最优化方法 直接法
无约束最优化方法直接搜索法课件
x2
S(1)
S2(1
)
(1)
X3 X2 (1)
X* X2 (2) X1 (2)
S(2)
X0 (1)
X 1 (1)
S1(1) x1
• 鲍威尔基本算法的缺点
鲍威尔基本算法仅具有理论意义，不要说对于一般的 函数，就是对于二次函数，它也可能失效。因为在迭代过程 中的n个搜索方向有时会变成线性相关，而不能形成共轭方向， 从而张不成n维空间，导致随后的迭代搜索在降维(“退化”) 的空间中进行，可能求不到极小点，故需进行改进。
x 2 XL X2
Xn+3 Xn+2
Xn+1
Xห้องสมุดไป่ตู้ XH
X1 XG x1
6)扩张：当 fn+2 < f L 时，取扩张点Xn+3 ，即
Xn+3 = Xn+1 + (Xn+2 – Xn+1)
( =1.2~2.0 )
并计算 fn+3 = f (Xn+3 ) 。 若 fn+3 < fn+2 ，则以Xn+3 代替 X H ， fn+3 代替 fH ，构造一个新的单纯形；否则，以 X n+2 代 替XH ， fn+2 代替fH ，构造新的单纯形；然后返回到 3)。
鲍威尔条件：
若 f 3 < f 1, ( f1 - 且2f2 + f3) (f1 - f2 - △m(k))2 < 0.5 △m(k) (f1 - f3 )2 同时成立，则用 S ( k ) 替代 S m ( k ) ；否则，仍用 就是鲍威尔修正算法，通常所说的鲍威尔算法就是指这一修正算法。
• 鲍威尔算法的计算步骤及算法框图
多目标优化问题求解的直接法和间接法的优缺点
多目标优化问题求解的直接法和间接法的优缺点多目标优化问题是指在同一优化问题中存在多个冲突的目标函数，需要找到一组解，使得每个目标函数都能达到最优。
在解决这类问题时，可采用直接法和间接法两种不同的方法。
本文将会对直接法和间接法进行详细的介绍，并分析它们各自的优点和缺点。
直接法直接法也被称为权衡法或综合法，它将多目标优化问题转化为单目标优化问题，通过综合考虑各个目标函数的权重，求解一个综合目标函数。
直接法的基本思想是将多个目标函数进行线性组合，构建一个综合目标函数，然后通过求解单个目标函数的优化问题来求解多目标问题。
优点：1.简单直观：直接法将多目标问题转化为单目标问题，相对于间接法来说，更加直观和易于理解。
2.数学模型简化：直接法通过线性组合，将多个目标函数融合为一个综合目标函数，从而简化了数学模型，降低了计算难度。
3.基于人的主观意愿：直接法需要设定各个目标函数的权重，这样通过调整权重的大小来达到不同目标之间的权衡，符合人的主观意愿。
缺点：1.主观性强：直接法中的权重需要依赖专家经验或决策者主观意愿来确定，因此结果可能受到主观因素的影响。
2.依赖权重设定：直接法对于权重设定非常敏感，权重的选择对最终的结果具有较大的影响，不同的权重选择可能得到不同的解决方案。
3.可能出现非最优解：由于直接法是通过综合目标函数来求解单目标问题，因此可能会导致非最优解的出现，无法找到所有的最优解。
间接法间接法也称为非支配排序遗传算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA），它是一种利用遗传算法的非支配排序方法来解决多目标优化问题的方法。
通过建立种群的非支配排序，通过选择、交叉和变异等遗传算子来生成新的种群，并不断迭代，直到找到一组非支配解集。
优点：1.高效性：间接法利用遗传算法，并采用非支配排序的思想，能够快速收敛到一组非支配解集，有效地解决多目标优化问题。
2.多样性：间接法通过种群的选择、交叉和变异等操作，能够保持种群的多样性，不仅可以得到最优解，还可以提供多种优秀的解决方案供决策者选择。
最优化方法
平行线法
当两个因素中，一个难以调变，另一个易于调变
将难以调变因素固定在其范围的0.618处，寻另 一因素最优值
将难以调变因素固定在其范围的0.382，寻另一 因素最优值 比较两试验结果，去除试验区域 对剩余部分重复上述操作至最优点
三因素的优化
