神奇的奇数阶幻方
幻方的算法-Merzirac法生成奇阶幻方
幻方的算法—Merzirac法生成奇阶幻方奇阶幻方当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。
可以用Merzirac法与loubere法实现，Merzirac法与loubere 法称为斜步法，即向斜方向走一步；也可用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法，即马步法。
下面我详细介绍Merzirac法Merzirac法生成奇阶幻方Merzirac法最简单的方法为：1、在第一行居中的方格内放1 ；2、以后按顺序，向右斜上方填写数字（称为斜步）；3、若出到方阵上方，把该数字填到本该所在列的最下格；4、若出到方阵右方，把该数字填到本该所在行的最左格；5、若右上已有数字，或出到方阵右上(即对角线方向)，则把数字填入上一个数字的下一格，即在n 的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下方放入2n+1，在3n的下方放入3n+1，……依次填完所有数字即可完成任何一个奇阶幻方。
下面是用此方法构成的5阶幻方，每一行、每一列、对角线的和都为65，我们将此和值称为幻和值，用f(n)表示，f(5)＝65。
65656565656565 65 65 65 65 65斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。
下面我总结所有的Merzirac法（斜步法）：我们用坐标轴的方法，将左右方向设为X轴，向右为X，向左为-X；将上下方向设为Y轴，向上为Y，向下为-Y。
一般的，令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，用X+Y表示，，[-1,0]为向左走一步，用-X表示，[0,-1]为向下走一步，用-Y表示。
则斜步可以表示为X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。
对于X+Y相应的跳步可以为-X，-Y。
那么上面的5阶幻方就是用X+Y斜步（即右上一步），-Y跳步（即向下一步）构成。
北师大版初中数学七年级上册综合与实践探索神奇的幻方PPT优秀课件
不仅具有一般幻方的 性质，而且它们的连乘 积也等于另一个定值。
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双重幻方
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六角幻方
任一条直线上的数字之和都等于同一个数。
当德时国的画占家星阿家尔认布为莱四希阶特魔.杜方勒阵可的以著驱作除《忧梅郁伦， 可利所亚以》他(就Me将le这nc个ol魔ia方)（阵意放为入“作忧品郁之”中）。，
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①以1-16依次作四行排列; ②打两条对角线，被对角线穿过的数字不动; ③其他数字，按对角线的交点为对称中心， 对称对调.
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古往今来， 很多人在研究幻方，
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南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘 奇算法》里介绍了这种方法：
① ④② ⑦⑤ ③ ⑧⑥
⑨
①将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排; ②把上、下两数对调，左、右两数也对调; ③把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
奇数三阶幻方的填法
奇数三阶幻方的填法英文回答：Odd order magic squares are a type of square gridfilled with distinct positive integers, where the sum of each row, column, and diagonal is the same. In this case, we will focus on the filling method for odd order magic squares.To fill an odd order magic square, we can use the Siamese method, also known as De la Loubère's method. This method involves systematically filling the square by starting from the central cell of the first row and moving diagonally up and to the right.Here are the steps to fill a 3rd order (3x3) odd order magic square using the Siamese method:1. Start by placing the number 1 in the central cell of the first row.2. Move diagonally up and to the right to fill the next cell with the number 2.3. If a filled cell is located outside the square, wrap around to the opposite side.4. If a filled cell is already occupied, move down one row and continue filling diagonally up and to the right.5. Repeat steps 2-4 until all cells are filled.Using this method, we can fill a 3rd order magic square as follows:8 1 6。
