一元二次方程基本概念

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一元二次方程知识梳理

“一元二次方程”知识梳理1一元二次方程(1)概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.(2)一般形式：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.3一元二次方程根的判别式式子b²-4ac 叫做一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ=b²-4ac.(1)概念：如果x²=4，则即x=±2，像这种根据平方根的意义直接开方求一元二次方程解的方法叫做直接开方法.(2)直接开方法解一元二次方程的一般步骤:①将方程转化为x²=p或(mx+n)²=p(p≥0)的形式(即平方项的系数化为1)；②分情况求解：当p=0 时，x₁=x₂=0；mx+n=0(再进一步求出x的值)；当p<0 时，方程无实数根.(1)概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法.(2)配方法解一元二次方程的一般步骤：6公式法解一元二次方程(1)概念：解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.(2)求根公式：当Δ≥0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式.(3)公式法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般形式，并确定a,b,c 的值；②求出判别式Δ=b²-4ac 的值，判断根的情况；③当Δ≥0时，把a、b、c 的值代入求根公式(4)一元二次方程求根公式的推导过程一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的过程.具体过程如下:(1)概念：先因式分解，使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：用文字表述为：一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.。

一元二次方程

一元二次方程知识梳理一、一元二次方程的概念1．一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式()ax bx c a 2++=0≠0，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax bx c 2++=0 (a ≠0)．要特别注意对于关于x 的方程ax bx c 2++=0．当a ≠0时，方程是一元二次方程；当a =0且b ≠0时，方程是一元一次方程．（3）关于x 的一元二次方程式()ax bx c a 2++=0≠0的项与各项的系数．ax 2为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．二、一元二次方程的解法1．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如()(),≥ax b c a c 2+=≠00的一元二次方程．（2）配方法：解形如()ax bx c a 2++=0≠0的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①二次项系数化为1； ②常数项右移；③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）． ④化成()x m n 2+=的形式．⑤若≥n 0，直接开平方得出方程的解．（3）公式法：将()ax bx c a 2++=0≠0进行配方可以得到：b b ac x a a 222-4⎛⎫+= ⎪24⎝⎭．当≥b ac 2-40时，两个根为,x 12=，其中b ac 2-4=0时，两根相等为bx x a12-==2；当b ac 2-4<0时，没有实数根．可以用△表示b ac 2-4，△称为根的判别式．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①把方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值； ③计算b ac 2-4的值；④若≥b ac 2-40，则代入公式求方程的根； ⑤若b ac 2-4<0，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：①将方程化为一元二次方程的一般形式； ②把方程的左边分解为两个一次因式的积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解． 2．一元二次方程解法的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，把一元二次方程的一般形式ax bx c 2++=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）转化为它的简单形式()A x B C 2-=，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（2）公式法：公式法是由配方法演绎得到的，同样适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算b ac 2-4的值．（3）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．模块一一元二次方程的判别式 1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=-40时才有实数根．这里b ac 2-4叫做一元二次方程根的判别式，记作△． 2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=-4确定．设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=-4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a12==-2． ③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根．特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．三、模块二一元二次方程的根与系数关系1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=-，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=-，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=-，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212-++=0． 3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=-40的条件下，我们有如下结论：（1）当ca<0时，方程的两根必一正一负．①若≥b a -0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba-<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca>0时，方程的两根同正或同负． ①若b a ->0，则此方程的两根均为正根；②若ba-<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．例题分析题型一一元二次方程的概念例题1 下面关于x 的方程中：①ax bx c 2++=0；②()()x x 223-9-+1=1；③x x21++5=0；④x x 23-2+5-6=0；⑤||x x 2-3-3=0；⑥x kx 2++3=0（k 为常数）是一元二次方程_________．（2）若一元二次方程()()m x m x m 222-2+3+15+-4=0的常数项为零，则m 的值为_________．（3）若a b a b x x 2+--3+1=0是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．【解析】（1）②⑥．（2）由题意可知，m 2-4=0，m -2≠0，故m =-2 （3）分以下几种情况考虑： ①a b 2+=2，a b -=2，此时a 4=3，b 2=-3；②a b 2+=2，a b -=1，此时a =1，b =0； ③a b 2+=1，a b -=2，此时a =1，b =-1；【总结】这三道题主要考察学生们对一元二次方程的基本概念的理解，比较简单，但是第三个小题容易犯错误。

一元二次方程的定义和根

一元二次方程的定义和根一、一元二次方程的定义和根1、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。

并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。

其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项。

对于方程$ax^2$+$bx$+$c$=0，只有当$a$≠0时才是一元二次方程。

反过来，如果说$ax^2$+$bx$+$c$=0是一元二次方程，则必须含着$a$≠0这个条件。

3、一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程。

4、解一元二次方程（1）直接开平方法我们知道如果$x^2$=25，则$x$=$土\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

一般地，对于方程$x^2$=$p$，① 当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。

② 当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。

③ 当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。

（2）配方法通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。

用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 化二次项系数为1。

② 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。

③ 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。

④ 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

第十七章_一元二次方程知识点

第十七章一元二次方程知识点第一节一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．三个条件：（１）是整式方程（２）含有一个未知数（３）未知数的最高次数是２，三个条件缺一不可。

