南京师范大学考研真题数学分析2011

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2011年考研数学试题详解及评分参考

(1) 曲线 y = (x -1)(x - 2)2 (x - 3)3 (x - 4)4 的拐点是
(A) (1, 0)
(B) (2, 0)
(C) (3, 0)
(D) (4, 0)
【答】应选 (C) .
【解】显然 x = 1, 2, 3, 4 分别是 y(x) 的一、二、三、四重根，因此有 y¢¢(2) ¹ 0, y¢¢(3) = 0, y¢¢(4) = 0, y¢¢¢(3) ¹ 0, y¢¢¢(4) = 0 ，由此可见，点 (2, 0) 不是拐点，点 (3, 0) 是拐点.故选 (C) .
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是
(A) f (0) > 1, f ¢¢(0) > 0
(B) f (0) > 1, f ¢¢(0) < 0
(C) f (0) < 1, f ¢¢(0) > 0
(D) f (0) < 1, f ¢¢(0) < 0
【答】应选 (A) .
2011 年 • 第 1 页
æ1 0 0ö
æ1 0 0ö
位矩阵.
记 P1
=
ç ççè
1 0
1 0
0 1
÷ ÷÷ø
， P2
=
ç ççè
0 0
0 1
1 0
÷ ÷÷ø
，则
A
=
(A) P1P2
(B) P1-1P2
(C) P2P1
(D) P2 P1-1
【答】应选 (D) .
【解】易见 P1, P2 正是与题中所给初等变换相对应的初等矩阵，故由初等矩阵的性质，有 B = AP1 ， E = P2B ，从而 E = P2 AP1 ，即 A = P2-1P1-1 . 又 P2-1 = P2 ， P1-1 ¹ P1 ，所以 A = P2P1-1 ，但 A ¹ P2P1 ，故选 (D) .

2011年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)

2011年考研数学试题（数学一）一、选择题1、曲线()()()()4324321----=x x x x y 的拐点是（）（A ）（1，0）（B ）（2，0）（C ）（3，0）（D ）（4，0）【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。

直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。

【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。

2、设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→n n a ，()∑===nk k n n a S 12,1 无界，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛域为（）（A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2]【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。

主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。

【解析】()∑===n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≤；{}n a 单调减少，0lim=∞→n n a ，说明级数()11nn n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。

因此，幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。

又由于0x =时幂级数收敛，2x =时幂级数发散。

(完整)南京师范大学考研高等代数2008——2011

2008年硕士研究生招生入学考试试卷高等代数一、判断题（共60分，每小题6分；若正确，打钩并给出证明，若错误，打叉并给出反例或说明理由）1.对多项式18+x 来说，不存在素数p 满足艾森斯坦()Eisenstein 判别法的条件，故18+x 不是有理数域上的不可约多项式。

2.若数域P 上的多项式)(x f 在复数域上有重根，则在P 上一定有重因式。

3.设向量组（I ）的秩大于向量组（II ）的秩，则（I ）不能由（II ）线性表出。

4.设B A ,都是n 阶方阵，A 是对角矩阵，BA AB =，则B 也是对角矩阵。

5.设B A ,都是半正定矩阵，则AB 的特征值大于或等于0。

6.设),2,1(s i V i =是n 维线性空间V 的子空间，n s <≤2，若{}0=j i V V()j i ≠，则s V V V +++ 21是直和。

7.实矩阵n m R A ⨯∈的秩为n 的充要条件是对任意的n 阶实矩阵C B ,，有AC AB =可推得C B =。

8.设b a ,属于数域P ,[]{}{}0))((,)()( n x f x P x f x f V <∂∈=，则V 是一个线性空间，并且)()(:b ax f x f +→ϕ是V 上的一个线性变换。

9.)(λλA 矩阵-是可逆的当且仅当)(λA 的行列式0)(≠λA 。

10.在n 维欧几里得空间中，正交变换在一组基下的矩阵是正交矩阵。

二、计算题（每小题10分，共40分）1.设()n j i a ji nj n i ij ,2,1,=--=βαβα，n 阶方阵()ij a A =，求A 的行列式A 。

2.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=143021002A 的所有不变因子，初等因子以及若尔当()Jordan 标准形。

3.设[]4x P 是所有次数小于4的多项式和零多项式构成的线性空间，求线性变换()()()()()x f x f x f x x f ++='''2ϕ的特征值，求最大特征值的特征向量。

