人教B版数学必修四同步过关提升特训：1.2.4诱导公式1

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高中数学人教B版必修4作业：1.2.4-第1课时诱导公式一、二 Word版含解析

一、选择题1．cos(－41π3)的值为()A.12B．－12C.32 D.36【解析】cos(－41π3)＝cos(－14π＋π3)＝cosπ3＝12.【答案】A2．sin(－1 560°)的值是()A．－32B．－12C.12 D.32【解析】sin(－1 560°)＝－sin 1 560°＝－sin(4×360°＋120°)＝－sin 120°＝－32.【答案】A3．α是第四象限的角，cos α＝1213，则sin(20kπ－α)＝() A.513B．－513C.512D．－512【解析】由题意得sin α＝－1－cos2α＝－513，∴sin(20kπ－α)＝sin(－α)＝－sin α＝513.【答案】A4.1－2sin(2π＋2)cos(2π－2)等于()A．sin 2－cos 2 B．sin 2＋cos 2C．±(sin 2－cos 2) D．cos 2－sin 2【解析】原式＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|.而sin 2＞cos 2，故应选A.【答案】A5．设f(α)＝2sin(2π－α)cos(2π＋α)－cos(－α)1＋sin2α＋sin(2π＋α)－cos2(4π－α)，则f(－236π)的值为()A.33B．－33C. 3 D．－3【解析】f(α)＝2sin(－α)cos α－cos α1＋sin2α＋sin α－cos2α＝－cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝－1tan α.∴f(－236π)＝－1tan(－236π)＝－1tanπ6＝－ 3.【答案】D二、填空题6．(2019·沈阳高一检测)cos 1 110°的值为________．【解析】cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝3 2.【答案】3 27．sin 690°＋cos(－1 140°)＋tan 1 020°的值为________．【解析】原式＝sin(2×360°－30°)＋cos(－3×360°－60°)＋tan(3×360°－60°)＝sin(－30°)＋cos(－60°)＋tan(－60°)＝－sin 30°＋cos 60°－tan 60°＝－12＋12－3＝－ 3.【答案】－38．若tan(－α－π6)＝－3，则tan(136π＋α)＝________.【解析】∵tan(－α－π6)＝tan[－(α＋π6)]＝－3，∴tan(α＋π6)＝3.∴tan(136π＋α)＝tan[2π＋(α＋π6)]＝tan(α＋π6)＝3. 【答案】 3 三、解答题 9．化简求值：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)cos(－233π)＋tan 17π4.【解】 (1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1.(2)原式＝cos[π3＋(－4)×2π]＋tan(π4＋2×2π) ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.10．化简：sin 2(α－2π)cos (2π＋α)cot (－α－2π)tan (2π－α)cos 3(－α－4π).【解】原式＝sin 2α·cos α·cot (－α)tan (－α)cos 3(－α)＝sin 2αcos α·cos α(－sin αcos α)·cos 3α·sin (－α)＝sin 2α·cos 2αsin 2α·cos 2α ＝1.11．已知sin(2π＋α)＋cos(－α)＝23，α∈(π2，π)，求sin α－cos α的值．【解】由sin(2π＋α)＋cos(－α)＝sin α＋cos α，故sin α＋cos α＝23. 两边平方并整理得sin αcos α＝－718.又由α∈(π2，π)，得sin α＞cos α，∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2×(－7 18)＝43.。

高一数学人教b版必修4同步训练：1.2.4 诱导公式(一) 含解析

＝sin π·cos ＝sin ·cos
＝ × ＝ .
当n为奇数时，n＝2k＋1，k∈Z.
原式＝sin(2kπ＋π－ π)·cos(2kπ＋π＋ π)
＝sin ·cos
＝sin ·cos
＝sin ×cos ＝ × ＝ .
∴sin(nπ－ π)·cos(nπ＋ π)＝，n∈Z.
11．解原式＝
＝＝
A. B. C．－1D．1
5．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于()
A. B．－
C. D．－
6．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈ ，则cos(π＋α)的值为()
A. B．－
C．± D．以上都不对
7．已知cos ＝，则cos ＝________.
8．代数式的化简结果是____．
1.2.4
一、基础过关
1．sin 585°的值为()
A．－ B. C．－ D.
2．若n为整数，则代数式的化简结果是()
A．±tanαB．－tanα
C．tanαD． tanα
3．若cos(π＋α)＝－， π<α<2π，则sin(2π＋α)等于()
A. B．± C. D．－
4．tan(5π＋α)＝m，则的值为()
13．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－ sin(π－B)， cos A＝－ cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
答案
1．A2.C3.D4.A5.B6.B
7．－ 8.－19.3
10．解当n为偶数时，n＝2k，k∈Z.
原式＝sin(2kπ－ π)·cos(2kπ＋ π)
＝sin ·cos
＝(－sin π)·cos
12．证明∵sin(α＋β)＝1，

人教新课标版数学高一B版必修4学案 1.2.4 诱导公式(一)

