中考数学压轴题 1.8 因动点产生的线段和差问题

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中考数学压轴题因动点产生的线段和差问题

因动点产生的线段和差问题例1 天津市中考第25题在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．请打开超级画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．思路点拨1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m．2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．满分解答（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．所以AO BOOE OA=．因此242OE=．解得OE＝1．所以E(0,1)．（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为8(,1) 7．图3 图4考点伸展第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′，所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E53当A′、B、E′′三点共线时，''''''A O A OBO E O=．所以247m=．解得87m=．此时8'(,1)7E．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、 B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12滨州24”，拖动点M 在抛物线的对称轴上运动（如图2），可以体验到，当M 落在线段AB 上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时AM ＋OM 最小（如图3）．请打开超级画板文件名“12滨州24”，拖动点M ， M 落在线段AB 上时， AM ＋OM 最小．答案（1）212y x x =-+。

二次函数-因动点产生的线段和差问题经典例题.doc

二次函数-因动点产生的线段和差问题例1、在平面直角坐标系中，已知点J(-2,0), 〃(0,4),点、E 在0B 上,且上OAE= Z OBA.(1) 如图L,求点E 的坐标;(2) 如图2,将△昇加沿/轴向右平移得到ZUF O f ,连结"B 、BE' .① 设曲'=加其中0＜刃＜2,使用含刃的式子表示木用+加S 并求出使才用+3F 彳取得最小值时点用的坐标；② 当彳B+BE'取得最小值时，求点F 的坐标(直接写出结果即可).思路点拨1. 图形在平移的过程中・，对应点的连线平行且相等，EE 1 =AA f =/〃.2. 求彳$的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于/〃的式子.3. 求才B+BE'的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题一一轴对称，两点之间线段最短.满分解答(1) 由 ZOAE=ZOBA, ZAOE=ZBOA,得［\AOEs\BOA.rri ., AO BO m u 2 4所以——=—.因此一=一・OE OA 0E 2解得0E=\.所以00,1).(2) ①如图3,在Rt △才加屮，OB=4, OA 1 =2—刃，所以才仔=16+(2— 〃在 Rt △应F 中，BE=3, EE' =m,所以 BE' 2=^+m ・所以"I^+BE' 2=16+(2-/7?)2 + 9+/W 2=2(/»-1)2+27.图2所以当〃尸1时，A 1Ef 2取得•最小值，最小值为27. 此时点彳是昇0的中点，点F 向右平移了 1个单位，所以E 1(1,1).考点伸展第(2)②题这样解:如图4-,过点〃作y 轴的垂线厶作点E'关于直线1的对称点所以彳 B+BE' =A f R+BE'三点共线时，A r B+BE' f取得最小值，最小值为线段才E'在 Rt △川 O' E f '中，A r O' =2, O f =7,所以川 F '=后. 当才、B 、三点共线时，也=竺1.所以!1 = 1.BO E'O4 7解得m = -.此时£*(-,1). 77当才、B 、E f例2、如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c经过/（一2, —4 ）、0（0, 0）、M2, 0）三点.（1）求抛物线『=ax^+bx+c的解析式；（2）若点〃是该抛物线对称轴上的一点，求加/+〃”的最小值.图1答案(1) y = _討+ z （2）AM+ OM的最小值为4血.例3、如图1,在平面直角坐•标系中，抛物线尸=一#+2/+3与/轴交于爪B 两点、, 与y 轴交于点C 点〃是抛物线的顶点.(1) 求直线的解析式及〃、〃两点的坐标；(2) 点”是*轴上的一个动点，过"作直线〃/力。

