中考数学复习知识点专题训练22---圆的基本性质(培优版)

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第一讲培优圆的基本性质

第一讲圆的基本性质一、知识点圆的有关概念：特别注意：长度相等的弧是等弧吗? 圆的基本性质有：1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 • 如果弦长为2r ，圆的半径为R,那么弦心距为d . R 2 r 2.2、垂径定理 ____________________________________ 及其推论.此定理及推论，在证题中很重要，其内容不容易记忆，可这样理解：如果一条直线具备下列条件中的2条，就具备其他3条。

（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧。

3. 圆周角定理及其推论。

其中以下列两个结论应用最为广泛：（1）直径所对的圆周角是直角；（2）同弧所对的圆周角相等。

二、基础训练1. 下列结论正确的是（）A .弦是直径 B.弧是半圆 C .半圆是弧 D.过圆心的线段是直径2、 .给出下列命题（I ）垂直于弦的直线平分弦；（2 ）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3 ）平分弦的直线必过圆心（4 ）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。

其中正确的命题有（）3、下列命题中，真命题是（）B.2C.3D.4AB 是O O 的直径，CD 是弦.若AB = 10cm, CD = 8cm 那么A , B 两CD 的距离之和为（）A. 12cmB. 10cmC.8cmD.6cmB. 2个C. 3个D. 4个4、 A .相等的圆心角所对的弧相等C.度数相等的弧是等弧下列命题中，真命题的个数为①顶点在圆周上的角是圆周角； ③90°的圆周角所对的弦是直径; B.相等的弦所对的弧相等 D .在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等②圆周角的度数等于圆心角度数的一半; ④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，贝U 它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5、直角二角形两直角边长分别为 .3和I ，那么它的外接圆的直径是（A.1 &如图, 点到直线7、如图，在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C, D 两点，AB=10cm, CD=6cm,则AC 的长为()A. 0. 5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm8、如图，点A,D,G,M 在半圆上，四边形 ABOC, DEOF,HMNO 匀为矩形，BC=a,EF=bNH=C, 则下列各式中正确的是()9、如图，CD 为。

第一讲竞赛圆的基本性质培优讲义九年级数学下期

第一讲圆的基本性质一、知识点圆的有关概念：特别注意：长度相等的弧是等弧吗？圆的基本性质有：1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理．如果弦长为2r，圆的半径为R，那么弦心距为d=2、垂径定理及其推论．此定理及推论，在证题中很重，其内容不容易记忆，可这样理解：如果一条直线具备下列条件中的2条，就具备其他3条。

（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧。

3.圆周角定理及其推论。

其中以下列两个结论应用最为广泛：（1）直径所对的圆周角是直角；（2）同弧所对的圆周角相等。

二、基础训练1．下列结论正确的是（ )A．弦是直径B．弧是半圆C．半圆是弧D．过圆心的线段是直径2、.给出下列命题(l )垂直于弦的直线平分弦；(2 )平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(3 )平分弦的直线必过圆心(4 )弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。

其中正确的命题有（)A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3、下列命题中，真命题是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．相等的弦所对的弧相等C．度数相等的弧是等弧D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等4、下列命题中，真命题的个数为（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③900的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个5、l，那么它的外接圆的直径是（ )A.1B.2C.3D.46、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦．若AB = 10cm, CD = 8cm, 那么A , B 两点到直线CD的距离之和为( ) A. 12cmB. 10cmC.8cm D.6cm7、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C, D两点，AB=10cm,CD=6cm, 则AC的长为( )A. 0. 5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm8、如图，点A,D,G,M 在半圆上，四边形ABOC, DEOF,HMNO 均为矩形，BC=a,EF=b, NH=C ，则下列各式中正确的是( )A.a>b>cB.a=b=cC.c>a>bD.b>c>a8题图 9题图9、如图，CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD 于E ，DE =8cm ，CE =2cm ，则AB =______cm ．10、已知，A, B, C 是⊙O 上的三点，∠AOC=1000, 则∠ABC =.11、已知：⊙O 的半径为25cm ，弦AB =40cm ，弦CD =48cm ，AB ∥CD ．则这两条平行弦AB ，CD 之间的距离=．12、在90Rt ABC ACB CD AB ∆∠=⊥中，，，若AC=4，BC=3，以点C 为圆心，r 为半径画圆，使得A 、B 、D 三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，则r 的取值范围是________________.13、如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，BD 平分∠ABC.已知BC=6，AC=8，求CD 的长。

中考数学一轮复习《圆的有关性质》知识要点及专题练习

中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：圆的有关性质（含答案）一、知识要点：1、圆:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