1.2.4诱导公式(一)明目标、知重点 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.1.设α为任意角，则2kπ＋α(k∈Z)，－α，(2k＋1)π＋α(k∈Z)的终边与α的终边之间的对称关系2.诱导公式一～三(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.(2)公式二：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.(3)公式三：sin＝－sin α，cos＝－cos α，tan＝tan α，其中k∈Z.在初中，我们已经会求锐角的三角函数值.对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解.本节课将解决这一问题.探究点一诱导公式一思考1诱导公式一是什么？答由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等.由此得到诱导公式一：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，其中k∈Z.思考2诱导公式一的作用是什么？答把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值.例1求下列各式的值.(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°＝32×32＋12×12－1＝0. 反思与感悟利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－23π3＋tan 17π4； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.解 (1)原式＝cos ⎣⎡⎦⎤π3＋(－4)×2π＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2×2π ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°) ＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180°＝－1＋1＋1－1＝0.探究点二诱导公式二思考1 设角α的终边与单位圆的交点为P 1(x ，y )，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P 2坐标如何？答角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称.角－α与单位圆的交点为P 2(x ，－y ).思考2 根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ； sin(－α)＝－y ＝－sin α；cos(－α)＝x ＝cos α，tan(－α)＝－y x＝－tan α. 即诱导公式二sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α，tan (－α)＝－tan α.思考3 诱导公式二有何作用？答将负角的三角函数转化为正角的三角函数.探究点三诱导公式三思考1 设角α的终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？如图，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，则角π＋α的终边与单位圆的交点P 2的坐标如何？答角π＋α的终边与角α的终边关于原点O 对称.P 2(－x ，－y ).思考2 根据三角函数定义，sin(π＋α) 、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，(2k ＋1)π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝－y －x ＝y x. 诱导公式三sin ＝－sin α，cos ＝－cos α，tan ＝tan α.思考3 公式三有何作用？答第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.小结公式一～三都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，－α，(2k ＋1)π＋α(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变，符号看象限”！例2 利用公式求下列三角函数的值：(1)cos 225°；(2)sin 11π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3；(4)cos(－2 040°). 解 (1)cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22； (2)sin 11π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4π－π3＝－sin π3＝－32； (3)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3＝－sin 16π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫5π＋π3＝－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝32； (4)cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(6×360°－120°)＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12. 反思与感悟利用诱导公式求三角函数值时，先将不是0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再转化到⎣⎡⎦⎤0，π2范围内的角的三角函数值. 跟踪训练2 求下列三角函数值.(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π；(3)tan(－855°). 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12； (2)cos 296π＝cos(4π＋56π)＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32； (3)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.例3 化简：cos (180°＋α)·sin (α＋360°)sin (－α－180°)·cos (－180°－α).解 sin(－α－180°)＝sin＝－sin(180°＋α)＝－(－sin α)＝sin α，cos(－180°－α)＝cos＝cos(180°＋α)＝－cos α，所以，原式＝－cos α·sin αsin α·(－cos α)＝1. 反思与感悟利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.跟踪训练3 化简：tan (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ). 解原式＝tan (－θ)·sin (－θ)·cos (－θ)cos (π－θ)·sin (π＋θ)＝(－tan θ)·(－sin θ)·cos θ(－cos θ)·(－sin θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. 例4 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值. 解 cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－⎣⎡⎦⎤1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－1 ＝⎝⎛⎭⎫332－33－1＝－2＋33. 反思与感悟对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.跟踪训练4 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值. 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15.1.求下列三角函数的值.(1)sin 690°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π；(3)tan(－1 845°). 解 (1)sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330°＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°)＝－sin 30°＝－12. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π＝cos 203π＝cos(6π＋23π) ＝cos 23π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12. (3)tan(－1 845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.2.化简：1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 3.证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z . 证明当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α，∴左边＝右边.当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2[－sin (π－α)](－cos α)(－sin α)＋(－sin α)＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α. 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边.综上所述，2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立.1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.一、基础过关1.sin 585°的值为( )A.－22B.22C.－32D.32答案 A2.若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是( ) A.±tan α B.－tan α C.tan α D.12tan α 答案 C3.若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( ) A.12 B.±32 C.32 D.－32答案 D解析由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2 α＝－32(α为第四象限角).4.tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C.－1D.1 答案 A解析原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 5.记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2kB.－1－k 2kC.k 1－k 2D.－k 1－k 2 答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k .∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k .6.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝ .答案－33解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－(π6＋θ)＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－33.7.化简：sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)，n ∈Z .解当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z .原式＝sin(2k π－23π)·cos(2k π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫－23π·cos 43π＝(－sin 23π)·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π＝sin 23π·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z .原式＝sin(2k π＋π－23π)·cos(2k π＋π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫π＋43π＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝sin π3×cos π3＝32×12＝34.∴sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)＝34，n ∈Z .二、能力提升8.若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为()A.53 B.－53C.±53 D.以上都不对答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 2 2－23＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2 α＝－ 1－49＝－53. 9.已知tan(4π＋α)＝m (m ≠±1)，则sin (α－2π)＋2cos (2π－α)2sin (－α)－cos (2π＋α)的值为 . 答案－m ＋22m ＋110.设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数.若f (2 015)＝1，则f (2 016)＝ .答案 3解析 ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1，∴a sin α＋b cos β＝1，f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝3.11.若cos(α－π)＝－23，求 sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值. 解原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角. 当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52. 12.已知tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根，且3π<α<7π2，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值.解因为tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根，所以tan α·1tan α＝13×(3k 2－13)＝1，可得k 2＝163. 因为3π<α<7π2，所以tan α>0，sin α<0，cos α<0，又tan α＋1tan α＝－－3k 3＝k ，所以k >0，故k ＝433，所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝433，所以sin αcos α＝34，所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×34＝2＋32. 因为cos α＋sin α<0，所以cos α＋sin α＝－3＋12. 所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cos α＋sin α＝－3＋12.三、探究与拓展13.在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角.解由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，∴cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去.∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，C ＝712π.。

高中数学人教B版必修4导学案：1.2.4诱导公式一

诱导公式（一）崔文 .3.6一、学习目标：1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．2．理解诱导公式的推导过程．3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．二、重点与难点：重点：诱导公式的记忆、理解、运用。

