宁波2020学年第二学期高考适应性考试高三数学试卷

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2020年浙江省宁波市鄞州中学第二学期测试试题含答案

A. {1,2}
B.{0,1,2}
C.{2,1,3}
D.{2,1,0,3}
2.
已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1 (a
0,b
0) 的一条渐近线为
y
1 2
x ,则离心率为
A. 5 2
B. 5
C. 5 或 5 2
D. 3
x y 2 0 3. 已知实数 x, y 满足 x y 0 ,则 z x 2 y 的最小值为
x k ,k Z 28
f
(x)
1 2
的解集是x
x
k 2
8
,
k
Z
（Ⅱ） f ( A ) 2 6 ， sin A 3 A
28
4
2
3
a b c 2 sin A sin B sin C
1
a b c 3 2sin B 2sin C 3 2sin B 2sin( 2 B) 3
球与10 m 个白球, B 盒中有10 m 个红球与 m 个白球( 0 m 10 ),若从 A, B 盒中各取
一个球, ξ 表示所取的 2 个球中红球的个数,则当 Dξ 取到最大值时, m 的值为
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
8. 在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中 , 点 P 是正方体棱上的一点 , 若满足
一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
B
C
C
B
D
A
B
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.

2024年浙江省宁波第二学期高考模拟考试(宁波二模)数学试卷(含答案详解)

宁波市2023~2024学年第二学期高考模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数z 满足()2i 5z +=，则z =（）A B C ．2D2．若α为锐角，4sin 5α=，则πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C D 3．已知平面,,,l αβγαβ⋂=，则“l γ⊥”是“αγ⊥且βγ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直线:10l x y -+=与圆22:20C x y x m +--=相离，则实数m 的取值范围是（）A ．1m <B ．11m -<<C ．1m >D ．1m >-5．某校数学建模兴趣小组为研究本地区儿子身高()cm y 与父亲身高()cm x 之间的关系，抽样调查后得出y与x 线性相关，且经验回归方程为ˆ0.8529.5yx =+.调查所得的部分样本数据如下：父亲身高()cm x 164166170173173174180儿子身高()cm y 165168176170172176178则下列说法正确的是（）A ．儿子身高()cm y 是关于父亲身高()cm x 的函数B ．当父亲身高增加1cm 时，儿子身高增加0.85cmC ．儿子身高为172cm 时，父亲身高一定为173cmD ．父亲身高为170cm 时，儿子身高的均值为174cm6．已知数列{}n a 满足2n a n n λ=-，对任意{}1,2,3n ∈都有1n n a a +>，且对任意{}7,N n n n n ∈≥∈都有1n n a a +<，则实数λ的取值范围是（）A ．11,148⎡⎤⎢⎣⎦B ．11,147⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,157⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,158⎛⎤ ⎥⎝⎦7．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,===AB A B AA O 与上底面1111D C B A 以及棱,,,AB BC CD DA 均相切，则球O 的表面积为（）A ．9πB ．16πC ．25πD ．36π8．已知集合(){4,|20240P x y x ax =+-=且}2024xy =，若P 中的点均在直线2024y x =的同一侧，则实数a 的取值范围为（）A ．()(),20232023,-∞-+∞B ．()2023,+∞C ．()(),20242024,-∞-+∞ D ．()2024,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2020届高三数学下学期适应性考试试题含解析

【详解】由，所以函数在上为奇函数，可排除B；
当时，，可排除A；
由可得时，函数单调递增,且，故可排除D。
故选：C。
【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了三角函数性质、三角恒等变换的应用，属于基础题.
8.现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，擦出点数大于2的人去打乒乓球。用，分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记，求随机变量的数学期望为( ）
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，、、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理,由题意得，代入韦达定理可求得的值，即可得出点的坐标。
【详解】由题意可知直线斜率存在，设直线的方程为，
设点、、 ,
将直线的方程与椭圆的方程联立，
消去并整理得，
由韦达定理得 , ，
【答案】-192
【解析】
【分析】
令求得参数，然后写出二项展开式的通项公式,由的指数为5得项数，从而其系数．
【详解】由题意，在中令，得，因为，所以 ,
所以 ,令得，
所以的系数为．
故答案为：－192．
【点睛】本题考查二项式定理,掌握二项展开式通项公式是解题关键．赋值法求展开式中系数和是解题基础．
当数列为递减数列时，如:数列的通项为，
此时不成立，即充分性不满足；
当成立时，有，
两边平方可得：即有，
因此数列为递减数列成立，
所以“数列为递减数列”是“ ”的必要不充分条件
故选：B
【点睛】本题考查了递减数列概念以及判断充分条件,必要条件，属于一般题。
3.已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线所夹的锐角为（）