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及答案解析

f (0) f (0)
f (0) 0 ， zxx
x0
f (0) ln
f (0) ，
y0
y0
z
yy
x0
f (0)
f (0) f (0) ( f (0))2 f 2 (0)
f (0) .
y0
要使得函数 z f (x)ln f ( y) 在点(0,0)处取得极小值，仅需
f (0) ln f (0) 0 ， f (0) ln f (0) f (0) 0 ,
0
0
5.【答案】
【解】由初等矩阵与初等变换的关系知
AP1
B
，P2 B
E
，所以
A
BP11
P2
P 1 1 1
P2 P11
，
故选 D.
6.【答案】D
【解】由 x 0 的基础解系只有一个知 r( A) 3 ，所以 r( A) 1，又由 A A A E 0 知，
1,2 ,3,4 都是 x 0 的解，且 x 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
0
2
2
.
13.【答案】 1
【解】本题等价于将二次型 f (x, y, z) x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 经正交变换后化为
了 f y12 4z12 .由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1, 4, 0 .
1 a 1
该二次型的矩阵为
A
a
3
1 ，可知 A a2 2a 1 0 ，因此 a 1 。
an
单调减少，
lim
n
an
0 ，说明级数
an
n 1
1n
收敛，可知幂级数
an
n 1
x 1n

2011考研数学真题和答案详解

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分 56％线性代数 22%概率论与数理统计 22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：0s inlim1xxx→=1lim1xxex→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz ）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解xe ．sin x ．c o s x ．ln (1)x +及(1)x α+的麦克劳林（Maclaurin ）展开式．六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法． 3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念． 6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法． 7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()F x P X x x =≤-∞<<∞的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布()P λ及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布． 4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布()E λ的概率密度为()0xef x x λλ-⎧=⎨≤⎩若x >0若5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布221212(,;,;)N u u σσρ，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩2分布t分布F 分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为 2211()1n i i S X X n ==--∑2．了解产生2χ变量、t 变量和F 变量的典型模式；了解标准正态分布、2χ分布、t 分布和F 分布得上侧α分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值．样本方差．样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．。

2011年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)

∗
A = E 0
知， α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 都是 Α x = 0 的解，且 Α x = 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
∗ ∗
1 1 0 0 A = (α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ) = α1 + α 3 = 0 ，所以 α1 , α 3 线性相关，故 α1，α 2，α 4 或 1 1 0 0
） (D)
α1，α 3
(B)
α1，α 2
(C)
α1，α 2，α 3
α 2，α 3，α 4
【答案】 D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。
= A 【解析】由 Αx = 0 的基础解系只有一个知 r ( A) = 3 ，所以 r ( A∗ ) = 1 ，又由 A
∫
x
0
π tan tdt 0 ≤ x ≤ 的弧长 s = 4
【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。
π
4
π
4
【解析】 s =
∫
0
(y )
' 2
dx = tan xdx = sec 2 x − 1dx = tan x − x 04 = 1−
0 0
∫
π
4 2
∫
π
4
π
π
4
10、微分方程 y ′ + y = e − x cos x 满足条件 y (0) = 0 的解为 y = 【答案】 y = sin xe − x 【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。【解析】原方程的通解为

南京师范近十二年数学分析考研题

设 f (x) 在[a,b] 上二阶可导，且满足 i） f ′′(x) + f ′(x) − kf (x) = 0 （k>0，为常数
ii) f (a) = f (b) = 0
则在[a,b] 上 f (x) ≡ 0
五．（10 分）
设 f (x) = (1 + 1 ) x+α , (α ≥ 1 ) ，证明 f (x) 在 (0,+∞) 内单调递减。
n→∞ [ 0 ,1]
1 + nx 2
n
e
（15 分）
十．设在可侧集 X 上， f n 依测度收敛于 f ，且 f n ≤ g ，a,e 于 X，试证： f (x) ≤ g(x) ，
a,e 于 X （15 分）
南京师范大学 2004 年数学分析考研试题
一、（每小题 7 分，共 28 分）计算或证明下列极限：
{ } { } （2）为使 f (an ) 在[0,1]上一致收敛，当且仅当 an 满足什么条件？
∫ ∫ { } 1
1
（3）为使 lim n→∞
0 fn (x)dx =
0
lim
n→∞
fn (x)dx ，当且仅当
an
满足什么条件？
∑ 六、（15
分）证明级数
∞ n=1
x
+ n(−1)n x2 + n2
处必不可微。
4．设
fn,n
= 1,2....均是可测集 X 上几乎处处可测函数，若 lim mX [ n→∞
fn
−
f
> 0] = 0 则
必有 f n 依测度收敛于 f 。
5．设 mX < ∞ ，且 f (x), g(x) 在 X 上均是有界可测函数，且 f (x) < g(x) ，则必有

