高考数学 考点04 分段函数试题解读与变式
高考数学复习强化双基系列课件04《函数的定义域与值域》
应用举例 例1．求下列函数的值域
① y4 32xx2 ①配方法[2，4]
② y2x 12x ③ yx 1x2
②换元法：( , 5 ]
4
③三角换元法：[1, 2]
形如：yaxb cxd的函数可令 cxdt(t0)，
则 x t 2 d 转化为关于t的二次函数求值。 c
形 如 含 有 a2 x2 的 结 构 的 函 数 ， 可 用 三 角 换 元 令
x=acosθ求解。
①反函数法或分离常数法：{yy1且yR}
2
例2．求下列函数的值域
① y 1 x 2x 5
②
y
3x x2 4
②判别式法：[
3 4
,
3 4
]
形如：ycxd(a0) 可用反函数法或分离常数法求；
axb
形如：ya1x2b1xc1
a2x2b2xc2
(a1,a2不同时 0)可为 用判别式法求。
⑵问f(x)是否存在最大值和最小值？如果存在， 请把它写出来；如果不存在，说明理由。
四：定义域为R的数学问题 等价于对于一切实数恒成立问题
高考数学考点04分段函数试题解读与变式(2021学年)
20１8版高考数学考点04 分段函数试题解读与变式
编辑整理：
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考点4 分段函数以及应用
一、知识储备汇总与命题规律展望
1.知识储备汇总:
(1)分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数。
（２)分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
(３)分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实,而且横坐标相同之处不可有两个以上的点.
(4）分段函数的求值:先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。
(５)分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称,不对称就不是奇（偶）函数,再由-<０ ,分别代入各段函数式计算)
x>0,x
高中数学核心素养培养的分段函数探究
高中数学核心素养培养的分段函数探究
发布时间：2022-05-13T05:15:15.226Z 来源：《教学与研究》2022年2月3期作者：黄亚河
[导读] 波利亚的解题理论.波利亚认为：中学数学教育的根本目的就是“教会年轻人思考”，这种思考既是有目的的思考，产黄亚河
福建省晋江市子江中学
理论依据1.波利亚的解题理论.波利亚认为：中学数学教育的根本目的就是“教会年轻人思考”，这种思考既是有目的的思考，产生式的思考，也包括形式的和非形式的思维.数学教育中注重培养学生的兴趣、好奇心、毅力、情感体验等非智力品质的重要性.
2.建构主义的数学教育理论.该理论阐述了数学学习什么、学生如何学习数学、教师如何开展数学教学.
关键词:分段函数，函数性质，分类讨论思想。
分段函数就是对于自变量的不同取值范围,有着不同对应法则的函数,它是由几段构成的一个函数,而不是几个函数.因为其形式宽泛,一个分段函数可以同时包含若干个初等函数,有时也以绝对值函数的形式出现,所以以分段函数为载体的问题所涉及的知识面较广,所蕴含的思想方法丰富.因而分段函数已成为高考命题的一个热点，解决分段函数问题的基本思想是“分段归类”，需要综合运用函数性质和图象，有利于提高学生分析问题和解决问题的能力和提升逻辑推理，数学运算和直观想象的核心素养.
高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现,试题难度一般较小.常见的命题角度有如下几个方面:
1.分段函数的求值
分段函数的求值包括两类题型.一是直接求值,不含参数的复合函数求值时,从内向外逐次计算,每次都要注意自变量的取值范围;二是如果分段函数的解析式或求解方程问题中含有参数,可根据条件、方程解出参数后,再解决其他问题.
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解
4 函数的基本性质
一、典型例型解题思维（名师点拨）
知识点1 ()(0)a
f x x a x =+>的单调性
知识点2 二次函数区间求最值
知识点3 已知一半求另一半（奇偶性） 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练
一、典型例型解题思维（名师点拨）
知识点1 ()(0)a
f x x a x
=+>的单调性
例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x
=+. （1）判断()f x 的奇偶性；
（2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】
（1）函数()f x 为奇函数；
（2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x
=+，
则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，
又4
4()()()f x x x f x x x
-=--=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数.