一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数。

一元二次方程的解叫做一元二次方程的根第二节一元二次方程的解法知识点1 特殊的一元二次方程的解法直接开平方法运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=±mx+n ）2=p（p ≥0），那么mx+n=±因式分解法知识点2 一般的一元二次方程的解法1．配方法：解方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的一般步骤是：2.一元二次方程的求根公式问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a -，x 2=由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a -就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．3 .一元二次方程根的判别式求根公式：b 2-4ac>0以一元一次方程的x 1=2b a -x 1=2b a-，即有两个不相等的实根．当b 2-4ac=0时，•，所以x 1=x 2=2b a-，即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=2b a -，x 2=2b a -．（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=2b a．（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．第三节一元二次方程的应用知识点1二次三项式的因式分解1、二次三项式形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式叫做x的二次三项式2、二次三项式因式分解的公式如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个实数根为x1、x2，则．从而得到二次三项式因式分解公式：ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)条件对于二次三项式当△=b2－4ac≥0时，能分解因式；当△=b2－4ac＜0时，不能分解因式．3、用公式法分解二次三项式的步骤(1)求二次三项式ax2＋bx＋c所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1、x2．(2)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)即可．说明：(1)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a．(2)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆．(3)把x1、x2的值代入公式后，能化简整理的可以化简整理．1、二次三项式的因式分解例1、；(2)－4y2＋8y－1．分析：这两个二次三项式都需要用公式法分解因式．解：(1)方程的根是(2)方程－4y2＋8y－1=0的两根是点拨：(1)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提高解方程的准确性，如解－4y2＋8y－1=0可化为4x2－8y＋1=0再解；(2)写出二次三项式的分解因式时，不要漏掉第一个因数“－4”．(3)把4分解为2×2，两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化，要注意学习这种变形的技巧和变形过程中符号改变．2、形如Ax2＋Bxy＋Cy2的因式分解例2、分解因式5x2－2xy－y2分析：形如Ax2＋Bxy＋Cy2的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式，我们可以选择其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，就可将多项式Ax2＋Bxy＋Cy2看作二次三项式来分解，如本题可看作关于x的二次三项式，其中a=5，b=－2y，c=－y2．解：关于x的方程5x2－2xy－y2=0的根是．．点拨：本题将y视为常数，是利用公式法分解因式的需要，即把x视为主元，称为“主元法”，这样便于用公式解题．例3、分解因式3x2y2－10xy＋4；分析：将3x2y2－10xy＋4转化为关于xy为元的二次三项式，实际上是利用换元法进行因式分解．解：关于xy的方程3(xy)2－10xy＋4=0的根是，．3、二次三项式因式分解的灵活运用例4、二次三项式3x2－4x＋2k，当k取何值时，(1)在实数范围内能分解；(2)不能分解；(3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？分析：(1)二次三项式在实数范围内能因式分解的条件是方程有实数根，即△=b2－4ac≥0；(2)不能分解的条件是△＜0；(3)△=0时，二次三项式是完全平方式．解：△=(－4)2－4×3×2k=16－24k(1)当△≥0时，即16－24k≥0，时，二次三项式3x2－4x＋2k在实数范围内能分解因式；(2)当△＜0时，即16－24k＜0，时，3x2－4x＋2k不能分解因式；(3)当△=0时，即16－24k=0，时，3x2－4x＋2k是一个完全平方式．当时，例5、已知二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2是一个完全平方式，试求m的值．分析：若二次三项式为一个完全平方式，则其判别式△=0．解：对于二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2，其中a=9，b=－(m＋6)，c=m－2，∴△=b2－4ac=[－(m＋6)]2－4×9×(m－2)=m2－24m＋108．∵原二次三项式是一个完全平方式，∴△=0，即m2－24m＋108=0，解得m1=6，m2=18．故当m=6或m=18时，二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2是一个完全平方式．点悟：解题规律是：若b2－4ac=0，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)是完全平方式；反之，若ax2＋bx ＋c(a≠0)是完全平方式，则b2－4ac=0．知识点2 实际应用。

一元二次方程的概念与性质

一元二次方程的概念与性质一元二次方程是数学中常见的一种类型的方程，它由一个变量的平方项、一个变量的一次项和一个常数项组成，具体形式为：ax^2 + bx + c = 0。

在这篇文章中，我们将介绍一元二次方程的概念、解的性质以及一些常见的解法。

一、一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个变量的平方项、一次项和常数项的方程。

在一元二次方程中，变量通常用字母x表示，方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。

二、一元二次方程的解法要解一元二次方程，我们可以通过以下几种方法来求解。

1. 因式分解法当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过将方程两边置零，并运用零乘积法则来解方程。

举例说明：解方程x^2 - 5x + 6 = 0首先将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0然后根据零乘积法则可得到x - 2 = 0 或 x - 3 = 0因此，方程的解为x = 2 或 x = 32. 完全平方公式法对于形如x^2 + 2ax + a^2 = b的一元二次方程，我们可以利用完全平方公式来求解。

完全平方公式为(x + a)^2 = b，从中我们可以得到方程的两个解。

举例说明：解方程x^2 + 6x + 9 = 25根据完全平方公式可得(x + 3)^2 = 25再对方程取平方根，得到x + 3 = ±5因此，方程的解为x = -3 + 5 或 x = -3 - 5，即x = 2 或 x = -83. 直接使用求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a 来求解方程。