2011考研数一真题答案及详细解析

所以 x1= -./k二［是极小值点， X2 =.fl..厂二了是极大值点；
由千 f(O)=O, 则 f(x) 的极大值 f (./1..言刁-)>0, J(x) 的极小值 f(- ,/k — 1 ) < 0.
又lim f(x)= +=,lim J(x) = —=,J(O) =0,
工j—00
.,•-•j-0<>
00) e一1 sinx
解由条件知： P(x)=1,Q(x) =尸cosx'于是微分方程通解为
(J (J y=e-I压）扛 Q(x)eJP<x)d丑'dx +c) =e寸ld工尸cosx ef1凸 dx +c) (J =e一1 cosxdx +C)=尸(sinx +C),
由y(O)=O得C=O,因此所求特解为
J'(y) , f(y)
a飞 a正
=f
，，(x)lnf(y),
一3一五—= 妇办
J'(x)•
J'(y) f(y)'
a飞
尸(y汀(y) -[f'(y)J 2
ay2 =f(x)
尸(y)
若函数乏 = f位） Inf Cy)在(0,0) 处取得极小值，则
�o, (�'"·"�J'(O)ln::�:
-I f ay co.o> = f(O)• Co) = O,
则E(XY 2 )
=EX• E(Y2 )
=EX•
[DY+(EY) 2 ]
= 叭矿＋矿）
= µ
rJ
2
+矿．
三、解答题
ln(l +x)�

南京师范大学2011年硕士研究生入学考试初试真题解析

南京师范大学2011年硕士研究生入学考试初试真题解析一、填空题(每空2分，共20分)1.福禄贝尔2.蒙台梭利3.日本4.花钱病5.幼儿园综合教育6.南京鼓楼幼稚园7.《关于儿童生存、保护和发展的世界宣言》8.儿童的大纲9.方案教学10.家庭、托幼系统和社会的三个微观环境的通力合作二、名词解释(每题5分，共30分)1.家庭教育（1）家庭教育一般是指父母或其他年长者，在家庭这个社会组织里，自觉地、有意识地对子女进行的教育，但由于父母与子之间的特殊关系，家庭教育又是贯穿于日常生活之中的、显性和隐性相结合、有计划和无计划相结合的双向相互影响的共同成长的过程。

（2）家庭教育的地位和作用主要体现在以下几个方面：①家庭教育是整个教育工程的基础和起点。

②家庭教育是全方位的教育，是儿童认识世界，进入社会的通道和桥梁。

③家庭教育是儿童身心健康发展的保证。

④家庭教育是儿童性格雏形形成的关键。

总之，家庭是儿童的第一所学校，父母是儿童的第一任老师。

我们要真正的了解一个儿童，就应首先了解其家庭。

2.师幼互动(1)学前教育机构中教师与幼儿的相互作用也可以称为师幼互动，它是专门指发生在托儿所、幼儿园等正规的学前教育机构内部的、教师与孩子之间相互作用、相互影响的行为及过程。