设x3为较难调变的，那么将x3先后固定在0.618和 0.382处，就得到两个平行平面 这两个平行平面把立方体截成三块，对每一平 行平面求出最优点，设最优点为P1和P2。然后 比较P1和P2上的试验结果。
黄金分割法（0.618法）
方法起源
来回调试方法
来回调试法图列
如何安排试验点？
方法
第一个试验点x1设在范围（a，b）的0.618位 置上，第二个试验点x2取成x1的对称点，即： X1=a+0.618(b-a) (1) X2=a+b-X1 (2) 也可 X2＝a+0.382(b-a) (3) 称a为试验的小头，b为试验的大头，上述公式可 表示为 第一点＝小＋0.618（大－小） (1)’ 第二点＝大＋小－第一点 (2)’
初始单纯形法
经验法 初始点P0离最优点尽可能地近。在使各点尽可 能分散的情况下，确定其它点。初始单纯形的 边长的范围可为：0.5～1.5。如能估计出初始 点离最优点尽较近，可使边长为较小值。 正规单纯形 n维单纯形，n+1个顶点分别为 p0,p1,p2,.....pn
设边长为a 则有 P0（x1, x2, ……, xn) P1 (x1+p, x2+q, x3+q, ……, xn+q) P2 (x1+q, x2+p, x3+q, ……, xn+q) Pn-1(x1+q, x2+q, ……, xn-1+p, xn+q) Pn (x1+q, x2+q, ……, xn-1+q, xn+p) 其中
关于直接法的总结
关于直接法的总结引言直接法是指一种不借助于其他辅助工具或方法，直接解决问题的方法。
在工程、科学和数学领域，直接法被广泛应用于求解各种问题。
本文将对直接法的概念、分类、优点和应用进行总结和讨论。
直接法的概念直接法是一种方法论，其核心思想是以直接的方式解决问题，而不借助其他辅助工具。
直接法的理论基础是问题的特性和解决方案的可行性。
直接法在多个学科领域具有重要地位，如数学中的直接证明、工程中的直接模拟等。
直接法的分类根据问题的性质和求解过程的特点，直接法可以分为以下几类：1.直接数值解法：该类方法通过数值计算的方式直接求解问题。
常见的直接数值解法包括牛顿法、欧拉法等。
2.直接几何解法：该类方法通过几何运算的方式直接求解问题。
例如，利用几何图形的性质求解平面几何问题。
3.直接逻辑解法：该类方法通过逻辑推理的方式直接求解问题。
逻辑解法常用于解决逻辑推理和数学证明问题。
4.直接模拟解法：该类方法通过模拟系统或现象的方式直接求解问题。
例如，通过计算机模拟来研究天气预报和流体力学问题。
直接法的优点直接法相比其他方法具有以下优点：1.简化求解过程：直接法通过直接解决问题的方式，省略了复杂的推导和计算过程，能够简化求解过程，提高效率。
2.去除误差传递：直接法避免了误差传递的问题。
在间接方法中，可能会引入额外的误差，而直接法能够减少这种误差的影响。
3.提高精度：由于直接法省略了中间步骤，减少了对精确性要求的依赖，从而提高了求解结果的精度。
4.方便验证和调整：直接法的求解结果可以直接进行验证和调整，便于检查求解的准确性和合理性。
直接法的应用直接法在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1.数值计算：直接数值解法在数值计算领域被广泛应用。
例如，用牛顿法求解方程、欧拉法求解微分方程等。
2.工程设计：直接法在工程设计中起到关键作用。
例如，利用直接模拟解法进行工程结构的应力分析与优化设计。
3.物理实验：直接法可以用于解决物理实验中的实际问题。
多目标优化问题求解的直接法和间接法的优缺点
多目标优化问题求解的直接法和间接法的优缺点多目标优化问题求解的直接法和间接法的优缺点一、引言多目标优化问题是指在满足多个约束条件的情况下，寻找最优解的过程。
在实际应用中，很多问题都是多目标优化问题，如工程设计、投资决策等。
因此，研究多目标优化问题求解方法具有重要意义。
本文将从直接法和间接法两个方面探讨多目标优化问题求解的优缺点。
二、直接法直接法是指将多目标优化问题转化为单目标问题进行求解。