浙江省宁波市镇海中学2023届高三第二学期模拟考试数学含答案

2023年高三数学模拟卷（一）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|20A x x =+>，{}|4B x x =>R ð，则A B =I （）A ．{2x x <-或}4x >B ．{}24x x -<≤C ．{}4x x >D ．{}24x x -<<2．已知x R ∈，则“0x >”是“23x x <”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．二项式210(1)(1)x x x ++-展开式中5x 的系数为（）A ．120B ．135C ．-140D ．-1624．数列{}n a 满足131,31n na a a +==-，则2023a =（）A ．12-B ．23C ．52D ．35.赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为θ，且1tan 23θ=，则大正方形的面积为（）A ．4B ．5C ．16D ．256.已知2a =r ，1b =r ，2a b -=r r ，则向量a r 在向量b r方向上的投影向量为（）A ．bB ．b- C D ．7．设1cos 0.1,10sin 0.110tan 0.1a b c ===，，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<8.表面积为4π的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（）A.4π B.8π C.12π D.16π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某地区高三男生的身高X 服从正态分布()()2170,0N σσ>，则（）A ．()1700.5P X >=B ．若σ越大，则()165175P X <<越大C ．()()180160P X P X >=<D ．()()160165165170P X P X <<=<<10．随机变量ξ的分布列如右表：其中0xy ≠，下列说法正确的是（）A ．1x y +=B ．5(3)y E ξ=C ．()D ξ有最大值D ．()D ξ随y 的增大而减小11．在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：(1)过点0000(,,)P x y z ，且以(,,)(0)u a b c abc =≠为方向向量的空间直线l 的方程为000x x y y z z a b c---==.(2)过点()000,,P x y z ，且()0)=(,,v m n mnt t ≠为法向量的平面α的方程为()()()0000m x x n y y t z z -+-+-=.现已知平面236x y z α++=：，1l ：21321x y y z -=⎧⎨-=⎩，2l ：2x y z ==-，3l ：1541x y z-==-则下列说法正确的是（）A.1//l αB.2//l αC.3//l αD.1l α⊥12.定义：若数列{}n a 满足，存在实数M ，对任意n *∈N ，都有n a M ≤，则称M 是数列{}n a 的一个上界.现已知{}n a 为正项递增数列，()12n n n ab n a -=≥，下列说法正确的是（）A.若{}n a 有上界，则{}n a 一定存在最小的上界.B.若{}n a 有上界,则{}n a 可能不存在最小的上界.C.若{}n a 无上界,则对于任意的n N *∈，均存在k N *∈，使得12023n n k a a +<D.若{}n a 无上界，则存在k *∈Ν，当n k >时，恒有232023n b b b n ++<- .第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数2(1i)z =-，则||z =___________．14.已知,a b 为两个正实数，且41a b +=+的最大值为___________.ξ012Px3y 23y四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数1()sin()cos ,3(0,),().22f x x x f ππαα=+-∈=(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)已知凸四边形ABCD 中，()241AB AC AD f BAD ∠====，，，求凸四边形ABCD 面积的最大值.19．在直角梯形ABCD 中，CD AD ⊥，22AB BC CD ===，AD =现将D AC ∆沿着对角线AC 折起，使点D 到达点P 位置，此时二面角P AC D --为3π（1）求异面直线PA ，BC 所成角的余弦值；（2）求点A 到平面PBC 的距离.21.已知椭圆22143x y +=，F 为其右焦点，(0,)M t ，(0,)N t -为椭圆外两点，直线MF 交椭圆于AB 两点.(1)若MA AF λ= ，MB uBF =，求u λ+的值；(2)若三角形NAB 面积为S ，求S 的取值范围.22．已知()sin ,[0,]f x x x π=∈，（1）求()f x 在x π=处的切线方程；（2）求证：对于12,[0,]x x π∀∈和12,0λλ∀>，且121λλ+=，都有()11221122sin sin sin x x x x λλλλ+≥+；（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．高三数学第1页共8页2023.5高三数学模拟考一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BCDADBDB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112ACABCCDACD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．215.[1,1)e -16.316四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【解析】（1）由题意知1sin()cos332ππα+-=，得sin()13πα+=因为0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336ππαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以32ππα+=，所以6πα=()sin cos sin 66f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由()1fBAD ∠=，得23BAD π∠=所以四边形ABCD的面积BAC DAC S S S ∆∆=+设BAC α∠=，则()22sin 4sin 3S παααϕ⎛⎫=+-=+≤⎪⎝⎭当21sin cos 7αϕ==时，取到最大值高三数学第2页共8页18.【解析】（1）当1n =时，215160a a ++=，26425a ∴=-，当2n ≥时，由10516n n a S +++=①，得10516n n a S -+=+②，①-②得154n na a +=126440,0,255n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又214,{}5n a a a =∴是首项为165-，公比为45的等比数列，11644()4()555n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由4(5)0n n b n a +-=，得54(5)()45n n n n b a n -=-=-，所以234444432(1)(5)5554455nn T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，2413444444432(6)(555)5555nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，两式相减得234114444444(5)5555555nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111612516(45)5554145n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-1115(5)161644455555n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以145()5n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1445()(5)()55n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(5)40n n λ-+≥恒成立，5n =时不等式恒成立；高三数学第3页共8页5n <时，420455n n n λ≤-=----，得1λ≤；5n >时，412455n n n λ≥-=----，得4λ≥-；所以41λ-≤≤.19.过点D 做DO AC ⊥交AC 于O 连接OP以O 点为原点，以OA 为x 轴，在平面ABCD 内，过点O 垂直于AC 的线为y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.(1)因为DO AC ⊥，所以PO AC ⊥，所以DOP ∠为二面角P AC D --的平面角.所以3DOP π∠=，又因为3||||2OD OP ==，所以点330,,44P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭又因为1,0,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12B ⎛⎫⎪⎝⎭所以33,,244AP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,BC =-所以333324cos ,8||||AP BCAP BC AP BC +⋅<>===所以AP 与BC 夹角的余弦值为338.高三数学第4页共8页(2)13,,244PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,()1,BC =-设(),,n x y z = 为平面PBC 的一个法向量，则00n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即13302440x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪-=⎩令x =1,n =-所以点A 到平面PBC的距离为||2217||AP n d n ⋅===.20.【解析】（1）记“所选取的2名学生选考物理､化学､生物科目数量相等”为事件A ，则两人选考物理､化学､生物科目数量（以下用科目数或选考科目数指代）为1的情况数为220C ，数目为2的为240C ，数目为3的有240C ，则()2222040402100C C C 35C 99P A ++==.；（2）由题意可知X 的可能取值分别为0,1,2.为0时对应概率为（1）中所求概率：()2222040402100C C C 0C 5939P X ++===；为1时，1人选考科目数为1，另一人为2或1人为2，1人为3：()1111204040402100C C C C 161C 33P X +===；为2时，1人为1，1人为3：()1120402100C C 162C 99P X ===.则分布列如图所示：X012P359916331699故X 的期望为()3516168001299339999E X =⨯+⨯+⨯=；（3）高三数学第5页共8页性别纯理科生非纯理科生总计男性305585女性10515总计4060100零假设为0H ：同时选考物理、化学、生物三科与学生性别相互独立，即同时选考物理、化学、生物与学生性别无关.()()()()()()2221003051055 5.229 3.84140608515n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯所以依据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.21.(1)设()()1122,,,A x y B x y 因为,M N 在椭圆外，所以23t >.由题意知，AB 的方程为11x y t =-+，联立椭圆方程，得221134120x y t x y ⎧=-+⎪⎨⎪+-=⎩化简，得2236(4)90y y t t+--=（*）由MA AF λ=，得()11y t y λ-=-由MB uBF =，得()22y t u y -=-所以121212112y y t tu t y y y y λ⎛⎫++=-+-+=-+ ⎪⎝⎭由（*）式可得，12126293y y t y y t+==--所以1212823y y u t y y λ⎛⎫++=-+=- ⎪⎝⎭.高三数学第6页共8页(2)1222122||||33244NAB OABS S OF y y t t∆∆==⋅⋅-=++令m =，所以21231NABm S m ∆=+因为23t >，所以m ⎛= ⎝，所以2121283,313153NAB m S m m m ∆⎛⎫==∈ ⎪ ⎪+⎝⎭+.所以S 的取值范围是83,35⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.22.【解析】（1）因为()cos f x x '=,所以cos |1x k x π===-，又()0f π=所以求()f x 在x π=处的切线方程为y x π=-+.(2)不妨设12x x ≤令122122()sin()sin sin g x x x x x λλλλ=+--，2[0,]x x ∈则11221()cos()cos g x x x x λλλλ'=+-因为122120x x x x x πλλλλ≥+>+=≥所以122cos()cos x x x λλ+≤所以()0g x '≤在2[0,]x x ∈上恒成立.所以2()()0g x g x ≥=即122122sin()sin sin x x x x λλλλ+≥+.(3)对于任意的[0,]i x π∈，任意的0(1,2,,)i i n λ>= ，11nii λ==∑都有11sin sin n ni i i ii i x x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑高三数学第7页共8页证明：①当2n =时，由（2）知，命题显然成立.②假设当n k =时命题成立.即对任意的123,,,[0,]k x x x x π∈ 及0,1,2,3,,,i i k μ>= 11k i i μ==∑.都有11sin sin k ki i i i i i x x μμ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑.现设1231,,,,[0,]k k x x x x x π+∈ 及0,1,2,3,,,1i i k k λ>=+ ，111k i i λ+==∑.令1,1,2,3,,,1i i k i k λμλ+==- 则11k i i μ==∑.由归纳假设可知()()11221122111111sin sin 11k k k k k k k k k k x x x x x x x x λλλλλλλλλλ++++++⎡⎤+++++++=-+⎢⎥-⎣⎦()()11122111sin sin k k k k k x x x x λμμμλ+++≥-++++ ()[]11122111sin sin sin sin k k k k k x x x x λμμμλ+++≥-++++ ()12112111111sin sin sin sin 111k k k k k k k k x x x x λλλλλλλλ++++++⎡⎤=-++++⎢⎥---⎣⎦()12112111111sin sin sin sin 111k k k k k k k k x x x x λλλλλλλλ++++++⎡⎤=-++++⎢⎥---⎣⎦11sin k i i i x λ+==∑所以当1n k =+时命题也成立.综上对于任意的[0,]i x π∈，任意的0(1,2,,)i i n λ>= ，且11n i i λ==∑都有11sin sin n ni i i i i i x x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑。