小于半圆的弧叫做劣弧。

大于半圆的弧叫做优弧。

能够重合的两个圆叫做等圆。

在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。

2、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

3、弧、弦、圆心角之间的关系定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

4、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

5、点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r。

性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

二、课标要求：1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系。

2、掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。

中考数学复习之圆的基本性质,考点过关与基础练习题

32.圆的有关性质➢ 知识过关1. 圆有相关概念(1)圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转_____,另一个端点A 所于形成的图形叫做圆，圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于____r 的点的集合.(2)弧、弦、等圆、等弧①弧：圆上任意_____的部分叫做弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧； ①弦：连接圆上任意两点的____叫做弦，经过_____的弦叫做直径. ①等圆：能够_____的两个圆叫做等圆；①等弧：在_____或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 2. 垂径定理及其推论 (1) 对称性：①圆是中心对称图形，其对称中心是圆心 ①圆是轴对称图形，其对称轴是_______. (2) 垂径定理及其推论①垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且平分这条弦所对的______； ①推论：平分弦(非直径)的直径______于弦，并且平分这条弦所对的两条弧.➢ 考点分类考点1 圆心角、弧、弦之间的关系例1如图所示，圆O 通过五边形OABCD 的四个顶点，若D AB=150°，A=65°，D=60°，则的度数为( )A.25°B.40°C.50°D.55°考点2垂径定理及简单应用例2如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB 为0.8m,则排水管内水的深度为_______m.考点3垂径定理与其他知识的综合运用例3如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，点M 是弧CBD 上任意一点，AH ＝2，CH ＝4．（1）求⊙O 的半径r 的长度；（2）求sin ∠CMD ；（3）直线BM 交直线CD 于点E ，直线MH 交⊙O 于点N ，连接BN 交CE 于点F ，求HE •HF 的值．➢ 真题演练1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，连接AO 并延长，交⊙O 于点E ，连接BE ，DE ．若DE ＝3DO ，AB =4√5，则△ODE 的面积为（）A ．4B ．3√2C ．2√5D ．2√62．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 的长的最小值为（）A ．3B ．4C ．6D ．83．在正方形网格中，以格点O 为圆心画圆，使该圆经过格点A ，B ，并在点A ，B 的右侧圆弧上取一点C ，连接AC ，BC ，则sin C 的值为（）A ．√32B ．12C ．1D ．√224．如图，半径为5的⊙A 与y 轴交于点B （0，2）、C （0，10），则点A 的横坐标为（）A ．﹣3B ．3C ．4D ．65．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，CD ⊥AB 于点E ，CD ＝8．点F 是弧BC 上动点，且与点B 、C 不重合，P 是直径AB 上的动点，设m ＝PC +PF ，则m 的取值范围是（）A ．8＜m ≤4√5B ．4√5＜m ≤10C ．8＜m ≤10D ．6＜m ＜106．在⊙O 中内接四边形ABCD ，其中A ，C 为定点，AC ＝8，B 在⊙O 上运动，BD ⊥AC ，过O 作AD 的垂线，垂足为E ，若⊙O 的直径为10，则OE 的最大值接近于（）A ．52B ．5√23C ．4D ．57．如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，B 是AC ̂的中点，∠OBC ＝50°，则∠AOB 等于 °．8．如图，将半径为rcm 的⊙O 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，已知弦AB 的长为4√15cm ，则r ＝ cm ．9．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE ＝1，则AE的长为．10．如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABÊ的中点，CD⊥AB，垂足为D．若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为．11.如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．➢课后练习1．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为BĈ上一点（点P不与点B，C重合），连接AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，CFAP−BP的值始终等于√32．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①对，②错C．①错，②对D．①，②都错2．如图，在半径为5的⊙O 内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，AB ＝8，CD ＝8，垂足为E ．则tan ∠OEA 的值是（）A ．1B ．√63C ．√156D ．2√1593．如图，四边形ABCD 内接于半径为5的⊙O ，AB ＝BC ＝BE ，AB ⊥BE ，则AD 的长为（）A ．5B ．5√2C ．5√3D ．104．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝90°，AB =√2，BC ＝1，则⊙O 的半径为（）A ．√3B ．√52C ．√102D ．√2+125．下列说法正确的是（）A ．同弧或等弧所对的圆心角相等B ．所对圆心角相等的弧是等弧C ．弧长相等的弧一定是等弧D ．平分弦的直径必垂直于弦6．如图，A ，B 为圆O 上的点，且D 为弧AB 的中点，∠ACB ＝120°，DE ⊥BC 于E ，若AC =√3DE ，则BE CE的值为（）A ．3B ．2C ．√33+1D ．√3+17．如图所示，在⊙O 中，BC 是弦，AD 过圆心O ，AD ⊥BC ，E 是⊙O 上一点，F 是AE 延长线上一点，EF ＝AE ．若AD ＝9，BC ＝6，设线段CF 长度的最小值和最大值分别为m 、n ，则mn ＝（）A ．100B ．90C ．80D ．708．如图，A ，B 是⊙O 上的点，∠AOB ＝120°，C 是AB̂的中点，若⊙O 的半径为5，则四边形ACBO 的面积为（）A ．25B ．25√3C ．25√34D ．25√329．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是半圆上的一个三等分点，点D 是AĈ的中点，点P 是直径AB 上一点，若⊙O 的半径为2，则PC +PD 的最小值是．10．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为260cm ，下雨前水面宽为100cm ，一场大雨过后，水面宽为240cm ，则水位上升 cm ．11．如图，在⊙O 中，点C 在弦AB 上，连接OB ，OC ．若OB ＝5，AC ＝1，BC ＝5，则线段OC 的长为．12．如图，以G（0，3）为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最大值为．13．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为．14．如图，射线PE平分∠CPD，O为射线PE上一点，以O为圆心作⊙O，与PD边交于点A、点B，连接OA，且OA∥PC．（1）求证：AP＝AO．（2）若⊙O的半径为10，tan∠OPB=12，求弦AB的长．15．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，OF⊥CD，垂足为F．设已知BE＝5，AE=12OE，OF＝1，求CD的长．➢冲击A+在Rt①ABC中，①BAC=90°，(1)如图1，D、E分别在BC、BA的延长线上，①ADE=2①CAD，求证：DA=DE；(2)如图2，在(1)的条件下，点F在BD上，①AFB=①EFD，求证：①FAD=①FED(3)如图3，若AB=AC，过点C作CN||AB，连接AN，在AN上取一点G，使GA=AC，连接BG交AC于点H，连接CG，试探究CN、CH、GN之间满足的数量关系式，并给出证明；。

初三辅导6《圆的基本性质》的知识点及典型例题

《圆的基本性质》的知识点及典型例题知识框图1、过一点可作个圆。

过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。

过三点可作个圆。

过四点可作个圆。

2、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分垂径定理的逆定理1：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分垂径定理的逆定理2：平分弧的直径3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么都相等。

注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与A B，那么所求的是弧长劣弧相等，优弧与优弧相等。

在题目中，若让你求⌒4.圆周角性质:①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.练习一、填空题：1、如图，在⊙O 中，弦AB ∥OC ，115AOC ∠=︒，则BOC ∠=_________2、如图，在⊙O 中，AB 是直径，15C ∠=︒，则BAD ∠=__________3、如图，点O 是ABC ∆的外心，已知40OAB ∠=︒，则ACB ∠=___________（1题图）（2题图）（3题图）（4题图） 4、如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC=弧BD ，25A ∠=︒，则BOD ∠= ．（5题图）（6题图）（7题图） 5、如图，⊙O 的直径为8，弦CD 垂直平分半径OA ，则弦CD ＝．6、已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB ＝2cm ，P 点为弦AB 上一动点，则线段OP 的范围是．7、如图，在⊙O 中，∠B=50º，∠C=20º，则∠BOC 的=____________8、在半径为5cm 的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm 和8cm ，则这两条弦之间的距离为 9、在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 分别是3和2，则∠BAC 的度数为__________________10、如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm ，水面到管道顶部距离为20cm ，则修理工应准备内直径是_________cm 的管道．．半径为5cm 的圆O中有一点P ，OP=4，则过P 的最短弦长_________，最长弦是__________，二、选择题：12．如图，矩形与⊙O 相交，若AB=4，BC=5，DE=3，则EF 的长为（）A ． 3.5B ． 6.5C ． 7D ． 813、如图，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（）A.2个B.3个C.4个D.5个B OCAO ABCDOABCD BOACDBOACOABPABCON M OFEDC B A1、已知如图,AB 为⊙O 的弦,半径OE 、OF 分别交AB 于点C 、D ，且AC=BD 。

