【配套K12】全国通用版2019版高考数学大二轮复习考前强化练9解答题综合练B理

考前强化练9 解答题综合练(B) 1.已知函数f(x)=x2+mx(m>0),数列{a n}的前n项和为S n.点(n,S n)在f(x)图象上,且f(x)的最小值为-,(1)求数列{a n}的通项公式;(2)数列{b n}满足b n=,记数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<1.--2.(2018湖南长郡中学二模,理18)如图,点C在以AB为直径的圆O上,PA垂直于圆O所在平面,G 为△AOC的重心.(1)求证:平面OPG⊥平面PAC;(2)若PA=AB=2AC=2,求二面角A-OP-G的余弦值.3.2017年春节期间,某服装超市举办了一次有奖促销活动,消费每超过600元(含600元),均可抽奖一次,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种.方案一:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,一次性摸出3个球,其中奖规则为:若摸到3个红球,享受免单优惠;若摸出2个红球则打6折,若摸出1个红球,则打7折;若没摸出红球,则不打折.方案二:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,有放回每次摸取1球,连摸3次,每摸到1次红球,立减200元.(1)若两个顾客均分别消费了600元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受免单优惠的概率;(2)若某顾客消费恰好满1 000元,试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算?4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为6,且椭圆C与圆M:(x-2)2+y2=的公共弦长为.(1)求椭圆C的方程.(2)过点P(0,2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于两点A,B,试判断在x轴上是否存在点D,使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形.若存在,求出点D的横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.5.已知函数f(x)=2ln x-2mx+x2(m>0),(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当m≥时,若函数f(x)的导函数f'(x)的图象与x轴交于A,B两点,其横坐标分别为x1,x2(x1<x2),线段AB的中点的横坐标为x0,且x1,x2恰为函数h(x)=ln x-cx2-bx的零点,求证:(x1-x2)h'(x0)≥-+ln 2.6.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l与圆C交于A,B两点.(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长;(2)动点P在圆C上(不与A,B重合),试求△ABP的面积的最大值.7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)求函数f(x)的值域M;(2)若a∈M,试比较|a-1|+|a+1|,-2a的大小.参考答案考前强化练9解答题综合练(B)1.(1)解f(x)=(x+m)2-,故f(x)的最小值为-=-,又m>0,所以m=,即S n=n2+n,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=n;当n=1时,a1=1也适合上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=n.(2)证明由(1)知b n=----,所以T n=1-+…+--=1--,所以T n<1.2.(1)证明如图,延长OG交AC于点M.∵G为△AOC的重心,∴M为AC的中点.∵O为AB的中点,∴OM∥BC.∵AB是圆O的直径,∴BC⊥AC,∴OM⊥AC.∵PA⊥平面ABC,OM⊂平面ABC,∴PA⊥OM.又PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,PA∩AC=A,∴OM⊥平面PAC,即OG⊥平面PAC.又OG⊂平面OPG,∴平面OPG⊥平面PAC.(2)解以点C为原点,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),A(0,1,0),B(,0,0),O,0,P(0,1,2),M0,,0,则=-,0,0,=-,2.平面OPG即为平面OPM,设平面OPM的一个法向量为n=(x,y,z),-则-令z=1,得n=(0,-4,1).过点C作CH⊥AB于点H,由PA⊥平面ABC,易得CH⊥PA,又PA∩AB=A,∴CH⊥平面PAB,即为平面PAO的一个法向量.