举例说明：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0根据求根公式可得x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)化简得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4 或 x = (-5 - 7) / 4，即x = 1 或 x = -3/2三、一元二次方程的性质一元二次方程具有以下性质：1. 一元二次方程的根一元二次方程的根可以是实数根或复数根。

一元二次方程知识点总结

21章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。

注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义。

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。

2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

初中数学知识归纳一元二次函数的基本概念与性质

初中数学知识归纳一元二次函数的基本概念与性质一、基本概念一元二次函数是指可以用一元二次方程y=ax²+bx+c表示的函数。

其中，a、b、c是常数且a≠0。

该函数通常以y=f(x)形式表示，其中x为自变量，y为因变量，f(x)表示函数关系。

二、函数图像1. 抛物线形态一元二次函数的图像是抛物线。

当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

开口的方向由二次系数a的正负决定。

2. 对称轴对称轴是与抛物线关于y轴对称的一条直线。

它的方程可以通过求解x轴对称情况下的特殊点来得到。

3. 顶点顶点是抛物线的最高点或最低点。

当抛物线开口朝上时，顶点为最低点，坐标为(-b/2a, -Δ/4a)；当抛物线开口朝下时，顶点为最高点，坐标为(-b/2a, Δ/4a)。

其中，Δ为二次方程ax²+bx+c=0的判别式。

三、性质1. 零点一元二次方程的零点就是函数与x轴交点的横坐标。

由于一元二次方程为ax²+bx+c=0，可以通过求解方程来得到零点的值。

2. 特殊点特殊点包括顶点、最值点等。

可以通过求解一元二次方程求得函数中的特殊点。

3. 函数的增减性一元二次函数可根据系数a的正负判断其增减性。

当a>0时，在顶点两侧函数递增；当a<0时，在顶点两侧函数递减。

4. 函数的最值一元二次函数的最值可以通过求解特殊点得到。

当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。

四、实例分析举例说明一元二次函数的基本概念与性质。

例1：考虑函数y=2x²-4x+3。

该函数的二次系数a为2，大于0，因此抛物线开口朝上。

根据顶点坐标公式，顶点的横坐标为-(-4)/(2*2)=1，纵坐标为2*(1)²-4*(1)+3=1。

因此，该函数的顶点为(1, 1)。

根据对称性质，对称轴的方程为x=1。

通过求解一元二次方程2x²-4x+3=0，可得到该函数的两个零点。

一元二次方程知识归纳总结

一元二次方程知识归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是解决实际问题的重要工具。

它的一般形式为：ax² + bx+ c= 0，其中a、b、c是已知实数，a≠ 0。

在本文中，我们将对一元二次方程的基本概念、性质以及解法进行归纳总结。

一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。

其中，a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

二、一元二次方程的性质1. 解的存在性：一元二次方程必有两个解，或者一个解（二重解），或者无解。

2. 判别式：判别式Δ = b² - 4ac对于一元二次方程起到重要作用，它可以判断方程的解的情况。

- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。

- 当Δ < 0时，方程无实数解。

3. 顶点坐标：一元二次方程的图像是一个抛物线，其中顶点坐标可以通过公式h = -b/2a 和 k = -Δ/4a求得。

三、一元二次方程的解法1. 因式分解法：对于可以因式分解的一元二次方程，我们可以通过将方程的左、右两边同时因式分解，然后利用“零乘法”将方程等号两边置零，得到方程的解。

2. 公式法：对于一般形式的一元二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以利用求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a求得方程的解。

- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。

- 当Δ < 0时，方程无实数解。

3. 完全平方式：对于特殊的一元二次方程，可以通过将未知数的平方项转化为完全平方式，然后利用公式求解。

4. 图像法：通过观察和分析一元二次方程的抛物线图像，可以大致推测出方程的解的情况。

四、一元二次方程的应用一元二次方程不仅仅是一种数学形式，还具有广泛的应用。

它可以用来解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、汽车的行驶距离等。

一元二次方程的基本概念与性质

一元二次方程的基本概念与性质一元二次方程是数学中的重要概念，其形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。

本文将从基本概念和性质两个方面来探讨一元二次方程的相关内容。

一、基本概念一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，通常表示为：ax² + bx + c = 0。

其中，a ≠ 0，a、b、c为已知常数，且a、b均不为零。

在解一元二次方程之前，需要了解以下几个基本概念：1. 方程的次数：一元二次方程的次数为2，即方程中未知数的最高次数为2。

2. 系数：方程中的a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。

3. 解：解是指能够使方程成立的未知数值，也就是使方程的左边等于右边的值。

二、性质1. 解的个数：一元二次方程的解的个数与方程的判别式有关。

判别式Δ = b² - 4ac的值决定了解的情况。

a) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解；b) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解，也称为重根；c) 当Δ < 0时，方程没有实数解，但可以有共轭复数解。

2. 解的表示形式：解可以用根的形式或者用因式分解的形式表示。

a) 用根的形式表示解时，通常表示为x₁、x₂。

例如方程ax² + bx + c = 0的解可以表示为x₁ = (-b + √Δ) / (2a)和x₂ = (-b - √Δ) / (2a)。

b) 用因式分解的形式表示解时，通常表示为(x - α)(x - β) = 0。

例如方程x² - (α + β)x + αβ = 0的解即为α和β。

3. 特殊情况：a) 当a = 0时，方程变为一元一次方程，解是唯一确定的。

b) 当c = 0时，方程成为一元二次齐次方程，解中必定包含0。

4. 图像表示：一元二次方程的图像是一个抛物线，可以通过方程的a值的正负来判断抛物线开口的方向。

a) 当a > 0时，抛物线开口向上；b) 当a < 0时，抛物线开口向下。

(完整版)一元二次方程的概念及解法(学生版)