2024年中考数学总复习考点培优训练第六章第一节圆的基本性质

A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
第1题图
第2题图
第一节圆的基本性质
3. 数学文化 (2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，
问广几何？”结合题图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为
25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是( C )
第12题图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ AC2 BC2 ＝10.
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴AE＝CE＝
1 2
AC＝4.
第10题解图
第一节圆的基本性质
∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝
1 2
BC＝3.
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( A )
A. 32° B. 42°
C. 48° D. 52°
6. (2023泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，
∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( A )
A. 25°
B. 30° C. 35° D. 40°
7. (2023巴中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则
第9题图
第一节圆的基本性质
10. (2022广州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8， BC＝6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 AC于点D，连接CD( 保留作图痕迹，不写作法)；
第10题图
第一节圆的基本性质
【作法提示】分别以点A，C为圆心，大于 1 AC为半径画弧，在

中考数学第22讲圆的基本性质考点梳理

第22讲圆的基本性质圆的相关概念及性质圆平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形O 为圆心，记作⊙O 弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧弧AB ，弧BC 弦连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径弦BC ，直径AC半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆/圆周角在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角∠ACB 圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角 ∠AOB 对称性(1)圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线；(2)圆是中心对称图形，对称中心是__圆心__/垂径定理及其推论1. 定理：垂直于弦的直径__平分__弦，并且__平分__弦所对的两条弧，如图，若AB ⊥CD ，则AM ＝BM ＝__12__AB ，AC ︵＝__BC ︵__，AD ︵＝BD ︵.2. 垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径__垂直__弦，并且__平分__弦所对的两条弧．温馨提示：根据圆的对称性，在以下五个结论中：①AC ︵＝BC ︵，②AD ︵＝BD ︵，③AM ＝BM ，④AB ⊥CD ，⑤CD 是直径，只要满足其中两个结论，另外三个结论一定成立，即“知二推三．”弦、弧、圆心角的关系1. 定理：在__同圆或等圆__中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦__相等__．2. 推论：(1)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆心角所对的弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等；(2)弧的度数就是它所对的__圆心角__的度数．圆周角定理及其推论1. 定理内容一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__一半__图形(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； (2)半圆(或直径)所对的圆周角是__90°__；90°的圆周角所对的弦是__直径__．温馨提示：圆周角定理运用在“同圆或等圆”中，一条弦对应两条弧，对应两个互补的圆周角；一条弧对应一个圆心角，对应无数个圆周角．圆内接四边形及其性质1. 概念：四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆的内接四边形．2. 性质(1)圆内接四边形的对角互补，如图，∠A ＋∠BCD ＝180°，∠B ＋∠D ＝__180°__； (2)圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角，如图，∠DCE ＝__∠A__.正多边形与圆设正n 边形的边长为a ，半径为R ，则边心距r ＝R 2－（a2）2；正多边形的周长l ＝na ；面积S ＝12lr ＝12nar ；中心角θ＝360°n .【方法指导】多边形的边长正六边形的边长等于其外接圆的半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的3倍，正方形的边长等于其外接圆半径的2倍．。

九年级数学-培优专题讲义-圆的基本性质

圆的基本性质姓名：上课时间：1.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为______ ,若点P是弧BAD上一动点，则∠BPD大小是否会改变，若不变求出该角，若变化，请说明理由。

2. 如图，B为在⊙O的半径OC上一点（不与点O，C重合），点E在圆上，以OB，BE为边作矩形OBED，延长DO到点A，使OA＝OB，连接AC，则( )A．AC＞DB B．AC＜DBC．AC＝DB D．AC与BD的大小关系不能确定．第1题图第2题图考点一、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点二、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点三、圆周角定理及其推论圆周角定理基础巩固EDAOCB一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

例1：（19年元调）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD第18题图例2：如图，△ABC的顶点在⊙O上，点E，F分别为边AB，AC的中点．（1）求证点A，E，O，F在同一个圆上，并在图中画出该圆的圆心；（2）⊙O的直径MN＝4，点A固定，点B在半圆弧上运动，当点B从点M运动到点N的过程中，请直接写出点E运动路径的长．例3：如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.(1)求证：∠B=∠D；(2)若AB=13，BC﹣AC=7，求CE的长.典型例题NEOABMFEOB例4：在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点．（1）如图1,过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=27°,求∠P的大小；（2）如图2,D为弧AC上一点,且OD经过AC的中点E,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=10°,求∠P的大小．例5：如图，在四边形ABCD中，(1) 若∠BAD+∠BCD=1800，则图中有____ 对相等的角（小于1800）；（2）若∠BAC=∠BDC,且AB=AC ，证明：∠ADB=∠ACB .例6：（19年元调）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆(1) 如图1，求证：AD是⊙O的切线(2) 如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G①求证：AG＝BG②若AD＝2，CD＝3，求FG的长1.在⊙O 中，弦AB 的长为6，圆心O 到AB 的距离为4，则⊙O 的半径为（） A ．10B ．6C ．5D ．42.如图所示，点A ，B 和C 在⊙O 上，已知∠AOB ＝40°，则∠ACB 的度数是（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°3.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点．若∠B ＝110°，则∠ADE 的度数为___________.4．如图，两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，O 1B 的延长线交⊙O 2于点C ，若∠O 1＝35°，则∠O 1O 2C 的度数为 A ．65° B ．70° C ．75° D ．80°．5.如图，在⊙O 中，半径OA ⊥弦BC ，点E 为垂足，点D 在优弧上．（1）若∠AOB=56°，求∠ADC 的度数；（2）若BC=6，AE=1，求⊙O 的半径．6.如图，OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC(1) 求证：∠ACB ＝2∠BAC ；(2) 若AC 平分∠OAB ，求∠AOC 的度数7.如图,⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D. （1）求BC 的长；（2）求弦BD 的长.A BCOAC BO 1O 28.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2。

中考数学专项训练：圆的基本性质(含解析)

