9-第九章弯曲应力

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梁的应力

ac
M
⑵、纵向线：由直线变为曲
线，且靠近上部的纤维缩短，
靠近下部的纤维伸长。
b
d
3、假设：
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线。
第九章梁的应力
梁是由许多纵向纤维组成的
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变
z
A2 20120mm2 y2 80mm
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
52mm
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
Hale Waihona Puke 80 203 1280 20 422
y
201203 20120 282
12
7.64106 m4
第九章梁的应力
横截面上应力分布
b
d2
c,m ax
h yt,max yc,max d1
oz y
Oz
y b
t,m ax
中性轴 z 不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉
应力值和最大压应力值为
t,m ax
My t ,m a x Iz
c,m ax
Myc ,m a x Iz
第九章梁的应力
例对于图示 T形截面梁,求横截面上的最大拉应力和最大压应力.已知: I z 290 .6 10 8 m4
d
在弹性范围内， E E Ey ...... (2)
Ｏ
Ｏ１
A１
Ｂ１ x
y
第九章梁的应力
应力的分布图：

工程力学弯曲应力PPT资料94页

ycmax yt max
M
z
σ tm ax y
σtmax Mytmax Iz
σcmax Mycmax Iz
3.横力弯曲时梁横截面上的正应力
平面假设不再成立
当：L 5
h
纯弯曲的正应力计算公式计算横力弯曲梁横截面上的正应力
误差不超过1%。
My
IZ
Mxy
IZ
总结
假设平面假设，单向受力假设
空心圆截面
z
z
y
y
WIz πd4/64 πd3 d/2 d/2 32
WIz b3 h/12b2 h h/2 h/2 6
WπD3(14)
32
αd D
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面
Wz
Iz ymax
分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
ycmax 和 ytmax 直接代入公式
σcmax
σ My Iz
一些易混淆的概念
对称弯曲与纯弯曲对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式纯弯曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常数的受力状态
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线形心轴－通过横截面形心的纵向坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度
中性层受拉区
受压区中性轴
纵向纤维既不伸长也不缩短的层—中性层中性层与横截面的交线—中性轴
中性轴⊥截面纵向对称轴 ❖横截面间绕中性轴相对转动
拉压、扭转时横截面上应力分析过程
变形
平面假定
应变分布
物理关系

梁的弯曲(应力、变形)

* z
翼板
t
H
h
b
z
y
腹板
A*
H h h 1 H h B B( ) ( ) y 2 2 2 2 2 2 2 h 1 h b h B 2 2 b( y ) y ( y ) ( H h ) ( y 2 ) 2 2 2 2 4 8
y
目录
24
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
4kN.m
4 103 52103 t ,max 7.64106 27.2 106 Pa 27.2MPa t
4 103 88103 c,max 7.64106 46 .1106 Pa 46 .1MPa c
研究对象：等截面直梁
研究方法：实验——观察——假定
5
实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生相对转动，仍与纵线正交纵线弯成曲线，且梁的下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度透明的梁就好了，我们用计算机模拟透明的梁
2
5.梁的许可载荷为 F Fi min3.75kN 10kN 3.825kNmin 3.75kN
28
提高梁强度的主要措施
max
M max [ ] WZ
合理安排支座合理布置载荷
1. 降低 Mmax
29
F
合理布置支座
F
F
30
合理布置载荷
F
31
max
M max [ ] WZ
2. 增大 WZ
合理设计截面合理放置截面