神奇的幻方 ppt课件
AC
DB
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方； B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；
1
6
2
11 24 7 20 3
16 4 12 25 8 16
21
17 5 13 21 9
22 10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
24
20
25
4 5
10
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
15 14
12
9
8
5
32
六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
❖ 其余的数写成对 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 36、35、34、33、32、31、30、29、28、27
1 9 34 33 32 2
6
31
10
27
30
7
29
8
35 28 3 4 5 36
❖ 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图， 或n阶幻方。
三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质
洛书
492 357 816
探寻神奇的幻方ppt
展望
01
幻方在数学领域的应用
幻方作为一种具有特殊性质的矩阵，在数学领域有着广泛的应用。例
如，幻方可以用于解决一些线性代数、组合数学和图论等问题。
02 03
幻方在其他领域的应用
除了在数学领域的应用外，幻方还被广泛应用于其他领域，如计算机 科学、信息科学、物理学等。这些领域的研究者可以利用幻方的性质 来解决一些与实际生活相关的问题。
负数阶幻方的构造方法
负数阶幻方是一种由(-n)×(-n)个元素组成的正方 形矩阵，其中n为正整数。
中心法：将幻方划分为四个相等的子区域，每个 子区域包含(-n-1)/2×(-n-1)/2个元素。将每个子 区域的中心元素放置在幻方对应位置上，然后按 照规律填充其他元素。
奇数阶幻方构造方法可以扩展到负数阶幻方，只 需将阶数取相反数即可。
幻方可以用于解决组合问题，例如通过构造幻方，可以找到某 些组合问题的最优解。
幻方可以用于研究组合性质，例如通过观察幻方中的数字规律 ，可以揭示出一些组合性质和组合恒等式。
在几何学中的应用
01
几何学是研究形状、大小、位置和变化的数学分支。幻方作为一种几何结构， 在几何学中有着广泛的应用。
02
幻方可以用于研究几何形状的对称性和周期性，例如通过构造具有特定对称性 的幻方，可以找到某些几何形状的最优填充方式。
幻方可以用于研究代数结构和性质，例如通过 观察幻方中的数字规律，可以揭示出一些代数 结构和性质。
05
幻方在其他领域的应用
在计算机科学中的应用
程序设计和编码
幻方可以被用来检测程序的正确性和效率，因为它们具有完美的数学性质。例如 ，程序员可以使用幻方来检测算法的正确性，或者在编写代码时使用幻方来优化 代码结构。
奇妙的幻方
64 3678 120 92 134 50 10622 19 15 21 2 13 9 17 23 25 16 8 4 1 22 14 10 5 6 12 18 20 7 11 24 19 15 2 23 25 16 8 4 1 22 14 10 6 12 18 19 15 21 2 13 9 25 168 1 2214 20 7 319 15 2 25 16 8 1 2214 3 A B C D1 234 5 67 8 9⑵ ⑴ 8 6 1 3 75 4 29 56知识要点幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格．一般地，在n ×n （n 行n 列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n ×n 个连续的自然数（注意，这n ×n 个连续自然数不一定要从1开始），每个数占1格，并使每一行、每一列以及两条对角线上的几个自然数的和都相等，这样排列成的数字图形叫做n 阶幻方（标准幻方）．其中，相等的和叫做幻和，n 叫做阶．幻和＝幻方内所有数字之和÷阶数，奇数阶幻方的中心数＝幻和÷阶数．非标准的幻方不限于连续自然数，右图所示即为一个非标准的三阶幻方．幻方分为奇数阶幻方和偶数阶幻方．偶数阶幻方又分双偶数阶幻方和单偶数阶幻方（4K 型的数叫做双偶数，4K ＋2型的数叫做单偶数）．幻方具有对称性．如下图的四阶幻方就具有丰富多彩的对称性．同一曲线所串连的四个数的和都相等，并且和每行、每列、两条对角线上四个数的和相等，都等于这个幻方的幻和．这就是幻方的对称性．幻方具有轮换性．如右图所示的幻方，可以看成是先将五阶幻方的前三行移到下面，再把移动后的左边的三列移到右边以后得到的（反过来移动也行）．这样，随你怎样选取5×5的一个方块后必然得到一个五阶幻方，这就是幻方的轮换性． 幻方的构造方法： 学与练（一）1．奇数阶幻方的构造方法：⑴ 杨辉三阶幻方构造法：我国古代著名数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍的一种排法，它可以简单地归纳为四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”．