Hardy空间上的有界复合算子

. φ3 - 1是一个 σm2Carleson 测度 ,其中 φ3 (ζ) = lim φ( rζ) ( Πζ∈S n) . r →1 证明 类似 B. D. MacCluer [7 ]的证明 ,可将 μ扩张到 B m . 定理 2 设 φ: B n →B m 是解析映射 , 使得 Cφ 是 H2 ( B m ) 到 H2 ( B n) 的有界算子 , 则对任意 f
注 因 σn [ Q (η, t) ]≈ t n ,故引理 2 中的不等式等价于 μ[ Q (η, t ) ] Φ Cσn [ Q (η, t ) ] (η∈
S n , t > 0) . 定理 1 设 φ: B n →B m 是解析映射 ,则 Cφ 是 H2 ( B m ) 到 H2 ( B n) 的有界算子当且仅当 μ=σn
Bounded Composition Operators on Hardy Spaces
Cao Guangfu ( Depart ment of M at hem atics , S ichuan U niversity , Chengdu 610064 , Chi na)
Abstract In t his paper , t he boundedness of composition operators induced by analytic maps f rom Bn to Bm be discussed. In particular , some properties of composition opera2 tors induced by preserve measure maps be st udied. As a consequence , we given an an2 swer of a problem of W. Rudin [ 10 ] . Keywords Hardy space , Preserve measure map ,Composition operator 1991 MR Subject Classif ication 47B35 Chinese Library Classif ication O177
(ii) 若 φ: B n →B m 是解析映射 ,则 φ是保测内映射当且仅当 Cφ : H2 ( B m ) →H2 ( B n) 是等距
算子.
由 (i) 、(ii) 立知 ,若 φ: B n →B m 是保测内映射 , 则对任意内映射 G : B m →B p , G. φ: B n →B p 也是内映射. 值得注意的是 , 若 n ≠m ,φ: B n →B m 是内映射 , 且 Cφ 有界 , 则 φ 未必保测度 , 例 如 ,若 φ: B 2 →B 1 是内映射 ,则 Cφ 总有界 ,然而当 φ(0) ≠0 时 ,φ不可能保测度 (一般情形下 , 可 令 φ是保测内映射与 B n 的自同构φa 的复合 ,则 Cφ 有界 ,但 φ不保测度 ,这是因为 φa (0) = a ≠
得 Cφ 无界 (1 < n < m 及 n > m > 1 情形可类似构造) ,从而定理 1 是有意义的.
例 1 设 φ和( z )
=
1 16
z
,0
( z ∈B 1) ,则 Cφ : H2 ( B 2) → H2 ( B 1) 有界.
事实上 ,对任意 α1 ,α2 ∈Z) +,若 α2 ≠0 ,则 Cφ zα11 zα22 = 0 ,若x α2 = 0 ,则 ‖ Cφzα11 ‖2 =
2 复合算子的有界性
定义 1 设 μ是 B n 上的测度 ,称 μ是σn2Carleson 测度 ,如果存在常数 C > 0 ,使得 μ[ S (η, t) ] Φ Cσn [ Q (η, t) ] ( Πη ∈ S n , t > 0) ,
其中 S (η, t) = { z ∈B n| | 1 - 〈 z ,η〉| < t} , Q (η, t) = { z ∈S n| | 1 -〈 z ,η〉| < t} . 引理 1 (L . Harmonder [9 ]) 一个有限测度 μ是σn2Carleson 测度当且仅当存在一个常数 C′
收稿日期 :1996203205 , 修改日期 :1996211221 , 接受日期 :1997203213 博士后科学基金与国家自然科学基金资助项目
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∈H2 ( B m ) ,在 S n 上有 ( f . φ) 3 = f 3 . φ3 a. e. [σn ]. 此处 f 3 表示 B m 上的函数 : f 3 ( z ) = lim r →1 -
f ( rz) ( Π z ∈ B m) . 证明 由引理 2 、定理 1 可得. 下面两个例子说明 ,确有解析映射 φ: B 1 →B 2 使得 Cφ 有界 ; 也有解析映射 φ: B 3 →B 2 , 使
( B 2) 到 H2 ( B 3) 的无界算子.