一、选择题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ．12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（）． A．3 B．3 C．2 D．3【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ODEBA所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒，所以BCE DAC ∠=∠，在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB 中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒，又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形，所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ，所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥，所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==，所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，所以»AC =．9．（2019·陕西）如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ，若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是（）A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°【分析】连接FB ，得到∠FOB ＝140°，求出∠EFB ，∠OFB 即可．【解答】解：连接FB ．∵∠AOF ＝40°，∴∠FOB ＝180°﹣40°＝140°， ∴∠FEB ＝∠FOB ＝70° ∵EF ＝EB∴∠EFB ＝∠EBF ＝55°， ∵FO ＝BO ，∴∠OFB ＝∠OBF ＝20°， ∴∠EFO ＝∠EBO ，∠EFO ＝∠EFB ﹣∠OFB ＝35°，故选：B ．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2019·威海）如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为A.B. C. D .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP， ∴PF ,AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC 中，CE ＝＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.5．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC BD 分别与⊙O 相切于点D .若AC= BD = 4,∠A =45°，则圆弧CD 的长度为（）A .πB . 2πC . D.4π 【答案】B【解析】连接CO ,DO ,因为AC ,BD分别与⊙O 相切于C ,D ，所以∠ACO =∠DBO =90°, 所以∠AOC =∠A =45°, 所以CO =AC =4，因为AC =BD ,CO =DO ,所以△ACO ≌△BDO ,所以∠DOB =∠AOC =45°，所以∠DOC =180°-∠DOB -∠AOC =180°-45°-45°=90°，»CD=904180π⨯=2π，故选B . 9．（2019·益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是（）A. PA=PBB.∠BPD ＝∠APDC.AB ⊥PDD.AB 平分PD第9题图【答案】D【解析】∵PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，∴PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，故A 、B 正确；∵PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，∴PD ⊥AB ，PD 平分AB ，但AB 不一定平分PD ，故C 正确，D 错误.7．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（»AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40m ，点C 是»AB 的中点，点D 是AB 的中点，且CD ＝10m .则这段弯路所在圆的半径为（） A.25mB.24mC.30mD.60m【答案】A【解析】连接OD ，由垂径定理可知O ，C ，D 在同一条直线上，OC ⊥AB ，设半径为r ，则OC ＝OA ＝r ，AD ＝20，OD ＝OA －CD ＝r －10，在Rt △ADO ，由勾股定理知：r 2＝202＋(r －10)2，解得r ＝25.9．（2019·陇南）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【答案】C【解析】作AB的垂直平分线，交圆与点C，D，设圆心为O，CD与AB交于点E，∵OA，∴AE=，∴2sin2OEAOEOA OA∠===,∴∠AOE=45°，∴∠AOB=90°，∴∠ASB=45°，故选：C．1.（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．2. (2019·聊城)如图,BC是半圆O的直径,D,E是»BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为A.35°B.38°C.40°D.42°【答案】C【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.3.（2019·潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C【解析】连接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=35 EFAF=∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE▪EB，得228164DEBEAE===．∴AB=16+4=20．在Rt△ABC中，sin∠CAB=35 BC AB=∴BC=12．4. （2019·凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（▲）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A. 5.（2019·眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD．垂足是点E，∠CAO=22．5°，OC=6，则CD的长为A．B．．6 D．12【答案】A【解析】∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴OC＝CD=2CE= D.6.（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A）A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm【答案】B【解析】连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4dm,OD=（r-2）dm，由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B.7.(2019·泰安) 如图,△ABC是e O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为A.32 °B.31°C.29°D.61°【答案】A【解析】连接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP与圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选A.二、填空题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ．12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（）． ABCD【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒，所以BCE DAC ∠=∠，在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒，又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形，所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ，所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥，所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==，所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，所以»AC=．12．（2019·威海）ODEBA如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为B.B. C. D .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP， ∴PF ,AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC 中，CE ＝＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.16．（2019·娄底）如图（9），C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，AB＝2，∠ACD ＝30°，则AD ＝_____________．【答案】1．【解析】如图，图9－1，连结AD ，∵由AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，又∵在⊙O 中有∠ACD ＝30°, ∴∠B ＝∠ACD ＝30°，∴112122AD AB ==⨯=． 17．（2019·衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是．【答案】63【解析】如图，作OD ⊥BC 于D ，∵OB ＝6，∠OBD ＝30，∴BD ＝12BC ＝33，∴BC ＝63，故答案为63．13．（2019·安徽）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为 .DCBOA【答案】2【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角三角形即可得到结论．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE=4，∴BC=21CE=2，∵CD ⊥AB ，∠CBA=45°，∴CD=22BC=2，故答案为2．16．（2019·株洲）如图所示，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC ＝65°，连接AD ，则∠BAD ＝度．第16题【答案】20°【解析】如图，连接DO ，因为CO ⊥AB,所以∠COB=90°，∵∠AEC ＝65°，∴∠C=25°，∵OD=OC,∴∠ODC=∠C=25°，△DCO 中，∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∴2∠BAD=∠DOB,∴∠BAD=20°。

