北京一零一中学数学邀请赛

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北京市海淀区北京一零一中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题(含答案)

北京市海淀区北京一零一中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分。

1．（3分）下面四个图形是我校校训“百尺竿头，更进一步”中某个字的小篆体，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）在Rt△ABC中，已知∠ACB是直角，∠B＝55°，则∠A的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．25°3．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，4，7B．6，7，12C．6，7，14D．3，4，84．（3分）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，﹣1），则点A关于x轴的对称点的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（﹣1，3）6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，如果∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，那么∠EAC 的度数为（）A．40°B．35°C．45°D．25°7．（3分）等腰三角形的一个角是80°，它的底角的大小为（）A．80°B．20°C．80°或20°D．80°或50°8．（3分）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（）A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC9．（3分）如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E 是AC边上一点，若AE＝4，则当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（）A．22.5°B．30°C．45°D．15°10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过C点作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过D点作DF⊥AB于点F．下列结论中正确的个数是（）①∠CED＝∠CDE；②S△AEC：S△AEG＝AC：AG；③∠ADF＝2∠FDB；④CE＝DF．A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共8小题，每题3分，共24分，11．（3分）若一个多边形的边数是7，则该多边形的内角和是度．12．（3分）如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，若∠B＝45°，∠ACD＝150°，则∠A 的大小为．13．（3分）如图，△ABC中，D、E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是20，则阴影部分的面积是．14．（3分）如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB＝5，BD＝3，则BE的长为．15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE＝1，则AC的长为．16．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD ＝3，BE＝1，则DE的长是．17．（3分）如图，已知等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 °．18．（3分）如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，则∠A＝度；（2）在△ABC中，∠B＝27°，AD和DE是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，则∠C的度数为．三、解答题：本大题共7小题，第19题5分，第21、22题每题6分，第20、23、24题每题7分，第25题8分，共46分。

2024-2025学年北京市海淀区一零一中学数学九年级第一学期开学达标测试试题【含答案】

2024-2025学年北京市海淀区一零一中学数学九年级第一学期开学达标测试试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列命题正确的个数是（）（1）若x 2+kx +25是一个完全平方式，则k 的值等于10；（2）正六边形的每个内角都等于相邻外角的2倍；（3）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（4）顺次连结四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形A ．1B ．2C ．3D ．42、（4分）下列各式中是二次根式的为()A B C D ．3、（4分）如图，已知一次函数y ＝kx+b 的图象经过A 、B 两点，那么不等式kx+b ＞0的解集是（）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞5D ．x ＜54、（4分）在下列命题中，是假命题的个数有（）①如果22a b =，那么a b =.②两条直线被第三条直线所截，同位角相等③面积相等的两个三角形全等④三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和.A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5、（4分）如图，已知▱AOBC 的顶点O （0，0），A （﹣1，2），点B 在x 轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA ，OB 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点F ；③作射线OF ，交边AC 于点G ，则点G 的坐标为（）A ．﹣1，2）B．2）C ．（3，2）D ．（﹣2，2）6、（4分）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A ，B，C 均为格点，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交格线于点D，则CD 的长为（）A ．12B ．13C D ．27、（4分）一副三角板按图1所示的位置摆放，将△DEF 绕点A(F)逆时针旋转60°后（图2），测得CG ＝8cm ，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）A ．16＋16cm 2B ．16cm 2C ．16cm 2D ．48cm 28、（4分）环保部门根据我市PM2.5一周的检测数据列出下表.这组数据的中位数是A ．18B ．20C ．21D ．25二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）不等式3(2)7x -≤的正整数解有________个．10、（4分）反比例函数y＝4a x +的图象如图所示，A，P 为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB 中，PB∥y 轴，AB∥x 轴，PB 与AB 相交于点B．若△PAB 的面积大于12，则关于x 的方程(a－1)x 2－x＋14＝0的根的情况是________________．11、（4分）x 的取值范围是__________.12、（4分）在矩形ABCD 中，点A 关于∠B 的平分线的对称点为E ，点E 关于∠C 的平分线的对称点为F ．若AD AB ＝AF 2＝_____．13、（4分）我校八年一班甲、乙两名同学10次投篮命中的平均数x 均为7，方差2S 甲＝1.45，2S 乙＝2.3，教练想从中选一名成绩较稳定的同学加入校篮球队，那么应选_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）春节前小王花1200元从农贸市场购进批发价分别为每箱30元与50元的A,B 两种水果进行销售，并分别以每箱35元与60元的价格出售，设购进A 水果x 箱，B 水果y 箱.(1)让小王将水果全部售出共赚了215元，则小王共购进A 、B 水果各多少箱?(2)若要求购进A 水果的数量不得少于B 水果的数量，则应该如何分配购进A,B 水果的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润是多少?15、（8分）在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F ．（1）求证：DF AB =；（2）若135FEC ∠=︒，且4AB =，求AD ．16、（8分）如图1．在边长为10的正方形ABCD 中，点M 在边AD 上移动（点M 不与点A ，D 重合），MB 的垂直平分线分别交AB ，CD 于点E ，F ，将正方形ABCD 沿EF 所在直线折叠，则点B 的对应点为点M ，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，（1）若4AM =，求BE 的长；（2）随着点M 在边AD 上位置的变化，MBP ∠的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出MBP ∠的度数；（3）随着点M 在边AD 上位置的变化，点P 在边CD 上位置也发生变化，若点P 恰好为CD 的中点（如图2），求CF 的长．17、（10分）某商店计划购进A ，B 两种型号的电机，其中每台B 型电机的进价比A 型多400元，且用50000元购进A 型电机的数量与用60000元购进B 型电机的数量相等．（1）求A ，B 两种型号电机的进价；（2）该商店打算用不超过70000元的资金购进A ，B 两种型号的电机共30台，至少需要购进多少台A 型电机？18、（10分）在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是提高学习效率的重要方法，善于学习的小明在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，对照图形，把相关知识归纳整理如下：一次函数与方程（组）的关系：（1）一次函数的解析式就是一个二元一次方程；（2）点B 的横坐标是方程kx+b=0的解；（3）点C 的坐标（x ，y ）中x ，y 的值是方程组①的解．一次函数与不等式的关系：（1）函数y=kx+b 的函数值y 大于0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx+b ＞0的解集；（2）函数y=kx+b 的函数值y 小于0时，自变量x 的取值范围就是不等式②的解集．（一）请你根据以上归纳整理的内容在下面的数字序号后写出相应的结论：①；②；（二）如果点B 坐标为（2，0），C 坐标为（1，3）；①直接写出kx+b≥k1x+b1的解集；②求直线BC 的函数解析式．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝3：2，∠DAB ＝60°，E 在AB 上，如果AE ：EB ＝1：2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，那么DP ：DC 等于_____．20、（4分）如图，反比例函数()10ky x x =>与正比例函数2y mx =和3y nx =的图像分别交于点A （2，2）和B （b ，3），则关于x 的不等式组k mx x k nx x ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩的解集为___________。

北京市101中学2024届中考适应性考试数学试题含解析

北京市101中学2024年中考适应性考试数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如果将直线l1：y＝2x﹣2平移后得到直线l2：y＝2x，那么下列平移过程正确的是（）A．将l1向左平移2个单位B．将l1向右平移2个单位C．将l1向上平移2个单位D．将l1向下平移2个单位2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则∠ABC的大小是（）A．55°B．60°C．65°D．70°3．对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（）A．图象分布在第二、四象限B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．图象经过点（1，﹣2）D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y24．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（）A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m5．下列计算正确的是（）A ．（﹣2a ）2＝2a 2B ．a 6÷a 3＝a 2C ．﹣2（a ﹣1）＝2﹣2aD ．a •a 2＝a 2 6．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A ．23(2)3y x =++B ．23(2)3y x =-+C ．23(2)3y x =+-D ．23(2)3y x =--7．小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了如图的统计图．在这20位同学中，本学期购买课外书的花费的众数和中位数分别是（）A ．50，50B ．50，30C ．80，50D ．30，508．若二元一次方程组3,354x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为,,x a y b =⎧⎨=⎩则-a b 的值为（） A ．1 B ．3 C ．14- D ．749．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC ＝126°，则∠CDB ＝（）A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°10．如图，一个斜边长为10cm 的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm 的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）A ．60cm 2B ．50cm 2C ．40cm 2D ．30cm 2二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．某校为了了解学生双休日参加社会实践活动的情况，随机抽取了100名学生进行调查，并绘成如图所示的频数分布直方图．已知该校共有1000名学生，据此估计，该校双休日参加社会实践活动时间在2～2.5小时之间的学生数大约是全体学生数的________（填百分数）．12．函数y=12x-的定义域是________．13．如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF 的长为________．14．废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水（相当于一个人一生的饮水量）．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水用科学记数法表示为_____立方米．15．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB 、AC的中点，则四边形BCED的面积为_____．16．甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温方差大小关系为2s甲________2s乙．（填“>”或“<”）17．关于x的不等式组20113x axx+>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩的整数解有4个，那么a的取值范围( )A．4＜a＜6 B．4≤a＜6 C．4＜a≤6D．2＜a≤4三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）矩形AOBC中，OB=4，OA=1．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=kx（k＞0）的图象与边AC交于点E。

2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题(含答案)

2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则293f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______． 3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC 的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______． 5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如右图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数四、（满分15分）如右图，已知D 为等腰△ABC BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ．2020年北京市中学生数学竞赛（邀请）高一年级试题及参考解答2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则29()3f -=______．解：令x =y =0得f (0)=0，令x =−1，y =1，得f (1)+f (−1)=4．平方得f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)=16，又因为f (−1)·f (1)≥4，所以f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)≤4f (1)·f (−1)．即(f (1)−f (−1))2≤0．所以f (1)=f (−1)=2．因为)32)(31(4)32()31()32(31)1(--⋅+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-f f f f 1118=3()4()()3339f ，所以 .234)31(3=+-f 因此.92)31(=-f 所以.9894)31(2)32(=+-=-f f 于是29()3f -=8．2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______．解：设N 是边AD 的中点，a =AN ，x =AK ，y =AM ，α=∠ADM ，（如图）．则ND=DM=a ，且根据余弦定理，对于△ADM ，有y 2=4a 2+a 2−4a 2cos α=a 2(5−4cos α)．另一方面，根据切割线定理，有xy=a 2，所以 2AM y y AK x xy ===5−4cos α．类似地对于△BCM ，得到54cos .BM BLα=+ 因此，10.AM BM AK BL+= C BD A LK a y αMx3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．解: 设abcd 为所求的自然数，则根据条件1000a +100b +10c +d =a 2+b 2+c 2+d 2+2020．考虑到 2000＜a 2+b 2+c 2+d 2+2020≤92+92+92+92+2020=2344，可以断定a =2，于是100b +10c +d =b 2+c 2+d 2+24．即 b (100−b )+c (10−c )=d (d −1)+24 (*)由于c (10−c )＞0，当b ≥1时，b (100−b )≥99，所以(*)式左边大于99，而(*)式右边小于9×8+24=96，因此要(*)式成立，必须b =0．当b =0时，(*)式变为 d 2−d =10c −c 2−24．由于四位数abcd 中a =2，b =0，要使20cd 最大，必需数字c 最大．若c =9，c 2−c −24=90−92−24＜0，而d 2−d ≥0故(*)式不能成立．同理，c =8和c =7时，(*)式均不能成立．当c =6时，c 2−c −24=60−62−24=0，这时，d =0及d =1，均有d 2−d =0，即(*)式均成立．于是abcd =2060或2061．所以满足题设条件的四位数中最大的一个是2061．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______．解：由2021202020193AB BC CA AO ++=，得22019()3AB BC AB BC CA AO ++++=，因为0AB BC CA ++=，所以23AB BC AO +=，故23AB AC AB AO +-=. 所以3AB AC AO +=，取BC 的中点D ，则23AD AO =.于是A 、D 、O 三点共线，且3AD OD =．所以123S AD S OD==．5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．解：由a +b +c +d 是质数，可知a , b , c , d 中有2．如果a ≠2，那么b , c , d 中有2，从而a 2+bc 、a 2+bd 中有一个模4余3，不是完全平方数．故a =2．假设22+bc =m 2，那么bc =(m −2)(m +2)．如果m −2=1，那么m =3，bc =5，与已知矛盾．故不妨设b =m −2，c =m +2，则c =b +4．同理d =b −4，所以{a , b , c , d }={a , b , b +4, b −4}．而b −4, b , b +4中有一个是3的倍数，又是质数，所以只能是b −4=3，此时a +b +c +d =2+3+7+11=23．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．证明：见右图：AKLB ，BMNC ，ACPQ 都是正方形，对应的面积为S 1、S 2和S 3．设,,βα=∠=∠ABC BAC .γ=∠ACB 因为,,,321S AC S BC S AB === 则根据余弦定理，有αcos 232321S S S S S -+=βcos 231312S S S S S -+=γcos 221213S S S S S -+= 由此，.cos 2cos 2cos 2321213132S S S S S S S S S ++=++γβα ①又因为 ,180,180,180γβα-=∠-=∠-=∠ NCP LBM QAK 以及,,,465S NP S LM S QK === 则有αcos 231315S S S S S ++= ②βcos 221216S S S S S ++= ③ γcos 232324S S S S S ++= ④由等式①～④得 S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数吗？如果存在，请给出例证，如果不存在，请说明理由．解：存在. 例证如下：因为质数有无限多个，所以任选2020个两两不同的质数122020,,,p p p ，构造2020个两两不同的数： 1220202ii p p p x p ，i =1, 2, 3, …, 2020．易知，因为122020,,,x x x 的分子不被分母整除，皆为不是整数的有理数．而任意两个数的乘积 12202012202022i i i j p p p p p p x x p p 2222222222122020121111202022ii j j i j p p p p p p p p p p p p ．这2018个质数平方的乘积是整数，满足题意要求．A B C I 1 I 2 • • F 四、（满分15分）如图，已知D 为等腰△ABC 底边BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 的内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．证明：（1）当D 与M 重合时，显然有∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．（2）当D 不与M 重合时，不妨设BD ＞DC ，过I 1作I 1E ⊥BC 于点E ，过I 2作I 2F ⊥BC 于点F ，连结I 1D ，I 2D ，I 1I 2．因为⊙I 1为△ABD 的内切圆，⊙I 2为△ACD 的内切圆，所以 2AB BD AD BE +-=，2DC AD AC DF +-= 所以，EM =BM −BE=22BC AB BD AD +--()2BC BD AD AB -+-=.2DF AC AD DC =-+= 进而有 ED=MF ．因为I 1、I 2分别为△ABD 、△ACD 的内心，易知∠I 1DI 2=90°．由勾股定理得I 1D 2+I 2D 2=I 1I 22．(*)在Rt △I 1DE 与Rt △DI 2F 中，由勾股定理得I 1E 2+ED 2=I 1D 2，I 2F 2+DF 2=I 2D 2，代入(*)式，得(I 1E 2+ED 2)+(I 2F 2+DF 2)= I 1I 22．注意EM=DF ，ED=MF 代换得(I 1E 2+MF 2)+(I 2F 2+EM 2)= I 1I 22．即 (I 1E 2+EM 2)+(I 2F 2+MF 2)= I 1I 22．所以 I 1M 2+I 2M 2=I 1I 22．根据勾股定理的逆定理，有△I 1MI 2为直角三角形，∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}划分为两个子集A ={a , b , c , d , e }和B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ．解：（1）集合I 共有2个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．理由简述如下：1° 由易知，a =1，所以a ∈A ． A B C I 1 I 2 • •2° 由0∉ I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}=A ∪B ，而5×2=10，所以5∈A ．3° 试验知，a , b , c , d , e 均不能等于9，所以9∈B ，进而有8∈A ．4° 因为数wxyz abcde 和的9个数字和恰为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45是9的倍数，可判知+abcde wxyz 是9的倍数，即+abcde wxyz ≡0(mod9)．又2wxyz abcde ，所以3wxyz ≡0(mod9)．于是wxyz ≡0(mod3)．所以)(wxyz S 是3的倍数，进而推得)(abcde S 也是3的倍数．5° 同样试验可判定7∈B ．此时分配剩下的4个元素：2, 3, 4, 6．由于A 中的1+5+8=14，被3除余2，所以从2, 3, 4, 6中选出的两个数之和被3除余1．于是只能选3, 4或4, 6属于A ，对应剩下的2, 6或2, 3归属于B ．因此，找到集合I 的两个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．（2）集合I 的“两倍型2分划”满足的不同的2wxyz abcde 共12个．1° 当B={2, 6, 7, 9}时，得到6个不同的式子：6729×2=13458， 6792×2=13584， 6927×2=13854,7269×2=14538， 7692×2=15384， 9267×2=18534．2° 当B={2, 3, 7, 9}时，得到6个不同的式子：7293×2=14586， 7329×2=14658， 7923×2=15846，7932×2=15864， 9273×2=18546， 9327×2=18654．。

2023北京海淀区一零一中初二(上)期中数学试卷及答案

北京一零一教育集团2023-2024学年第一学期期中练习初二数学参考答案 2023.10一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共24分，每小题3分）11． 9 12．32a b − 13． AC BD =（答案不唯一） 14．5 15．15° 16． 917. 40° 18. 0°＜α≤45°或54°, (54011)°, (3607)°三、解答题（本题共46分，第19—23题，每题5分，24题7分，25题8分，26题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．（本题满分5分）解：原式=323222x x x x x x x −−−+=−+当12x =时，原式=0 20. （本题满分5分）证明：∵AB//CD ，∴∠B =∠C ，在△ABE 和△DCF 中，∵{∠A =∠D∠B =∠C BE =CF,∴△ABE ≌△DCF(AAS)，∴AE =DF ．21．（本题满分5分）解：（1）补全的图形如图所示．（2）CD；DOC；等边对等角．22．（本题满分5分）（1）图略（2）（-4，2）（2，3）（2，2）23．（本题满分5分）解：（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°；（2）∵∠BAC=∠ACB=70°，∴BC=AB=75km，∴轮船的速度为75÷5=15（km/h）．24．（本题满分7分）解：（1）∵长方形窗户的长为FH+EH=2a+2b，高为a+2b，∴长方形窗户ABCD的总面积为：(2a+2b)(a+2b)=2a2+4ab+2ab+4b2=2a2+6ab+4b2（2）∵BC=2a+2b如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，则下面遮阳帘的长为12BC=12×(2a+2b)=a+b∴上面窗户遮阳帘的面积为a×2a=2a2下面窗户的遮阳帘的面积为2b×(a+b)=2ab+2b2∴遮阳帘遮住的面积为2a2+2ab+2b2窗户的透光的面积为2a2+6ab+4b2−(2a2+2ab+2b2)=4ab+2b225．（本题满分8分）解（1）①如图②∠ADC=60°−α（2）关系：CE=DE+AE,证明：在EP上截取EF=DE，连接DF.∵点B与点D关于射线AP对称，∴AD=AB,DE=BE,∠DAP=∠BAP=α,∴∠ADB=∠ABD,∠BDE=∠DBE,∴∠ADC=∠ABE=60°−α,∵∠AEC=∠ADC+∠DAP=60°−α+α=60°, ∴∠DEF=∠AEC,∴△DEF为等边三角形.∴∠EDF=60°,∴∠ADF=∠CBE=120°−α,在△ADF和△CBE中，{AD=AB∠ADF=∠CBE DF=BE,∴△ADF≌△CBE(SAS),∴AF=CE,∴CE=AE+EF=AE+ED. （3）30°或75°26．（本题满分6分）（1）12；（2）1(0,)2或(0,50)；（3）452a<<或24a=或39a>。