弯曲应力符号

弯曲应力符号弯曲应力符号弯曲应力是指在杆件或梁上，由于受到外力作用而导致产生的内部力。

在工程学中，弯曲应力是一种常见的内部应力类型。

为了描述这种内部应力，我们需要使用一些符号和术语。

I. 弯曲应力的定义弯曲应力是指杆件或梁在受到外部载荷时，由于其截面形状不同而产生的内部应力。

这种内部应力会导致杆件或梁发生变形或破坏。

II. 弯曲应力的计算公式1. 弯曲应力公式弯曲应力可以通过以下公式进行计算：σ = M*y/I其中，σ表示弯曲应力；M表示外部载荷产生的弯矩；y表示距离中性轴最远点的距离；I表示截面惯性矩。

2. 中性轴和截面惯性矩中性轴是指杆件或梁在受到外部载荷后，其截面上拉伸区域和压缩区域之间分界线的位置。

截面惯性矩是指杆件或梁在某个方向上抵抗扭转变形的能力。

III. 弯曲应力符号在计算弯曲应力时，我们需要使用一些符号来表示不同的量。

以下是一些常用的符号：1. σ：表示弯曲应力。

2. M：表示外部载荷产生的弯矩。

3. y：表示距离中性轴最远点的距离。

4. I：表示截面惯性矩。

5. E：表示杨氏模量，即杆件或梁在拉伸或压缩时的变形程度与受力程度之比。

6. ε：表示应变，即杆件或梁在受到外部载荷后发生的变形程度与其原始长度之比。

7. δ：表示挠度，即杆件或梁在受到外部载荷后发生的纵向位移量。

IV. 弯曲应力的影响因素弯曲应力受到很多因素的影响，以下是一些常见的影响因素：1. 外部载荷大小和方向：外部载荷越大，产生的弯矩就越大，从而导致弯曲应力增加。

外部载荷方向也会影响弯曲应力大小和分布情况。

2. 杆件或梁截面几何形状：不同形状的截面对弯曲应力的影响不同。

一般来说，惯性矩越大的截面抵抗弯曲应力的能力越强。

3. 材料性质：材料的弹性模量和屈服强度等性质会影响杆件或梁的变形和破坏情况。

V. 弯曲应力的应用弯曲应力是工程学中常见的内部应力类型，其在许多领域都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：1. 结构设计：在设计建筑物、桥梁、机器等结构时，需要考虑弯曲应力对结构安全和稳定性的影响。

材料力学：第九章应力状态分析

Me
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图所示，点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图所示，其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到）、（2））、（（1）由（1）、（）式，可以求出单）元体各个截面上的应力。（。（即点元体各个截面上的应力。（即a点（2）处各个方向上的应力））处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的应力状态。应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且横截面上只有正应力，均匀分布计算公式：计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力：等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈横截面上只有切应力，线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式：计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无为了研究点处各个方向的应力，围绕点取一个各边长均为无点处各个方向的应力限小的六面体（称为单元体）。限小的六面体（称为单元体）。径向截面

第9章弯曲应力

应变分布规律直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
第9章弯曲内力
9.2 弯曲正应力
2、物理关系
Hooke’s Law 所以
E（弹性范围内） M
y
?
O
z x
E

?
y
应力分布规律
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径ρ
9.2 弯曲正应力
max
M max [ ] W
对塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压性能相同。因此对等截面直梁来说，危险截面仅有一个，既 M max 所在的截面，而截面上的危险点，既 y max 所在之点横截面关于中性轴对称的等直梁 b o
σ t max c max
o
M max Wz
2 2
第9章弯曲内力
9.2 弯曲正应力
尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使抗
弯截面系数Wz增大。
由四根100 mm×80 mm×10 mm不等边角钢按四种不
同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度
均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：
?
第9章弯曲内力
9.2 弯曲正应力
3、静力关系
内力与外力相平衡可得
待解决问题
中性轴的位置中性层的曲率半径ρ
FN A dFN A dA 0 (1)
Mz
M
O
z
y
dA
x σdA
FN
M y dM y zdA 0 (2)
A A
My
y