常见的直接法有加权和法、ε约束法等。
1.加权和法加权和法是指将每个目标函数乘以一个权重系数，然后将所有目标函数相加，得到一个综合指标函数。
综合指标函数越小，则表示该方案越好。
2.ε约束法ε约束法是指将每个目标函数添加一个ε值作为约束条件，然后将所有目标函数相加作为综合指标函数进行求解。
当ε值逐渐减小时，得到不同的Pareto前沿。
3.直接法的优缺点（1）优点：直接法简单易行，容易理解；可以通过对各个权重系数或ε值进行调整，得到不同的解，方便进行比较；求解速度快。
（2）缺点：直接法需要事先确定权重系数或ε值，这些系数的选取往往需要经验或专家知识，难以量化；只能得到Pareto前沿上的点，无法得到完整的Pareto前沿；对于复杂问题求解效果欠佳。
三、间接法间接法是指将多目标优化问题转化为一个单目标问题，然后通过求解单目标问题来得到多目标问题的最优解。
常见的间接法有加权逼近法、Tchebycheff方法等。
1.加权逼近法加权逼近法是指将多目标优化问题转化为一个带有权重系数的单目标优化问题。
具体地，将每个目标函数乘以一个权重系数，并将所有目标函数相加作为综合指标函数进行求解。
不同于加权和法，加权逼近法不需要对每个权重系数进行调整。
2.Tchebycheff方法Tchebycheff方法是指将多目标优化问题转化为一个带有距离度量函数的单目标优化问题。
具体地，在每个约束条件下添加一个松弛变量，并设定距离度量函数为各个松弛变量与其上限之差的最大值。
无约束最优化直接方法和间接方法的异同
无约束最优化直接方法和间接方法的异同一、什么是无约束最优化最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。
其的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
最优化问题分为无约束最优化和约束最优化问题，约束最优化问题是具有辅助函数和形态约束条件的优化问题，而无约束优化问题则没有任何限制条件。
无约束最优化问题实际上是一个多元函数无条件极值问题。
虽然在工程实践中，大多数问题都是具有约束的优化问题，但是优化问题的处理上可以将有约束的优化问题转化为无约束最优化问题，然后按无约束方法进行处理。
或者是将约束优化问题部分转化为无约束优化问题，在远离极值点和约束边界处按无优化约束来处理，在接近极值点或者约束边界时按照约束最优化问题处理。
所以无约束优化问题的解法不仅是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。
无约束最优化方法大致分为两类：一类是使用导数的间接方法，即在计算过程中要用到目标函数的导数；另一类是直接方法，即只要用到目标函数值，不需要计算导数。
这里我们比较这两类方法的异同。
二、无约束最优化方法1. 使用导数的间接方法1.1 最速下降法函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。
将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。
无约束优化问题的数学模型可以表示为：()n R f ∈x x xmin ，我们假设函数()x f 具有一阶连续偏导数。
最优化第四部分
无,且xk+1=xk,则缩短步长,仍从xk出发进行下一次轴向移动;若
无,且xk+1xk,则仍从xk出发用步长k进行下一次轴向移动.
最优化理论与方法 第四部分 直接搜索的数值解法
从xk+1出发的模式移动是指以1为步长沿加速方向:dk=xk+1–xk
移动一步,得到新的参考点y=xk+1+dk=2xk+1–xk , 然后 , 从新的参 考点y出发 , 仍以k为步长进行轴向移动.
所以第三次轴向移动结束,令 x3 y (3, 2)T .由于 f ( x3 ) f ( x2 ) ,
2 1 0.1 , 且 x3 x2 ,
因此，令 x3 x2 (2 , 1)T , 3 2 ,
取参考点 y x3 (2,1)T .