2019-2020年中考数学压轴试题复习第一部分专题七因动点产生的线段和差问题

2019-2020年中考数学压轴试题复习第一部分专题七因动点产生的线段和差问题课前导学线段和差的最值问题，常见的有两类：第一类问题是“两点之间，线段最短”．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB 的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．图1 图2 图3 第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短”．如图4，正方形ABCD的边长为4，AE平分∠BAC交BC于E．点P在AE上，点Q在AB 上，那么△BPQ周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE是河流，但是点Q不确定啊．第一步，应用“两点之间，线段最短”．如图5，设点B关于“河流AE”的对称点为F，那么此刻PF＋PQ的最小值是线段FQ．第二步，应用“垂线段最短”．如图6，在点Q运动过程中，FQ的最小值是垂线段FH．这样，因为点B和河流是确定的，所以点F是确定的，于是垂线段FH也是确定的．图4 图5 图6例 50 xx年湖南省郴州市中考第26题已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1, 0)、B(2, 0)、C(0, 2)三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；（3）如图2，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14郴州26”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到CB 的中点的正上方时，四边形ABPC的面积最大．拖动点G运动，可以体验到，当A、G、M三点共线时，GC＋GM最小，△CMG的周长最小．思路点拨1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP，把四边形ABPC的面积分割为三个三角形的面积和．3．第（3）题先用几何说理确定点G的位置，再用代数计算求解点G的坐标．图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(－1, 0)、B(2, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－2)．代入点C(0, 2)，可得a＝－1．所以这条抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．（2）如图3，连结OP．设点P的坐标为(x,－x2＋x＋2)．由于S△AOC＝1，S△POC＝x，S△POB＝－x2＋x＋2，所以S四边形ABPC＝S△AOC＋S△POC＋S△POB＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4．因此当x＝1时，四边形ABPC的面积最大，最大值为4．此时P(1, 2)．（3）第一步，几何说理，确定点G的位置：如图4，在△CMG中，CM为定值，因此当GC＋GM最小时，△CMG的周长最小．由于GA＝GC，因此当GA＋GM最小时，GC＋GM最小．当点G落在AM上时，GA＋GM最小（如图5）．图3 图4 图5 第二步，代数计算，求解点G的坐标：如图6，，cos∠CAO＝，所以，E．如图7，由y＝－x2＋x＋2＝，得M．由A(－1, 0)、M，得直线AM的解析式为．作GH⊥x轴于H．设点G的坐标为．由于tan∠GEH＝tan∠ACO＝，所以，即EH＝2GH．所以．解得．所以G．图6 图7 图8考点伸展第（2）题求四边形ABPC的面积，也可以连结BC（如图8）．因为△ABC的面积是定值，因此当△PCB的面积最大时，四边形ABPC的面积也最大．过点P作x轴的垂线，交CB于F．因为△PCF与△PBF有公共底边PF，高的和等于C、B两点间的水平距离，所以当PF最大时，△PCB的面积最大．设点P(x,－x2＋x＋2)，F(x,－x＋2)，那么PF＝－x2＋2x．当x＝1时，PF最大．此时P(1, 2)．例 51 xx年湖南省湘西州中考第25题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B和点C(－3,－3)均在抛物线上，点F在y轴上，过点作直线l与x轴平行．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）设点D(x, y)是线段BC上的一个动点（点D不与B、C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G，设线段GD的长为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？（3）若点P(m, n)是抛物线上位于第三象限的一个动点，连结PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为S，过点P作PN⊥l，垂足为N，试判断△FNS的形状，并说明理由；（4）若点A(－2, t)在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连结AF，当点M在何位置时，MF＋MA的值最小．请直接写出此时点M的坐标与MF＋MA的最小值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14湘西25”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点D在BC上运动，可以体验到，当点D是BC的中点时，GD最大．点击按钮（3），拖动点P运动，可以体验到，△FNS保持直角三角形的形状．点击按钮（4），拖动点M运动，可以体验到，ME与MF保持相等，当AE是垂线段时，ME＋MA最小．思路点拨1．第（2）题用x表示G、D两点的纵坐标，GD的长就转化为关于x的二次函数．2．第（3）题是典型结论：抛物线上任意一点到直线l的距离等于它与点F间的距离．3．第（4）题要经过两步说理，得到MF＋MA的最小值是点A到l的垂线段长．图文解析（1）因为抛物线的顶点在坐标原点，所以y＝ax2．代入点C(－3,－3)，得．所以抛物线的解析式为．设直线BC的解析式为y＝kx＋b，代入B、C(－3,－3)，得4 2,33 3. k bk b⎧+=-⎪⎨⎪-+=-⎩解得，b＝－2．所以直线BC的解析式为．（2）由于点D、G分别在直线BC和抛物线上，所以D，G．所以h＝GD＝＝．因此当时，h取得最大值，最大值为．（3）如图2，设点为H．设直线PQ的解析式为．联立直线PQ：与抛物线，消去y，得．所以x1·x2＝．它的几何意义是HS·HN＝．又因为HF＝．所以HF2＝HS·HN．所以．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以△FNS是直角三角形．（4）MF＋MA的最小值是，此时点M的坐标是．图2 图3 图4考点伸展第（3）题也可以通过计算得到PF＝PN．同理得到QF＝QS．这样我们就可以根据“等边对等角”及“两直线平行，内错角相等”，得到∠NFC＝90°．应用这个结论，就容易解答第（4）题：如图3，作ME⊥l于E，那么MF＝ME．当ME＋MA的值最小时，MF＋MA的值也最小．当A、M、E三点共线时，ME＋MA的值最小，最小值为AE．而AE的最小值为点A到l的垂线段，即AE⊥l时，AE最小（如图4）．-----如有帮助请下载使用，万分感谢。

挑战中考数学压轴题(全套)

分线上，设这条直线与BC交于点E，与AB交于点F．设AP＝2m．作OM⊥BP于M，那
么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60°，所以BF＝4．在Rt△OFM中，
FM＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30°，所以OM＝
3(m
1)．
3
所以OB2＝BM2＋OM2＝(5
m)21(m
由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．又因为P(x,2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以
2
挑战中考系列(数学)
S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH＝3
(－2x2－6x)＝3(x
3
)2
27．
2
2
4
例2
P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．
思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．
2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心
O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分
线上，同时又在不确定的
BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以
AP为
自变量，求S的函数关系式．图文解析
问题1，为什么设
AP＝2m呢？这是因为线段A以减少一些分数运算．这不影响求
S的最小值．
问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？
如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是
FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m．
x的值；若不
存在，请说明理由；图1
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为
S1、S2，若S＝S1＋

2019届中考数学压轴题精练：因动点产生的线段和差问题(含2019试题-含详解)

