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初一数学下学期培优训练小专题06 三角形折叠中的角度问题

初一数学下学期培优训练小专题06 三角形折叠中的角度问题【例题讲解】【原题再现】有这样一道题：如图1，将ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置．试探索A ∠与12∠+∠之间的数量关系，并说明理由．（1）小明提出一种正确的解题思路：连接AA '，则么1∠、2∠分别为AEA '∆、ADA '∆的外角，…… 请你按照小明的思路解决上述问题．（2）【变式探究】如图2，若将原题中“点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置”变为“点A 落在四边形BCDE 外点A '的位置”，试猜想此时A ∠与1∠、2∠之间的数量关系，并说明理由．（3）【结论运用】将四边形纸片(90ABCD C ∠=︒，AB 与CD 不平行）沿EF 折叠成图3的形状，若1110∠=︒，240∠=︒，直接写出ABC ∠的度数．解：（1）图1中，结论：2∠BAC =∠1+∠2，理由是：连接AA ′． ∵沿DE 折叠A 和A ′重合，∴∠DAE =∠DA ′E ，∠EA ′A =∠EAA ′，∠DA ′A =∠DAA ′， ∵∠1=∠EA ′A +∠EAA ′，∠2=∠DA ′A +∠DAA ′， ∴∠1+∠2=∠EA ′A +∠EAA ′+∠DA ′A +∠DAA ′=2∠BAC ；（2）如图2，结论：2∠A =∠1-∠2．理由：设EA ′交AC 于J ．∵∠1=∠EJA +∠A ，∠EJA =∠A ′+∠2， ∴∠1=∠A ′+∠A +∠2=2∠A +∠2， ∴2∠A =∠1-∠2；（2）如图，根据折叠知：∠AEF =∠A EF '，∠EFD =∠'EFD ，AEA'=∠AEF=180°-110°=70°，∵∠1=110°，∴∠2∴∠AEF=35°，∵∠2=40°，∴2∠EFD=180°+∠2=220°，∴∠EFD=110°，∴∠A+∠D=360°-(∠AEF+∠EFD)= 215°，∴∠B=360°-(∠A+∠D)-∠C = 55°．【综合演练】1．如图，在△ABC中，点D是BC上的点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，若∠B=∠BAE=50°，则∠CDE的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°2．如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC 于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上的点G处，此时∠BDC＝82°，则原三角形的∠B 的度数为（）A．57°B．60°C．63°D．70°3．将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C=50°，∠1=85°，则∠2的度数等于（）A．10°B．15°C．20°D．25°4．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A 为（）A ．40°B ．42°C ．30°D ．52°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共0分)5．如图，三角形纸片ABC 中，70A ∠=︒，75B ∠=︒．将三角形纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 内，那么12∠+∠=_____________︒．6．在△ABC 中，点E 、F 分别为边AB 、AC 上的点，把△ABC 沿EF 翻折，翻折后的图形如图所示．若1+2110∠∠=︒，则A ∠的度数为___________．7．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，∠1＝55°，则∠2＝________°．8．将△ABC 纸片沿DE 按如图的方式折叠．若∠C ＝50°，∠1＝85°，则∠2等于______．三、解答题(共0分)9．如图，将ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点'A的位置，∠+∠之间的数量关系，并说明理由．(1)探索A∠与12(2)如果点A落在四边形BCDE外点''A的位置，A∠与1∠之间的数量关系有何变化，请说明理由．∠、210．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝_______；(2)【问题推广】如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP 于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数．(3)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，则∠BPC＝_______；(4)【拓展提升】在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF 的角平分线交于点Q ，若∠EBF ＝α，∠DCF ＝β，直接写出∠Q 和α，β之间的数量关系． 11．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使得点A 落在四边形BCDE 的外部A '的位置且A '与点C 在直线AB 的异侧，折痕为DE ，已知90C ∠=︒，30A ∠=︒．（1）求12∠-∠的度数；（2）若保持A DE '的一边与BC 平行，求ADE ∠的度数．12．将ABC 纸片的一角CAB ∠折叠，使点A 落在点P 的位置，折痕为DE ．（1）如图1，点A 落在ABC 内的点P 的位置．①若//PE AC ，那么PD 与AB 有怎样的位置关系，请说明理由； ②如图2，1∠、2∠与A ∠之间有怎样的数量关系？并说明理由；③连接CP 、BP ，已知CP 、BP 恰好分别平分ACB ∠、ABC ∠（如图3），1∠、2∠与CPB ∠之间有怎样的数量关系，并说明理由；（2）如图4，点A 落在ABC 外的点P 的位置．连接CP 、BP ，如果CP 、BP 恰好分别平分ABC 的两个外角MCB ∠，NBC ∠，那么1∠、2∠与CPB ∠之间的数量关系是______．（请直接写出结果）13．问题1：现有一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是△ABC 边上两点，若沿直线DE 折叠．（1）探究1：如果折成图①的形状，使A 点落在CE 上，则∠1与∠A 的数量关系是；（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A 的数量关系是；（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A 的数量关系，并说明理由．（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、B 落在四边形EFCD 的内部时，∠1+∠2与∠A 、∠B 之间的数量关系是 .14．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交射线BC 于点F ．（友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等．）（1）如图①，当AE ⊥BC 时，求证：DE ∥AC ．（2）若10C B ∠-∠=︒，∠BAD ＝x° ． ①如图②，当DE ⊥BC 时，求x 的值；②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由． 15．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角：；所有与∠C 相等的角：．(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ． ① 求∠B 的度数；②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由． 16．如图1，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在四边形ABDE 内点C ’的位置，（1）①若00120,250∠=∠=，则C ∠= ； ②若042C ∠=，则12∠+∠= ；③探索C ∠ 、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由；（2）直接按照所得结论，填空：①如图中，将△ABC 纸片再沿FG 、MN 折叠，使点A 、B 分别落在△ABC 内点A ’、B ’的位置，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠= ；②如图中，将四边形ABCD 按照上面方式折叠，则128∠+∠++∠= ； ③若将n 边形123n A A A A 也按照上面方式折叠，则122n ∠+∠++∠= ；（3）如图，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在△ABC 边AC 上方点'C 的位置，探索C ∠、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由.17．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在射线OP 上运动，点B 在射线OM 上运动，连接AB, （1）如图，已知AC 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 角的平分线，①点A 、B 在运动的过程中，∠ACB 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB 的大小．②如图，将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线PQ 上，记作点C′，则∠ABO ＝ °；如图，将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线MN 上，记作点C′′，则∠ABO ＝ °．（2）如图，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的32倍，求∠ABO的度数．答案与解析【例题讲解】【原题再现】有这样一道题：如图1，将ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置．试探索A ∠与12∠+∠之间的数量关系，并说明理由．（1）小明提出一种正确的解题思路：连接AA '，则么1∠、2∠分别为AEA '∆、ADA '∆的外角，…… 请你按照小明的思路解决上述问题．