浙江省宁波市北仑中学2021届高三下学期5月适应性考试(最后一模)数学试题 Word版含答案

北仑中学2020学年高三适应性考试数学试卷本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求.在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效.参考公式：若事件,A B 互斥，则柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =若事件,A B 相互独立，则其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 13V Sh =独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24S R π=()112213V h S S S S = 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 343V R π=h 表示台体的高其中R 表示球的半径第 Ⅰ 卷 (选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知{}{}1,2,3,4,5,6,3A B y y ==<，则R AC B =（）{}.1,2,3,4,5,6A {}.1,2B {}.3,4,5,6C {}.4,5,6D2.双曲线22154x y -=的焦点坐标为（） A.(1,0)± B.(0,1)± C.(3,0)± D.(0,3)±3.已知,x y 满足条件350401x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y z x =的取值范围为（）A.(0,7]B.1[,7]3C.[3,7]D.[2,7]4.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的表面积（单位：cm 2）是（） A.43B.323+C.31515235.设2211,,:log (1)log (1)0,:1a b R p a b q a b∈-+->+<，则p 是q 的（）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件6．函数2ln ,0()1sin(2),02xx xx e f x x x π⎧>⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩的部分图象大致为（）7．随机变量X 的分布列如图所示，则当p 在(0,1)内增大时，2()D X 满足（） A ．先增大后减小 B ．先减小后增大 C ．增大 D ．减小8.设n S 是某个等差数列的前n 项和，若201920202020S S ==，则2021S =（）A.220202019-B. 220202019+C. 120201010-D.120201010+ 9.已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，P ，Q 为抛物线上的两个动点，线段PQ 的中点为M ，过M 作y 轴的垂线，垂足为H . 若2pPQ MH -≤，则cos QFP ∠的最小值为（）A.0B.12C.22 310.设函数()3sin 2cos 1f x x x =++. 若实数a ,b ,c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x 恒成立，则cos b c a 的值等于（）A.12-B.12C.1-D.1第 Ⅱ 卷（非选择题部分，共110分）注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷上的题目做在答题卷上，做在试题卷上的无效. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11.复数z 满足z+3i=2，则z 的虚部是_______.12.若823901239(21)(1)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则0a = ；0123456789a a a a a a a a a a -+-+-+-+-= .13.已知直线1:220l x y --=，直线2:220l mx y m +--=，点P 为圆22:4O x y +=上的一个动点，则直线1l 与圆O 相交所得的弦长为；当实数m 变化时，点P 到直线2l 的最大距离为 .14.三边长均不相等的△ABC 满足：2222(sin sin )sin (sin sin )sin()A B C A B A B -=+-，则∠C =_______cos 3cos 3Bx A x+>x 恒成立，则∠A 的范围是_______.15.已知,a b 是空间单位向量，0a b ⋅=，若空间向量c 满足：1,2,10c a c b c ⋅=⋅==，则a b c ++=_______，对于任意,x y R ∈，向量c 与向量xa yb +所成角的最小值为_______.16.已知实数,x y 满足(31)(21)1x y x y +-+-=，则x y +的最小值是________.17.已知函数1()212f x x x =--+，若对于任意实数x ，有()()1()f x t f x t R +-≤∈恒成立，则实数t 的取值范围为________.三、解答题（本大题共5小题，共74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. （本小题满分14分）设函数2()2sin sin(2).6f x x x π=--（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）若函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到()g x 的图象，且存在0[,0]2x π∈-，使02()3g x =，求0cos 2x 的值. 19．（本题满分15分）在三棱锥P ABC -中，2,,,AB BC AB BC CP BC ==⊥⊥,AP AB ⊥060CPA ∠=。

【精品推荐】最新浙江省宁波市2020年高考模拟考试数学试卷及答案

宁波市2020年高考模拟考试高三数学试卷说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么柱体的体积公式P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 P n (k )=k n C p k(1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式台体的体积公式S = 4πR 212()13V h S S =球的体积公式其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积,V =43πR 3h 表示台体的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{|06}U A B x Z x ==∈≤≤U ，(){1,3,5}U A C B =I ，则B =（▲）A ．{2,4,6}B ．{1,3,5}C ．{0,2,4,6}D ．{|06}x Z x ∈≤≤ 2．把复数z 的共轭复数记作z ，若(1+)1i z i =-，i 为虚数单位，则z =（▲）A ．iB ．i -C ．1i -D ．1i + 3．()612x +展开式中含2x 项的系数为（▲）A ．15B ．30C ．60D ．120 4．随机变量X 的取值为0,1,2，若1(0)5P X ==，()1E X =，则()D X =（▲） A ．15 B ．25CD5．已知平面,αβ和直线12,l l ，且2l αβ=I ，则“12//l l ”是“1//l α,且1//l β” 的（▲）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设2,0()log ,0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，．则函数(())y f f x =的零点之和为（▲）A ．0B ．1C ．2D ．47．从1,2,3,4,5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数，则奇数位上必须是奇数的三位数个数为（▲）A ．12B ．18C ．24D ．8．如图，12,F F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若11AF BF ⊥，且13AF O π∠=，则1C 与2C 的离心率之和为（▲）A ．B ．4C ．D ．9．已知函数()=sin cos 2f x x x ，则下列关于函数()f x A ．最大值为1 B ．图象关于直线2x π=-对称C ．既是奇函数又是周期函数 D ．图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 10．如图，在直二面角A BD C --中，ABD ∆，CBD ∆均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 中点E ，将ABE ∆沿BE 翻折到 1A BE ∆，在ABE ∆的翻折过程中，下列不可能．．．成立的是（▲） A ．BC 与平面1A BE 内某直线平行 B ．//CD 平面1A BE C ．BC 与平面1A BE 内某直线垂直 D ．1BC A B ⊥非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

2020届浙江省宁波市高考数学二模试卷(含解析)

2020届浙江省宁波市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x 2<1}，B ={x|2x −1<0}，则A ∩B =( )A. {x|x <12} B. {x|−1<x <1} C. {x|0<x <12}D. {x|−1<x <12}2. 圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线的渐近线截得的弦长为，则圆C 的方程为( )A. x 2+(y −1)2=1B. x 2+(y −)2=3C. x 2+(y −)2=D. x 2+(y −2)2=43. 已知z 为纯虚数，且(2+i)z =1+ai 3(i 为虚数单位)，则复数a +z 在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知m ，n 是直线，α，β是平面，以下命题正确的是( )A. 若α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥βB. 若α//β，m ⊄α，n//m ，则n//βC. 若m 上有两个点到α的距离相等，则m//αD. 若α∩β=m ，n//m ；且n ⊄α，n ⊄β，则n//α且n//β5. 已知函数f(x)={13x 3−x 2−3x +2,x ≤5−log 3(x +4),x >5，则函数y =f(f(x))的零点个数为( )A. 6B. 7C. 9D. 106. 1+C 271+C 272+C 2727除以3所得余数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 37. 若一个几何体的三视图都是三角形，则这个几何体可能是( )A. 圆锥B. 四棱锥C. 三棱锥D. 三棱台8. 如图，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −13a⃗ +34b ⃗B. 512a⃗−34b⃗C. 34a⃗−13b⃗D. −34a⃗+512b⃗9.已知数列{a n}，满足a n+1=a n+a4(n∈N∗)，且a5=4，则a1=()A. −2B. −4C. −6D. −910.以下函数中满足f(x+1)>f(x)+1的是()A. f(x)=lnxB. f(x)=e xC. f(x)=e x−xD. f(x)=e x+x二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.现有五种不同的颜色要对如图形中的四个部分进行着色，要有有公共边的两块不能用同一种颜色，共有______ 种不同的着色方案．(用数字作答)．12.设变量x，y满足条件{x+y≤1x−y≤1x≥0，则z=2x−y的最小值为______．13.设向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(1,−2)，则|a⃗+2b⃗ |=______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.函数y=(12)x2−2x−3的单调增区间为(1)函数y=(14)x−22−x+3的单调增区间为(2)．15.已知多项式(x+1)6(3x2+1)2=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9+a10x10，则a0=(1)；a2=(2)．16.已知随机变量X的分布列如表，且E(X)≥4P(X=1)，则a+b=，E(X)的取值范围为．X0123P 13a b1617.定义在R上的函数f(x)(x∈R)既是奇函数又是周期函数，若f(x)(x∈R)的最小正周期是π，且x∈[0,π2)时f(x)=sinx，则f(11π3)=(1)，方程f(x)=0的解集为(2)．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=2，cosB=−3．5(1)若b=4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC=4，求b、c的值．19.已知：在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=CD=BC=2AD，AD//BC，∠BCD=90°(Ⅰ)求证：BC⊥PC；(Ⅱ)求直线PA与平面PBC所成的正弦值．20.设正项数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=λa n−λ，且a1+1,a2+5,a3是等差数列{b n}的前4三项。

浙江省宁波市宁波中学、北仑中学、奉化中学等五校2020届高三下学期高考适应性联考数学试题及答案

绝密★启用前浙江省宁波市宁波中学、北仑中学、奉化中学等五校2020届高三毕业班下学期高考适应性联合考试数学试题本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方，贴好条形码。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