2023年中考专题复习：圆形知识点

2023年中考专题复习：圆形知识点1. 圆的基本属性- 定义：圆是由平面上的一点到另一点距离恒定的所有点的集合。

定义：圆是由平面上的一点到另一点距离恒定的所有点的集合。

- 半径：从圆心到圆上任意点的距离都相等，称为圆的半径。

半径：从圆心到圆上任意点的距离都相等，称为圆的半径。

- 直径：穿过圆心并且两端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的两倍等于圆的周长。

直径：穿过圆心并且两端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的两倍等于圆的周长。

- 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的部分圆弧，圆心角等于弧对应的夹角。

弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的部分圆弧，圆心角等于弧对应的夹角。

- 扇形：由圆心、弧和两个弧上的端点组成的图形称为扇形。

扇形：由圆心、弧和两个弧上的端点组成的图形称为扇形。

- 弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。

弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。

2. 圆的计算公式- 周长：圆的周长等于圆的直径乘以π（π≈3.14），即C = πd。

周长：圆的周长等于圆的直径乘以π（π≈3.14），即C = πd。

- 面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr^2。

面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr^2。

3. 圆的相关定理- 圆的内接四边形：四边形内接于一个圆时，对角线互相垂直。

圆的内接四边形：四边形内接于一个圆时，对角线互相垂直。

- 圆的垂直定理：如果一个直径与一条弦相交，那么它一定垂直于该弦。

圆的垂直定理：如果一个直径与一条弦相交，那么它一定垂直于该弦。

- 圆的切线与半径定理：切线与半径的垂直线性交于圆上一点。

圆的切线与半径定理：切线与半径的垂直线性交于圆上一点。

- 同弦定理：圆上的两个弧所对的圆心角相等，则这两个弧相等。

同弦定理：圆上的两个弧所对的圆心角相等，则这两个弧相等。

- 相交弧定理：相交的两个弧所对的圆心角互补。

相交弧定理：相交的两个弧所对的圆心角互补。

4. 圆的应用- 圆的投影：当光线垂直照射在立体表面上时，投影形成的图形通常是圆。

中考数学冲刺总复习第一轮横向基础复习第六单元圆第22课圆的基本性质课件

圆心角、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条
弧、弦之弧或两条弦中一组量相等，那么它们所对
间关系应其余各组量也分别相等.
第六页，共四十一页。
圆周角定理及其推论
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆定理
心角的直角. 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等.
半圆(或直径)所对的圆周角是直角；推论2
90°的圆周角所对的弦是直径.
点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为
．5
第三十五页，共四十一页。
11.（2017·枣阳期末）如图，已知⊙O中，AB为直径(zhíjìng)，
AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段 BC，AD，BD的长．
第三十六页，共四十一页。
解：∵AB是⊙O的直径(zhíjìng)，
推论3 圆内接四边形的对角互补.
第七页，共四十一页。
课前小测
1.（圆心角、弧、弦的关系(guān xì)）如图，在⊙O中，已知
AB CD，则AC与BD的关系是（
）A
A. AC=BD
B. AC＜BD
AC＞BD
D. 不能确定
第八页，共四十一页。
2.（圆周角定理(dìnglǐ)）如图，点A，B，C在⊙O上,∠ACB=35°,
AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC.
（1）求证：AB=AC；
证明(zhèngmíng)：∵ED=EC， ∴∠EDC=∠C， ∵∠EDC=∠B， ∴∠B=∠C，
∴ AB=AC.
第十八页，共四十一页。
（2）若AB=4，BC= 2 3，求CD的长．
解：如图，连接(liánjiē)AE，
∵AB为直径，∴ AE⊥BC，由（1）知AB=AC，

【中考复习】中考考试数学考点辅导：圆的基础性质

【中考复习】中考考试数学考点辅导：圆的基础性质中考复习最忌心浮气躁，急于求成。

指导复习的教师，应给学生一种乐观、镇定、自信的精神面貌。

要扎扎实实地复习，一步一步地前进，下文为大家准备了中考考试数学考点辅导。

⑴垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式: =(L/2r)360=180r=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)④两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的直线)⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。

(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

圆的知识要领不仅常考公式，又是也会直接出一些关于定理的试题。

这篇中考考试数学考点辅导的内容，希望会对各位同学带来很大的帮助。

【中考复习】中考数学复习专练知识考点：圆的有关性质

【中考复习】中考数学复习专练知识考点：圆的有关性质中考数学复习实践知识考点：圈的相关性质纲要求：1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系.命题趋势：2理解圆心角、圆周角和对弧的关系，掌握垂直直径定理和推论中学入学考试主要考查圆的概念和性质，与垂直直径定理有关的计算，与圆有关的角度的性质和应用题的主要类型有选择题和填空题知识梳理一、圆及其对称性的相关概念1.圆的定义（1）圆是由平面上的所有点组成的图形，这些点到某一点的距离等于一个固定长度。

这一点称为__;，固定长度称为_;；(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径.2.圆的相关概念(1)连接圆上任意两点的________叫做弦;（2）在圆上任意两点之间，简称弧(3)________相等的两个圆是等圆.（4）在同一个圆或等圆中，它们可以相互作用。

的弧称为等弧3.圆的对称性（1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，通过圆心的每条直线是其对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;（3）圆是旋转对称的图形：它可以与原始图形在围绕圆心的任何角度重合。

这是圆的旋转不变性二、垂径定理及推论1.垂直直径定理垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧.2.推论1(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.3.推论2圆的两条平行弦所夹的弧________.4.（1）过中心；（2）将弦平分（不是直径）；（3）垂直于弦；（4）将弦的弧线平分；（5）将弦的下弧平分如果一条直线有这五项中的任何两项，它必须有另外三项三、圆心角、弧、弦之间的关系1.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________.2.推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等;(2)两条弧相等;(3)两条弦相等.三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立.四、中心角和周角1.定义顶点的上角称为中心角；角和圆两侧的顶点圆的角度称为圆周角2.性质（1）圆心等于它的度数(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半.（3）圆周角_uu与同一圆弧或等圆弧相对，圆弧______;与同一或等圆中的等圆周角相对(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90的圆周角所对的弦是________.五、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补.。

中考数学总复习课时22圆及其相关性质

内接四边形． (2)性质 ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角)．
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垂径定理及其推论
【例1】(2017呼和浩特)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB
＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为( B )
A．26π
B．13π
C．965π
D．39
10π 5
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【思路点拨】连接OA，根据垂径定理得到AM值，设OM＝5x，DM＝8x，得到 OA＝OD＝13x，根据勾股定理得到OA，于是得到结论．
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1．(2017遵义)如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为____1_4______.
【考查内容】垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质．
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知识点二垂径定理
1．垂径定理：垂直于弦的直径_平__分_____弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 3．垂径定理与推论的延伸：根据圆的对称轴，如图所示，在

数学培优竞赛新方法九年级圆的基本性质

第15讲圆的基本性质知识纵横到顶点等于定长的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印。

圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦，弧，弦心距，圆心角，圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形。

用圆的基本性质解题应注意：1.熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明2.了解弧的特性及中介作用3.善于促成同圆或等圆不同名称等量关系的转化例题求解【例1】在半径为1的圆O 中，弦AC AB ,的长分别为3和2，则BAC 度数为_________（黑龙江省中考题）思路点拨作出辅助线，解直角三角形，注意AC AB ,有不同的位置关系。

【例2】P 是圆O 内一点，圆O 的半径为15，P 点到圆心O 的距离为9，通过P 点，长度是整数的弦的条数是（）（江苏省竞赛题）5A 7B 10C 12D思路点拨过点P 最长的弦为圆O 的直径，最短的弦与OP 垂直（为什么），可求得过点P 点的弦长范围。

【例3】如图，已知点D C B A ,,,顺次在圆O 上，弧AB =弧BD ,AC BM ⊥于M ，求证CM DC AM +=（江苏省竞赛题）思路点拨用截长（截AM ）或补短（延长DC ）证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它。

【例4】如图，o Θ的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦AB CE ⊥，在弧AB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F 、M 。

（1）求COA ∠和FDM ∠的度数；（2）求证：FDM ∆~COM ∆；（3）如图，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在弧EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有FDM ∆~COM ∆?证明你的结论。

（苏州市中考题）思路点拨（1）在C O G Rt ∆中，利用OC OA OG 2121==；（2）证明FDM COM ∠=∠，FMD CMO ∠=∠；（3）利用图的启示思考。

