传热学第四章-导热问题的数值解法-

3.差分格式的稳定性： 当系数为负值时，k时刻节点温度越高，则下一个(k+1)时刻的温 度却越低，这是不可能的，因为违背了热力学第二定律。此时差 分格式是不稳定的。
两侧均匀加热的无限大平板， 已知其初始温度t0 100 C， 半板厚度 0.03m， 在初始瞬间突然将其置于t 0 C的流体中。 a x 0.01m，取 1。 2 x 其他已知参数为 =40W/ m C ， 1000W/ m 2 C ，
1. 节点离散方程的建立：
(1)内部节点 相邻节点导入控制单元体的热流量= 单元体内能量增量
i-1 i i+1
k) (k ) k) (k ) t i( t i( t i( k 1) t i( k ) 1 ti 1 ti A A cAx x x
整理，得：
x x
100 100 80 64
100 80 84 67.2
60 104 63.2 50.6
148 19.2 91.4 73.1
-109.6 550 220.2 0.9 0.72 -328.9 220 176
3
差分格式的稳定性条件： 各个节点差分方程的各项的系数必须大于等于零。
思考题：
1.节点的概念. 2.向前差分, 先后差分, 中心差分的概念. 3.利用能量守恒定律和傅立叶定律, 推导内点和边界. 点离散方程的基本方法. 4.两个导热系数不同的物体紧紧贴在一起, 不计接触 热阻, 如何推导接触面上节点离散方程. 5.显式差分方程及稳定性判据. 6.显式差分方程和隐式差分方程在求解时的差别.
(k) —第k次迭代得到的最大值 t max
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅
与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。

判断迭代是否收敛的准则：
max ti( k 1) ti( k ) max max
( k 1) (k ) ti ti ti( k )

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— 允许的偏差； 相对偏差 值一般
取103 ~ 106
ti( k 1) ti( k )
(k ) t max
k及k+1表示迭代次数；
代数方程组的求解方法：直接解法和迭代解法
直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法
缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性 问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不 再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应 地不断更新） 迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不 断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。 称迭代计算已经收敛。 迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔 迭代、块迭代、交替方向迭代等 高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最 新值
( k 1) i
t
2a ( k ) a ( k ) ( k ) [1 ]t [t ti 1 ] 2 i 2 i 1 (x) (x)
(2) 边界节点
相邻节点导入控制体的热流量+边界 表面对控制体的传热量=边界单元体
i+1
h, t
内能量增量
k) (k ) ( k 1) (k ) ti( t x t t ( k ) i i A 1 i hA(t ti ) cA x 2

............................................................ 1 ( k 1) ( k 1) (k ) (k ) tn an1t1( k 1) an 2t 2 ...... ann1t n b 1 n ann
从i 3时刻起出现了这样的情况： 某一时刻某点的温度越高，反而使其相继时刻的温度越低，
3 4 例如t03 t1 ，但t04 <t1 。
平板中各点的温度随时间作忽高忽低的波动，且波动幅度越来越大；
t
i
0
1
2
3
4
5
6
7
n
0 1 2
100 100 100 100
100 100 100 80
1 ( k 1) (k ) (k ) a21t1( k 1) a23t3 ...... a2 nt n b2 a22 1 ( k 1) (k ) a31t1( k 1) a32t3 ...... a3nt n b3( k ) a33

( k 1) 3
4-2
边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解
2.节点方程组的求解
写出所有内节点和边界节点的温度差分方程
t1 a11t1 a12t 2 ...... a1n t n b1 t 2 a21t1 a22t 2 ...... a2 n t n b2 .......... .......... .......... .......... .... t n an1t1 an 2t 2 ...... annt n bn
x x 2
整理，得：
t
( k 1) i
t
(k ) i
2a ( k ) ( k ) 2h (k ) ( t t ) [ t t i 1 i i ] 2 2 (x) c(x)
2.节点方程组的求解： 步骤：
1）选择坐标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网
格，并将节点按位置编号。 2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差 分方程，并检查是否符合稳定性条件。 3）从初始条件出发，逐点计算 再逐点计算 2 ,3 ,...... 时刻为止。 时刻各节点的温度，然后 时刻各节点的温度，直到指定
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
(k) (k) (k) t1 、t2 ....tn
t
( k 1) 1
1 (k ) (k ) a12t 2 ...... a1nt n b1( k ) a11



在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
t t
( k 1) 2