最优化理论与方法 第四部分 直接搜索的数值解法
二、Powell 法
本节介绍由Powell提出的一种求解无约束最优化问题
(4.1.1)的直接法. 它本质上是以正定二次函数为背景，以共 轭方向为基础的一种方法. 本节分别介绍原始Powell法和Powell法. 补充：共轭方向 设H为一正定对称矩阵，若有一组非零向量S1，S2，……，Sn
满足 量（方向）。 当H为单位矩阵时，有
由梯度法的分析知，此时点X1的梯度必与方向S0垂直，即有
f X S
1 T
0
0
（4-21）
和
f X 1 HX1 B
（4-22）
最优化理论与方法 第四部分 直接搜索的数值解法
从点X1开始沿另一下降方向S1作一维搜索，得 （4-23） X 2 X 1 S1
1
若欲使X2成为极小点，根据极值的必要条件，应有
最优化方法
f x x
t
f x x
f x x f x
t
x f x
（4）
如果令： x
f x f x
f x x f x
t t
f x f x
而牛顿法是建立在二阶近似基础之上的， 这就导致了直接使 是函数 f 并不是一个二次函数， 用牛顿法并不能保证算法的收敛。 牛顿法虽然无法直接使用， 但受此启发人们提出了多种近
似的二阶优化技术。
IV. 拟牛顿法
在牛顿法中存在着计算函数 f x 的二阶导数矩阵 H 的困难，拟牛顿法利用函数的一阶 导数（梯度）来近似递推矩阵 H 。 类似于公式（6） ，函数在 x k 1 附近的二阶泰勒级数展开为：
t
最小。注意到（3）式只是在点 x 附近的一阶近似，当 x 过大时，近似的精度会很差，因 此不能直接寻找增量矢量， 而是应该寻找使得函数值下降最快的方向。 也就是在约束 x 1 的条件下，寻找使得 f x x 最小的增量矢量。找到最速下降的方向之后，再来确定此
t
方向上合适的增量矢量长度。 根据 Cauchy–Schwarz 不等式，两个矢量内积的绝对值小于等于两个矢量长度的乘积， 因此：
f x f x
t
f x
2
f x f x
f x
由此我们知道，当 x 为负的梯度方向时，不等式（ 4 ）中的等号成立，也就是说
f x x 取得最小值。因此，增量矢量的方向为负的梯度方向时，函数值下降得最快。
0
do
1 计算优化方向： d k H k gk ；
控制系统最优化原理
控制系统最优化原理控制系统最优化原理是指通过对控制系统的设计和调节，使其在给定的约束条件下尽可能地实现最佳性能。
最优化原理是控制工程领域的重要理论基础，对不同类型的控制系统都具有普遍的应用价值。
本文将介绍控制系统最优化原理的基本概念和常用方法。
一、最优化原理的基本概念最优化原理主要研究如何通过优化设计和调节控制系统参数达到最佳性能。
在实际应用中，最优性能通常包括以下几个方面的考虑：系统稳定性、快速响应、高精度控制、能耗节约等。
最优化原理的目标是在满足系统性能指标的前提下，尽可能地优化控制系统的工作效果。
二、最优化原理的常用方法1. 直接法：直接法是最常用的最优化方法之一，它通过对控制系统模型进行分析和推导，得到最优动态响应特性。
其中，最常见的直接法包括极大极小法和综合性能指标法。
极大极小法通过最大化系统响应的极小值来实现最优化，而综合性能指标法则通过综合考虑系统性能指标的权重，以优化控制系统。
2. 间接法：间接法是一种通过求解控制系统的优化问题来实现最优化的方法。
其中，最常见的间接法是最优控制理论，它利用变分法和动态规划等数学工具，将系统性能指标定义为一个优化问题，并通过求解该问题来得到最优性能。
3. 迭代法：迭代法是一种通过不断迭代调整控制系统参数，逐步逼近最优解的方法。
其中，最常用的迭代法包括梯度下降法和模拟退火法。
梯度下降法通过计算损失函数的梯度，不断调整参数以减小损失值，从而实现最优化。
而模拟退火法则通过模拟物质在退火过程中的状态变化，通过随机搜索的方式逐步逼近最优解。
三、最优化原理的应用领域1. 工业控制领域：在工业控制领域，最优化原理可以应用于生产过程、能源管理、质量控制等方面。
通过优化控制系统的设计和调节，可以实现生产效率的提升和能源消耗的降低。
2. 自动化领域：在自动化领域，最优化原理可以应用于机器人控制、自动驾驶、智能家居等方面。
通过优化系统的设计和控制算法，可以实现机器人的运动精度提升和智能化的控制。
无约束最优化直接方法和间接方法的异同
无约束最优化直接方法和间接方法的异同一、什么是无约束最优化最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。
其的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
最优化问题分为无约束最优化和约束最优化问题，约束最优化问题是具有辅助函数和形态约束条件的优化问题，而无约束优化问题则没有任何限制条件。