“九子斜排”，即以右图中A 、B 、C 、D 任一处为起点，按照从小到大的顺序和确定的方向（图中以A 处为起点，从向右向下方向），将1～9这九个数依次斜排；“上下对易，左右相更”，即将A 处与C 处，B 处与D 处的两个数位置互换；“四维挺出”，即将四边中间的数移到各自箭头所批的位置．这样，一个三阶幻方就编排完了．训练⑴① 用从1开始的连续自然数组成一个十阶幻方，其幻和是多少？② 用“杨辉三阶幻方构造法”及3～11编排一个三阶幻方，填入右图中．③ 如右图⑴的3×3的阵列中填入1～9九个自然数，构成了我们熟知的三阶幻方．现有一个3×3的阵列如右图⑵，请选择九个不同的自然数填入这九个方格中，使得其中最大数为20，最小数大于5，而且每一行、每一列及每条对角线上的三个数的和都相等．④ 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24，填入右图中．⑤ 如右图所示，在3×3的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，请你在空格中填上适当的数，使方阵的行、列、对角线上的三个数之和均为36． ⑥ 把3、4、5、8、9、10、13、14、15编排一个三阶幻方，其幻和是多少？14 11 61 8 7 151012 1332 4 5 9 16 14 11 61 8 7 151012 13 3 245 9 16 14 11 61 87 151012 13 3 2 4 5 9 16 14 11 618 7 151012 13 3 24 5 9 1614 11 61 8 7 151012 13 3 2 4 5 9 16 14 11 61 8 7 151012 13 3 2 4 5 9 16 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹4 ⑺ 将九个连续自然数填人右图中三行三列的九个方格中，使每一横行、每一竖列及每一条对角线上的三个数之和都等于51．⑻ 在右图中的空格中填入不大于18而且互不相同的偶数（其中已填好一个数），使每行、每列和对角线上三个数之和都等于30．⑼ 把1～9这九个数字填入3×3的方格中，这样，每一行的三个数字组成一个三位数，如果要使第二行的三位数是第一行的2倍，第三行的三位数是第一行的3倍，应怎样填数？⑽ 诸葛亮只有360名士兵，全部驻守在城上，为了迷惑敌人，不论从哪一面观察，都有100名全副武装的士兵守城（如下图所示）．为了打退敌人的围攻，诸葛亮决定抽调一些士兵突袭敌人，并且不论从哪一面看士兵反而增加了25名，试填出兵力分布图，并求出抽调了多少名士兵？⑵ 罗伯法（用于编排奇数阶连续自然数幻方）：这是由法国人罗伯总结出的构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法．具体方法如下：先把1（或最小的数）放在第一行正中；然后按以下规律排列剩下的12n 个数：① 每一个数放在前一个数的右上一格； ② 如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； ③ 如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； ④ 如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； ⑤ 如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同④．根据这个规则，可以编一个编排奇数阶连续自然数幻方的口诀：㈠ 横向叫行竖叫列，从1开始连续写，1写首行下中间，右列沉底将2写；㈡ 数顺右上方向走，碰到边框猛回头，上行最左写后数，再沿右上方向走； ㈢ 若碰有数下一格，方向不变继续走，碰顶向右掉到底，再按前面规则走。
奇妙的幻方
641341 36507810612()2292n阶幻方（标准幻方）.其中，相等的4K型的数叫做幻方具有轮换性.如右图所示的幻方，可以看成是先将五阶幻方的前三行移到下面，再把移动后的左边的三列移到右边以后得到的（反过来移动也行）.这样，随你怎样选取5 X5的一个方块后必然得到一个五阶幻方，这就是幻方的轮换性.幻方的构造方法:学与练（一）1 .奇数阶幻方的构造方法:114221018114222581641225816192152361921513219175132197203112472031142210181142225816412258161921523619215知识要点幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格. 一般地, 在n x n （n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n xn个连续的自然数（注意,这n x n个连续自然数不一定要从1开始），每个数占1格，并使每一行、每一列以及两条对角线上的几个自然数的和都相等，这样排列成的数字图形叫做和叫做幻和，n叫做阶.幻和=幻方内所有数字之和十阶数，奇数阶幻方的中心数=幻和十阶数. 非标准的幻方不限于连续自然数，右图所示即为一个非标准的三阶幻方.幻方分为奇数阶幻方和偶数阶幻方•偶数阶幻方又分双偶数阶幻方和单偶数阶幻方（双偶数，4K+ 2型的数叫做单偶数）.幻方具有对称性.如下图的四阶幻方就具有丰富多彩的对称性. 同一曲线所串连的四个数的和都相等,并且和每行、每列、两条对角线上四个数的和相等，都等于这个幻方的幻和•这就是幻方的对称性.