图1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“13 天津 25”，拖动点 A′在线段 AO 上运动，可以体验到，当 A′运动到 AO 的中点
时，A′B2＋BE′2 取得最小值．当 A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．
请打开超级画板文件名“13 天津 25”，拖动点 A′在线段 AO 上运动，可以体验到，当 A′运动到 AO 的中点
一点特身尔传过辱加马克也种的锋找悟分己两把这了森竟发钟就理在球迷同道突换张些提面疯断他况干出攻贾和进且埃放伊长方亮握来巴度错始太多阿力脚利守下还须门去拥更曼对不样击比行给是磕倒得班夏快被单逼平各次炸:认刻控国人做姜论要奇正有助纳熟好们会求等奥个本刚想起说续路溜技危席诉场丽如照七大前向验可型里达速防然到斯肯中着所员十反直后忍踢劳暴险都吃预新能必量狂聚简禁插线情强洛索赛王上化经完军维从赫尽才硬解问看图时让吼没算接手似呼滥足态味普惊拉松我取又回毫护架最意德致少迫年宁日排腰罗么状底娥停撞高尼败体落六潮无敢远将定拿留耗明头实鲁激泽告麦当命卫粗退背洞边练景吊周权变候为话亲文切结而7望粘3主配但毕胜感打充封功别皮令牧般雷制成声谁术黑整悉翻引遭蒂那托瓦法全弓已扳喊心飞消题焦区林却规现走表住予死余雨波安舞丹丰据积入盯够虎脑幕战先应再挥获掀开轻诱空迹什怕伦博站压摆之风三名急烧很动鱼冕集作射冲子轰镜继因季受隔第用见紧格谋升塞势怎跑犯转失部输步精招信哪虑果误你惜响仿教识抢生办羞暇奏域弹自斗补常知地气带象酸只事富队欢透运霸布兵号坐间跳节内葡甚束历墙希零伤巨撤支嗅梅缩占星草计位几许亏像并岁优句差领根二台米条产滚库注牙何真老考效贴准冠群0局随决歇丝合吸乎拼容含神原保距亚猛近以热越重觉破萄警依刺刀难渗茨虽段陷挤吉父恩悲秒铲跟五章至非玩糙胆承4火叫1嫦害久臂按穿病机套横范默庆电童确扩离未密存佯华四漏英腩叹限易糊目漂贺倍小双肋迎鸣蒙管科择荡该选堵掉姆援2扑祝系曾调约仍摸啊闪此沉备外仅阶忘友处八散增敲彩爆佛寻攒严扰客若纠乔宠泪萨闻今艳清乐豪纸沛首请眼皇记于数或歌荷任呵抗闷终帅水市匹柱恐驻夸称字悬置相阵者额便赢创价脸挺盖答交工登覆唱早围牌兴宫商质灯烦需匆担迪绪佳讯较服颜付极胸乌麻天白杨捧即霍追包车澡趣连纵使她视媒闹宾评收超扁关花哨折色铁红巾贸智甲颠帮晚漠忙儿恨吧否搁判公票威音烂陆团赴哀爱8键亨嘴口裁掌遁赞享串另抱吹笔美造著签念资9旁显千魁贵孙舒诺牲顾尖黄物磨海觑油丑仰词家女鲜挡业.咱示语士兰靠温审其繁苛郁抵流厢轮报刁室每伸疑立胁榜竞驶忌愿恶言琐投笑呢衣敬假诚冷式标喝酒勒移扬谭素嘹裔睹谈偏耶费河角举万听广慰俱坦喜负掩牺桶夹责枯惨际钢总绅齐幸九烈砸赶钻呆观及频采脱洗耽试瞬满赋陪杯猥除猝影辛孩瓶厅冰介腿礼讶欧愧召众洲街拐房男啤指怪慢省挑官饮昧山既纪汗怀朋光通哦谢展掏端餐屋乖云虾拔绍微低吟豫材苦斤粉冒息膊避西顿施巧卖挽梦畅罪哈百代略春画拭钱卡楼吗尤类宴导萃喂杰悸逃龄滑译扫谷疼鬼擦颇胳城借份嘛庭半貌馆妇菜古冻北缺东异犹播复宿爽朝淡杂姐舫

中考数学压轴题分类解析汇编：由运动产生的线段和差问题

E⎨，解得 ⎨ 2k+n=3 n=1中考数学压轴题分类解析汇编由运动产生的线段和差问题4. （2012 湖北恩施 8 分）如图，已知抛物线 y=﹣x 2+b x +c 与一直线相交于 A （﹣1，0），C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N ．其顶点为 D ．（1）抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2）设点 M （3，m ），求使 MN+MD 的值最小时 m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B ，为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EF ∥BD 交抛物线于点 F ，以 B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．【答案】解：（1）由抛物线 y=﹣x 2+b x +c 过点 A （﹣1，0）及 C （2，3）得，⎧-1 - b+c=0 ⎧b=2⎨，解得 ⎨ ⎩-4+2b+c=3 ⎩c=3。

∴抛物线的函数关系式为 y = -x 2 + 2x + 3 。

设直线 AC 的函数关系式为 y=kx+n ，由直线 AC 过点 A （﹣1，0）及 C （2，3）得⎧-k+n=0 ⎧k=1⎩ ⎩。

∴直线 AC 的函数关系式为 y=x+1。

（2）作 N 点关于直线 x=3 的对称点 N′，令 x=0，得 y=3，即 N （0，3）。

∴N′（6， 3）- 1 -⎩s+t=4⎪⎪5C，∴E ⎪⎪或22⎝2，2⎭⎝2，2⎭⎝由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4得D（1，4）。

设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，则⎧6s+t=3⎨⎧1s=-，解得⎨⎪t=21⎪⎩5。