事实上 ,对任意
k ∈Z
+,
‖Cψz
k 1
‖2
=
‖uk
‖2
=
1
,
‖z
k 1
‖2 2 H
(
B
)
2
=
k
1 +
1
,故
‖Cψz
k 1
‖
‖z
k 1
‖
=
k + 1 → ∞( k → ∞) ,
即 Cψ 是无界算子.
3 保测内映射诱导的复合算子
定义 2[10 ]设 φ: B n →B m 是内映射 ,若对任意 h ∈C (5 B m ) 有
1 引言
设 B n 是C n 中的单位球 , S n 是 B n 的边界 ,σn 是 S n 上的正旋转不变 Borel 测度. Hp ( B n) 是 经典的 Hardy 空间. 设 φ: B n →B m 是解析映射 , 对任意 f ∈Hp ( B m ) , 记复合运算 f . φ 为 : Cφ f = f . φ. 作 为 一 种 数 学 运 算 , 函 数 的 复 合 已 被 人 们 研 究 了 很 久 , 如 Stanton[1 ] 、Henkin[2 ] 、 Adachi[3 ] 、Rudin[4 ]等研究了与复合有关的保范 H ∞2扩张问题. 从六十年代开始 , 人们开始研究 B n = B m 时将 Cφ 看作 H2 ( B n) 上算子时一些重要的算子论问题 (如见 C. C. Cowen [ 5 ] 、Nordgren [ 6 ]关于 n = m = 1 情形 , B. D. MacCluer [7 ]关于 n = m > 1 情形) . 在 n ≠m 时 ,由解析映射 φ: B n →B m 诱导的复合算子具有什么性质 ? 这自然是我们关心的问题. 事实上一些多复变函数问
Gp) ,则 ( G. φ) 3 = ‖ G13 . φ3 ,
…,
G
3 p
.
φ3
= G 3 . φ3 ,注意| G 3 | = 1 a. e. , 记 E0 = {ζ∈S m |
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由 A ( B 2) 在 H2 ( B 2) 中的稠密性易知 Cφ 有界.
注 不难验证 ,例 1 中的 Cφ 实际上还是 H2 ( B 2) 到 H2 ( B 1) 的紧算子. 例 2 设 u 是 B 3 上的内函数 ,ψ: B 3 → B 2 是映射 ψ( z ) = ( u ( z ) ,0) ( Π z ∈B 3) ,则 Cψ 是 H2
= lim f ( rz ) ( z ∈B n) . r →1 引理 2 (B. D. MacCluer [7 ]) 设 μ是Φ Ct n (η ∈ S n , t > 0) ,
则 dμ= gdσn ,其中 g ∈L ∞( S n) , ‖g ‖∞ Φ C′, C′是 C 与某个依赖于 n 的常数之积.
19. 5 问 :
若 F : B m →B p 是保测内映射 , G : B p →B n 是内映射 ,则 G. F : B m →B p 是否是内映射 ?
本节将证明 :
(i) 若 φ: B n →B m 是内映射 , 使得 Cφ 是 H2 ( B m ) 到 H2 ( B n) 的有界算子 , 则对任意内映射 G : B m →B p , G. φ: B n →B p 也是内映射.
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数 学 学 报
40 卷
题可以转化成这种情形下复合算子的相应问题 (如见 [ 8 ]) . 应该指出的是 : n < m 情形与 n > m 情形差别很大 ,例如 :若 φ: B 1 B 2 是映射 φ( z ) = ( z , 0) , 则 Cφ : H2 ( B 2) → H2 ( B 1) 无界 ; 若 φ: B 2 →B 1 是解析映射 ,则 Cφ : H2 ( B 1) → H2 ( B 2) 始终是有界的. 这说明由 B 1 到 B 2 的解析映射诱 导的复合算子‘‘大多’’是无界的 ,而由 B n 到 B m ( n > m ) 的解析映射诱导的复合算子‘‘大多’’ 是有界的. 本文旨在讨论这些复合算子的有界性等性质 , 特别地 , 讨论了由保测内映射诱导的复 合算子.
0) . 顺便指出 ,丁宣浩 、孙顺华利用分析方法回答了上述问题.
定理 3 设 φ: B n → B m 是内映射 ,使得 Cφ : H2 ( B m ) →H2 ( B n) 有界 , 则对任意内映射 G : B m →B p , G. φ是内映射.
证明 由定理 2 知对任意 f ∈H2 ( B m ) , 有 ( f . φ) 3 = f 3 . φ3 a. e. [σn ] , 设 G = ( G1 , …,