无约束最优化问题实际上是一个多元函数无条件极值问题。
虽然在工程实践中，大多数问题都是具有约束的优化问题，但是优化问题的处理上可以将有约束的优化问题转化为无约束最优化问题，然后按无约束方法进行处理。
或者是将约束优化问题部分转化为无约束优化问题，在远离极值点和约束边界处按无优化约束来处理，在接近极值点或者约束边界时按照约束最优化问题处理。
所以无约束优化问题的解法不仅是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。
无约束最优化方法大致分为两类：一类是使用导数的间接方法，即在计算过程中要用到目标函数的导数；另一类是直接方法，即只要用到目标函数值，不需要计算导数。
这里我们比较这两类方法的异同。
二、无约束最优化方法1. 使用导数的间接方法1.1 最速下降法函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。
将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。
无约束优化问题的数学模型可以表示为：()n R f ∈x x xmin ，我们假设函数()x f 具有一阶连续偏导数。
最优化方法综述范文
最优化方法综述范文最优化方法是一类用于解决数学模型中最优化问题的数值计算方法。
最优化问题是在给定约束条件下，寻找使得目标函数值最小或最大的变量取值。
最优化方法广泛应用于各个领域，如工程、经济学、物理学、统计学等，解决了很多实际问题。
无约束优化问题是指目标函数的最小化或最大化问题，没有约束条件限制变量的取值范围。
无约束优化方法主要包括：直接法、区间收缩法、梯度下降法、共轭梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。
直接法是一种经典的无约束优化方法，其基本思想是在空间中找到使目标函数值下降的方向，并在该方向上更新变量以接近最优解。
直接法简单易用，但效率较低，特别是对于高维问题。
区间收缩法通过收缩范围逐步接近最优解，属于一种全局优化方法。
该方法通过不断缩小范围的方式，在有限次迭代内找到目标函数的最小值。
梯度下降法是一种常见的无约束优化方法，利用目标函数的梯度信息来更新变量，使得目标函数的值不断减小。
梯度下降法有多种变体，如批量梯度下降法、随机梯度下降法和小批量梯度下降法等。
共轭梯度法是一种迭代法，用于解决线性方程组或无约束优化问题。
该方法利用向量的共轭性质，通过一系列迭代步骤逼近最优解。
共轭梯度法通常在求解大规模问题时具有较好的性能。
牛顿法是一种基于二阶导数（Hessian矩阵）的优化方法，它通过利用目标函数的二阶导数信息来更新变量。
牛顿法在目标函数为凸函数且Hessian矩阵正定时能够快速收敛，但在非凸函数或Hessian矩阵不正定时可能出现发散。
拟牛顿法是一类对牛顿法的改进方法，通过近似计算目标函数的Hessian矩阵来避免直接计算和求逆大规模Hessian矩阵的困难。
常见的拟牛顿法有DFP算法、BFGS算法等。
约束优化问题是在给定约束条件下，寻找满足约束条件的使目标函数取得最小值或最大值的变量取值。
约束优化方法主要包括等式约束优化和不等式约束优化。
等式约束优化问题是指目标函数的最小化或最大化问题，满足一定的约束条件，可以通过约束优化方法求解。
无约束最优化直接方法和间接方法的异同
无约束最优化直接方法和间接方法的异同一、什么是无约束最优化最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。
其的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
最优化问题分为无约束最优化和约束最优化问题，约束最优化问题是具有辅助函数和形态约束条件的优化问题，而无约束优化问题则没有任何限制条件。
无约束最优化问题实际上是一个多元函数无条件极值问题。
虽然在工程实践中，大多数问题都是具有约束的优化问题，但是优化问题的处理上可以将有约束的优化问题转化为无约束最优化问题，然后按无约束方法进行处理。
或者是将约束优化问题部分转化为无约束优化问题，在远离极值点和约束边界处按无优化约束来处理，在接近极值点或者约束边界时按照约束最优化问题处理。
所以无约束优化问题的解法不仅是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。
无约束最优化方法大致分为两类：一类是使用导数的间接方法，即在计算过程中要用到目标函数的导数；另一类是直接方法，即只要用到目标函数值，不需要计算导数。
这里我们比较这两类方法的异同。
二、无约束最优化方法1.使用导数的间接方法1.1 最速下降法函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。