（2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数， 证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <， 有121212
44()()()()f x f x x x x x -=+
-+ 121244
()(
)x x x x =-+-121212
(4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴,
12
1212
(4)0x x x x x x -∴
-<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.
高考数学 第二章 函数概念与基本初等函数 专题4 函数的概念与表示考场高招大全-人教版高三全册数学试
专题4 函数的概念与表示考点7 函数的三要素
考场高招1 两法(直接法、转移法)搞定函数的定义域
1.解读高招
方法解读适合题型典例指引
直接法求给定函数的定义域往往转化
为解不等式(组)的问题,在解不
等式(组)取交集时可借助于数
轴,要特别注意端点值的取舍
已知函数的
具体表达式
典例导引
1(1)
转移法若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则
求出g(x)在(a,b)上的值域即得
f(x)的定义域
已知f(g(x))的
定义域,求f(x)
的定义域
典例导引
1(2)
若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不
等式a<g(x)<b即可求出
y=f(g(x))的定义域
已知f(x)的定
义域,求f(g(x))
的定义域
典例导引
1(3)
2.典例指引
1(1)(2017某某豫北名校联盟模拟)函数f(x)=的定义域为() A.(-1,0)∪(0,1] B.(-1,1]
C.(-4,-1]
D.(-4,0)∪(0,1]
(2)已知函数f(lg x)的定义域是,则函数f的定义域是()
A.[-1,2]
B.[-2,4]
C.
D.
(3)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域为.
【答案】 (1)A(2)B(3)[0,1)
所以-1≤lg x ≤2,即f (x )的定义域为[-1,2].则-1≤≤2, 所以-2≤x ≤4.故函数f 的定义域是[-2,4].
(3)由得0≤x<1,即定义域是[0,1).
3.亲临考场
1.(2016全国甲,文10) 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x
的定义域和值域相同的是( )
高考数学 热点题型和提分秘籍 专题04 函数及其表示 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数
2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题04 函数及其表示 理
（含解析）新人教A 版
【高频考点解读】
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 【热点题型】
题型一 考查函数的定义域 例 1．(1)(函数f (x )＝ 1－2x
＋1
x ＋3
的定义域为( )
A ．(－3,0]
B ．(－3,1]
C ．(－∞，－3)∪(－3,0]
D ．(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)函数y ＝ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1x ＋ 1－x 2
的定义域为________．
【答案】(1)A (2)(0,1] 【解析】
【提分秘籍】
1.函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题角度有：
(1)求给定函数解析式的定义域．
(2)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域． (3)已知定义域确定参数问题． 2.简单函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．
【举一反三】
已知f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，求函数y ＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫x 2
－x －12的定义域．
题型二 考查函数的解析式
2023年高考数学(全国甲卷文科)真题详细解读及评析
2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）
适用省份
四川、广西、贵州、西藏
整I
试卷总评
2023年高考数学全国卷全面考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析
等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥出数学学科在
人才选拔中的重要作用。一、 题型与分值分布
题型：（1）单选题12道，每题5分共60分；（2）填空题4道，每题5分共20分；（3）解答题三
道，每题12分共60分；（4）选做题2道，每题10分。二、 题目难度和复杂度
三、知识点覆盖详细情况说明
难度级别具体试题
总分值整体评价
★ ☆☆☆☆
第1题、第2题、
第4题、第13题、
第15题
25分
整体试卷难度偏 易，整体复杂度
不高，综合知识
点大多都是2个
左右
★ ★☆☆☆第3题、第5题、第6题、第14题、
第17题、第22题、第23题
42分
★ ★★☆☆第7题、第8题、第9题、第10题、第18题、第19题
44分★ ★★★☆
第11题、第20题、第21题
29分
★ ★★★★
第12题、第16题
10分
知识点
题型题目数量总分值整体评价
集合
单选题1个15分复数单选题1个15分平面向量
单选题1个
1
5分
程序框图单选题1个15分
主干知识考查
全而，题目数
量设置均衡；
与课程标准保
持了一致性。
数列
单选题1个
填空题1个
2
10分
三角函数
单选题1个解答题1个
217分
概率与统计
单选题1个解答题1个
2
17分
立体几何
单选题1个填空题1个解答题1个
322分
圆锥曲线
单选题2个解答题1个
322分
函数与导数
单选题2个填空题1个解答题1个
考点04 分段函数典型高考数学试题解读与变式(解析版)
考点4 分段函数以及应用
一、 知识储备汇总与命题规律展望 1.知识储备汇总:
（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.