(2)师幼互动是幼儿教育实践中的核心因素，教育过程中任何设计完美的教育理念、教育方案、教育目标、教育计划无不是经过教师与孩子之间的相互作用才转变为现实的。

(3)根据参与主体的不同，师幼互动行为可以分为三种类型：教师与全班幼儿的互动，教师与小组幼儿的互动，教师与个体幼儿之间的互动。

3.完整语言教育完整语言模式是整合模式的更高阶段。

完整语言是针对过去那种机械孤立、条块分割、支离破碎的语言学习而提出的一种新的语言教育观，该观点认为语言是一个完整的系统。

(1)语义、语法等因素同时存在并相互影响，语言是与语境相依存而存在的。

(2)提倡自然、完整的语言学习，认为应重视语言能力而非孤立的语言技巧，强调语言的交际意义。

2011考研数学(一)真题及其解析

(7)【答案】(D)．【解析】选项(D)
+
+
−
f1(x)F2 (x) +
f
2
(
x
)
F 1
(
x)
dx
=
−
F2 (x)dF1(x)
+
F1
(
x)dF 2
( x)
=
+
d
−
F1
(
x
)
F 2
( x)
=
F1
(
x)
F2
(
x)
|+
−
=1．
所以 f1F2 (x) + f2F1(x) 为概率密度．
(8)【答案】(B)．
0
1
，则
A
=
(
)
0 0 1
0 1 0
(A) P1P2 ．
(B) P1−1P2 ．
(C) P2P1 ．
(D) P2 P1−1 ．
(6) 设 A = (1,2,3,4 ) 是 4 阶矩阵， A* 为 A 的伴随矩阵，若 (1, 0,1, 0)T 是方程组
Ax = 0的一个基础解系，则 A*x = 0 的基础解系可为( )
(B) f (0) 1， f (0) 0 ．
(C) f (0) 1， f (0) 0 ．
(D) f (0) 1， f (0) 0 ．
(4) 设 I = 4 ln sin x dx ， J = 4 ln cot x dx ， K = 4 ln cos x dx ，则 I , J , K 的大
2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上．

南师大数学分析真题2011

南师大真题一、计算题（共 5 题，每题 8 分，共计 40 分）（1）求第二型曲面积分⎰⎰++S dxdy zdzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面1222=++z y x ，方向取外侧。

（2）设函数)(x f 具有二阶连续导数，且,4)0('',0)(lim 0==→f xx f x 求xx x x f 10)(1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→。

（3）设),,(x y x y x f w -+=，其中f 有二阶连续偏导数，求yx w ∂∂∂2。

（4）在区间)2,0(π内将函数2)(x x f -=π展开成傅里叶级数。

（5）求函数231)(2+-=x x x f 的n 阶导数。

二、（共 1题，共计12 分）设函数)(x f 在区间]1,0[上可导，且)0(2)1(f f =，求证：存在)1,0(∈ξ，使得)()(')1(ξξξf f =+。

三、（共 1 题，共计12 分）设函数)(x f 在),(∞+-∞内二次可导，1)(lim 0=→xx f x ，且0)(">x f ，则 ),(,)(∞+-∞∈∀≥x x x f 。

四、（共 1 题，共计12分）设函数)(),(x g x f 在[]1,0上连续且单调减少，证明：⎰⎰⎰≥101010)()()()(dx x g dx x f dx x g x f 。

五、（共 1 题，共计 14 分）（1）证明级数∑∞=1)1ln(cos n n 收敛。

（2）设函数)(x f 在区间)1,1(-内具有直到三阶的连续导数，且,0)0(=f 0)('lim 0=→x x f x ，则级数∑∞=2)1(n n f n 绝对收敛。

六、（共 1 题，共计12 分）将直角坐标系下Laplace 方程02222=∂∂+∂∂yu x u 化为极坐标下的形式。

七、（共 1 题，共计 12 分）讨论含参量反常积分⎰∞+-0sin 2dx x e x α关于α分别在),[∞+ε和),0(∞+上的一致收敛性，其中0>ε。

2011考研数一真题解析

0．
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梦想不会辜负每一个努力的人
得到数列an 有下界．利用单调递减数列且有下界得到an 收敛．
(19)(本题满分 11 分)
【解析】 I
1
xdx
0
1 0
yf
'' xy
(
x,
y)dy
1
xdx
0
1 0
ydf
' x
(
x,
y)
1 0
xdx
yf
n1
k 1
处发散，(D)不正确．当 x 0 时，交错级数 (1)n an 满足莱布尼茨判别法收敛，故 x 0 n1
时 (1)n an 收敛．故正确答案为(C)． n1
(3)【答案】(A)．
【解析】 z x
|(0,0)
f
(x) ln
f
( y) |(0,0)
f (0) ln
f
(0)
0,
z y
1 0
dy
f
(1,
y)
1 0
f
(x,
y)dx
fdxdy a ．
D
(20)(本题满分 11 分)
【解析】(I)由于1,2,3 不能由 1, 2, 3 线性表示，对 (1, 2, 3,1,2,3) 进行初
等行变换：
1 1 3 1 0 1
(1, 2, 3,1,2,3) 1
2
4
0
1
3
1 3 a 1 1 5
【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间
的中心在
x
1
处，故(A)，(B)错误；因为