⑴杨辉三阶幻方构造法:我国古代著名数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍的一种排法，它可以简单地归纳为四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”•“九子斜排”即以右图中A、B、C、D任一处为起点，按照从小到大的顺序和确定的方向（图中以A处为起点，从向右向下方向），将1〜9这九个数依次斜排；“上下对易，左右相更”，即将A处与C 处，B处与D处的两个数位置互换；“四维挺出”，即将四边中间的数移到各自箭头所批的位置•这样,个三阶幻方就编排完了.训练⑴①用从1开始的连续自然数组成一个十阶幻方，其幻和是多少?②用“杨辉三阶幻方构造法”及3〜11编排一个三阶幻方，填入右图中.如右图⑴的3 X3的阵列中填入1〜9九个自然数，构成了我们熟知的三阶幻方•现有一个3 X3的阵列如右图⑵，请选择九个不同的自然数填入这九个方格中，使得其中最大数为20 ,最小数大于5, 而且且每行、每492357816列及每条对角线上的三个数④请编出一个三阶幻方，使其幻和为24，填入右图中.如右图所示, 在3 X3的阵列中,的和都相等.6，请你在空格中填上适当的数，使方阵的行、列、对角线上的三个数之和均为36.⑥ 把3、4、5、8、9、10、13、14、15编排一个三阶幻方，其幻和是多少?v A I 1 *第一行第三列的位置上填11⑺ 将九个连续自然数填人右图中三行三列的九个方格中，使每一横行、每一竖列及每一条对角线上的三个数之和都等于 51 .⑻ 在右图中的空格中填入不大于 18而且互不相同的偶数（其中已填好一个数），使每行、每列和对角线上三个数之和都等于 30 .⑼ 把1〜9这九个数字填入3 X 3的方格中，这样，每一行的三个数字组成一个三位数，如果要使第二行的三位数是第一行的 2倍，第三行的三位数是第一行的3倍,应怎样填数?⑽ 诸葛亮只有360名士兵，全部驻守在城上，为了迷惑敌人，不论从哪一面观察，都有100名全副武装的士兵守城（如下图所示）•为了打退敌人的围攻，诸葛亮决定抽调一些士兵突袭敌人，并且不论从哪一面看士兵反而增加了 25名，试填出兵力分布图，并求出抽调了多少名士兵？⑵ 罗伯法（用于编排奇数阶连续自然数幻方） ：这是由法国人罗伯总结出的构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法. 具体方法如下：先把1 （或最小的数）放在第一行正中；然后按以下规律排列剩下的n 21个数：① 每一个数放在前一个数的右上一格； ② 如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； ③ 如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； ④ 如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；⑤如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同④.根据这个规则，可以编一个编排奇数阶连续自然数幻方的 口诀：㈠ 横向叫行竖叫列，从 1开始连续写，1写首行下中间，右列沉底将 2写；㈡ 数顺右上方向走，碰到边框猛回头，上行最左写后数，再沿右上方向走；㈢ 若碰有数下一格，方向不变继续走，碰顶向右掉到底，再按前面规则走。
小学奥数之罗伯特法填幻方(完整版)
小学奥数之罗伯特法填幻方1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑴适用于三阶幻方的三大法则有：⑴求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）⑴求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3．987654321987654321134141516129781051132165-1-4-1.幻方（一）教学目标知识点拨⑴角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。
数学北师大版七年级上册神奇的幻方
幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。 是把1至n2的自然数排列成正方形，使它的纵 横均有n个数，而把每行、每列、有时还包括 两条对角线的数加起来，它们的和都是相等 的，这个和叫做幻和。 幻方的幻和等于 n (n2 +1) ÷2 。 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图，或n 阶幻方。
7
12
1
14
那我们试一试把1到16这16个数字填 进空格里好吗？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
（1）先帮我算幻和好吗？
加 油！
幻和=（1+16）×4÷2=
34
（2）那么现在请帮我这些数 依次填进去好吗？
（3）现在来分析这个列表
幻和=34
1
2
3
4 第一行和=10 少了24 8
14 22 2 20
15
纵向切开，交换后再接起来
横切一刀，交换后再接起来
六阶幻方
幻和是：6×（62＋1）÷2＝111
六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 15 19 14
12 21 17 24
13 20 16 25
23 18 22 11
其余的数写成对 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 36、35、34、33、32、31、30、29、28、27
13
14 15 16
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
同学们
你们现在会填四阶幻方了吗? 可我不太会,你们能教教我吗?
我们试着把3,4,5,6,…..18这16个数字编成一个四阶幻方.