121∴故直线DN′的函数关系式为y=-x+。

55根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，12118∴m=-⨯3+=。

555∴使MN+MD的值最小时m的值为185。

挑战中考数学压轴题因动点产生的线段和差问题

因动点产生的线段和差问题例 1 2015年福州市中考第26题如图1，抛物线y＝x2－4x与x轴交于O、A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x＋m与抛物线的对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是_________，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是______；（2）若两个三角形的面积满足S△OQP＝13S△P AQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2, 2)的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD＋DQ的最大值；②PD·DQ的最大值．图动感体验请打开几何画板文件名“15福州26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，OH∶AH＝1∶3存在两种情况．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点P在x轴下方的抛物线上运动，观察图像“＋随P”和“×随P”，可以体验到，当点P运动到抛物线的顶点时，点P与点Q重合，此时PD＋QD最大，PD·QD也最大．思路点拨1．第（2）题△OQP与△P AQ是同底三角形，把面积比转化为对应高的比，进而确定线段OA的分点的位置，从而得到直线PQ与y轴的交点坐标．2．第（3）题中，△CQD保持等腰直角三角形的形状．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线x＝2，直线PQ与x轴的夹角为45°．（2）因为△OQP与△P AQ有公共边PQ，所以它们的面积比等于对应高的比．如图2，作OM⊥PQ于M，AN⊥PQ于N．当S△OQP＝13S△P AQ时，13OMAN=．设直线PQ与x轴交于点H，那么13 OH OMAH AN==．由y＝x2－4x＝x(x－4)，得A(4, 0)．所以OA＝4．①如图2，当点H在线段OA上时，OH＝1，H(1, 0)．此时m＝－1．②如图3，当点H在AO的延长线上时，OH＝2，H(－2, 0)．此时m＝2．（3）①如图4，由A(4, 0)、C(2, 2)，得直线AC与x轴的夹角为45°，点C在抛物线的对称轴上．又因为直线PQ 与x 轴的夹角为45°，所以△CDQ 是等腰直角三角形．作点Q 关于直线AC 的对称点Q ′，那么△CQQ ′是等腰直角三角形，CQ ′//x 轴．所以DQ ＝DQ ′．因此PD ＋DQ ＝PD ＋DQ ′＝PQ ′．作PP ′⊥CQ ′，垂足为P ′，那么△PP ′Q ′是等腰直角三角形．因此当PP ′最大时，PQ ′也最大．当点P 运动到抛物线的顶点(2,－4)时，PP ′最大，最大值PP ′＝6．此时PQ ′的最大值为62，即PD ＋DQ 的最大值为62．图2 图3 图4 ②由于PD ＋DQ ≤62PD ＝a ，那么DQ ≤62a ．因此PD ·QD ≤2(62)(32)18a a a =--+．所以当a ＝32PD ·QD 的最大值为18．此时PD ＝DQ ＝32P 、Q 两点重合于抛物线的顶点．考点伸展第（3）①题可以用代数法来解：因为点P 在抛物线y ＝x 2－4x 上，设P (n , n 2－4n )．将P (n , n 2－4n )代入直线y ＝x ＋m ，可得m ＝n 2－5n ．所以直线PQ 可以表示为y ＝x ＋n 2－5n ，那么Q (2, 2＋n 2－5n )．联立直线AC ：y ＝－x ＋4和直线PQ ：y ＝x ＋n 2－5n ，可得2x D ＝4－n 2＋5n ．于是PD ＋DQ 2()2()D P D Q x x x x --2(2)D P Q x x x --222(452)2(2)62n n n n -+--=--+．所以当n ＝2时，PD ＋DQ 的最大值为62n ＝2时点P 在抛物线的顶点．例2 2014年广州市中考第24题已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞32，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜52）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．动感体验请打开几何画板文件名“14广州24”，拖动点C ′左右移动，可以体验到，点B ′、B ′′的位置是确定不动的，这是因为点P 、C 是确定不动的，BB ′、P ′C ′、PC 平行且相等．当点C ′落在线段AB ′′上时，四边形的周长最小．思路点拨1．要探求∠APB 为钝角时点P 的范围，需要先找到∠APB 为直角时点P 的位置． 2．直径的两个端点与圆内一点围成的三角形是钝角三角形．3．求两条线段的和最小，是典型的“牛喝水”问题．本题的四条线段中，有两条的长是定值，把不定的两条线段通过“平行且相等”连接起来，就转化为“牛喝水”问题．满分解答（1）因为抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于A (－1, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a (x ＋1)(x －4)＝ax 2－3ax －4a ．所以－4a ＝－2，b ＝－3a ．所以12a =，32b =-．所以221313252()22228y x x x =--=--。

中考压轴题分类专题二《线段和差的最值问题》

中考压轴题分类专题二——线段和差的最值问题基本题型：一、两线段和的最小值：已知两点A 、B 与直线l ，直线l 上有一动点P ，求PA +PB 的最小值。

求出A 点关于直线l 的对称点/A ，连接B A /交直线l 于点P ，则点P为所求最小值所取的点，()min /PB PA B A +=。

本题可转化为求ABP ∆的周长的最小值。

拓展：已知两点A 、B 与两直线1l 与2l ，动点P 在1l 上，动点Q 在2l 上，求AP +PQ +QB 的最小值。

求出A 点关于直线1l 的对称点/A ，再求出B 点关于直线2l 的对称点/B ，连接//B A 分别交直线1l 于点P、交直线2l 于点Q ，则P 、Q 为所求最小值所取的点，()min //QB PQ AP B A ++=。

本题可转化为求四边形APQB 的周长的最小值。

二、两线段差的最大值：已知两点A 、B 与直线l （AB 与l 不平行且在l 同侧），动点P 在l 上，求maxPBPA -。

连接AB 并延长交直线l 于点P ，则点P 为所求最大值时所取的点，maxPB PA AB -=。

yxOBA/PA所需知识点：一、中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。

拓展：三角形的重心（三中线交点）公式：已知ABC ∆的顶点分别为()()()332211y ,x C ,y ,x B ,y ,x A ，则ABC ∆的重心G 为⎪⎭⎫⎝⎛++++3,3321321y y y x x x 。

二、直线的斜率：直线的斜率是指直线与x 轴正方向所成角α的正切值。

00900<<α时，0t a n >=αk ；0018090<<α时，()0180t a n t a n 0<--==ααk 。

已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2121x x y y k PQ --=。

中考压轴题分类专题讲解8---因动点产生的线段和差问题

图1
思路点拨
1 第 2 题探究平行四边形，按照 AP 为边或者对角线分两种情况讨论
2 第 3 题是典型的“牛喝水”问题，构造点 B 关于“河流”AC 的对称点 B ，那么
M 落在 B D 上时，MB＋MD 最小，△MBD 的周长最小
满分解答
1 由 y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)＝－(x－1)2＋4，
线段 OA 的分点的位置，从而得到直线 PQ 与 y 轴的交点坐标 2 第 3 题中，△CQD 保持等腰直角三角形的形状
满分解答 1 抛物线的对称轴为直线x＝2，直线PQ与x轴的夹角为45 2 因为△OQP与△PAQ有公共边PQ，所以它们的面积比等于对应高的比
1 / 12
如图2，作OM⊥PQ于M，AN⊥PQ于N
当S△OQP＝
1 3
S△PAQ时，
OM AN
=
1 3
设直线PQ与x轴交于点H，那么 OH AH
=
OM AN
=
1 3
由y＝x2－4x＝x(x－4)，得A(4, 0) 所以OA＝4
①如图2，当点H在线段OA上时，OH＝1，H(1, 0) 此时m＝－1
②如图3，当点H在AO的延长线上时，OH＝2，H(－2, 0) 此时m＝2
所以 A B2＋BE 2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27
所以当 m＝1 时，A B2＋BE 2 取得最小值，最小值为 27
此时点 A 是 AO 的中点，点 E 向右平移了 1 个单位，所以 E (1,1)
②如图
4，当
A
B＋BE
取得最小值时，求点
E
的坐标为
(
8 7
,1)
图3
图4