（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数.
（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题. （7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决. （8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.
（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.
高考数学总复习考点知识专题讲解3---函数及其表示
(2)在A中，由xx＋－11≥≥00，， 可知f(x)的定义域为[1，＋
∞)；由x2－1≥0，可知g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋
∞)． 因为它们的定义域不同，所以A不成立． 在B中，f(x)＝ x2 ＝|x|，其定义域为R；g(x)＝(
x )2＝
x，其定义域为[0，＋∞)．它们的解析式和定义域都不同，
求函数解析式的方法策略
方法 策略
类型
典例指导
由已知条件f[g(x)]＝
配 形如y＝ F(x)，可将F(x)改写成
凑 f[g(x)]的函 关于g(x)的表达式，然 例2－1
法 数解析式 后以x替代g(x)，便得
f(x)的表达式
对于形如y＝f[g(x)]的 函数解析式，可令t＝ g(x)，从中求出x＝ 换 形如y＝ φ(t)，然后代入表达式 元 f[g(x)]的函 求出f(t)，得到关于t的 法 数解析式 解析式，再将t换成x， 得到f(x)的解析式，此 时自变量x的定义域就 是t＝g(x)的值域
解方程 与f1x或f(x) 用g(x)代替两边的所有 组法 与f(－x)的表 x，得到关于f(x)及f[g(x)]
达式
的方程组，解之即可得
出f(x)
例2－4
1．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过 原点，则g(x)的解析式为( B )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
高考数学二轮复习考点知识与解题方法讲解04 指对幂函数
高考数学二轮复习考点知识与解题方法讲解
考点04指对幂函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m
n
＝a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分
数指数幂的意义是a－m
n
＝
1
(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的
负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s；(a r)s＝a rs；(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.
5.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；
高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4课函数的概念及其表示课件
如果按某种对应法则 f，对于集合 如果按某种对应法则 f，对于 A A 中的每一个元素 x，在集合 B 中的每一个元素，在 B 中都有 中都有_唯__一_的____元素 y 和它对应 _唯__一_的____元素与之对应
名称
这样的对应叫作从集合 A 到集合 称对应 f：A→B 为从集合 A 到
B 的一个函数
[规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不 等式(组)求解．
2．(1)若已知 f(x)的定义域为[a，b]，则 f(g(x))的定义域可由 a≤g(x)≤b 求出； (2)若已知 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的 值域．
[(1)(换元法)设 x＋1＝t(t≥1)，则 x＝t
－1，
所以 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以 f(x)＝x2－1(x≥1)．
(配凑法)f( x＋1)＝x＋2 x＝( x＋1)2－1，
又 x＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)在 f(x)＝2f1x· x－1 中，用1x代替 x， 得 f1x＝2f(x)· 1x－1， 由fx＝2f1x· x－1，
(1)(－∞，8] (2)23，＋∞ [(1)当 x<1 时，x－1<0，ex－1<e0＝1≤2， ∴当 x<1 时满足 f(x)≤2. 当 x≥1 时，x ≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8. 综上可知 x∈(－∞，8]． (2)由 f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.当 a<1 时，有 3a－1≥1，∴a≥23，∴23≤a<1. 当 a≥1 时，有 2a≥1，∴a≥0，∴a≥1. 综上，a≥23.