难点：诱导公式的推导、记忆及符号的判断；三、自学检测1.背诵诱导公式一～三(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝，cos(α＋2kπ)＝，tan(α＋2kπ)＝，其中k ∈Z.(2)公式二：sin(－α)＝，cos(－α)＝，tan(－α)＝ .(3)公式三：sin[α＋(2k ＋1)π]＝，cos[α＋(2k ＋1)π]＝，tan[α＋(2k ＋1)π]＝，其中k ∈Z.2.计算(1)sin 390°＝； (2)sin 1 860°＝；(3)sin(－315°)＝； (4)sin(－630°)＝ .(5)sin(－390°)＝，(6)cos ⎝⎛⎭⎫－π3＝， (7)tan ⎝⎛⎭⎫－74π＝ . (8)sin 76π＝，(9)cos 54π＝，(10)tan 240°＝ .四、典型例题例1 求下列三角函数的值．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－194π；(2)cos 960°. 跟踪训练1 求下列三角函数的值．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π；(3)tan(－855°)．例2 化简：sin 2(α＋3π)cos (α＋π)tan (α＋π)cos 3(－α－π).跟踪训练2 化简：tan (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ).例3 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值．跟踪训练3 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．五、课堂小结12．诱导公式的记忆这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.六、课后作业一、基础过关1． sin 585°的值为 ( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是 ( ) A ．±tan α B ．－tan αC ．tan αD ．12tan α 3．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于 ( ) A.12 B ．±32 C.32 D ．－324． tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为 ( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．15．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于 ( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2k C.k 1－k 2 D ．－k 1－k 26．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为 ( ) A.53B ．－53C ．±53D ．以上都不对7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝________. 8．代数式1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°的化简结果是____．二、能力提升9．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 013)＝1，则f (2 014)＝________. 10．化简：sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)，n ∈Z .11．若cos(α－π)＝－23，求 sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.。

高二数学新人教B版必修4 1.2.4 诱导公式

1.2.4 （第二课时）角α与(21),k k Z απ++∈的三角函数关系
一、教学目标
知识目标要求学生掌握诱导公式的简单综合运用
能力目标运用数形结合的思想探究问题、解决问题，理解对称变换思想在学生学习过程中
的渗透
素养目标培养学生由特殊到一般的归纳问题意识，养成勤于联想、善于探索的习惯
二、教学重点、难点
重点是诱导公式以及这诱导公式的综合运用
难点是公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透
三、教学方法
在老师的引导下采取由学生亲自动手总结规律，由一般到特殊，由简单到复杂。

变换的思想贯穿始终，在数学教学中将数学思想渗透于知识的传授之中，让学生充分了解对称变换思想在研究数学问题中的作用，初步形成用对称变思想解决问题的习惯。

知识的纵向延伸可以获得知识，而加强知识间的横向联系根能发展学生的思维能力，提高灵活运用知识分析和解决问题的能力，所以在习题的安排上遵循由浅入深，循序渐进的原则。

四、教学过程
五、课堂小节
通过本节课的教学，我们获得了诱导公式．值得注意的是公式右端符号．在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想．通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性。

知识的纵向延伸可以获得知识，而加强知识间的横向联系根能发展学生的思维能力，提高灵活运用知识分析和解决问题的能力。

六、布置作业。

高中数学人教B版必修4教案：1.2.4 诱导公式(一) Word版含答案

1.2.4 诱导公式（一）
一、学习目标
1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+πk2，-α角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；
2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；
二、教学重点、难点
重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.
难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
三、教学方法
先由学生自学，然后由教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.。

高中数学人教B版必修四学案：第一单元 1.2.4 诱导公式(一) Word版含答案

1.2.4诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.知识点一角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系思考角α与α＋k·2π(k∈Z)的终边有什么位置关系？其三角函数值呢？梳理诱导公式(一)知识点二角α与－α的三角函数间的关系思考1设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？思考2根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？梳理诱导公式(二)知识点三角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系思考1设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？如图，设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点P2的坐标如何？思考2根据三角函数定义，sin(π＋α)、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，(2k＋1)π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？梳理诱导公式(三)特别提醒：公式一～三都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，－α，(2k ＋1)π＋α(k ∈Z )的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”！类型一利用诱导公式求值命题角度1 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值.(1)cos 210°；(2)sin 11π4； (3)sin(－43π6)；(4)cos(－1 920°).反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：(1)“负化正”：用公式一或二来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°之间的角.(3)“角化锐”：用公式一或三将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6； (3)tan(－945°).命题角度2 给值求角问题例2 已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A.－π6 B.－π3 C.π6 D.π3反思与感悟对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.跟踪训练2 已知sin(π－α)＝－2sin(π＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.类型二利用诱导公式化简例3 化简下列各式.(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.引申探究若将本例(1)改为：tan (n π－α)sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简.反思与感悟三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4. 跟踪训练3 化简下列各式.(1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°).1.sin 585°的值为( )A.－22B.22C.－32D.322.cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( ) A.－1＋32B.1－32C.3－12D.3＋123.已知cos(π－α)＝32(π2<α<π)，则tan(π＋α)等于( ) A.12 B.33 C.－ 3 D.－334.sin 750°＝________.5.化简：cos (α－π)sin (5π＋α)·sin(α－2π)·cos(2π－α).1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.答案精析问题导学知识点一思考角α与α＋k ·2π(k ∈Z )的终边相同，根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等．梳理 cos α sin α tan α知识点二思考1 角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称．角－α与单位圆的交点为P 2(x ，－y )．思考2 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x； sin(－α)＝－y ＝－sin α；cos(－α)＝x ＝cos α，tan(－α)＝－y x＝－tan α. 梳理 cos α －sin α －tan α知识点三思考1 角π＋α的终边与角α的终边关于原点O 对称．P 2(－x ，－y )．思考2 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝－y －x ＝y x. 梳理－cos α －sin α tan α题型探究例1 (1)cos 210°＝－32. (2)sin 11π4＝22. (3)sin(－43π6)＝12. (4)cos(－1 920°)＝－12. 跟踪训练1 解 (1) sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6 ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32. 例2 D跟踪训练2 解由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵0<α<π，∴sin α＝22， ∴α＝π4或α＝34π. 把α＝π4，α＝34π分别代入②，得cos β＝32或cos β＝－32. 又∵0<β<π，∴β＝π6或β＝56π. ∴α＝π4，β＝π6或α＝34π，β＝56π. 例3 解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 引申探究解当n ＝2k 时，原式＝－tan α·(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝－tan α；当n ＝2k ＋1时，原式＝－tan α·sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝－tan α.综上，原式＝－tan α.跟踪训练3 (1)1 (2)12当堂训练1．A 2.C 3.D 4.125．解原式＝cos (π－α)sin (π＋α)·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α) ＝－cos α－sin α·sin α·cos α＝cos 2α.。