将 n 维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。
无约束优化问题的数学模型可以表示为：min f x x R n，我们假设函数xf x 具有一阶连续偏导数。
最优化法
优选法即“最优化理论”及解决方法始于第二次世界大战。
20世纪40年代初期，西方国家出于军事上的需要，提出一些不能用古典的微分法和变分法解决的最优化问题，从而产生了新的数学方法，并已成为应用数学上不可忽视的一个分支。
解决最优化问题的方法分两种：一种是间接最优化（或称解析最优化）方法，另一种是直接最优化（或称试验最优化）方法。
所谓间接最优化方法，就是要求把所研究的对象（如物理或化学过程）用数学方程描述出来，然后再用数学解析方法求出其最优解。
但是在很多情况下，研究对象本身机理不很清楚，无法用标准数学方程描述。
对于这种情形，可以构造一种函数来逼近这些试验数据，然后再从函数求最优解，并通过试验来验证。
然而也有很多实际问题可以不经过中间阶段，而直接通过少量试验，根据试验，结果的比较而迅速求得最优解——这就是“直接最优化方法”。
如爬山法、均分法、来回调试法、平分法、等这些安排科学试验的基本原则，早已应用，只是没有系统整理、提高为理论而已。
自从1953年美国的基弗（Kiefer）提出的分数法和.0618法后，从单因素方法扩展到多因素法、降维法等多种方法，在设计数字滤波器、变压器、微波网络及空间技术中确定最优弹道、空间交汇、拦截时间等方面都有广泛应用。
艾略特在1939年提出的波浪理论已经自觉不自觉地在应用“直接最优化方法”来判断和预测日后的走势。
如“主升浪是初升浪的1.618倍”等，他没有用“间接最优化法”先把初升浪和主升浪的数学方程函数求出来，而是直接求各种可能的结果。
但由于历史条件的限制，即受牛顿绝对时空观的束缚及最优化方法理论还不够完善情况的制约，艾略特只能把时间当常量，单就空间论空间，使得他不得不采用概率理论中的“把所有可能结果组成的集合样本空间”都罗列出来，让应用者自己去取舍。
譬如在经初升浪、主升浪后的收尾阶段——末升浪阶段,只能把末升浪推测为“与初升浪相等、失败或延长浪”。
即把A＝{与初升浪相等}、B＝{是初升浪的失败浪}、C＝{是初升浪的延长浪}三个事件的概率函数P(A)、P（B）、P（C）用语言表示法都罗列了出来了，却没有列出概率函数P(.)的具体计算公式。
最优化问题的求解方法分类
最优化问题的求解方法分类最优化方法不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法，即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。
反之,某些最优化方法可适用于不同类型的模型。
最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法。
①解析法：这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。
求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件，通过必要条件将问题简化，因此也称间接法。
②直接法：当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。
此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。
这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。
对于一维搜索(单变量极值问题)，主要用消去法或多项式插值法；对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。
③数值计算法：这种方法也是一种直接法。
它以梯度法为基础，所以是一种解析与数值计算相结合的方法。
④其他方法：如网络最优化方法等(见网络理论)。
根据函数的解析性质，还可以对各种方法作进一步分类。
例如，如果目标函数和约束条件都是线性的，就形成线性规划。
线性规划有专门的解法，诸如单纯形法、解乘数法、椭球法和卡马卡法等。
当目标或约束中有一非线性函数时,就形成非线性规划。
当目标是二次的,而约束是线性时，则称为二次规划。
二次规划的理论和方法都较成熟。
如果目标函数具有一些函数的平方和的形式，则有专门求解平方和问题的优化方法。
目标函数具有多项式形式时，可形成一类几何规划。
最优解的概念最优化问题的解一般称为最优解。
如果只考察约束集合中某一局部范围内的优劣情况，则解称为局部最优解。