北京市海淀区一零一中学2024届数学八年级第二学期期末监测试题含解析

北京市海淀区一零一中学2024届数学八年级第二学期期末监测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）1．数据1，3，5，7，9的方差是（）.A ．2B ．4C ．8D ．162．下面调查中，适合采用普查的是（）A ．调查全国中学生心理健康现状B ．调查你所在的班级同学的身高情况C ．调查我市食品合格情况D ．调查九江市电视台《九江新闻》收视率 3．下列函数中，一次函数是（）．A ．y x =B ．y kx b =+C ．11y x =+D ．22y x x =-4．已知一元二次方程2x 2﹣5x +1＝0的两根为x 1，x 2，下列结论正确的是（）A ．两根之和等于﹣52，两根之积等于1 B ．x 1，x 2都是有理数C ．x 1，x 2为一正一负根D ．x 1，x 2都是正数5．若分式-22x x +的值为0，则x 的值是（） A ．2 B ．0 C ．﹣2 D ．任意实数6．在同一条道路上，甲车从A 地到B 地，乙车从B 地到A 地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y （千米）与行驶时间x （小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（）A ．乙先出发的时间为0.5小时B ．甲的速度是80千米/小时C ．甲出发0.5小时后两车相遇D ．甲到B 地比乙到A 地早112小时 7．矩形ABCD 中AB=10，BC=8，E 为AD 边上一点，沿CE 将△CDE 对折，点D 正好落在AB 边上的F 点．则AE的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，以正方形ABCD 的顶点B 为直角顶点，作等腰直角三角形BEF ，连接AF 、FC ，当E 、F 、C 三点在--条直线上时，若2BE =，3AF =，则正方形ABCD 的面积是( )A ．10B ．14C ．5D ．79．下列多项式中，不能运用公式法进行因式分解的是( )A ．x 2+2xy +y 2B ．x 2﹣9C ．m 2﹣n 2D ．a 2+b 210．已知一次函数y =kx +b （k ≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为 ( ) A ．y = x +2 B ．y = ﹣x +2 C ．y = x +2或y =﹣x +2 D ．y = - x +2或y = x -211．某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在以下统计量中，该鞋厂最关注的是（） A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差 12．计算()21412π-⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭的值为（） A ．9 B ．1 C ．4 D ．0二、填空题（每题4分，共24分）13．现有四根长30cm ，40cm ，70cm ，90cm 的木棒，任取其中的三根，首尾顺次相连后，能组成三角形的概率为______.14．在平行四边形ABCD 中，AD=13，∠BAD 和∠ADC 的角平分线分别交BC 于E ，F ，且EF=6，则平行四边形的周长是____________________154x -x 的取值范围是__________.16．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax ，②y=bx ，③y=cx ，将a ，b ，c 从小到大排列并用“＜”连接为_____．17．如图1，是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图，MN 为衣架的墙角固定端，A 为固定支点，B 为滑动支点，四边形DFGI 和四边形EIJH 是菱形，且AF BF CH DF EH ====，点B 在AN 上滑动时，衣架外延钢体发生角度形变，其外延长度（点A 和点C 间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果，伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为42cm ，当点B 向点A 移动8cm 时，外延长度为90cm .（1）则菱形DFGI 的边长为______cm .（2）如图3，当60ABF ∠=︒时，M 为对角线（不含H 点）上任意一点，则EM HM JM ++的最小值为______.18．已知平行四边形ABCD 中，AB ＝5，AE 平分∠DAB 交BC 所在直线于点E ，CE ＝2，则AD ＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N ．（1）求证：CM CN =；（2）若CMN ∆的面积与CDN ∆的面积比为3:1，1ND =．①求MC 的长．②求MN 的长．20．（8分）我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．21．（8分）小丽学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，并绘制成如下统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题（1）小丽共调查了名居民的年龄，扇形统计图中a = %，b = %；（2）补全条形统计图；（3）若该辖区0~14岁的居民约有3500人，请估计年龄在60岁以上的居民人数．22．（10分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5cm ，AC=3cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒．（1）求BC 边的长；（2）当△ABP 为直角三角形时，求t 的值；（3）当△ABP 为等腰三角形时，求t 的值23．（10分） (1)1483243(2)已知23x =+2(23)1x x --+的值。

101近3年来高中竞赛获奖情况统计

101近3年来高中竞赛获奖情况统计所以信息数据均来自于101官网的新闻（不排除在统计整理时遗漏）统计原则：1）官网竞赛新闻数据比较多（如有许多英语，创新等方面的信息）这里仅统计数学，物理，化学，生物，信息五科情况。

2）详做信息统计，略做数据分析。

数据时间说明：1）以下统计时间以学校信息公布时间为准（因为无法一一查实实际竞赛举办时间）。

2）统计时间段：2008年1月1日至今一，101近3年来高中竞赛获奖情况4月2011-4-21北京高中生物竞赛高二年级一等奖5人二等奖7人三等奖6人（共18人）2011-4-19北京高中化学竞赛高二年级一等奖3人二等奖6人三等奖9人（共18人）3月-----------2月-----------1月-----------12月2010-12-23信息学奥林匹克竞赛全国高中组一等奖2人（高3一人，初2一人）二等奖1人（高2一人）（共3人）2011-12-212010年全国高中学生化学竞赛（省级赛区）一等奖1人（高3）二等奖3人（高三2人，高二1人）三等奖2人（高二2人）（共6人）11月2010-11-172010年全国高中数学联赛二等奖5人（高三3人，高二2人）三等奖3人（高三1人，高二2人）（共8人）10月2010-10-252010年海淀区信息学奥林匹克竞赛（高中组）一等奖1人（高2）二等奖2人（高二1人，高一1人）三等奖2人（高二1人，高一1人）（共5人）9月2010-9-102010年全国中学生生物学联赛一等奖1人（高3）二等奖2人（高三2人）三等奖12人（高三10人，高二2人）（共15人）8月----------7月----------6月2010-6-132010年全国数学联赛北京赛区（高一）一等奖2人二等奖2人三等奖4人（共8人）5月2010-5-31第五届全国高中应用物理知识竞赛决赛（高二）一等奖2人二等奖3人三等奖4人（共7人）2010-5-312010年北京市高中化学竞赛（高二）二等奖2人三等奖6人（共8人）2010-5-252010年北京市高中化学竞赛（高一）一等奖4人二等奖14人三等奖21人（共39人）4月----------3月2010-3-30第23届全国高中学生化学竞赛决赛银牌1人（高3）2月----------1月2010-1-82009年海淀区中小学生信息学奥林匹克竞赛一等奖1人（高1）二等奖1人（高1）（共2人）2010-1-82009年北京市中小学生信息学奥林匹克竞赛二等奖1人（高2）三等奖1人（初3）（共2人）12月11月2009-11-192009年全国高中学生化学竞赛（省级赛区）一等奖2人（高3）二等奖5人（高3）三等奖1人（高3）（共8人）10月----------9月----------8月2009-8-17第26届全国青少年信息学奥林匹克竞赛金牌1人（收到清华大学的预录通知书）7月2009-7-3第22届北京市高一物理（北京四中杯）竞赛海淀区预赛一等奖9人，二等奖23人，三等奖18人（共50人）6月2009-6-26第四届全国高中应用物理知识竞赛（高一）一等奖4人，二等奖4人，三等奖3人（共11人）2009-6-23第二十二届北京市高一物理（力学）竞赛决赛二等奖5人，三等奖7人（共12人）2009-6-222009年北京市高一数学竞赛（决赛）二等奖2人（共2人）2009-6-152009年4月的北京市高中学生化学竞赛（高二）一等奖4人，二等奖7人，三等奖3人（共14人）2009-6-12北京市化学会高一化学竞赛一等奖2人；二等奖8人；三等奖18人（共28人）2009-6-3加拿大计算机竞赛（Canadian Computing Competition，简称CCC）决赛银奖1人（高2）进入“信息学奥林匹克”北京队的最终10人大名单中5月2009-5-272009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）三等奖4人优胜奖5人（共9人）2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛（高二）二等奖1人，三等奖1人优胜奖2人（共4人）2009-5-222009年北京市高一数学竞赛（初赛）一等奖33人；二等奖4人；（共37人）2009-5-222009年“希望杯”全国数学竞赛（高一）三等奖4人；（共4人）4月----------3月----------2月----------1月----------12月2008-12-222008年全国青少年信息学奥林匹克联赛（高中组）一等奖2人（高2）；二等奖1人（高2）；三等奖1人（初2）（共4人）11月2008-11-122008年全国高中数学联赛（北京赛区）高三年级一等奖1人；二等奖1人；三等奖3人（共5人）2008-11-122008年全国高中数学联赛（北京赛区）高二年级三等奖2人（共2人）10月2008-10-29第25届全国中学生物理竞赛复赛一等奖2人；二等奖6人；三等奖2人（共10人）9月2008-9-12第25届全国中学生物理竞赛预赛一等奖5人；二等奖6人；三等奖6人（共17人）8月----------7月----------6月第二十一届北京市高一物理（力学）竞赛决赛一等奖4人；二等奖8人；三等奖4人（共16人）2008-6-19北京市中学生数学竞赛一等奖1人（高1）；二等奖6人（高一2人，高二4人）（共7人）2008-6-19第十一届高中数学应用知识竞赛竞赛一等奖1人（高2）；二等奖1人（高1）；三等奖4人（高一1人，高二3人）（共6人）论文一等奖2人（高一1人，高二1人）；三等奖2人（高二2人）（共4人）2008-6-3第二十一届北京市高一物理竞赛预赛一等奖15人；二等奖34人；三等奖48人（共97人）5月2008-5-23在刚结束的北京市高一化学竞赛一等奖7人；二等奖4人；三等奖14人（共25人）4月2008-4-26在刚结束的北京市高二化学竞赛一等奖3人；二等奖8人；三等奖11人（共22人）2008-4-24第三届全国高中应用物理知识竞赛预赛10人获得决赛资格3月-----------2月-----------1月------------二，统计说明与分析：1）从竞赛级别看：海淀区级，北京市级，全国级，每级又分预赛和决赛(全国还有总竞赛)区级比赛特别是区级或市级比赛的预赛，101获奖同学较多（最多97人）2008-6-3第二十一届北京市高一物理竞赛预赛一等奖15人；二等奖34人；三等奖48人（共97人）2009-7-3第22届北京市高一物理（北京四中杯）竞赛海淀区预赛一等奖9人，二等奖23人，三等奖18人（共50人）一般到了决赛阶段，101获奖同学多在十几名或几名之间。

北京市第一零一中学2024~2025学年九年级上学期9月月考数学试题[含答案]