数学人教B版必修4教案：1.2.4 诱导公式(一) Word版含答案

数学人教B版必修4同步训练：1.2.4诱导公式含解析精品

1.2.4 诱导公式知识点一：诱导公式(1)(2)(3) 1．(全国高考Ⅰ，文1)cos300°等于 A ．－32 B ．－12 C.12 D.322．与cos 13π3的值相同的是A ．sin π3B ．sin π6C ．sin π4D ．sin π23．已知cos(π＋α)＝－35且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于A.45 B ．－45 C ．±45 D.35 4．若sin(－α)＝－m ，则sin(3π＋α)＋12sin(2π－α)等于A ．－23mB ．－32m C.23m D.32m5．若|cosα|＝cos(π＋α)，则角α的集合为__________． 6．化简sin(－α)·cos(2π＋α)·tan(2π＋α)＝__________. 知识点二：诱导公式(4)7．sin 2(π2＋α)＋cos(π＋α)·cos (－α)＋1的值是A ．1B ．2sin 2αC ．2cos 2αD ．0 8．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是 A ．cos(A ＋B)＝cosC B ．sin(A ＋B)＝sinC C ．tan(A ＋B)＝tanC D ．sin A ＋B 2＝sin C29．若cos(π＋α)＝－13，那么sin(3π2－α)等于A ．－13 B.13 C.23 2 D ．－23210．f(sinx)＝3－cos2x ，则f(cosx)＝__________. 11．sin 2(π3－x)＋sin 2(π6＋x)＝__________.能力点一：利用诱导公式求值12．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是A.355B.377C.31010D.1313．sin 2150°＋sin 2135°＋2sin210°＋cos 2225°的值是 A.14 B.34 C.114 D.9414．(2010全国高考Ⅰ，理2)记cos(－80°)＝k ，那么tan100°等于 A.1－k 2k B ．－1－k 2kC.k 1－k 2 D ．－k 1－k 215.sin (45°＋θ)sin (45°－θ)cos (45°＋θ)cos (45°－θ)＝__________. 16．求下列各三角函数值： (1)sin π4cos 19π6tan 21π4；(2)3sin(－1 200°)tan 19π6－cos585°tan(－37π4)．17．已知sinα是方程5x 2－7x －6＝0的根，求[sin(α＋3π2)·sin(3π2－α)·tan 2(2π－α)·tan(π－α)]÷[cos(π2－α)·cos(π2＋α)]的值．能力点二：利用诱导公式进行化简18．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)化简的结果为__________．(用m 表示)19．化简： (1)sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°； (2)tan1°tan2°tan3°…tan89°.20.化简：cos(4n －14π－α)·sin(4n ＋14π－α)(n ∈Z )．能力点三：利用诱导公式进行证明21．求证：tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α)＝sin 2α.22．设k ∈Z ，求证：sin (kπ－α)cos (kπ－α)sin[(k ＋1)π＋α]cos[(k ＋1)π－α]＝－1.23．已知α是第三象限的角，f(α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋3π2)cot (－α－π)sin (－π－α).(1)化简f(α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－1 860°，求f(α)的值．答案与解析基础巩固1．C cos300°＝cos(300°－360°) ＝cos(－60°)＝cos60°＝12.2．B cos 13π3＝cos(4π＋π3)＝cos π3＝12＝sin π6.3．B4．B ∵sin(－α)＝－m ， ∴sinα＝m.sin(3π＋α)＋12sin(2π－α)＝sin(π＋α)＋12sin(－α)＝－sinα－12sinα＝－32sinα＝－32m.5．{α|2kπ＋π2≤α≤2kπ＋3π2，k ∈Z }6．－sin 2α7．A8．B ∵A 、B 、C 满足A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2，∴B 正确．9．A ∵cos(π＋α)＝－13，∴cosα＝13.∴sin(3π2－α)＝－cosα＝－13.10．