（2）【变式探究】如图2，若将原题中“点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置”变为“点A 落在四边形BCDE 外点A '的位置”，试猜想此时A ∠与1∠、2∠之间的数量关系，并说明理由．（3）【结论运用】将四边形纸片(90ABCD C ∠=︒，AB 与CD 不平行）沿EF 折叠成图3的形状，若1110∠=︒，240∠=︒，直接写出ABC ∠的度数．解：（1）图1中，结论：2∠BAC =∠1+∠2，理由是：连接AA ′． ∵沿DE 折叠A 和A ′重合，∴∠DAE =∠DA ′E ，∠EA ′A =∠EAA ′，∠DA ′A =∠DAA ′， ∵∠1=∠EA ′A +∠EAA ′，∠2=∠DA ′A +∠DAA ′， ∴∠1+∠2=∠EA ′A +∠EAA ′+∠DA ′A +∠DAA ′=2∠BAC ；（2）如图2，结论：2∠A =∠1-∠2．理由：设EA ′交AC 于J ．∵∠1=∠EJA +∠A ，∠EJA =∠A ′+∠2， ∴∠1=∠A ′+∠A +∠2=2∠A +∠2， ∴2∠A =∠1-∠2；（2）如图，根据折叠知：∠AEF =∠A EF '，∠EFD =∠'EFD ，AEA'=∠AEF=180°-110°=70°，∵∠1=110°，∴∠2∴∠AEF=35°，∵∠2=40°，∴2∠EFD=180°+∠2=220°，∴∠EFD=110°，∴∠A+∠D=360°-(∠AEF+∠EFD)= 215°，∴∠B=360°-(∠A+∠D)-∠C = 55°．【综合演练】1．如图，在△ABC中，点D是BC上的点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，若∠B=∠BAE=50°，则∠CDE的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【分析】根据翻折的性质得到∠BAD=∠EAD=25°，∠E=∠B=50°，根据三角形内角和定理推出∠ADE=∠ADB=105°，进一步计算即可解答．【解析】解：∵∠B=∠BAE=50°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，∴∠BAD=∠EAD=25°，∠E=∠B=50°，∴∠ADE=∠ADB=180°-50°-25°=105°，∴∠ADC=180°-∠ADB=75°，∴∠CDE=105°-75°=30°，故选：B．【点评】此题考查翻折的性质，三角形内角和定理，关键是掌握翻折的性质．2．如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC 于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上的点G处，此时∠BDC＝82°，则原三角形的∠B 的度数为（）A ．57°B ．60°C ．63°D ．70°【答案】C【分析】根据折叠的性质可知：∠BDG ＝∠BDC ＝82°，∠ABE ＝∠A 'BE ＝∠A 'BG=∠A 'BC ，根据三角形外角性质可得：∠DBA ＝∠BDC ﹣∠A ＝82°﹣40°＝42°，进一步可求出∠ABE ＝∠A 'BE ＝21°，∠ABC ＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B =63°．【解析】解：由折叠性质可得，∠BDG ＝∠BDC ＝82°，∠ABE ＝∠A 'BE ＝∠A 'BG=∠A 'BC ， ∵∠BDC 是△BDA 的外角，∴∠DBA ＝∠BDC ﹣∠A ＝82°﹣40°＝42°， ∴∠ABE ＝∠A 'BE ＝21°，∴∠ABC ＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B =63°，故选：C ．【点评】此题主要考查的是图形的折叠及三角形外角性质，能够根据折叠的性质发现∠BDG ＝∠BDC ＝82°，∠ABE ＝∠A 'BE ＝∠A 'BG=∠A 'BC 是解答此题的关键．3．将△ABC 纸片沿DE 按如图的方式折叠．若∠C =50°，∠1=85°，则∠2的度数等于（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°【答案】B【分析】由四边形的内角和及三角形内角和即可求得．【解析】∵180A B C ∠+∠+∠=︒，且∠C =50゜ ∴180130A B C ∠+∠=︒-∠=︒同理，在△CDE 中，180130CDE CED C ∠+∠=︒-∠=︒ 由折叠性质得：A A ∠'=∠，B B '∠=∠ ∴130A B ''∠+∠=︒在四边形A B ED ''中，360A B A DE DEB ''''∠+∠+∠+∠=︒ ∴12360A B CDE CED ''∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒ ∴130851302360︒+︒+︒+∠=︒ ∴∠2=15゜故选：B ．【点评】本题考查了折叠的性质，多边形的内角和定理等知识，掌握多边形内角和定理及折叠的性质是关键．4．如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A 为（）A ．40°B ．42°C ．30°D ．52°【答案】B【分析】利用四边形的内角和定理求出B C ∠+∠，再利用三角形的内角和定理可得结果．【解析】解：∵1=70∠︒，2=152∠︒，∴3601236070152138B C ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴180()18013842A B C ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点评】此题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明5．如图，三角形纸片ABC 中，70A ∠=︒，75B ∠=︒．将三角形纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 内，那么12∠+∠=_____________︒．【答案】70【分析】延长AF、BE交于点D，根据∠A＝70°，∠B＝75°，可得∠D＝35°，由将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，可得∠DFC+∠DEC＝290°，即可得答案．【解析】解：延长AF、BE交于点D，∵∠A＝70°，∠B＝75°，∴∠D＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°，∴∠DFE+∠DEF＝180°﹣∠D＝145°，∵将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，∴∠CFE＝∠DFE，∠CEF＝∠DEF，∴∠DFC+∠DEC＝2（∠DFE+∠DEF）＝290°，∴∠1+∠2＝（180°﹣∠DFC）+（180°﹣∠DEC）＝360°﹣（∠DFC+∠DEC）＝360°﹣290°＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查三角形中的折叠问题，解题的根据是掌握折叠的性质，灵活应用三角形内角和定理．6．在△ABC中，点E、F分别为边AB、AC上的点，把△ABC沿EF翻折，翻折后的图形如图所示．若∠的度数为___________．1+2110∠∠=︒，则A【答案】55︒【分析】如图，延长B′E交C′F的延长线于点A′，连接AA′．证明∠1+∠2=2∠EAF，可得结论．【解析】解：如图，延长B′E交C′F的延长线于点A′，连接AA′．∵∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠F AA′+∠F A′A,∴∠1+∠2=∠EAF+∠EA′F，∵∠EAF=∠EA′F，∴∠1+∠2=2∠EAF=110°，∴∠A=55°．故答案为：55°．【点评】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是证明∠1+∠2=2∠EAF．7．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1＝55°，则∠2＝________°．【答案】70【分析】根据长方形的对边平行知AD∥BC，得∠DEF＝∠1＝55°，再根据折叠的性质知∠GEF＝∠DEF ＝55°，继而由∠AEG＝180°−∠DEF−∠GEF可得答案．【解析】解：由题意知AD∥BC，∠1＝55°，∴∠DEF＝∠1＝55°，根据折叠的性质知∠GEF＝∠DEF＝55°，则∠AEG＝180°−∠DEF−∠GEF＝180°-55°-55°=70°，∴∠2＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质、折叠的性质．8．将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2等于______．【答案】15︒【分析】利用三角形的内角和定理以及折叠的性质，求出130CDE CED ∠+∠=︒，''130A B ∠+∠=︒，利用四边形内角和为360︒，即可求出∠2．【解析】解：在ABC ∆中，180130A B C ∠+∠=︒-∠=︒，在CDE ∆中，180130CDE CED C ∠+∠=-∠=︒，由折叠性质可知：''130A B A B ∠+∠=∠+∠=︒ ，四边形''DEB A 的内角和为360︒，''''360A B ADE B ED ∴∠+∠+∠+∠=︒，1A DE CDE ∠=∠+∠'，'2B ED CED ∠=∠+∠，''12()360CDE CED A B ∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，130CDE CED ∠+∠=︒，''130A B ∠+∠=︒，且∠1＝85°， 215∴∠=︒，故答案为：15︒．【点评】本题主要是考查了三角形和四边形的内角和定理，熟练利用三角形内角和定理，求出两角之和，最后利用四边形的内角和求得某角的度数，这是解决该题的关键．9．如图，将ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内点'A 的位置，(1)探索A ∠与12∠+∠之间的数量关系，并说明理由．(2)如果点A 落在四边形BCDE 外点''A 的位置，A ∠与1∠、2∠之间的数量关系有何变化，请说明理由．【答案】(1)2∠A =∠1+∠2，理由见解析 (2)∠A =12（∠2-∠1），理由见解析【分析】（1）根据折叠性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°-∠A，代入∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE）求出即可；（2）先根据翻折的性质表示出∠1、∠2，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．