北京一零一中2024-2025学年度第一学期初三练习数学1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟；2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号：3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．解方程243x x -=，下列用配方法进行变形正确的是（）A ．2(2)19x -=B ．2(4)7x -=C ．2(2)4x -=D ．2(2)7x -=3．对于抛物线()225y x =--+，下列判断正确的是（）A ．抛物线的开口向上B ．对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标是()2,5-D ．当2x >时，y 随x 的增大而增大4．一元二次方程22350x x -+=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定5．某工厂2021年生产某种机械5000台，研发生产技术后，预计2023年生产该种机械6600台，设生产该种机械的年平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（）A ．()2500016600x +=B ．250006600x =C ．()2660015000x -=D ．()()250001500016600x x +++=6．在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD 绕某一点旋转某一角度得到四边形A B C D ¢¢¢¢（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点,,,M N P Q 中，可能是旋转中心的是（）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q7．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，以下结论中正确的是（）A ．0abc >B ．20a b -<C ．930a b c -+=D ．若m 为任意实数，则()a b m am b -³+8．如图，菱形ABCD 的边长为2，60A Ð=°，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着点E 逆时针旋转60°得到EG ，连接BG CG ，，则BG CG +的最小值为（）A B ．C D ．1二、填空题（共16分，每题2分）9．一元二次方程23x x =的根是．10．已知2x =是关于x 的一元二次方程260x bx +-=的一个根，则b 的值是．11．写出一个开口向下且过()0,1的抛物线的表达式．12．若二次函数231y x =-的图象上有两点()12,A y -，()21,B y ，则1y2y （填“>”“=”或“<”）．13．如图，AB 是O e 的弦，若O e 的半径5OA =，圆心O 到弦AB 的距离3OC =，则弦AB 的长为．14．如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点，1DE =．ADE V 绕着点A 逆时针旋转后与ABF △重合，连结EF ，则EF = ．15．已知二次函数21y ax bx c =++与一次函数2(0)y kx m k =+¹的图象相交于点()2,4A -，()8,2B ．如图所示，则能使12y y <成立的x 的取值范围是．16．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：()1,3A ，()2,6B --，()0,0C 等都是“三倍点”．在31x -££的范围内，若二次函数2y x x c =--+的图象上有且只有一个“三倍点”，则c 的取值范围是．三、解答题（共68分，第17题8分，第18题4分，第19-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．解方程：(1)2280x -=；(2)2230x x --=．18．如图，在平面直角坐标系中，已知()2,1A -，()4,5B -，()5,2C -，ABC V 与111A B C △关于原点对称，点A ，B ，C 的对应点分别是点1A ，1B ，1C ．(1)点1A 的坐标为________，画出111A B C △；(2)直接写出111A B C △的面积为________．19．已知二次函数的函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表，求该二次函数的解析式．x…1-01234…y …03-4-3-05…20．关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．21．如图，ABC V 中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE Ð=Ð，连接EF ，EF 与AC 交于点G（1）求证：EF BC =；(2)若65ABC Ð=°，28ACB Ð=°，求FGC Ð的度数.22．已知二次函数243y x x =++．(1)抛物线243y x x =++的顶点坐标为________，画出其函数图象；(2)观察图象，回答下列问题：①函数0y >时，x 的取值范围是________；②方程34x x+=-的根是________；③若当0a x ££时，函数y 的最小值是1-，最大值是3，则a 的取值范围是________．23．如图，OA OB =，AB 交O e 于点C ，D ，OE 是半径，且OE AB ^于点F ．(1)求证：AC BD =；(2)若6CD =，1EF =，求O e 的半径．24．列方程解决实际问题：为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，101中教育集团成立了众多种类的学生社团．其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．如图①，在生态大棚中有一块矩形空地ABCD ，其中AD 边的长比AB 边的2倍少1，计划在矩形空地上一边增加7m ，另一边增加3m ，构成一个正方形区域AEFG ，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．(1)直接写出正方形区域AEFG 的边长是________m ；(2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成1m 宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为902m ，求小道的宽度．25．如图1，某桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．在某一时刻，桥拱内的水面宽8OA =米，桥拱顶点B 到水面的距离是4米．(1)求抛物线对应的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(2)要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？(3)如图2，桥拱所在的抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象，将新函数图象向右平移()0n n >个单位长度，平移后的函数图象在89x ££时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，直接写出n 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,x y ，()22,x y 在抛物线()20y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为直线x t =．(1)若对于11x =-，23x =，有12y y =，直接写出t 的值为________；(2)若对于11t x t <<+，212x <<，都有12y y <，求t 的取值范围．27．在ABC V 中，90C Ð=°，AC BC =，点E 是直线BC 上一点．(1)如图1，点D 是AC 边上一点，连接DE ，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°至EF ，连接BF ．①请按照要求补全图形；②若6AC =，2BE =，直接写出BEF △的面积为________；(2)连接AE ，将AE 绕点E 顺时针旋转90°至EM ，连接BM ，取BM 的中点N ，连接EN ．①如图2，点E 在线段BC 上时，请写出线段AB ，EN 和BE 之间的数量关系并证明；②当点E 在直线BC 上时，请直接写出线段AB ，EN 和BE 之间的数量关系．28．已知点P 为线段AB 上一动点（点P 不与A ，B 重合），分别以AP BP ，为底边在AB 的同侧作等边三角形APE 和等边三角形BPF ，连接EF ，点M 为EF 的中点．我们将点M 称之为线段AB 关于点P 的“中顶点”．如图所示，点M 为线段AB 关于点P 的“中顶点”．(1)已知点A (−4,0)，点B (4,0)，点P 为线段A 上一动点（点P 不与A ，B 重合），则以下四个点(12,M -，(21,M -，(31,M -，(42,M -中，能作为线段AB 关于点P 的“中顶点”的有________；(2)已知点(),0A t ，()B t +，在函数2y x =上存在线段AB 关于点P 的“中顶点”，则t 的取值范围为________；(3)已知点()2,0A t -，()2,0B t +，点P 为线段AB 上一动点，一个边长为4的正方形M ，其0,t，若正方形M上存在线段AB关于点P的“中顶点”，则t的取值范围为中心坐标为()________；1．C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此进行判断即可．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C ．2．D【分析】利用完全平方公式进行配方即可．【详解】解：∵243x x -=，∴2447x x -+=，即()227x -=，故选：D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握．3．B【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．【详解】解：A 、∵10-<，∴抛物线的开口向下，本选项不符合题意；B 、抛物线的对称轴为直线2x =，本选项符合题意；C 、抛物线的顶点坐标是()2,5，本选项不符合题意；D 、因为开口向下，抛物线的对称轴为直线2x =，所以当2x >时，y 随x 的增大而减小，本选项不符合题意．故选：B ．4．C【详解】解：∵a =2，b =﹣3，c =5，∴△=b 2﹣4ac =（﹣3）2﹣4×2×5=﹣31＜0，∴方程没有实数根．故选C ．点睛：本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．A【分析】根据增长后的量=增长前的量(1´+增长率)列出方程即可．【详解】解：根据题意，得()2500016600x +=．故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键，同时要注意增长率问题的一般规律．6．A【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接AA ¢，CC ¢，作'AA 的垂直平分线，作CC ¢的垂直平分线，交于点M ，则M 为旋转中心．【详解】解：连接AA ¢，CC ¢，作'AA 的垂直平分线，作CC ¢的垂直平分线，交到在M 处，所以可知旋转中心的是点M ．如下图：故选∶A ．7．C【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象判断a b c 、、的符号，即可判断A ；根据对称轴及抛物线与x 轴的交点即可判断B C 、；根据抛物线开口向上，对称轴为直线x =―1，得出最小值为a b c -+，据此即可判断D ；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，与y 轴的交点位于y 轴的负半轴上，对称轴为直线x =―1，∴a >0，0c <，12b a-=-，∴20b a =>，∴0abc <，故A 错误；∵2b a =，∴20a b -=，故B 错误；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(1,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()3,0-，∴()()2330a b c ´-+´-+=，即930a b c -+=，故C 正确；∵a >0，对称轴为直线x =―1，∴当m 为任意实数时，有2a b c am bm c -+£++，即()a b m am b -£+，故D 错误；故选：C ．8．C【分析】取AB 的中点N ，连接EN 、EC 、GN ，连接BD ，证明GB GE =，连接EC 构造CGE V ，在CGE V ，证明BG CG BG GE EC +=+³，求出EC 的长度即可，过点E 作EH CD ^的延长线于H ，在Rt DEH V 中，由菱形的性质可知30DEH Ð=°，由此即可求出,DH EH 的长度，在Rt CEH V 中即可求出EC 的长，于是就可以求出BG CG +的最小值．【详解】解：如图所示，取AB 的中点N ，连接EN 、EC 、GN ，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，60A Ð=°，∴AB AD =，∴ABD V 是等边三角形，∴AD BD =，∵点E 是AD 中点，点N 是AB 的中点，12AE ED AD \==，12AN NB AB ==，∴三角形AEN 是等边三角形，∴NE AE =，∵60FEG Ð=°，EF EG =，60AEF FEN FEN NEG \Ð+Ð=Ð+Ð=°，,,AEF NEG EF EG AE NE \Ð=Ð==，(SAS)AEF NEG \V V ≌，60ENG A \Ð=Ð=°，18060GNB ENG ENA \Ð=°-Ð-Ð=°，∵,NG NG NE AE BN ===，(SAS)ENG BNG \V V ≌，∴GB GE =，则BG CG CG GE +=+，在ECG V 中，BG CG CG GE EC +=+³，如下图所示，过点E 作EH CD ^的延长线于H ，在Rt EDH V 中，90H Ð=°，由菱形ABCD 可知60ADB BDC Ð=Ð=°，∴60ADH Ð=°，则30DEH Ð=°，且112122DE AD ==´=，∴1111222DH DE ==´=，则152,22CH EH =+===在Rt CEH V 中，EC ===∴BG CG +³故选：C ．【点睛】本题主要考查菱形的性质与全等三角形，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形的综合运用，将线段的长度的最小是转换到三角形中，根据三角形边长的关系求解是解题的关键．9．10x =，23x =##13x =，20x =【分析】首先把3x 移至方程左边，再把方程左边的多项式进行因式分解，即可得到答案．【详解】解：23x x =，移项得：230x x -=，∴()30x x -=，∴0x =或30x -=，∴10x =，23x =．故答案为：10x =，23x =．【点睛】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，本题运用的是因式分解法．结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．1【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的另一个根为t ，根据根与系数的关系得2t b +=-，22t =-，然后解方程组即可．【详解】设方程的另一个根为t ，根据根与系数的关系得2t b +=-，26t =-，解得3t =-，1b =，故答案为：1．11．答案不唯一，例如：221y x =-+【分析】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由抛物线开口向下可知0a <，且过点()0,1，然后问题可求解．【详解】解：由抛物线开口向下可知0a <，且与y 轴交于点()0,1，因此符合条件的抛物线表达式可以为221y x =-+；故答案为221y x =-+（答案不唯一）．12．>【分析】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．根据抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，进行比较即可．【详解】解：231y x =-，∵30a =>，对称轴为：直线0x =，∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，2010-->-Q ，12y y \>，故答案为：>．13．8【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由OC AB ^可得90ACO Ð=°，2AB AC =，进而利用勾股定理求出AC 即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．【详解】解：∵OC AB ^，∴90ACO Ð=°，2AB AC =，∵5OA =，3OC =，∴4AC ===，∴248A B =´=，故答案为：8．14．【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，根据正方形的性质、勾股定理，计算AE =DAE BAF Ð=Ð，AF AE ==，推出90BAD EAF Ð=Ð=°，根据勾股定理计算EF =正方形的性质、勾股定理是解题的关键．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点，1DE =，∴90D BAD Ð=Ð=°，3AD =，∴AE ==∵ADE V 绕着点A 逆时针旋转后与ABF △重合，∴DAE BAF Ð=Ð，AF AE ==∴DAE BAE BAF BAE Ð+Ð=Ð+Ð，即90BAD EAF Ð=Ð=°，∴E F ===故答案为：15．28x -<<##82x >>-【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标可得当x 在两交点之间时12y y <，据此可得x 的取值范围．【详解】解：∵二次函数21(0)y ax bx c a =++¹与一次函数2(0)y kx m k =+¹的交点横坐标分别为2,8-，∴使12y y <成立的x 的取值范围正好在两交点之间，即28x -<<，故答案为：28x -<<．16．35c -<£或4c =-【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．由题意得，“三倍点”所在的直线为3y x =，根据二次函数2y x x c =--+的图象上有且只有一个“三倍点”转化为2y x x c =--+和3y x =有且只有一个交点，求0D =，3x =-和1x =时两个函数值相等时的c 值即可．【详解】解：由题意得，“三倍点”所在的直线为3y x =，在31x -££的范围内，二次函数2y x x c =--+的图象上有且只有一个“三倍点”，即在31x -££的范围内，二次函数2y x x c =--+和3y x =有且只有一个交点，令23x x x c =-+，整理得，240x x c +-=，∴241640b ac c D =-=+=，解得，4c =-，此时，2x =-，符合：当3x =-时，()()23433c =-+´-=-，当1x =时，21415c =+´=，由图看出，当3c =-时，函数2y x x c =--+有两个“三倍点”，∴35c -<£，综上，c 的取值范围为：35c -<£或4c =-．故答案为：35c -<£或4c =-．17．(1)12x =，22x =-(2)13x =，21x =-【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．常用一元二次方程的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．（1）变形后直接开平方即可；（2）用因式分解法解一元二次方程．【详解】（1）解：2280x -=变形得：24x =，解得：12x =，22x =-．（2）解：2230x x --=因式分解得：()()310x x -+=，解得：13x =，21x =-．18．(1)()2,1-，画图见解析(2)5．【分析】本题主要考查了画中心对称图形，关于原点对称的点的坐标特点，坐标与图形：（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到，点A ，B ，C 的对应点1A ，1B ，1C 的坐标，描出点1A ，1B ，1C ，再顺次连接点1A ，1B ，1C 即可；（2）利用割补法求解即可．【详解】（1）解：∵ABC V 与111A B C △关于原点对称，()2,1A -∴()12,1A -（2）解：111111342413135222A B C S =´-´´-´´-´´=△．19．()214y x =--．【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据对称性，得到抛物线的顶点坐标为()1,4-，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可．【详解】解：∵0x =和2x =的函数值相同，∴抛物线的对称轴为直线0212x +==，∴抛物线的顶点为()1,4-，设抛物线的解析式为()214y a x =--，把()1,0-代入得()20114a =---，解得1a =，∴此二次函数的表达式()214y x =--．20．1m =，此时方程的根为121x x ==【分析】直接利用根的判别式D ≥0得出m 的取值范围进而解方程得出答案．【详解】解：∵关于x 的方程x 2-2x +2m -1=0有实数根，∴b 2-4ac =4-4（2m -1）≥0，解得：m ≤1，∵m 为正整数，∴m =1，∴此时二次方程为：x 2-2x +1=0，则（x -1）2=0，解得：x 1=x 2=1．【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m 的值是解题关键．21．（1）证明见解析；（2）78°【分析】（1）因为CAF BAE Ð=Ð，所以有BAC EAF Ð=Ð，又因为AE AB AC AF ==，，所以有()BAC EAF SAS △≌△，得到EF BC =；（2）利用等腰三角形ABE 内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到28F C Ð=Ð=°，从而算出∠FGC【详解】解：（1）证明：CAF BAE Ð=ÐQ ，BAC EAF \Ð=Ð，AE AB AC AF ==Q ，，()BAC EAF SAS \△≌△，EF BC \=；（2）65AB AE ABC =Ð=°Q ，，18065250BAE \Ð=°-°´=°，50FAG \Ð=°，BAC EAF Q △≌△，28F C \Ð=Ð=°，502878FGC \Ð=°+°=°．【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明．22．(1)()2,1--；作图见详解(2)①3x <-或1x >-②13x =-，21x =-③42a -££-【分析】此题考查了二次函数的性质与图象，考查了通过配方法求顶点式，求顶点坐标，对称轴，开口方向，二次函数的增减性，二次函数与方程的关系，解题的关键可用数形结合的思想求解．（1）化为顶点式，即可求出顶点坐标；利用画函数图象的步骤即可求解；（2）①当图象在x 轴上方时，0y >，据此写出x 的取值范围；②化简34x x+=-得，2430x x ++=，根据图象即可求解；③根据函数的最大值和最小值，结合图象即可求解．【详解】（1）解：2243(2)1y x x x =++=+-Q ，∴顶点坐标是(2,1)--，令0y =，代入得：2430x x ++=，解方程得1x =-或3x =-，∴与x 轴交点的坐标是(1,0),(3,0)--，根据图象开口朝上，与x 轴的交点为(1,0),(3,0)--，顶点坐标是(2,1)--，描点，连线，画图如下；（2）解：①根据图象可知，0y >时，x 的取值范围是3x <-或1x >-，故答案为：3x <-或1x >-；②由34x x+=-得，2430x x ++=，通过图象可知123,1x x =-=-，故答案为：123,1x x =-=-；③解：当4x =-或0x =时，函数值为3y =，因为顶点坐标(2,1)--，开口向上，在顶点处取得最小值1y =-，∴在40x -££的范围内，min 1y \=-，最大值是3，又因为对称轴为直线2x =-，离对称轴越远，函数值越大，\42a -££-，故答案为：42a -££-．23．(1)证明见解析(2)5【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识；（1）由垂径定理得CF DF =，根据等腰三角形的性质可得AF BF =，再根据线段的和差关系可得结论；（2）连接OC ，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）证明：OE AB ^Q ，CD 为O e 的弦，CF DF \=，OA OB =Q ，OE AB ^，AF BF \=，AF CF BF DF \-=-，AC BD \=；（2）如图，连接OC ，OE AB ^Q ，CD 为O e 的弦，\132CF CD ==，90OFC Ð=°，∴222CO CF OF =+设O e 的半径是r ，∴()22231r r =+-，解得=5r ，O \e 的半径是5．24．(1)12(2)小道的宽度为2m【分析】本题考查了一元二次方程的应用；（1）设正方形区域的边长为m y ，则7AB y =-，3AD y =-，根据“AD 边的长比AB 边的2倍少1”，列出元方程，解之即可；（2）设小道的宽度为m x ，则栽种鲜花的区域可合成长()12m x -，宽()121m x --的矩形，根据“栽种鲜花区域的面积为290m ”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．【详解】（1）解：设正方形区域的边长为m y ，则7AB y =-，3AD y =-，∵AD 边的长比AB 边的2倍少1∴()3271y y -=--，解得：12y =，故答案为：12；（2）设小道的宽度为m x ，则栽种鲜花的区域可合成长()12m x -，宽()121m x --的矩形，由题意得：()()1212190x x ---=，整理得：223420x x -+=，解得：12x =，221x =（不合题意舍去），答：小道的宽度为2m ．25．(1)()()2144084y x x =--+££(2)4.8米(3)58n ££【分析】（1）由图象可知抛物线的对称轴为直线0842x +==，抛物线经过原点(0,0)，将原点坐标代入函数解析式即可求得a 的值；（2）根据题意求出 2.260.3 2.56y =+=时，所对应的x 之间的距离，也就是小船的最大宽度；（3）根据平移规律得到点O 平移后的对应点为(,0)n ，对称轴平移后的对称轴为4x n =+，点A 平移后的对应点为(8,0)n +，根据图象性质，得到函数在4n n ®+上，满足y 随x 的增大而减小，列出不等式组849n n £ìí+³î或88n +≤，求解集即可．【详解】（1）8OA =Q ，且点A 在x 轴上，(8,0)A \，根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线0842x +==，\顶点(4,4)B ，∴设抛物线的解析式为2(4)4y a x =-+，把原点(0,0)代入得20(04)4a =-+，解得14a =-，∴此二次函数的表达式()()2144084y x x =--+££．（2）Q 二次函数的表达式21(4)44y x =--+，令 2.260.3 2.56y =+=得：212.56(4)44x =--+，解得：1 6.4x =，2 1.6x =，\小船的最大宽度为：6.4 1.6 4.8-=米．（3）根据平移规律得到点O 平移后的对应点为(,0)n ，对称轴平移后的对称轴为4x n =+，点A 平移后的对应点为(8,0)n +，如图：根据图象性质，得到当4n x n ££+或88n x +££时y 随x 的增大而减小，\849n n £ìí+³î或88n +≤，解得58n ££或0n £（舍去），故n 的取值范围是58n ££．26．(1)1(2)0t £或3t ³【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．（1）根据二次函数对称性求解即可；（2）把点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)代入()20y ax bx c a =++>后根据120y y -<计算即可．【详解】（1）∵12y y =，∴点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)关于直线x t =对称，∴122x x x t +==，∵11x =-，23x =，∴1312t -+==，故答案为：1；（2）代数法1：解：∵对称轴为2b x t a==-∴2b at =-∴抛物线解析式为()220y ax atx c a =-+>∵点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)在抛物线上，∴21112y ax atx c =-+，22222y ax atx c =-+，∵12y y <，∴120y y -<，∴()()12121220y y a x x x x t -=-+-<，∵0a >，∴()()121220x x x x t -+-<，∴12122x x x x t <ìí+>î或12122x x x x t >ìí+<î，∵11t x t <<+，212x <<，∴1213t x x t +<+<+，∴1112t t t +£ìí+³î或232t t t ³ìí+£î，解得：0t £或3t ³，代数法2：解：设抛物线解析式为()2y a x t k =-+，∵点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)在抛物线上，∴()211y a x t k =-+，()222y a x t k=-+∵12y y <，∴120y y -<，∴()()2212120y y a x t a x t -=---< ，∵0a >，∴()()2212x t x t -<-∵11t x t <<+，∴101x t <-<，∴()2101x t <-<，∴()221x t -³，∴21x t -³或21x t -£-，∴21t x ³+或21t x £-，∵212x <<，∴3t ³或0t £．数形结合法：①当2t ³时，(x 1,y 1)，(x 2,y 2)位于对称轴两侧，(x 2,y 2)关于x t =的对称点为()222,t x y -，∵x t >时，y 随x 增大而增大，且都有12y y <，∴212t x x ->恒成立，∴122x x t +<恒成立，∵11t x t <<+，212x <<，∴1213t x x t +<+<+，∴32t t +£，∴3t ³，②当12t <<时，∵212x <<，∴当2x t =时，必有21y y <，不合题意，舍去．③当1t £时，(x 1,y 1)，(x 2,y 2)都位于对称轴右侧，∵x t >时，y 随x 增大而增大，且都有12y y <，∴12x x <恒成立，∵11t x t <<+，212x <<，∴11t +£，∴0t £，综上所述：0t £或3t ³．27．(1)①见解析；②4(2)①2AB NE =+，证明见解析；②当E 在线段BC 上时，2AB NE =；当E在线段BC 的延长线上时，2AB EN =；当E 在线段BC 的延长线上时，2AB EN =-，证明见解析【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，确定点P 的位置是解题的关键．（1）①按要求画出图形即可；②过点F 作FH ^直线BC 于H ，由“AAS ”可证CDE HEF V V ≌，可得4CE FH ==，由三角形的面积公式可求解；（2）①过点M 作MG BC ∥，交直线NE 于点G ，过点E 作EQ AC ∥交AB 于Q ，由“AAS ”可证BEN MGN V V ≌，可得NE GN =，MG BE =，由“SAS ”可证AEQ EMG V V ≌，可得EG AQ =，最后根据AB AQ BQ =+可得结论；②同①一样的辅助线和思路分三种情况画出图形分别证明即可．【详解】（1）①如图所示：②如图1，过点F 作FH ^直线BC 于H ，Q 将DE 绕点E 逆时针旋转90°至EF ，90DEF \Ð=°，=DE EF ，6AC BC ==Q ，2BE =，4CE \=，90ACB DEF H Ð=Ð=Ð=°Q ，90CED CDE CED BEF \Ð+Ð=°=Ð+Ð，CDE BEF \Ð=Ð，(AAS)CDE HEF \V V ≌，4CE FH \==，BEF \V 的面积1124422BE FH =´×=´´=，故答案为：4；（2）①如图2，过点M 作MG BC ∥，交直线NE 于点G ，过点E 作EQ AC ∥交AB 于Q ，∵MG BC ∥，G NEB \Ð=Ð，GMN EBN Ð=Ð，GME CEM Ð=Ð，Q 点N 是BM 的中点，MN BN \=，(AAS)BEN MGN \V V ≌，2GE NE \=，AC QE ∥Q ，45CAB EQB ABC \Ð=Ð=°=Ð，90C QEB CEQ Ð=Ð=Ð=°，QE BE \=，MG EQ BE \==，BQ =，Q 将AE 绕点E 顺时针旋转90°至EM ，AE ME \=，90AEM CEQ Ð=°=Ð，AEQ MEC \Ð=Ð，AEQ EMG \Ð=Ð，(SAS)AEQ EMG \V V ≌，EG AQ \=，2AB AQ BQ NE \=+=；②当E 在线段BC 上时，由①可得2AB NE =；如图3，当E 在线段CB 的延长线上时，过点M 作MG BC ∥，交直线NE 于点G ，过点E 作EQ AC ∥交AB 延长线于Q ，∵MG BC ∥，G NEB \Ð=Ð，GMN EBN Ð=Ð，180GME CEM Ð+Ð=°，Q 点N 是BM 的中点，MN BN \=，(AAS)BEN MGN \V V ≌，2GE NE \=，AC QE ∥Q ，45CAB EQB ABC QBE \Ð=Ð=°=Ð=Ð，90ACB QEB Ð=Ð=°，QE BE \=，MG EQ BE \==，BQ =，Q 将AE 绕点E 顺时针旋转90°至EM ，AE ME \=，90AEM CEQ Ð=°=Ð，180AEQ MEC \Ð+Ð=°，AEQ EMG \Ð=Ð，(SAS)AEQ EMG \V V ≌，EG AQ \=，2AB AQ BQ NE \=-=；同理，如图4，当E 在线段BC 的延长线上时，2AB BQ AQ EN =-=-，综上所述，当E 在线段BC 上时，2AB NE =；当E 在线段BC 的延长线上时，2AB EN =；当E 在线段BC 的延长线上时，2AB EN =-．28．(1)2M ，3M ；(2)0t -<<且t ¹-；t <<且0t ¹．【分析】（1）如图所示，当E 、F 都在AB 上方时，分别延长AE BF ，交于H ，过点H 作HG AB ^于G ，易证明ABH V 是等边三角形，四边形PEHF 是平行四边形；求出8AH AB ==，则4AG BG ==，HG ==(0,H ，再由平行四边形的性质得到点M 为HP 的中点，设()(),044P k k -<<，则,2k M æçè，故当E 、F 都在AB 上方时，点M 的横坐标的取值范围为22M x -<<，纵坐标为E 、F 都在AB 下方时，点M 的横坐标的取值范围为22M x -<<，纵坐标为-（2）同（1）可求出当E 、F 都在AB 上方时，点M 的横坐标的取值范围为M t x t +<<+3，当E 、F 都在AB 下方时，点M 的横坐标的取值范围为M t x t +<<+纵坐标为3-，在2y x =中，当23y x ==时，解得x =当23y x ==-时，方程无解，据此列式求解即可；（3）如图3-1所示，正方形ABCD 和正方形EFGH 都是以M 为中心且边长为4的正方形，过点M 作MT EF ^于T ，连接ME ，可证明正方形M 上的所有点形成的是一个以M 为圆心，大圆半径为2的圆环区域（包括边界）；如图3-2所示，当E 、F 都在AB 上方时，分别延长AE BF ，交于H ，过点H 作HG AB ^于G ，可证明点M 在AH 和BH 组成的线段上运动，即点M 在ABH V 平行于AB 的那条中位线上运动（不包括端点）；如图3-3所示，KQ ST ，分别是等边三角形ABH V 和等边ABH ¢V 的中位线，当圆环恰好经过点T 时，此时MT =()()(22210t t +-+=，解得t =或t =；如图3-4所示，当点M 运动到原点时，此时K Q S T 、、、恰好在圆环的内环上，此时不满足题意；如图3-5所示，当圆环恰好经过点K 时，由对称性可求得此时t =t <<且0t ¹．【详解】（1）解：如图所示，当E 、F 都在AB 上方时，分别延长AE BF ，交于H ，过点H 作HG AB ^于G ，∵AEP BFP △，△都是等腰三角形，∴60A APE B FPB ====°∠∠∠∠，∴PE BH PF AH ∥，∥，ABH V 是等边三角形，∴四边形PEHF 是平行四边形；∵A (−4,0)，B (4,0)，∴8AH AB ==，∵HG AB ^，∴4AG BG ==，∴HG ==∴(0,H ，∵点M 为EF 的中点，∴点M 为HP 的中点，设()(),044P k k -<<，则02k M æ+ççè，即,2k M æçè，∴当E 、F 都在AB 上方时，点M 的横坐标的取值范围为22M x -<<，纵坐标为同理，当E 、F 都在AB 下方时，点M 的横坐标的取值范围为22M x -<<，纵坐标为-，∴(12,M -，(21,M -，(31,M -，(42,M -中，能作为线段AB 关于点P 的“中顶点”的有2M ，3M ；（2）解：如图所示，当E 、F 都在AB 上方时，分别延长AE BF ，交于H ，过点H 作HG AB^于G ，同理可得ABH V 是等边三角形，四边形PEHF 是平行四边形；∵(),0A t ，()B t +，∴AH AB ==，∵HG AB ^，∴AG BG ==，∴6HG ==，∴()H t +，∵点M 为EF 的中点，∴点M 为HP 的中点，设()(,0P k t k t ¢¢<<+，则062M ö+÷÷ø，即M ö÷÷ø，∴当E 、F 都在AB 上方时，点M 的横坐标的取值范围为M t x t +<<+3，同理，当E 、F 都在AB 下方时，点M 的横坐标的取值范围为M t x t <<+，纵坐标为3-，在2y x =中，当23y x ==时，解得x =23y x ==-时，方程无解；∴t t ìïíïî解得0t -<<，∵t t +=2y x =中，纵坐标为3的两个点的距离也为∴t t ìïí¹ïî解得t ¹-，综上所述，0t -<<且t ¹-（3）解：如图3-1所示，正方形ABCD 和正方形EFGH 都是以M 为中心且边长为4的正方形，过点M 作MT EF ^于T ，连接ME ，则122ET MT EF ===，∴ME ==∴点M 到正方形ABCD ，最大值为，同理可得点M 到正方形EFGH ∵正方形ABCD 和正方形EFGH 都是M e 的圆内接正方形，∴正方形ABCD 绕点M 旋转一定的角度一定可以与正方形EFGH 重合，∴正方形M 上的所有点形成的是一个以M 为圆心，大圆半径为2的圆环区域（包括边界）；如图3-2所示，当E 、F 都在AB 上方时，分别延长AE BF ，交于H ，过点H 作HG AB ^于G ，同理可得ABH V 是等边三角形，四边形PEHF 是平行四边形；∵()2,0A t -，()2,0B t +，∴4AH AB ==，∵HG AB ^，∴2AG BG ==，∴HG ==∴(,H t ，∵点M 为EF 的中点，∴点M 为HP 的中点，设()(,0P k t k t ¢¢¢<+¢<，则2k t M æ+çè¢ç¢，即2k t M ¢+¢æçè，∴当E 、F 都在AB 上方时，点M 的横坐标的取值范围为11M t x t -<<+同理，当E 、F 都在AB 下方时，点M 的横坐标的取值范围为11M t x t -<<+，纵坐标为∵AH 中点坐标为22t t æ-+ççè，即(t -，BH 中点坐标为22t t æ++ççè，即(t +，∴点M 在AH 和BH 组成的线段上运动，即点M 在ABH V 平行于AB 的那条中位线上运动（不包括端点）；如图3-3所示，KQ ST ，分别是等边三角形ABH V 和等边ABH ¢V 的中位线，当圆环恰好经过点T 时，此时MT =∵(1,T t +，()0,M t ，∴()()(22210t t +-+=，解得t =或t =（舍去）；如图3-4所示，当点M 运动到原点时，此时K Q S T 、、、恰好在圆环的内环上，此时不满足题意；。

