………………………………………4分 当x >0时,()(0)0g x g <=. ………………………………………5分 (2)函数()f x 的定义域是(1)-+∞,,22222ln(1)2(1)ln(1)22()1(1)(1)x x x x xx x f x x x x +++--+'=-=+++, ……………………6分 由(1)知,当10x -<<时,2()2(1)ln(1)2(0)0g x x x x x g =++-->=, 当x >0时,()(0)0g x g <=, 所以,当10x -<<时,()0f x '>()f x 在(-1,0)上为增函数.当x >0时,()0f x '<,()f x 在(0)+∞,上为减函数. ……………………8分 故函数()f x 的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0)+∞,. 故x =0时()f x 有极大值0. ………………………10分。
启东市启东中学届高三高考模拟考试数学试题及答案(5月)
2.答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用 规定位置.
0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效.作答必须用 米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整笔迹清楚.
0.5 毫
一. 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题.卡.相.应.位.置.. 上.
▲.
4. 某学校为了解该校 600 名男生的百米成绩(单位: s),随机选择了 50 名学生进行调查,
下图是这 50 名学生百米成绩的频率分布直方图。根据样本的频率分布,估计这
600 名学
生中成绩在 [13,15] (单位: s)内的人数大约是
▲.
5. 阅读下列程序:输出的结果是
▲.
Read S 1
N,使 NO= , 其中 A( 0, 3),则圆心 M横坐标的取值范围 ▲ .
13. 设函数 f ( x) 在 R上存在导数 f ' (x) , 对任意的 x R 有 f ( x) f ( x) x2 , 且在
(0, ) 上 f ' (x) x . 若 f (2 a) f (a) 2 2a , 则实数 a 的取值范围 ▲
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江苏省启东中学 2014 届高考模拟考试 2014.5.24 数学Ⅰ试题 启中数学教研组制卷
注 意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题——第 20 题).本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后请将答题卡交回.
(2)在( 1)的条件下,过点 P 0,t t 0 作直线 l 与椭圆 C只有一个交点,且截椭圆 C
江苏省南通市2010届高三第一次模拟考试(数学)
南通市2010届高三第一次调研考试数学一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1. 已知集合U ={1, 2, 3, 4},M ={1, 2},N ={2, 3},则U ð(M ∪N ) = . 2.复数21i(1i)-+(i 是虚数单位)的虚部为 . 3.设向量a ,b 满足:3||1,2=⋅=a a b,+=a b ||=b .4.在平面直角坐标系xOy 中,直线(1)2x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直的充要条件是m = .5.函数()cos (sin cos )()f x x x x x =+∈R 的最小正周期是 .6.在数列{a n }中,若对于n ∈N *,总有1nk k a =∑=2n-1,则21nk k a =∑= .7.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记所得的数字分别为x ,y ,则x y为整数的概率是 .8.为了解高中生用电脑输入汉字的水平,随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试,下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图,其中每分钟输入汉字个数的范围是[50,150],样本数据分组为[50,70),[70,90), [90,110),[110,130),[130,150],已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36,则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 . 9.运行如图所示程序框图后,输出的结果是 .10.关于直线,m n 和平面,αβ,有以下四个命题:①若//,//,//m n αβαβ,则//m n ;②若//,,m n m n αβ⊂⊥,则αβ⊥;(第8题数/分(第9题AB CDEF (第16③若,//m m n αβ=,则//n α且//n β;④若,m n m αβ⊥=,则n α⊥或n β⊥.其中假命题的序号是 .11.已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩,,,,若2(2)()f a f a ->,则实数a 的取值范围是 . 12.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形,设P 为该椭圆上的动点,C 、D的坐标分别是())0,0,则PC ·PD 的最大值为 .13.设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为a i (i =1,2,3,4),P 是该四边形内任意一点,P 点到第i 条边的距离记为h i ,若3124a a a a k ====, 则412()i i S ih k ==∑.类比上述结论,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i =1,2,3,4),Q 是该三棱锥内的任意一点,Q 点到第i 个面的距离记为H i ,则相应的正确命题是:若31241234S S S S k ====,则 .14.在平面直角坐标系xOy 中,设直线2m y =+和圆222x y n +=相切,其中m ,*0||1n m n ∈<-≤N ,,若函数1()x f x m n +=- 的零点0(,1),x k k k ∈+∈Z ,则k = .二、解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A 、B 、C 所对的边,且b 2=ac ,向量()cos()1A C =-,m 和(1cos )B =,n 满足32⋅=m n .(1)求sin sin A C 的值;(2)求证:三角形ABC 为等边三角形.16.(本小题满分14分)如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,AC =AD ,DE =2AB ,F 为CD 的中点.(1) 求证:AF ∥平面BCE ;(2) 求证:平面BCE ⊥平面CDE .七彩教育网 免费提供Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载17.(本小题满分15分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且5133349a a S +==,.(1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式; (2)设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+,问: 是否存在正整数t ,使得12m b b b ,, (3)m m ≥∈N ,成等差数列?若存在,求出t 和m 的值;若不存在,请说明理由.18.(本小题满分15分)某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处,已知AB =AC =6km ,现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y . (1)设PBO α∠=,把y 表示成α的函数关系式;(2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小?19.(本小题满分16分)已知椭圆()22220y x C a b a b:+=1>>A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,且(13)B --,.(1)求椭圆C 和直线l 的方程;(2)记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域(含边界)为D .若曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点,试求实数m 的最小值.20.(本小题满分16分)已知二次函数g (x )对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--,且()11g =-.令()19()ln (,0)28f xg x m x m x =+++∈>R .(1)求 g (x )的表达式;(2)若0x ∃>使()0f x ≤成立,求实数m 的取值范围;OBCAP(第18题图)(3)设1e m <≤,()()(1)H x f x m x =-+,证明:对12[1]x x m ∀∈,,,恒有12|()()| 1.H x H x -<附加题部分21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .选修4—1 几何证明选讲如图,AB 是⊙O 的直径,C 、F 为⊙O 上的点,且CA 平分∠BAF ,过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D . 求证:DC 是⊙O 的切线.B .选修4—2 矩阵与变换变换T 是绕坐标原点逆时针旋转π2的旋转变换,求曲线22221x xy y -+=在变换T 作用下所得的曲线方程.C .选修4—4 参数方程与极坐标(本题满分10分)已知圆1O和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=,2πcos()24ρθ--=.(1)把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.D .选修4—5 不等式证明选讲(本题满分10分)已知0m a b >∈R ,,,求证:()22211a mba mb m m++≤++.七彩教育网 免费提供Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.动点P 在x 轴与直线l :y =3之间的区域(含边界)上运动,且到点F (0,1)和直线l 的距离之和为4.(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)过点(0,1)Q -作曲线C的切线,求所作的切线与曲线C 所围成区域的面积.23.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面是等腰直角三角形,AB =BC BB 1=3,D 为A 1C 1的中点,F 在线段AA 1上. (1)AF 为何值时,CF ⊥平面B 1DF ?(2)设AF =1,求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值. .南通市2010届高三第一次调研考试数学答案【填空题答案】1.{4}; 2.12-; 3.2; 4.23-; 5.π;6.()1413n -; 7.12; 8.90; 9.10; 10.①③④ ; 11.(21)-,; 12.4; 13.413()i i V iH k ==∑; 14.0. 二、解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A 、B 、C 所对的边,且b 2=ac ,向A BCDEF(第16量()cos()1A C =-,m 和(1cos )B =,n 满足32⋅=m n .(1)求sin sin A C 的值;(2)求证:三角形ABC 为等边三角形. 【解】(1)由32⋅=m n 得,3cos()cos 2A CB -+=, ……………………2分 又B =π-(A +C ),得cos(A -C )-cos(A +C )=32, ……………………4分 即cos A cos C +sin A sin C -(cos A cos C -sin A sin C )=32,所以sin A sin C =34. …………6分 【证明】(2)由b 2=ac 及正弦定理得2sin sin sin B A C =,故23sin 4B =.……………8分 于是231cos 144B =-=,所以 1cos 2B =或12-. 因为cos B =32-cos(A -C )>0, 所以 1cos 2B =,故π3B =. ………………… 11分由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,即222b a c a c =+-,又b 2=ac ,所以22ac a c ac =+-, 得a =c .因为π3B =,所以三角形ABC 为等边三角形. ………………… 14分16.(本小题满分14分)如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,AC =AD ,DE =2AB ,F 为CD 的中点.(1) 求证:AF ∥平面BCE ;(2) 求证:平面BCE ⊥平面CDE . 【证明】(1)因为AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,所以AB ∥DE . 取CE 的中点G ,连结BG 、GF ,因为F 为CD 的中点,所以GF ∥ED ∥BA , GF =12ED =BA ,从而ABGF 是平行四边形,于是AF ∥BG . ……………………4分 因为AF ⊄平面BCE ,BG ⊂平面BCE ,所以AF ∥平面BCE . ……………………7分 (2)因为AB ⊥平面ACD ,AF ⊂平面ACD ,所以AB ⊥AF ,即ABGF 是矩形,所以AF ⊥GF . ……………………9分 又AC =AD ,所以AF ⊥CD . ………………… 11分而CD ∩GF =F ,所以AF ⊥平面GCD ,即AF ⊥平面CDE . 因为AF ∥BG ,所以BG ⊥平面CDE .七彩教育网 免费提供Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载因为BG ⊂平面BCE ,所以平面BCE ⊥平面CDE . ………………… 14分17.(本小题满分15分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且5133349a a S +==,.(1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式; (2)设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+,问: 是否存在正整数t ,使得12m b b b ,, (3)m m ≥∈N ,成等差数列?若存在,求出t 和m 的值;若不存在,请说明理由.【解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得51323439a a a +=⎧⎨=⎩,, ……………………2分即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩,,解得112.a d =⎧⎨=⎩,……………………4分.故221n n a n S n =-=,. ………6分(2)由(1)知2121n n b n t-=-+.要使12m b b b ,,成等差数列,必须212m b b b =+,即312123121m t t m t -⨯=+++-+,……8分.整理得431m t =+-, …………… 11分 因为m ,t 为正整数,所以t 只能取2,3,5.当2t =时,7m =;当3t =时,5m =;当5t =时,4m =.故存在正整数t ,使得12m b b b ,,成等差数列. ………………… 15分18.(本小题满分15分)某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处,已知AB =AC =6km ,现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y . (1)设PBO α∠=,把y 表示成α的函数关系式;(2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小?【解】(1)在Rt AOB ∆中,6AB =,所以OB =OA=.所以π4ABC ∠=由题意知π04α≤≤. ……………………2分所以点P 到A 、B 、C 的距离之和为2sin 22)cos y PB PA ααα-=+==. ……………………6分 OBCAP(第18题图)故所求函数关系式为()2sin π0cos 4y ααα-=≤≤. ……………………7分(2)由(1)得22s i n 1cos y αα-'=,令0y '=即1sin 2α=,又π04α≤≤,从而π6α=. ……………………9分. 当π06α≤<时,0y '<;当ππ64α<≤时, 0y '>.所以当π6α=时,2sin 4cos y αα-=+取得最小值, ………………… 13分此时π6OP ==km ),即点P 在OA 上距O 处.【答】变电站建于距O 处时,它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分19.(本小题满分16分)已知椭圆()22220y x C a b a b:+=1>>A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,且(13)B --,.(1)求椭圆C 和直线l 的方程;(2)记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域(含边界)为D .若曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点,试求实数m 的最小值.【解】(1)由离心率e ==,即223a b =. ① ………………2分又点(13)B --,在椭圆2222:1y x C a b =+上,即2222(3)(1)1a b--=+. ② ………………4分解 ①②得22124a b ==,,故所求椭圆方程为221124y x +=. …………………6分由(20)(13)A B --,,,得直线l 的方程为2y x =-. ………8分 (2)曲线2222440x mx y y m -+++-=,即圆22()(2)8x m y -++=,其圆心坐标为(2)G m -,,半径r =2y =-上,半径为. ………………… 10分由于要求实数m 的最小值,由图可知,只须考虑0m <的情形.