（1）2∠A=∠1+∠2，理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．（2）∵沿DE折叠A和A'′重合，∴∠AED=∠A′'ED，∠ADE=∠A′'DE，又∵∠1=∠A'ED-∠BED=∠AED-（180°-∠AED）=2∠AED-180°，∠2=180°-2∠ADE，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∴12∠1+90°+90°-12∠2=180°-∠A，即∠A=12（∠2-∠1）．【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．10．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝_______；(2)【问题推广】如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP 于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数．(3)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，则∠BPC＝_______；(4)【拓展提升】在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．当F 在D 、E 之间时，如图4-2所示：同理可得112222FBQ EBF QCF DCF αβ∠=∠===，∠∠，180180FBC FCB DCF EBF αβ∠+∠=︒-∠-=︒--∠，∴1801802Q QBC QCB QBF FBC FCB QCF αβ+=︒--=︒----=∠∠∠∠∠∠∠；当点F 在D 点右侧时，如图4-3所示：同理可得1801802Q QBC QCB QBF FBC DCB QCD αβ-=︒--=︒----=∠∠∠∠∠∠∠；综上所述，F 在E 左侧2Q βα-∠=；F 在ED 中间2Q αβ+∠=；F 在D 右侧2Q αβ-∠=．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．11．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使得点A 落在四边形BCDE 的外部A '的位置且A '与点C 在直线AB 的异侧，折痕为DE ，已知90C ∠=︒，30A ∠=︒．（1）求12∠-∠的度数；（2）若保持A DE '的一边与BC 平行，求ADE ∠的度数．【答案】（1）60°；（2）45°或30°【分析】（1）先求出∠B 的度数，在根据四边形内角和求出∠1+∠BFD 的度数，由∠BFD =∠A ′FE 和∠A ′的度数可求出答案．（2）分EA '∥BC 和DA '∥BC 两种情况讨论．当DA '∥BC 时，先求出∠A ′DA =90°，再根据折叠可得出∠ADE =45°；当EA '∥BC 时，根据平行线的性质求出∠2=∠ABC =60°，由（1）得出∠1=120°，再根据折叠可求出∠ADE 的度数．【解析】解：（1）由折叠可知，30A A '∠=∠=︒在A EF '△中，2180A A FE ''∠+∠+∠=︒2180150A AFE A FE ''∴∠=︒-∠-∠=︒-∠在ABC 中，18060B C A ∠=︒-∠-∠=︒在四边形BCDF 中，1360C B BFD ∠+∠+∠+∠=︒1360210C B BFD BFD ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠因为BFD A FE '∠=∠1221015060∴∠-∠=︒-︒=︒（2）①当//DA BC '时，90ADA ACB '∠=∠=︒ADE 沿DE 折叠A DE '1452ADE A DE ADA ''∴∠=∠=∠=︒②当//EA BC '时，260ABC ∠=∠=︒由（1）知，1260∠-∠=︒，1260120∴∠=∠+︒=︒，ADE 沿DE 折叠A DE '()11801302ADE A DE ADA ''∴∠=∠=∠=︒-∠=︒综上，∠ADE 的度数为：45°或30°．【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，平行线的性质，属于综合题，但难度不大．熟记性质准确识图是解题的关键．12．将ABC 纸片的一角CAB ∠折叠，使点A 落在点P 的位置，折痕为DE ．（1）如图1，点A 落在ABC 内的点P 的位置．①若//PE AC ，那么PD 与AB 有怎样的位置关系，请说明理由；②如图2，1∠、2∠与A ∠之间有怎样的数量关系？并说明理由；③连接CP 、BP ，已知CP 、BP 恰好分别平分ACB ∠、ABC ∠（如图3），1∠、2∠与CPB ∠之间有怎样的数量关系，并说明理由；（2）如图4，点A 落在ABC 外的点P 的位置．连接CP 、BP ，如果CP 、BP 恰好分别平分ABC 的两个外角MCB ∠，NBC ∠，那么1∠、2∠与CPB ∠之间的数量关系是______．（请直接写出结果）【答案】（1）①//PD AB ，理由见解析；②122A ∠+∠=∠，理由见解析；③123604CPB ∠+∠+︒=∠，理由见解析；（2）124360CPB ∠+∠+∠=︒，理由见解析【分析】（1）①若//PE AC ，则可推出ADE DEP ∠=∠，然后根据翻折的性质可推出PDE DEA ∠=∠，从而得出结论即可；②根据翻折的性质推出()123602ADE AED ∠+∠=︒-∠+∠，然后结合三角形的内角和推出180A ADE AED ︒-∠=∠+∠，从而代入替换得出结论即可；③根据CP 、BP 恰好分别平分ACB ∠、ABC ∠，可推出()12PCB PBC ACB ABC ∠+∠=∠+∠，然后结合②的结论进行变形整理即可；（2）根据题意可推出()12ACB ABC CPB ∠+∠=∠，然后结合三角形的内角和以及（1）中②的结论，综合整理求解即可．【解析】（1）//PD AB ，理由如下：∵//PE AC ，∴ADE DEP ∠=∠，由翻折的性质可得：ADE PDE ∠=∠，AED PED ∠=∠，∴PDE DEA ∠=∠，∴//PD AB ；②122A ∠+∠=∠，理由如下：由翻折的性质可得：ADE PDE ∠=∠，AED PED ∠=∠，∴11802ADE ∠=︒-∠，21802AED ∠=︒-∠，∴()123602ADE AED ∠+∠=︒-∠+∠，在ADE 中，180A ADE AED ︒-∠=∠+∠，∴()1236021802A A ∠+∠=︒-︒-∠=∠，在ABC 中，由②可知，∠ACB ∠+∠在PBC 中，180CPB ︒-∠12∠+∠+2）1∠+∠CP 、BP 恰好分别平分ABC 的两个外角)ACB ，PBC ∠∴在PBC 中，180PBC ∠=(11801802ABC ︒-∠︒-∠整理得：(12ACB ∠在ABC 中，∠由②可知，∠ACB ∠+∠1118022⎡︒-⎢⎣13．问题1：现有一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是△ABC 边上两点，若沿直线DE 折叠．（1）探究1：如果折成图①的形状，使A 点落在CE 上，则∠1与∠A 的数量关系是；（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A 的数量关系是；（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A 的数量关系，并说明理由．（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、B 落在四边形EFCD 的内部时，∠1+∠2与∠A 、∠B 之间的数量关系是 . 【答案】（1）12A ∠=∠;（2）122A ∠+∠=∠;（3）见解析;（4）1222360A B ∠+∠=∠+∠-︒【分析】（1）根据三角形外角性质可得；（2）在四边形A EAD '中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，进行角度转化可得关系式；（3）如下图，根据（1）可得∠1=2∠DAA '，∠2=2∠EAA '，从而推导出关系式；（4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理，与（2）类似思路探讨，可得关系式．【解析】（1）∵△'EDA 是△EDA 折叠得到∴∠A=∠A '∵∠1是△'ADA 的外角∴∠1=∠A+∠A '∴12A ∠=∠；（2）∵在四边形A EAD '中，内角和为360°∴∠A+A '+∠A DA '+∠A EA '=360°同理，∠A=∠A '∴2∠A+∠A DA '+∠A EA '=360°∵∠BDA=∠CEA=180∴∠1+∠A DA '+∠A EA '+∠2=360°∴122A ∠+∠=∠ ；（3）数量关系：212A ∠-∠=∠理由：如下图，连接AA '由（1）可知：∠1=2∠DAA '，∠2=2∠EAA '∴212()2EAA DAA DAE ∠-∠=∠-=∠'∠'；（4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF ，∠1=180°－2∠BFE相加得：123602(360)22360A B A B ∠+∠=︒-︒-∠-∠=∠+∠-︒．【点评】本题考查角度之间的关系，（4）问的解题思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理和四边形的内角和定理进行角度转换．14．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交射线BC 于点F ．（友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等．）（1）如图①，当AE ⊥BC 时，求证：DE ∥AC ．（2）若10C B ∠-∠=︒，∠BAD ＝x°． ①如图②，当DE ⊥BC 时，求x 的值； ②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①5x =，②存在，15x =或30．【分析】（1）根据折叠的性质得到∠B=∠E ，根据平行线的判定定理证明；（2）①根据三角形内角和定理分别求出∠C=60°，∠B=30°，根据折叠的性质计算即可；②分∠EDF=∠DFE 、∠DFE=∠E 、∠EDF=∠E 三种情况，列方程解答即可．