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北京市一零一中学2024学年中考数学全真模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．A ．2(1)2y x =-++B ．2(1)4y x =--+C ．2(1)2y x =--+D ．2(1)4y x =-++2．下列命题中假命题是（） A ．正六边形的外角和等于B ．位似图形必定相似C ．样本方差越大，数据波动越小D ．方程无实数根3．如图，点P 是∠AOB 外的一点，点M ，N 分别是∠AOB 两边上的点，点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上，若PM ＝2.5cm ，PN ＝3cm ，MN ＝4cm ，则线段QR 的长为（）A ．4.5cmB ．5.5cmC ．6.5cmD ．7cm4．如图，在正方形ABCD 中，AB =9，点E 在CD 边上，且DE =2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PD 的最小值是（）A ．310B ．103C ．9D ．925．一元二次方程x 2﹣2x ＝0的根是（） A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝﹣26．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（） A ．16B ．13C ．12D ．237．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，Ð1=30°，Ð2=50°，则Ð3的度数为A ．80°B ．50°C ．30°D ．20°8．一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（） A ．3 B ．4C ．5D ．69．如图，在ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，DEF ABF S S 425∆∆=：：，则DE ：EC=（）A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：210．已知一组数据a ，b ，c 的平均数为5，方差为4，那么数据a ﹣2，b ﹣2，c ﹣2的平均数和方差分别是.（） A ．3，2B ．3，4C ．5，2D ．5，411．如图所示，90,,E F B C AE AF ∠=∠=∠=∠=，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM ∆≅∆，其中正确的是有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．下列实数中，有理数是（） A ．2B ．2.1C ．πD ．53二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，五边形ABCDE 是正五边形，若12l l //，则12∠-∠=__________．14．分解因式：2x +xy =_______．15．如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD=2，tan ∠OAB=12，则AB 的长是________．16．某商场对今年端午节这天销售A 、B 、C 三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制了如图1和图2所示的统计图，则B 品牌粽子在图2中所对应的扇形的心角的度数是_____．17．化简：2222444221(1)2a a a a a a a --+÷-+++- =____． 18．计算：（﹣12）﹣2﹣2cos60°=_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x 份，纯收入为y 元．（1）求y 与x 之间的函数关系式（要求写出自变量x 的取值范围）；（2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元？ 20．（6分）如图，一次函数y=kx+b 的图象分别与反比例函数y=ax的图象在第一象限交于点A （4，3），与y 轴的负半轴交于点B ，且OA=OB ．（1）求函数y=kx+b 和y=ax的表达式；（2）已知点C （0，8），试在该一次函数图象上确定一点M ，使得MB=MC ，求此时点M 的坐标．21．（6分）如图，已知O 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在ABC ∆的外部，4AB AC ==，43BC =，求O 的半径.22．（8分）解方程：2(x-3)=3x(x-3)．23．（8分）先化简，再求值：（1﹣32x +）÷212x x ，其中x 是不等式组20218x x ->⎧⎨+<⎩的整数解24．（10分）某企业为杭州计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y 1（元）与月份x （1≤x≤9，且x 取整数）之间的函数关系如下表：月份x1 2 3 4 5 6 7 8 9 价格y 1（元/件）560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y 2（元）与月份x （10≤x≤12，且x 取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y 1 与x 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y 2与x 之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p 1（万件）与月份x 满足关系式p 1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x 取整数），10至12月的销售量p 2（万件）p 2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x 取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润．25．（10分）如图，用细线悬挂一个小球，小球在竖直平面内的A 、C 两点间来回摆动，A 点与地面距离AN =14cm ，小球在最低点B 时，与地面距离BM =5cm ，∠AOB =66°，求细线OB 的长度．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.40，tan66°≈2.25）26．（12分）如图，已知反比例函数y ＝与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于A(1，8)，B(－4，m)．求k 1，k 2，b 的值；求△AOB 的面积；若M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是反比例函数y ＝的图象上的两点，且x 1<x 2，y 1<y 2，指出点M ，N 各位于哪个象限，并简要说明理由．27．（12分）如图，已知点A 、O 在直线l 上，且6AO =，OD l ⊥于O 点，且6OD =，以OD 为直径在OD 的左侧作半圆E ，AB AC ⊥于A ，且60CAO ∠=︒.若半圆E 上有一点F ，则AF 的最大值为________；向右沿直线l 平移BAC ∠得到'''B A C ∠；①如图，若''A C 截半圆E 的GH 的长为π，求'A GO ∠的度数； ②当半圆E 与'''B A C ∠的边相切时，求平移距离.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、B 【解题分析】把抛物线y=x 2+2x+3整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再求出与y 轴的交点坐标，然后求出所得抛物线的顶点，再利用顶点式形式写出解析式即可．【题目详解】解：∵y=x 2+2x+3=（x+1）2+2， ∴原抛物线的顶点坐标为（-1，2），令x=0，则y=3，∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）， ∵抛物线绕与y 轴的交点旋转180°， ∴所得抛物线的顶点坐标为（1，4），∴所得抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3[或y=-（x-1）2+4]．故选：B ．【题目点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化可以使求解更简便．2、C【解题分析】试题解析：A、正六边形的外角和等于360°，是真命题；B、位似图形必定相似，是真命题；C、样本方差越大，数据波动越小，是假命题；D、方程x2+x+1=0无实数根，是真命题；故选：C．考点：命题与定理．3、A【解题分析】试题分析：利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用PM=2．5cm，PN=3cm，MN=3cm，得出NQ=MN-MQ=3-2．5=2．5（cm），即可得出QR的长RN+NQ=3+2．5=3．5（cm）．故选A．考点：轴对称图形的性质4、A【解题分析】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=13CD=3，∴BE=2293=310．故选A．点睛：此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键．5、C【解题分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【题目详解】方程变形得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x1＝1．故选C．【题目点拨】考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．6、B【解题分析】考点：概率公式．专题：计算题．分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，共有6种情况，取出的数是3的倍数的可能有3和6两种，故概率为2/ 6 ="1/" 3 ．故选B．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）="m" /n ．7、D【解题分析】试题分析：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°，再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°．故答案选D．考点：平行线的性质;三角形的外角的性质．8、B【解题分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到关于边数的方程，从而求出边数,再求从一点引对角线的条数.【题目详解】设这个正多边形的边数是n ，则（n-2）•180°=900°，解得：n=1．则这个正多边形是正七边形．所以，从一点引对角线的条数是：1-3=4. 故选B 【题目点拨】本题考核知识点：多边形的内角和.解题关键点：熟记多边形内角和公式. 9、B 【解题分析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD∴∠EAB=∠DEF ，∠AFB=∠DFE ∴△DEF ∽△BAF∴()2DEF ABF S S DE AB ∆∆=：：∵DEF ABF S S 425∆∆=：：， ∴DE ：AB=2：5 ∵AB=CD ， ∴DE ：EC=2：3 故选B 10、B 【解题分析】试题分析：平均数为（a−2 + b−2 + c−2 ）=（3×5-6）=3；原来的方差：；新的方差：，故选B.考点：平均数；方差. 11、C 【解题分析】根据已知的条件，可由AAS 判定△AEB ≌△AFC ，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．【题目详解】解：如图：在△AEB 和△AFC 中，有90B C E F AE AF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△AEB ≌△AFC ；（AAS ） ∴∠FAM=∠EAN ，∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN ，即∠EAM=∠FAN ；（故③正确）又∵∠E=∠F=90°，AE=AF ， ∴△EAM ≌△FAN ；（ASA ） ∴EM=FN ；（故①正确）由△AEB ≌△AFC 知：∠B=∠C ，AC=AB ；又∵∠CAB=∠BAC ，∴△ACN ≌△ABM ；（故④正确）由于条件不足，无法证得②CD=DN ；故正确的结论有：①③④；故选C ．【题目点拨】此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，做题时要从最容易，最简单的开始，由易到难． 12、B 【解题分析】实数分为有理数，无理数，有理数有分数、整数，无理数有根式下不能开方的，π等，很容易选择．【题目详解】A 、二次根2不能正好开方，即为无理数，故本选项错误，B 、无限循环小数为有理数，符合；C 、π为无理数，故本选项错误；D 、53不能正好开方，即为无理数，故本选项错误；故选B.【题目点拨】本题考查的知识点是实数范围内的有理数的判断，解题关键是从实际出发有理数有分数，自然数等，无理数有π、根式下开不尽的从而得到了答案．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、72【解题分析】分析：延长AB 交2l 于点F ，根据12//l l 得到∠2=∠3,根据五边形ABCDE 是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.详解：延长AB 交2l 于点F ，∵12//l l ，∴∠2=∠3，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠ABC=108°,∴∠FBC=72°,∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°故答案为：72°. 点睛：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.14、()x x+y ．【解题分析】将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【题目详解】直接提取公因式x 即可：2x xy x(x y)+=+．15、8【解题分析】如图，连接OC，在在Rt△ACO中，由tan∠OAB=OCAC，求出AC即可解决问题．【题目详解】解：如图，连接OC．∵AB是⊙O切线，∴OC⊥AB，AC=BC，在Rt△ACO中，∵∠ACO=90°，OC=OD=2tan∠OAB=OC AC，∴122AC =，∴AC=4，∴AB=2AC=8，故答案为8【题目点拨】本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，属于中考常考题型．16、120°【解题分析】根据图1中C品牌粽子1200个，在图2中占50%，求出三种品牌粽子的总个数，再求出B品牌粽子的个数，从而计算出B品牌粽子占粽子总数的比例，从而求出B品牌粽子在图2中所对应的圆心角的度数．【题目详解】解：∵三种品牌的粽子总数为1200÷50%=2400个，又∵A、C品牌的粽子分别有400个、1200个，∴B品牌的粽子有2400-400-1200=800个，则B品牌粽子在图2中所对应的圆心角的度数为360×8001360120 24003=⨯=︒．故答案为120°．【题目点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．17、2a a - 【解题分析】先利用除法法则变形，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算即可．【题目详解】原式()()22222(1)222(1)(2)222a a a a a a a a a a +-++-=⋅-==+----，故答案为2a a - 【题目点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．18、3【解题分析】按顺序先进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行减法运算即可.【题目详解】（﹣12）﹣2﹣2cos60° =4-2×12 =3，故答案为3.【题目点拨】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）y=0.8x ﹣60（0≤x≤200）（2）159份【解题分析】解：（1）y=（1﹣0.5）x ﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x ）=0.8x ﹣60（0≤x≤200）．（2）根据题意得：30（0.8x ﹣60）≥2000，解得x≥11383．∴小丁每天至少要买159份报纸才能保证每月收入不低于2000元．（1）因为小丁每天从某市报社以每份0.5元买出报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，所以如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元，则y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）即y=0.8x﹣60，其中0≤x≤200且x为整数．（2）因为每月以30天计，根据题意可得30（0.8x﹣60）≥2000，解之求解即可．20、（1）12yx=，y=2x﹣1；（2）133,42M⎛⎫⎪⎝⎭.【解题分析】（1）利用待定系数法即可解答；（2）作MD⊥y轴,交y轴于点D，设点M的坐标为（x，2x-1），根据MB=MC，得到CD=BD,再列方程可求得x的值，得到点M的坐标【题目详解】解：（1）把点A（4，3）代入函数a=yx得：a=3×4=12，∴12yx =．∵A（4，3）∴OA=1，∵OA=OB，∴OB=1，∴点B的坐标为（0，﹣1）把B（0，﹣1），A（4，3）代入y=kx+b得：∴y=2x﹣1．（2）作MD⊥y轴于点D.∵点M在一次函数y=2x﹣1上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣1）则点D（0，2x-1）∵MB=MC，∴CD=BD∴8-(2x-1)=2x-1+1解得：x=134 ∴2x ﹣1=32 , ∴点M 的坐标为133,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ . 【题目点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．21、4【解题分析】已知△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，作AH BC ⊥于点H ，则直线AH 为BC 的中垂线，直线AH 过O 点，在Rt △OBH 中，用半径表示出OH 的长，即可用勾股定理求得半径的长．【题目详解】作AH BC ⊥于点H ，则直线AH 为BC 的中垂线，直线AH 过O 点，2OH OA AH r =-=-，3BH =222OH BH OB +=，即()(22223r r -+=，4r =.【题目点拨】考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.22、1223,3x x ==. 【解题分析】先进行移项，在利用因式分解法即可求出答案.【题目详解】()()2333x x x -=-，移项得：()()23330x x x ---=，整理得：()()3230x x --=，30x -=或230x -=，解得：13x =或223x =．【题目点拨】本题考查了解一元一次方程-因式分解，熟练掌握因式分解的技巧是本题解题的关键. 23、x=3时，原式=14【解题分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算,约分得到最简结果,求出不等式组的解集,找出解集中的整数计算得出到x 的值,代入计算即可求出值.【题目详解】解：原式=÷ =× =，解不等式组得，2＜x ＜， ∵x 取整数，∴x=3，当x=3时，原式=14．【题目点拨】本题主要考查分式额化简求值及一元一次不等式组的整数解．24、（1）y 1=20x+540，y 2=10x+1；（2）去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．【解题分析】（1）利用待定系数法，结合图象上点的坐标求出一次函数解析式即可；（2）根据生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，以及售价销量进而求出最大利润．【题目详解】（1）利用表格得出函数关系是一次函数关系：设y1=kx+b，∴560 2580, k bk b+=⎧⎨+=⎩解得：20540, kb=⎧⎨=⎩∴y1=20x+540，利用图象得出函数关系是一次函数关系：设y2=ax+c，∴10730 12750,a ca c+=⎧⎨+=⎩解得：10630, ac=⎧⎨=⎩∴y2=10x+1．（2）去年1至9月时，销售该配件的利润w=p1（1000﹣50﹣30﹣y1），=（0.1x+1.1）（1000﹣50﹣30﹣20x﹣540）=﹣2x2+16x+418，=﹣2（x﹣4）2+450，（1≤x≤9，且x取整数）∵﹣2＜0，1≤x≤9，∴当x=4时，w最大=450（万元）；去年10至12月时，销售该配件的利润w=p2（1000﹣50﹣30﹣y2）=（﹣0.1x+2.9）（1000﹣50﹣30﹣10x﹣1），=（x﹣29）2，（10≤x≤12，且x取整数），∵10≤x≤12时，∴当x=10时，w最大=361（万元），∵450＞361，∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．【题目点拨】此题主要考查了一次函数的应用，根据已知得出函数关系式以及利用函数增减性得出函数最值是解题关键．25、15cm【解题分析】试题分析：设细线OB的长度为xcm，作AD⊥OB于D，证出四边形ANMD是矩形，得出AN=DM=14cm，求出OD=x-9，在Rt△AOD中，由三角函数得出方程，解方程即可．试题解析：设细线OB的长度为xcm，作AD⊥OB于D，如图所示：∴∠ADM=90°，∵∠ANM=∠DMN=90°，∴四边形ANMD是矩形，∴AN=DM=14cm，∴DB=14﹣5=9cm，∴OD=x﹣9，在Rt△AOD中，cos∠AOD=OD AO，∴cos66°=9xx=0.40，解得：x=15，∴OB=15cm．26、(1) k1＝1，b＝6(1)15(3)点M在第三象限，点N在第一象限【解题分析】试题分析：（1）把A（1，8）代入求得=8，把B（-4，m）代入求得m=-1，把A（1，8）、B（-4，-1）代入求得、b的值；（1）设直线y=1x+6与x轴的交点为C，可求得OC的长，根据S△ABC=S△AOC+S△BOC即可求得△AOB的面积；（3）由＜可知有三种情况，①点M、N在第三象限的分支上，②点M、N在第一象限的分支上，③ M在第三象限，点N在第一象限，分类讨论把不合题意的舍去即可．试题解析：解：（1）把A（1，8），B（-4，m）分别代入，得=8，m=-1．∵A（1，8）、B（-4，-1）在图象上，∴，解得，．（1）设直线y=1x+6与x轴的交点为C，当y=0时，x=-3，∴OC=3∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=（3）点M在第三象限，点N在第一象限．①若＜＜0，点M、N在第三象限的分支上，则＞，不合题意；②若0＜＜，点M、N在第一象限的分支上，则＞，不合题意；③若＜0＜，M 在第三象限，点N 在第一象限，则＜0＜，符合题意．考点：反比例函数与一次函数的交点坐标；用待定系数法求函数表达式；反比例函数的性质．27、（1）62（2）①75︒；②33【解题分析】（1）由图可知当点F 与点D 重合时，AF 最大，根据勾股定理即可求出此时AF 的长；（2）①连接EG 、EH ．根据GH 的长为π可求得∠GEH =60°，可得△GEH 是等边三角形，根据等边三角形的三个角都等于60°得出∠HGE =60°，可得EG //A 'O ，求得∠GEO =90°，得出△GEO 是等腰直角三角形，求得∠EGO =45°，根据平角的定义即可求出∠A 'GO 的度数；②分C 'A '与半圆相切和B 'A '与半圆相切两种情况进行讨论，利用切线的性质、勾股定理、切斜长定理等知识进行解答即可得出答案．【题目详解】解：（1）当点F 与点D 重合时，AF 最大，AF 最大=AD 22OA OD +62 故答案为：62（2）①连接EG 、EH . ∵3180GEH GH ππ∠=⨯⨯=， ∴60GEH ∠=︒.∵GE GH =，∴GEH ∆是等边三角形，∴60HGE EHG ∠=∠=︒.∵''60C A O HGE ∠=︒=∠，∴//'EG A O ，∴'180GEO EOA ∠+∠=︒，∵'90EOA ∠=︒，∴90GEO ∠=︒，∵GE EO =，∴45EGO EOG ∠=∠=︒，∴'75A GO ∠=︒.②当''C A 切半圆E 于Q 时，连接EQ ，则'90EQA ∠=︒. ∵'90EOA ∠=︒，∴'A O 切半圆E 于O 点，∴''30EA O EA Q ∠=∠=︒.∵3OE =， ∴'33A O = ∴平移距离为'633AA =-当''B A 切半圆E 于N 时，连接EN 并延长l 于P 点， ∵''150OA B ∠=︒，'90ENA ∠=︒，'90EOA ∠=︒， ∴30PEO ∠=︒，∵3OE =， ∴23EP =，∵3EN =， ∴233NP =，∵'30NA P ∠=︒， ∴'633A N =-∵''633A O A N ==- ∴'33A A =【题目点拨】本题主要考查了弧长公式、勾股定理、切线的性质，作出过切点的半径构造出直角三角形是解决此题的关键．。