初三数学《圆的有关性质》专题复习

一、圆的有关性质圆的定义：圆可以看作是线段一个端点所绕着另一个端点旋转一周所组成图形；特别指出圆指圆周并不包括圆心。

(弦、半圆、劣弧、优弧、圆心角、圆周角、等弧、同心圆、等圆)1、如图，AB 是半圆Ｏ的直径,点Ｐ从点O 出发,沿OA AB BO --的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ,则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（）圆的对称性（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧2、如图,AB 是⊙O 的弦，OC 是⊙Ｏ的半径，OC ⊥ＡB 于点D（1)若A Ｂ=8ｃm ,OA ＝５ｃm ，那么OD=___＿___＿__cm .(2）若AB =1６ｃm ,ＯD =6cm ，那么CD=_＿_____＿_＿cm ．（3)若O A ＝10cm ,O Ｄ=6ｃm ,那么AB=_________＿c ｍ．(4）若ＡB =１0ｃm ，C Ｄ=2cm ，那么⊙O 的半径是____＿__＿＿_ｃｍ．（5)若半径O Ａ=2，∠ＡOB ＝120°，则弦AB 的长是__＿＿______ (６)若D 是OC 的中点,且ＡB ＝6ｃm,则直径的长是＿______＿__ ３、如图，已知⊙O 的直径ＡB ⊥弦CD 于点Ｅ．下列结论中一定．．正确的是( ) A.AE ＝OE B ．ＣE ＝ＤE C.OE ＝12C ＥD ．∠AOC =60° ４、如图，⊙O 1与坐标轴交于Ａ(１，0）、Ｂ（５，０）两点,点O １5. 则⊙O 1的半径为 . 5、圆O 的半径为13cm,弦AB//CD,AB=1０ｃm,CD=24ｃm 。

求ＡB 与ＣD 间的距离为。

Ａ、17cm B 、７cm C 、１7cm 或7c ｍ D 、无法确定（2）在同圆或等圆中：圆心角、弧、弦之间的关系6、ＡB 是⊙O 的直径，AC 、CD 、D Ｅ、E Ｂ都是⊙Ｏ的弦，且AC=CD=DE=E Ｂ,则∠AOC ＝_________＿°圆周角（1）在同圆中，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。