【解析】（1）∵AE ⊥BC∴∠EAC+∠C=90°∵∠BAC=90°∴∠B+∠C=90°∴∠B=∠EAC∵将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED∴∠B=∠E∴∠EAC=∠E∴DE ∥AC（2）①∵∠B+∠C=90°，10C B ∠-∠=︒∴∠B=40°，∠C=50°∵DE ⊥BC∴∠EDF=90°∵将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED∴∠B=∠E=40°，∠BAD=∠EAD=x °∴∠DFE=50°∵∠DFE=B BAF ∠+∠∴24050x +=∴5x =②由题意可得，∠ADC=40x +， ∠ABD=140x - ，∠EDF=140(40)1002x x x --+=-∠DFE=402x +（ⅰ）若∠EDF=∠DFE ，可得100-2402x x =+，解得15x =（ⅱ）若∠EDF=∠E ，可得100-240x =解得30x =（ⅲ）若∠DFE =∠E ，可得40240x +=解得0x =（舍去）综上可得15x =或30．【点评】本题考查了三角形折叠中的角度问题，熟知折叠的性质，平行的判定定理是解题的关键．15．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角：；所有与∠C 相等的角：．(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ．① 求∠B 的度数；②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；（2）①由三角形内角和定理可得90B C ∠+∠=︒，再由50C B ∠∠︒-=根据角的和差计算即可得∠C 的度数，进而得∠B 的度数．②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x 的代数式表示出∠FDE 、∠DFE 的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x 值即可．【解析】（1）由翻折的性质可得：∠E ＝∠B ，∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，∴∠DFE ＝90°，∴180°－∠BAC ＝180°－∠DFE ＝90°，即：∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠FDE ＝90°，∴∠C ＝∠FDE ，∴AC ∥DE ，∴∠CAF ＝∠E ，∴∠CAF ＝∠E ＝∠B故与∠B 相等的角有∠CAF 和∠E ；∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，∴∠BAF ＋∠CAF ＝90°, ∠CFA ＝180°－（∠CAF ＋∠C ）＝90°∴∠BAF ＋∠CAF ＝∠CAF ＋∠C ＝90°∴∠BAF ＝∠C又AC ∥DE ，∴∠C ＝∠CDE ，∴故与∠C 相等的角有∠CDE 、∠BAF ；（2）①∵90BAC ∠=︒∴90B C ∠+∠=︒又∵50C B ∠∠︒-=，∴∠C ＝70°，∠B ＝20°;②∵∠BAD ＝x °, ∠B ＝20°则160ADB x ∠︒︒=-,20ADF x ∠︒︒=+,由翻折可知：∵160ADE ADB x ∠∠︒︒==-, 20E B ∠∠︒==,∴1402FDE x ∠︒︒=-, 202DFE x ∠︒︒=+,当∠FDE ＝∠DFE 时，1402202x x ︒︒︒︒-=+, 解得：30x ︒︒=；当∠FDE ＝∠E 时，140220x ︒︒︒-=，解得：60x ︒︒=（因为0＜x ≤45，故舍去）；当∠DFE ＝∠E 时，20220x ︒︒︒+=，解得：0x ︒＝（因为0＜x ≤45，故舍去）；综上所述，存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．且30x =．【点评】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．16．如图1，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在四边形ABDE 内点C ’的位置，（1）①若00120,250∠=∠=，则C ∠= ；②若042C ∠=，则12∠+∠= ；③探索C ∠ 、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由；（2）直接按照所得结论，填空：①如图中，将△ABC 纸片再沿FG 、MN 折叠，使点A 、B 分别落在△ABC 内点A ’、B ’的位置，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠= ；②如图中，将四边形ABCD 按照上面方式折叠，则128∠+∠++∠= ； ③若将n 边形123n A A A A 也按照上面方式折叠，则122n ∠+∠++∠= ；（3）如图，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在△ABC 边AC 上方点'C 的位置，探索C ∠、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）①35︒；②84︒；③212C=+∠∠∠；（2）①360︒；②720︒；③3602(n )︒-；（3）221C=∠∠-∠【分析】（1）①由邻补角的定义可知∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，根据折叠的性质可求出∠CED=80°，∠CDE=65°,然后根据三角形内角和定理求解即可；②由三角形内角和可求出∠CED+∠CDE=138°,再由折叠的性质可知∠CEC′+∠CDC′=276°，然后根据邻补角的定义可求出12∠+∠=84°；③由邻补角定义可知1+'=180CEC ∠∠︒，从而2+'=180CDC ∠∠︒，所以，∠1+ ∠CEC′+ ∠2+ ∠CDC′=360 °，结合+'+'+'=360C CEC C CDC ∠∠∠∠︒，可求出2=1+2C ∠∠∠；（2）① 由（1）得12∠∠+=2∠C ，34∠+∠=2∠B ，56∠+∠=2∠A ，从而123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=2(∠A+∠B +∠C)，结合三角形内角和求解即可；②由①可知，128∠+∠++∠= 2(∠A+∠B +∠C+∠D)，结合四边形内角和求解即可;③由①可知，()()122218023602n n n ∠+∠++∠=⨯︒⨯-=︒⨯- ；（3）由外角的性质可知∠2=∠3+∠C ，∠3=∠1+∠C ，整理可得2=21C ∠∠-∠.【解析】解：（1）①∵00120,250∠=∠=，∴∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，∵ ∠CED=80°，∠CDE=65°,∴∠C= 180°-80°-65°=35°；②∵042C ∠=，∴ ∠CED+∠CDE=180°-42°=138°,∴∠CEC′+∠CDC′=276°，∴12∠+∠=360°-276°=84°；③2=1+2C ∠∠∠，因为1+'=180CEC ∠∠︒，2+'=180CDC ∠∠︒，所以1+'+2+'=360CEC CDC ∠∠∠∠︒，因为在四边形'CEC D 中，+'+'+'=360C CEC C CDC ∠∠∠∠︒，所以1+2=+'C C ∠∠∠∠，因为='C C ∠∠，所以2=1+2C ∠∠∠.（2）① 由①得12∠∠+=2∠C ，34∠+∠=2∠B ，56∠+∠=2∠A ，∴123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=2(∠A+∠B +∠C)=360°; ②∵12∠∠+=2∠C ，34∠+∠=2∠B ，56∠+∠=2∠A ，78∠+∠=2∠D ，∴128∠+∠++∠= 2(∠A+∠B +∠C+∠D)=2×360°=720°; ③∵n 边形内角和是()1802n ︒⨯-，∴()()122218023602n n n ∠+∠++∠=⨯︒⨯-=︒⨯- ；（3）2=21C ∠∠-∠.∵∠2=∠3+∠C ，∠3=∠1+∠'C =∠1+∠C ，∴∠2=∠1+∠C +∠C=∠1+2∠C ，∴2=21C ∠∠-∠.【点评】本题考查了折叠性质，三角形内角和定理，多边形的内角和定理，三角形外角的性质及图形类的规律与探究.熟练掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解（1）的关键，利用（1）中规律是解（2）的关键，熟练掌握三角形外角的性质是解（3）的关键.17．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在射线OP 上运动，点B 在射线OM 上运动，连接AB,（1）如图，已知AC 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 角的平分线，①点A 、B 在运动的过程中，∠ACB 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB 的大小．②如图，将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线PQ 上，记作点C′，则∠ABO ＝ °；如图，将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线MN 上，记作点C′′，则∠ABO ＝ °．（2）如图，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及其延长线交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的32倍，求∠ABO 的度数．【答案】（1）①∠ACB 的大小不变，∠ACB=45°；②30°，60°；（2）∠ABO 为60°或72°．【分析】（1）①由直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，得到∠AOB=90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270°，根据角平分线的定义得到∠BAC=12∠PAB ，∠ABC=12∠ABM ，于是得到结论； ②由于将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线PQ 上，得到∠CAB=∠BAQ ，由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB ，根据三角形的内角和即可得到结论；根据将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线MN 上，得到∠ABC=∠ABN ，由于BC 平分∠ABM ，得到∠ABC=∠MBC ，于是得到结论；（2）由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知∠EAO=12∠BAO ，∠EOQ=12∠BOQ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一。