设G 与直线l 相切于点T=4m =±,………………… 12分七彩教育网 免费提供Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载当4m =-时,过点(42)G --,与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=,解方程组6020x y x y ++=⎧⎨--=⎩,得(24)T --,. ………………… 14分因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-,,所以切点T D ∉,由图可知当G 过点B 时,m 取得最小值,即22(1)(32)8m --+-+=,解得min 1m =. ………………… 16分 (说明:若不说理由,直接由圆过点B 时,求得m 的最小值,扣4分) 20.(本小题满分16分)已知二次函数g (x )对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--,且()11g =-.令()19()ln (,0)f x g x m x m x =+++∈>R .(1)求 g (x )的表达式;(2)若0x ∃>使()0f x ≤成立,求实数m 的取值范围;(3)设1e m <≤,()()(1)H x f x m x =-+,证明:对12[1]x x m ∀∈,,,恒有12|()()| 1.H x H x -<【解】 (1)设()2g x ax bx c =++,于是()()()()2211212212g x g x a x c x -+-=-+=--,所以121.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, 又()11g =-,则12b =-.所以()211122g x x x =--. ……………………4分(2)()2191()ln ln (0).f x g x m x x m x m x =+++=+∈>R , 当m >0时,由对数函数性质,f (x )的值域为R ;当m =0时,2()02x f x =>对0x ∀>,()0f x >恒成立; ……………………6分当m <0时,由()0mf x x x x'=+=⇒=[]min ()mf x f m ==-+这时, []min0()0e<0.20mm f x m m ⎧-+>⎪>⇔⇒-<⎨⎪<⎩, ……………………8分 所以若0x ∀>,()0f x >恒成立,则实数m 的取值范围是(e 0]-,. 故0x ∃>使()0f x ≤成立,实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞,.……………… 10分(3)因为对[1]x m ∀∈,,(1)()()0x x m H x x--'=≤,所以()H x 在[1,]m 内单调递减.于是21211|()()|(1)()ln .22H x H x H H m m m m -≤-=--2121113|()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m -<⇐--<⇔--< ………………… 12分记13()ln (1e)22h m m m m m =--<≤,则()221133111()02h'm m =-+=-+>,所以函数13()ln 22h m m m m =--在(1e],是单调增函数, ………………… 14分所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2eh m h -+≤=--=<,故命题成立. ………………… 16分附加题部分21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .选修4—1 几何证明选讲如图,AB 是⊙O 的直径,C 、F 为⊙O 上的点,且CA 平分∠BAF ,过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D . 求证:DC 是⊙O 的切线. 【证明】连结OC ,所以∠OAC =∠OCA . 又因为CA 平分∠BAF ,所以∠OAC =∠F AC , 于是∠F AC =∠OCA ,所以OC //AD . 又因为CD ⊥AF ,所以CD ⊥OC ,故DC 是⊙O 的切线. ………………… 10分 B .选修4—2 矩阵与变换七彩教育网 免费提供Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载变换T 是绕坐标原点逆时针旋转π2的旋转变换,求曲线22221x xy y -+=在变换T 作用 下所得的曲线方程.【解】变换T 所对应变换矩阵为0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ,设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图像上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则00x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ,即00,,y x x y =-⎧⎨=⎩,代入220000221x x y y -+=, 即22221x xy y ++=,所以变换后的曲线方程为22221x xy y ++=. ………………… 10分C .选修4—4 参数方程与极坐标(本题满分10分)已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=,2πcos()24ρθ--=. (1)把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.【解】(1)224ρρ=⇒=,所以224x y +=;因为()2πcos 24ρθ--=,所以()2ππcos cos sin sin 2ρθθ-+=,所以222220x y x y +---=. ………5分 (2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为1x y +=.化为极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=,即()πsin 4ρθ+ ………………… 10分D .选修4—5 不等式证明选讲(本题满分10分)已知0m a b >∈R ,,,求证:()22211a mba mb m m++≤++. 【解】因为0m >,所以10m +>,所以要证()22211a mb a mb m m ++≤++, 即证222()(1)()a mb m a mb +≤++, 即证22(2)0m a ab b -+≥,即证2()0a b -≥,而2()0a b -≥显然成立,故()22211a mba mb m m++≤++.…………… 10分【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.动点P 在x 轴与直线l :y =3之间的区域(含边界)上运动,且到点F (0,1)和直线l 的距离之和为4.(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)过点(0,1)Q-作曲线C 的切线,求所作的切线与曲线C 所围成区域的面积.【解】(1)设P (x ,y ),根据题意,3-y =4,化简,得y =14x 2(y ≤3). …………………4分(2)设过Q 的直线方程为y =kx -1,代入抛物线方程,整理得x 2-4kx +4=0. 由△=16k 2-16=0.解得k =±1. 于是所求切线方程为y =±x -1(亦可用导数求得切线方程).切点的坐标为(2,1),(-2,1).由对称性知所求的区域的面积为S =220132(1)d .44x x x ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦⎰ …………………10分23.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面是等腰直角三角形,AB =BC BB 1=3,D 为A 1C 1的中点,F 在线段AA 1上.(1)AF 为何值时,CF ⊥平面B 1DF ? (2)设AF =1,求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.【解】 (1)因为直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,BB 1⊥面ABC ,∠ABC =π2. 以B 点为原点,BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为AC =2,∠ABC=90º,所以AB =BC =2,从而B (0,0,0),A )00,,C ()00,B 1(0,0,3),A 1)03,,C1()03,D 3⎫⎪⎭,E 302⎛⎫ ⎪⎝⎭,. 所以()123CA =,, 设AF =x ,则F (2,0,x ), ()()112222030CFx B F x B D ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,,,,,,,12(00CFB D x ⋅=⋅++⋅=,所以1.CF B D ⊥ AC 1B 1 A F七彩教育网 免费提供Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载要使CF ⊥平面B 1DF ,只需CF ⊥B 1F .由1CF B F ⋅=2+x (x -3)=0,得x =1或x =2,故当AF =1或2时,CF ⊥平面B 1DF .……………… 5分(2)由(1)知平面ABC 的法向量为n 1=(0,0,1).设平面B 1CF 的法向量为(,,)x y z =n ,则由100CF B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,,n n得020z z +=-=,,令z =1得)1=n , 所以平面B 1CF 与平面ABC所成的锐二面角的余弦值1cos 〈〉==,n n ………………… 10分七彩教育网 免费提供Word版教学资源七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载。
