第九章 振动学基础

9-2 简谐振动的描述
学习要点 1. 简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定? 如何确
定它们的数值？
2. 了解相位在描述振动中的特殊而重要的作用. 3. 知道利用旋转矢量来表示及研究谐振动的方法.
一 振幅和相位 1 振幅 A
质点在振动过程中离开平衡位置的最大位移的绝对值. 由初始条件决定，表征了系统的能量.
0
2 1

超前
>0 落后
x
o
t
3 同相和反相 当 = 2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同， 称同相.
当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,…)，两振动步调相 反，称反相.
A1
A2 o - A2
x2
x1 同相
T t
x A1 A2 o - A2 -A1
体向右拉至距平衡位置0.1m处，并给以一
向左的初速度，大小为0.2m.s-1，然后放手。
试求物体在放手后第3末的运动状态。
v
0
m
x
0
o
x
二 相位差
1 相位差 表示两个相位之差. 对于两个同频率的简谐运动， 相位差表示它们间步调上的差异.
x1 A1 cos(t 1 )
2 1

t+

T
相位
圆频率 谐振动周期
角坐标
角速度 圆周运动周期
例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹 1 簧的劲度系数 k 0.72N m ，物体的质量 m 20g .
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05 m 处停 下后再释放，求简谐运动方程； A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度； （3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s1 ，求其运动方程.
由旋转矢量图可知
A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度；
解
x A cos(t ) A cos(t )
A
x 1 cos( t ) A 2 π 5π t 或 3 3 π 由旋转矢量图可知 t 3

A
o
v A sin t
A 2
x
6 简谐振动的能量
2
1 1 2 2 2 2 Ek mv m A sin (t ) 2 2
1 2 1 2 2 Ep kx kA cos (t ) 2 2
k/m 1 2 1 2 2 2 Ek mv m A sin (t ) 2 2 1 2 2 kA sin (t ) 2
2 相位
v0 / A v0 tg x0 x0 / A
在 x A cos( t )中，t
称为振动的相位.
即其决
1） t x ，存在一一对应的关系; 定质点在时刻的t的位置. 2）初相位
(t 0)
描述质点初始时刻的运动状态.
讨论
已知 t
由
2
弹簧振子的总的机械能
1 2 E Ek Ep kA 2
弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时 间发生周期性变化，但动能和势能的总合保持为一个常 量，即作简谐运动的系统机械能守恒.
简谐运动能量图 E
1 kA 2 2
Ek
Ep
o
7 振动曲线
T 4
T 2
3T 4
T
t
x
T 2
x A cos(t )
x/m
o
0.05
k 0.72N m 解 （1） m 0.02kg
1
6.0s 1
v A x x0 0.05m v0 tan 0 x0 0 或 π
2 0 2 0 2
o
A
x
0 x A cos(t ) 0.05 cos 6.0t m
A
t t

时
以 o为 原点旋转矢
t
量 A的端点
o
x
x0
x
在
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
x A cos(t )
x A cos(t )
矢量 A的
端点在 轴上的投 影点的运
旋转
x
动为简谐
运动.
所以，做匀速圆周运动的质点在某一直径上（x轴） 的投影的运动就是简谐运动. 物理模型与数学模型比较 简谐振动 A 振幅 初相 旋转矢量 半径 初始角坐标
都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢.
2
k m
弹簧振子周期 T 2π
m k
三
简谐振动的判断（满足其中一条即可）
1）物体回复力作用
F kx 平衡位置 x 0
2 2
dx 2）简谐运动的动力学微分描述 x 0 dt
2
3）简谐运动的运动学描述
x A cos(t )
第九章 振动学基础
内容提要
一
简谐运动的描述和特征
1 物体受线性回复力作用
F kx 平衡位置 x 0
2
d x 2 2 简谐运动的动力学描述 x 2 dt 3 简谐运动的运动学描述 x A cos(t )
v A sin(t )
4 三个特征量：振幅 A 决定于振动的能量； 园频率 决定于振动系统的性质； 初相 决定于起始时刻的选择.
A
o
A
T
t
二 简谐振动的固有周期
振动往复一次所需时间.
x A cos(t ) A cos[(t T ) ] A cos(t T ) 1 2π 周期：T 频率 T 2π
,T ,
由
2π 圆频率 2π T
x1 反相 T t
x2
-A1
两同相振动的振动曲线
两反相振动的振动曲线
三 简谐振动的旋转矢量表示法
用匀速圆周运动表示简谐运动的位置变化. 设一质点沿圆心在O点而半径A的圆周作匀速运动，其
角速度为 .
规定 A A
A t
o
设t=0时, 质点的径矢经过
与x轴夹角为 的位置
x
0, x 0, v 0 求
π A sin 0 取 2 o π x A cos( t ) A 2
π 2 v0 A sin 0
0 A cos
v
x
o
x
T
t
T 2
例：有一水平弹簧振子，设弹簧劲度系数
k=1.6N.m-1，物体质量m=0.4kg。今把物
A A1 A2
合振动振幅最大.
A | A1 A2 | 合振动振幅最小.
3 一般情况
x
A A2 A A A2 1 1 x
o
o t
t
*二 两个同方向不同频率的简谐振动的合成
分振动
x1 A1 cos(1t 1 )
x2 A2 cos(2t 2 )
① ②
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动， 角速度不变.
1.当
2 1 2k
时,
( k 0,1,2,) 0,1,2,)
2.当 2 1 2k 1 时, ( k （ ）
9-1 简谐振动的规律
学习要点
1. 注意简谐振动的规律和特点. 知道如何判断一个振 动是否为简谐振动？
2. 简谐振动的能量有什么特点?
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？ 4. 了解研究谐振子模型的意义何在？
一 简谐振动的定义
1 定义 物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位 移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化， 这种运动叫简谐运动. 2 简谐振动的条件
因为 v 0
v0 tan＇ 1 x0 π 3π ＇ 或 4 4
x
2 0
v
2 0 2
0.0707m
o
π 4
x
A＇
4
9-3 简谐振动的合成
学习要点 1. 了解两个同方向同频率简谐振动的合振动规律. 2. 知道同方向同频率简谐振动合成后，合振动的振幅、 初相位由什么因素决定？ 3. 会用矢量旋转法进行两个同方向同频率简谐振动的 合成.
一 两个同方向同频率的简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
A2
2
0

A
x
x
x x1 x2
x A cos(t )
2 1 2 2
x2
1

x1
A1
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
x
开始计时，则在时刻t此径矢与x轴的夹角为 t , 质点在x轴上的投影式
x A cos(t )
其与简谐运动的定义公式相同.
2π T
当

t 0时
A

以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x0 A cos
x0
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
2π T
x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1 )
两个同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与 时间无关. 2 超前和落后 若 =2-1>0, 则x2比x1较早达到正最大，称x2比