如果是考察整个约束集合中的情况，则解称为总体最优解。
对于不同优化问题，最优解有不同的含意，因而还有专用的名称。
例如，在对策论和数理经济模型中称为平衡解；在控制问题中称为最优控制或极值控制；在多目标决策问题中称为非劣解（又称帕雷托最优解或有效解）。
第一章 第一节 最优化方法
1.2 极值的必要条件 在一元微积分中我们知道，若函数f(x)在点 x0的偏 导数存在且连续，并在该点取得极值时， f ( x0 ) 0 则必有: * T 对n维欧式空间点 x x1 , x2 , xn
的偏导数存在且连续，并在该点取得极值时，则必 有:
f f f 0 x1 x2 xn * 记为f ( x ) 0
n 凸函数：f ( x )为R 中某个凸集K上的函数， 若对任何实数（ 〈 0 〈1 ） 1 2 及K中任何两点x 和x , 都有 1 2 1 2 f x 1 x f x 1 f x
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第一节
基本概念
1.1 数学模型 无约束条件的非线性最优化问题数学模型为： minf(x) 有约束条件的非线性最优化问题数学模型为：
min f ( x ) hi ( x ) 0 g j (x) 0
(1) i 1,2,, m j 1,2,, l (2) (3)
hi x 0 g i x 0
线性规划问题：如果目标函数和约束条件都 是线性的则称这类最优化问题为线性规划问 题，否则称为非线性规划。 研究最优化问题的方法大致分为二种：
一种方法称为间接法：即解析法，就是用 数学解析式表达目标函数和约束条件，然 后用数学的方法求得最优解。
第二种方法称为直接法。优化目标函数无 数学表达式，优化过程不经过中间阶段， 直接通过少量试验，根据结果比较而求得 最优解或近似最优解。此法也可用于求复 杂目标函数的最优解。
T 其中x为n维殴氏空间的点 x x1 , x2 , xn f（x）为目标函数；
hi ( x ) 0 g j ( x) 0
最优化方法,资料
最优化方法结课作业年级数学121班学号201200144209姓名李强1、几种方法比较无拘束优化：不对定义域或值域做任何限制的状况下，求解目标函数的最小值。
这是因为实质应用中，很多情况被抽象为函数形式后均为凸函数，对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，所以只需能求得这种函数的一个最小值点，该点必定为全局最小值。
（直接法：又称数值方法，它只需计算目标函数驻点的函数数值，而不是求其倒数，如坐标轮换法，纯真型法等。
间接法：又称分析法，是应用数学极值理论的分析方法。
第一计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，而后依据梯度及海赛矩阵供给的信息，结构何种算法，进而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速降落法共轭梯度法及变尺度法。
）在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜寻法与信任域法,这两种算法既相像又有所不一样。
依据不一样的线搜寻准则就延长出不一样的线搜寻算法,比如比较常有和经典的最速降落法 ,牛顿法 ,拟牛顿法以及共辄梯度法等。
一维搜寻又称线性搜寻(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础 ,是求解无拘束非线性规划问题的基本方法之一。
一维搜寻技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段 ,固然求解单变量最优化问题相对照较简单,但此中也贯串了求解最优化问题的基本思想。
因为一维搜寻的使用频次较高,所以努力提升求解单变量问题算法的计算效率拥有重要的实质意义。
在多变量函数的最优化中,迭代格式Xk+1=Xk+akdk 其重点就是结构搜寻方向dk 和步长因子 ak设Φ (a)=f(xk+adk)这样从凡出发,沿搜寻方向dk,确立步长因子ak,使Φ (a)<Φ (0)的问题就是对于步长因子 a 的一维搜寻问题。
其主要结构可作以下归纳:第一确立包含问题最优解的搜寻区间，而后采用某种切割技术或插值方法减小这个区间，进行搜寻求解。
一维搜寻往常分为精准的和不精准的两类。
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一、模式搜索法 Hooke & Jeeves(1961)方法计算流程 设目标函数为f(x), xEn.坐标方向
e j (0,...,0,1,0,...,0) , j 1,..., n
T j
给定初始步长,加速因子.任取初始点x(1)作为第1个基点.