江苏省启东中学2010届高三考前辅导(二)(数学)
江苏省启东中学2010届高三考前辅导(二)一.填空题1. 设复数1i z =+,若z ,1z对应的向量分别为OA 和OB ,则AB的值为 ▲ ;2. 设函数()cos f x x =,把()f x 的图象向右平移m 个单位后,图象恰好为函数'()y f x =- 的图象,则m 的值可以为 . ▲ 3.在ABC ∆中,已知sin 2sin cos A B C =,且3sin 5B =,则sin A 的值为 ▲ .;4.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,并统计了他们的物理成绩(成绩均为整数且满分为100分),把其中不低于50分的分成五段[)60,50,[)70,60…[]100,90后画出如图部分..频率分布直方图.观察图形的信息,若从物理成绩不及格(60分以下为不及格)的学生中任选两人,则他们成绩至少有一个不低于50分的概率为 ▲ .5.已知n m ,是两条不同的直线,βα,为两个不同的平面,有下列四个命题: ①若βα⊥⊥n m ,,m ⊥n ,则βα⊥; ②若n m n m ⊥,//,//βα,则βα//; ③若n m n m ⊥⊥,//,βα,则βα//; ④若βαβα//,//,n m ⊥,则n m ⊥. 其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)___▲_____.6.已知a>0,b>0,且lg()lg lg ,a b a b +=+则lg(1)lg(1)a b +++的最小值是 ▲ .; 7. 已知区域}1),({-≥=x y y x A ,区域}12),({--≤=x y y x B ,点P 在区域B A M =,则1≤OP 的概率是 ▲8.若函数()22lg 2+-⋅=x a x x f 在区间()2,1内有且只有一个零点,那么实数a 的取值范围是 ▲_..1009080706050组距频率第5题9.已知某算法的流程图如图所示,若将输出的记为(x 1 , y 1 ),(x 2 , y 2 ),……(x n , y n ),…….(1) 若程序运行中输出的一个数组是(9 , t),则(2) 程序结束时,共输出(x , y )的组数为 ▲ .10. 如图,P 是椭圆192522=+yx上的一点,F 是椭圆的左焦点,且)(2OF OP OQ +=,4||=OQ 则点P 到该椭圆左准线的距离为 . ▲11.定义:关于x 的两个不等式()0<x f 和()0<x g 的解集分别为()b a ,和⎪⎭⎫⎝⎛a b 11,,则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式2cos 10x θ-+<与不等式212sin 10x x θ++<为对偶不等式,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则=θ ▲ . 12.若数列{}n a 满足*111(,)n nd n N a a +-=∈为常数,则称数列{}n a 为“调和数列”已知数列1{}nx 为“调和数列”,且1220...200x x x +++=,则318x x 的最大值是 ▲ 。
数学_2010年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)(含答案)
2010年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)1. 若集合A={x|2x≥4}=[a, +∞),则a=________.2. 已知复数z1=2+ai,z2=2−i,若|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是________.3. 为了了解高三学生的身体状况,抽取了部分男生的体重,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图).已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,第2小组的频数为12,则抽取的男生人数是________.4. 已知1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则a1+a2b2=________.5. 抛掷一颗骰子的点数为a,得到函数f(x)=sin aπ3x,则“y=f(x)在[0, 4]上至少有5个零点”的概率是________.6. 如图,AD=2,AC=4,BC=6,∠B=36∘,∠D=117∘,△ABC∽△DAC.(1)求AB的长;(2)求CD的长;(3)求∠BAD的大小.7. 若对于x∈(0,π2),不等式1sin2x+mcos2x≥9恒成立,则正实数m的取值范围为________.8. 如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,D在边AC上,已知BC=2,CD=1,∠ABD=45∘,则AD=________.9. 如图是由所输入的x值计算y值的一个算法程序,若x依次取数列{n2+4n}(n∈N∗, n≤2009)的项,则所得y值中的最小值为________.10. 已知直线y =x +b 是曲线y =lnx −1的一条切线,则b =________.11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是准线上一点,且PF 1⊥PF 2,PF 1⋅PF 2=4ab ,则双曲线的离心率是________.12. 在周长为16的△PMN 中,MN =6,则PM →⋅PN →的取值范围是________. 13. 设函数f(x)=x(12)x +1x+1,A 0为坐标原点,A n 为函数y =f(x)图象上横坐标为n(n ∈N ∗)的点,向量a n =∑A k−1A k →n k=1,向量i =(1, 0),设θn 为向量a n 与向量i 的夹角,则满足∑tan n k=1θk <53的最大整数n 是________.14. 已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线,它们的交点为A ,动点B 、C 分别在l 1和l 2上,且BC =3√2,过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为________.二、解答题(共6小题,满分90分)15. 已知α∈(0,π2),β∈(π2,π),cos2β=−79,sin(α+β)=79.(1)求cosβ的值; (2)求sinα的值.16. 如图,在四棱锥P −ABCD 中,底面ABCD 是矩形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且PA =PD =√22AD ,若E ,F 分别为PC ,BD 的中点.求证:(1)EF // 平面PAD ; (2)EF ⊥平面PDC .17. 已知等差数列{a n }满足:a 1=8,a 5=0.数列{b n }的前n 项和为S n =2n−1−12(n ∈N ∗)(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)令c n =2a n ,试问:是否存在正整数n ,使不等式b n c n +1>b n +c n 成立?若存在,求出相应n 的值;若不存在,请说明理由.18. 图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图,其中四边形ABCD 是矩形,弧CmD 是半圆,凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比,比例系数为√3,设AB =2x ,BC =y .(1)写出y关于x函数表达式,并指出x的取值范围;(2)求当x取何值时,凹槽的强度最大.19. 如图,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴AB长为4,离心率e=√32,O为坐标原点,过B的直线l与x轴垂直.P是椭圆上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ,连接AQ延长交直线l于点M,N为MB的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)证明Q点在以AB为直径的圆O上;(3)试判断直线QN与圆O的位置关系.20. 已知f1(x)=|3x−1|,f2(x)=|a⋅3x−9|(a>0),x∈R,且f(x)={f1(x),f1(x)≤f2(x),f2(x),f1(x)>f2(x).(1)当a=1时,求f(x)在x=1处的切线方程;(2)当2≤a<9时,设f(x)=f2(x)所对应的自变量取值区间的长度为l(闭区间[m, n]的长度定义为n−m),试求l的最大值;(3)是否存在这样的a,使得当x∈[2, +∞)时,f(x)=f2(x)?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.2010年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)答案1. 22. −1<a<13. 484. 525. 236. (1)AB的长是3;(2)CD的长是83;(3)∠BAD是153∘.7. m≥48. 59. 1710. −211. √312. [7, 16)13. 314. 18π15. 