数学人教A版高中必修2圆的方程优秀导学案

圆的方程

——最值问题（学案）

【学习目标】

1.掌握圆外一点与圆上动点的距离的最值问题的处理方法；

2.掌握圆上一动点到直线的距离的最值问题的处理方法；

3.理解数形结合思想与转化思想是解决最值问题的基本思想。

【学习重点】

1.圆上动点到圆外一点的距离的最值问题；

2.圆上动点到直线的距离的最值问题；

3.切线长最短问题。

【学习难点】

1.培养运用运动变化的观点解决问题的能力；

2.培养转化与化归的数学思想解决问题的能力。

【学习过程】

一．自拟提纲，自主复习

任务一：回顾并默写初中判断直线和圆的位置关系的方法；

任务二：回顾并罗列教材§4.1.1“圆的标准方程”的重要公式和结论；任务三：回顾并罗列教材§4.1.1“圆的标准方程”的重要思想和方法。

二．自主学习，讨论交流

1.讨论题组1：

（1）判断点A（4,2），B（1,1）是否为圆C：(x-3)2+y2=5上的点？

（2）在（1）条件下，求A 、B 两点到原点的距离，它们是圆C 上所有点中到原点距离最近或最远的点吗？如果不是，请找出圆C 上到原点距离最近和最远的点，写出它们的坐标。

（3）已知实数x,y 满足方程(x-3)2+y 2=3，试求22y x 的最大值和最小值。

2.讨论题组2：

（1）求圆C ：(x-1)2+(y-1)2=2的圆心到直线l ：x-y+3=0的距离。

（2）在（1）条件下，分别求圆C 上的点（0,0）和（0,2）到直线l 的距离。它们是圆C 上所有点中到直线l 距离最近或最远的点吗？如果不是，请探讨如何求出圆C 上的点到直线l 距离的最小值和最大值。

（3）已知圆C ：(x-4)2+(y-3)2=1和点A(-1,0)，B(1,0)，点P 在圆C 上，求△PAB 面积的最大值和最小值。

变式练习：

1.若实数x,y 满足(x+2)2+(y-1)2=9，则22y x +的最大值是（ ） A.35+ B.1456+ C.5-3 D.56-14

2.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是（ ）

A. 2

B.21+

C.2

21+ D.221+ 3. 由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y 2=1引切线，试求切线长的最小值。

三．课后思考，能力提升

例题：若x 2+y 2=4，则x-y 的最大值和最小值分别是_______________。

变式1：若(x+2)2+y 2=3，则

x

y 的最大值为____________。

变式2：已知实数x,y 满足(x+2)2+y 2=1，则1

2-y x 的最大值和最小值分别为______。

四．归纳总结，内化巩固

1、解析几何中最值问题的处理通常有两条途径：

（1）利用几何性质求解；

（2）建立函数关系求解。

2、本节课用到的主要数学思想：

（1）数形结合思想；

（2）转化与化归思想。

五．课后练习，拓展知能

1、拓展练习：

（1）已知圆C ：(x-4)2+(y-3)2=1和点A(-1,0)，B(0,1)，点P 在圆C 上，求△PAB 面积的最大值和最小值。

（2）已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一个动点，PA 、PB 是圆C ：x 2+(y-1)2=1的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，求k 的值。

（3）已知圆C ：(x-3)2+(y-4)2=25，a 1,a 2, …，a 11是该圆过点P （3,5）的11条弦的长，若数列a 1,a 2, …，a 11是等差数列，求公差d 的最大值。

2、新知预学：

（1）初中判断直线和圆的位置关系的方法是什么？

（2）能运用方程组思想探究直线与圆的位置关系吗？