参考公式：若事件A ,B 互斥,则()()()P A B P A P B +=+ 柱体的体积公式V Sh =若事件A ,B 相互独立,则()()()P AB P A P B = 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次锥体的体积公式13V Sh =独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 ()C (1)(0,1,2,,)k kn k n n P k p p k n -=-=球的表面积公式24S R =π台体的体积公式121()3V S S h =球的体积公式343V R =π 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示其中R 表示球的半径台体的高第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集}1,0,1{-=U ,集合},1,0{},0,1{=-=B A 则=)(B A C U A.}0{ B.}0,1{- C.}1,1{- D.}1,0{2.若nxx )1(-展开式的各项二项式系数和为512,则展开式中的常数项A.84B.84-C.56D.56- 3.若R b a ∈,,则“11>>b a 且”是“1>ab 且2≥+b a ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-= ,0),1(log ,0,22)(212x x x x x x f 若当]1,[+∈a a x 时,不等式)2()(x a f a x f -≥+恒成立,则实数a 的取值范围是A.)2,(--∞B.]2,(--∞C.),2(+∞-D.),2[+∞-5.已知某函数的部分图象如图所示,则此函数的解析式可能是（其中e 为自然对数的底）A.x e e x f x x sin 11)(⋅+-=B.x e e x f x xsin 11)(⋅+-=C.x e e x f x x cos 11)(⋅+-=D.x e e x f x xcos 11)(⋅+-=6.已知非零实数c b a ,,的绝对值全不相等,那么满足“abc c b a =++”的c b a ,, A.仅有一组 B.仅有二组 C.仅有三组 D.有无穷多组7.已知}{n a 是等比数列,13=a ,那么其前5项和5S 的取值范围是A.），，∞+--∞1[]3(B.），，∞+--∞5[]3(C.），∞+1[D.），∞+5[8.一个袋子中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现从袋子里随机等可能取出小球.当有放回依次取出2个小球时,记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出2个小球时,记取出的红球数为2ξ.则。

宁波市2020届高三下学期高考模拟数学试题(word版)

宁波市2019学年第二学期高考适应性考试数学试卷参考公式柱体的体积公式:V=Sh,其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高;锥体的体积公式:1,3V Sh =其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高;台体的体积公式:11221()3V S S S S h=++,其中12,S S分别表示台体的上､下底面积,h表示台体的高;球的表面积公式:24S Rπ=;球的体积公式:34,3V Rπ=其中R表示球的半径;如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件A,B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B);如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率,()(1)(0,1,2,,)k k n kn nP k C p p k n-=-=L第I卷(选择题部分,共40分)一､选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1},B={-1,1,2},则()()U UA B⋃=痧A.{-1,1}B.{-2,3}C.{-1,0,1,2}D.{-2,0,2,3}2.已知复数z是纯虚数,满足z(1-i)=a+2i(i为虚数单位),则实数a的值是A.1B.-1C.2D.-23.已知实数x,y满足约束条件14,35xx yy x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若z=3x+y的最大值是A.615.2B17.2C25.3D4.已知△ABC中角A､B､C所对的边分别是a,b,c,则“2222a b c+=”是“△ABC为等边三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知随机变量X的分布列是其中a≤2b≤6a,则E(X)的取值范围是4.[,1]9A 21.[,]93B - 15.[,]39C 14.[,]39D - 6.函数21cos 21x x y x +=⋅-的部分图像大致为7.设a,b ∈R ,无穷数列{}n a 满足:2*11,1,n nn a a a a ba n +==-+-∈N ,则下列说法中不正确的是 A.b=1时,对任意实数a,数列{}n a 单调递减B.b=-1时,存在实数a,使得数列{}n a 为常数列C.b=-4时,存在实数a,使得{}n a 不是单调数列D.b=0时,对任意实数a,都有201820202a >-8.若正实数x ､y 满足22,x y x y -=-则x 的取值范围是A.[4,20]B.[16,20]C.(2,10] .(2,25]D9.点M 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上,以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点,与y 轴相交于P,Q,若△MPQ 是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是62.(0,)A - 2.(0,)2B 23.(,)2C 2.(,1)2D 10.在正四面体S ABC -中,点P 在线段SA 上运动(不含端点).设PA 与平面PBC 所成角为1,PB θ与平面SAC 所成角为2,PC θ与平面ABC 所成角为3,θ则213.A θθθ<< 231.B θθθ<< 312.C θθθ<< 321.D θθθ<<第11卷(非选择题部分,共110分)二､填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.5111.()(21)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2,则实数a=___,该展开式中常数项为____. 12.一个四面体的三视图如图所示(单位cm),则该四面体体积(单位cm³)为___，外接球的表面积(单位cm²)为___.13.已知函数的图像关于点对称,关于直线()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图像关于点(,0)4π对称,关于直线4x π=-对称，最小正周期(,)2T ππ∈，则T=__,f(x)的单调递减区间是_____. 14.已知过抛物线21:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与抛物线交于A,B 两点,其中(4,42),A 双曲线22222:1(0,0)y x C a b a b-=>>过点A,B,则p 的值是____,双曲线2C 的渐近线方程是____. 15.某会议有来自6个学校的代表参加,每个学校有3名代表.会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团,不同的选取方法数为___.16.函数123,01()3log ,132x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，2()2g x x x =-,若y=g(f(x))-t 恰有3个零点,则实数t 的取值范围是___. 17.已知矩形ABCD 中,AB=4,AD=3,动点M ､N 分别在射线CB ､CD 上运动,且满足22111CM CN +=.对角线AC 交MN 于点P,设,AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r 则x+y 的最大值是___.三､解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分)已知△ABC 中角A ､B ､C 所对的边分别是a,b,c,且2cos 3(cos cos )a A c B b C =+. (I)求A 的值;(II)若a=1且3sin cos ,B C +=求△ABC 的面积.19.(本题满分15分)已知三棱柱111ABC A B C -中,M ､N 分别是1CC 与1A B 的中点,1ABA V 为等边三角形,111,2CA CA A A A M BC ===.(I)求证:MN//平面ABC;(II)(i)求证:BC ⊥平面11ABB A ；(ii)求二面角A-MN-B 的正弦值.20.(本题满分15分)已知正项数列{}n a 的首项11,a =其前n 项和为,n S 且n a 与1n a +数列{}n b 满足:122.2n n n a b b b a ++++=L (I)求23,,a a 并求数列{}n a 的通项公式;(II)记N *n c n =∈,证明:122(1n c c c +++<L21.(本题满分15分)已知椭圆Γ:22221(0)x y a b a b+=>>的焦点12,F F的距离为过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于A,B 两点,且|AB|=1.(I)求椭圆Γ的方程;(II)若存在实数t,使得经过相异两点P(42,)t t h +和Q(2t+2,t+h)的直线交椭圆Γ所得弦的中点恰为点Q,求实数h 的取值范围.22.(本题满分15分)已知实数a ≠0,函数()ln || 1.f x ax = (I)证明:对任意5(0,),()32a f x a ∈+∞≤-恒成立; (II)如果对任意x ∈(0,+∞)均有(),x a f x x a -≤+求a 的取值范围.。

浙江宁波市2022届高三下学期4月高考适应性考试(二模)语文试题及答案高三总复习

浙江宁波市2022届高三下学期4月高考适应性考试（二模）语文试题及答案高三总复习宁波市2020学年第二学期高考适应性考试语文试卷一、语言文字运用（共20分）1.下列各句中，没有错别字且加点字的注音全都正确的一项是（）（3分）A.几千年来牛与人类相伴相随，它们勤劳忠实、憨厚驯（xùn)良，犁田耙（bà)地，任劳任怨，其卓越品性获得世人美誉。

B.同心筑梦共镶复兴伟业，乘（chèng)势而上开启崭（zhǎn)新征程，中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第四次会议3月4日下午在人民大会堂隆重开幕。

C.科技的运用不仅可以让“篷头垢面”的文物焕发光彩，更能挖掘在历史长河中逐渐喑（yīn)哑的传统文化，并以别出心裁的方式让大众聆（lín)听历史。

D.宁波是长江下游地区农业文明发祥地之一，悠久的历史，使其成为人文荟萃（cuì)的历史名都，今日的宁波还是国际化商阜（b ù)名城。

阅读下面的文字，完成2~3题。

（5分）日前，一档来自河南卫视春晚的歌舞节目《唐宫夜宴》“火出圈”了！节目视频播放量超20亿，微博主话题阅读量达4.9亿次，并多次登上网络热搜。

这场5分钟左右的舞蹈展示了唐朝少女们从准备、整理妆容到夜宴演奏的全过程。

十四位灵动的舞蹈演员仿佛从画中走来，用婀娜秀逸的舞姿，将大唐盛世的女子形象生动再现在舞台上。

【甲】人们在看过视频后禁不住这样赞叹：“鬓云欲度香腮雪，衣香袂影是盛唐。

”《唐宫夜宴》之所以能“霸屏”多日，正是文艺创新带来的效果。

【乙】它真正让收藏在博物馆里的文物，陈列在广阔大地上的遗产，书写在古籍里的文字都活起来，既传承了优秀的传统文化，也收获了观众的“芳心”，可谓一举两得。

【丙】传统文化经典回归人们的视线，无疑突显了中华文化的无限魅力，同时也说明了我们的传统文化不该被束之高阁，而要通过创意的方式走近大众。

2.文段中的加点词，运用不正确的一项是（）（3分）A.日前B.婀娜秀逸C.突显D.束之高阁3.文段中画线的甲、乙、丙句，标点有误的一项是（）（2分）A.甲B.乙C.丙4.下列各句中，没有语病的一项是（）（3分）A.量子力学是人类探究微观世界的重大成果，量子科技发展具有重大科学意义和战略价值，是一项对传统技术体系进行重构的技术体系。