高考中“函数”部分考查要求最新解读与预测
高考中“函数”部分考查要求最新解读与预测
江苏省射阳中学 徐昌富 何拓程
函数是高中数学最主要、最基础的内容，是整个高中数学的主线和骨架，它的思想方法贯穿于教材的始终，因此函数无可争议地奠定了在高中数学中的基石地位.考查基本初等函数及其应用是每年高考重点，研读高考对函数部分的考查要求对即将走上考场的莘莘学子意义重大. 笔者以“函数”部分考查要求的变化为例，分析出高考的新特征，并提出新对策，为高三同学的后期复习指点迷津.
一、课标新变化 考试新要求
（1）.函数部分高考考查的权重
综合近几年全国高考试题,函数问题的考查不但以选择题、填空题的形式，而且几乎每年都有1道解答题，考查内容涉及函数的概念、图象、性质等各个方面，低、中、高档方面难度均有体现，分值约占试卷总分的25%—30%.
(2). 函数部分高考考查的要求
2010年与2009年考试说明相比，没有明显变化，命题指导思想、考试内容和要求也与2009年相同，但是课程标准中的教学与学习要求略有变化（以江苏为例）：
江苏省普通高中数学课程标准教学与学习要求（修订意见）
能力立意，重视知识的发生发展过程，突出理性思维，是高考数学命题的指导思想；而重视知识形成过程中的思想和方法，在知识网络的交汇点处设计问题，则是高考命题的创新主体.面对函数的重要地位及课程标准中的变化,预测对函数的考查形式是稳中求变,求活, 命题趋势还是以“能力立意”为主，意在考查函数性质的应用以及函数与导数、不等式等知识相结合的综合问题,着意遴选出考生分析问题和解决问题的层次，另外，以现实生活为背景材料的应用题也是命题的热点，但总体难度有所降低.
【新教材】新人教A版必修一 考点04 分段函数以及应用 教案
一、知识储备汇总与命题规律展望
1.知识储备汇总:
（1)分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。
（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成，作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实,而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
(4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值,直到求出值为止。
（5）分段函数的奇偶性:先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数,再由x >0，x -〈0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f （x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数。
(6）分段函数的单调性:分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题. （7)分段函数的周期性:对分段函数的周期性问题,利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决。 （8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值,直到求出值为止. （9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值,再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.
高考数学总复习考点知识讲解与练习1 函数的图象与性质
高考数学总复习考点知识讲解与练习
第1讲函数的图象与性质
[考情分析]1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、分段函数、函数的性质及函数的图象等，主要考查求函数的定义域、求分段函数的函数值或分段函数中求参数问题及函数图象的识别，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题．
考点一函数的概念与表示
核心提炼
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
例1(1)已知函数f(x)＝
x
1－2x
，则函数
f(x－1)
x＋1
的定义域为()
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(－∞，－1)∪(－1,1)
答案D
解析令1－2x >0， 即2x <1，即x <0.
∴f (x )的定义域为(－∞，0)．
∴函数f (x －1)x ＋1中，有⎩⎪⎨⎪⎧
x －1<0，
x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1.
故函数f (x －1)
x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．
(2)已知实数a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2＋2a ，x <1，
－x ，x >1，若f (1－a )>f (1＋a )，则实数a 的取值范围
高考数学试题分项版解析 专题04 函数性质与应用 文(含解析)
专题04 函数性质与应用文
考纲解读明方向
分析解读
1.考查函数的单调区间的求法及单调性的应用,如应用单调性求值域、比较大小或证明不等式,运用定义或导数判断或证明函数的单调性等.
2.借助数形结合的思想解题.函数的单调性、周期性、奇偶性的综合性问题是高考热点,应引起足够的重视.
3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中档题.
命题探究练扩展
2018年高考全景展示
1．【2018年全国卷Ⅲ文】下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可。
详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点。故选项B正确.