3＋cos2x ∵cosx ＝sin(π2－x)，∴f(cosx)＝f[sin(π2－x)]＝3－cos[2(π2－x)]＝3－cos(π－2x) ＝3＋cos2x.11．1 ∵(π3－x)＋(π6＋x)＝π2，∴原式＝sin 2(π3－x)＋cos 2(π3－x)＝1.能力提升12．C 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－2ta nα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2tanα－3sinβ＝5，tanα－6sinβ＝1.∴sinβ＝13，tanα＝3.又∵α为锐角，∴sinα>0.由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sinα＝3cosα，解得sinα＝31010.13．A14．B ∵cos(－80°)＝cos80°＝k ， ∴sin80°＝1－cos 280°＝1－k 2. ∴tan100°＝－tan80° ＝－sin80°cos80°＝－1－k 2k.15．1 原式＝tan(45°＋θ)tan(45°－θ)＝tan(45°＋θ)·cot(45°＋θ)＝1. 16．解：(1)原式＝sin π4cos(2π＋7π6)tan(4π＋5π4)＝22cos 7π6tan 5π4 ＝22cos(π＋π6)tan(π＋π4) ＝22(－cos π6)tan π4 ＝－22×32×1 ＝－64. (2)原式＝－3sin1 200°tan(2π＋7π6)－cos(360°＋225°)(－tan 37π4) ＝－3sin(－240°)tan π6－cos45°tan(π＋π4)＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4 ＝－3×33sin60°－22＝－2＋32.17．解：5x 2－7x －6＝0的根为x ＝2或x ＝－35，所以sinα＝－35.所以cosα＝±1－sin 2α＝±45.所以tanα＝±34.原式＝(－cosα)(－cosα)tan 2α(－tanα)sinα(－sinα)＝tanα＝±34.18.m ＋1m －1 由tan(5π＋α)＝tanα＝m 知，原式＝－sinα－cosα－sinα＋cosα＝tanα＋1tanα－1＝m ＋1m －1.19．解：(1)原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝(sin 21° ＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝1＋1＋…＋1＋12＝44＋12＝892.(2)∵tan1°tan89°＝sin1°sin89°cos1°cos89°＝sin1°cos1°cos1°sin1°＝1.同理，tan2°tan88°＝1＝tan3°tan87° ＝…＝tan44°tan46°＝1，且tan45°＝1. ∴原式＝(tan1°tan89°)(tan2°tan88°)(tan3°tan87°)…(tan44°tan46°)tan45°＝1. 20.解：原式＝cos[nπ－(π4＋α)]·sin[nπ＋(π4－α)]．当n 为奇数时，原式＝cos[π－(π4＋α)]·sin[π＋(π4－α)]＝－cos(π4＋α)·[－sin(π4－α)]＝cos[π2－(π4－α)]sin(π4－α)＝sin 2(π4－α)，当n 为偶数时，原式＝cos[－(π4＋α)]·sin(π4－α)＝cos(π4＋α)·sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]·sin(π4－α)＝sin 2(π4－α)，综上，原式＝sin 2(π4－α)．21．证明：左边＝tan(－α)·sin(－α)·cos(－α) ＝(－tanα)·(－sinα)·cosα ＝sin 2α＝右边， ∴原等式成立．22．证明：(1)当k ＝2n(n ∈Z )时， ∵左边＝－sinαcosα－sinα(－cosα)＝－1＝右边， ∴原式成立；(2)当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时， ∵左边＝sinα(－cosα)sinαcosα＝－1＝右边， ∴原式成立．综上所述，原式成立．拓展探究23．解：(1)f(α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋3π2)cot (－α－π)sin (－π－α)＝sinα·cosα·cotα(－cotα)sinα＝－cosα.(2)∵cos(α－3π2)＝cos(π2＋α)＝－sinα，∴sinα＝－15，cosα＝－52－15＝－25 6.∴f(α)＝256.(3)f(α)＝f(－1 860°) ＝－cos(－1 860°)＝－cos1 860° ＝－cos(360°×5＋60°)1＝－cos60°＝－2.。