2021届宁波市 2020 学年第二学期高考适应性考试语文参考答案

7.D 项。“衰败”曲解文意。 8.A 项。 B 项“本质是一样”错误，无中生有； C 项“不可避免”错误，原文是“容易演变”，将可能变成必然性. D 项“只要……就”是充分条件关系，判断错误，原文是必要条件关系“只有……才”。 9. ①厘清内卷的概念，区分被贴上内卷标签的不同现象与实质，避免模糊使用和空泛谈论； ②正确看待内卷现象，它不是宿命而是使命，不盲目哀叹彷徨。 ③需要持永远开放的态度，求知若饥、虚心若愚，需要更多的尝试、探索、容错、建设性互动、丰富的想象力和热忱。 ④做到闯与创，打破并超越内卷。（一点 2 分，两点 3 分，三点 4 分）
12. ①照应开头，首尾呼应，结构严谨，有一种回环之美。 ②以踩泥土、“我”似是一朵花一棵树的画面结束全文，引发读者想象与思考。 ③深化主题，表现土地对于人类的重要意义，抒发作者对土地的深厚情感。（共 6 分。一个要点 2 分） 13. ①对糟蹋土地，导致土地地力耗尽行为的痛惜。 ②对土地与人类的命运紧密相连的敬畏。 ③对土地、故乡以及亲人的眷恋。 ④对土地以及生活在土地上的人们命运的隐忧。（共 6 分，一个要点 2 分，写到三点即可）
4.B 项。 A 项偷换主语，“量子科技发展”和“一项技术体系”不能搭配； C 项搭配不当， “抵抗”改为“抵制”； D 项不合逻辑，“要化作”的“要”和“照亮了”的“了”有未然和已然矛盾，应去掉“要”或者“了”。 5. ①这是因为母女之情的主题比较讨巧（关键词：情感、讨喜/讨巧/吸引人） ②情感表达得真挚和诚恳（关键词：情感、真挚） ③光有炫目的画面、靓丽的演员（意思对，能衔接连贯就可）
6. （1）惩戒规则实施引发热议。（核心词：惩戒规则实施热议，写全核心词得 2 分）；（2）教师：此规则出台极有必要，但实施时需以关爱学生为宗旨，科学实施教育惩戒，尺度和温度并存。家长：充分理解、尊重并支持此规则，支持教师基于教育目的惩戒，让老师敢于依法教育学生是好事。学生：对此规则心存敬畏，规则的出台与实施能教会学生懂得惩戒的目的、明了违规需付出代价。（以上答案只是举例，符合角色身份，有正确价值观，言之成理即可）

宁波市2022学年第二学期高考模拟考试二模高三数学试卷

宁波市2022学年第二学期高考模拟考试高三数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}13A x x =−<，{}28x B x =<，则A B =∩A ．()2,4−B ．()2,3−C ．()0,4D ．()0,32．设i 为虚数单位，若复数z 满足3i i 1iz −=−，则z 的虚部为A ．2−B ．1−C ．1D ．23．设随机变量ξ服从正态分布，ξ的分布密度曲线如图所示，若()0P p ξ<=，则()01P ξ<<与()D ξ分别为A ．12p −，12B ．p ，12C ．12p −，14D ．p ，144．已知非零向量a ，b 满足|−|a +b |=|a |b |，则A ．>|a +b ||b |B ．−<|a b ||a |C ．>−|a +b ||a b |D ．()()0⋅−a +b a b5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）A ．53寸B ．2寸C ．73寸D ．3寸6．已知函数()()πsin 04f x x ωω =+> 的图象关于直线π8x =对称，且()f x 在π0,6上没有最小值，则ω的值为A ．2B ．4C ．6D ．10 7．设椭圆()2222:10y x a b a bΓ+=>>的右焦点为(),0F c ，点()3,0A c 在椭圆外，P ，Q 在椭圆上，且P 是线段AQ 的中点. 若直线PQ ，PF 的斜率之积为12−，则椭圆的离心率为A. 12B.C.D. 138．已知函数()313f x x x =−，()()()112n n f x f x n −=−≥，则()2023f x 的零点个数为A ．2023B ．2025C ．2027D ．2029二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省宁波市五校2020届高三数学适应性考试(无)文新人教A版

2020年宁波市高三五校适应性考试数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1页至2页，非选择题部分3页至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将全部试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务势必将自己的座位号、姓名、准考据号用黑色笔迹的署名笔或钢笔填写在答题纸相应的地点上。

．每题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

不可以答在试题卷上。

参照公式柱体的体积公式锥体的体积公式球的表面积公式V Sh，此中S表示底面积，h表示柱体的高.V 1Sh，此中S表示椎体的底面积，h 表示锥体的高.3S 4R2，此中R表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求的.1、已知会合A {x|a 2 x a 2},B {x|x2或x 4}，则AI B 的充要条件是A、0a2B、2a2C、0a2D、0a22、已知复数3，Z是Z的共轭复数，则Z (13i)2A、1B、1C、1D、2423、已知函数f(x)sinx的图像一部分以下方左图，则下方右图的函数图像所对应的分析式为····A 、yf(2x1)B、y f(2x1)C、yf(x1)22D、y f(x1)224、已知一个空间几何体的三视图如右图，此中主视图，侧视图主观侧视2都是由半圆和矩形构成，依据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是A、3B 、23C、6D 、55、对于直线m,n与平面,,有以下三个命题⑴若m//,n//,且//则m//n⑵若I m,，则m⑶若m,n有A、1个B 、2个C、3个D、0个6、若a,b,c是直角三角形的三边（c为斜边），则圆x2y2长等于A、1B、2C、3D、237、履行以下图的程序框图，则输出n的值是A、8、9C、10D、118、若椭圆x2y21(ab0)的左右焦点分别为F1，F2, a2b 2线段F1F2被抛物线y22bx的焦点分红5：3两段，则此椭圆的离心率为A、16B、21C、217179、函数yf(x)是定义在R上的奇数且也是奇函数，若f(3)0，则函数y内的零点个数起码有且则mn，此中真命题2截直线ax by c0所得的弦n 1,a 1,s0a 2a1S San n1否S 2012?是输出nA、4B、5C、6D、710、设f(x)是定义在(,)上可导函数且知足xf(x) f(x) 0对随意的正数a,b，若a b则以下不等式恒建立的是A、f(b)f(a)B、f(b)f(a)C、f(b)f(a)D、f(b)f(a)b a b a a b a b非选择题部（共100分）二、填空题：（本大题共7小题，每不题4分，共28分。