在Rt△ABC中,由AB=2AC,得∠ABC=30°,则∠HCB=60°,CH=CB=x H=CH cos∠HCB=,y H=CH sin∠HCB=-所以=,0.设二面角A-OP-G的大小为θ,则cos θ=3.解 (1)选择方案一若享受到免单优惠,则需要摸出三个红球,设顾客享受到免单优惠为事件A,则P(A)=,所以两位顾客均享受到免单的概率为P=P(A)·P(A)=(2)若选择方案一,设付款金额为X元,则X可能的取值为0,600,700,1 000.P(X=0)=,P(X=600)=,P(X=700)=,P(X=1 000)=,故X的分布列为∴E(X)=0+600+700+1 000=764(元).若选择方案二,设摸到红球的个数为Y,付款金额为Z,则Z=1 000-200Y,由已知可得Y~B3,,故E(Y)=3,∴E(Z)=E(1 000-200Y)=1 000-200E(Y)=820(元).因为E(X)<E(Z),所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.4.解 (1)由题意可得2a=6,∴a=3.由椭圆C与圆M:(x-2)2+y2=的公共弦长为,恰为圆M的直径,可得椭圆C经过点2,±,=1,解得b2=8.所以椭圆C的方程为=1.(2)直线l的解析式为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为E(x0,y0).假设存在点D(m,0),使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形,则DE⊥AB.由得(8+9k2)x2+36kx-36=0,故x1+x2=-,∴x0=-,y0=kx0+2=∵DE⊥AB,∴k DE=-,即---=-,∴m=--当k>0时,9k+2=12∴-m<0;当k<0时,9k+-12,∴0<m综上所述,所求点D的横坐标的取值范围为-,0∪0,.5.(1)解由f(x)=2ln x-2mx+x2的定义域为(0,+∞),则f'(x)=-令x2-mx+1=0,其判别式Δ=m2-4.当m2-4≤0,即0<m≤2时,f'(x)≥0恒成立,故f(x)在(0,+∞)内单调递增.当m 2-4>0,即m>2,方程x 2-mx+1=0有两个根x= -,令f'(x )>0,得0<x< - -或x>-,此时f (x )单调递增;令f'(x )<0,得- -<x<-,此时f (x )单调递减.综上所述,当0<m ≤2时,f (x )在(0,+∞)内单调递增;当m>2时,f (x )在 - --内单调递减,在0,- -,-,+∞内单调递增.(2)证明 由(1)知,f'(x )= -,∴f'(x )的两根x 1,x 2即为方程x 2-mx+1=0的两根.∵m, ∴Δ=m 2-4>0,x 1+x 2=m ,x 1x 2=1.又∵x 1,x 2为h (x )=ln x-cx 2-bx 的零点,∴ln x 1-c -bx 1=0,ln x 2--bx 2=0,两式相减得ln-c (x 1-x 2)(x 1+x 2)-b (x 1-x 2)=0,得b=--c (x 1+x 2).而h'(x )=-2cx-b ,∴(x 1-x 2)h'(x 0)=(x 1-x 2) -2cx 0-b =(x 1-x 2) -c (x 1+x 2)--+c (x 1+x 2)= --ln =2 --ln令=t (0<t<1),由(x 1+x 2)2=m 2得+2x 1x 2=m 2,∵x 1x 2=1,两边同时除以x 1x 2,得t++2=m 2, ∵m,故t+,解得0<t 或t ≥2,∴0<t设G (t )=2--ln t ,∴G'(t )=- -<0,则y=G (t )在0,上是减函数,∴G (t )min =G =- +ln 2,即y=(x 1-x 2)h'(x 0)的最小值为-+ln 2.∴(x 1-x 2)h'(x 0)≥- +ln 2.6.解 (1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,所以x2+y2-4x=0,所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.将直线l的参数方程代入圆C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+20, 解得t1=0,t2=-2,所以直线l被圆C截得的弦长为|t1-t2|=2(2)直线l的普通方程为x-y-4=0.圆C的参数方程为(θ为参数),可设圆C上的动点P(2+2cos θ,2sin θ),则点P到直线l的距离d==|2cosθ+-|.当cosθ+=-1时,d取最大值,且d的最大值为2+,所以S△ABP2(2+)=2+2即△ABP的面积的最大值为2+27.解 (1)f(x)=----根据函数f(x)的单调性可知,当x=时,f(x)min=f=所以函数f(x)的值域M=,+∞.(2)∵a∈M,∴a,∴0<1.又|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a≥3,∴a,知a-1>0,4a-3>0,-->0,-2a,所以|a-1|+|a+1|>-2a.。