数学人教B版必修4课前导引：1.2.4诱导公式含解析精品

1.2.4 诱导公式
课前导引
情景导入
我们利用单位圆定义了三角函数线,而圆具有很好的对称性,能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢?例如,能否从单位圆关于x 轴,y 轴,直线y=x 的轴对称性以及关于原点O 的中心对称性等出发,获得一些三角函数的性质呢?下面,我们结合三角函数的定义,由上述对称性来讨论一些角的三角函数的关系
.
知识预览
1.公式一 sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα,tan(2kπ+α)=tanα.
2.公式二 sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.
3.公式三 sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.
4.公式四 sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.
5.公式五 sin(
2π-α)=cosα,cos(2
π-α）=sinα. 6.公式六 sin(2π+α)=cosα,cos (2π+α)=-sinα. 7.利用诱导公式求任意角的三角函数值,步骤如下
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高中数学1.2任意角的三角函数1.2.4诱导公式课后导练新人教B版必修4(含解析)

1.2.4 诱导公式课后导练基础达标 1.sin(611π-)的值为（） A.21 B.-21 C.23 D.23- 答案：A2.如果f(x+π)=f(-x),且f(-x)=f(x)，则f(x)可以是（）A.sin2xB.cosxC.sin|x|D.|sinx| 解析：f(-x)=f(x)时，对A 不成立.假如选B.由f(x+π)=cos(π+x)=-cosx,而f(-x)=cos(-x)=cosx,∴B 不成立.假如选C.由f(x+π)=sin|x+π|，f(-x)=sin|-x|=sin|x|,知C 不成立.∴选D.答案：D3.在△ABC 中，下列各表达式为常数的是（）A.sin(A+B)+sinCB.cos(B+C)-cosAC.tan 2B A +tan 2CD.cos 2C B +sec 2A 解析：∵A+B+C=π，∴sin(A+B)+sinC=sin(π-C)+sinC=2sinC,cos(B+C)-cosA=cos(π-A)-cosA=-2cosA ， tan2B A +²tan 2C =cot 2C ²tan 2C =1， cos 2C B +sec 2A =cos(2π-2A )sec 2A =sin 2A sec 2A =tan 2A . 答案：C4.设cos(π+α)=23(π<α<23π),那么sin(2π-α)的值是（） A.-21 B.23 C.23- D.21 解析：∵cos(π+α)=-cos α=23,∴cos α=23-(π<α<23π). ∴sin(2π-α)=sin(-α)=-sin α=22)23(1cos 1-=-α=21.答案：D5.已知sin α是方程6x=1-x 的根，那么)cos()23cos()2tan()5cos(απαπαππα-+--的值等于（） A.±205 B.±1515 C.205- D.801 解析：∵6x=1-x ,∴x =31或x =-21(舍去).∴x=91. 又∵sin α是方程6x=1-x 的根，∴sin α=91. ∴cos α=±954)91(12±=-. ∴)cot(sin )tan()cos()cot()23cos()tan()5cos(αααπααπαπαππα---=-+-- 205cos sin tan cot sin tan cos ±=-=--=ααααααα. 答案：A 6.(2006黄冈中学模拟) cos(619π-)的值是( ) A.21 B.-21 C.23 D.23- 解析:cos(619π-)=cos 619π =-cos 6π=23-. 答案:D7.(2006潮州质检) sin52π,cos 56π,tan 57π从小到大的顺序是______________. 解析:∵cos 56π<0,tan 57π=tan 52π, 又∵0<x<2π时,tanx>x>sinx>0, ∴tan 52π>sin 52π>0. ∴cos 56π<sin 52π<tan 57π. 答案:cos 56π<sin 52π<tan 57π8.sin(-1 200°)cos1 290°+cos(-1 020°)sin(-1 050°)+tan945°=_____________. 解析：原式=-sin 1 200°cos1 290°-cos1 020°²sin1 050°+tan945°=-sin(-60°+7³180°)²cos(30°+7³180°)-cos(-60°+3³360°)²sin(-30°+3³360°)+tan(45°+5³180°)=sin(-60°)(-cos30°)-cos(-60°)sin(-30°)+tan45° =23-³(23-)-21³(-21)+1=2. 答案：29.已知cos(11π-3)=p ，用p 表示tan(-3)=______________.解析：∵cos(11π-3)=-cos(-3)=-cos3=p,∴cos3=-p.又2π<3<π, ∴sin3=2221)(13cos 1p p -=--=-.∴tan(-3)=-tan3=pp p p 22113cos 3sin -=---=- 答案：pp 21- 10.)2cos()cos(31θπθπ---=92,则cos(3π-θ)=____________. 解析：∵92cos cos 31)2cos()cos(31=+=---θθθπθπ, ∴cos θ=259-.∴cos(3π-θ)=cos(π-θ)=-cos θ=259. 答案：259 综合运用11.已知sin(3π-α)=21,则cos(6π+α)=____________. 解析:∵(3π-α)+(6π+α)=2π, ∴cos(6π+α)=cos ［2π-(3π-α)］=sin(3π-α)=21. 答案:21 12.(2006山东滨州模拟) 已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,且满足f(2 005)=-1,则f(2 006)等于( )A.-1B.0C.1D.2解析:由已知,f(2 005)=asin(2 005π+α)+bcos(2 005π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asin α-bcos β=-1,∴asin α+bcos β=1,而f(2 006)=asin(2 006π+α)+bcos(2 006π+β)=asin α+bcos β=1. 答案:C13.已知cos(75°+α)=31，α是第三象限角，求sin(105°-α)+cos(α-105°)的值. 解：∵α是第三象限角，∴α+75°是第三、四象限或终边落在y 轴的负半轴上的角.又∵cos(α+75°)=31>0, ∴α+75°是终边落在第四象限的角.∴sin(75°+α)=322)31(1)75(cos 122-=--=+︒--α. ∴原式=sin ［180°-(75°+α)］-cos ［180°+(α-105°)］=sin(75°+α)-cos(75°+α) =312231322+-=--. 14.已知角α终边上一点A 的坐标为（3，-1），求)3tan()cos()csc()cot()tan()2sin(απαπαπααπαπ-----+-. 解：∵x=3，y=-1,∴r=22)1()3(-+=2.∴sin α=ry =-21. 原式=αααααααααααααsin sin tan cos cot tan sin )tan()cos ()sin(1)cot(tan )sin(22-=-=----- =-sin α=21. 拓展探究 15.求sin(2n π+32π)²cos(n π+34π)(n∈Z )的值. 解：（1）当n 为奇数时,原式=sin 32π(-cos 34π)=sin(π-3π)²［-cos(π+3π)］=sin 3πcos 3π=23³21=43. (2)当n 为偶数时,原式=sin 32πcos 34π=sin(π-3π)cos(π+3π)=sin 3π(-cos 3π)=23³(-21)=43-. 16.已知f(α)=)sin()cot()23tan()2cos()sin(απαππααπαπ----+---.(1)化简f(α);(2)若α是第三象限的角,且cos(α-23π)=51,求f(α)的值; (3)若α=331π-,求f(α)的值. 解:(1)f(α)=αααααsin )cot (cot cos sin -∙∙=-cos α. (2)∵cos(α-23π)=-sin α,α是第三象限角, ∴sin α=-51,cos α=652-∴f(α)=652. (3)∵331π-=-6³2π+35π, ∴f(331π-)=-cos(-6³2π+35π)=-cos 35π=-cos 3π=-21.。