解:(1)因为β∈(π2,π),cosβ<0又cos2β=2cos2β−1=−79,所以cosβ=−13(2)根据(1),得sinβ=√1−cos2β=2√23而α+β∈(π2,3π2),且sin(α+β)=79,所以cos(α+β)=−√1−sin2(α+β)=−4√29故sinα=sin[(α+β)−β]=sin(α+β)cosβ−cos(α+β)sinβ=79×(−13)−(−4√29)×2√23=1316.证明:(1)连接AC,在矩形ABCD中,F是BD的中点则F是AC的中点,又E是PC的中点,在△CPA中,EF // PA,且PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,∴ EF // 平面PAD.(2)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,又CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,又PA⊂平面PAD,∴ CD⊥PA,∵ EF//PA,∴ CD⊥EF,又PA=PD=√22AD,所以△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=π2,即PA⊥PD,又EF//PA,∴ PD⊥EF,而CD∩PD=D,CD⊂平面PDC,PD⊂平面PDC,∴ 所以EF⊥平面PDC.17. 解:(1)设数列{a n}的公差为d,由a5=a1+4d1,得d1=−2,得a n=−2n+10.由数列{b n}的前n和为S n=2n−1−12(n∈N∗)可知,当n=1时,b1=S1=12,当n≥2时,b n=S n−S n−1=2n−2,b n=2n−2当n=1时,得b1=12,故数列{a n}的通项公式为a n=−2n+10,{b n}的通项公式为b n=2n−2.(2)假设存在正整数n使不等式b n c n+1>b n+c n成立,即要满足(c n−1)(b n−1)>0,由c n=2a n=210−2n=45−n,b n=2n−2,所以数列{c n}单调减,数列{b n}单调增,①当正整数n=1,2时,2n−2−1≤0,所以b n c n+1>b n+c n不成立;②当正整数n=3,4时,c n−1>0,b n−1>0,所以b n c n+1>b n+c n成立;③当正整数n≥5时,c n−1≤0,b n−1>0,所以b n c n+1>b n+c n不成立.综上所述,存在正整数n=3,4时,使不等式b n c n+1>b n+c n成立.18. 当x=44+3π时,凹槽的强度最大.19. 解:(1)由题设可得2a=4,ca =√32,解得a=2,c=√3,∴ b=1.∴ 椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设P(x0, y0),则x024+y02=1.∵ HP =PQ ,∴ Q(x 0, 2y 0).∴ OQ =√x 02+(2y 02)=2.∴ Q 点在以O 为圆心,2为半径的圆上.即Q 点在以AB 为直径的圆O 上.(3)设P(x 0, y 0)(x 0≠±2),则Q(x 0, 2y 0),且x 024+y 02=1.又A(−2, 0),∴ 直线AQ 的方程为y =2y 0x 0+2(x +2).令x =2,得M(2,8y 0x+2).又B(2, 0),N 为MB 的中点,∴ N(2,4y 0x0+2).∴ OQ →=(x 0,2y 0),NQ →=(x 0−2,2x 0yx 0+2). ∴ OQ →⋅NQ →=x 0(x 0−2)+2y 0⋅2x 0y 0x 0+2=x 0(x 0−2)+4x 0y 02x 0+2=x 0(x 0−2)+x 0(4−x 02)x 0+2=x 0(x 0−2)+x 0(2−x 0)=0.∴ OQ →⊥NQ →.∴ 直线QN 与圆O 相切.20. 解:(1)当a =1时,f 2(x)=|3x −9|.因为当x ∈(0, log 35)时,f 1(x)=3x −1,f 2(x)=9−3x ,且f 1(x)−f 2(x)=2⋅3x −10<2⋅3log 35−10=2⋅5−10=0, 所以当x ∈(0, log 35)时,f(x)=3x −1,且1∈(0, log 35) 由于f ′(x)=3x ln3,所以k =f ′(1)=3ln3,又f(1)=2, 故所求切线方程为y −2=(3ln3)(x −1), 即(3ln3)x −y +2−3ln3=0;(2)因为2≤a <9,所以0<log 39a ≤log 392,则 ①当x ≥log 39a 时,因为a ⋅3x −9≥0,3x −1>0,所以由f 2(x)−f 1(x)=(a ⋅3x −9)−(3x −1)=(a −1)3x −8≤0,解得x ≤log 38a−1,从而当log 39a≤x ≤log 38a−1时,f(x)=f 2(x);②当0≤x <log 39a 时,因为a ⋅3x −9<0,3x −1≥0,所以由f 2(x)−f 1(x)=(9−a ⋅3x )−(3x −1)=10−(a +1)3x ≤0,解得x ≥log 310a+1, 从而当log 310a+1≤x <log 39a时,f(x)=f 2(x);③当x <0时,因为f 2(x)−f 1(x)=(9−a ⋅3x )−(1−3x )=8−(a −1)3x >0, 从而f(x)=f 2(x)一定不成立.综上得,当且仅当x ∈[log 310a+1,log 38a−1]时,f(x)=f 2(x), 故l =log 38a−1−log 310a+1=log 3[45(1+2a−1)], 从而当a =2时,l 取得最大值为log 3125;(3)“当x ∈[2, +∞)时,f(x)=f 2(x)”等价于“f 2(x)≤f 1(x)对x ∈[2, +∞)恒成立”,即“|a ⋅3x −9|≤|3x −1|=3x −1(∗)对x ∈[2, +∞)恒成立” ①当a ≥1时,log 39a ≤2,则当x ≥2时,a ⋅3x−9≥a ⋅3log 39a−9=0,则(∗)可化为a ⋅3x −9≤3x −1,即a ≤1+83x,而当x ≥2时,1+83x>1,所以a ≤1,从而a =1适合题意 ②当0<a <1时,log 39a >2.(i)当x >log 39a时,(∗)可化为a ⋅3x −9≤3x −1,即a ≤1+83x,而1+83x>1,所以a ≤1,此时要求0<a <1;(ii)当x =log 39a时,(∗)可化为0≤3x −1=9a−1,此时只要求0<a <9;(iii)当2≤x <log 39a 时,(∗)可化为9−a ⋅3x ≤3x −1,即a ≥103x−1,而103x−1≤19,所以a ≥19,此时要求19≤a <1,由(i)(ii)(iii),得19≤a <1,符合题意要求.综合①②知,满足题意的a 存在,且a 的取值范围是19≤a ≤1.。
江苏省启东中学2008—2009学年高考模拟考试十数学试题
江苏省启东中学2008—2009学年高考模拟考试十数学试题一、填空题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,不需要写出解答过程。
) 1.若集合}2|{x y y M -==,}1|{-==x y y P ,则=P M。
2.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为c b a ,,,若1=a ,3=c ,3C π=,则=A 。
3.设双曲线12222=-by a x 的离心率]2 332[,∈e ,则双曲线的两条渐近线夹角a 的取值范围是。
4.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概率为。
5.如下图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若m =,n =,则n m +的值为。
6.棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上,则球O 的表面积是;设E ,F 分别是该正方体的棱AA 1,DD 1的中点,则直线EF 被球O 截得的线段长为。
7.设函数)(x f 是R 上以5为周期的可导偶函数,则曲线)(x f y =在5=x 处的切线的斜率为。
8.设集合}02|){(A ≥-≥=x x y y x ,,,}|){(B b x y y x +-≤=,,若B A )( ∈y x ,,且y x 2+的最大值为9,则b 的值是。
9.已知⎩⎨⎧><+-=1log 14)13()(x x x a x a x f a,,是(-∞,+∞)上的减函数,那么a 的取值范围是。
10.已知71cos =α,1413)cos(=-βα,且20παβ<<<,则=β 。
11.设O (0,0),A (1,0),B (0,1),点P 是线段AB 上的一个动点,λ=。
若⋅≥⋅λ,则实数λ的取值范围是。
12.设有一组圆k C :4222)3()1(k k y k x =-++-)(*N k ∈。
届江苏启东中学高三阶段考试数学试题(理)