北京市第一〇一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含答案

试卷编号：9297　北京一零一中2023-2024学年度第一学期期中考试高一数学班级：＿＿＿＿＿学号：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿成绩：＿＿＿＿＿一、选择题共10小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合A={−1,0,1,2},B={x|−1<x 1},则A∩B=( )(A){1}(B){0,1}(C){−1,0,1}(D){−1,0,1,2}2.设命题p:∃x∈Z,x2 2x+1,则p的否定为( )(A)∀x Z,x2<2x+1(B)∀x∈Z,x2<2x+1(C)∃x Z,x2<2x+1(D)∃x∈Z,x2<2x+13.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )(A)f(x)=3−x(B)f(x)=x2−3x(C)f(x)=−1x+1(D)f(x)=−|x|4.若a>b>0,c>d>0,则一定有( )(A)ac >bd(B)ac<bd(C)ad>bc(D)ad<bc5.定义在R上的函数f(x)在(−∞,2)上是增函数,且f(x+2)=f(2−x)对任意x∈R恒成立,则( )(A)f(−1)<f(3)(B)f(−1)>f(3)(C)f(−1)=f(3)(D)f(0)=f(3)6.若函数f(x)=3−x2,−1 x 2,x−3,2<x 5,则方程f(x)=1的解是( )(A)√2或2(B)√2或3(C)√2或4(D)±√2或47.已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0有两个不相等的实数根x1,x2.若1 x1+1x2=4m,则m的值是( )(A)2(B)−1(C)2或−1(D)不存在8.已知a>0,且关于x的不等式x2−2x+a<0的解集为(m,n),则1m+4n的最小值为( )(A)2(B)72(C)4(D)929.已知a 1,a 2,b 1,b 2均为非零实数,关于x 的不等式a 1x +b 1<0与a 2x +b 2<0的解集分别为M 和N ,则“a 1a 2=b1b 2”是“M =N ”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件10.已知f (x )=x 2−2kx +3k 2−3k +1(k ∈R ).给出下列四个命题:①对任意实数x ,存在k ,使得f (x )>0;②对任意k ,存在实数x ,使得f (x )>0;③对任意实数k ,x ,均有f (x )>0成立;④对任意实数k ,x ,均有f (x )<0成立.其中所有正确命题的序号是( )(A)①②(B)②③(C)①③(D)②④二、填空题共6小题。

2024届北京101中学中考联考数学试题含解析

2024学年北京101中学中考联考数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（）A．30厘米、45厘米；B．40厘米、80厘米；C．80厘米、120厘米；D．90厘米、120厘米2．如图，矩形ABCD内接于⊙O，点P是AD上一点，连接PB、PC，若AD=2AB，则cos∠BPC的值为（）A．55B．255C．32D．35103．如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C，B重合），则2PD+PB 的最小值为（）A．B．C．10 D．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（）A．3 B．13C10D3105．下列运算结果正确的是（）A．a3+a4=a7B．a4÷a3=a C．a3•a2=2a3D．（a3）3=a66．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠1)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜1；②a﹣b+c＜1；③b+2a＜1；④abc ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A．③④B．②③C．①④D．①②③7．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＜o D．a÷b＞08．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤9．某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是()A．B．C．D．10．大箱子装洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个大小相同的小箱子里，装满后还剩余2千克洗衣粉，则每个小箱子装洗衣粉（）A．6.5千克B．7.5千克C．8.5千克D．9.5千克11．在半径等于5 cm的圆内有长为53的弦，则此弦所对的圆周角为A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或120°12．2017年牡丹区政府工作报告指出：2012年以来牡丹区经济社会发展取得显著成就，综合实力明显提升，地区生产总值由156.3亿元增加到338亿元，年均可比增长11.4%，338亿用科学记数法表示为（）A．3.38×107B．33.8×109C．0.338×109D．3.38×1010二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知一个菱形的边长为5，其中一条对角线长为8，则这个菱形的面积为_____．14．2(2) =__________15．如图，直径为1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB 为800mm ，则水的最大深度CD 是______mm ．16．如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠A ＝30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是，AF BE＝．（2）如图2，当△CEF 绕点C 顺时针旋转a 时（0°＜a ＜180°），连结AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当△CEF 绕点C 顺时针旋转a 时（0°＜a ＜180°），延长FC 交AB 于点D ，如果AD ＝6﹣23，求旋转角a 的度数．17．如图,点A 、B 、C 是圆O 上的三点,且四边形ABCO 是平行四边形,OF ⊥OC 交圆O 于点F ，则∠BAF=__．18．某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB 的长为1.74m ，后拉杆AE 的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为_____m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，已知▱ABCD．作∠B的平分线交AD于E点。