挑战中考数学压轴题100题

挑战中考压轴100题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B(n, 2)，代入8yx=，得n＝4．所以点B的坐标为(4, 2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝22，BC＝42，∠ABC=90°．图2所以S△ABC＝12BA BC⋅＝122422⨯⨯＝8．（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当CE ADCA AC=时，CE＝AD＝22．此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当CE ACCA AD=时，21021022CE=．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图5例2如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1 图2思路点拨1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：①如果BP BABQ BC=，那么510848tt=-．解得t＝1．②如果BP BCBQ BA=，那么588410tt=-．解得3241t=．图3 图4（2）作PD⊥BC，垂足为D．在Rt△BPD中，BP＝5t，cos B＝45，所以BD＝BP cos B＝4t，PD＝3t．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．所以AC CDQC PD=，即68443tt t-=．解得78t=．图5 图6（3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．由于H 是PQ 的中点，HF //PD ，所以F 是QD 的中点．又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ．因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点．所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上．考点伸展本题情景下，如果以PQ 为直径的⊙H 与△ABC 的边相切，求t 的值．如图7，当⊙H 与AB 相切时，QP ⊥AB ，就是BP BC BQ BA =，3241t =．如图8，当⊙H 与BC 相切时，PQ ⊥BC ，就是BP BABQ BC =，t ＝1．如图9，当⊙H 与AC 相切时，直径2222(3)(88)PQ PD QD t t =+=+-，半径等于FC ＝4．所以22(3)(88)8t t +-=．解得12873t =，或t ＝0（如图10，但是与已知0＜t ＜2矛盾）．图7 图 8 图9 图10例3如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．满分解答（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14bb =-．解得843b =±．所以符合题意的点Q 为(1,23+)．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

中考数学压轴题分类解析汇编：由运动产生的线段和差问题

中考数学压轴题分类解析汇编由运动产生的线段和差问题4. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，1b+c=04+2b+c=3--⎧⎨-⎩，解得b=2c=3⎧⎨⎩。

∴抛物线的函数关系式为2y x 2x 3=-++。

设直线AC 的函数关系式为y=kx+n ，由直线AC 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得k+n=02k+n=3-⎧⎨⎩，解得k=1n=1⎧⎨⎩。

∴直线AC 的函数关系式为y=x+1。

（2）作N 点关于直线x=3的对称点N′，令x=0，得y=3，即N （0，3）。

∴N′（6， 3）由()22y x 2x 3=x 1+4=-++--得D （1，4）。

设直线DN′的函数关系式为y=sx+t ，则 6s+t=3s+t=4⎧⎨⎩，解得1s=521t=5⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩。

∴故直线DN′的函数关系式为121y x 55=-+。

根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M （3，m ）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小， ∴12118m 3=555=-⨯+。

∴使MN+MD 的值最小时m 的值为185。

（3）由（1）、（2）得D （1，4），B （1，2），①当BD 为平行四边形对角线时，由B 、C 、D 、N 的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E 与点C 重合，即E （2，3）。

挑战中考数学压轴题(第九版精选)之欧阳道创编

目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题例2 2014年武汉市中考第24题例3 2012年苏州市中考第29题例4 2012年黄冈市中考第25题例5 2010年义乌市中考第24题例6 2009年临沂市中考第26题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2015年重庆市中考第25题例2 2014年长沙市中考第第26题例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题例42012年扬州市中考第27题例5 2012年临沂市中考第26题例62011年盐城市中考第28题1.3 因动点产生的直角三角形问题例12015年上海市虹口区中考模拟第25题例22014年苏州市中考第29题例3 2013年山西省中考第26题例4 2012年广州市中考第24题例5 2012年杭州市中考第22题例6 2011年浙江省中考第23题例7 2010年北京市中考第24题1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 2015年成都市中考第28题例2 2014年陕西省中考第24题例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题例42012年福州市中考第21题例5 2012年烟台市中考第26题例6 2011年上海市中考第24题例7 2011年江西省中考第24题1.5 因动点产生的梯形问题例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第24题例2 2014年上海市金山区中考模拟第24题例3 2012年上海市松江中考模拟第24题例4 2012年衢州市中考第24题例5 2011年义乌市中考第24题1.6 因动点产生的面积问题例1 2015年河南市中考第23题例22014年昆明市中考第23题例3 2013年苏州市中考第29题例4 2012年菏泽市中考第21题例5 2012年河南省中考第23题例62011年南通市中考第28题例72010年广州市中考第25题1.7因动点产生的相切问题例12015年上海市闵行区中考模拟第24题例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题1.8因动点产生的线段和差问题例1 2015年福州市中考第26题例22014年广州市中考第24题例3 2013年天津市中考第25题例4 2012年滨州市中考第24题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例12015年呼和浩特市中考第25题例22014年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2013年宁波市中考第26题例4 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例12015年上海市徐汇区中考模拟第25题例2 2014年黄冈市中考第25题例3 2013年菏泽市中考第21题例4 2012年广东省中考第22题例5 2012年河北省中考第26题例6 2011年淮安市中考第28题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例12015年北京市中考第29题例2 2014年福州市中考第22题例3 2013年南京市中考第26题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例12015年杭州市中考第22题例2 2014年安徽省中考第23题例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题第四部分图形的平移翻折与旋转4.1图形的平移例12015年泰安市中考第15题例2 2014年江西省中考第11题4.2图形的翻折例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题例2 2014年上海市中考第18题4.3图形的旋转例12015年扬州市中考第17题例2 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题4.4三角形例12015年上海市长宁区中考模拟第18题例2 2014年泰州市中考第16题4.5四边形例12015年安徽省中考第19题例2 2014年广州市中考第8题4.6圆例12015年兰州市中考第15题例22014年温州市中考第16题4.7函数图像的性质例12015年青岛市中考第8题例2 2014年苏州市中考第18题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入ky，得k＝8．x（2）将点B(n, 2)，代入8y x =，得n ＝4．所以点B 的坐标为(4, 2)．设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B(4,2)，得b ＝－2．所以点C 的坐标为(0,－2)．由A(2, 4)、B(4, 2)、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB ＝22，BC ＝42，∠ABC ＝90°．图2所以S △ABC ＝12BA BC ⋅＝122422⨯⨯＝8．（3）由A(2, 4)、D(0, 2)、C (0,－2)，得AD ＝22，AC ＝210．由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ．所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：①如图3，当CE AD CA AC =时，CE ＝AD ＝22．此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．②如图4，当CE AC CA AD=时，21021022=．解得CE ＝102．此时C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4 考点伸展第（2）题我们在计算△ABC 的面积时，恰好△ABC 是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图5例22014年武汉市中考第24题如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ 的中点H在△ABC的中位线EF上．思路点拨1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．满分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ 与△ABC 相似，存在两种情况：① 如果BP BA BQ BC =，那么510848t t =-．解得t ＝1． ② 如果BP BC BQ BA =，那么588410t t =-．解得3241t =．图3 图4（2）作PD ⊥BC ，垂足为D ．在Rt △BPD 中，BP ＝5t ，cosB ＝45，所以BD ＝BPcosB ＝4t ，PD ＝3t ．当AQ ⊥CP 时，△ACQ ∽△CDP ．所以AC CD QC PD =，即68443t t t -=．解得78t =．图5 图6（3）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为F ，交AB 于E ．由于H 是PQ 的中点，HF//PD ，所以F 是QD 的中点．又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ．因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点．所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上．考点伸展本题情景下，如果以PQ 为直径的⊙H 与△ABC 的边相切，求t 的值．如图7，当⊙H 与AB 相切时，QP ⊥AB ，就是BP BC BQ BA=，3241t =．如图8，当⊙H 与BC 相切时，PQ ⊥BC ，就是BP BA BQ BC =，t ＝1．如图9，当⊙H 与AC 相切时，直径PQ半径等于FC ＝48=．解得12873t =，或t ＝0（如图10，但是与已知0＜t ＜2矛盾）．图7 图 8 图9 图10例3 2012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ′A ＝∠B 的时刻．思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．满分解答（1）B 的坐标为(b, 0)，点C 的坐标为(0, 4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A(1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14b b =-．解得8b =±Q 为(1,2+．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