【精准解析】浙江省宁波市2020届高三下学期高考适应性考试(二模考试)数学试题

宁波市2019学年第二学期高考适应性考试数学试卷一、选择题1.已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}1,0,1A =-，{}1,1,2B =-，则()() UUA B =（） A. {}1,1-B. {}2,3-C.1,0,1,2D.{}2,0,2,3-【答案】D 【解析】【分析】首先分别求出 UA ，UB ，再求()() UUA B 即可.【详解】 {2,2,3}UA =-，{2,0,3}UB =-，()() {2,0,2,3}UUA B =-.故选：D【点睛】本题主要考查集合的补集和并集的运算，属于简单题.2.已知复数z 是纯虚数，满足()12z i a i -=+（i 为虚数单位），则实数a 的值是（） A. 1 B. 1-C. 2D. 2-【答案】C 【解析】【分析】由题意设(z bi b R =∈且)0b ≠，转化条件得2b bi a i +=+，进而可得2b a b =⎧⎨=⎩，即可得解.【详解】设(z bi b R =∈且)0b ≠，则()()112z i bi i b bi a i -=-=+=+，所以2b ab =⎧⎨=⎩，解得2a =. 故选：C.【点睛】本题考查了纯虚数的概念、复数的运算与复数相等的条件，属于基础题.3.已知实数,x y 满足约束条件1435x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最大值是（）A. 6B.152C.172D.253【答案】C 【解析】【分析】由题意画出可行域，转化目标函数为3y x z =-+，数形结合即可得解. 【详解】由题意画出可行域，如图阴影部分所示：目标函数3z x y =+可转化为3y x z =-+，上下平移直线3y x z =-+，数形结合可知，当直线3y x z =-+过点A 时，z 取得最大值，由435x y y x +=⎧⎨=-⎩可得点97,44A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以max 97173442z =⨯+=. 故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划，属于基础题.4.已知ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ，则“2222a b c +=”是“ABC 为等边三角形”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】举反例分析充分性,再直接推理必要性再判断即可.【详解】当3,4,2a b c ===时,满足ABC 三边关系与2222a b c +=,但ABC 不等边三角形.当ABC 为等边三角形时, 2222a b c +=成立.故“2222a b c +=”是“ABC 为等边三角形”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,需要根据题意推导或者举出反例证明充分性与必要性.属于基础题.5.已知随机变量X 的分布列是（）其中26a b a ≤≤，则()E X 的取值范围是（）A. 4,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 21,93⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 15,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 14,39⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得1130026a b a b a b a⎧++=⎪⎪⎪≥⎨⎪≥⎪≤≤⎪⎩，进而可得2192b ≤≤，由离散型随机变量期望公式即可得解.【详解】由题意可得113026a b a b a b a⎧++=⎪⎪⎪≥⎨⎪≥⎪≤≤⎪⎩，解得2192b ≤≤，所以()1222102,33393E X a b b b b ⎡⎤=-+⨯+=-+=-∈-⎢⎥⎣⎦. 故选：B.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与期望公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6.函数21cos 21x x y x +=⋅-的部分图像大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】令()()21cos 021x x f x y x x +==⋅≠-，由()()f x f x -=-可排除B 、D ；由当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，可排除C ；即可得解.【详解】令()()21cos 021x x f x y x x +==⋅≠-，则()()()1121212cos cos cos 1211212xx x x x xf x x x x f x --+++-=-⋅=⋅=⋅=----，所以函数()f x 为奇函数，可排除B 、D ；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，21021xx +>-，所以()0f x >，故排除C.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性与三角函数性质的应用，属于基础题.7.设,a b ∈R ，无穷数列{}n a 满足：1a a =，211n n n a a ba +=-+-，*n ∈N ，则下列说法中不正确的是（）A. 1b =时，对任意实数a ，数列{}n a 单调递减B. 1b =-时，存在实数a ，使得数列{}n a 为常数列C. 4b =-时，存在实数a ，使得{}n a 不是单调数列D. 0b =时，对任意实数a ，都有201820202a >-【答案】D 【解析】【分析】当1b =时，由2110n n n a a a +-=--<可判断A ；当1b =-时，由21n n n a a a =---可得1n a =-，即1a =-时，数列{}n a 为常数列，可判断B ；当0a =、4b =-时，由213a a a <<可判断C ；若0b =，可得210n na a +<-≤，进而可得()20182018222202021a a a <-=---，即可判断D ；即可得解.【详解】对于A ，当1b =时，211n n n a a a +=-+-，则2110n n n a a a +-=--<即1n n a a +<，所以对于任意实数a ，数列{}n a 单调递减，故A 正确；对于B ，当1b =-时，211n n n a a a +=---，若1n n a a +=，则21n n n a a a =---即1n a =-，当1a =-即11a =-时，数列{}n a 为常数列，故B 正确；对于C ，当0a =、4b =-时，2141n n n a a a +=---，10a =，21a =-， 32a =，213a a a <<，故数列{}n a 不是单调数列，故C 正确；对于D ，当0b =时，211n n a a +=--，所以210n n a a +<-≤，所以241n n a a +>，241n n a a +-<-，所以()201820182242220202019201821a aaaa <-<-<⋅⋅⋅<-=---，当21a =时，201822018202022a <-<-，故D 错误.故选：D.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.8.若正实数x 、y 满足x -=x 的取值范围是（） A. []4,20B. []16,20C. (]2,10D.(2,【答案】C 【解析】【分析】因为正实数x 、y 满足x -=有意义，可得20x y -≥.利用换元法，令t (0t >)，将x -=化简，可得22420x x --=，结合方程的根的特征，即可求得答案.【详解】正实数x 、y 满足x -=有意义，则20x y -≥——①令t 0t >)，将t 代入①可得：22t x ≤，结合0t >解得：0t <≤将x - 整理可得：2442x x y x y π-+=-故：22420x x --=——②将t 225420t xt x x -+-=这是一个关于t 的一元二次方程，则方程有两个正根(含相等)()()222121620201205x x x t t x x ⎧∆=--≥⎪⎨=->⎪⎩解得：210x <≤ 故(]2,10x ∈ 故选：C【点睛】本题解题关键是利用还原法，将所给等式转化一元二次方程，利用一元二次方程知识求解变量的范围，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.点M 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点，与y轴相交于,P Q ，若MPQ 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A. ⎛ ⎝⎭B. ⎛ ⎝⎭C. ⎝⎭D. ⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】因为圆M 与x 轴相切于焦点F ，不妨设(,)M c y ，则(因为相切，则圆心与F 的连线必垂直于x 轴)，根据题意画出大致图象，根据几何关系求得PN ，NQ ，根据PMQ ∠为钝角，则45PMN QMN ︒∠=∠>，结合已知，即可求得椭圆离心率的取值范围.【详解】圆M 与x 轴相切于焦点F ，∴不妨设(,)M c y ，则(因为相切，则圆心与F 的连线必垂直于x 轴)根据题意画出大致图象：M 在椭圆上，则2b y a=或()2222b y a b c a =-=+∴圆的半径为2b a过M 作MN y ⊥轴与N ，则,PN NQ MN c ==222b PN NQ c a ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭PMQ ∠为钝角，则45PMN QMN ︒∠=∠>即PN NQ MN c =>=∴222b c c a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即4222b c c a ->得()222222ac c a ->，即2222222a c c e c -+>可得：22140e e-+> 即：42410e e -+> 即：()22230e -->即：223(01)e e -<<< 故：232e <-620e -∴<<620,2e ⎛⎫-∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭选故：A.【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率范围问题，解题关键是掌握椭圆离心率定义，要注意椭圆的离心率范围是：01e <<，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 10.在四面体S ABC -中，点P 在线段SA 上运动（不含端点）.设PA 与平面PBC 所成角为1θ，PB 与平面SAC 所成角为2θ，PC 与平面ABC 所成角为3θ，则（）A. 213θθθ<<B. 231θθθ<<C. 312θθθ<<D.321θθθ<<【答案】D 【解析】【分析】不妨设()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()1,1,1S ，AP AS λ=，01λ<<，然后算出122sin 443n PA n PAθλλ⋅==⋅++，222sin 333θλλ=-+，322sin 333λθλλ=-+即可.【详解】不妨设()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()1,1,1S ，AP AS λ=，01λ<< 所以()()0,1,10,,AP AS λλλλ===，所以()1,,P λλ所以()()()0,,,1,1,,1,,1PA PB PC λλλλλλ=--=---=---设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =则有00n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()()()1010x y z x y z λλλλ-+-+-=⎧⎪⎨-+-+-=⎪⎩，即()12y z x y λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩所以可取()12,1,1n λ=-所以1sin 4n PA n PAθ⋅==⋅，同理可得2sinθ=，3sin θ=因为()22244333370λλλλλλ++--+=+>>所以123sin sin sin θθθ>>，故123θθθ>>，故选：D【点睛】对于选择题，特殊化处理是解答本题的关键. 