2017年春季新版北师大版九年级数学下学期3.3、垂径定理课件2
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北师大版九年级下册第三章垂径定理课件
O.
求证：EC＝DF
A EC
DF
例：如图，已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G，AE⊥CD于E， BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
C
E
A
G B
O
F
D
船能过拱桥吗
2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
挑战自我 做一做
4.如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD 于E， ∠ CEB=45°，DE=6㎝，CE=2 ㎝，求弦AB的长。
A
F
D
OEC
B
5、已知⊙O的半径为5，弦AB=8，
点P为弦AB上的一动点， 则OP的
取值范围是
。
6、已知⊙O的半径为6，OP=4，过
点P作⊙O的弦中，最长为
，
最短为
。
7、已知⊙O的半径为5，弦 AB∥CD， AB=6，CD=8，则 AB和CD之间的距离为 。
劣弧中点的距离为
。
3.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、HG=6
A
H
G
D
EF=10,
N
AH=4， B E M ·
F
C
0
求BE的长.
解：过O作OM⊥BC于M，交AD于N， ∵矩形ABCD ， ∴AD∥BC， ∴ OM⊥ AD ∴ EM=1/2EF=5，HN=1/2HG=3 ∴AN=AH+HN=4+3=7， ∴ BM=7 ∴BE= BM- EM =7-5=2
。
B
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径， 若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
北师大版九年级数学下册教学课件-3-3 垂径定理
P D
B
重合．
想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？
试一试
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.
求证：AP=BP，
⌒⌒ AC =BC,
A⌒D
⌒ =BD.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
D
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD， ∴AP=BP，
从而∠AOD=∠BOD.
例4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),
其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段
弯路的半径.
C
解:连接OC.
E 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
F ●O
OE CD,
D CF 1 CD 1 600 300(m).
∴A⌒D =⌒BD，
⌒ AC
=B⌒C.
∠AOC=∠BOC.
·O
AP
B
C
归纳总结 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
C 推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AP=BP, A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.(结论)
·O
AP
B
D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD.
O. A CED B
5. 如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点 C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为_______．
数学【北师大版】九年级下册：3.3-垂径定理ppt教学课件
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
C
∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
⌒ ， AD ⌒ =BC ⌒ =BD. ⌒ （2）由垂径定理可得AC
E A
·
B D
O
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 C 能，请举出反例.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
D O ·
∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD，
A
P C
B
归纳总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. C 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ⌒ ⌒ ⌒ =⌒ ∴ AP=BP, AC BC,AD =BD.(结论)
数 学 精 品 课 件
北 师 大 版
Байду номын сангаас翼 课件
学练优九年级数学下（BS） 教学课件
第三章
圆
*3.3 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
特别说明： A O ·
圆的两条直径是互相平分的. D
B
垂径定理的本质是: （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
C
∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
⌒ ， AD ⌒ =BC ⌒ =BD. ⌒ （2）由垂径定理可得AC
E A
·
B D
O
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 C 能，请举出反例.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
D O ·
∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD，
A
P C
B
归纳总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. C 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ⌒ ⌒ ⌒ =⌒ ∴ AP=BP, AC BC,AD =BD.(结论)
数 学 精 品 课 件
北 师 大 版
Байду номын сангаас翼 课件
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第三章
圆
*3.3 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
特别说明： A O ·
圆的两条直径是互相平分的. D
B
垂径定理的本质是: （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
北师大版九年级数学下册第三章《垂径定理》优质课课件
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。
∵AB＝8厘米
∴AE＝4厘米
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
讲解
Hale Waihona Puke M如果圆的两条弦互相平 C 行，那么这两条弦所夹 A 的弧相等吗？
D B
.O
已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
N
证∴明MN：⊥作C直D径。M则NA⊥MA⌒＝BB。M∵⌒，ACBM∥＝C⌒DDM，（⌒垂 直平分弦的直径平分弦所对的弦）
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
1、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是 直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等 腰三角形。
连接OA,OB则, OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
C
∵OA=OB，OM=OM， A M└
B
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
●O
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称. D ∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重合当,圆⌒ A沿C着和B⌒直C径重合CD, 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B ∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
垂径定理
定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径,
C
CD⊥AB,
A M└
B
●O
∴AM=BM,
北师大版初中九年级下册数学课件垂径定理PPT模板 (2)
D
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
知识应用
• 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
B
D
C
O
A
知识应用
例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点0是 CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，
且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。
垂径定理
北师大版初中九年级下册数学课件
汇报人：XXX
目录
复习巩固
01.