2022-2023学年北京市101中学八年级(上)期中数学试卷

2022-2023学年北京市101中学八年级（上）期中数学试卷试题数：25.满分：1001.（单选题.3分）下面四个图形是我校校训“百尺竿头.更进一步”中某个字的小篆体.其中是轴对称图形的是（）A.B.C.D.2.（单选题.3分）在Rt△ABC中.已知∠ACB是直角.∠B=55°.则∠A的度数是（）A.55°B.45°C.35°D.25°3.（单选题.3分）下列长度的三条线段.能组成三角形的是（）A.3.4.7B.6.7.12C.6.7.14D.3.4.84.（单选题.3分）如图所示.亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分.很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形.那么这两个三角形完全一样的依据是（）A.ASAB.SASC.AASD.SSS5.（单选题.3分）在平面直角坐标系xOy中.已知点A（3.-1）.则点A关于x轴的对称点的坐标是（）A.（3.1）B.（-3.1）C.（-3.-1）D.（-1.3）6.（单选题.3分）如图.△ABC≌△ADE.如果∠B=80°.∠C=30°.∠DAC=25°.那么∠EAC的度数为（）A.40°B.35°C.45°D.25°7.（单选题.3分）等腰三角形的一个角是80°.它的底角的大小为（）A.80°B.20°C.80°或20°D.80°或50°8.（单选题.3分）如图.BE=CF.AE⊥BC.DF⊥BC.要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF.则还需要添加一个条件是（）A.AE=DFB.∠A=∠DC.∠B=∠CD.AB=DC9.（单选题.3分）如图.等边△ABC的边长为8.AD是BC边上的中线.F是AD边上的动点.E是AC边上一点.若AE=4.则当EF+CF取得最小值时.∠ECF的度数为（）A.22.5°B.30°C.45°D.15°10.（单选题.3分）如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠BAC的平分线交BC于点D.过C点作CG⊥AB于点G.交AD于点E.过D点作DF⊥AB于点F．下列结论中正确的个数是（）① ∠CED=∠CDE；② S△AEC：S△AEG=AC：AG；③ ∠ADF=2∠FDB；④ CE=DF．A.1B.2C.3D.411.（填空题.3分）若一个多边形的边数是7.则该多边形的内角和是 ___ 度．12.（填空题.3分）如图.点D在△ABC的边BC的延长线上.若∠B=45°.∠ACD=150°.则∠A的大小为 ___ ．13.（填空题.3分）如图.△ABC中.D、E分别是BC.AD的中点.△ABC的面积是20.则阴影部分的面积是 ___ ．14.（填空题.3分）如图.AD⊥BC.BD=CD.点C在AE的垂直平分线上.若AB=5.BD=3.则BE的长为 ___ ．15.（填空题.3分）如图.在△ABC中.∠B=∠C=60°.点D为AB边的中点.DE⊥BC于E.若BE=1.则AC的长为___ ．16.（填空题.3分）如图.∠ACB=90°.AC=BC．AD⊥CE.BE⊥CE.垂足分别是点D、E.AD=3.BE=1.则DE的长是___ ．17.（填空题.3分）如图.已知等边△ABC中.BD=CE.AD与BE相交于点P.则∠APE的度数是___ °．18.（填空题.3分）如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形.我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形.我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．（1）如图.在△ABC中.AB=AC.点D在AC边上.且AD=BD=BC.则∠A=___ 度；（2）在△ABC中.∠B=27°.AD和DE是△ABC的“好好线”.点D在BC边上.点E在AC边上.且AD=BD.DE=CE.则∠C的度数为 ___ ．19.（问答题.5分）如图.已知AB=BC.∠BCD=∠ABD.点E在BD上.BE=CD．求证：AE=BD．20.（问答题.7分）如图.在平面直角坐标系中.A（1.2）、B（3.1）、C（-2.-1）（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）写出A1、B1、C1的坐标；（3）求△A1B1C1的面积．21.（问答题.6分）下面是小东设计的尺规作图过程．已知：如图.在Rt△ABC中.∠ABC=90°.求作：点D.使点D在BC边上.且到AB和AC的距离相等．作法：① 如图.以点A为圆心.任意长为半径画弧.分别交AB.AC于点M、N；MN的长为半径画弧.两弧交于点P；② 分别以点M.N为圆心.大于12③ 画射线AP.交BC于点D．所以点D即为所求．根据小东设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规.补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：过点D作DE⊥AC于点E.连接MP.NP．在△AMP与△ANP中.∵AM=AN.MP=NP.AP=AP.∴△AMP≌△ANP（SSS）．∴∠___ =∠___ ．∵∠ABC=90°.∴DB⊥AB．又∵DE⊥AC.∴DB=DE（ ___ ）（填推理的依据）22.（问答题.6分）如图.在△ABC中.AB=AC.D是BC边上的中点.连接AD.BE平分∠ABC交AC 于点E.过点E作EF || BC交AB于点F．（1）若∠C=36°.求∠BAD的度数；（2）求证：FB=FE．23.（问答题.7分）我们规定在网格内的某点进行一定条件操作到达目标点：H代表所有的水平移动.H1代表向右水平移动1个单位长度.H-1代表向左平移1个单位长度；S代表上下移动.S1代表向上移动1个单位长度.S-1代表向下移动1个单位长度.P（H_→S_）表示点P在网格内先一次性水平移动.在此基础上再一次性上下移动；（1）如图1.在网格中标出A（H2→S4）移动后所到达的目标点A'；（2）如图2.在网格中的点B到达目标点A.写出点B的移动方法 ___ ；（3）如图3.在网格内有格点线段（即端点在格点上的线段）AC.现需要由点A出发.到达目标点D.使得A、C、D三点构成的格点三角形（即顶点在格点上的三角形）是等腰直角三角形.在图中标出所有符合条件的点D的位置并写出点A的移动方法．24.（问答题.7分）在等边△ABC外侧作直线AP.点B关于直线AP的对称点为D.连结BD.CD.其中CD交直线AP于点E．（1）如图1.若∠PAB=30°.则∠ACE=___ ；（2）如图2.若60°＜∠PAB＜90°.请补全图形.判断由线段AB.CE.ED可以构成一个含有多少度角的三角形.并说明理由．25.（问答题.8分）如图.在平面直角坐标系xOy中.经过点M（0.m）并且平行于x轴的直线可以记作直线y=m.我们给出如下的定义：点P（x.y）先关于x轴对称得到点P1.再将点P1关于直线y=m对称得点P'.则称点P'为点P关于x轴和直线y=m的二次反射点．（1）点A（2.4）关于x轴和直线y=2的二次反射点A'的坐标是 ___ ；（2）若点B（5.-2）关于x轴和直线y=m的二次反射点B的坐标是（5.6）.那么m=___ ；m）.其中m＞0.点C关于x轴和直线y=m的二次反射点是C'.求（3）若点C的坐标是（0. 32线段CC'的长（用含m的式子表示）；（4）已知一个三角形的三个顶点坐标分别为（0.0）、（3.0）、（2.2）.如果点P（2.1）.Q （2.2）关于x轴和直线y=m的二次反射点分别为P'.Q'.且线段P'Q'与三角形的边没有公共点.直接写出m的取值范围．2022-2023学年北京市101中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：25.满分：1001.（单选题.3分）下面四个图形是我校校训“百尺竿头.更进一步”中某个字的小篆体.其中是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：根据轴对称图形的定义分别判断得出答案．【解答】：解：A．是轴对称图形.故此选项符合题意；B．不是轴对称图形.故此选项不合题意；C．不是轴对称图形.故此选项不合题意；D．不是轴对称图形.故此选项不合题意．故选：A．【点评】：本题主要考查轴对称图形的定义.熟练掌握轴对称图形的定义是解决本题的关键．2.（单选题.3分）在Rt△ABC中.已知∠ACB是直角.∠B=55°.则∠A的度数是（）A.55°B.45°C.35°【正确答案】：C【解析】：根据直角三角形的两锐角互余求出即可．【解答】：解：在△ABC中.∠ACB=90°.∴∠B+∠A=90°.∵∠B=55°.∴∠A=35°.故选：C．【点评】：此题考查了直角三角形的性质.熟记“直角三角形的两锐角互余”是解题的关键．3.（单选题.3分）下列长度的三条线段.能组成三角形的是（）A.3.4.7B.6.7.12C.6.7.14D.3.4.8【正确答案】：B【解析】：根据三角形的三边关系判断即可．【解答】：解：A、∵3+4=7.∴不能组成三角形.本选项不符合题意；B、∵6+7＞12.∴能组成三角形.本选项符合题意；C、∵6+7＜14.∴不能组成三角形.本选项不符合题意；D、∵3+4＜8.∴不能组成三角形.本选项不符合题意；故选：B．【点评】：本题考查的是三角形的三边关系.熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．4.（单选题.3分）如图所示.亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分.很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形.那么这两个三角形完全一样的依据是（）A.ASAB.SASD.SSS【正确答案】：A【解析】：全等三角形的判定定理有SAS.ASA.AAS.SSS.根据定理得出即可．【解答】：解：画一个三角形A′B′C′.使∠A′=∠A.A′B′=AB.∠B′=∠B.符合全等三角形的判定定理ASA.故选：A．【点评】：本题考查了全等三角形的判定定理的应用.能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.注意：全等三角形的判定定理有SAS.ASA.AAS.SSS.直角三角形全等还有HL定理．5.（单选题.3分）在平面直角坐标系xOy中.已知点A（3.-1）.则点A关于x轴的对称点的坐标是（）A.（3.1）B.（-3.1）C.（-3.-1）D.（-1.3）【正确答案】：A【解析】：根据关于x轴对称的两个点的坐标的特征进行判断即可．【解答】：解：∵关于x轴对称的两个点.其横坐标不变.纵坐标互为相反数.∴点A（3.-1）关于x轴的对称点的坐标是（3.1）.故选：A．【点评】：本题考查关于x轴对称的点的坐标.掌握“关于x轴对称的两个点.其横坐标不变.纵坐标互为相反数”是正确解答的关键．6.（单选题.3分）如图.△ABC≌△ADE.如果∠B=80°.∠C=30°.∠DAC=25°.那么∠EAC的度数为（）A.40°B.35°C.45°D.25°【正确答案】：C【解析】：根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC.再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠BAC.然后根据∠EAC=∠DAE-∠DAC代入数据进行计算即可得解．【解答】：解：∵∠B=80°.∠C=30°.∴∠BAC=180°-80°-30°=70°．∵△ABC≌△ADE.∴∠DAE=∠BAC=70°．∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=70°-25°=45°．故选：C．【点评】：本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用.注意：全等三角形的对应角相等.对应边相等．7.（单选题.3分）等腰三角形的一个角是80°.它的底角的大小为（）A.80°B.20°C.80°或20°D.80°或50°【正确答案】：D【解析】：因为题中没有指明该角是顶角还是底角.则应该分两种情况进行分析．（180°-80°）=50°；【解答】：解：① 当顶角是80°时.它的底角= 12② 底角是80°．所以底角是50°或80°．故选：D．【点评】：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数.做题时要注意分情况进行讨论.这是十分重要的.也是解答问题的关键．8.（单选题.3分）如图.BE=CF.AE⊥BC.DF⊥BC.要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF.则还需要添加一个条件是（）A.AE=DFB.∠A=∠DC.∠B=∠CD.AB=DC【正确答案】：D【解析】：根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90°.再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解答】：解：条件是AB=CD.理由是：∵AE⊥BC.DF⊥BC.∴∠CFD=∠AEB=90°.在Rt△ABE和Rt△DCF中..{AB=CDBE=CF∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）.故选：D．【点评】：本题考查了全等三角形的判定定理的应用.能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．9.（单选题.3分）如图.等边△ABC的边长为8.AD是BC边上的中线.F是AD边上的动点.E是AC边上一点.若AE=4.则当EF+CF取得最小值时.∠ECF的度数为（）A.22.5°B.30°C.45°D.15°【正确答案】：B【解析】：过E作EM || BC.交AD于N.连接CM交AD于F.连接EF.推出M为AB中点.求出E 和M关于AD对称.根据等边三角形性质求出∠ACM.即可求出答案．【解答】：解：过E作EM || BC.交AD于N.∵AC=8.AE=4.∴EC=4=AE.∴AM=BM=4.∴AM=AE.∵AD是BC边上的中线.△ABC是等边三角形.∴AD⊥BC.∵EM || BC.∴AD⊥EM.∵AM=AE.∴E和M关于AD对称.连接CM交AD于F.连接EF.则此时EF+CF的值最小.∵△ABC是等边三角形.∴∠ACB=60°.AC=BC.∵AM=BM.∠ACB=30°．∴∠ECF= 12故选：B．【点评】：本题考查了轴对称-最短路线问题.等边三角形的性质.等腰三角形的性质.平行线分线段成比例定理等知识点的应用．10.（单选题.3分）如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠BAC的平分线交BC于点D.过C点作CG⊥AB于点G.交AD于点E.过D点作DF⊥AB于点F．下列结论中正确的个数是（）① ∠CED=∠CDE；② S△AEC：S△AEG=AC：AG；③ ∠ADF=2∠FDB；④ CE=DF．A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：由∠ACB=90°.CG⊥AB得∠ACE=∠B.再由三角形外角的性质得∠CED=∠CDE.得CE=CD；根据角平分线的性质.得CD=DF.根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比得出S△AEC：S△AEG=AC：AG；等量代换得CE=DF.从而得出答案．【解答】：解：∵AD平分∠BAC.∴∠CAD=∠BAD.∵∠C=90°.∠CGA=90°.∴∠CDE=90°-∠CAD.∠AEG=90°-∠BAD.∴∠AEG=∠CDE.∴∠CED=∠CDE.故① 正确；如图.过点E作EH⊥AC于点H.则EH=EG.∴S△AEC= 12AC•EH= 12AC•EG.∵S△AEG= 12AG•EG.∴S△AEC：S△AEG=AC：AG.故② 正确；无法证明∠ADF=2∠FDB；∵∠CED=∠CDE.∴CE=CD.∵AD平分∠BAC.∠C=90°.DF⊥AB.∴CD=DF.∴CE=DF.故④ 正确.故选：C．【点评】：此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形的性质和三角形的面积．11.（填空题.3分）若一个多边形的边数是7.则该多边形的内角和是 ___ 度．【正确答案】：[1]900【解析】：由多边形的内角和定理.即可计算．【解答】：解：∵（7-2）×180°=900°.∴该多边形的内角和是900°.故答案为：900．【点评】：本题考查多边形的内角和定理.关键是掌握：多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n为整数）．12.（填空题.3分）如图.点D在△ABC的边BC的延长线上.若∠B=45°.∠ACD=150°.则∠A的大小为 ___ ．【正确答案】：[1]105°【解析】：根据三角形外角的性质求解即可．【解答】：解：∵∠ACD=∠A+∠B.又∵∠B=45°.∠ACD=150°.∴∠A=150°-45°=105°.故答案为：105°．【点评】：本题考查了三角形外角的性质.熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．13.（填空题.3分）如图.△ABC中.D、E分别是BC.AD的中点.△ABC的面积是20.则阴影部分的面积是 ___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：根据三角形的中线将三角形面积分为相等的两部分可知.S△ABC=2S△ADC.S△ADC=2S△AEC.根据△ABC的面积是20解答即可．【解答】：解：∵△ABC中.D、E分别是BC.AD的中点.∴AD是△ABC的中线.CE是△ADC的中线.∴S△ABC=2S△ADC.S△ADC=2S△AEC.∴S△ABC=4S△AEC.∵△ABC的面积是20.∴△AEC的面积为5.即阴影部分的面积是5．故答案为：5．【点评】：本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分.知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键．14.（填空题.3分）如图.AD⊥BC.BD=CD.点C在AE的垂直平分线上.若AB=5.BD=3.则BE的长为 ___ ．【正确答案】：[1]11【解析】：由AD⊥BC.BD=DC知.点C在AE的垂直平分线上.由垂直平分线的性质得AB=AC=CE.即可得到结论．【解答】：解：∵AD⊥BC.BD=CD.∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上.∴AC=EC.∴AB=AC=CE=5.∵BD=CD=3.∴BE=BD+CD+CE=3+3+5=11.故答案为：11．【点评】：本题主要考查线段的垂直平分线的性质.掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键．15.（填空题.3分）如图.在△ABC中.∠B=∠C=60°.点D为AB边的中点.DE⊥BC于E.若BE=1.则AC的长为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：根据直角三角形的性质得到BD=2BE=2.求出AB.根据等边三角形的判定定理和性质定理解答即可．【解答】：解：∵DE⊥BC.∠B=∠C=60°.∴∠BDE=30°.∴BD=2BE=2.∵点D为AB边的中点.∴AB=2BD=4.∵∠B=∠C=60°.∴△ABC为等边三角形.∴AC=AB=4.故答案为：4．【点评】：本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的性质.掌握在直角三角形中.30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．16.（填空题.3分）如图.∠ACB=90°.AC=BC．AD⊥CE.BE⊥CE.垂足分别是点D、E.AD=3.BE=1.则DE的长是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°.进而得出△CEB≌△ADC.就可以得出BE=DC.就可以求出DE的值．【解答】：解：∵BE⊥CE.AD⊥CE.∴∠E=∠ADC=90°.∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°.∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中.{∠E=∠ADC∠EBC=∠DCA BC=AC.∴△CEB≌△ADC（AAS）.∴BE=DC=1.CE=AD=3．∴DE=EC-CD=3-1=2故选答案为2．【点评】：本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键.学会正确寻找全等三角形.属于中考常考题型．17.（填空题.3分）如图.已知等边△ABC中.BD=CE.AD与BE相交于点P.则∠APE的度数是___ °．【正确答案】：[1]60【解析】：通过证△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE；运用外角的性质求解．【解答】：证明：∵△ABC是等边三角形.∴AB=BC.∠ABD=∠C=60°.在△ABD 和△BCE 中.∵ {AB =BC ∠ABC =∠C =60°BD =CE.∴△ABD≌△BCE （SAS ）.∴AD=BE ．∴∠BAD=∠CBE .∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠ABP+∠PBD=∠ABD=60°．故答案是：60．【点评】：本题考查了等边三角形的性质的运用.全等三角形的判定及性质的运用.三角形外角与内角的关系的运用.解答时证明三角形全等是关键．18.（填空题.3分）如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形.我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形.我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．（1）如图.在△ABC 中.AB=AC.点D 在AC 边上.且AD=BD=BC.则∠A=___ 度；（2）在△ABC 中.∠B=27°.AD 和DE 是△ABC 的“好好线”.点D 在BC 边上.点E 在AC 边上.且AD=BD.DE=CE.则∠C 的度数为 ___ ．【正确答案】：[1]36; [2]18°或42°【解析】：（1）利用等边对等角得到三对角相等.设∠A=∠ABD=x .表示出∠BDC 与∠C .列出关于x 的方程.求出方程的解得到x 的值.即可确定出∠A 的度数．（2）设∠C=x. ① 当AD=AE 时.利用三角形外角的性质得到2x+x=27+27.解得x=18°； ② 当AD=DE 时.利用三角形内角和定理得到27°+27°+2x+x=180°.解得x=42°．【解答】：解：（1）∵AB=AC .∴∠ABC=∠C .∵BD=BC=AD.∴∠A=∠ABD .∠C=∠BDC ..设∠A=∠ABD=x.则∠BDC=2x.∠C= 180°−x2.可得2x= 180°−x2解得：x=36°.则∠A=36°；故答案为：36；（2）设∠C=x.① 当AD=AE时.∵2x+x=27°+27°.∴x=18°．② 当AD=DE时.∵27°+27°+2x+x=180°.∴x=42°．所以∠C的度数是18°或42°．故答案为：18°或42°．【点评】：此题考查了等腰三角形的性质.三角形外角的性质以及三角形内角和定理.熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．19.（问答题.5分）如图.已知AB=BC.∠BCD=∠ABD.点E在BD上.BE=CD．求证：AE=BD．【正确答案】：【解析】：根据题目中的条件和全等三角形判定的方法.可以写出△ABE≌△BCD成立的条件.然后即可得到AE=BD．【解答】：证明：∵∠BCD=∠ABD.∴∠BCD=∠ABE.在△ABE和△BCD中.{AB=BC∠ABE=∠BCD BE=CD.∴△ABE≌△BCD（SAS）.∴AE=BD．【点评】：本题考查全等三角形的判定与性质.解答本题的关键是明确题意.利用数形结合的思想解答．20.（问答题.7分）如图.在平面直角坐标系中.A（1.2）、B（3.1）、C（-2.-1）（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）写出A1、B1、C1的坐标；（3）求△A1B1C1的面积．【正确答案】：【解析】：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置.然后顺次连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积.列式计算即可得解．【解答】：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）A1（-1.2）B1（-3.1）C1（2.-1）；（3）△A1B1C1的面积=5×3- 12 ×1×2- 12×2×5- 12×3×3.=15-1-5-4.5.=15-10.5.=4.5．【点评】：本题考查了利用轴对称变换作图.熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．21.（问答题.6分）下面是小东设计的尺规作图过程．已知：如图.在R t△ABC中.∠ABC=90°.求作：点D.使点D在BC边上.且到AB和AC的距离相等．作法：① 如图.以点A为圆心.任意长为半径画弧.分别交AB.AC于点M、N；② 分别以点M.N为圆心.大于12MN的长为半径画弧.两弧交于点P；③ 画射线AP.交BC于点D．所以点D即为所求．根据小东设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规.补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：过点D作DE⊥AC于点E.连接MP.NP．在△AMP与△ANP中.∵AM=AN.MP=NP.AP=AP.∴△AMP≌△ANP（SSS）．∴∠___ =∠___ ．∵∠ABC=90°.∴DB⊥AB．又∵DE⊥AC.∴DB=DE（ ___ ）（填推理的依据）【正确答案】：PAM; PAN; 角平分线上的点到角的两边的距离相等【解析】：（1）根据作图过程即可补全图形；（2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明．【解答】：解：（1）如图.即为补全的图形；（2）证明：过点D作DE⊥AC于点E.连接MP.NP．在△AMP与△ANP中.∵AM=AN.MP=NP.AP=AP.∴△AMP≌△ANP（SSS）．∴∠PAM=∠PAN．∵∠ABC=90°.∴DB⊥AB．又∵DE⊥AC.∴DB=DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．故答案为：PAM.PAN.角平分线上的点到角的两边的距离相等．【点评】：本题考查了作图-复杂作图.全等三角形的判定与性质.角平分线的性质.解决本题的关键是掌握角平分线的作法．22.（问答题.6分）如图.在△ABC中.AB=AC.D是BC边上的中点.连接AD.BE平分∠ABC交AC 于点E.过点E作EF || BC交AB于点F．（1）若∠C=36°.求∠BAD的度数；（2）求证：FB=FE．【正确答案】：【解析】：（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB=90°.再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．（2）只要证明∠FBE=∠FEB即可解决问题．【解答】：（1）解：∵AB=AC.∴∠C=∠ABC.∵∠C=36°.∴∠ABC=36°.∵BD=CD.AB=AC.∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∴∠BAD=90°-36°=54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC.∠ABC.∴∠ABE=∠CBE= 12∵EF || BC.∴∠FEB=∠CBE.∴∠FBE=∠FEB.∴FB=FE．【点评】：本题考查等腰三角形的性质.平行线的性质等知识.解题的关键是熟练掌握基本知识.属于中考常考题型．23.（问答题.7分）我们规定在网格内的某点进行一定条件操作到达目标点：H代表所有的水平移动.H1代表向右水平移动1个单位长度.H-1代表向左平移1个单位长度；S代表上下移动.S1代表向上移动1个单位长度.S-1代表向下移动1个单位长度.P（H_→S_）表示点P在网格内先一次性水平移动.在此基础上再一次性上下移动；（1）如图1.在网格中标出A（H2→S4）移动后所到达的目标点A'；（2）如图2.在网格中的点B到达目标点A.写出点B的移动方法 ___ ；（3）如图3.在网格内有格点线段（即端点在格点上的线段）AC.现需要由点A出发.到达目标点D.使得A、C、D三点构成的格点三角形（即顶点在格点上的三角形）是等腰直角三角形.在图中标出所有符合条件的点D的位置并写出点A的移动方法．【正确答案】：B（H-3→S-2）或B（S-2→H-3）【解析】：（1）点A向右平移2个单位.再向上平移4个单位得到A'；（2）点B向下平移2个单位.再向左平移3个单位得到A或向左平移3个单位.再向下平移2个单位得到A；（3）有5种情况.满足A、C、D三点构成的格点三角形是等腰直角三角形.写出从点A出发到点D的移动方法即可．【解答】：解：（1）如图1所示：（2）B（H-3→S-2）或B（S-2→H-3）；故答案为：B（H-3→S-2）或B（S-2→H-3）；（3）如图3.符合条件的点D有5个.A（H-2→S4）、A（H-1→S2）、A（H2→S1）、A（H3→S-1）、A（H4→S2）．【点评】：本题是三角形综合题.考查全等三角形的性质.理解新定义.熟知平移的符号表示是解答此题的关键．24.（问答题.7分）在等边△ABC外侧作直线AP.点B关于直线AP的对称点为D.连结BD.CD.其中CD交直线AP于点E．（1）如图1.若∠PAB=30°.则∠ACE=___ ；（2）如图2.若60°＜∠PAB＜90°.请补全图形.判断由线段AB.CE.ED可以构成一个含有多少度角的三角形.并说明理由．【正确答案】：30°【解析】：（1）根据题意作出图形.根据题意可得∠DAP=∠BAP=30°.然后根据AB=AC.∠BAC=60°.得出AD=AC.∠DAC=120°.最后根据三角形的内角和公式求解；（2）由线段AB.CE.ED可以构成一个含有60度角的三角形.连接AD.EB.根据对称可得∠EDA=∠EBA.然后证得AD=AC.最后即可得出∠BAC=∠BEC=60°．【解答】：解：（1）如图1中.连接AD．∵AB.AD关于AP对称.∴∠BAP=∠DAP=30°.∵△ABC是等边三角形.∴∠CAB=60°.∴∠CAD=120°.∵AD=AB=AC.∴∠ACE=∠ADC= 1（180°-120°）=30°．2故答案为：30°；（2）图形如图所示.线段AB.CE.ED可以构成一个含有60°角的三角形．理由：连接AD.EB.如图2．∵点D与点B关于直线AP对称.∴AD=AB.DE=BE.∴∠EDA=∠EBA.∵AB=AC.AB=AD.∴AD=AC.∴∠ADE=∠ACE.∴∠ABE=∠ACE．设AC.BE交于点F.又∵∠AFB=∠CFE.∴∠BAC=∠BEC=60°.∴线段AB.CE.ED可以构成一个含有60°角的三角形．【点评】：本题考查了根据轴对称变换作图以及等腰三角形的性质.解答本题的关键是根据轴对称的性质作出对应点的位置以及掌握等腰三角形的性质．25.（问答题.8分）如图.在平面直角坐标系xOy中.经过点M（0.m）并且平行于x轴的直线可以记作直线y=m.我们给出如下的定义：点P（x.y）先关于x轴对称得到点P1.再将点P1关于直线y=m对称得点P'.则称点P'为点P关于x轴和直线y=m的二次反射点．（1）点A（2.4）关于x轴和直线y=2的二次反射点A'的坐标是 ___ ；（2）若点B（5.-2）关于x轴和直线y=m的二次反射点B的坐标是（5.6）.那么m=___ ；m）.其中m＞0.点C关于x轴和直线y=m的二次反射点是C'.求（3）若点C的坐标是（0. 32线段CC'的长（用含m的式子表示）；（4）已知一个三角形的三个顶点坐标分别为（0.0）、（3.0）、（2.2）.如果点P（2.1）.Q （2.2）关于x轴和直线y=m的二次反射点分别为P'.Q'.且线段P'Q'与三角形的边没有公共点.直接写出m的取值范围．【正确答案】：（2.8）; 4【解析】：（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；（2）根据二次反射点的定义得出B′（5.2m-2）.则2m-2=6.由此可得m的值；m）.则可得出答案；（3）根据二次反射点的定义得出C′（0. 72（4）根据二次反射点的定义得出P'（2.2m+1）.Q'（2.2m+2）.由题意分两种情况列出不等式组.解不等式组可得出答案．【解答】：解：（1）∵点A（2.4）.∴点A关于x轴对称得到点A1（2.-4）.∴点A1关于直线y=2对称得到点A'（2.8）．故答案为：（2.8）；（2）∵点B （5.-2）.∴点B 关于x 轴对称得到点B 1（5.2）.∴点B 1关于直线y=m 对称得到点B'（5.2m-2）.∴2m -2=6.解得m=4.故答案为：4；（3）∵点C 的坐标是（0. 32 m ）.∴点C 关于x 轴对称得到点C 1（0.- 32 m ）.∴点C 1关于直线y=m 对称得到点C'（0.2m+ 32 m ）.即C'（0. 72 m ）.∴CC′= 72 m- 32 m=2m ；（4）由题意可知.点P （2.1）.Q （2.2）关于x 轴和直线y=m 的二次反射点分别为P'（2.2m+1）.Q'（2.2m+2）.∴P′Q′ || y 轴.P′Q′=1.且2m+2＞2m+1.∴线段P'Q'与三角形的边没有公共点.有三种情况：① 2m+1＞2.解得m ＞ 12 ；② {2m +1＞02m +2＜2.解得- 12 ＜m ＜0； ③ 2m+2＜0.解得m ＜-1．综上.若线段P'Q'与三角形的边没有公共点.则m 的取值范围m ＞ 12 或- 12 ＜m ＜0或m ＜-1．【点评】：本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化.考查了正方形的性质.轴对称性质.新定义二次反射点的理解和运用.解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．。

2023-2024学年北京海淀区北京一零一中学数学高二上期末联考模拟试题含解析

.干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2
，…
所以数列 an 每四项重复出现，即 an4 an ，且 a1 a2 a3 a4 1，
而 2021 5054 1，
所以该数列的前 2021 项的乘积是 a1 a2 a3 a4 a2021 1505 a1 2 .
故选：C. 3、D
【解析】根据椭圆方程求出 a, b, c ，然后结合椭圆定义和已知条件求出| PF1 |,| PF2 | 并求出| F1F2 | ，进而判断答案.
值是（）
A.5
B.6
C.7
D.8
9．在等差数列{ an }中， a8 6 ， a11 0 ，则 a1 的值为（）
A.18
B.20
C.22
D.24
10．已知 F 是椭圆 C : x2 y2 1 的左焦点， P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q 坐标为 (4, 4) ，则| PQ | | PF | 的最大值 16 15
2023-2024 学年北京海淀区北京一零一中学数学高二上期末联考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）
填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

北京市一零一中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题

北京市一零一中学2020—2021学年高二数学上学期期中试题（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1。

在复平面内，复数1+i 的共轭复数所对应的点位于（ )A. 第一象限 B 。

第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 直线013=+-y x 的倾斜角的度数是（）A. 30°B. 45° C 。

60° D 。

90°3。

点(0，1）到直线1-=kx y 距离的最大值为（）A. 1 B 。

2 C 。

3 D. 2 4。

直线01)1()2(:1=--++y a x a l 与02)32()1(:2=+++-y a x a l 互相垂直，则实数a 的值为( ）A 。

-1 B. 1 C. -1或1 D 。

以上都不对5. 已知向量a =(1，x ，-2）,b =（0，l,2),c =（1，0，0），若a ,b ，c 共面，则x 等于( ）A. —1 B 。

l C 。

1或—1 D 。

1或06。

如图,ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1=D 1F 1=41A 1B 1，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（）A.1715 B 。