二、填空题 11.()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则实数a =______，该展开式中常数项为______.【答案】 (1). 1 (2). 10 【解析】【分析】由()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为2求出1a =，然后写出()521x -的展开式的通项即可算出答案. 【详解】因为()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为2 所以令()5121ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭中的1x =可得12a +=，所以1a = 因为()521x -的展开式的通项为()()()5551552112,0,1,2,3,4,5rrrrrr r r T C x C x r ---+=-=-=所以()5121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为()44511210C ⨯⨯-⨯= 故答案为：1，10【点睛】本题考查的是二项式定理的相关知识，属于基础题.12.一个四面体的三视图如图所示（单位cm ），则该四面体体积（单位cm 3）为______，外接球的表面积（单位cm 2）为______.【答案】 (1). 6 (2). 34π 【解析】【分析】根据三视图画出原图，由此计算出几何体的体积，并计算出外接球的表面积.【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示四面体1A BCD -，将其放置在长方体1111ABCD A B C D -中，所以几何体的体积为11114336332BCD S AA ∆⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.四面体1A BCD -的外接球即长方体1111ABCD A B C D -的外接球，外接球的直径为222143334AC =++=22114342AC AC πππ⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：（1）6；（2）34π.【点睛】本小题主要考查由三视图求几何体的体积，考查几何体外接球表面积的求法，属于基础题.13.已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，最小正周期,2T ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则T =______，()f x 的单调递减区间是______. 【答案】 (1). 23π(2). ()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据()f x 的对称性和T 的范围，求得,,T ωϕ，根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递减区间.【详解】由于()f x 的最小正周期,2T ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0>ω，所以2,242πππωω⎛⎫∈⇒<< ⎪⎝⎭. 由于()f x 图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，所以11224,,42k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧+=⎪⎪∈⎨⎪-+=+⎪⎩，两式相加得()1122,,22k k k k Z πϕπ=++∈，由于02πϕ<<，02ϕπ<<，所以224ππϕϕ=⇒=.则11141,44k k k Z ππωπω=⇒=-∈+，结合24ω<<可得3ω=，所以()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为23T π=. 由3232242k x k πππππ+≤+≤+，解得225312312k k x ππππ+≤≤+，所以()f x 的减区间为()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：（1）23π；（2）()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查根据三角函数的对称性、周期性求参数，考查三角函数单调区间的求法，考查运算求解能力，属于中档题.14.已知过抛物线()21:20C y px p =>焦点F 的直线与抛物线交于,A B两点，其中(4,A ，双曲线()22222:10,0y x C a b a b-=>>过点,A B ，则p 的值是______，双曲线2C 的渐近线方程是______.【答案】 (1). 4(2). y = 【解析】【分析】根据A 点坐标求得p ，由此求得抛物线方程，进而求得B 点坐标，将,A B 坐标代入双曲线的方程，由此求得,a b ，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】由于A 在抛物线1C上，所以(2244p p =⋅⇒=.所以抛物线方程为28y x =，其焦点坐标为()2,0，所以直线AB的方程为())02242y x x =-=--.由)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩221x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩(1,B -.将,A B 坐标代入双曲线2C 的方程得222232161811a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得25a b ==，所以双曲线的渐近线方程为525a y x x xb =±=±=±.故答案为：（1）4；（2）y = 【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的方程的求法，考查双曲线的渐近线方程，属于中档题.15.某会议有来自6个学校的代表参加，每个学校有3名代表.会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团，不同的选取方法数为______.【答案】540 【解析】【分析】根据分步计数原理以及组合数的计算，求得不同的选取方法数.【详解】第一步：从6个学校中选出3个学校，方法数有3620C =；第二步，从选出的3个学校中各选取1个代表，方法数有33327⨯⨯=；根据分步计数原理可知，总的方法数有2027540⨯=种. 故答案为：540.【点睛】本小题主要考查分步计数原理，考查组合数的计算，属于基础题.16.函数()123,013log ,132x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()22g x x x =-，若()()y g f x t =-恰有3个零点，则实数t 的取值范围是______.【答案】[]1,10 【解析】【分析】设()m f x =，则()g m t =.由()f x 图像知，要使得恰有三个零点，则方程()g m t =存在两个实根12,m m ，满足113m ≤<，23m =或者113m ≤<，221m -≤<，结合()g x 的性质，得110t ≤≤.【详解】画出()f x 的图像如下图所示. 设()m f x =，则()g m t =.由()f x 图像知，要使得恰有三个零点，则方程()g m t =存在两个实根12,m m ，满足“113m ≤<，23m =”或者“113m ≤<，221m -≤<”.由于()()2221g x x x x x =-=-，所以()g x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上递减，在1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，两个零点为1210,2x x ==，最小值为1148g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于()()()210,11,315g g g -===.所以实数t 的取值范围是110t ≤≤，即[]1,10 故答案为：[]1,10【点睛】本小题主要考查函数零点问题的研究，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 17.已知矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，动点M 、N 分别在射线CB 、CD 上运动，且满足22111CM CN+=.对角线AC 交MN 于点P ，设AP x AB y AD =+，则x y +的最大值是______.【答案】85【解析】【分析】由条件可知2222CM CN CM CN +=⋅，故MN CM CN =⋅，则点C 到MN 的距离为1，即1CP ≥，故4AP ≤，则8552AP x y +=≤. 【详解】由于22111CM CN+=，所以2222CM CN CM CN +=⋅，所以222MNCM CN =⋅，所以MN CM CN =⋅，所以点C 到MN 的距离为1，所以1CP ≥，而22345AC =+=，所以4AP ≤，设CAB α∠=，则34sin ,cos 55αα，所以sin ,cos x AB y AD AP AP αα⋅⋅==，则15x y AP ==. 则21185555AP x y AP AP +=+=≤. 故答案为：85【点睛】本小题主要考查向量在几何计算中的运用，属于中档题. 三、解答题18.已知ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ,且)2cos 3cos cos a A c B b C +. (1)求A 的值；(2)若1a =且sin cos B C +=求ABC 的面积. 【答案】(1)6A π=(2)2ABCS=【解析】【分析】(1)根据正弦定理边化角,再利用三角恒等变换以及三角函数值求解A 即可. (2)利用6A π=与内角和的关系,将sin cos B C +=C 的表达式,再利用三角恒等变换结合三角形内角的范围求解即可. 【详解】(1)由)2cos cos cos a A c B b C =+,)2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+故()2sin cos A A B C +即2sin cos A A A =,∵sin 0A ≠,∴cos A =而()0,A π∈,∴6A π=.(2)由sin cos B C +=6A π=得sin cos 62C C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭,3cos 2C C +=32C π⎛⎫+=⎪⎝⎭,5(0,)6C π∈,∴536C ππ+=,2C π=,3B π=. 故sin sinb a B A=,即sin 21sin 2a Bb A===又2C π=,故1122ABCS=⨯=. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理进行边角互化求解角度的问题,同时也考查了三角恒等变换在解三角形中的运用.属于中档题.19.已知三棱柱111ABC A B C -中，M 、N 分别是1CC 与1A B 的中点，1ABA △为等边三角形，1CA CA =，112A A A M BC ==.（Ⅰ）求证：//MN 平面ABC ；（Ⅱ）（i ）求证：BC ⊥平面11ABB A ；（ii ）求二面角A MN B --的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（i ）见解析（ii 470【解析】【分析】（Ⅰ）由//MP BC 推出//MP 平面ABC ，由//PN AB 推出//NP 平面ABC ，则平面//PMN 平面ABC ，由MN ⊂平面PMN 即可得证；（Ⅱ）（i ）勾股定理证明AB BC ⊥、1A B BC ⊥，即可推出BC ⊥平面1ABA ；（ii ）建立空间直角坐标系，求出平面AMN ，平面BMN 的法向量代入121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅即可求得两向量夹角的余弦值，再求出正弦值即可.