2022年中考数学复习专题22圆的有关性质

专题22 圆的有关性质☞2年中考【2022年题组】 1．〔2022梧州〕如图，AB 是⊙O 的直径，C ．D 是⊙O 上的两点，分别连接AC 、BC 、CD 、OD ．假设∠DOB=140°，那么∠ACD=〔〕 A ． 20° B ． 30° C ． 40° D ． 70° 【答案】A ．考点：圆周角定理． 2．〔2022河池〕如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，∠BOD=48°，那么∠BAC 的大小是〔〕 A ．60° B ．48° C ．30° D ．24° 【答案】D ．【解析】试题分析：∵直径AB ⊥CD ，∴BC BD ，∴∠BAC=12∠BOD=12×48°=24°．应选D ．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理． 3．〔2022淮安〕如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，假设∠A=70°，那么∠C 的度数是〔〕 A ．100° B ．110° C ．120° D ．130° 【答案】B ．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠A=180°，∴∠A=180°﹣70°=110°．应选B．考点：圆内接四边形的性质．4．〔2022巴中〕如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，那么∠OAB的度数为〔〕A．25°B．50°C．60°D．30°【答案】A．考点：1．圆周角定理；2．平行线的性质．5．〔2022凉山州〕如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，那么∠A的度数为〔〕A．80°B．100°C．110°D．130°【答案】D．【解析】试题分析：连接OC，如下图，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=100°，∵∠1+∠BOC=360°，∴∠1=260°，∵∠A=12∠1，∴∠A=130°．应选D．考点：圆周角定理．6．〔2022遂宁〕如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，那么OC=〔〕A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】B．【解析】试题分析：连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=12AB=12×6=3cm，∵⊙O的半径为5cm，∴=4cm，应选B．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．7．〔2022襄阳〕点O是△ABC的外心，假设∠BOC=80°，那么∠BAC的度数为〔〕A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°【答案】C．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．圆周角定理；3．分类讨论．8．〔2022白银〕△ABC为⊙O的内接三角形，假设∠AOC=160°，那么∠ABC的度数是〔〕A．80°B．160°C．100°D．80°或100°【答案】D．【解析】试题分析：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=12∠AOC=12×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．应选D．考点：圆周角定理．9．〔2022兰州〕如图，经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，那么∠ACB=〔〕A．80°B．90°C．100°D．无法确定【答案】B．考点：1．圆周角定理；2．坐标与图形性质．10．〔2022甘南州〕⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，那么⊙O的半径为〔〕AB．CD．【答案】C．【解析】试题分析：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB，∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3，∴OD=AD﹣OA=2，Rt△OBD中，根据勾股定理，得：．应选C．考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．等腰直角三角形．11．〔2022莆田〕如图，在⊙O中，AB AC=，∠AOB=50°，那么∠ADC的度数是〔〕A．50°B．40°C．30°D．25°【答案】D．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．12．〔2022龙东〕如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，那么弦AB所对的圆周角的度数是〔〕A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°【答案】C．考点：1．圆周角定理；2．含30度角的直角三角形；3．垂径定理；4．分类讨论．13．〔2022南通〕如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC 于点E，AB=6，AD=5，那么AE的长为〔〕A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2【答案】B．【解析】试题分析：如图1，连接BD、CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴，∵弦AD平分∠BAC，∴，∴∠CBD=∠DAB，在△ABD和△BED中，∵∠BAD=∠EBD，∠ADB=∠BDE，∴△ABD∽△BED，∴DE DBDB AD==DE=115，∴AE=AB﹣DE=5﹣115=2.8．应选B．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．综合题．14．〔2022扬州〕如图，假设锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外〔与点C在AB同侧〕，那么以下三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为〔〕A．①②B．②③C．①②③D．①③【答案】D．考点：1．锐角三角函数的增减性；2．圆周角定理．15．〔2022南宁〕如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．假设MN=1，那么△PMN周长的最小值为〔〕A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B ．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．圆周角定理；3．综合题． 16．〔2022雅安〕如下图，MN 是⊙O 的直径，作AB ⊥MN ，垂足为点D ，连接AM ，AN ，点C 为AN 上一点，且AC AM =，连接CM ，交AB 于点E ，交AN 于点F ，现给出以下结论：①AD=BD ；②∠MAN=90°；③AM BM =；④∠ACM+∠ANM=∠MOB ；⑤AE=12MF ．其中正确结论的个数是〔〕A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ．【解析】试题分析：∵MN 是⊙O 的直径，AB ⊥MN ，∴AD=BD ，AM BM =，∠MAN=90°，故①②③正确；∵AC AM =，∴AC AM BM ==，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB ，故④正确；∵∠MAE=∠AME ，∴AE=ME ，∠EAF=∠AFM ，∴AE=EF ，∴AE=12MF ，故⑤正确．正确的结论共5个．应选D ．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理；3．压轴题． 17．〔2022南通〕如图，在⊙O 中，半径OD 垂直于弦AB ，垂足为C ，OD=13cm ，AB=24cm ，那么CD= cm ．【答案】8．考点：1．垂径定理；2．勾股定理． 18．〔2022甘孜州〕如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直平分半径OA ，那么∠ABC 的大小为度．【答案】30．【解析】试题分析：连接OC ，∵弦CD 垂直平分半径OA ，∴OE=12OC ，∴∠OCD=30°，∠AOC=60°，∴∠ABC=30°．故答案为：30．考点：1．垂径定理；2．含30度角的直角三角形；3．圆周角定理． 19．〔2022兰州〕△ABC 的边BC=4cm ，⊙O 是其外接圆，且半径也为4cm ，那么∠A 的度数是．【答案】30°或150°．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．等边三角形的判定与性质；3．圆周角定理；4．分类讨论． 20．〔2022天水〕如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 在格点上，那么∠AED 的正切值为．【答案】1 2．【解析】试题分析：由图可得，∠AED=∠ABC，∵⊙O在边长为1的网格格点上，∴AB=2，AC=1，那么tan∠ABC=ACAB=12，∴tan∠AED=12．故答案为：12．考点：1．圆周角定理；2．锐角三角函数的定义；3．网格型．21．〔2022漳州〕如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，那么∠ACD的度数为．【答案】61°．考点：圆周角定理．22．〔2022长沙〕如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，假设BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，那么OD的长为．【答案】4．【解析】试题分析：∵OD⊥BC，∴BD=CD=12BC=3，∵OB=12AB=5，∴．故答案为：4．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．23．〔2022曲靖〕如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，假设AC=2，那么cosD= ．【答案】1 3．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．24．〔2022包头〕如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，假设⊙O的半径是4，sinB=14，那么线段AC的长为．【答案】2．【解析】试题分析：连结CD，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，∴sinD=sinB=1 4，在Rt△ACD中，∵sinD=ACAD=14，∴AC=14AD=14×8=2．故答案为：2．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．25．〔2022山西省〕如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点．假设∠A=40°，那么∠B= 度．【答案】70°．考点：1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系．26．〔2022陕西省〕如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．假设点M，N分别是AB，BC的中点，那么MN长的最大值是．【答案】．【解析】试题分析：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=12AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，∴AD=，∴MN=12AD=考点：1．三角形中位线定理；2．等腰直角三角形；3．圆周角定理；4．最值问题．27．〔2022青海省〕如图，点O为BC所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，那么∠D= ．【答案】28°．考点：1．圆周角定理；2．等腰三角形的性质．28．〔2022常州〕如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C 为弧BD的中点，那么AC的长是．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．圆心角、弧、弦的关系；4．圆周角定理；5．综合题；6．压轴题．29．〔2022百色〕⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．〔1〕在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D〔保存作图痕迹，不写作法与证明〕；〔2〕如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC 于F．①求证：OD⊥BC；②求EF的长．【答案】〔1〕作图见试题解析；〔2〔2〕①如图2，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAD，∴CD BD=，∵OD过圆心，∴OD⊥CB；②∵AB为直径，∴∠C=90°，∵OD⊥CB，∴∠OFB=90°，∴AC∥OD，∴OF OB AC AB=，，即5410OF =，∴OF=2，∵FD=5﹣2=3，在RT △OFB 中，，∵OD ⊥BC ，∴CF=BF=，∵AC ∥OD ，∴△EFD ∽△ECA ，∴34EF FD CE AC ==，∴37EF CF =，∴EF=37CF=37考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题． 30．〔2022南京〕如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ，且DC=DE ．〔1〕求证：∠A=∠AEB ；〔2〕连接OE ，交CD 于点F ，OE ⊥CD ，求证：△ABE 是等边三角形．【答案】〔1〕证明见试题解析；〔2〕证明见试题解析．考点：1．圆内接四边形的性质；2．等边三角形的判定与性质；3．圆周角定理；4．综合题． 31．〔2022凉山州〕如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点．〔1〕求证：PA•PB=PD•PC ；〔2〕假设PA=454，AB=194，PD=DC+2，求点O 到PC 的距离．【答案】〔1〕证明见试题解析；〔2〕3．