一个有趣的三角形纸片问题

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一个有趣的三角形纸片问题
作者：杨素慧
来源：《中学数学杂志(初中版)》2008年第06期
三角形是多边形中最简单的图形. 一个三角形纸片用剪刀可以剪成任意多个小的三角形纸片. 如果在一个三角形纸片上任意撒入n个点（这n个点中没有两个点重合，任何点也不在纸片的边界上），然后把这个三角形纸片任意剪成一些小的三角形纸片，使得每个小的三角形纸片的顶点是上述n个点或三角形纸片顶点中的某三个点，试问用剪刀最多能将这个三角形纸片剪成多少个小的三角形纸片?
由于三角形纸片上的点较多，用剪刀去剪方法也很多，因此剪掉的小三角形纸片的形状、大小千差万别，但不管怎样去剪，被剪掉的小三角形纸片的最大数目总是2n+1个. 下面我们给出这个结论证明.
设这个三角形纸片的顶点分别为A，B,C,纸片上的点分别为D1，D2,…,D n,又设剪掉的小三角形纸片的最大数目为m. 一方面，这m个小三角形纸片的内角总和为另一方面,这m个小三角形纸片共有3m个内角. 在这3m个内角中有一部分内角的顶点位于D1点处，这部分内角的和为；有一部分内角的顶点位于D2点处,这部分内角的和为360°；……有一部分内角的顶点位于D n点处，这部分内角的和为360°；还有一部分内角的顶点位于三角形纸片的顶点A或B或C处,这部分内角的和显然为180°. 因此这m个小三角形纸片的内角总和又等于所以有n×360°+180°=m×180°，从而m=2n+1.。

三角形折叠问题中的角度运算

专题：三角形折叠问题中的角度运算活动一：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB=（）活动二：已知△ABC 是一张三角形的纸片．（1）如图①，沿DE 折叠，使点A 落在边AC 上点A ′的位置，∠DA ′E 与∠1的之间存在怎样的数量关系？为什么？（2）如图②所示，沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的内部点A ′的位置，∠A 、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？（3）如图③，沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的外部点A ′的位置，∠A 、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？（4）如图4，沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的外部，∠A 、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？图4活动三：1、三角形纸片ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），则∠1+∠2的度数为（）度．2、如上图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）3、如图所示，把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是（）4、如上图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为（）5、如图，已知△ABC中，∠BAC=140°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，求∠DAE的度数．6、将一条两边沿互相平行的纸带按如图折叠．设∠1=20°，则∠α的度数为（）7、如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=（）8、如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B=50°，则∠BDF的度数为（）。

北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (36)