(修订)第9章弯曲应力与弯曲变形-习题解答

第9章弯曲应力与弯曲变形习题解答题9 – 1 试计算下列各截面图形对z 轴的惯性矩I z （单位为mm ）。

解：（a ）mm 317400250500350200400250250500350≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()49323mm 107314002502003171240025050035025031712500350⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （b ）mm 431550400800500375550400400800500≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()410323mm 1054615504003754311255040080050040043112800500⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （c ）()mm 3060202060506020102060=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=c y()()46323mm103616020503012602020601030122060⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.Z I(a)(b) (c)题9-1图题9–2 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。

设q = 60kN/m ，F = 100kN 。

试求（1）梁1– 1截面上A 、B 两点的正应力。

（2）整个梁横截面上的最大正应力和最大切应力。

解：（1）求支反力kN 220100260=+⨯=A F （↑）m kN 32021001260⋅=⨯+⨯⨯=A M （）（2）画F S 、M 图（3）求1-1截面上A 、B 两点的正应力 m kN 1305016011001⋅=⨯⨯+⨯=.MF MA 点：MPa 254Pa 1025412150100550101306331=⨯≈⨯⨯⨯==...I y M zA t σB 点：MPa 162Pa 107816112150100*********331=⨯≈⨯⨯⨯==....I y M σzB c （4）求最大正应力和最大切应力M P a 853Pa 10385361501010320623max max =⨯≈⨯⨯==...W M σzM P a 22Pa 10221501010220232363max =⨯≈⨯⨯⋅=⋅=..A F τS 题9 - 3 简支梁受力如图所示。

第九章梁的弯曲应力

一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A a F (+)
V图
纯弯曲 C l D
F
横力弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上只有弯矩
F
a
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又有剪力（M 0,V 0）。
Fa
M图
(+) Fa
一、梁横截面上的正应力
* z
max
* Vmax Sz Vmax max * Izd ( I z Sz max )d
* 对于工字钢， I z Sz
max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
3.在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：
（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是
主要的，剪应力的强度条件是次要的。但对于较粗的
短梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较
小，或是薄壁截面梁时，也需要校核剪应力强度。（2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该
正应力最大。
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力
的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状
态来确定。（4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*

（1）各点处的剪(切)应力都与剪力V方向一致；（2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小相等，即沿截面宽度为均匀分布。（3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。

材料力学弯曲应力

材料力学弯曲应力材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时所产生的应力。

弯曲应力的研究对于工程结构设计和材料选用具有重要意义。

本文将从弯曲应力的概念、计算公式、影响因素等方面进行详细介绍。

弯曲应力是指在材料受到弯曲载荷作用下，横截面上的应力分布情况。

在弯曲过程中，材料上部受到压应力，下部受到拉应力，而中性面则不受应力影响。

根据梁的理论，弯曲应力与弯矩、截面形状以及材料性质有关。

在工程实践中，我们通常使用梁的弯曲应力公式来计算弯曲应力的大小。

梁的弯曲应力公式可以表示为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中性轴到受拉或受压纤维的距离，I为截面的惯性矩。

从公式中可以看出，弯曲应力与弯矩成正比，与截面形状和材料性质有关，截面越大，惯性矩越大，弯曲应力越小。

影响弯曲应力的因素有很多，主要包括载荷大小、截面形状、材料性质等。

首先是载荷大小，当外力作用在梁上时，产生的弯矩大小将直接影响弯曲应力的大小。

其次是截面形状，截面形状不同将导致截面惯性矩不同，进而影响弯曲应力的大小。

最后是材料性质，材料的弹性模量、屈服强度等参数也会对弯曲应力产生影响。

在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来选择合适的截面形状和材料类型，以使得结构在受到弯曲载荷时能够满足强度和刚度的要求。

同时，还需要合理设计结构，减小弯曲应力集中的区域，避免出现应力集中而导致的破坏。

综上所述，弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时产生的应力，其大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。