高中人教B版数学必修四同步过关提升特训：1.2.4 诱导公式1 含解析

1.2.4诱导公式第1课时诱导公式(1)课时过关·能力提升1.cos的值为()A. B.- C. D.解析:cos=cos=cos.答案:A2.已知sin α=,则cos(2π-α)的值等于()A.或-B.-C. D.解析:cos(2π-α)=cos(-α)=cos α=±=±=±.答案:A3.已知tan 5°=t,则tan(-365°)等于()A.tB.360+tC.-tD.与t无关解析:tan(-365°)=-tan 365°=-tan(360°+5°)=-tan 5°=-t.答案:C4.已知函数f(x)=cos,则下列等式成立的是()A.f(4π-x)=-f(x)B.f(4π+x)=-f(x)C.f(-x)=f(x)D.f(-x)=-f(x)解析:f(-x)=cos=cos=f(x).答案:C5.若|sin(360°-α)|=sin(-α+720°),则α的取值范围是()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)D.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)解析:由已知可得|sin α|=-sin α,因此sin α≤0,所以2kπ-π≤α≤2kπ(k∈Z).答案:D6.化简的结果为()A.cosB.-cosC.sinD.sin解析:=-cos.答案:B7.tan 2 205°=.解析:tan 2 205°=tan(6×360°+45°)=tan 45°=1.答案:18.sin·cos(n∈Z)的值为.解析:原式=sin·cos=-=-.答案:-★9.sin sin sin sin·…·sin的值等于.解析:原式=sin·sin·sin·…·sin×…×=(-1)100×.答案:10.设f(x)=g(x)=求g+f+g+f的值.解:原式=cos+f+1+g+1+f+1=+sin+cos+sin+3=+3= 3.★11.已知=3+2,求cos2(-θ)+sin(2π-θ)·cos(-θ)+2sin2(2π+θ)的值.解:由已知可得=3+2,解得tan θ=.因此cos2(-θ)+sin(2π-θ)·cos(-θ)+2sin2(2π+θ)=cos2θ-sin θcos θ+2sin2θ==.。

高中人教B版数学必修四同步过关提升特训：1.2.4 诱导公式.2 含解析

第2课时诱导公式(2)课时过关·能力提升1.若sin(π+α)=,α∈,则tan α等于()A.-B.-C.-D.-解析:由已知得-sin α=,即sin α=-.又因为α∈,所以cos α=,于是tan α=-.答案:D2.已知|sin α|=,且α是第二象限的角,则sin等于()A.-B.C.-D.解析:由已知得sin α=±,而α是第二象限的角,所以sin α=,从而cos α=-=-,于是sin=-sin=-cos α=.答案:D3.化简tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan(63°+α)·tan(139°-β)的结果为()A.1B.-1C.2D.-2解析:原式=tan(27°-α)·tan(49°-β)·tan[90°-(27°-α)]·tan[90°+(49°-β)]=tan(27°-α)·cot(27°-α)·tan(49°-β)·[-cot (49°-β)]=-1.答案:B4.已知sin α是方程6x=1-的根,则的值等于()A.±B.±C.-D.答案:A5.已知cos 29°=m,则sin 241°tan 151°的值是()A.B.C.D.-解析:由于sin 241°=sin(180°+61°)=-sin 61°=-cos 29°=-m,tan 151°=tan(180°-29°)=-tan 29°=-=-,于是sin 241°tan 151°=(-m)·.答案:B6.如果cos α=,且α是第四象限的角,那么cos=.解析:cos=-sin α=-(-)=.答案:7.sin 315°-cos 135°+2sin 570°的值是.解析:sin 315°-cos 135°+2sin 570°=-sin 45°+cos 45°+2sin 210°=-+2sin(180°+30°)=-1.答案:-1★8.若f(x)=sin x,则f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2 015)+f(2 017)=.答案:09.求证:.证明∵左边==,右边=,∴左边=右边,∴原等式成立.10.已知f(α)=.(1)化简f(α);(2)若α是第三象限的角,且cos,求f(α)的值;(3)若α=-,求f(α)的值.解:(1)f(α)==-cos α.(2)∵cos=-sin α=,α是第三象限的角,∴sin α=-,cos α=-,∴f(α)=.(3)∵-=-6×2π+,∴f(α)=f=-cos=-cos=-cos=-.★11.已知sin(x+y)=1,求证:tan(2x+y)+tan y=0.证明∵sin(x+y)=1,∴x+y=2kπ+,k∈Z.∴x=2kπ+-y,k∈Z,∴tan(2x+y)+tan y=tan+tan y=tan(4kπ+π-y)+tan y=tan(π-y)+tan y=-tan y+tan y=0.。

2017-2018学年人教B版数学四同步过关提升特训：1.2.4 诱导公式.2含解析

第2课时诱导公式（2)课时过关·能力提升1.若sin(π+α）=12,α∈(-π2,0),则tan α等于( )A.-12B.—√32C.-√3D.-√33 解析：由已知得-sin α=12,即sin α=—12. 又因为α∈(-π2,0), 所以cos α=√32，于是tan α=—√33。

答案:D2。

已知|sin α|=13,且α是第二象限的角，则sin (α-π2)等于（） A 。

—13 B 。

13 C 。

-2√23 D .2√23解析:由已知得sin α=±13,而α是第二象限的角，所以sin α=13,从而cos α=—√1-sin 2α=-2√23，于是sin (α-π2)=-sin (π2-α)=—cos α=2√23. 答案：D3。

化简tan(27°—α）·tan(49°—β)·tan（63°+α）·tan(139°-β）的结果为（ )A.1 B 。

—1 C 。

2 D.—2 解析：原式=tan(27°-α)·tan(49°—β）·tan ［90°—(27°—α）]·tan ［90°+（49°—β)］=tan （27°-α）·cot(27°-α）·tan （49°—β）·［—cot （49°-β）］=-1. 答案:B4。

已知sin α是方程6x=1-√x 的根，则cos (α-5π)tan (2π-α)cos (3π2+α)cot (π-α)的值等于( ）A.±√520 B 。

±√1515 C.-√520 D.1805.已知cos 29°=m ,则sin 241°tan 151°的值是( ）A 。

人教B版高中数学必修四高一作业设计：1.2.4诱导公式(一)