一、选择题1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，62.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )A．1，√3，2B．7，12，15C．3，4，5D．5，12，133.如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于( )A．1B．2C．3D．44.我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴案，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为( )A．x2+102=(x+1)2B．(x−1)2+52=x2C．x2+52=(x+1)2D．(x−1)2+102=x25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，CE⊥BE，交CD的延长线于点E，若AC=2，BC=2√2，则BE的长为( )A．2√63B．√62C．√3D．√26.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )A．1，√3，2B．7，12，15C．3，4，5D．5，12，137.【例3】如图，在三个正方形中，其中两个的面积S1=25，S2=144，则另一个正方形的面积S3为( )A．13B．200C．169D．2258.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于( )A．254cm B．223cm C．74cm D．53cm9.若△ABC的三条边a，b，c满足(a−8)2+∣15−b∣+√c−17=0，则△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定10.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为( )A．5B．6C．8D．10二、填空题11.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯．分析上面勾股数组可以发现，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，⋯⋯，分析上面规律，第5个勾股数组为．12.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC=4，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的最大值为．13.在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠BAC的平分线，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离是cm．14.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的路径是最短的，则AB的长为．15.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90∘，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是．17.已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD=√5，∠BPD=90∘，则点A到BP的距离等于．三、解答题18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都在格点上．(1) 直接写出边AB，AC，BC的长．(2) 判断△ABC的形状，并说明理由．19.如图，在四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=9，BC=12，AD=8，CD=17．求：(1) AC的长．(2) 四边形ABCD的面积．20.我们学习了勾股定理后，都知道"勾三、股四、弦五"．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．(1) 请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；(2) 若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．21.如图，一块三角形的铁皮，边BC的长为40厘米，BC上的高AD为30厘米，要把它加工成一块矩形铁皮，使矩形的一边FG在BC上，其余两个顶点E，H分别在AB，AC上，且矩形的面积是三角形面积的一半，这个矩形的长和宽各是多少？22.葛藤是一种刁钻的植物，它自已腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘旋上升的路线，总是沿着最短路线盘旋前进的．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1) 如图，如果树的周长为3cm，从点A绕圈到B点，葛藤升高4cm，则它爬行的路程是多少厘米？(2) 如果树的周长为8cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？23.已知：如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠A的平分线，BD=5，CD=3．求AB的长．24.如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB=3 cm，长BC=5 cm．求EC的长．25.阅读：小明同学在某材料中看到如下问题及部分证明．如图①，已知在△ABC和△A1B1C1中，BD=DC，B1D1=D1C1，AB=A1B1，AC=A1C1，AD=A1D1，求证：∠1=∠2．证明：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，延长A1D1到E1，使D1E1=A1D1，连接C1E1，在△ABD和△ECD中，∵AD=DE（已作），∠ADB=∠EDC（对顶角相等），BD=DC（已知），∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB=EC（全等三角形的对应边相等），同理可证，A1B1=E1C1，未完待续⋯⋯(1) 请你补全这个证明．(2) 应用：如图②，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD长的范围是．(3) 拓展：如图③，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=√89，AC=5，AD=4，则△ABC的面积是．答案一、选择题1. 【答案】C【解析】∵12+22≠32，∴三条线段不能组成直角三角形；∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形；∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形；∵42+52≠62，∴三条线段不能组成直角三角形．【知识点】勾股逆定理2. 【答案】B【知识点】勾股逆定理3. 【答案】B【知识点】勾股定理之折叠问题4. 【答案】B【知识点】勾股定理的实际应用5. 【答案】A【解析】方法1：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=2√2，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√22+(2√2)2=2√3,∵D是AB的中点，∴BD=CD=√3，设DE=x，由勾股定理得：(√3)2−x2=(2√2)2−(√3+x)2，解得：x=√3，3∴在Rt△BED中，BE=√BD2−DE2=√(√3)2−(√33) 2=2√63.方法2：三角形ABC的面积=12×AC×BC=12×2×2√2=2√2，∵D是AB中点，∴△BCD的面积=△ABC面积×12=√2，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=2√2，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√22+(2√2)2=2√3，∵D是AB的中点，∴CD=√3，∴BE=√2×2÷√3=2√63．【知识点】勾股定理6. 【答案】B【知识点】勾股逆定理7. 【答案】C【解析】由题可知，在直角三角形中两直角边的平方分别为25和144，所以斜边的平方为144+25=169，即面积S3为169．【知识点】勾股定理8. 【答案】C【知识点】勾股定理之折叠问题、图形成轴对称9. 【答案】B【解析】∵(a−8)2+∣15−b∣+√c−17=0，∴a−8=0，15−b=0，c−17=0，∴a=8，b=15，c=17，∴a2+b2=c2．∴△ABC是直角三角形．【知识点】勾股逆定理10. 【答案】C【解析】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD=√AB2−AD2=4，∴BC=2BD=8，故选C．【知识点】等腰三角形“三线合一”、勾股定理二、填空题11. 【答案】(11,60,61)【解析】在勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯中，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，⋯⋯，可得第4组勾股数组中间的数为4×(9+1)=40，故对应的勾股数组为(9,40,41)；第5组勾股数组中间的数为5×(11+1)=60，故对应的勾股数组为(11,60,61)，故答案为(11,60,61)．【知识点】勾股数12. 【答案】2√5+2【解析】∵PA⊥PB，∴∠APB=90∘，∴点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点，连接CO，如图，则OC=√22+42=2√5，∵点P为CO的延长线于⊙O的交点时，CP最大，∴PC的最大值为2√5+2．【知识点】圆周角定理推论、勾股定理13. 【答案】4【知识点】角平分线的性质、勾股定理14. 【答案】2√10【解析】将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，AB=√62+22=2√10．【知识点】平面展开-最短路径问题15. 【答案】 4【解析】设 BN =x ，由折叠的性质可得 DN =AN =9−x ， ∵D 是 BC 的中点， ∴BD =3，在 Rt △BND 中，x 2+32=(9−x )2，解得 x =4．故线段 BN 的长为 4．【知识点】勾股定理之折叠问题16. 【答案】 3【知识点】勾股定理17. 【答案】3√3+√52或3√3−√52【解析】 ∵ 点 P 满足 PD =√5，∴ 点 P 在以 D 为圆心，√5 为半径的圆上， ∵∠BPD =90∘，∴ 点 P 在以 BD 为直径的圆上， ∴ 如图，点 P 是两圆的交点，若点 P 在 AD 上方，连接 AP ，过点 A 作 AH ⊥BP ， ∵CD =4=BC ，∠BCD =90∘， ∴BD =4√2， ∵∠BPD =90∘，∴BP =√BD 2−PD 2=3√3， ∵∠BPD =90∘=∠BAD ，∴ 点 A ，点 B ，点 D ，点 P 四点共圆， ∴∠APB =∠ADB =45∘，且 AH ⊥BP ， ∴∠HAP =∠APH =45∘， ∴AH =HP ，在 Rt △AHB 中，AB 2=AH 2+BH 2， ∴16=AH 2+(3√3−AH)2， ∴AH =3√3+√52（不合题意），或 AH =3√3−√52，若点 P 在 CD 的右侧，同理可得 AH =3√3+√52．综上所述：AH =3√3+√52 或 3√3−√52．【知识点】判断四点共圆的方法、勾股定理三、解答题18. 【答案】(1) AB =√12+22=√5，AC =√22+12=√5，BC =√12+32=√10；(2) △ABC 是等腰直角三角形，∵AB 2+AC 2=5+5=10=BC 2，∵AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形．【知识点】等腰直角三角形、勾股定理、勾股逆定理19. 【答案】(1) AC =√AB 2+BC 2=15．(2) ∵AD =8，AC =15，CD =17，∴AD 2+AC 2=CD 2，∴△ADC 是直角三角形，∴∠DAC =90∘，∴四边形ABCD 的面积=S △ABC +S △ADC =12×9×12+12×8×15=114.【知识点】勾股逆定理、勾股定理20. 【答案】(1) 11，60，61(2) 后两个数表示为n 2−12和n 2+12． ∵n 2+(n 2−12)2=n 2+n 4−2n 2+14=n 4+2n 2+14， (n 2+12)2=n 4+2n 2+14， ∴n 2+(n 2−12)2=(n 2+12)2．∵n ≥3，且 n 为奇数，∴ 由 n ，n 2−12，n 2+12 三个数组成的数是勾股数．【解析】(1) 下一个勾为 11，根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一．所以勾股数为 11，60，61 ．(2) 根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一．所以后两个数为 n 2−12和n 2+12．【知识点】勾股定理21. 【答案】矩形的长和宽分别为 20 cm 和 15 cm ．【知识点】矩形的面积、一般三角形面积公式、勾股定理22. 【答案】(1) 如果树的周长为 3 cm ，绕一圈升高 4 cm ，则葛藤绕树爬行的最短路程为；32+42=52，则爬行的路程是 5 cm ．(2) 如果树的周长为 8 cm ，绕一圈爬行 10 cm ，则爬行一圈升高：102−82=62，则升高 6 cm ，如果爬行 10 圈到达树顶，则树干高为：10×6=60(cm )．【知识点】平面展开-最短路径问题23. 【答案】提示：过点 D 作 AB 的垂线，垂足为 E ，则 DE =3，可求出 BE =4，根据 AC 2+BC 2=AB 2，可求出 AC =6，即 AE =6，所以 AB =10．【知识点】勾股定理24. 【答案】 ∵ 折叠，∴AF =AD =BC =5 cm ，∵ 在 Rt △ABF 中，BF 2+AB 2=AF 2，AB =3 cm ，∴BF =4 cm ，∴CF =BC −BF =5−4=1 cm ，设 EC =x cm ，则 EF =ED =CD −CE =(3−x )cm ，∵ 在 Rt △CEF 中，CF 2+CE 2=EF 2，∴12+x 2=(3−x )2，∴x=43，∴CE=43cm．【知识点】勾股定理之折叠问题25. 【答案】(1) ∵AD=A1D1，∴2AD=2A1D1，即AE=A1E1，在△AEC和△A1E1C1中，{AE=A1E1, AC=A1C1, EC=E1C1,∴△AEC≌△A1E1C1(SSS)，∴∠1=∠2．(2) 1<AD<4(3) 20【解析】(2) 延长AD至E，使DA=DE，连接BE，CE，由（1）可知，AB=CE=5，∴5−3<2AD<5+3，∴1<AD<4．(3) 延长AD至E，使DA=DE，连接CE，同理可证，CE=AB=√89，AE=2AD=8，∴AE2+AC2=CE2，∴△AEC是Rt△，∴S△ABC=S△AEC=8×5×12=20．【知识点】勾股逆定理、边角边。