一元二次方程的概念及解法知识图谱1、一元二次方程知识精讲一．一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax 2c为常数项．bxc0(a0)，a为二次项系数，b为一次项系数，判断是一元二次方程的标准：①整式方程②一元方程③二次方程二．一元二次方程的解一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．三点剖析一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解．1二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解．1.三．易错点：确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；2.注意对于关于x的方程ax 2，当a0时，方程是一元二次方程；当a0且b0 bxc0时，方程是一元一次方程；一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．题模精讲题模一：概念例以下方程中是关于x的一元二次方程的是〔〕A．x210B．ax 2x2bxcC．3x22x53x2D．x1x21例方程(m2)x m3mx10是关于x的一元二次方程，那么m______例假设方程m1x2m x1是关于x的一元二次方程，那么m的取值范围是__________．例方程x422x13的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______题模二：解例关于x的一元二次方程 a 1x2x a2 1 0的一个根是0，那么a的值为_________________．例x1是关于x的方程x2mx n 0的一个根，那么m22mn n2的值为_______．随堂练习2随练假设(m2)x m2x 3 0是关于x的一元二次方程，那么m的值为_________。

2随练关于x的方程(m1)x2 (m 1)x 3m 2 0，当m__________时是一元一次方程；当m__________时是一元二次方程随练假设一元二次方程(m2)x23(m215)xm240的常数项为零，那么m的值为_________随练假设关于x的一元二次方程〔a+1〕x2+x﹣a2+1=0有一个根为0，那么a的值等于〔〕A．﹣1B．0C．1D．1或者﹣1随练方程x2m2xn30的两根分别是2、3，那么mn__________随练假设x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，那么6m+2n=____．随练假设关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0〔a≠0〕的解是x=1，那么2021-a-b的值是〔〕A．2021B．2021C．2021D．20212、直接开平方法知识精讲一．直接开平方法假设x2aa0，那么x叫做a的平方根，表示为x a，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．二．直接开平方法的根本类型1．x2a(a0)解为：x a2．(x a)2b(b0)解为：x a b3．(ax2c(c0)解为：ax b c b)4．(ax b)2(cx d)2(ac)解为：ax b(cxd)三点剖析一．考点：直接开平方法．二．重难点：直接开平方法．三．易错点：直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成x1x2a的形式．3题模精讲题模一：直接开平方法例求下面各式中x的值：〔1〕4x 2；9〔2〕x225．1例求x的值：1(5x1)2303随堂练习随练解以下方程：〔1〕2x280〔2〕2516x202〔3〕1x90随练解关于x的方程：x26x 9 (5 2x)22随练假设方程x 2 a 4有实数根，那么a的取值范围是________.随练解关于x的方程：2(3x1)2853、配方法知识精讲一．配方法4配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法．二．配方法的一般步骤：2 运用配方法解形如 ax bx c 0(a 0)的一元二次方程的一般步骤是：1．二次项系数化 1；2．常数项右移；3．配方〔两边同时加上一次项系数一半的平方〕；4．化成(x m) 2n的形式；5．假设n 0 ，选用直接开平方法得出方程的解．2 2b x)c0 b 2b2axbxc0(a0) a(x a a(x)a()c0b2b22a2ab2b24aca(x 2a ) 4a c (x 2a )4a 2 ．三点剖析一．考点：配方法．二．重难点：配方法解一元二次方程，配方法求解最值或取值范围．三．易错点：在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是那么利用直接开平方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解．题模精讲题模一：配方法2例用配方法解方程： x 6x 4例用配方法解以下方程：〔1〕2x 21 0 8x 〔2〕x 24x2 0〔3〕x 21 x 1 034〕3y 2123y例用配方法解方程 x 22x10 时，配方后得到的方程为〔〕A ．〔x 22221)0 B ．〔x1)0 C ．〔x1)2 D ．