在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来计算和分析弯曲应力，以保证结构的安全可靠。

同时，合理设计结构和选择合适的材料也是降低弯曲应力的重要手段。

希望本文对于弯曲应力的理解和应用能够有所帮助。

009 第九章1 弯曲应力

应力之比
max M max 2 A L 16.7 max W z 3Q h
25
60kN A 1m
q= 30kN/m B 5m 112.5kN 52.5kN
Q
例：图示梁为工字型截面，已知〔σ〕=170MPa，〔τ〕=100MPa 试选择工字型梁的型号。解：1、画Q、M图 YA=112.5kN ；YB=97.5kN 2、按正应力确定截面型号 x M 97.5kN max max WZ x 6
1
§9-1-1 概述
剪力“Q”——剪应力“τ”；弯矩“M”——正应力“σ” 一、纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩
P a A
Q x
x M
2
P a B
而无剪力的弯曲。
梁的横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲二、横力弯曲（剪切弯曲）：梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。
梁的横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲
y
QS z I zb
注意：Q为横截面的剪力；Iz为整个横截面对Z轴的惯性矩；b为Y点对应的宽度； 20 Sz*为Y点以外的面积对Z轴的静面矩。
3、剪应力的分布：
h y h b h2 S z yc A 2 b( y ) ( y2 ) 2 2 2 4
Q
a
c
b
a
d c
M
b
3、假设：
d
（1）、平面假设：梁变形前的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕某轴转动了一个角度。
4
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。
中性轴
中性面
4、中性层：不发生变形的一层纤维。 5、中性轴：中性层与横截面的交线。推论：梁变形实际上是绕中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。

工程力学-9(2)弯曲应力

25
§9(2). 弯曲应力
弯曲正应力及正应力强度条件
3. 全梁上最大正应力
M x Fx
0 x l
工程力学
全梁上最大弯矩的大小为 M max Fl 40 kN m
max
M max ymax 40 103 90 103 11.1MPa 2 9 Iz 120 180 10 12

30
§9(2). 弯曲应力
弯曲正应力及正应力强度条件
讨论：承载能力相同情况下，比较两种设计方案：
工程力学
1 2 π 2 A实 πD 40 1256mm 2 4 4
A空
1 π 2 π D02 d 2 482 48 0.8 675mm 2 4 4

工程力学
B
b
BH 3 bh3 Iz 12 12
C
z
HB hb Iy 12 12
3
3
y
BH 3 bh3 Wz 6H
21
§9(2). 弯曲应力
弯曲正应力及正应力强度条件惯性矩I与抗弯截面系数W的计算
惯性矩的平行移轴公式
工程力学
z O C
dA
y yc a ,
平面假设：纯弯曲梁的横截面变形前后保持为平面且与轴线正交。
工程力学
从对称截面A－A处将杆件截开。截开后的杆段，其结构、受力和变形仍然是对称的，所以杆段的对称面同样保持平面。无限分割下去，就可以证明所有横截面都将保持平面。
5
§9(2). 弯曲应力
弯曲正应力及正应力强度条件变形的几何关系
解：取x截面右段梁为研究对象。

弯曲应力

45kN 45kN·m kN·
41. kN· 41.8kN·m
x
20. 20.4 提高弯曲强度的措施
梁的设计取决于两因素：一是在载荷作用下安全可靠梁的设计取决于两因素：一是在载荷作用下安全可靠的工作即具有足够的强度；二是减少用料降低成本。弯曲的工作即具有足够的强度；二是减少用料降低成本。减少用料降低成本正应力是控制弯曲强度的主要因素，正应力是控制弯曲强度的主要因素，常是控制弯曲强度的主要因素以其强度条件作为梁设计的主要依据。其强度条件作为梁设计的主要依据。作为梁设计的主要依据
实心圆形截面梁的切应力 τ = 4 F ⋅ 1 − y
2 xy
2 2 2 3 2 S = (r − y ) 3
* z
A
3πr 2
S
r
由此可知，由此可知，τxy沿着圆周上两点切线的交点高度呈抛物线分布，的交点高度呈抛物线分布，且中性轴处（y=0）的切应力最大，轴处（y=0）的切应力最大，即：
一、合理布置梁的受力
1. 合理布置梁的支座
q
A
l
q
B
A
0 .2 l
(2 )
A
⇒
E
ρ
∫
A
z ⋅ ydA = 0
y
∫ z ⋅ ydA= I
(3 )
⇒ E
yz
=0
惯性积
z
x
ρ
∫
A
y 2 dA = M
∫
A
y 2 dA = I z
惯性矩
梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度
My σ =E = ρ IZ y
M = ρ EIZ
1
IZ WZ = ymax