课堂讨论
03.
新课导入
02.
延伸拓展
04.
复习巩固
问题情境
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古 代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
（2）将圆O沿CD所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？说 一说你理由．
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
C
（2） 线段： AE=BE
O
弧： AC BC, AD BD
通过上面的问题我们就能得到下面的定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． A
·
E B
D
活动三 验证
C E
F
O
D
解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。
∵OE⊥CD
CF 1 CD 1 600 300
2
2
根据勾股定理，得
OC²=CF²+OF² 即 R²=300²+(R-90)². 解这O
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
知识应用
• 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
B
D
C
O
A
知识应用
例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点0是 CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，
且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。
垂径定理
北师大版初中九年级下册数学课件
汇报人：XXX
目录
复习巩固
01.
课堂讨论
03.
新课导入
02.
延伸拓展
04.
复习巩固
问题情境
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古 代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
（2）将圆O沿CD所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？说 一说你理由．
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
C
（2） 线段： AE=BE
O
弧： AC BC, AD BD
通过上面的问题我们就能得到下面的定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． A
·
E B
D
活动三 验证
C E
F
O
D
解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。
∵OE⊥CD
CF 1 CD 1 600 300
2
2
根据勾股定理，得
OC²=CF²+OF² 即 R²=300²+(R-90)². 解这O
北师大版九年级数学下册33垂径定理课件(共29张PPT)
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论
试一试P93 11
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB 过点M.并且AM=BM.
●M ●O
2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是 直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等 腰三角形。
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2021/11/52021/11/5November 5, 2021 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2021年11月2021/11/52021/11/52021/11/511/5/2021 18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/11/52021/11/5
C
A
D
B
O
1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥 拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形 的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米)．
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论
试一试P93 11
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB 过点M.并且AM=BM.
●M ●O
2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是 直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等 腰三角形。
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2021/11/52021/11/5November 5, 2021 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2021年11月2021/11/52021/11/52021/11/511/5/2021 18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/11/52021/11/5
C
A
D
B
O
1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥 拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形 的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米)．
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
3.3垂径定理(课件)九年级数学下册(北师大版)
C
➢特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
C
例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,
点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,
且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
E
●
解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
股定理计算或建立方程.
五、当堂达标检测
1.已知☉O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到
弦AB的距离为( D )
A.8cm
B.5cm
·O
C.9cm
D.12cm
2.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B
的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆
弧所在圆的圆心坐标为（ B ）A.（0，0） B.
六、布置作业
教材习题3.3；
圆心的 直线 .对称中心为 圆心 。
2.在 同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等 ．
一、创设情境，引入新知
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)
O
F
D
三、即学即练，应用知识
1.如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，
OB，下列结论中不一定正确的是( C )
⌒ ⌒
A.AE＝BE
B.AD＝BD
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
2.如图，在☉O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB
➢特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
C
例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,
点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,
且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
E
●
解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
股定理计算或建立方程.
五、当堂达标检测
1.已知☉O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到
弦AB的距离为( D )
A.8cm
B.5cm
·O
C.9cm
D.12cm
2.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B
的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆
弧所在圆的圆心坐标为（ B ）A.（0，0） B.
六、布置作业
教材习题3.3；
圆心的 直线 .对称中心为 圆心 。
2.在 同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等 ．
一、创设情境，引入新知
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)
O
F
D
三、即学即练，应用知识
1.如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，
OB，下列结论中不一定正确的是( C )
⌒ ⌒
A.AE＝BE
B.AD＝BD
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
2.如图，在☉O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB
九年级数学下册(北师大版)课件 3.3 垂径定理
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