数字依次先排好, 上下中间交叉换, 左右中间交叉换, 其他地方不要变!
幻方解法
幻方解法
幻方，就是对于一个n×n的方阵，将1—n²这n²个数填入其中，使每行每列以及对角线上的数字之和都相等的方阵。
幻方分为奇数阶幻方(n=2k+1)、单偶数幻方
(n=4k+2)、双偶数幻方(n=4k)三种，每种幻方解法不同，但都有其固定的解。
下面我来具体介绍下幻方的解法：
1.奇数阶幻方
①将1填入第一行中间位置
②向右上方向依次填入
③如果上方出格了，则将其填入最后一行与其同列的位置
④如果右方出格了，则将其填入第一列与其同行的位置
⑤如果右上都出格，则将其填入第一列最后一格
⑥如果将要填入的方格已有数字，则填入上一个数字的下方
这里已三阶幻方为例：
2.双偶数阶幻方(n=4k)：
①先将1，2，3……n²依次填入方阵中
②拟出方阵对角线
③对角线上数字不动，将其余所有数字移至与其中心对称的位置
这里以四阶幻方为例
↓
↓ 3.单偶数阶幻方(n=4k+2)：
①先将1，2，3……n平方依次填入方阵中
②拟出对角线，将对角线上所有数字移至与其中心对称的位置。
③从方阵左半部分的每一列数字中抽出一对上下对称的数字互换位置(每一列抽出一对)
④从方阵上半部分的每一行数字中抽出一对左对称的数字互换位置(每一行抽出一对)
注：已经移动过或换过位置的数字不能再移动或换位
这里以六阶幻方为例：
↓
↓②↓
↓
↓③↓
↓
↓④↓。
很直观的两种构造奇数幻方的方法!
移动后） （21和1移动后） 和 移动后
下面还是用个五阶幻方做个例子： （请全屏观赏）
步骤：(对于任意一个奇数幻方) ①：把1填在第一行的中间，把2填在1的右上方（就是向左移动一格，向 上移动一格）。其中：假如数在第一行时（例如1就是）就把最底行 假设在第一行的上面，就把下一个数填在假设行上；填好就把假设行 放回最底处。 例如下图，1在第一行，填2的时候：
同样，假设数在最后一列时，就把第一列假 设在最后一列的右边，就把下一个数填在假设列 上；填好后把假设列放回第一列。 例如下图中，3在最右一列，到填4的时候：
中心是五阶幻方格子
从上右填到左下
③：四维挺进，上下对易，左右相更。 四维挺进，上下对易，左右相更。 （意思为，四周的数都移进来，在“对易” 和“相更”时移动的步数刚好为幻方的阶 数。例如左边的21向右移动了5步，上边1 向下移动了5步。
向右移动5格 向下移动5格 （21向右移动 格，1向下移动 格） 向右移动 向下移动
②：以此类推，填好一个数后，把下一个数 放在该数的右上方。 ③：当填了某个数后，假如右上方正好已经 有数了，这时填下一个数在这个数的下方。 再返回第②步，直到把数填满幻方格。 例如下图，填了5时，遇到右上方已有1时， 就将6填在5的下方： 6 5
下面就用个五阶幻方做个例子： （请全屏观赏）
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杨辉法 步骤：(对于任意一个奇数幻方，下面 用五阶幻方例子讲解) ①：画个图 画个图（适合五阶幻方的，中心是五 阶方格）。②：n子斜排。 子斜排。 ② 子斜排
很直观的两种构造奇数幻方的方法！ 很直观的两种构造奇数幻方的方法！ ——楼梯法和杨辉法
摘自：童真白马的博客分类——幻方世界 》》欢迎光临《《
幻方
幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。
公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。
在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。
数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。
1、奇数阶幻方n为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数：(1)每一个数放在前一个数的右上一格；(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。
互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。
将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。
这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。
奇数阶幻方求解技巧
奇数阶幻方求解技巧奇数阶幻方是一种特殊的方阵，其中的所有数字从1到$n^2$（n为方阵的阶数）连续排列，并且所有行、列和对角线的和相等。
求解奇数阶幻方的问题是一个古老而有趣的数学难题。