〔x1)2例用配方法解关于 x 的方程x 2pxq0〔p ，q 为常数〕5例22，x、y为实数，求x y的值x y4x6y130题模二：最值问题2例试用配方法说明x2x 3的值恒大于0例x、y为实数，求代数式x2y22x 4y 7的最小值例a，b，c是整数，且 a 2b 4，ab c2 1 0，求a b c的值随堂练习随练用配方法解方程：2x23x 10随练假设把代数式x25x 7化为x m2k的形式，其中m、k为常数，那么k m．随练a，b，c均为实数，且ab4，2c2ab43c10，求ab的值．随练用配方法说明2的值恒小于0 10x7x4622随练x ，y为实数，求代数式5x4y8xy2x4的最小值．4、公式法知识精讲一．公式法2 公式法：一元二次方程 ax bx c 0(a 0)，用配方法将其变形为：根的判别式 b 2 4ac ，x 1,x 2是方程的两根，假设 b 2 4ac 0，那么x 1,2二．公式法解一元二次方程的一般步骤1．把方程化为一般形式；2．确定a 、b 、c 的值； 3．计算b 2 4ac 的值；4．假设b 2 4ac 0，那么代入公式求方程的根； 5．假设b 2 4ac 0，那么方程无解．三．判别式与根的关系1． 0 时，原方程有两个不相等的实数解； 2． 0 时，原方程有两个相等的实数解； 3． 0 时，原方程没有实数解．b2b 2 4ac(x 2a )4a 224ac ．bb2a三点剖析一．考点：公式法．二．重难点：利用公式法求解一元二次方程，利用判别式判断根的情况．三．易错点：在用公式法求解方程的解时，一定要判断“ 〞的取值范围，只有当0时，一元二次方程才有实数解．题模精讲7题模一：公式法例用公式法解关于x的一元二次方程m 1x22m 1x m 3 0．例解方程：x2+4x﹣1=0．例1解方程x(6x1)4x32(2x)2例用公式法解关于x的一元二次方程m1x22m1x m30．例解方程：xx 3x 20题模二：判别式与根的关系例以下一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是〔〕A．x2+1=0B．x2﹣3x+1=0C．x2﹣2x+1=0D．x2﹣x+1=0例关于x的一元二次方程mx22x10有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是〔〕A．m1B．m1C．m1且m0D．m1且m0例关于x的方程〔a-6〕x2-8x+6=0有实数根，那么整数a的最大值是〔〕8A．6B．7C．8D．9随堂练习2随练用公式法解一元二次方程2x3x 10．随练解方程(x5)(x 7)12随练解关于x的方程：xpxq0．随练解关于x的方程x2x10．随练以下一元二次方程中无实数解的方程是〔〕A．x2+2x+1=0B．x2+1=0C．2D．2x=2x-1x-4x-5=0随练假设关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k1B．k1C．k1且k1且k0k0D．随练关于x的一元二次方程〔m-1〕x2+x+1=0有实数根，那么m的取值范围是〔〕A．m≥-5且m≠1B．m≤5且m≠1 44C．m≥5D．m≤-5且m≠0 4495、因式分解法知识精讲一．因式分解法因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法．因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：假设ab0，那么a0或b0．三点剖析一．考点：因式分解法解一元二次方程．二．重难点：利用提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等方法解一元二次方程．三．易错点：没有化成ab0的形式，例如由2x121从而导致漏解或x1直接得到2x1者直接得到2x10从而导致错解．题模精讲题模一：因式分解法例用因式分解法解方程：2x34xx30例2用因式分解法解方程：3x4x40．22例用因式分解法解方程：9x216x10．10例用因式分解法解方程：x23mx 2m2mn n20，〔m、n为常数〕随堂练习2随练用因式分解法解方程：2x136x．随练用因式分解法解方程：5x210x 5 31 x22随练用因式分解法解方程：6x x 350．222随练x的一元二次方程m1x63m1x7201〕．用因式分解法解关于〔m6、根与系数的关系知识精讲一．韦达定理11如果ax2bx c0(a0)的两根是x1，x2，那么x x b，x1x2c．〔隐含的条件：12a a0〕特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x1，x2是方程x2px q0的两个根，那么x1x2p12q．，xx二．韦达定理与根的符号关系在24ac0的条件下，假设x1，x2是ax2bx c0(a0)的两根〔其中x1x2〕我们有b如下结论：1．c0x1x20，假设b0，那么x1x2；假设b0，那么x1x2．a a a2．c0xx20．假设b0，那么x1x20；假设b0，那么x2x10．a1a a更一般的结论是：假设x1，x2是ax2bx c0(a0)的两根〔其中x1x2〕，且m为实数，当0时，一般地：〔1〕(x1m)(x2m)0x1m，x2m〔2〕(x1m)(x2m)0且(x1m)(x2m)0x1m，x2m〔3〕(x1m)(x2m)0且(x1m)(x2m)0x1m，x2m特殊地：当m0时，上述就转化为ax2bxc0(a0)有两异根、两正根、两负根的条件．三点剖析一．考点：韦达定理二．重难点：韦达定理的应用1．方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；2．方程，求关于方程的两根的代数式的值；3．方程的两根，求作方程；4．结合根的判别式，讨论根的符号特征；．