用纸片制作神奇变形——纸片变变变制作教案

用纸片制作神奇变形——纸片变变变制作教案。

一、准备材料1.彩色纸（可以是普通的彩色A4纸）；2.副线笔、尺子、量角器、剪刀、胶水、铅笔；3.色彩胶带、卡纸、小挂件、亮片等用于点缀的小装饰品。

二、基础形状纸片变变变制作的基础形状主要包括：正方形、三角形、六边形等几何形状。

通过基础形状的组合，可以完成各种不同的造型。

1.正方形将彩色纸对折成一个正方形，然后将它再次对折成一个小正方形。

再将两个角从尖端向上折叠，形成一个小三角形。

接着将三角形翻折至正方形中心线，两个角点折叠到对面，形成一个钝角三角形。

这个形状在整个制作中的应用比较广泛。

2.三角形用两边相等的钝角三角形开始，将两个翻开成平顶三角形，在用正方形将它们粘起来，形成一个新的形状。

这个形状可以用于制作动物和花朵等。

3.六边形可以从一个正三角形或六边形开始，将一个小三角形切掉，将六边形的平面舍去，左右撑开它，然后将一个钝角三角形将它粘好，形成一个较复杂的新形状。

这个形状可以用于制作一些立体的物品，如盒子。

三、基础造型1.动物将纸片折叠成一个钝角三角形，即象鼻。

再将一个平顶三角形固定于两侧，成为大象的耳朵。

然后再将大象的胡子、嘴巴、眼睛等元素加入其中，就可以制作出一个可爱的小象。

2.植物将彩色纸首先折叠成三联折，然后将三角形折成花瓣，接着加上花萼。

我们可以选择不同花瓣和花萼的颜色和形状，制作出不同的花朵。

3.建筑将纸条折叠成六边形或正方形，然后将它们连接起来就可以制作出房屋的各个部分，再通过加上窗户、门、烟囱等细节，就可以将一座小房子制作出来。

四、加强练习1.练习形状的变形对于基础形状的变形，练习是非常必要的。

可以通过不同面积的纸张、切割与折叠等方式来对形状几何变形的制作进行深入学习。

2.练习色彩的搭配在制作纸片变变变的过程中，如何搭配颜色也是一个很重要的问题。

不同颜色的搭配可以创造出更生动有趣的造型，非常适合孩子们的想象力和创造力。

3.练习小模型的创作制作纸片变变变的过程中，创作出一些小模型也是非常有趣的。

第一届启智杯真题及答案详解

7. 解：不必问月球赤道的半径是多大，也用不着做计算，头顶只比脚底多走的路程还是只有 18.84 米。因为在刚才解答环绕地球旅行的问题时，地球赤道的半径在计算过程中消去了，计算结果与脚底圆周的半径无关。 8. 解：实验归纳：在 n 刀的基础上再增加一刀，就增加了 n 块。共 37 个
9. 解：如图，假定此人在 P 点遇到接他的汽车，也就是说，与往常相比，汽车少车两个 PB（一个来回），结果少用 10 分钟，说明走一个 PB 需 5 分钟.汽车到单位应是 5 点钟，那么到 P 点是 4 点 55 分，也就是，此人 4 点开始从办公室出来， 4 点 55 分在 P 点遇到汽车，共走了 55 分钟。
6．商店规定 4 个空汽水瓶可换一瓶汽水，某班 28 位同学春游，他们至少买多少瓶汽水才能确保每人有一瓶汽水喝？
1
理科教研部
7．一位 3 米高的巨人，沿赤道环绕地球步行一周。那么他的脚底沿赤道圆周移动了一圈，他的头顶画出了一个比赤道更大的圆。已知地球赤道的半径是 6371 千米。在这次环球旅行中，这位巨人的头顶比他的脚底多走了多少千米？巨人的脚底走过的圆，半径是 6371 千米。巨人的身高是 3 米，所以他的头顶走过的圆，半径增加 3 米。都用千米做长度单位，半径增加的数量就是 0.003 千米。取圆周率的近似值为 3.14，那么两圆周长的差=3.14×2×(6371＋0.003)-3.14×2×6371=3.14×2×0.003=0.01884(千米)=18.84(米)。结论是：环绕地球一周，巨人的头顶只比脚底多走 18.84 米。如果这位巨人打算再环绕月球表面步行一圈，那样一圈走下来，他的头顶比脚底多走了________ 千米呢？ 8.我们知道：1 刀可以把一个蛋糕切成两块，2 刀最多可以把一个蛋糕切成四块，那么 8 刀最多可以把一个蛋糕切成________块。