虽然没有一种通用的方法可以适用于所有的奇数阶幻方，但是有一些技巧和规则可以帮助我们更好地解决这个问题。
1. 规则1：确定中间数奇数阶幻方的中间数一定是$n^2$的一半，即$(n^2 + 1) / 2$。
由于幻方中所有行、列和对角线的和相等，所以可以将中间数放置在中间行的中间列（例如n=3时，中间数5可以放在第2行第2列的位置）。
2. 规则2：填充右上角从幻方的第一行开始，从中间数位置的右上方开始填充数字。
如果遇到边界，则继续填充到相应的对角边界处。
例如，当填充n=3的幻方时，从2的右上方（即第一行第二列的位置）开始填充，然后填充到第一行的右边界，继续填充到第一个位置（即第三行第一列的位置）。
3. 规则3：填充左下角从幻方的最后一行开始，从中间数位置的左下方开始填充数字。
如果遇到边界，则继续填充到相应的对角边界处。
例如，当填充n=3的幻方时，从8的左下方（即第三行第二列的位置）开始填充，然后填充到最后一行的左边界，继续填充到最后一个位置（即第一行第三列的位置）。
4. 规则4：填充其他位置从填充右上角和左下角的位置开始，按照以下规则填充其他位置：- 如果下一个填充位置在方阵的边界之外，则将其转移到相应的对角边界处。
- 如果下一个填充位置已经被填充过了，则将其转移到当前填充位置的下方一个位置。
5. 规则5：确定重复位置最后一个规则是确定重复位置。
当下一个填充位置部分或完全重叠时，我们需要将其转移到当前填充位置的下方一个位置。
使用以上的规则和技巧，我们可以逐步填充奇数阶幻方的所有位置，直到所有的位置都被填满。
这样，我们就可以得到一个满足条件的奇数阶幻方。
总结：- 确定中间数的位置，并将其放置在中间行的中间列。
- 从中间数位置的右上方开始填充数字，遇到边界则继续填充到相应的对角边界处。
神奇的幻方——精选推荐
神奇的幻方执教人：贾正鹏教学内容：奇数阶幻方的认识、奇数阶幻方的解决方法、幻方的实际应用。
教学目标：1、初步认识幻方，了解幻方的起源，激发学生热爱祖国的思想感情。
2、在合作学习的过程中，探究幻方的特征。
3、会根据幻方的特征填数。
4、培养自主探究的能力和团结协作的能力。
教学重、难点：探究幻方的特征。
教具准备：多媒体课件，实物展示平台。
教学过程：一、课前口算练一练。
1+2= 31+2+3= 61+2+3+4= 101+2+3+4+5= 151+2+3+4+5+6= 211+2+3+4+5+6+7= 281+2+3+4+5+6+7+8= 361+2+3+4+5+6+7+8+9= 45学生进行口算练习。
（为课上的口算作准备）二、欣赏古诗，引入课题。
师：语文课上我们学过很多古诗，大家能不能背一首？生：能。
语文课代表起头，背诗一首。
《春晓》春眠不觉晓，处处闻啼鸟。
夜来风雨声，花落知多少。
师：这首诗描写的是春天的场景。
其实，在数学中也有许多美妙古诗，今天老师就给大家带来一首，请看：（出示课件）•四海三山八仙洞，•九龙王子一枝莲。
•二七六郎赏月半，•周围十五月团圆。
学生先默读这首诗，再齐读这首诗。
师：谁能说说这首诗所表达的意思？指名学生回答。
（学生能把字面的意思说个大概，但整个一首诗的意思肯定说不明白。
）师：让我们先看看这首诗的来历吧。
（引入神话传说）相传三千多年前大禹治水的时候，有一只神龟出自洛水。
龟背上刻有神奇的图案。
（课件出示：龟背图）这个龟背图很特别，请同学们观察一下，它有什么奇特之处？学生回答。
根据学生回答总结：有黑白圈共45个，用直线连成9个数，白色是单数，黑色是双数。
这幅图被称为“洛书”。
师：洛书实际上是一个三阶幻方，（即三行三列九个方格）由于洛书是9个数组成，故称为“九宫”。
我国的少数民族如藏族和纳西族都曾有“九宫图”。
这首诗就是当时赞美九宫图的。
九宫图还有很多好听的名字，如宋朝数学家杨辉曾给它起名“纵横图”，后来传到外国，取名为“幻方”，意思是变幻莫测的方块。
奇数幻方的规律
奇数幻方的规律嘿，朋友们！今天咱来聊聊奇数幻方的规律，这可有意思啦！你想想看，奇数幻方就像是一个神秘的魔法阵，里面藏着好多奇妙的东西呢。
它可不是随随便便就能弄出来的，这里面的门道可多了去了。
先来说说每行每列的数字之和吧，那可都是相等的哟！就好像是一群小伙伴，大家的力量都差不多，谁也不突出，谁也不落后，可平衡啦！这多神奇呀，怎么就能做到这样呢？再看看那些数字的排列，就像是精心编排的舞蹈一样，有自己的节奏和位置。
它们可不是乱摆的，而是有着特定的规律呢。
这就好比是一场精彩的演出，每个演员都知道自己该站在哪里，该什么时候出场，才能让整个表演完美无缺。
你说奇数幻方像不像一个奇妙的宝藏盒子？你得慢慢去挖掘它的秘密。
你得仔细观察，认真思考，才能发现那些隐藏在其中的规律。
这可不是一蹴而就的事情，得有耐心哦！咱就拿三阶幻方来说吧，中间那个数字是不是特别重要呀？它就像是整个幻方的核心，其他数字都围着它转呢。