【详解】（Ⅰ）取1BB 中点P ，连接MP ，则//MP BC ，因为BC ⊂平面ABC ，MP ⊄平面ABC ，所以//MP 平面ABC ，因为N 、P 分别11,A B BB 的中点，所以11//PN A B ，又11//A B AB ，所以//PN AB ，因为AB平面ABC ，PN ⊄平面ABC ，故//NP 平面ABC ，因为NP MP P ⋂=，NP ⊂平面PMN ，MP ⊂平面PMN ，于是平面//PMN 平面ABC ，又MN ⊂平面PMN ，所以//MN 平面ABC . （Ⅱ）（i ）不妨设1BC =，则112A A A M ==.依题意111CA CA C A ==，故1A M 为等腰11ACC △底边上的中线，则11A M CC ⊥.于是2211115AC AC A M MC ==+=，因为222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，同理22211A B BC A C +=，则1A B BC ⊥，又1AB A B B ⋂=，AB 平面1ABA ，1A B ⊂平面1ABA ，所以BC ⊥平面1ABA .（ii ）方法一：因为BC ⊥平面1ABA ，AN ⊂平面1ABA ，所以AN BC ⊥，因为1ABA △为等边三角形且N 为1A B 的中点，所以1AN BA ⊥，又1BCBA B =,BC ⊂平面1A BC ，1BA ⊂平面1A BC ，所以AN ⊥平面1A BC ，因为AN ⊂平面AMN ，故平面AMN ⊥平面1A BC . 设1A CAM Q =，则QN 为平面AMN 与平面1A BC 的交线.过B 作BH QN ⊥于点H ，则BH ⊥平面AMN .又过B 作BG MN ⊥于点G ，则MN ⊥平面BGH ，BGH ∠即为二面角A MNB --的平面角.在BMN △中，2BM MN ==，1BN =，则78BG =；在BQN △中，455BH BN =⋅=. 所以32470sin 35BH BGH BG ∠===，即二面角A MN B --的正弦值是470.方法二：以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0B ，()3,0A -，13,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,1M ，13,,122NM ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，()2,3,1AM =-，()1,0,1BM =. 设平面AMN 的法向量()1111,,n x y z =，平面BMN 的法向量()2222,,n x y z =.由11111111132230x y zn NMn AMx y z⎧⎧-+=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎩⎪-+=⎩，可取()11,3,1n=；由2222222132n NM x y zn BMx z⎧⎧⊥-+=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎩⎪+=⎩，可取231,,13n⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭.于是1212123cos,35753n nn nn n⋅===-⋅⨯，所以二面角A MN B--的正弦值是3247035=.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的判定及证明，二面角的求法，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20.已知正项数列{}n a的首项11a=,其前n项和为nS,且na与1na+2nS数列{}nb满足：122...2nnnab b ba++++=.(1)求23,a a,并求数列{}n a通项公式；(2)记nnnbca=,*n∈N,证明：12 (21)1nc c cn⎛+++<+⎝.【答案】(1)22a=,33a=,()*na n n=∈N. (2)见解析【解析】【分析】(1)由题可得12n n nS a a+=,再根据通项与前n项和的关系求得递推公式22n na a+-=,再根据12,a a 的值求解通项即可.(2)根据通项与前n 项和的关系求出{}n b 的通项公式,再代入可得n c =再利用裂项放缩法或者利用数学归纳法证明即可. 【详解】(1)依题意,12n n n S a a +=由1122a a a =,()12232a a a a +=得22a =,33a =.于是有12n n n S a a +=,1122n n n S a a +++=,两式相减可得()1122n n n n a a a a +++=-. 约去正项1n a +可得22n n a a +-=.又11a =,22a =,所以{}n a 是以1为首项,1为公差的等差数列. 故()*n a n n =∈N . (2)依题意()12211 (22222)n n n a n b b b a n n ++++===-++, 当2n ≥时,12111 (21)n b b b n -+++=-+, 两式相减即得()()1111212n b n n n n =-=++++. 另外113126a b a ==亦符合上式,所以()()112n b n n =++()*n∈N .n c ===证一：22n c <==所以12...21...21n c c c ⎡⎤⎛⎛+++<+++=⎢⎥ ⎝⎝⎣⎦. 证二：（1）1n =时命题成立.（2）假设n k =时命题成立,即12...21k c c c ⎛+++< ⎝那么1211...212121k k k c c c c c ++⎛⎛⎛++++-<+- ⎝⎝⎝22=-=0=<即当1n k =+时命题也成立.综合（1）（2）对任意*n N ∈命题均成立.【点睛】本题主要考查了根据数列通项与前n 项和的关系求得递推公式与通项公式的方法,同时也考查了数列不等式的问题,包括裂项放缩以及数学归纳法的应用.属于难题.21.已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的焦点12F F 的距离为2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于,A B 两点，且1AB =. （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若存在实数t ，使得经过相异两点()24,P t t h +和()22,Q t t h ++的直线交椭圆Γ所得弦的中点恰为点Q，求实数h 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）1h ≤<【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意得到2222213b a a b c ⎧=⎪⎨⎪-==⎩，解得答案.（Ⅱ）计算直线l 的方程22ty x h t =+-，联立方程得到()2221h t t -<+，利用点差法得到()11t h t+=-+，故1h ≥，0t <，变换得到()()2120h t h +-<，解得答案. 【详解】（Ⅰ）根据题意：2c =221ba =，即2222213b aa b c ⎧=⎪⎨⎪-==⎩，解得2a =，故1b =，椭圆Γ的方程为2214x y +=.（Ⅱ）过P 、Q 两点的直线l 的斜率为2222t t t t -=-，直线l 的方程22t y x h t =+-，代入2214x y +=可得()222240x tx h t ⎡⎤++--=⎣⎦，整理可得()()()2222214410tx t h t x h t ⎡⎤++-+--=⎢⎥⎣⎦，依题意()()()2222221616110th t t h t ⎡⎤∆=--+-->⎢⎥⎣⎦，即()2221h t t -<+.① 若设直线l 交椭圆Γ于点()11,x y ，()22,x y ，则依题意有()212222221t h t x x t t --+==++，经整理可得()211t h t +=-+，0t ≠，即()11t h t+=-+.②由题意1t ≠，故由②可知()(]()1,22,h -+∈-∞-+∞，再结合①可知：若0t >，3h <-，则()()()222222223331h t t t t t ->--=+>+>+，不成立；故1h ≥，0t <，将②代入①消去2t ，可得()()()22111h t h t ++<-+，再次将②代入①，可得()()()2111h h t h t +-<-+，即()()2120h t h +-<.又1h ≥，0t <，故解得1h ≤<【点睛】本题考查了椭圆方程，求参数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力，利用点差法是解题的关键.22.已知实数0a ≠，函数()ln ||1f x ax a=-+. （Ⅰ）证明：对任意()0,a ∈+∞，()532f x a ≤-恒成立；（Ⅱ）如果对任意()0,x ∈+∞均有()x af x x a-≤+，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）(]0,1 【解析】【分析】（Ⅰ）求导得到函数()()()23max 4ln 41ln 43ln 1f x f aa a ==-=+-，故只需证5ln 43ln 132a a +-≤-，设()33ln 3ln 42a a a ϕ=-++，求导得到()max 3ln 42a ϕ=-，得到证明.（Ⅱ）对任意()0,x ∈+∞有意义，0a >，令1x =可得111ln 1aa a a-+≤++，所以01a <≤，再证明对任意(]0,1a ∈，任意()0,x ∈+∞，不等式恒成立，考虑关于a 的函数()()1ln x am a xa a x a-=+--+，根据其单调性得到()11ln 01x n x x x -=+≤+，计算函数单调性得到证明.【详解】（Ⅰ）易知()f x 的定义域为0,，若()0,a ∈+∞，则()()ln 1f x ax =+， ()112f x x a ⎫'==-⎪⎭，则()f x 在()20,4a单调增，在()24,a +∞单调减，所以()()()23max 4ln 41ln 43ln 1f x f a a a ==-=+-.要证()532f x a ≤-恒成立，只需证5ln 43ln 132a a +-≤-. 令()33ln 3ln 42a a a ϕ=-++，()0,a ∈+∞.()131a aϕ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，函数在0,1上单调递增，在1,上单调递减，故()()max 31ln 42a ϕϕ==-，由于3ln 402-<， ∴()0a ϕ≤，即()532f x a ≤-恒成立.（Ⅱ）()x a f x x a -≤+，即1ln ||x aax x a-+≤++.（*） 1°（*）对任意()0,x ∈+∞有意义，当x →+∞时，1ln ||ax +→+∞，∴0a >； 2°若（*）对任意()0,x ∈+∞恒成立，则01a <≤特别地，在（*）中令1x =可得111ln 1a a a a-+≤++，故122ln 01a a a +--≤+. 注意到()122ln 1h a a a a =+--+在()0,a ∈+∞单调增，且()10h =，所以()0h a ≤当且仅当01a <≤.3°下面证明：对任意(]0,1a ∈，任意()0,x ∈+∞，不等式（*）恒成立. 首先，将正实数x 给定，考虑关于a 的函数()()1ln x am a xa x a-=++，注意到()()122ln xm a xa a x a =+-+在(]0,1a ∈单调增，故()()111ln 1x m a m x x -≤=++.下面只需说明：()11ln 01x n x x x -=+-≤+对于()0,x ∈+∞恒成立即可. 显然()10n =，故只需说明()n x 在0,1单调增，在()1,x ∈+∞单调减.()()())()222221112121x x n x x x x x ++'=-=++当1x >)()533122222211121x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++>+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()0n x '<；当01x <<时，())5312222222222112121x x x x x x x x x +=+++>++>++=+，故()0n x '>.因此()n x 在0,1单调增，在()1,x ∈+∞单调减. 综上可知，实数a 的取值范围是(]0,1.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，证明不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力，先算后证是解题的关键.。

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