工程力学第九章梁的应力及强度计算

平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。

工程力学第9章弯曲应力课件

FN=∫AσdA=0(c) My=∫Az σdA=0(d) Mz=∫Ay σdA=M(e)
首先讨论式(c)所表达的物理意义。将式(b)的关系代入式(c), 得
又因E/ρ不可能等于零, 故必须有 ∫AydA=0(f) 此式表明整个横截面对于z轴的静矩Sz等于零, 由附录A.1中可知, 中性轴z必然通过横截面的形心。这样, 就确定了中性轴的位置。其次, 讨论式(d), 将式(b)的关系代入式(d), 得
对于拉伸许用应力[σt]和压缩许用应力[σc]不同的材料制成的梁应分别按最大拉应力和最大压应力建立其强度条件, 即
σt, max≤[σt], σc, max≤[σc](9-6)
9.1.3 梁横面上的正应力
现在来推导纯弯曲时梁的正应力公式。与推导扭转切应力公式相似, 也需综合
几何、物理和静力学三方面来解决。
1.变形几何方面纯弯曲时梁的纵向纤维由直线弯成圆弧, 如图9-2b所示。相
距为dx的两相邻截面m—m、 n—n延长交于C点, C即为曲率中心, 中性层的
曲率半径以ρ表示, 两平面间的夹角以dθ表示。现求距中性层为y处的bb纤维
9.1.2 假设
根据所观察到的梁表面的变形现象, 可以对梁内部的变形情况作出如下假设: 图 9-3 梁的所有横截面在变形过程中要发生转动, 但仍保持为平面, 并且和变形后的梁轴线垂直。这就是梁的平面假设。可以设想梁是由无数纵向纤维所组成, 弯曲变形后, 梁的上层纤维缩短, 下层纤维伸长, 因为材料是连续的, 所以中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短, 这一层称为中性层, 中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁的纵向对称面内, 故梁在变形后的形状也应对称于此平面, 因此, 中性轴必然垂直于横截面的对称轴(图9-3)。梁变形时, 横截面是绕中性轴转动的。

矩形板的弯曲理论ppt课件

x 2
y 2
②板刚性固定在刚性边界上
x 0、x a : w 0、w＝0 x
y 0、y b : w 0、w＝0 y
此边界条件是边缘处的挠度等于零和支持边缘的转角等于零
③板的边缘为自由边
y b : 2w 2w＝0、3w （2－） 3w 0
y 2
x 2
y 3
x2y
x a : 2w 2w＝0、3w （2－） 3w 0
x,max
t 0t 2D
0.14
1 8
ql
20
(u)
6M max
t2
0＋
6M max t2
6M
max
6( ＝
ql 2 8
)
t2
t2
3.7 附录B-3 -875N.mm/mm
52.5N/mm2 152.5N/mm2 375N/mm2
Pre
Next Exit
6
由例子得结论： (1)中面拉力对板的承载起了很大的作用； (2)如果没有中面力,板在横荷重下就会发生很大的应力与变形； (3)板似乎不能承受中面压力。
刚性板的弯曲微分方程式可以用梁的弯曲微分方程式同样的途径的建立,即利用变形条件,物理方程及静力平衡关系,其中还要用到应力合成为内力的静力等效公式，依次导出
Pre
Next Exit
8
一、基本假定
1．直法线假定：板变形前垂直于中面的法线在变形后仍为直线，并且变形前在中面法线上的点在变形后距中面的距离不变。存在 z 0、 xz yz 0 。
任何单元都有六个应力和六个方向的应变,
z 0、 z 0、 xz yz 0 ①对于薄板的弯曲,实际
薄板的应力
薄板的应变