这就好像是一个团队的队长，大家都听他的指挥，跟着他的节奏走。
还有啊，奇数幻方里的数字可不是孤立的，它们之间都有着千丝万缕的联系呢。
一个数字变了，可能整个幻方都不一样了。
这多像我们的生活呀，一个小小的改变，可能会引起一系列的连锁反应。
奇数幻方的规律就像是一本永远翻不完的书，每次看都能有新的发现。
难道你不想去探索一下吗？难道你不想知道更多关于它的秘密吗？朋友们，别小看了这奇数幻方，它里面蕴含的智慧可多着呢！我们可以从中学到很多东西，比如如何去寻找规律，如何去平衡各种关系，如何去发挥自己的作用。
它就像是我们生活中的一面镜子，让我们看到自己的不足，也让我们看到自己的潜力。
所以啊，让我们一起走进奇数幻方的世界，去感受它的魅力，去探索它的奥秘吧！我相信，你一定会被它深深吸引的，你一定会爱上这个神秘而又有趣的世界的！。
奇数阶幻方构造原理
奇数阶幻方构造原理
奇数阶幻方是指由1到n^2 的连续整数构成的方阵，其每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等。
以下是奇数阶幻方构造的一些原理和方法：
- 九子排列法：宋代数学家杨辉总结的“洛书”幻方的编排方法。
具体步骤为：九子排列、上下对易、左右相更、四维挺出。
- 巴舍法：以构造三阶幻方为例，假设有一个三行三列的格子，然后制造阳台、天台、地下室，再爬梯填数，最后把阳台、天台、地下室及里边的数去掉，就得到了一个三阶幻方。
- 罗伯法：可以构造出所有的奇数阶幻方。
口诀为：1居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框界往下写，右出框界左边放；排重便在下格填，右上出格一个样。
这些方法可以帮助构造各种奇数阶幻方，有兴趣的读者可以尝试用这些方法构造五阶幻方和七阶幻方。
奇阶中心对称幻方的de la loubere构造方法的证明
奇阶中心对称幻方的de la Loubère构造方法的证明一、引言奇阶中心对称幻方，是一种古老而神秘的数学结构，它具有丰富的数学意义和奇妙的几何美感。
在数学史上，人们一直对奇阶中心对称幻方的构造方法和性质进行探索，其中著名的de la Loubère构造方法是一种经典而重要的方法。
在本文中，我们将对奇阶中心对称幻方的de la Loubère构造方法进行详细的证明和分析，以便更深入地理解其数学原理和内在逻辑。
二、奇阶中心对称幻方的概念与性质奇阶中心对称幻方是一个奇数阶次的幻方，其中心对称的特性使其在几何上具有非常特殊的形态。
具体来说，奇阶中心对称幻方的每一行、每一列和每条对角线的和都相等，并且其中心元素与对应元素关于中心对称。
这种特殊的对称性使得奇阶中心对称幻方在数学、艺术和文化领域都具有重要的地位，其构造方法更是备受关注。
三、de la Loubère构造方法的概述de la Loubère构造方法是一种经典的奇阶中心对称幻方构造方法，它是由法国数学家de la Loubère在17世纪提出的。
该方法通过一系列巧妙的步骤，能够将一个给定的奇数阶次的方阵转化为一个符合中心对称幻方性质的奇阶中心对称幻方。
在接下来的内容中，我们将对de la Loubère构造方法进行详细的证明和分析，以揭示其数学原理和构造逻辑。
四、de la Loubère构造方法的详细证明1. 我们取一个奇数阶次的方阵，假设其阶次为n，即n为奇数。
2. 接下来，我们按照de la Loubère构造方法的步骤，依次填入数值1,2,3,...,n^2，直至填满整个方阵。
3. 我们进行一系列的变换和调整，使得方阵的每一行、每一列和每条对角线的和都相等，并且中心元素与对应元素关于中心对称。
4. 我们得到了一个符合中心对称幻方性质的奇阶中心对称幻方，完成了de la Loubère构造方法的证明。
奇数阶、偶数阶幻方制作方法
奇数阶、偶数阶幻方制作方法1. 双偶阶幻方（对称交换法）n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。
互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n×n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。
将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。
这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
2. 单偶阶幻方（斯特雷奇Ralph Strachey法）n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)这是三种里面最复杂的幻方。