2008届江苏省启东中学高 三 阶 段 考 试数学试卷(理科)一、填空题:(每小题5分,共70分)1.设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A∩B= .2.已知关于x 的方程1+=ax x 有一个负根,但没有正根,则实数a 的取值范围是3.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于 .4.若α是第二象限的角,且2sin 3α=,则=αcos . 5.等差数列{}n a 中,12010=S ,那么29a a +的值是 .6.若向量(3,1),(2,1)AB n =-=,且n AC ⋅=7,那么n BC ⋅等于 .7.从[0,1]之间选出两个数,这两个数的平方和小于0.25的概率是8.已知点M (-3,0),N (3,0),B (1,0),圆C 与直线MN 切于点B ,过M 、N 与 圆C 相切的两直线相交于点P ,则P 点的轨迹方程为 .9.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图,如下,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组的频数成等比数列,设视力在4.6到4.9之间的学生数为a ,最大频率为b ,则a, b 的值分别为 ___ , .10.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为 .11.在ABC ∆中,若,,AB AC AC b BC a ⊥==,则ABC ∆的外接圆半径r =,将此结论拓展到空间,可得出的正确结论是:在四面体S ABC -中,若SA SB SC 、、两两垂直,,,SA a SB b SC c ===,则四面体S ABC -的外接球半径R =____________.12.在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y sy x y x 下,当53≤≤s 时,目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是 13.在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数(也称高斯函数),它表示x 的整数部分,即[x ]是不超过x 的最大整数.例如:[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-.设函数21()122x x f x =-+,则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 _______________ 14.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若以点O )0,0(、A ),(l S l 、B ),(m S m 、C ),(p S p 为顶点的四边形(其中n m l <<),则n m l 、、之间的等量关系式经化简后为_________二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(15分) 已知函数x x x f cos 26sin 2)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π. (Ⅰ)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x 时,若54sin =x ,求函数)(x f 的值; (Ⅱ)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x 时,求函数()3sin()cos(2)63h x x x ππ=---的值域; (Ⅲ)把函数)(x f y =的图象按向量m 平移得到函数)(x g 的图象,若函数)(x g 是偶函数,写出m 最小的向量m 的坐标.16.(15分)如图所示,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别为1DD 、DB 的中点.C DB FE D 1C 1B 1A A 1(Ⅰ)求证:EF //平面11ABC D ;(Ⅱ)求证:1EF B C ⊥;(Ⅲ)求三棱锥EFC B V -1的体积.17.(15分)已知圆C :x 2+y 2+2x-4y+3=0。
江苏省南通市2010届高三第二次模拟考试_数学
南通市2010届高三第二次模拟考试数 学一、填空题:请把答案填写在答题卡相应的位置上.本大题共14小题。
每小题5分,共70分.1.命题“,tanx>sinx ”的否定是 ________________ 2.已知复数为实数,则实数m 的值为________3.曲线y=2x —lnx 在点(1,2)处的切线方程是 ________ 4.在Rt △ABC 中,A=90。
,AB=1,BC=2.在BC 边上任取一点M ,AMB ≥90。
的概率为__________5.某算法的伪代码如下:则输出的结果是__________ .6.设全集U=R ,A=2|0,|sin ,12x x B x x x ⎛-⎛⎫=≥ ⎪ +⎝⎭⎝⎭则A B=________. 7.设l.m 表示两条不同的直线,表示一个平面,从上“”中选择适当的符号填入下列空格,使其成为真命题,即8.已知函数 若函数g(x)=f(x)-m 有3个零点,则实数m 的取值范围_______9.设圆 的一条切线与x 轴、Y 轴分别交于A 、B 两点,则线段AB 长度的最小值为________ 10.将正偶数按如下所示的规律排列: 2 4 68 10 12 14 16 18 20则第n (n>=4)行从左向右的第4个数为_______11.已知函数f(x)=Asin()(A>0,w>0) 的图象与直线y=b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则函数f(x)的单调递增区间是______ [来源:Z&xx&kaaa] 12.A 、B 是双曲线C 的两个顶点,直线l 与双曲线C 交于不同的两点P,Q ,且与实轴垂直 [来源:学|科|网Z|X|X|K],则双曲线C 的离心率e=______13.如图,正六边形ABCDEF 中,P 是 △CDE 内(包括边界)的动点. 设的取值范围是 _____14.设函数若存在知∈R ,使得f(x)<O 与g(x 。
启东市2009--2010学年度第二学期期终学生素质测试 (2)
启东市2009--2010学年度第二学期期终学生素质测试高二(文科)数学试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷包含填空题(第1题~第14题,共14题)、解答题(第15题~第20题,共6题),总分160分,考试时间为120分钟.2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上.3.请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符.4.请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题,在其它位置作答一律无效.5.作图可先用2B 铅笔,然后用签字笔描黑.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。
不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1.从“⇒”、“⇐”、“⇔”中选择适当的符号填空:①22+=x x ▲ 2||+=x x ;②∈x A ∪B ▲ ∈x A ∩B .①⇔;②⇐2.若命题p 的逆命题是q ,命题p 的逆否命题是r ,则q 与r 的命题关系是 ▲ . 由四种命题关系图可得:互为否命题 3.i 是虚数单位.已知4)1(331i iiz ++-+=,则复数z 对应的点落在第 ▲ 象限. 二(或2)4.已知命题P :∈∃x R ,0322>-+x ax .如果命题 ⌝P 是真命题,那么a 的范围是▲ .由⌝P :∈∀x R ,322-+x ax ≤0是真命题,即322-+x ax ≤0恒成立,得a ≤31- 5.已知双曲线的两条渐近线方程为043=±y x ,则双曲线方程为 ▲ .只知渐近线不知焦点,故分两种情况(共轭双曲线).得191622±=-y x 6.已知在复平面内,定点M 与复数m =1+2i 对应,动点Z 与复数yi x z +=(∈y x ,R )对应,那么不等式|23|m z -≤2的点Z 的集合表示的图形面积为 ▲ . 不等式|23|m z -≤2可化为|32|m z -≤32,以34,32(为圆心,32为半径的圆面,面积为94π 7.已知圆x 2+y 2-6x -7=0与抛物线y 2=-2px (p >0)的准线相切,则p = ▲ . 分析: 圆方程化为16)3(22=+-y x ,垂直于x 轴的圆的切线为x =-1,x =7,由于抛物线方程是标准方程,故准线方程为x =7,解得p =148.设中心在原点的椭圆离心率为e ,左、右两焦点分别为F 1、F 2,抛物线x y 42=以F 2为焦点,点P 为抛物线和椭圆的一个交点,若PF 2与x 轴成45°,则e 的值为 ▲ . 抛物线x y 42=以F 2为焦点得c =1,PF 2与x 轴成45°得PF 2方程y =x +1,从而得点P (1,2),得直角三角形12F PF ,得215+=a ,215-=e 9.已知函数x x x f cos 21)(2+=,则)(x f 取得极值时的x 值为 ▲ . 0sin )(=-='x x x f 只有一解0,故x =010.已知函数23)(23+-=x x x f ,若]3,2[-∈x ,则函数的值域为 ▲ .)2(3)(-='x x x f ,]0,2[-,]3,2[上增,)2,0(上减,18)2(-=-f ,2)0(=f ,2)2(-=f ,2)3(=f ,故值域为]2,18[-11.已知函数)(x f y =的图象如图,则函数)(x f y '=的草图为 ▲ .12.已知三次方程0223=+++b x ax x 有三个实数根,它们分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率,则实数a 的取值范围是 ▲ . 由题意可知3--=a b ,0]3)1()[1(223=++++-=+++a x a x x b x ax x ,则03)1(2=++++a x a x 的两根分别在(0,1)(1,+∞)上 令3)1()(2++++=a x a x x g ,则⎩⎨⎧<>0)1(0)0(g g ,得253-<<-a13.请阅读下列材料:若两个正实数12,a a 满足22121a a +=,那么21a a +≤2.证明:构造函数2221212()()()22()1f x x a x a x a a x =-+-=-++,因为对一切实数x ,恒有)(x f ≥0,所以△≤0,从而得8)(4221-+a a ≤0,所以21a a +≤2.根据上述证明方法,若n 个正实数满足222121n a a a ++⋅⋅⋅+=时,你能得到的结论为▲ .(不必证明) 关键是构造函数∑∑==+-=-=ni ni i ix a nx a x x f 112212)()(对一切实数x ,恒有)(x f ≥0,所以△≤0,从而得n a a a +++ 21≤n 14.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横纵坐标 分别对应数列}{n a (n ∈Z *)的前12项, 如下表所示:按如此规律下去,则201120102009a a a ++= ▲ .提示:数列为:1,1,-1,2,2,3,-2,4,3,5,-3,6 ,0201120097531=+==+=+a a a a a a ,k a k =2,故201120102009a a a ++=1005二、解答题:本大题共6小题,共90分。
