第6章 染色理论

（2）易证：
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χ (G) = 1 G = KνC； χ (G) = 2 G是非空二部图；
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χ (G) =ν (G) G ⊇ Kν ；
)=3。 (G) ≥ 3 G含有奇圈。
（3）χ(C2n+1 （ 4） χ
（5）四色定理：对任何平面图G，χ
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第1节 点染色
注：
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设π 是G 的一个顶点正常k 染色。令
V i =π-1(i) = { x∈V (G) | π(x) = i } ，（i = 1,2,……, k ）。
则π 实际上是对顶点集 V(G) 的一种划分： π = (V1 , V2 ,…… , Vk )，
其中Vi ∩Vj= Ø, ∪Vi =V，且每个Vi 是独立集或空集 (i =
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设G是一个无环图。G的顶点正常k 染色π 是指 k 种颜色 1, 2, ……, k 对于G的各顶点的一种分配，使得任意两个相邻的顶点 所染颜色不同。
换句话说，G 的顶点正常k 染色π 是一个映射 π : V (G)→{1,2,……, k},
使得π-1(i) 是独立集 或 空集 (i = 1,2,……, k) .
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定理
6.2 (Vizing 定理，1964) 设G 是无环非空简单图，则 Δ(G) ≤ χ′(G) ≤ Δ(G) +1。 注： （1）对于有重边的图G，设μ (G)表示G 中边的最大重数，Vizing 实际上证明了一个更一般的结论：Δ(G)≤χ′(G)≤Δ(G)+μ(G)。 （2）Vizing 定理提出了一个分类问题：使χ′(G) = Δ(G) 的简单图称 为第一类图，使χ′(G) = Δ(G) +1的简单图G称为第二类图。 （3）二部图和K2n 都是第一类图；而C2n+1 和K2n+1 是第二类图。 （4）一般情况下，什么样的图属于第一类图，什么样的图属于第 二类图的问题尚未解决。 （5）第二类图较稀少：在ν≤6 的143个连通简单图中仅有8个。 （6）已经知道存在最大度为2，3，4，5 的第二类平面图，但 Vizing (1965)已证明：不存在最大度≥8的第二类平面图。目前尚不知 道是否存在最大度为6或7的第二类平面图。
点色数
设G 是无环边的图，称χ (G)为G的点色数(简称色数)。
χ(G) = min{k |G 是k 色可染的}

k色图(k-chromatic graph)
若χ(G) = k ，则称G为k色图。
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第1节 点染色
注：
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（1）若χ(G)
= k（即G是k 色图），则G中任何点k染色π = (V1 , V2 ,…… , Vk )中每个Vi都是非空的独立集。换言之，G 的色数 是G中点不交的独立集的最小数目。
（2）G的边色数χ （ 3） χ
′(K2n) = 2n − 1= Δ(K2n ) （因完全图 K2n 有2n-1 个边不交 的匹配）
（ 4） χ
′(G) ≥ Δ(G)。（设d(v) = Δ(G)，则与v关联的Δ(G)条边至 少需Δ(G)种色才能正常染色）。
（5）设
G是二部图，则χ ′（G) = Δ(G)。
例：求Peterson
图的色数。
解：因 Peterson 图G含有奇圈，故不是二部图，因而χ (G) ≥ 3；另一方面， G既不是奇圈又不是完全图，且Δ(G) = 3,
故χ (G) ≤ Δ(G) = 3。因此，χ (G) = 3。
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边的k染色 (edge k-coloring)
第2节 边染色
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非空无环图G 的边k 染色是指k 种颜色 1, 2, ……, k 对E(G)中元 素的一种分配，使得相邻两条边所染颜色不同。 换句话说，G 中边的k 染色是映射 π′: E(G)→{1,2,……, k}， 使得对每个 i ( i = 1,2,……, k ), π′−1 (i) 是匹配或者空集。
Ei =π′−1 (i) = { e∈E(G) |π′(e)= i }, (i =1,2,…, k) , 则G 的一个边k 染色可看成是边集E的一种划分
返回 结问题可以归结为求图的匹配或者独立集。此外， 在许多应用中，人们希望知道： 一个给定的图，它的边集至少能划分成多少个边不交的边 独立集（匹配）？ 或它的顶点集至少能划分成多少个点不交的点独立集？ 这便是图的边染色和顶点染色问题。
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第1节 点染色
点的k染色 (vertex k-coloring)
边色数
(edge chromatic number)
正整数χ ′(G) = min{k | G 是边k色可染的}称为G 的边色数。
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注： （1）若χ
第2节 边染色
′(G)是G中边不交匹配的最小数目。
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′(G)＝k ，则G 中边的任何k 染色π′= (E1 , E2 ,…… , Ek ) 中每个Ei 都是非空的匹配。
(G) ≤ 4。
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第1节 点染色
点染色理论的基本问题：
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给定图G，确定χ (G)的值。
研究现状：
对一般情况，给出了χ (G)的范围（用G的参数表示）； 对某些特殊图类，确定出了χ (G)的确切值。
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第1节 点染色
定理
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6.1.2 (Brooks，1941)
设G 是连通的简单图，且G 既不是奇圈又不是完全图，则 χ (G) ≤ Δ(G)。
注：若令
π′= (E1 , E2 ,…… , Ek )，其中每个Ei 是匹配或空集。
例：
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第2节 边染色
边k色可染的 (edge k-colorable) 若存在 G 的一种边正常k 染色，则称G 是边k色可染的。
注：（1）每个无环非空图的边必ε
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色可染。
（2）若G是边k 色可染的，则对任意l ≥ k , G也是l 色可染的。
1,2,……,k) 。 例：
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第1节 点染色
(点 )
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k色可染的(vertex k-colorable)
若存在G 的一种顶点k染色，则称图G 是点k 色可染的，有时简 称为 k 色可染的或可k 染色的。
注：⑴
每个图G一定是ν(G) 色可染的。 (chromatic number)
⑵若图G是k色可染的, 则对任何正整数m≥k, G也m色可染的。