最新九年级数学中考复习：动点问题综合压轴题含答案

2023年九年级数学中考复习：动点问题综合压轴题1．如图，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，3cos5B=，点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE使得∥DAE＝∥BAC，射线EA交射线CD于点F．设,AFBC x yAC==(1)如图1，当x＝4时，求AF的长；(2)当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；(3)若AC∥AE，求AF的长．2．如图，正方形ABCD的边长为6，点E为射线AB上的动点，连接DE，作点A关于DE的对称点F，连接DF，EF，BF，CF(1)如图，当点落在BD上时，求AE的长；(2)如图，当2AE=时，探索BF与CF的位置关系，并说明理由；(3)在点E从点A出发后，当BCF△为等腰三角形时，直接写出AE的长．3．如图1，将等腰三角形ABC沿着底边AC对折得到∥ADC，∥ABC是锐角，E是BC(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)当AE ∥BC ，∥EAF ＝∥ABC 时，求证：AC 垂直平分EF ；(3)如图2，当∥EAF ＝∥BAC 时，延长BC 交射线AF 于点M ，延长DC 交射线AE 于点N ，连接BD ，MN ，若AB ＝4，sin∥ABD 14=，则当CE ＝时，∥AMN 是等腰三角形．4．如图1，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点E 在AB 边上，1AE =．点F 是直线BC 上的动点．将BEF 沿EF 折叠得到将GEF △．直线GF 与直线BD 的交点为点H ．(1)若点G 落在AD 边上（如图2），连结BG ，请判断BGF 的形状并说明理由； (2)若点F 与点C 重合（如图3），求点G 到直线BC 的距离；(3)在点F 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BHF 是以FH 为腰的等腰三角形？若存在，求CF 的长；若不存在，请说明理由．5．已知，在矩形ABCD 中，BCAB＝m ，F 、G 分别为AB 、DC 边上的动点，连接GF ．（1）如图，当F 为AB 的中点，G 与D 重合时，将∥AFD 沿FD 翻折至∥EFD ，连AE ，BE ．∥若C ，E ，F 三点共线，求m 的值．（2）当F ，G 不与端点重合时，将四边形AFGD 沿FG 翻折至四边形FHPG ，点H 恰好落在BC 上，HP 交CD 于点Q ，连AH ，交GF 干占O ，若m ＝1516，tan∥CGP ＝247，GF ＝752，求CP 的长．6．如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，AD ．动点P 从点A 出发沿折线AB BC -向终点C 运动，在边AB 上以1cm/s 的速度运动；在边BC 的速度运动，过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为()s x，DPQ 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y ．（1）当点P 与点A 重合时，直接写出DQ 的长；（2）当点P 在边BC 上运动时，直接写出BP 的长（用含x 的代数式表示）；（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．7．如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为()3,4-，点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设PMB △的面积为S （0S ≠），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）．（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，M PB ∠与BCO ∠互为余角，并求此时直线OP 的解析式．8．如图，菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点P 是线段BC 上一动点（不与点B 重合），AP 与对角线BD 交于点E ，连接EC ．（1）求证：△ABE ∥ △CBE ；（2）如图∥，若∥ABC ＝60°，BPBE 的长；（3）若AB ＝AC ，如图∥，点P 、N 分别从点B 、C 同时出发，以相同速度沿BC 、CA向终点C 和A 运动，连接AP 和BN 交于点G ，当tan ∥CBN 求BG 与GN 的比值．9．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，15BC =，25AB =．动点P 从点A 出发，以每秒7个单位长度的速度沿折线AC CB -向终点B 运动，当点P 不与ABC 顶点重合时，作135CPQ ∠=︒，交边AB 于点Q ，以CP 、PQ 为边作CPQD ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求AC 的长（2）当点P 在边AC 上时，求点Q 到边AC 的距离（用含t 的代数式表示）（3）当CPQD 的某条对角线与ABC 的直角边垂直时，求CPQD 的面积（4）以点P 为直角顶点作等腰直角三角形EPQ ，使点E 与点C 在PQ 同侧，设EQ 的中点为F ，CPQD 的对称中心为点O ，连结OF ．当//OF PQ 时，直接写出t 的值10．如图，矩形ABCD 中，AB=6，AD=8,点P 是对角线BD 上一动点,PQ∥BD 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得N 点落在射线PD 上，点O 是边CD 上一点，且OD ：BP=3:4.（1）联结DQ ，当DQ 平分∥BDC 时，求PQ 的长；（2）证明：点O 始终在QM 所在直线的左侧；（3）若以O 为圆心，半径长为0.8作∥O,当QM 与∥O 相切时，求BP 的长．11．如图，已知∥ABC 中，∥ABC ＝45°，CD 是边AB 上的高线，E 是AC 上一点，连接BE ，交CD 于点F ．（1）如图1，若∥ABE ＝15°，BC1，求DF 的长；（2）如图2，若BF ＝AC ，过点D 作DG ∥BE 于点G ，求证：BE ＝CE ＋2DG ；（3）如图3，若R 为射线BA 上的一个动点，以BR 为斜边向外作等腰直角∥BRH ，M 为RH 的中点．在（2）的条件下，将∥CEF 绕点C 旋转，得到∥CE ′F ′，E ，F 的对应点分别为E ′，F ′，直线MF ′与直线AB 交于点P ，tan∥ACD ＝13，直接写出当MF ′取最小值时'RMPF 的值．12．（1）问题发现如图1，在Rt ABC 和Rt CDE △中，90,45ACB DCE CAB CDE ∠=∠=︒∠=∠=︒，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ．填空：∥BEAD的值为___________________，∥DBE ∠的度数为__________；（2）类比探究如图2，在Rt ABC 和Rt CDE 中，90,60ACB DCE CAB CDE ∠=∠=︒∠=∠=︒，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ．请判断BEAD的值及DBE ∠的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D 改为直线AB 上一动点，其余条件不变．取线段DE 的中点M ，连接,BM CM ，若2AC =，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是菱形时，则菱形的边长是多少？请直接写出答案．13．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，A α∠=，点D 为射线AC 上一动点，作BDE α∠=，过点B 作BE BD ⊥，交DE 于点E ，（点A ，E 在BD 的两侧）连接CE ．（1）如图1，若45α=︒时，请直接写出线段AD ，CE 的数量关系：（2）如图2，若60α=︒时，（1）中的结论是否成立；如果成立，请说明理由，如果不成立，请写出它们的数量关系，并说明理由：（3）若30α=︒，6AC =，且ABD △为等腰三角形时，请直接写出线段CE 的长．14．如图1，在Rt∥ABC 中，点C 为直角顶点，点D 为AB 上的一点，且AB ＝10．（1）当CD ∥AB 时，求证：BC 2＝AB ·BD ；（2）如图2，当点D 为AB 的中点时，AC ＝8，点E 是边BC 上的动点，连结DE ，作DF ∥DE 交AC 于点F ，连结EF 、CD 交于点G ，当EG ∥FG ＝1∥2时，求线段CE 的长；（3）当∥CAB ＝15°时，点P 是AC 上一点，求12P A ＋PB 的最小值．15．如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝20，cos A ＝4，点D 为AC 边上的动点（点D 不与点A ，C 重合），以D 为顶点作∥BDF ＝∥A ，射线DE 交BC 边于点E ，过点B 作BF ∥BD 交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）求证：△ABD ∥∥CDE ；（2）当DE ∥AB 时（如图2），求AD 的长；（3）点D 在AC 边上运动的过程中，若DF ＝CF ，则CD ＝．16．平行四边形ABCD 中，N 为线段CD 上一动点．（1）如图1，已知90ADC ∠<︒．若DR BN =，求证：四边形DRBN 为平行四边形；（2）如图2，已知60ABC ∠=︒．若BN 为ABC ∠的角平分线，T 为线段BN 上一点，DT 的延长线交线段BC 于点M ，满足：1tan 2BTM ∠=且DN BM =．请认真思考（1）中图形，探究MDAD的值．（3）如图3，平行四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，2AB BC ==，P 在线段BD 上，Q 在线段CD 上，满足：2BP CQ =．直接写出()2QA AP +的最小值为________．17．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝16，cos B ＝45，点P 是边BC上的动点，以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点E 、F （点F 在点E 的右侧），射线CE 与射线BA 交于点G ．（2）联结AP ，当AP //CG 时，求弦EF 的长（3）当∥AGE 是等腰三角形时，求圆C 的半径长．18．（1）在一节数学探究课上，学生们发现了一个规律：如图∥，当四边形ABCD 是矩形时，Rt EMF 的直角顶点M 在BC 边上运动，直角边分别与线段BA 、线段CD 交于E 、F 两点，在点M 运动的过程中，始终存在着EBM MCF ∽.于是又有同学提出了问题，如果将四边形换成三角形时，是否仍存在同样的规律呢？如图∥，在ABC 中，A B ∠=∠，点D 为AB 边上的动点，过点D 作EDF A ∠=∠，交AC 于点E ，交BC 于点F ，请问是否存在两个相似的三角形，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；（2）结合上述规律，解决下列问题：如图∥，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点P 为BC 上一点（不与B 、C 重合），过点P 作PE AB ⊥于点E ，PF BC ⊥交AC 于点F ，若PEF 为等腰三角形，求PC 的长.19．在Rt ABC 中，90BCA A ABC D ∠︒∠∠＝，＜，是AC 边上一点，且DA DB ＝，O 是AB 的中点，CE 是BCD △的中线．()1如图a ，连接OC ，请直接写出OCE ∠和OAC ∠的数量关系：；()2点M 是射线EC 上的一个动点，将射线OM 绕点O 逆时针旋转得射线ON ，MON ADB ON ∠∠＝，与射线CA 交于点N ．∥如图b ，猜想并证明线段OM 和线段ON 之间的数量关系；∥若30BAC BC m ∠︒＝，＝，当15AON ∠︒＝时，请直接写出线段ME 的长度（用含m 的代数式表示）．20．在平面直角坐标系中，线段AB 的两个端点A （0，2），B （1，0），点C 为线段AB 的中点．将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BD ，连结CD ，AD ．点P 是直线BD 上的一个动点．（1）求点D 的坐标和直线BD 的解析式；（2）当∥PCD ＝∥ADC 时，求点P 的坐标；（3）若点Q 是经过点B ，点D 的抛物线y ＝ax 2+bx +2上的一个动点，请你探索：是否存在这样的点Q ，使得以点P 、点Q 、点D 为顶点的三角形与∥ACD 相似．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(2)220425y x x =---（0＜x ＜5）；2．(1)6(2)CF BF ⊥，(3)12+12-3． (3)43或2或454．(1)BGF 是等边三角形 (2)10029 (3)195或2535．（1）∥∥AEB ＝90°；∥m（2）CP． 6．（1）1；（2）)3PB x -；（3）222)3)(34)x x y x x x x ≤≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩7．（1）1522y x =-+；（2）52524S t =-（552t <≤）；（3）1,22t y x ==-或256t =；13y x = 8．（2）125；（3）34 9．（1）20；（2）3MQ t =；（3）36或3600121；（4）2013t =或4t = 10．（1）PQ =3;（3）163BP =． 11．（1（312．（1）1；90︒；（2）90BE DBE AD=∠=︒；（3）2或13．（1）AD CE =；（2）不成立，EC ；（33或14．（2）7541；（3）15．（2）252；（3）14．16．（2（3）17．（1）10；（2）72；（3）18．（1）存在两个相似的三角形，AED BDF ∽；（2）PC 的长为94或10843或2.19．（1）∠∠＝ECO OAC （2）∥＝OM ON ；∥满足条件的EM 的值为m 或12m ． 20．（1）1122y x =-；（2）点P 的坐标为（2，12）或（8，72）；（。