21 C 。

178D.237。

如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（）A. 3个 B 。

4个 C. 5个 D. 6个8. 设复数z 满足|z —1—i|=2,则｜z|的最大值为（）A 。

2 B. 2 C 。

22 D. 4 9。

通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角。

已知0332:1=--y x l ,012:2=++y x l ，则l 1，l 2夹角的余弦值是（）A. 6565B. 65654C. 65657 D 。

北京市一零一教育集团2023~2024学年九年级下学期月考数学试题

北京市一零一教育集团2023~2024学年九年级下学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A ．长方体B ．三棱柱C ．圆柱D ．圆锥2．经文化和旅游部数据中心测算，2023年清明节假期(4月5日)，全国国内旅游出游23766400人次，较去年清明节当日增长22.7%．将23766400，用科学记数法表示应为( )A ．5237.66410⨯B ．72.3766410⨯C ．623.766410⨯D ．82.3766410⨯3．若实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是( )A ．a b >B ．0ab >C ．a b <D ．a b >4．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（） A ．3B ．4C ．5D ．65．将抛物线23y x =向左平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（） A ．()231y x =+B ．()231y x =-C ．231y x =+D ．231y x =-6．如图，在ABC V 中，M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，MN BC ∥，2BM AM =．若AMN V 的面积为1，则ABC V 的面积为( )A ．2B ．3C ．6D ．97．下面三个问题中都有两个变量：①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y 与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x ；②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O 表示王大爷家的位置），他离家的距离y 与散步的时间x ；③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y 与所用时间x其中，变量y 与x 之间的函数关系大致符合下图的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8．已知二次函数2202420232022y x x =++的图象上有两点(,2024),(,2024)A m B n ，则当x m n =+时，二次函数的值为( ) A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024二、填空题9．若分式13x -有意义，则x 的取值范围是．10．分解因式：22ab ab a -+=．11．如图，边长为1的正方形网格中，AB 3．（填“＞”，“＝”或“＜”）12．如图，PA ，PB 分别与O e 相切于AB 、两点，60P ∠=︒，6PA =，则O e 的半径为．13．如图，线段AB ，CD 分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离BD 为30m ．若在点A 处测得点D 的俯角α为30︒，点C 的仰角β为45︒，则乙建筑物的高CD 约为m（结果精确到0.1m1.414≈ 1.732≈）．14．如图，点A ，B 在O e 上，140AOB ∠=︒．若C 为O e 上任一点（不与点A ，B 重合），则ACB ∠的大小为．15．为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图．如图，y 轴上动点M 的纵坐标m y 表示学生的期中考试成绩，直线10x =上动点N 的纵坐标n y 表示学生的期末考试成绩，线段MN 与直线6x =的交点为P ，则点P 的纵坐标p y 就是这名学生的学期总评成绩．有下面几种说法：①若某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分：②甲同学的期中考试成绩比乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学期总评成绩的60%．结合这张算图进行判断，其中正确的说法是．（填写序号）16．如图，有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量25cm,54cm,30cm AB BC CD ===，且4tan tan 3==B C ．木匠徐师傅要从这块余料中裁出一个矩形PQMN ，其中顶点M 、N 在边BC 上，要使木板余料的利用率最大，则MN 长度为．三、解答题17．计算：()201|122cos453π-⎛⎫+---︒ ⎪⎝⎭．18．解不等式组：32? 211.52x x x x -≤⎧⎪++⎨<⎪⎩，19．已知2230a b +-=，求代数式()()2222a b b a b a +--+的值．20．关于x 的一元二次方程()()22310mx m x m --+-=有两个实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若m 为正整数，求此方程的根．21．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，12AB BC AE AD ===．(1)求证：四边形ABCE 为菱形； (2)若3tan 4ACB ∠=，8AC =，求CD 的长． 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x b =+经过点()1,A m ，(1,1)B --. （1）求b 和m 的值；（2）将点B 向右平移到y 轴上，得到点C ，设点B 关于原点的对称点为D ，记线段BC 与AD 组成的图形为G. ①直接写出点,C D 的坐标； ②若双曲线ky x=与图形G 恰有一个公共点，结合函数图象，求k 的取值范围. 23．某校为了解本校学生每天在校体育锻炼时间的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得了他们每天在校体育锻炼时间的数据（单位：min ），并对数据进行了整理，描述，部分信息如下：a ．每天在校体育锻炼时间分布情况：b ．每天在校体育锻炼时间在8090x ≤<这一组的是：80 81 81 81 82 82 83 83 84 84 84 84 84 85 85 85 85 85 85 85 85 86 87 8787 87 87 88 88 88 89 89 89 89 89根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m =______，n =______；(2)若该校共有1000名学生，估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数；(3)该校准备确定一个时间标准p （单位：min ），对每天在校体育锻炼时间不低于p 的学生进行表扬．若要使25%的学生得到表扬，则p 的值可以是______．24．如图，AB 是O e 的直径，过O e 上一点C 作O e 的切线CD ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，延长EB 交O e 于点F ，连接AC ，AF ．（1）求证：12CE AF =；（2）连接BC ，若O e 的半径为5，tan CAF 2∠=，求BC 的长．25．小腾去公园游玩时在湖边看到了一个美丽的喷泉(图1)，善于思考的小腾想到了二次函数的图象，回家后他尝试构造了一个函数22||3(33)y x x x =-++-≤≤来刻画喷泉的形状，下表是小腾列出的部分对应值(1)计算m =___________，n =___________；(2)在平面直角坐标系xOy 中，请你描出小腾所列表中各组数值所对应的点(,)x y ，并画出函数的图象；(3)小腾发现平行于x 轴的直线y t =和函数22||3(33)y x x x =-++-≤≤图象的交点个数跟t 的取值有关，若直线y t =与函数22||3(33)y x x x =-++-≤≤的图象有4个不同的交点，请你帮小腾直接写出实数t 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，()()()123,,,,2,A m y B m y C m y -+是抛物线2(26)1y x m x =+-+上不重合的三点．(1)直接写出该抛物线对称轴的表达式________________(用含m 的式子表示)， (2)当12y y =时，m =________，试比较此时2y 与3y 的大小关系，并说明理由； (3)若231y y y <<，求m 的取值范围．27．如图，四边形ABDE 中，90ABD AED AB BD ∠=∠=︒=，，连接BE ，过点B 作BF BE ⊥交EA 延长线于点F ．(1)依题意补全图形1；(2)猜想AE BE DE 、、的数量关系并证明；(3)如图2，C 是线段BD 上一点，且30BAC DAE G ∠=∠=︒，为CD 的中点，连接EG ，若ED =EG 的长．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A m -，点(2,0)B m +．若P e 经过A 、B 两点，且6090APB ︒≤∠≤︒，则称点P 是点A 与点B 的“相关点”；P e 上的点称作点A 与点B 的“环绕点”．(1)当3m =时，①在点1234(3,2);(2,3);P P P P ⎛ ⎝⎭中，是点A 与点B 的“相关点”的是________； ②若O e 的半径为r ，且O e 上存在点A 与点B 的“相关点”，求r 的取值范围：(2)若直线y m =+上存在点A 与点B 的“环绕点”，直接写出m 的取值范围：。

数论.整除性

姓名：叶雨菲时间：_________（1）熟悉常见数的整除性质（2）对于整除含义的理解，求解一些特定问题整除性质（1）2：个位是偶数的自然数（2）5：个位是0或5的自然数注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0 （3）4、25：末两位能被4、25整除（4）8、125：末三位能被8、125整除（5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除（6）7、11、13通用性质：①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13整除②从末三位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除（8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除（9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除考试要求知识框架数论之整除性接着考虑3和9，最后7、11、13，（1）熟记整除性质，若遇未学过的，则尽量分解成互质的几个数相乘，如：72=8×9（2）已知一个多位数的前半部分求后半部分时，可用估算，把原数看大些，利用除法求出余数，再把余数减去，如例9（3）看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5，如例8【例 1】在□内填上适当的数字，使五位数23□6□既能被3整除又能被5整除.【巩固】已知五位数xy 154能被72整除，求x+y 的值.【例 2】六位数3ABABAB 是6的倍数，其中A 、B 表示不同的数字，这样的六位数共有多少个？【巩固】七位数17562□的末位数字是的时候，不管千位上是0到9中得哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数重难点例题精讲【例 3】由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【巩固】求出一个最大的十位数，它由0,1,2,3，…,9这十个不同的数字组成，并且能被11整除？【例 4】从0,3,5,7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数共有几个？【巩固】一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按从小到大的顺序排成一列，中间的一个是 .【例 5】求被11整除且数字和等于43的五位数【巩固】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？【例 6】（2008解题能力展示六年级初赛）已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数，那么，这个九位数是【巩固】 42□28□能被99整除,方框里应该填什么数?【例 7】把三位数ab 3接连重复的写下去，共写1993个，所得的数恰是91的倍数，求ab【巩固】如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是 .【例 8】 2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?【巩固】从1到101这101个自然数连乘的末尾共有多少个连续的数码0？【例 9】某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数是【巩固】（2009年101中学小升初试题）在2009后面补上三个数字，组成一个七位数2009□□□，使得这个七位数能被2、3、4、5、6整除，那么当补上的三个数字的和最大时，所补的三个数字是【例 10】某商场向顾客发出9999张购物券，每张上面印有一个四位数的号码，从0001到9999.如果号码的前面两位之和等于后面两位数字之和，则称为“幸运券”.例如号码0826，因0+8=2+6，所以叫做“幸运券”，试说明：商场发出的所有“幸运券”中，所有的“幸运券”的号码之和能被101整除.【巩固】求1～9999的所有数码和？【随练1】 (2003年一零一中学入学摸底考试第11题)既能被3整除，又能被7整除的最小三位数是 .【随练2】 (2003年一零一中学入学摸底考试第20题)一个五位数中各个数位上的数字和是42，则其中能被4整除的五位数是哪几个？【随练3】 (北京市一零一中学计算机培训班六年级04～05学年一学期第一次随堂测试第12题)在1～1000之间的自然数，能同时被2、3、5整除的数共有个.【随练4】（2006年“我爱数学杯”数学竞赛）2006年6月11日是小明的生日.在2006的前边和后边各添上一个数，组成一个六位数，这个六位数正好能被他的出生月份数和日期数整除.这个六位数是 .【随练5】（06年十一学校选拔考试真题）一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有个．课堂检测【随练6】（“祖冲之”杯数学邀请赛试题）求1，2，3，…，9999998，9999999这9999999个数中所有数码的和.1、重点掌握2、3、5、9、11、99的整除性质2、重点掌握求数码和的方法，如例10，此内容是杯赛常考类型，也可与余数问题结合起来【作业1】在25□79这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填 .【作业2】一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88所得的商是或 .【作业3】有一个首位数字是8的六位数，它能被9整除，并且各个数位上的数字都不相等.这样的六位数最小是几？复习总结家庭作业【作业4】（2008走美五年级初赛）2871aa是2008的倍数，那么a=【作业5】已知九位数2005□□□□是2010的倍数，这样的九位数共有多少个？【作业6】把30个自然数1、2、3……30乘到一起，那么这个乘积的末尾会有个0【作业7】三位数中能被11整除，且数字之和是11的有个【作业8】（三帆培训班）一个四位数能被45整除，千位数字与个位数字之积是20，百位数字与十位数字组成的两位数是9的4倍，求这个四位数【作业9】（2005人大附中小升初真题）有个四位数满足以下条件：它的各位数都是互不相同的奇数；它的每个数字都能整除它本身.【作业10】李老师带领一班学生去种树，学生恰好被平分成4个小组，总共种树667棵，如果师生每人种的棵数一样多，那么这个班共有学生人.学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：。