2011年南京师范大学考研真题数学分析

(1) Ⅱ mx石
→ ‘
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(2)求
招
⑶
鸸 ,求龆卫设r⑺ 在汽处饵≡宝品
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I(lnin艿
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极限 ⑶求觐 f砭
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争 )波均收敛,则且无穷积分 f℃ 伽)潋与 Γ 歹
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前机密+使用完毕
南京师范大学研究生招生入学考试试卷
试初试试题 ± zOii年硕士研究生招生入学考
:_ 码: 代码目代科目科
sOa :___』当哕u逝L____ 称: 目名称科目名科
则,
纸上 ,杏考生注意 :丽有答案必须写在答题
-,计算下列各题 (30分
⒈ 证略
丬
^ct⒏ 〓七、(1s分 )计箅反常积分 rt⒄ Γ ε
n×
翌Ι蚀之值。蚀 ,臼 )0,并由此计算 f∞ 湘英中 +° z良疒冫油匆。
八、 (1s分
)计算
x+7力桫 +@y+T冫 ⑶ li【
.
s为
曲面
F-'+引 +|yˉ z△ 刈 +{z=石 +y卜 1的表面并取外侧丨
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科目名称 ___蚍皿
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南京师范大学数学分析2007-2018年考研真题及答案解析

目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)南京师范大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (2)南京师范大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (4)南京师范大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (6)南京师范大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (8)南京师范大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (10)南京师范大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (12)南京师范大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (15)南京师范大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (17)南京师范大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (19)南京师范大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (22)南京师范大学2017年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (25)南京师范大学2018年攻读硕士学位研究生入学考试试题 (27)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (29)南京师范大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (29)南京师范大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (37)南京师范大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (45)南京师范大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)南京师范大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (59)南京师范大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (68)南京师范大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (76)南京师范大学2014年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (85)南京师范大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (93)Ⅰ历年考研真题试卷南京师范大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：602数学分析考生注意：所有答案必须写在专用答题纸上，写在本试题纸上无效。

一、（每小题10分，共30分）计算下列极限1、xt dtx xx ⎰∙+∞→2ln ln lim；2、yx y x y x ++→→2200lim ；3、设),,2,1(),1(),1,0(11 =-=∈+n x x x x n n n 证明{}n nx 收敛并求极限。

（完整）南京师范大学考研高等代数2008——2011

（完整）南京师范大学考研高等代数2008——20112008年硕士研究生招生入学考试试卷高等代数一、判断题（共60分，每小题6分；若正确，打钩并给出证明，若错误，打叉并给出反例或说明理由）1.对多项式18+x 来说，不存在素数p 满足艾森斯坦()Eisenstein 判别法的条件，故18+x 不是有理数域上的不可约多项式。

2.若数域P 上的多项式)(x f 在复数域上有重根，则在P 上一定有重因式。

3.设向量组（I ）的秩大于向量组（II ）的秩，则（I ）不能由（II ）线性表出。

4.设B A ,都是n 阶方阵，A 是对角矩阵，BA AB =，则B 也是对角矩阵。

5.设B A ,都是半正定矩阵，则AB 的特征值大于或等于0。

6.设),2,1(s i V i Λ=是n 维线性空间V 的子空间，n s <≤2，若{}0=j i V V I()j i ≠，则s V V V +++Λ21是直和。

7.实矩阵n m R A ?∈的秩为n 的充要条件是对任意的n 阶实矩阵C B ,，有AC AB =可推得C B =。

8.设b a ,属于数域P ,[]{}{}0))((,)()(Y n x f x P x f x f V10.在n 维欧几里得空间中，正交变换在一组基下的矩阵是正交矩阵。

二、计算题（每小题10分，共40分）1.设()n j i a ji nj n i ij Λ,2,1,=--=βαβα，n 阶方阵()ij a A =，求A 的行列式A 。

2.求--=143021002A 的所有不变因子，初等因子以及若尔当()Jordan 标准形。

3.设[]4x P 是所有次数小于4的多项式和零多项式构成的线性空间，求线性变换()()()()()x f x f x f x x f ++='''2?的特征值，求最大特征值的特征向量。

4.已知三维欧几里得空间V 中有一组基321,,ααα，其度量矩阵为--=110121012A ，求向量312ααβ-=的长度。

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