点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题。
2．【2018年全国卷Ⅲ文】已知函数，，则________．
【答案】
点睛：本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现
和关键，属于中档题。
2017年高考全景展示
1.【2017天津，文6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8
221(log ),(log 4.1),(2)5
a f
b f
c f =-==，
则,,a b c 的大小关系为
（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
，且：0.8
22log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.8
专题04 实际问题中函数应用-高考数学(理)母题题源系列(江苏专版)
【母题原题1】【2017江苏，理19】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器
Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,
11
E G的长
分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将放在容器Ⅰ中,的一端置于点A处,另一端置于侧棱
1
CC上,求没入水中部分的长度；
（2）将放在容器Ⅱ中,的一端置于点E处，另一端置于侧棱
1
GG上，求没入水中部分的长度.
【答案】（1）16（2）20
试题解析：解:（1）由正棱柱的定义，1
CC⊥平面ABCD，所以平面
11
A ACC⊥平面ABCD，
1
CC AC
⊥.
记玻璃棒的另一端落在1
CC上点M处.
因为107,40
AC AM
==，
容器Ⅱ
容器Ⅰ
G
O
H
F
E
D
B
A
O1
H1
1
F1
E
D1C
1
B1
A
(第18题)
所以2240(107)30MC =-=，从而 3sin 4
MAC =∠， 记AM 与水面的焦点为1P ,过1P 作P 1Q 1⊥AC , Q 1为垂足，
则 P 1Q 1⊥平面 ABCD ，故P 1Q 1=12，
从而 AP 1= 1116sin P MAC
Q =∠. 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.
( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)
(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm)
【考点】正余弦定理
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
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考点4 分段函数以及应用
一、 知识储备汇总与命题规律展望 1.知识储备汇总:
（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. （3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.
（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当
x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数.
（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.
（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.
（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.
（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.
（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.
（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.
（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.
2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.
将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.
二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值 1.1考题展示与解读
例1 【2017山东，文9】设()()121,1
x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则
1f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题. 【答案】C
【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想
【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 1.2【典型考题变式】
1.【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧≥+-<<+2
,8220,2x x x x x ，若)2()(+=a f a f ，则)1(a f =
（ ） A.
165 B. 2 C.6 D.2
17
【答案】B
【解析】由2x ≥时()28f x x =-+是减函数可知,若2a ≥,则()()2f a f a ≠+,所以
02a <<,由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++,解得1a =,则
21(1)112f f a ⎛⎫
==+= ⎪⎝⎭
,故选B.
2. 【变式2：改编结论】设()()1
21,1
x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()12f a =,则a = （ ）
B.
41 B. 45 C. 41或4
5
D. 2 【答案】C
【解析】由题意知，⎪⎩⎪⎨
⎧=<<2110a a 或⎪⎩
⎪
⎨⎧=-≥21
)1(21
a a ，解得14a =或45=a ，故选C 3.【变式3：改编问法】已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤2)4(212
0,sin x x x x ，π，则)431(f =
（ ） A
44 .B.82 C.44- D.8
2
- 【答案】D 【解析】由题意知)41(41)41(41)415(21)431(
f f f f -=-===4
sin 41π
-=82-，故选D. 2.分段函数的最值与值域 2.1考题展示与解读
例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a
f x x x a
⎧-≤=⎨->⎩.
①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.
【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想. 【答案】2，(,1)-∞-.
【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力.
【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域，这些值域的并集就是函数的值域. 2.2【典型考题变式】
【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧>+-≤-+a
x ax a x x x ,4,242.
（1）当1-=a 时，求)(x f 的最小值.
（2）若函数)(x f 无最小值，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）-6；（2）),0()3,(+∞⋃-∞.
【解析】（1）当1-=a 时，)(x f =⎩⎨⎧->+-≤-+1
,41,242x x x x x ，当1-≤x 时，)(in x f m =)2(-f =-6，
当1->x 时，3)1()(=->f x f ，所以)(x f 的最小值为-6.
（2）当2-≤a 时，要使)(x f 无最小值，由)(x f 的图象知，4242
2
+->-+a a a ，解得