九章节弯曲应力

max
Mmaxymax IZ
15
目录
§9-2 正应力公式的推广强度条件
弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力分布
My IZ
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲
•横截面惯性积 IYZ=0
•弹性变形阶段
16
目录
§9-2 正应力公式的推广强度条件
弯曲正应力强度条件
σmax
M
y max max Iz
σ
1.弯矩最大的截面上
41
2.离中性轴最远处
3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z
4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
t,max t
c,max c
17
目录
§9-2 正应力公式的推广强度条件例题6-1
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
IZ y2dA
A
WZ
IZ y max
空心矩形截面
圆截面空心圆截面
矩形截面
IZ
d 4 64
WZ
d 3 32
IZ
D4
64
(14)
WZ
D3 (14)
32
IZ
bh 3 12
bh 2 WZ 6
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ(b1 0h023b13h2)/(h013/2)
目录
§9-2 正应力公式的推广强度条件
横力弯曲
14
9-2
目录
§9-2 正应力公式的推广强度条件
横力弯曲正应力公式弯曲正应力分布 My IZ

工程力学C 第9章弯曲应力及弯曲强度

FBy29 kN
14
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工程力学
第九章弯曲应力及弯曲强度
取整体(zhěngtǐ)
MA
FAx FAy
F
A
C
E
1m
1m
0.5m
q =20kN/m
D 3m
K 1m
Me=5kN·m B FBy
Fx0 FAx0 Fy0 F A 5 y 2 0 3 0 2 0 9 F A y8k1 N
弯矩.
y
F
1A2
Me =3Fa
34
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
解: 求支反力
M A0 F B 2 a 3 F F a 0 F B2F( )
Fy0 F BF AF
FA3F()
21
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工程力学
第九章弯曲应力及弯曲强度
y
F
1A2
12 a
FA
Me =3Fa
34 34
a 2a
B x
FB
1-1截面(jiémiàn)
M A0 M A 5 1 3 0 1 0 5 1 3 2 0 1 3 0 4 0 3 2 6 9 0 .
M A 9.5 k 6m N
15
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工程力学
第九章弯曲应力及弯曲强度
§9-2 剪力、弯矩与剪力图(lìtú)、弯矩图
§9-2-1 剪力、弯矩如图所示简支梁，求：距A端x处截面(jiémiàn)m-m上的内力。
梁：以弯曲变形为主的杆件。
弯曲变形(biàn xíng)的受力特点:
外力作用线垂直于梁轴线，外力偶作用面通过梁轴线。
变形(biàn x梁ín轴g)线由直线变为曲线。平特面点弯: 曲: 梁弯曲变形后轴线所在平面与载荷作用面重合的

《工程力学》课件——第九章弯曲应力1

第9章弯曲应力
9.1 纯弯曲
9.2 弯曲正应力的强度条件及其应用9.3 提高梁弯曲强度的一些措施
F Fa F F A
C D B
横力弯曲：既有弯矩又有剪力。

如AC 段和DB 段
纯弯曲：只有弯矩，没有剪力。

如CD 段
实验现象： 1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。

2、变形前垂直于纵向线的横向线，变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。

变形前原本为平面的横截面变形后仍保持为平面。

且仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。

必有一层变形前后长度不变的纤维
中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称为中性层。

（阴影面）
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

中性轴与纵向对称面垂直。

•具有纵向对称面
•外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
对称弯曲纵向对称面
将梁的轴线取为 x 轴，
横截面的对称轴取为 y 轴，(向下为正) 中性轴取为 z 轴。

z
9.1 纯弯曲
9.2 弯曲正应力的强度条件及其应用9.3 提高梁弯曲强度的一些措施。