1．2．4 诱导公式(一)课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程．2．运用所学三组公式进行求值、化简与证明．1．设α为任意角，则2kπ＋α(k∈Z)，－α，(2k＋1)π＋α(k∈Z)的终边与α的终2(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z．(2)公式二：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα．(3)公式三：sin[α＋(2k＋1)π]＝－sinα，cos[α＋(2k＋1)π]＝－cosα．tan[α＋(2k＋1)π]＝tanα．一、选择题1．sin585°的值为( )A ．－22B ．22C ．－32D ．322．若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是( )A ．±tan αB ．－tan αC ．tan αD ．12tan α3．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )A ．12B ．±32C ．32D ．－324．tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A ．m ＋1m －1B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1 5．若cos(－80°)＝k ，那么tan100°等于( )A ．1－k 2kB ．－1－k 2k C ．k1－k2D ．－k1－k26．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A ．53B ．－53 C ．±53D ．以上都不对二、填空题7．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________．8．三角函数式cos (α＋π)sin 2(α＋3π)tan (α＋π)cos 3(－α－π)的化简结果是______． 9．代数式1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°的化简结果是______．10．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2009)＝1，则f (2010)＝______．三、解答题11．若cos(α－π)＝－23，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0．能力提升13．化简：sin[(k＋1)π＋θ]·cos[(k＋1)π－θ](其中k∈Z)．sin(kπ－θ)·cos(kπ＋θ)14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．12这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．1．2．4 诱导公式(一)答案知识梳理1．相同x轴原点作业设计1．A 2．C3．D [由cos(π＋α)＝－12，得cosα＝12，∴sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32(α为第四象限角)．] 4．A [原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1．]5．B [∵cos(－80°)＝k ，∴cos80°＝k ，∴sin80°＝1－k 2．∴tan80°＝1－k 2k． ∴tan100°＝－tan80°＝－1－k2k．]6．B [∵sin(π－α)＝sin α＝log 22－23＝－23，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53．]7．－33 8．tan α 解析原式＝－cos α·sin 2αtan α·cos 3(α＋π)＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α ＝cos α·sin 2αsin α·cos 2α＝sin αcos α＝tan α． 9．－1解析原式＝1＋2sin (180°＋110°)·cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin 110°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝1－2sin 70°cos 70°cos 70°－sin 70°＝|sin 70°－cos 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1． 10．3解析 f (2009)＝a sin(2009π＋α)＋b cos(2009π＋β)＋2 ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2 ＝2－(a sin α＋b cos β)＝1， ∴a sin α＋b cos β＝1，f (2010)＝a sin(2010π＋α)＋b cos(2010π＋β)＋2 ＝a sin α＋b cos β＋2＝3．11．解原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α ＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α) ＝－tan α．∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23，∴cos α＝23．∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52．当α为第四象限角时，cos α＝23，sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52．综上，原式＝±52． 12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴α＝2k π＋π2－β(k ∈Z )．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0， ∴原式成立．13．解当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin (2n π－θ)·cos (2n π＋θ)＝sin (π＋θ)·cos (π－θ)－sin θ·cos θ＝－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ＝－1．当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin[(2n ＋1)π－θ]·cos[(2n ＋1)π＋θ]＝sin[2(n ＋1)π＋θ]·cos[2(n ＋1)π－θ]sin (π－θ)·cos (π＋θ)＝sin θ·cos θsin θ·(－cos θ)＝－1． ∴原式的值为－1．14．解由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π．当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去． ∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π．。

人教B版高中数学必修四1.2.4(二).docx

1．2．4 诱导公式(二) 课时目标 1．借助单位圆及三角函数定义理解公式四的推导过程．2．能运用公式四进行有关计算与证明．1．诱导公式四公式四：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝__________，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝__________， tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－cot α，cot ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－tan α．以－α替代公式四中的α，可得：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝__________，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝__________， tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cot α，cot ⎝⎛⎭⎫π2－α＝tan α． 2．诱导公式四的记忆π2＋α，π2－α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．一、选择题1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．322．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α等于( ) A ．－12 B ．12 C ．32 D ．－323．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B ．13 C ．－223 D ．2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B ．2m 3 C ．－3m 2 D ．3m 25．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于( ) A ．－33 B ．33C ．－ 3D ． 3 6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) A ．13 B ．23 C ．－13 D ．－23二、填空题7．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________． 8．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是______．9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________．10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________．三、解答题11．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α．12．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．能力提升13．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．14．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式统一成“k ·π2±α(k ∈Z )”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．1．2．4 诱导公式(二) 答案知识梳理1．cos α －sin α cos α sin α 作业设计1．A [f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12．] 2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12．∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin α＝－12．] 3．A [cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13．] 4．C [∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2．cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m ．] 5．C [由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－3．] 6．D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23．] 7．－13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π12 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13． 8．1解析原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A )＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1．9．892解析原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892． 10．2解析原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2． 11．证明左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．12．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α． ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169． ① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169，又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713， ③ sin α－cos α＝713， ④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513． 13．解原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α．当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0；当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0．综上所述，原式＝0．14．解由条件，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4．当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

人教版高中数学B版必修4练习1.2.4诱导公式(二)

1.2.4 诱导公式(二)一、基础过关1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12B.12C ．－32 D.32 2．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( ) A ．－12B.12C.32 D ．－32 3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13C ．－223D.2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m3C ．－3m2D.3m 2 5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于( )A ．－33B.33C ．－ 3D. 3 6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23C ．－13D ．－237． sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 8．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.二、能力提升9．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.10．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．11．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．12．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．三、探究与拓展13．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．答案1．A 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.8928．证明左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立． 9． 210．解原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0；当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.11．sin α＝1213 cos α＝513 12.－133513．解由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④ 由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。