以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。
用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。
A象限的其它行则标出最左边的k格。
将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。
(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。
下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2，这时k＝1看起来很麻烦，其实掌握了方法就很简单了。
奇数幻方
奇数幻方口诀“1”坐边中间，斜着把数填；出边填对面，遇数往下旋；出角仅一次，转回下格间偶数八阶魔方图：和值260一、幻方及其起源在《射雕英雄传》中郭靖、黄蓉二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。
瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。
这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。
4 9 23 5 78 1 6这就是一个最简单的3阶平面幻方（三阶幻方，幻和为15，中间数字必填5）。
幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。
公元13世纪的宋朝数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。
杨辉称之为纵横图。
我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。
由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
幻方图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等的这种性质，称为幻方法则。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45 个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。
这九个数就可以组成一个纵横图，人们发现,这个图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的。
也有人认为"洛书"是外星人遗物;而"河图"则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍。
奇数幻方构造法
奇数幻方构造法下面介绍一种直接填入的方法。
这种方法适用于所有N>2的奇数幻方，简单易学，供大家参考。
以五阶幻方为例。
图中的红线为五行五列表格的边线，外面的一圈表格是为了便于解说特别加上的，熟练后完全不用画。
首先，在第一行的中间一列填入1在1的右上角填入2，我们发现2写在了表格的上面，不要紧，把2向下移动5个格在2的右上角填入3，就这样，一直向右上角写。
写到4的时候，我们发现4又在表格右边了，那就把4向左移动5个格吧在4右上角写入5，这时我们发现6没地方放了，不要紧，那就把6写在5的正下面。
然后在6的右上方写入7……依此类推，最终结果如下：虽然看上去跟上次讲的数字排列不大一样，但目的都达到了，每行、每列、每条对角线上的数字加起来的和都相等。
大概明白规则了吧，总结一下：对于N阶幻方，从1开始把数字从小到大按以下规则依次写入一、在第一行中间一列写入1二、依次向右上方写入2、3、4……三、如果某数字写在了表格的某个方向外面，那就把这个数字向相反方向移动N个单位，把它放入表格内部。
例如，某数字写在了表格的上方，那就把这个数字向下移动N个单位。
四、如果某个数字的右上方已经被占用，那就把下一个数字写在这个数字的正下方五、如果某个数字位于表格的最右上角，那么下一个数字要写在这个数字的正下方（例子中16的写法）所谓双偶数（即4m式）幻方，就是行列数N能被4整除的幻方，比如4阶、8阶、12阶……下面介绍的这种方法，适用于所有4m式偶阶幻方。
下面举一个比较大型的例子——8阶幻方。
第一步，把1到64这些数字按照顺序填写在表格中。
第二步，把这个表格按红线平分成四个板块。
第三步，选中左上角板块中行列数相加为偶数的数字，也就是图中的蓝色部分。
第四步，选中右上角板块中与蓝色数字位置对称的数字，也就是图中的绿色数字最后一步，将被选中的数字（包括蓝色和绿色）与跟它呈中心对称的数字交换位置。
按数值来讲，就是X与（A-X）交换位置，其中X为被选中的蓝色和绿色数字，A为最大数和最小数的和。