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启东中学2009/2010学年度高三年级适应性考试数 学 试 题(总分160分,考试时间120分钟)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知复数2z i =,则13iz+的虚部为 ▲ . 2.为了抗震救灾,现要在学生人数比例为5:3:2的A 、B 、C 三所高校中,用分层抽样方法抽取n 名志愿者,若在A 高校恰好抽出了6名志愿者,那么n = ▲ .3.若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题,则实数a 的取值范围是 ▲ .4.已知向量()()2,1,3,a b λ==,若()2a b b -⊥ ,则λ= ▲ .5.已知集合π,,089n A n Z n αα⎧⎫==∈≤≤⎨⎬⎩⎭,若从A 中任取一个元素作为直线l 的倾斜角,则直线l 的斜率小于零的概率是 ▲ .6.在等比数列{}n a 中,若22a =-,632a =-,则4a = ▲ .7.已知函数2sin cos 122()2tan 2cos 12x x f x x x =+-,则()8f π的值为 ▲ . 8.按如图所示的流程图运算,则输出的S = ▲ .9.由“若直角三角形两直角边的长分别为,a b ,将其补成一个矩形,则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径为222a b r +=”. 对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为,,a b c ”,类比上述处理方法,可得该三棱锥的外接球半径为R = ▲ .10.已知,,A B F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点和右焦点,直线AF 与椭圆的右准线交于点M ,若直线MB ∥x 轴,则该椭圆的离心率e = ▲ .11.已知数列{}n a 满足221221,2,(1cos)sin 22n n n n a a a a ππ+===++,则该数列的前20项的和为 ▲ .12.已知直线10kx y -+=与圆C :224x y +=相交于,A B 两点,若点M 在圆C 上,且有OM OA OB =+(O 为坐标原点),则实数k = ▲ .13.若,,0a b c >,且24a ab ac bc +++=,则2a b c ++的最小值为 ▲ .14.设0a >,函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-,若对任意的12,[1,]x x e ∈,都有12()()f x g x ≥成立,则实数a 的取值范围为 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请开始结束S 输出YN4≥a 1,5←←S a a S S ⨯←1-←a a 第8题把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱1111ABCD A BC D -中,1111AC B D ⊥,,E F 分别是,AB BC 的中点.(Ⅰ)求证://EF 平面11A BC ; (Ⅱ)求证:平面11D DBB ⊥平面11A BC .16.(本小题满分14分)设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=.(Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)若23b =,试求AB CB ⋅的最小值.17.(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和2n S n =,数列{}n b 满足*()nn n a b m N a m=∈+.(Ⅰ)若128,,b b b 成等比数列,试求m 的值;(Ⅱ)是否存在m ,使得数列{}n b 中存在某项t b 满足*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列?若存在,请指出符合题意的m 的个数;若不存在,请说明理由.A 1B 1C 1ABC D 1DEF第15题18.(本小题满分16分)某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示. 其上部分是以AB 为直径的半圆,点O 为圆心,下部分是以AB 为斜边的等腰直角三角形,,DE DF 是两根支杆,其中2AB =米,2(0)4EOA FOB x x π∠=∠=<<. 现在弧EF 、线段DE 与线段DF 上装彩灯,在弧AE 、弧BF 、线段AD 与线段BD 上装节能灯. 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为2k ,节能灯的比例系数为(0)k k >,假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦效果”的和.(Ⅰ)试将y 表示为x 的函数;(Ⅱ)试确定当x 取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳?19.(本小题满分16分)已知椭圆C :2212x y +=的左、右焦点分别为12,F F ,下顶点为A ,点P 是椭圆上任一点,⊙M 是以2PF 为直径的圆.(Ⅰ)当⊙M 的面积为8π时,求PA 所在直线的方程;(Ⅱ)当⊙M 与直线1AF 相切时,求⊙M 的方程;(Ⅲ)求证:⊙M 总与某个定圆相切.DOABEF第18题2xP xyF 1F 2 · M O20.(本小题满分16分)已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-.(Ⅰ)若|()|()f x g x =有两个不同的解,求a 的值;(Ⅱ)若当x R ∈时,不等式()()f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围; (Ⅲ)求()|()|()h x f x g x =+在[2,2]-上的最大值.启东中学2009/2010学年度高三年级适应性考试数学参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分. 1.12-2.303.13a -≤≤4.3或1-5.496.8-7.28.209.2222a b c ++ 10.22 11.2101 12.0 13.4 14.2a e ≥-二、解答题:本大题共6小题,计90分. 15.解:(Ⅰ)连接AC ,则AC ∥11AC ,而,E F 分别是,AB BC 的中点,所以EF ∥AC ,·则EF ∥11AC ,故//EF 平面11A BC ………………………………………………………7分 (Ⅱ)因为1BB ⊥平面1111A B C D ,所以111BB AC ⊥,又1111AC B D ⊥,则11AC ⊥平面11D DBB ………………………………………………………………12分 又11AC ⊂平面11A BC ,所以平面11D DBB ⊥平面11A BC …………………………14分16.解:(Ⅰ)因为(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅= ,所以(2)cos cos 0a c ac B cab C ++=, 即(2)cos cos 0a c B b C ++=,则(2s i n s i n )c o s s i n c o s 0A C B B C ++= …………4分所以2sin cos sin()0A B C B ++=,即1cos 2B =-,所以23B π=………………8分(Ⅱ)因为22222cos 3b ac ac π=+-,所以22123a c ac ac =++≥,即4ac ≤…12分所以AB CB ⋅ =21cos 232ac ac π=-≥-,即AB CB ⋅ 的最小值为2-………………14分 17.解:(Ⅰ)因为2n S n =,所以当2n ≥时,121n n n a S S n -=-=-………………3分又当1n =时,111a S ==,适合上式,所以21n a n =-(*n N ∈)…………………4分所以2121n n b n m -=-+,则1281315,,1315b b b m m m ===+++,由2218b b b =,得23115()3115m m m=⨯+++,解得0m =(舍)或9m =,所以9m =…………7分 (Ⅱ)假设存在m ,使得*14,,(,5)t b b b t N t ∈≥成等差数列,即412t b b b =+,则712127121t m m t m -⨯=+++-+,化简得3675t m =+-………………………………12分所以当51,2,3,4,6,9,12,18,36m -=时,分别存在43,25,19,16,13,11,10,9,8t =适合题意, 即存在这样m ,且符合题意的m 共有9个 ……………………………………14分 18.