每周两练(9)答案

边城高级中学理科数学每周双练【第九期】答案

1、在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知45A = ，4cos 5

B =. （Ⅰ）求sin

C 的值；

（Ⅱ）若10,BC D =为AB 的中点，求AB 、CD 的长. 解（1）在三角形中,54cos =

B ,故B 为锐角∴5

3sin =B 所以10

2

7sin cos cos sin )sin(sin =+=+=B A B A B A C

（2）三角形ABC 中，由正弦定理得A

BC

C AB sin sin =

, ∴14=AB ， 又D 为AB 中点，所以BD=7

在∆BCD 中，由余弦定理得: 37cos 2222=⋅⋅-+=B BD BC BD BC CD ∴37=CD 2、如图所示，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，22CD AB AD ==. （Ⅰ）求证:BC BE ⊥；

（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正切值；

（Ⅲ）在EC 上找一点M ，使得BM ∥平面ADEF ，请确定M 点的位置，并给出证明. 解：（１）由已知：面ADEF ⊥面ABCD ，面ADEF 面ABCD AD =.

DE AD DE ADEF ⊥⊂，面，DE ABCD DE BC ∴⊥∴⊥面. 取CD P

BP ABPD 中点，连结，则四边形

为正方形.

设222CD AB AD a BC BD ====，则可求得，, 22224BD BC CD a BC BD ∴+==∴⊥, , 从而,BC BDE BC BE ⊥∴⊥面.

（2）由(1)可知: BC BDE ⊥面，CEB ∴∠即为

CE 与面BDE 所成的角.

Rt CBE ∆中，BE BC =，

，

tan BC CEB BE ∴∠=

== （3）取EC 中点M ,则BM ∥面ADEF ，证明如下： 连结MB 、MP ，由（1）知BP ∥AD ，

∴BP ∥面ADEF ，EDC 中,△M 、P 分别为EC 、DC 的中点，

MP ∴∥ED ，∴MP ∥面ADEF ，∴面BMP ∥面ADEF ，∴BM ∥面ADEF .

3、已知等比数列{}n a 各项都是正数，12a =，14n

n n a a m +⋅=⋅，*

n N ∈.

（Ⅰ）求数列{

}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求证：

...4⋅<.

解：（1）设{}n a 的公比为q ，由已知11

124

(*)4

n

n n n n n a a m n N a a m ++++⎧⋅=⋅⎪∈⎨⋅=⋅⎪⎩， 两式相除得：

2

1

4n n a a ++=，故24,2q q =∴=，111222n n n n a a q --==

⋅= （2）由（1）知1222,(2)

2n

n

n

n

n n a ===，

1

2

1

21

2

1

2 (2222)

22

......2222n

n n

n +

++⋅=⋅⋅=

设1212...222n n n T =

+++，则231112 (2222)

n n n

T +=+++，两式相减得： 121111111 (12222222)

n n n n n n n

T ++=+++-=--，112222n n n n T -∴=--<，

1212 (2222)

2

24n n

+++∴<=

，即...4⋅.

4、已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且||||OA OF =，AOF △的面积

为1（其中O 为坐标原点）. （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM ，交椭圆于点P .证明：

OM OP ∙

为定值；

解：(1)由已知: 112

b c

bc =⎧⎪⎨=⎪⎩

,222

4b c a b c ∴==+=, ,所以椭圆方程为22142x y +=.

（2）由（1）知，(2,0),(2,0)C D -.由题意可设11:(2),(,)CM y k x P x y =+.

(2,4).MD CD M k ⊥∴ ，

由22

142(2)x y y k x ⎧+

=⎪⎨⎪=+⎩

消去y ，整理得:2222(12)8840k x k x k +++-=, 2222(8)4(12)(84)0k k k ∴=-+->△

22

1122

84242,1212k k x x k k --∴-==

++即. 1124(2)12k

y k x k ∴=+=+,222

244(,).1212k k P k k -∴++点

22222

2444(12)244121212k k k OM OP k k k k -+∴⋅=⋅+⋅==+++ (定值).

综上：OM OP ∙

为定值；

5、设函数2

()ln (),f x x x a a R =+-∈

（Ⅰ）若0a =，求函数()f x 在[1,]e 上的最小值；

（Ⅱ）若函数()f x 在1

[,2]2

存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数()f x 的极值点.

解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1

'()20f x x x

=+>，

()f x ∴在[1,]e 上增函数，当1x =时，()f x 取得最小值(1)1f =， ()f x ∴在[1,]e 上的最小值为1.

（2）21221

'()2()x ax f x x a x x

-+=+-=,设2()221g x x ax =-+.

依题意,在区间1

[,2]2

上存在子区间使得不等式()0g x >成立.

注意到抛物线2()221g x x ax =-+开口向上,所以只要(2)0,g >或1

()02

g >即可.