2024北京一零一中初三二模数学试题及答案

2024北京一零一中初三二模数学姓名：班级： 2024.05一．单选题2*8=161．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．某种球形病毒的直径为0.000 000 43米，将数据0.000 000 43用科学记数法表示为（） A ．64.310−⨯B ．60.4310−⨯C ．64310−⨯D ．74.310−⨯3．若实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（）A ．ac ＞bcB ．ab ＞cbC ．a +c ＞b +cD ．a +b ＞c +b4．如图，12∠=∠，50D ∠=︒，则B ∠的度数为（）第4题第7题第8题 A ．50︒B ．40︒C ．100︒D ．130︒5．关于x 的一元二次方程2210kx x −+=有两个不相等的实数根，那么k 的可能值是（）A ．12−B ．0C ．1D ．36．如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（） A ．30°B ．45°C ．60°D ．72°7．如图是一个竖直管道的示意图，水从入口A 进入，先经过管道a 或,b 再经管道,c d 或e 从出口B 流出，如果随机关闭5个管道中的3个，流水还可以从入口A 流到出口B 的概率是（） A ．12B ．25C ．35D ．238．如图，正方形边长为a ，点E 是正方形ABCD 内一点，满足90AEB ∠=︒，连接CE ．给出下面四个结论：①AE CE +；②12CE a ；③BCE ∠的度数最大值为60︒；④当CE a =时，1tan 2ABE ∠=．上述结论中，所有正确结论的序号为（） A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．①③④二．填空题2*8=169x 的取值范围是． 10．分解因式：228x y y −= . 11．分式方程211x x的解是． 12．小林、小方和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是．13．已知9°的圆周角所对的弧长是5πcm ，则此弧所在圆的半径是． 14．某学校为了解九年级800名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了40名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有人．15．“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如上图描述了某次单词复习中M ，N ，S ，T 四位同学的单词记忆效率y 与复习的单词个数x 的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是 _____________．16．甲乙两人进行如下游戏：已知1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，若甲先开始，两人轮流进行，经过3次勾数后，还剩两个数，这时所余两数之差即为甲得的分数，则甲可保证自己至少得分．三．解答题（17-19,21—23题5分，20,24，25，26题6分,27,28题7分） 17．计算：()112022603−⎛⎫−−︒ ⎪⎝⎭．18．解不等式6438311223x x x x −≥−⎧⎪++⎨>⎪⎩，并将解集在数轴上表示出来．19．已知2a b +=，求代数式2222a b ba b a b ⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭的值. 20．如图，点F 在ABCD 的对角线AC 上，过点F 、B 分别作AB 、AC 的平行线相交于点E ，连接BF ，∠ABF ＝∠FBC ＋∠FCB ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若BE ＝5，AD ＝8，sin ∠CBE ＝12，求AC 的长．21．为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，甲工程队施工15002m 所需天数与乙工程队施工9002m 所需天数相等．具体信息如下：(2)该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象平行于直线12y x =，且经过点(2,2)A ．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当1x >时，对于x 的每一个值，一次函数(0)y kx b k =+≠的值大于函数(0)my x x=>的值，直接写出m 的取值范围_____________．23．财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量．近年来，各级政府注重民生问题，加大了对教育社会保障和就业、交通运输方面的投入．某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输方面财政支出的情况，该组成员通过查阅资料，将这三个领域财政支出的数据进行收集、整理描述，下面给出部分信息：信息一：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图信息二：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的统计量如表：根据以上信息解决下列问题：(1)m = _____________；21S ___________22S （填＞，＜号）；(2)根据以上信息，判断下列结论正确的是__________；（只填序号） ①与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长； ②2014﹣2019年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长； ③2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的2倍还多．(3)该数学兴趣小组成员又计算了连续5年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中6年的平均数大，你认为该小组去掉的年份是__________年．24．如图，AD 是O 的切线，切点为A ，AB 是O 的弦．过点B 作BC AD ∥，交O 于点C ，连接AC ，过点C 作CD AB ∥，交AD 于点D ．连接AO 并延长交BC 于点M ，交过点C 的直线于点P ，且BCP ACD ∠=∠．(1)判断直线PC 与O 的位置关系，并说明理由；(2)若9AB =，6BC =，求PC 的长．25．如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，P 是CB 边上一动点，连接AP ，作PQ AP ⊥交AB 于Q ，已知3AC cm =，6BC cm =，设PC 的长度为xcm ，BQ 的长度为ycm ．小青同学根据学习函数的经验对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小青同学的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 的几组对应值：（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）m 的值约为__________cm ；（2）在平面直角坐标系中，描出已补全后的表格中各组数值所对应的点(,)x y ，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当2y >时，对应的x 的取值范围约是_____________；②若点P 不与B ，C 两点重合，是否存在点P ，使得BQ BP =？________________（填“存在”或“不存在”）26．已知二次函数22y ax bx =++的图像经过点()2,2A ．(1)用含a 的代数式表示b =______；(2)若直线y x =与抛物线22y ax bx =++a 的值；(3)若抛物线22y ax bx =++与x 轴交于()1,0M x 和()2,0N x 两点（12x x <），且1220x x +>，直接写出a 的取值范围__________．27．如图，已知ABC 中，90ABC ∠=︒，(090)ACB αα∠=<<︒，点D 为线段BC 上一点，连接AD ，作射线AE 使得90DAE α∠=︒−．过点D 作AD 的垂线交AE 于点F ，连接CF ，取CF 中点M ，连接BM ，DM ．(1)补全图形；(2)求证：BAC DAF ∠=∠；(3)①判断MBD 的形状，并证明．②直接写出MDB ∠的大小__________（用α表示）．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于线段MN ，直线l 和图形W 给出如下定义：线段MN 关于直线l 的对称线段为M N ''（,M N ''分别是M ，N 的对应点）．若MN 与M N ''均与图形W （包括内部和边界）有公共点，则称线段MN 为图形W 关于直线l 的“对称连接线段”．(1)如图1，已知圆O 的半径是2，112233B C B C B C ，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段112233B C B C B C ，，中，是O 关于直线1y x =−的“对称连接线段”的是_____________．(2)如图2，已知点()01P ，，以O 为中心的正方形ABCD 的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段OP 是正方形ABCD 关于直线2y kx =+的“对称连接线段”，求k 的取值范围．(3)已知O 的半径为r ，点()10M ，，线段MN 的长度为1．若对于任意过点Q ()02，的直线l ，都存在线段MN 是O 关于l 的“对称连接线段”，直接写出r 的取值范围_____________．参考答案：1．A【分析】根据轴对称图形：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，以及中心对称图形：一个平面图形，绕一点，旋转180 ，与自身完全重合，进行判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键．2．D【分析】利用绝对值小于1的科学记数法的表示法则，把小数点向右移动七位即可．【详解】解：0.000 000 43=4.3×10-7．故选：D．【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为a×10-n，其中1⩽|a|<10，n为小数点向右移动的位数，也可以是由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．3．B【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负及大小情况，然后根据不等式的性质解答．【详解】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，A、ac＜bc，故本选项错误；B、ab＞cb，故本选项正确；C、a+c＜b+c，故本选项错误；D、a+b＜c+b，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查数轴、不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键.4．D【分析】根据对顶角相等和已知条件，得出∠1=∠DFA，根据平行线的判定可得出AB∥CD，根据平行线的性质从而得出答案．【详解】∵∠2=∠DFA，∠1=∠2，∴∠1=∠DFA，∴AB∥CD，∴∠B+∠D=180°，∵∠D=50°，∴∠B=130°，故选：D【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 5．A【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，0∆>时，方程有两个不相等的实数根，再结合一元二次方程的定义即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x −+=有两个实数根， ∴()22410k ∆=−−⨯>，且0k ≠，解得：1k <且0k ≠， ∴k 的值可能是12−．故选：A ． 6．B【分析】首先设此多边形为n 边形，根据题意得：（n -2）•180°=1080°，即可求得n =8，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n 边形，根据题意得：180°×（n -2）=1080°，解得：n =8，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°．故选：B ．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n -2）•180°，外角和等于360°． 7．C【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到开着的两个管道可以使流水从入口A 流到出口B 的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：设a 、b 、c 、d 、e 五个管道分别用A 、B 、C 、D 、E 表示，列表如下：A 流到出口B 的结果数有12种，∴流水还可以从入口A 流到出口B 的概率是123205=，故选：C ． 8．C【分析】如图所示，连接AC 交BD 于H ，取AB 中点O ，连接OC ，先证明点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动，当A E C 、、三点共线，即点E 运动到点H 时AE CE AC +=，当C O E 、、三点共线时，CE 有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当CE 与O 相切时BCE ∠有最大值，证明Rt Rt OBC OEC △≌△，得到CE BC a ==，OCE OCB ∠=∠，则1tan 2OE OCE CE ==∠，再证明ABE BCO OCE ==∠∠∠，得到1tan tan 2ABE OCE ==∠∠，即可判断③④．【详解】解：如图所示，连接AC 交BD 于H ，取AB 中点O ，连接OC ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴90AHB ∠=︒； ∵90AEB ∠=︒，∴点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动， ∵90AHB ∠=︒， ∴点H 在圆O 上，∵AE CE AC +≥==，∴当A E C 、、三点共线，即点E 运动到点H 时，AE CE AC +=，故①正确； ∵点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动， ∴当C O E 、、三点共线时，CE 有最小值，在Rt OBC △中，由勾股定理得2OC ==，∴CE 的最小值为11222a a −=，故②错误；如下图所示，当CE 与O 相切时BCE ∠有最大值， ∵OB OE OC OC ==，， ∴()Rt Rt HL OBC OEC ≌，∴CE BC a ==，OCE OCB ∠=∠， ∴1tan 2OE OCE CE ==∠， ∴30OCE ≠︒∠， ∴60BCE ≠︒∠，∴BCE ∠的度数最大值不是60︒，故③错误； ∵BC EC OB OE ==，， ∴OC 垂直平分BE ，∴ABE BOC BOC BCO +=+∠∠∠∠， ∴ABE BCO OCE ==∠∠∠， ∴1tan tan 2ABE OCE ==∠∠，故④正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E 的运动轨迹是解题的关键． 9．4x ≥−【分析】根据被开方数40x +≥即可求解．【详解】40x +≥， ∴4x ≥−．故答案为4x ≥−【点睛】本题考查二次根式的意义：熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键． 10．2(2)(2)y x x +−．【详解】解：原式=22(4)y x −=2(2)(2)y x x +−．故答案为2(2)(2)y x x +−．【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 11．1x =【分析】此题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，最后要检验．根据解分式方程的步骤求解即可．【详解】解：211x x两边同时乘以()1x x +得21x x =+，解得1x =，经检验1x =是原方程的解，∴1x =，故答案为：1x =．12．21【分析】设投中圆环内及小圆内的得分分别为x ，y 分，根据题意列出方程组求解即可．【详解】解：设投中圆环内及小圆内的得分分别为x ，y 分，依题意得：3219{423x y x y +=+=，解这个方程组得：35x y =⎧⎨=⎩，则小亮的得分是2x +3y =6+15=21分．故答案为21．【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键．13．2cm【分析】根据圆周角定理求出弧所对的圆心角，根据弧长公式计算，得到答案．【详解】解：设此弧所在圆的半径为r ，弧所对的圆心角为：9°×2＝18°，则18r 1805ππ⨯=，解得，r ＝2，即此弧所在圆的半径为2cm ，故答案为2cm ．【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．14．300【分析】本题考查了频数（率)分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本估计总体．用800乘样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可．【详解】解：6980030040+⨯=（人），估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生大约有300人．故答案为：300．15．S【分析】画出过点N 的反比例函数图像，根据题意得到正确默写出的单词个数即为 “单词的记忆效率”对应点所在的矩形的面积大小，通过反比例函数的几何性质即可判断．【详解】解：如图，设M ，N ，S ，T 四个同学的“单词的记忆效率”对应点所在的长方形的面积分别记作S M ，S N ，S S ，S T ，则S T ＜S N ＜S M ＜S S ，∴这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是S ．故答案为：S ．【点睛】本题考查了反比例函数的几何性质的应用，正确理解题目的意思是解题的关键．16．5【分析】此题考查最佳对策问题，注意比赛的规则和数据的特点，灵活选用适当的方法解答；通过分析可知：224⨯=，甲要划掉4个连续的自然数一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的．而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数．这样甲的得分就可以保证至少5分，【详解】224⨯=，甲要划掉4个连续的自然数．一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的．而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数．甲第一次勾掉4,5这2个数，将剩下的数两两配对：{,5}(1,2,3)i i i +=，同一对两数之差为5．在每次勾掉2个数之后，甲的策略是甲勾掉的2个数与乙勾掉的2个数恰好组成上述3对数中的2对，这样一来，余下的两个数必须是上述3对数中的一对，这两个数之差必为5．可见甲可保证自己得5分．故答案为：5．17．52【分析】先计算乘方和开方运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解．【详解】()1012022603−⎛⎫−−+︒ ⎪⎝⎭()133=+−+312=+ 52=．【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．18．125x −<≤，数轴表示见解析【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】6438311223x x x x −≥−⎧⎪⎨++>⎪⎩①② 解不等式①，移项，合并同类项得，714x −≥−系数化为1得，2x ≤；解不等式②，去分母得，()()331212x x +>+去括号得，9324x x +>+移项，合并同类项得，51x >−系数化为1得，15x >− 故不等式组的解集为：125x −<≤．数轴表示如下：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．2()a b +，4【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式通分、约分，把分式化简．将所求式子通分，分子、分母分解因式，再约分，化简后整体代入即可【详解】解：原式2222()a b ab b b b a b+=+⋅+ 2()2a b b b a b+=⋅+ 2()a b =+，2a b +=，∴原式224=⨯=．20．（1）见解析；（2）3【分析】（1）由外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由菱形的判定定理可得结论；（2）过D作DH⊥AC于点H，先求出∠CBE=30°，再由平行线的性质可得∠2=∠CBE=30°，然后由锐角三角函数定义可得AH，DH的长，由菱形的性质和勾股定理得CH的长，即可得出AC的长．【详解】（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形．∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，∴▱ABEF是菱形；（2）解：作DH⊥AC于点H，∵sin∠CBE=12，∴∠CBE=30°，∵BE∥AC，∴∠1=∠CBE，∵AD∥BC，∴∠2=∠1，∴∠2=∠CBE=30°，Rt△ADH中，AH=AD•cos∠2=8DH=AD•sin∠2=1842⨯=，∵四边形ABEF是菱形，∴CD=AB=BE=5，Rt△CDH中，CH3=，∴AC=AH+CH=3．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．21．（1）根据题意得：1500900200x x=+解得：300x=，经检验，300x=是所列方程的解，∴x 的值是300；（2）解：设乙工程队单独施工m 天，()200030002045000m m +−≤解得：15m ≥,答：乙工程队至少施工15天.22．(1)112y x =+ (2)302m <≤或0m < 【分析】（1）先根据两直线平行确定k 值，再将(2,2)A 代入求解；（2）分0m >和0m <两种情况，利用数形结合思想求解．【详解】（1）解：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象平行于直线12y x =， ∴12k =，将(2,2)A 代入12y x b =+，得：1222b =⨯+，解得：1b =，∴这个一次函数的表达式为112y x =+；（2）解：当0m >时，(0)m y x x =>的图象位于第一象限，将1x =代入112y x =+，得131122y =⨯+=，将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入m y x =，得33122m =⨯=， ∴302m <≤；当0m <，0x >时，(0)m y x x =>的图象位于第四象限，一次函数112y x =+的图象位于第一象限， ∴对于x 的每一个值，一次函数112y x =+的值大于函数(0)m y x x=>的值，综上可知，m 的取值范围为：302m <≤或0m <．【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练运用数形结合思想，第二问注意分情况讨论．23．(1)562.7，>(2)②(3)2014【分析】本题考查的是折线统计图与统计表的运用．读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了平均数、极差与中位数．（1）根据信息一即可解答；（2）根据折线统计图即可解答；（3）根据5年教育支出的平均数大于520.7亿元，可知该小组去掉的年份教育支出费用小于520.7亿元，又因为计算的是连续5年教育支出的平均数，即可得到该小组去掉的年份．【详解】（1）根据折线统计图可知，549.0576.4562.72m +==， 122222221[(377.1520.7)(401.3520.7)(549.0520.7)(576.4520.7)(593.0520.7)(636.1520.7)]259.06S =−+−+−+−+−+−=，222222221[(346.8448.3)(376.2448.3)(464.8448.3)](468.2448.3)(504.8448.3)(529.1448.3)]182.36S =−+−+−+−+−+−=， 259.0182.3>，∴1222S S >，故答案为：562.7，>；（2）由折线图可知，2015年与2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出分别是278.2亿元，219.2亿元，所以与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出下降了，故结论①错误，不符合题意；20142019−年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长，故结论②正确，符合题意； 2019年甘肃省在社会保障和就业的支出为529.1亿元，交通运输的支出为360.4亿元，所以2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的1倍还多168.7亿元，故结论③错误，不符合题意．故答案为：②；（3）20142019−年这6年中甘肃省在教育支出的平均数为520.7亿元，高于2014与2015年的平均数，又连续5年教育支出的平均数大于520.7亿元，∴不是去掉的2015年的教育支出，∴该小组去掉的年份是2014年．故答案为：2014．24．(1)相切，理由见解析 (2)277PC = 【分析】（1）连接OC ，由AD 为切线及BC AD ∥，结合垂径定理可得AP 平分BAC ∠，则可得BAC POC ∠=∠，再由CD AB ∥及BCP ACD ∠=∠可得BCP POC ∠=∠，则可得OC PC ⊥，问题得证；（2）由勾股定理分别求得AM 及圆半径，证明OMC OCP △∽△，由相似的性质即可求得PC 的长．【详解】（1）解：相切；理由如下：连接OC ，∵AD 为切线，∴AP AD ⊥∵BC AD ∥，∴⊥AP BC ，即AP 垂直平分BC ，∴AP 平分BAC ∠，即2BAC OAC ∠=∠，∵OA OC =，∴OAC OCA ∠=∠，∴2POC OAC ∠=∠，∴BAC POC ∠=∠，∵CD AB ∥，∴BAC ACD ∠=∠，∵BCP ACD ∠=∠，BAC POC ∠=∠，∴BCP POC ∠=∠，∵90POC OCM ∠+∠=︒，∴90BCP OCM ∠+∠=︒，即OC PC ⊥，∴直线PC 与O 相切；（2）解：∵AP 垂直平分BC ， ∴1932AC AB CM BC ====，，在Rt AMC △中，由勾股定理得：AM ===设圆半径为r ，则OM AM OA r =−=，在Rt OMC 中，由勾股定理得：222)3r r +=，解得：r∴OM r ==； ∵90OMC OCP MOC COP ∠=∠=︒∠=∠，，∴OMC OCP △∽△， ∴OM CM OC PC=，∴277CM OCPCOM⋅==．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理等知识，综合运用这些知识是关键．25．（1）2.6；（2）画图见解析；（3）①0.8＜x＜3.5；②不存在【分析】（1）按题意，认真测量即可；（2）利用数据描点、连线；（3）①由根据函数图象可得；②根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得不存在点P，使得BQ=BP．【详解】解：（1）根据题意量取数据m为2.6，故答案为：2.6（2）根据已知数据描点连线得（3）①由图象可得，当0.8＜x＜3.5时，y＞2．故答案为：0.8＜x＜3.5②不存在，理由如下：若BQ=BP∴∠BPQ=∠BQP∵∠BQP=∠APQ+∠PAQ＞90°∴∠BPQ+∠BQP+∠QBP＞180°与三角形内角和为180°相矛盾．∴不存在点P，使得BQ=BP．故答案为：不存在．【点睛】本题为二次函数综合题，也是动点问题的函数图象探究题，考查了画函数图象以及数形结合的数学思想．26．(1)2a − (2)27a =或2a = (3)14a <−或2a > 【分析】（1）把点A 的坐标代入二次函数解析式中，变形即可求解；（2）由（1）得二次函数解析式，与一次函数解析式联立组成二元一次方程组，求得两交点的坐标，由题意可得关于a 的方程，解方程即可求得a 的值；（3）由判别式确定a 的范围，根据a 的范围、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的图象即可确定a 的范围．【详解】（1）解：∵二次函数22y ax bx =++的图像经过点()2,2A ，∴4222a b ++=，∴2b a =−，故答案为：2a −；（2）解：由（1）得二次函数解析式为222y ax ax =−+，由题意得：222y ax ax y x ⎧=−+⎨=⎩，解得：11x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y =⎧⎨=⎩，即直线与抛物线的两个交点坐标为11,(2,2)a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；由题意得：22122a ⎛⎫−= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：27a =或2a =；（3）解：∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴2(2)420a a ∆=−−⨯>，解得：a<0或2a >；当2a >时，对于222y ax ax =−+，令0x =，有2y =，即抛物线与y 轴交点为(0,2)，∴抛物线必过(2,2)与(0,2)，∴120x x <<，∴必有1220x x +>；当a<0时，对于2220ax ax −+=，则由根与系数的关系有：122x x +=，∴1211212()20x x x x x x +=++=+>，即12x >−；∵a<0，抛物线对称轴为直线1x =，且12x x <，∴当2x =−时，2(2)2(2)20y a a =⨯−−⨯−+<，解得：14a <−；综上，14a <−或2a >．【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，灵活运用是解题的关键．27．(1)画图见解析(2)证明见解析(3)①MBD 为等腰三角形，证明见解析；②90MDB α∠=︒−【分析】本题主要考查了考查等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．（1）依据题意，读懂题意即可作图；（2）依据题意，由90ABC ∠=︒，ACB α∠=，从而9090BAC ACB α∠=︒−∠=︒−，又90DAE α∠=︒−，进而可以判断得解；（3）①依据题意，延长FD 到点F '，使得DF DF '=，连接AF '，F C '，延长CB 到点C '，使得BC BC '=，连接AC '，C F '．由M 是CF 中点，从而12MD CF '=，12MB C F '=，又AD DF ⊥，从而AF AF '=，可得18021802FAF AFF α''∠=︒−∠=︒−，同理可得，18021802CAC ACC α''∠=︒−∠=︒−，进而可得CAF FAC ''∠=∠，证得(SAS)CAF C AF ''≌，故CF C F ''=即可判断得解； ②依据题意，由AF D ACD '∠=∠，可得A 、F '、C 、D 四点共圆，则90ACF ADF ''∠=∠=︒，进而可得90DCF α'∠=︒+，从而180(90)90DFC CDF αα'∠+∠=︒−︒+=︒−，故90MDB MDF BDF DF C CDF α''∠=∠+∠=∠+∠=︒−，最后可以判断得解．【详解】（1）补全图形如图．（2）证明：90ABC ∠=︒，ACB α∠=，9090BAC ACB α∴∠=︒−∠=︒−．90DAE α∠=︒−，BAC DAF ∴∠=∠．（3）①MBD 为等腰三角形，DM BM =．证明：延长FD 到点F '，使得DF DF '=，连接AF '，F C '，延长CB 到点C '，使得BC BC '=，连接AC '，C F '．M 是CF 中点，DF DF '= ∴12MD CF '=，由题意，AD DF ⊥，又DF DF '=，AF AF '∴=．ACB α∠=，90BAC DAF α∠=∠=︒−∴AFD ACB α∠=∠=18021802FAF AFF α''∴∠=︒−∠=︒−．同理可得，AC AC '=．18021802CAC ACC α''∴∠=︒−∠=︒−．FAF CAC ''∴∠=∠．CAF FAC ''∴∠=∠．(SAS)CAF C AF ''∴≌．CF C F ''∴=．MD MB ∴=．MBD ∴为等腰三角形．②AF D ACD '∠=∠，AD AD =A ∴、F '、C 、D 四点共圆．又90ADF '∠=︒，则AF '是圆的直径90ACF ADF ''∴∠=∠=︒．又ACB α∠=，90DCF α'∴∠=︒+．180(90)90DF C CDF αα''∴∠+∠=︒−︒+=︒−．DF DF '=，M 是CF 中点，∴DM CF '∥∴MDF CF D '∠=∠FDB CDF '∠=∠90MDB MDF BDF DF C CDF α''∴∠=∠+∠=∠+∠=︒−．90MDB α∴∠=︒−．28．(1)11B C ，33B C(2)1k ≥或1k ≤−(3)1r ≥【分析】本题主要考查了轴对称的性质、圆的性质、“对称连接线段”的定义等知识点，掌握“对称连接线段”的定义成为解题的关键．（1）直接根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质进行解答即可；（2）先根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质画出图形，然后点P 的对称点是()12−，和()12，时是临界点即可解答；（3）如图3：连接MQ ，则MQ =“对称连接线段”的定义即可解答．【详解】（1）解：如图1:因为1C 关于1y x =−的对称点是()02−，在O 上，所以11B C 是O 关于直线1y x =−的“对称连接线段”，因为2B 和2C 关于1y x =−的对称点是()21−，和()13，在O 外，所以22B C 不是O 关于直线1y x =−的“对称连接线段”，因为3B 关于1y x =−的对称点是()11，在O 内，所以33B C 是O 关于直线1y x =−的“对称连接线段”．故答案为：1133B C B C ，．（2）解：如图2：设直线2y kx =+交y 轴于A ，根据轴对称的性质，点P 和它的对称点到A 的距离相等，所以点P 的对称点在以A 为圆心，1为半径的圆上运动，当点P 的对称点在圆和正方形重合的部分时，满足条件，过点P 的对称点是()12−，和()12，时是临界，此时k 的值分别是1和1−． ∴1k ≥或1k ≤−．（3）解：如图3：连接MQ ，则MQ =∴点M 关于过Q 的直线的对称点在以Q N 在以Q 为圆心，半径是11的圆上运动，y 轴于点W ，∴1r ≥．。

2024,2,20北京一零一中高三开学测数学试题

(A) 若 α + β <
π 2
,
则
sin
α
+
sin
β
<
√ 2
(B) 若 α + β <
π 2
,
则
cos
α
+
cos
β
<
√ 2
(C) 若 α + β >
π 2
,
则
sin
α
+
sin
β
>
1
(D) 若 α + β >
π 2
,
则
cos
α
+
cos
β
>
1
7. 已知直线 l : y = mx − m − 1, P 为圆 C : x2 + y2 − 4x − 2y + 1 = 0 上一动点, 设 P 到直线 l 距
两对不同的点, 满足每一对点关于点 A 对称, 则实数 a 的
取值范围是 ( )
(A) (1, 4]
(B)
[
5 2
,
4)
(C)
[
5 2
,
3)
(D) (2, 3]
二、填空题共 5 小题。
11.
已知角
α
的终边经过点
(−4,
3),
则
cos(
3π 2
− α) 的值是＿＿＿＿＿ .
12.
已知双曲线
x2 m
高峰测量法之一, 右图是三角高程测量法的一个示意图,
现有 A, B, C 三点, 且 A, B, C 在同一水平面上的投影 A′,
B′, C′ 满足 ∠A′C′B′ = 45◦, ∠A′B′C′ = 60◦, 由 C 点测得 B