1.8因动点产生的线段和差问题

1.8 因动点产生的线段和差问题例 44 2015年福州市中考第26题如图1，抛物线y＝x2－4x与x轴交于O、A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x＋m与抛物线的对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是_________，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是______；（2）若两个三角形的面积满足S△OQP＝13S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2, 2)的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD＋DQ的最大值；②PD·DQ的最大值．图1例 45 2015年济南市中考第28题抛物线y＝ax2＋bx＋4过点A(1,－1)、B(5,－1)，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连结CB，以CB为边作平行四边形CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内一点，且平行四边形CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过A、B、C三点，AE为直径，点M为ACE上的一动点（不与点A、E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．图1 图2如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD//BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12．（1）如图1，点M是四边形ABCD的边AD上一点，则△BMC的面积为______；（2）如图2，点N是四边形ABCD的边AD上任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 备用图例 47 2015年盐城市中考第26题如图1，把△FEP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上．已知EP＝FP＝4，EF＝BAD＝60°，且AB＞（1）求∠EPF的大小；（2）若AP＝6，求AE＋AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．图1如图1，在平面直角坐标系中，抛物线224233y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A ，抛物线的顶点为D ．（1）填空：点A 的坐标为_________，点B 的坐标为_________，点C 的坐标为_________，点D 的坐标为_________；（2）点P 是线段BC 上的动点（点P 不与B 、C 重合）．① 过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE ＝PC ，求点E 的坐标；② 在①的条件下，点F 是坐标轴上的点，且点F 到EA 和ED 的距离相等，请直接写出线段EF 的长；③ 若点Q 是线段AB 上的动点（点Q 不与A 、B 重合），点R 是线段AC 上的动点（点R 不与A 、C 重合），请直接写出△PQR 周长的最小值．图1 备用图。

中考压轴题分类专题二《线段和差的最值问题》

中考压轴题分类专题二——线段和差的最值问题基本题型：一、两线段和的最小值：已知两点A 、B 与直线l ，直线l 上有一动点P ，求PA +PB 的最小值。

求出A 点关于直线l 的对称点/A ，连接B A /交直线l 于点P ，则点P为所求最小值所取的点，()min /PB PA B A +=。

本题可转化为求ABP ∆的周长的最小值。

拓展：已知两点A 、B 与两直线1l 与2l ，动点P 在1l 上，动点Q 在2l 上，求AP +PQ +QB 的最小值。

本题可转化为求四边形APQB 的周长的最小值。

二、两线段差的最大值：已知两点A 、B 与直线l （AB 与l 不平行且在l 同侧），动点P 在l 上，求maxPBPA -。

连接AB 并延长交直线l 于点P ，则点P 为所求最大值时所取的点，maxPB PA AB -=。

yxOBA/PA所需知识点：一、中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。

拓展：三角形的重心（三中线交点）公式：已知ABC ∆的顶点分别为()()()332211y ,x C ,y ,x B ,y ,x A ，则ABC ∆的重心G 为⎪⎭⎫⎝⎛++++3,3321321y y y x x x 。

二、直线的斜率：直线的斜率是指直线与x 轴正方向所成角α的正切值。

00900<<α时，0t a n >=αk ；0018090<<α时，()0180t a n t a n 0<--==ααk 。

已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2121x x y y k PQ --=。

压轴题

压轴题（1）一、因动点产生线段和最小值问题背景：引水问题架桥问题。

D 。

A。

ClP l E1 C’A’Fl2。

B二、求面积表达式（面积最值）问题解决面积问题的三种思路1、公式法：三角形、特殊四边形等面积公式。

2、割补法：通过“割补”转化为易求图形的和或差（如铅垂线法）3、特殊情况：（1）等积变形（如同底等高平行线法）（2）相似（面积比等于相似比的平方。

例1、如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴，y轴正半轴上。

OA=3，OB=4，D为边OB的中点。

（1）若E为OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若点E、F为边OA上两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

yB CDO A x例2、如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（-3，-4），线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A.(1)直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BC+OC的值最小？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如果点P是抛物线上的一个动点，且在x轴上方，当点P运动到什么位置时，△P AB的面积最大？求出此时点P的坐标和△P AB的最大值。

例3、抛物线322+-=x xy 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧）与y 轴交于点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点。

连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标。

y E CB O A x。

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