逆用构造一元二次方程辅助解题：当等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．三．易错点：在使用韦达定理的时候没有提前检验0是否成立题模精讲题模一：韦达定理例假设方程x24x c 0的一个根为23，那么方程的另一个根为______，c______．12例设x1、x2是方程x22k1xk220的两个不同的实根，且x11x218，那么k的值是．例如果a，b都是质数，且a213am0，b213bm0，求b a的值．a b随堂练习随练m，n是有理数，并且方程x2mxn0有一个根是52，那么mn_______．随练关于22有两个实数根，并且这两个根的平方和比这x的方程x2(m2)xm50两个根的积大16，求m的值．随练关于x的方程x24x2m80的一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围．随练如果实数a,b分别满足a22a2，b22b2，求11的值a b13作业1假设|b1|a20，那么以下方程一定是一元二次方程的是〔〕A．ax25xb0B．b21x2a3x50C．a1x2b1x70D．b1x2ax10作业2关于x的方程(xa)2(ax2)2是一元二次方程，求a的取值范围．作业3a b2a、b的值？方程2x xx40是关于x的一元二次方程，求作业4假设n〔n≠0〕是关于x方程x2+mx+2n=0的根，那么 n+m+4的值为〔〕A．1B．2C．-1D．-2作业5关于x的一元二次方程m 2x2x m2 4 0有一根为0，那么m的值为_______.作业62解方程：31x6作业7解关于x的方程：3(x 1)22714作业8 用直接开平方法解以下一元二次方程〔1〕9x 216〔2〕x 2 16 05 〔3〕x23x 251〔4〕42x52293x1作业9解方程：2x 28x 3 0．作业10将方程x 2 4x10化为xm2n 的形式，其中m ，n 是常数，那么mn_____________作业 11 方程 2 6xq0可以配方成xp226xq2可以配成以下x 7的形式，那么 x 的〔〕A ．x 2B ．29p5xp29D ．xp22C ．xp2 5m 2n 21 1作业12mnmn10，那么m n 的值为__________．作业13ab23，bc 23，那么a 2 b 2 c 2 ab bc ac 的值为__________．15作业14实数a ，b ，c 满足a 26b17，b 28c23，c 22a14，那么abc 的值为__________．y 1 z 2作业15 x12322 2设，求代数式xyz的最小值．作业16解方程3x 2 52x 1作业17用公式法解方程：ax 2 bx c0〔a 、b 、c 为常数且a0〕．作业18设方程x 2 2x1 4 0．求满足该方程的所有根之和作业19 一元二次方程 x 2+2x+1=0的根的情况〔〕A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根作业20关于x 的一元二次方程 2 2m 的取值范mx+〔2m-1〕x+1=0有两个不相等的实数根，那么围是〔〕A ．k ＞-1B ．m ＞1且m ≠144 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ≥-1且m ≠04416作业21假设关于x 的方程kx 22k1xk10有实数根，求k 的取值范围．作业222xx35x3 的解是〔〕x5B ．x32A ．x 1522，x23D ．xC ．5作业23 用因式分解法解方程x 26x 94x 28x 4．作业24解关于x 的方程x 2p 2 q 2x pqpqpq．作业 25方程2x 2mx 2m 4 0的一个解为1，那么另一个解为__________，__________．作业26方程2x 2 mx 30的两根的平方和为 5，那么m=__________．作业27 实数k 为何值时，关于 x 的一元二次方程 x 2(2k 3)x (2k 4)0．1〕有两个正根？2〕两根异号，且正根的绝对值较大？3〕一根大于3，一根小于3？17作业28阅读材料：设一元二次方程ax2bx c0(a 0)的两根是x1、x2，那么根与系数关系为：x1x2b c pq1x1x22p10，1q20，且pq1，求q的值．a，a．pq作业29方程2〔m+1〕x2+4mx+3m=2，根据以下条件之一求m的值．1〕方程有两个相等的实数根；2〕方程有两个相反的实数根；3〕方程的一个根为0．作业30阅读下面的例题，解方程x2﹣|x|﹣2=0解：原方程化为 |x|2﹣|x|﹣2=0．令y=|x|，原方程化成y2﹣y﹣2=0解得：y1=2，y2=﹣1当|x|=2，x=±2；当|x|=﹣1时〔不合题意，舍去〕∴原方程的解是x1=2x2=﹣2请模仿上面的方法解方程：〔x﹣1〕2﹣5|x﹣1|﹣6=0．作业31x2y22x4y0解方程组：y4．2x0作业32观察下表，答复以下问题，第____个图形中“△〞的个数是“○〞的个数的5倍．18作33 察以下方程及其解的特征：1〕x+1=2的解x 1=x 2=1；x 2〕x+1=5的解x 1=2，x 2=1；x 2 2 （ 3〕x+1=10的解x 1=3，x 2=1；x 3 3⋯解答以下：x1〕猜想：方程x+1=26的解____；5（ 2〕猜想：关于x 的方程x+1=____的解x 1=a ，x 2=1〔a ≠0〕；x a〔3〕下面以解方程x+1=26例，〔1〕中猜想的正确性．x52解：原方程可化 5x-26x=-5．〔下面大家用配方法写出解此方程的程〕作34三个关于 x 2 2 cxa0，cx2的一元二次方程axbxc 0，bx axb0恰有一个公共数根，a 2b 2c 2的__________bc ca ab19。