解:(Ⅰ)因为2EOA FOB x ∠=∠=,所以弧EF 、AE 、BF 的长分别为4,2,2x x x π-3分 连接OD ,则由OD=OE=OF=1,22FOD EOD x π∠=∠=+,所以112c o s (2)22s i n 22(s i nc o s )2D E D F x x x x π==+-+=+=+…………6分所以2(22(sin cos )4)(224)y k x x x k x π=++-++2(22(sin cos )22)k x x x π=+-++…………………………………9分(Ⅱ)因为由4(2(cos sin )1)0y k x x '=--=…………………………………11分 解得1cos()42x π+=,即12x π= …………………………………………13分又当(0,)12x π∈时,0y '>,所以此时y 在(0,)12π上单调递增;当(,)124x ππ∈时,0y '<,所以此时y 在(,)124ππ上单调递减.故当12x π=时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳 …………………16分19.解:(Ⅰ)易得())1,0(),0,1(,0,121--A F F ,设点P ()11,y x ,则212121212122)2(2121)1()1(-=-+-=+-=x x x y x PF ,所以12222x PF -=…3分又⊙M 的面积为8π,∴21)2(88-=x ππ,解得11=x ,∴)22,1()22,1(-或P , ∴PA 所在直线方程为1)221(-+=x y 或1)221(--=x y ………………5分(Ⅱ)因为直线1AF 的方程为01=++y x ,且)2,21(11y x M +到直线1AF 的 距离为11142222|1221|x y x -=+++………………………………7分 化简,得1121x y --=,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1221212111y x x y ,解得01=x 或981-=x …10分 ∴当01=x 时,可得)21,21(-M ,∴⊙M 的方程为21)21()21(22=++-y x ;当981-=x 时,可得17(,)1818M ,∴⊙M 的方程为2217169()()1818162x y -+-=…12分(Ⅲ)⊙M 始终和以原点为圆心,半径为=1r 2(长半轴)的圆(记作⊙O )相切13分证明:因为=++=44)1(2121y x OM 1212142228414)1(x x x +=-++,又⊙M 的半径=2r =2MF 14222x -,∴21r r OM -=,∴⊙M 和⊙O 相内切 (16)分(说明:结合椭圆定义用几何方法证明亦可)20.解:(Ⅰ)方程|()|()f x g x =,即2|1||1|x a x -=-,变形得|1|(|1|)0x x a -+-=,显然,x=1已是该方程的根,从而欲原方程有两个不同的解,即要求方程|1|x a += “有且仅有一个不等于1的解”或“有两解,一解为1,另一解不等于1” ……3分结合图形,得0a =或2a =……………………………………………………5分(Ⅱ)不等式()()f x g x ≥对x R ∈恒成立,即2(1)|1|x a x -≥-(*)对x R ∈恒成立,①当x=1时,(*)显然成立,此时a R ∈ ……………………………………6分②当x ≠1时,(*)可变形为21|1|x a x -≤-,令21(1)1()(1)(1)|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩, 因为当x>1时,()2x ϕ>;而当x<1时,()2x ϕ>-.所以()2g x >-,故此时2a ≤-……………………………………………9分 综合①②,得所求a 的取值范围是2a ≤- ……………………………10分(Ⅲ)因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221(1)1(11)1(1)x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--≥⎪--++-≤<⎨⎪-+-<-⎩,① 当1,22aa >>即时,结合图形可知h(x)在[-2,1]上递减,在[1,2]上递增, 且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3,经比较,此时h(x)在[-2,2]上的最大值为33a + (11)分② 当01,22aa ≤≤≤≤即0时,结合图形可知h(x)在[-2,-1],[,1]2a -上递减,在[1,]2a --,[1,2]上递增,且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3,2()124a a h a -=++, 经比较,知此时h(x) 在[-2,2]上的最大值为33a +……………………12分③ 当10,02aa -≤<≤<即-2时,结合图形可知h(x)在[-2,-1],[,1]2a -上递减,在[1,]2a --,[1,2]上递增,且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3,2()124a a h a -=++, 经比较,知此时h(x) 在[-2,2]上的最大值为3a +………………………13分④ 当31,222aa -≤<-≤<-即-3时,结合图形可知h(x)在[2,]2a -,[1,]2a -上递减,在[,1]2a,[,2]2a -上递增,且h(-2)=3a+30<, h(2)=a+30≥,经比较,知此时h(x) 在[-2,2]上的最大值为3a +………………………14分 ⑤ 当3,322a a <-<-即时,结合图形可知h(x)在[-2,1]上递减,在[1,2]上递增,故此时h(x) 在[-2,2]上的最大值为h(1)=0………………………………15分综上所述,当0a ≥时,h(x) 在[-2,2]上的最大值为33a +; 当30a -≤<时,h(x) 在[-2,2]上的最大值为3a +;当3a <-时,h(x) 在[-2,2]上的最大值为0…………………………………16分数学附加题部分21.A 、解:证明:连结EF ,∵B C F E ,,,四点共圆,∴ABC EFD ∠=∠……………2分∵AD ∥BC ,∴BAD ABC ∠+∠=180°,∴BAD EFD ∠+∠=180° …………6分 ∴A D F E ,,,四点共圆…………8分∵ED 交AF 于点G ,∴AG GF DG GE ⋅=⋅……10分B.解:设m n Mp q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则 2 4 2 0 1 03 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦22m n p q -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦…………5分则222435m n p q =⎧⎪-=⎪⎨=⎪⎪-=⎩1235m n p q =⎧⎪=-⎪⇒⎨=⎪⎪=-⎩,即1235M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦…………………………………10分 C.解:由,得………2分又因为2cos()cos 3sin 3πρθθθ=+=-,所以,2cos 3sin ρρθρθ=-,……………………4分由,得………8分,则3AB =…10分D. 解:因为22(122)y x x =-+⋅+≤22[1(2)][12]33x x +-++=⨯………6分 ∴ y ≤3…8分,当且仅当1212x x=-+时取“=”号,即当0x =时,max 3y =…10分22.解:(Ⅰ)根据抛物线的定义,可得动圆圆心P 的轨迹C 的方程为2x y =…………4分(Ⅱ)证明:设221122(,),(,)A x x B x x , ∵2y x =, ∴ 2y x '=,∴ ,AN BN 的斜率分别为122,2x x ,故AN 的方程为21112()y x x x x -=-,BN 的方程为22222()y x x x x -=- …7分即21122222y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩,两式相减,得122x x x +=, ∴ ,M N 的横坐标相等,于是MN x ⊥轴…………………………10分23.解:(Ⅰ)抛硬币一次正面向上的概率为12P =,所以正面向上的次数为奇数次的概率为151515(1)(3)(15)P P P P =+++ 111143312155151515111111()()()()()222222C C C =+++= …3分 故112P P =-=21……………………………………………………5分 (Ⅱ)因为111433121515151515(1)(1)P C p p C p p C p =-+-++ 1,0015221314141151515(1)(1)(1)P C p p C p p C p p =-+-++- 2…………………………7分则001511142213151515(1)(1)(1)P P C p p C p p C p p -=---+-211414115151515(1)C p p C p ++--1515[(1)](12)p p p =--=-,而102p <<,∴ 120p ->,∴ P P >21………10分。