【解析】试题分析：〔1〕先连接AD ，BC ，由圆内接四边形的性质可知∠PAD=∠PCB ，∠PDA=∠PBC ，故可得出△PAD ∽△PCB ，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；〔2〕由PA•PB=PD•PC ，求出CD ，根据垂径定理可得点O 到PC 的距离．试题解析：〔1〕连接AD ，BC ，∵四边形ABDC 内接于⊙O ，∴∠PAD=∠PCB ，∠PDA=∠PBC ，∴△PAD ∽△PCB ，∴PA PDPC PB =，∴PA•PB=PC•PD ；〔2〕连接OD ，作OE ⊥DC ，垂足为E ，∵PA=454，AB=194，PD=DC+2，∴PB=16，PC=2DC+2，∵PA•PB=PD•PC ，∴454×16=〔DC+2，第1题，2DC+2〕，解得：DC=8或DC=﹣11〔舍去〕，∴DE=4，∵OD=5，∴OE=3，即点O 到PC 的距离为3．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．圆周角定理；3．综合题． 32．〔2022安徽省〕在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ ．〔1〕如图1，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长度；〔2〕如图2，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值．【答案】〔1；〔2．〔2〕连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，那么OP=12OB=32，∴PQ考点：1．圆周角定理；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．最值问题；5．压轴题．33．〔2022镇江〕【发现】如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上〔如图①〕【思考】如图②，如果∠ACB=∠ADB=a〔a≠90°〕〔点C，D在AB的同侧〕，那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？请证明点D也不在⊙O内．【应用】利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：假设四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．〔1〕作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F〔如图④〕，求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；〔2〕如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，sin∠AED=25，AD=1，求DG的长．【答案】【思考】证明见试题解析；【应用】〔1〕证明见试题解析；〔2．【应用】〔1〕如图2，取CD的中点O，那么点O是RT△ACD的外心，∵∠CAD=∠DEC=90°，∴点E在⊙O上，∴∠ACD=∠AED，∵∠FDA=∠AED，∴∠ACD=∠FDA，∵∠DAC=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°，∴∠FDA+∠ADC=90°，∴OD⊥DF，∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线；〔2〕∵∠BGE=∠BAC，∴点G在过C、A、E三点的圆上，如图3，又∵过C、A、E三点的圆是RT△ACD的外接圆，即⊙O，∴点G在⊙O上，∵CD是直径，∴∠DGC=90°，∵AD∥BC，∴∠ADG=90°，∵∠DAC=90°，∴四边形ACGD是矩形，∴DG=AC，∵sin∠AED=25，∠ACD=∠AED，∴sin∠ACD=25，在RT△ACD中，AD=1，∴ADCD=25，∴CD=52，∴，∴．考点：1．切线的判定；2．圆周角定理；3．圆的综合题；4．压轴题．【2022年题组】1．〔2022·四川省乐山市〕在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径OA的值〔〕A． 3或5 B． 5 C．4或5 D． 4【答案】A．考点：1．垂径定理；2．等腰三角形的性质；3．勾股定理；4．解直角三角形．2．〔2022·嘉兴〕如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，那么AB的长为〔〕A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C．考点：1．勾股定理；2．垂径定理．3．〔2022·凉山〕⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，那么AC的长为〔〕A．B．C．或 D.5或【答案】C．【解析】试题分析：根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=12AB=12×8=4cm，OD=OC=5cm．当C点位置如答图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM3==cm．∴CM=OC+OM=5+3=8cm．∴在Rt△AMC中，AC==．当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm．∴在Rt△AMC中，AC===cm．综上所述，AC的长为或．应选C．考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．分类思想的应用．4．〔2022·呼和浩特〕⊙O的面积为2π，那么其内接正三角形的面积为〔〕A． B．D【答案】C．5．〔2022·张家界〕如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN 于E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，，那么PA+PC的最小值为．【答案】考点：1．轴对称的应用〔最短路线问题〕；2．勾股定理；3．垂径定理．6．〔2022·黑龙江省大庆市〕在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，那么四边形ABCD的面积为．【答案】2．【解析】试题分析：如图．∵M为AC中点，过M点最长的弦为BD，∴BD是直径，BD=4，且AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积=12AC•BD=12×1×4=2．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．7．〔2022·湖南省湘西州〕如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，那么OE=cm．【答案】4．【解析】试题分析：∵CD⊥AB，∴CE=12CD=12×6=3cm，∵在Rt△OCE中，OE=2222534OC CE-=-=cm．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．8．〔2022·湖南常德市〕如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，假设AB=10，CD=8，那么圆心O到弦CD的距离为．【答案】3．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．9．〔2022·湖南长沙市〕如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，那么∠ACB=度．【答案】50．【解析】试题分析：∠ACB=12∠AOB=12×100°=50°．考点：圆周角定理．10．〔2022·牡丹江〕⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，那么AD的长为．【答案】1或3．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．☞考点归纳归纳1：垂径定理及其推论根底知识归纳：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论1：〔1〕平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．〔2〕弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．〔3〕平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．根本方法归纳：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．注意问题归纳：这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【例1】如图，⊙O的半径为13，弦AB长为24，那么点O到AB的距离是〔〕A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．归纳2：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理根底知识归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根本方法归纳：正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二〞，一项相等，其余二项皆相等．注意问题归纳：这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，那么∠C的度数为〔〕A． 30°B． 40°C． 50°D． 80°【答案】B．考点：圆心角、弧、弦的关系．归纳3：圆周角定理根底知识归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．根本方法归纳：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种根本技能技巧一定要掌握．注意问题归纳：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁〞---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的〞两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．【例3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，假设∠DAB=65°，那么∠BOC=〔〕A．25°B．50° C.130° D.155°【答案】C．【解析】试题分析：∵CD⊥AB，∠DAB=65°，∴∠ADC=90°-∠DAB=25°．∴∠AOC=2∠ADC=50°．∴∠BOC=180°-∠AOC=130°．应选C．考点：圆周角定理．☞1年模拟1．〔2022届湖北省宜昌市调研考试〕如图，用直角三角板经过两次画图找到圆形工件的圆心，这种方法应用的道理是〔〕A ．垂径定理B ．勾股定理C ．直径所对的圆周角是直角D ．900的圆周角所对的弦是直径【答案】D ．考点：圆周角定理．2．〔2022届浙江省宁波市联考〕如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ABC=130°，那么∠AOC=〔〕A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°【答案】A ．【解析】试题分析：在优弧AC 上取点D ，连接AD ，CD ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∠ABC=130°，∴∠D=180°-10°=50°．∵∠D 与∠AOC 是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠AOC=2∠D=100°．应选A ．考点：圆周角定理．3．〔2022届江苏省盐城东台一模〕在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A 〔13，0〕，直线y=kx ﹣3k+4与⊙O 交于B 、C 两点，那么弦BC 的长的最小值为〔〕A ．22B ．24C ．510D ．312【答案】B ．考点：1．垂径定理；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．勾股定理．4．〔2022届湖北省武汉市联考〕如图，AB 是⊙O 的直径且AB=C 是OA 的中点，过点C[，作CD ⊥AB 交⊙O 于D 点，点E 是⊙O 上一点，连接DE ，AE 交DC 的延长线于点F ，那么AE·AF 的值为〔〕．A ．B ．12C ．D ．【答案】B ．考点：相似三角形的判定和性质；圆周角定理．5．〔2022届陕西省西安市一模〕如图，：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，连结OC 、AD ，∠OCD=32°，那么∠A=〔〕A ． 32B ． 29C ． 58D ． 45【答案】B ．【解析】试题分析：连接OD ，由题意，∠COB=90°-32°=58°，由垂径定理知∠COB=∠DOB ，所以∠A=29°．应选B ．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．6．〔2022届山西农业大学附属中校级模拟〕如下图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连结AC 、AD ，假设∠CAB ＝35°，那么∠ADC 的度数为〔〕A、35°B、45°C、55°D、65°【答案】C．考点：圆周角的性质，直角三角形．7．〔2022届山西农业大学附属中校级模拟〕如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，那么⊙O的半径等于〔〕A、8B、4C、10D、5【答案】D．【解析】试题分析：连接OA，即可证得△OAM是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM=4，根据勾股定理即可求得OA的长22OA OM AM=+=5．考点：垂径定理，勾股定理．8．〔2022届广东省黄冈中学校级模拟〕如图PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，假设∠P=40°，∠ABP=____________°．【答案】70°．考点：切线的性质．9．〔2022届江西省南昌市校级模拟〕在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值是cm．【答案】8．【解析】试题分析：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M 为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，，∴，∵，AB为直径，∴C′D为直径，∴CM+DM的最小值是8cm．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．勾股定理；3．垂径定理．。