一元二次方程的基本概念

一元二次方程的基本概念一元二次方程是数学中常见的一种方程类型，它的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数系数，而x则是未知数。

在本文中，我们将详细介绍一元二次方程的基本概念，并探讨其性质和解的方法。

一、一元二次方程的性质1. 零点和根：一元二次方程的解又称为方程的根或者零点。

如果一个实数r满足方程ax^2 + bx + c = 0，那么我们就说r是方程的一个根。

一个一元二次方程可能有1个、2个或者0个实根。

2. 判别式：一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，它的值可以用来判断方程的根的情况。

当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ =0时，方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程没有实根。

3. 对称性：一元二次方程的图像是一个抛物线，具有对称性。

对于方程ax^2 + bx + c = 0，如果r是它的一个根，那么2r-b是它的另一个根。

二、一元二次方程的解法解一元二次方程的方法主要有以下两种：1. 因式分解法：如果一元二次方程可以因式分解为(ax + b)(cx + d) = 0的形式，其中a、b、c、d是已知实数系数，那么方程的解就是使得(ax + b)和(cx + d)其中之一等于0的根。

这种方法适用于方程可以被因式分解的情况下。

2. 二次公式法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过以下公式得到：x = (-b ± √Δ) / (2a)其中，±表示取正负号，Δ是方程的判别式。

根据Δ的值，我们可以得到方程的解的情况。

三、一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 物理学中的自由落体问题可以建模为一元二次方程，其中时间t 为未知数，加速度a为已知常数。

解方程可以得到自由落体的时间和运动轨迹。

2. 经济学中的成本和利润问题也可以转化为一元二次方程，帮助分析决策和预测趋势。

初中数学知识点总结：一元二次方程的概念及其解法

初中数学知识点总结：一元二次方程的概念及其
解法
知识点总结
一.一元二次方程的概念：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程。

二.一元二次方程的解法：
4.分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原方程的解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。

分解因式法的理论依据是几个数的积为0，那几个数中至少有一个0。

常见考法
一元二次方程概念和解法是中考命题的重点，一般用填空、选择题来考查概念和有关的基础知识，用解答题来考解法。

且一元二次方程的解法灵活多变，涉及的知识面广，在根的判别式、根与系数的关系淡化后，这是考查本知识的较佳出题点之一。

误区提醒
(1)对一元二次方程的概念不清，导致错误;
(2)利用配方法解方程时，弄错常数项;
(3)利用公式法解方程时，在确定各项系数时漏掉“-”号。

一元二次方程的讲解

一元二次方程的讲解一元二次方程是一种常见的二次多项式方程，它的一般形式可以表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。

本文将从基本概念、求解方法、图像特征等方面进行讲解，帮助读者更好地理解和掌握一元二次方程。

一、基本概念一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a不等于0。

其中，x代表未知数，而a、b、c则是方程的系数。

a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。

二、求解方法1. 因式分解法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果可以将其因式分解为(a1x + b1)(a2x + b2) = 0的形式，那么方程的解就是x = -b1/a1和x = -b2/a2。

但需要注意的是，并不是所有的一元二次方程都可以通过因式分解法求解。

2. 公式法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。

其中，±表示两个相反的符号，即可以得到两个解。

3. 完全平方式：对于特殊的一元二次方程，如x^2 = a或(x +b)^2 = c等，可以直接利用完全平方式求解。

对于x^2 = a，解为x = ±√a；对于(x + b)^2 = c，解为x = -b ± √c。

三、图像特征一元二次方程的图像是一个抛物线。

对于一般形式的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，当二次项系数a为正时，抛物线开口朝上，当a为负时，抛物线开口朝下。

抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为方程的解。

四、实际应用一元二次方程在实际生活中有广泛的应用。

例如，通过一元二次方程可以计算抛物线的最高点、最低点，从而优化物体的抛射角度；在物理学中，一元二次方程可以描述物体的运动轨迹；在经济学中，一元二次方程可以用于求解成本、利润、销售量等问题。

一元二次方程式的求根公式

一元二次方程式的求根公式
【实用版】
目录
一、一元二次方程式的基本概念
二、一元二次方程式的求根公式
三、求根公式的推导过程
四、求根公式的应用实例
正文
一、一元二次方程式的基本概念
一元二次方程式是指形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是已知常数，且 a≠0。

在这个方程中，x 是未知数，我们需要找到满足方程的 x 的值，这个过程称为求根。

二、一元二次方程式的求根公式
一元二次方程式的求根公式是：
x1,2 = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)
其中，x1 和 x2 分别是方程的两个根，±表示加减两个方案，√表示平方根运算。

三、求根公式的推导过程
为了推导一元二次方程式的求根公式，我们可以使用代数方法。

首先，将一元二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 改写为 a(x - x1)(x - x2) = 0 的形式，然后通过展开和比较系数，可以得到 x1 和 x2 的表达式。

最后，将表达式化简，就可以得到求根公式。

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小学数学认识一元二次方程

小学数学认识一元二次方程一元二次方程是小学数学中较为复杂的一个概念，需要对数学概念有一定的了解才能理解和解决。

一元二次方程包含一个未知数和其次方的方程，通常写作ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，a不等于0。

本文将介绍一元二次方程的基本概念、解法以及应用。

一、基本概念在学习一元二次方程之前，我们需要了解一些基本概念。

1.1 平方数：一个数的平方，例如1、4、9、16等。

1.2 二次方程：方程中含有未知数的平方项的方程，例如x^2 + 2x + 1 = 0就是一个二次方程。

1.3 一元二次方程：方程中只有一个未知数的平方项的方程，例如3x^2 - 2x + 1 = 0就是一个一元二次方程。

二、解法解一元二次方程通常有以下两种方法：因式分解法和求根公式法。

2.1 因式分解法：对于一些特殊的一元二次方程，可以通过因式分解的方法得到方程的解。

例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以将其分解为(x - 3)(x - 1) = 0，从而得到x的解为x = 3或x = 1。

