扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学试题

第Ⅰ卷（共60分）
一、填空题：
1.【题文】已知集合{1,2},{2,3}A B ==，则A B = ．
【结束】
2.【题文】若复数21
(4),()2
z a i a R a =
+-∈-是实数，则a = ．
【结束】
3.【题文】已知某一组数据8,9,11,12,x ，若这组数据的平均数为10，则其方差为 ．
【结束】
4.【题文】若以连续掷两次骰子得到的点数n m ,分别作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直
线4x y +=上的概率为 ．
【结束】
5.【题文】运行如图语句，则输出的结果T ＝ ．
【结束】
6.【题文】若抛物线2
8y x =的焦点与双曲线2
21x y m
-=的右焦点重合，则双曲线的离心率为 ．
点重合，∴m+1=4，∴m=3,∴e=
3c a ==,考点：本题考查了抛物线与双曲线的性质 【结束】
7.【题文】已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为3
，则该圆锥的侧面积为 ．
【结束】
8.【题文】将函数()2sin(),(0)3
f x x π
ωω=-
>的图象向左平移
3π
ω
个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64
ππ
-
上为增函数，则ω最大值为 ．
【结束】
9.【题文】已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
上的一个
动点，则OA OM
的取值范围是 ． 【答案】[0,2] 【解析】
【结束】
10.【题文】数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列，则{}n a 的通项公式是 ．
【结束】
11.【题文】若对任意x R ∈，不等式23
324
x ax x -≥-恒成立，则实数a 的范围 ． 【答案】11a -≤≤
【结束】
12.【题文】函数4log ,0
()cos ,0
x x f x x x >⎧=⎨
≤⎩的图象上关于原点O 对称的点有 对.
【结束】
13.【题文】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是椭圆22
1259
x y +=上的一个动点，点P
在线段OA 的延长线上，且72OA OP ⋅=
，则点P 横坐标的最大值为 ．
【结束】
14.【题文】从x 轴上一点A 分别向函数3
()f x x =-与函数33
2
()||g x x x
=
+引不是水平方向的切线1l 和2l ，两切线1l 、2l 分别与y 轴相交于点B 和点C ，O 为坐标原点，记△OAB 的面积为1S ，△OAC 的面积为2S ，则1S +2S 的最小值为 ．
【结束】
第Ⅱ卷
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.【题文】已知函数()sin()2cos()cos 22
f x x x x x π
π=⋅--+⋅+.
（1）求)(x f 的最小正周期；
（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若4)(=A f ，1=b ，ABC ∆的
面积为
2
3
，求a 的值.
【结束】
16.【题文】已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上．
（1）求证：平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1；
（2）若3=AD ，AB=BC=2，P 为AC 中点，求三棱锥1P A BC -的体积。

由（1）AD ⊥平面A 1BC ，∴PQ ⊥平面A 1BC ，
1P-A BC V ∴=
14分 考点：本题考查了空间中的线面关系 【结束】
17.【题文】某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x 亿元，其中用于风景区改造为y 亿元。

该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少a 亿元，至多b 亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得每年改造生态环境总费用的22%。

（1）若2a =， 2.5b =，请你分析能否采用函数模型y ＝31
(416)100
x x ++作为生态环境改造投资方案；
（2）若a 、b 取正整数，并用函数模型y ＝31
(416)100
x x ++作为生态环境改造投资方案，请你求出a 、b 的取值．
∴能采用函数模型y ＝
31
(416)100
x x ++作为生态环境改造投资方案。

9分
【结束】
18.【题文】椭圆C的右焦点为F，右准线为l，离心率为
，点A在椭圆上，以F为圆
2
心，FA为半径的圆与l的两个公共点是,B D．
是边长为2的等边三角形，求圆的方程；
（1）若FBD
A F B三点在同一条直线m上，且原点到直线m的距离为2，求椭圆方程．（2）若,,
法解答，这就要学生在解决问题时要充分利用数形结合、设而不求、弦长公式及韦达定理综
合思考，重视
原点O到直线m的距离d ，
2
=
，c=
，所以b=，
【结束】
19.【题文】已知函数()ln
f x x x
=-，()ln
a
g x x
x
=+，（0
a>）．
（1）求函数()
g x的极值；
（2）已知
1
x>，函数1
1
()()
()
f x f x
h x
x x
-
=
-
，
1
(,)
x x
∈+∞，判断并证明()
h x的单调性；
（3）设
12
0x x
<<，试比较12
()
2
x x
f
+
与
12
1
[()()]
2
f x f x
+，并加以证明．
【结束】
20.【题文】设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n (2,3,4,)n = 阶“期待数列”： ①1230n a a a a ++++= ；②1231n a a a a ++++= ． （1）若等比数列{}n a 为2k (*k N ∈)阶“期待数列”，求公比q ；
（2）若一个等差数列{}n a 既是2k (*k N ∈)阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n = ： （ⅰ）求证：1
||2
k S ≤
； （ⅱ）若存在{1,2,3,,}m n ∈ 使1
2
m S =
，试问数列{}i S 能否为n 阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．
10a ≥，20a ≥，…，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，…，0n a ≤，
【结束】
21.【题文】在直角坐标系xOy 内，直线l 的参数方程为22,
14,
x t y t =+⎧⎨
=+⎩(t 为参数)．以Ox 为
极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)4
π
ρθ=+.判断直线l 和圆C 的位置关
系.
【结束】
22.【题文】某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。

规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过。

已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成。

（1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）若考生乙每题正确完成的概率都是2
3
，且每题正确完成与否互不影响。

试从至少正确
完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
【结束】
23．【题文】（1）设1x >-，试比较ln(1)x +与x 的大小；
（2）是否存在常数N a ∈，使得111(1)1n k k a a n k
=<+<+∑对任意大于1的自然数n 都成立？
若存在，试求出a 的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由。

1
=-< 33
m
21 由（1）知：当(0,1]x ∈时，ln(1)x x +<，。