x(j) : 第j个基点. y(j) : 沿 ej 探测的出发点。
再从y(2)出发,沿d(2)作探测移动.得y(3) .按此方式探测 下去,直至沿d(n)探测,得到y(n+1) 进行下一轮探测.往复下去,至某一轮沿n个方向的 探测均失败,.第k次迭代的探测结束时,得到的点 记为 x(k+1)= y(n+1)
一、模式搜索法
构造新的搜索方向
设d1 ,..., d n是线性独立单位模向量，且这些向量是 彼此正交的，即diT d j (i j )正交,从当前向量x ( k )开始， 目标函数f 沿每个方向迭代地极小化，导出点x(k 1)， 特别，x(k 1) x(k ) i di , 其中 j 是沿方向d j 移动的距离。
q( j )
再单位化
j 2
d ( j)
q( j ) ( j) q
即可得到下次迭代对应的试探方向。
二、Powell 法 Powell方法 基本Powell方法 基本思想：Powell方法主要由基本搜索、加速搜索和调 整搜索方向三个部分组成。基本搜索包括从基点出发 沿着已知的n个搜索方向进行一维搜索，确定一个新基 点；加速搜索是沿着相邻的两个基点的连线方向进行 一维搜索，使函数下降更快；最后用基点连线方向代 替已知的n个搜索方向之一，构造新的搜索方向组并进 行下一步迭代。 也可以认为： Powell方法是把整个计算过程分成若干 个阶段,每一阶段(一轮迭代)由n+1次一维搜索组成的直 接方法。
y(n+1) : 沿en探测得到的点。
y(j) 表示探测移动方式下，在ej方向上进行探测的起始点； 每一次迭代（ x(j) -> x(j+1) ）都包含一个完整的探测移动处 理： y(1) -> y(n+1)
一、模式搜索法 首先,从y(1) = x(1)出发,进行探测移动. 先沿e1探测: 若f ( y (1) e1 ) f ( y (1) ), 则探测成功, 令
x (1) y (1) y ( 2) y ( 3) x ( 2)
x 2 x 1方向可能有利于函数
值下降，因此下一步沿x 2 x 1
方向进行模式搜索。
O
y (1)
e1
即令
y 1 x 2 ( x 2 x 1 )。
一、模式搜索法
x3 x
x1
2
x6 x x4 x5
一、模式搜索法 Rosenbrock算法(转轴法) 算法每次迭代包括探测阶段和构造搜索方向两部分 探测阶段:从一点出发,依次沿n个单位正交方向进行 探测移动,一轮探测之后,再从第1个方向开始继续探 测.经过若干轮探测移动,完成一个探测阶段. 构造搜索方向：利用探测阶段得到的结果构造一组新 的正交方向,并将其单位化.称之为转轴.下次探测方向按 照最新生成的正交方向进行探测。
y (2) y (1) 1d (1)
令1 : 1 (以备下一轮探测时, 沿d (1)方向增大步长)
若f ( y (1) 1d (1) ) f ( y (1) ), 则探测失败, 令
y (2) y (1)
令1 : 1 (下一轮探测时, 用1乘d (1) ,缩短步长)
O
n 1
e1
依次进行搜索，直到得到点 y
，第一轮探测步结束！
一、模式搜索法
如果 f ( y n1 ) f ( x 1 ) , 则缩小步长 ，仍以 x 1为起点进行新的
e2 轴向搜索。否则，进行模式搜索。
模式搜索：
如果 f ( y n1 ) f ( x 1 ) , 则令 x 2 y n 1 。
e2
y ( 2) x (1) y (1) y ( 3)
y
(2)
y e1
(1)
并从y(2)出发,沿e
2进行探测.
否则,沿e1方向的探测失败, 再沿- e1方向探测 若f ( y (1) e1 ) f ( y (1) ), 则沿-e1探测成功, 令
y (2) y (1) e1 并从y(2)出发,沿e2进行探测.
与Hooke & Jeeves方法的区别
多轮探测；每次迭代采用的探测方向不同；探测步长 取值不同，含有扩大和缩减因子。
一、模式搜索法 Rosenbrock算法流程
给定初始点x (1) , 放大因子 1, 缩减因子 (1,0) 给定初始搜索方向和步长.
设第k次迭代的初始点为x(k) , 搜索方向
d (1) , d (2) ,..., d ( n )
它们是单位正交方向,沿各方向的步长为 探测阶段 令y(1) = x(k) ,开始第1轮探测移动 先从y(1) 出发,沿d(1)探测
1 , 2 ,..., n
每轮探测的起点和终点用y(1) 和y(n+1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 表示.
一、模式搜索法
若f ( y (1) 1d (1) ) f ( y (1) ), 则探测成功, 令
i=1 n
新的一组方向通过Gram - Schmidt正交化得到 :
定义
p (1) , p (2) ,..., p ( n ) 如下
p( j )
d ( j) n (i ) d i i j
当 j =0 当 j 0
一、模式搜索法 将其正交化
( j) p , j =1 ( j ) j 1 q ( i )T p ( j ) ( i ) p q ( i )T q ( i ) d , i 1
一
模式搜索法
直 接 法
三
二
Powell方法
单纯形法
一、模式搜索法 模式搜索法 Hooke & Jeeves(1961)方法
从几何意义上看,寻找具有较小函数值的“山谷”力图
使迭代产生的序列沿“山谷”走向逼近极小点,算法从 初始基点开始,包括两种类型的移动 ----探测移动和模式移动. 探测移动依次沿n个坐标轴进行,用以确定新的基点 和有利于函数值下降的方向. 模式移动沿相邻两个基点连线方向进行.