2.2 求根公式法：对于一般的一元二次方程，我们可以使用求根公式来求解。

求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

例如，对于方程2x^2 + 5x + 2 = 0，我们可以代入a = 2，b = 5，c = 2，然后计算得到x的解为x = -1/2或x = -2。

三、应用一元二次方程在现实生活中有着广泛的应用。

3.1 抛物线运动：抛出的物体在空中的运动轨迹可以用一元二次方程来表示。

例如，投掷一颗子弹的运动轨迹可以表示成y = -5x^2 + 10x + 3的形式，其中y为高度，x为时间。

3.2 建模和预测：一元二次方程可以用来对一些现实问题进行建模和预测。

例如，根据某商品的销售数据，可以建立销售量和价格之间的一元二次方程，从而预测不同价格下的销售量。

3.3 几何问题：一元二次方程也可以用来解决几何问题。

一元二次方程的概念

一元二次方程的概念一元二次方程是代数学中一种重要的数学表达式，通常表示为ax^2+bx+c=0的形式，其中a、b、c是已知的实数，且a不等于0。

在本文中，我们将探讨一元二次方程的概念、特征以及解法。

一、概念一元二次方程是一个含有一个未知数的二次方程，通常用来描述抛物线的形状。

其中，a、b、c分别代表方程中的系数，a表示二次项的系数，b表示一次项的系数，c表示常数项。

这个方程的解即是能够使方程等式成立的未知数的取值。

二、特征1. 零次项：一元二次方程中的常数项c，即如果c等于0，则为零次项。

2. 一次项：一元二次方程中的一次项b，即如果b等于0，则为没有一次项。

3. 二次项：一元二次方程中的二次项a，即如果a等于0，则不再是一元二次方程，而是一次方程。

三、解法解一元二次方程的常用方法是配方法和因式分解法。

以下将介绍这两种解法：1. 配方法：配方法，又称“补全平方”，是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式来求解。

具体步骤如下：a. 将方程的二次项系数a除以2，并对方程的所有项都除以a，得到简化形式；b. 将方程左边的一次项系数b除以2，在方程两侧同时加上(b/2)^2，以将方程转化为一个完全平方；c. 整理方程并化简，得到一个完全平方的形式；d. 将方程开根号并解方程，找到未知数的值。

2. 因式分解法：因式分解法是通过将一元二次方程进行因式分解来求解。

具体步骤如下：a. 将方程进行整理，以使其等于0；b. 将方程分解为两个一次或二次的因式相乘的形式；c. 将每个因式设置为0，并解出方程；d. 得到所有未知数的值，这些值即为方程的解。

总结：一元二次方程是代数学中重要的数学表达式，用于描述抛物线的形状。

我们可以通过配方法和因式分解法来解决一元二次方程，从而找出方程的解。

理解一元二次方程的概念和解法，对于进一步学习和应用数学知识，以及解决实际问题具有重要意义。

通过不断练习和巩固，我们可以更加熟练地应用一元二次方程。

一元二次方程相关概念

一元二次方程相关概念
一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的常数，而x是未知数。

在这个方程中，a不等于0。

一元二次方程的解可以用求根公式来表示。

1. 根：一元二次方程的解称为根。

方程的解可能有一个根、两个根或零个根。

2. 判别式：一元二次方程的判别式是 b^2-4ac。

根据判别式的值可以判断方程的根的情况：
- 当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根。

- 当判别式等于0时，方程有两个相等的实根。

- 当判别式小于0时，方程没有实根，只有两个共轭复根。

3. 相关概念：还有一些与一元二次方程相关的概念，如顶点、对称轴、平移变换等。

- 顶点：一元二次方程y=ax^2+bx+c的图像是一个抛物线，其顶点是抛物线的最低或最高点，用顶点坐标(x_v,y_v)表示。

- 对称轴：一元二次方程的图像关于一条直线对称，这条直线称为抛物线的对称轴，对称轴的方程是x=x_v。

- 平移变换：通过调整方程中的常数项，可以使一元二次方程的图像在坐标系中上下平移、左右平移或上下左右平移。

平移变换与常数项c有关。

这些概念与一元二次方程的图像、解的个数以及特殊情况的判断有关，对于解一元二次方程的问题，理解这些概念是很重要的。

一元二次方程的概念

一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。

概念介绍一元二次方程是代数学中的重要内容，也是高中数学的基础知识之一。

它的研究对象是只涉及一个未知数的二次方程。

一元二次方程的解是指能够使方程成立的未知数的取值，通常表示为x的取值。

一元二次方程的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数，而x是未知数。

这个方程的解可以是实数，也可以是复数。

解的求解过程主要依赖于求根公式以及配方法。

求解一元二次方程的方法求解一元二次方程常用的方法包括因式分解、配方法和求根公式等。

1. 因式分解法：当一元二次方程能够被因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过求解两个一次方程来找到方程的解。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x +2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2和x = -3为方程的解。

2. 配方法：当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法进行求解。

配方法的关键是通过添加适当的常数使得方程能够表示成一个完全二次平方的形式。

例如，对于方程x^2 - 6x - 27 = 0，我们可以将其配成(x - 3)^2 - 36 = 0的形式，进而得到(x - 3)^2 = 36，解得x = 9和x = -3为方程的解。

3. 求根公式：求根公式是利用判别式来求解一元二次方程的方式。

判别式Δ = b^2 - 4ac可以帮助我们判断方程的解的情况。

当Δ大于0时，方程有两个不相等的实数解；当Δ等于0时，方程有两个相等的实数解；当Δ小于0时，方程有两个共轭复数解。

求根公式为x = (-b ± √Δ) / 2a。

例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以计算得到Δ = 4^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4，因此有两个不相等的实数解x = (4 ± √4) / 2 = 2 ± 1。