【课件】北师大版八年级下册6.3三角形的中位线-刘文

A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm
方法3：连接AC、BD EF∥HG,EH ∥FG (或EH=FG,EF=HG)
HD A
G E
四边形EFGH是平行四边形 B
F
C
你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗? 成立
顺次连接任意四边形的四边中点得到平行四边形。
这样的四边形也叫中点四边形
感悟收获
为证明平行关系以及一条
同学们，通过本节课的学习，你都有线哪段些是另收一获条线？段的2倍或一半提供了一个新的途径
CD = 1 AB角形300角所对的 B
直角边等于斜边的一半。
1
BC = AB
C
2
300 A
课堂练习暂停视频，做一做
1、如图：在△ABC中，DE是中位线.
A
（1）若∠ADE=60°，则∠B= 60°;
（2）若BC=8cm，则DE= 4 cm；
D
E
（3）若DE=8cm，则BC= 16 cm.
若MN之间还有阻隔呢？你有什么办法解决？
暂停视频，做一做 P
Q
分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.
如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样四边形?请你猜想一下。
已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.
E
1
∴ DE∥BC ， DE= BC
2
C
（位置关系）（数量关系）
作用：1、证明两条线段平行；
1 2、证明一条线段是另一条线段的2倍或 2 ;
方法总结
证明线段倍分关系的方法常有三种： A

三角形中的特殊模型-燕尾(飞镖)型、风筝(鹰爪)模型(解析版)

三角形中的特殊模型-燕尾(飞镖)型、风筝(鹰爪)模型近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。

熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。

本专题就燕尾(飞镖)型、风筝(鹰爪)模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“飞镖”模型(“燕尾”模型)图1图2条件：如图1，凹四边形ABCD ；结论：①∠BCD =∠A +∠B +∠D ；②AB +AD >BC +CD 。

条件：如图2，线段BO 平分∠ABC ，线段OD 平分∠ADC ；结论：∠O =12(∠A +∠C )。

飞镖模型结论的常用证明方法：例1．(2023·重庆·八年级专题练习)请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”1如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．(即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C)理由如下：方法一：如图2，连接AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C =180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD +∠CBD+∠C．方法二：如图3，连接CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，. . . . . .大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；(3)应用：如图4，AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，AE与BF交于G，若∠ADB =150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C的大小．【答案】(1)三角形内角和定理(或三角形的内角和等于180°)；(2)见解析；(3)70°【分析】(1)根据三角形内角和定理，即可求解；(2)根据三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，从而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求证；(3)由(2)可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，从而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，可得150°-∠C=2(110°-∠C)，即可求解．【详解】(1)解：三角形内角和定理(或三角形的内角和等于180°)(2)证明：连接CD并延长至F，∵∠1和∠2分别是△ACD和△BCD的一个外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB；(3)解：由(2)得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°，∴∠CAE+∠CBF=110°-∠C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，∵AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，∴∠CAD=2∠CAE，∠CBD=2∠CBF，∴∠CAD+∠CBD=2(∠CAE+∠CBF)，∴150°-∠C=2(110°-∠C)，解得：∠C=70°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．2(2023·成都市·七年级专题练习)如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G，若∠BDC =140°，∠BGC=100°，则∠A=()A.80°B.75°C.60°D.45°【答案】C【分析】连接BC,先求解∠DBC+∠DCB, 再求解∠GBC+∠GCB, 可得∠GBD+∠GCD, 再利用角平分线的定义可得：∠ABD+∠ACD, 从而可得：∠ABC+∠ACB, 再利用三角形的内角和定理可得∠A的大小.【详解】解：连接BC, ∵∠BDC=140°, ∴∠DBC+∠DCB=180°-140°=40°,∵∠BGC=100°, ∴∠GBC+∠GCB=180°-100°=80°,∴∠GBD+∠GCD=∠GBC+∠GCB-∠DBC-∠DCB=40°,∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，∴∠ABD+∠ACD=2∠GBD+∠GCD=80°,∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=80°+40°=120°,∴∠A=180°-∠ABC+∠ACB=60°. 故选：C.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.3(2023·湖北·八年级专题练习)在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度数是( )．A.72°B.70°C.65°D.60°【答案】B【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出∠BOC,再利用邻补角的性质求出∠DEO，再根据四边形的内角和求出∠DFO，根据邻补角的性质即可求出∠DFC的度数．【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，∵∠OAB+∠B+∠AOB=180°, ∴∠AOB=180°-∠B-∠OAB,同理得∠AOC=180°-∠OAC-∠C,∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,∴∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=360°-(180°-∠B-∠OAB)-(180°-∠OAC-∠C)=∠B+∠C+∠BAC=107°,∵∠BED=72°, ∴∠DEO=180°-∠BED=108°,∴∠DFO=360°-∠D-∠DEO-∠EOF=360°-35°-108°-107°=110°,∴∠DFC=180°-∠DFO=180°-110°=70°,故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：180°(n-2)．4(2023·广东·八年级期中)如图，在三角形ABC中，AB>AC>BC，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：(1)AB+AC>AD+BC；(2)AB+AC>AP+BP+CP.【详解】(1)∵AB>AC，∴∠ABD<∠ACD∵∠ADB >∠ACD ，∴∠ADB >∠ABD ，∴AB >AD∵AC >BC ，∴AB +AC >AD +BC(2)过点P 作EF ∥BC ，交AB 、AC 于E 、F ，则∠AEF =∠ABC ，∠AFE =∠ACB由(1)知AE +AF >AP +EF∵BE +EP >BP ，CF +FP >CP∴(AE +BE )+(AF +CF )+(EP +FP )>AP +BP +CP +EF即AB +AC >AP +BP +CP(几何证明中后一问常常要用到前一问的结论)5(2023·福建三明·八年级统考期末)如图1所示的图形，像我们常见的符号--箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．探究：(1)观察“箭头四角形”，试探究∠BDC 与∠A 、∠B 、∠C 之间的关系，并说明理由；应用：(2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ΔABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若∠A =60°，则∠ABX +∠ACX =；②如图°3，∠ABE 、∠ACE 的2等分线(即角平分线)BF 、CF 相交于点F ，若∠BAC =60°，∠BEC =130°，求∠BFC 的度数；拓展：(3)如图4，BO i ，CO i 分别是∠ABO 、∠ACO 的2020等分线(i =1，2，3，⋯，2018，2019)，它们的交点从上到下依次为O 1、O 2、O 3、⋯、O 2019．已知∠BOC =m °，∠BAC =n °，则∠BO 1000C =度．【答案】(1)∠BDC =∠A +∠B +∠C ，理由见详解；(2)①30；②95°；(3)50m +51n 101【分析】(1)连接AD 并延长至点E ，利用三角形外角的性质得出∠BDE =∠BAD +∠B ,∠CDE =∠CAD +∠C ,左右两边相加即可得出结论；(2)①直接利用(1)中的结论有∠BXC =∠A +∠ABX +∠ACX ，再把已知的角度代入即可求出答案；②先根据∠BEC =∠BAC +∠ABE +∠ACE 求出∠ABE +∠ACE ，然后结合角平分线的定义再利用∠BFC =∠BAC +∠ABF +∠ACF =∠BAC +12(∠ABE +∠ACE )即可求解；(3)先根据∠BOC =∠BAC +∠ABO +∠ACO 求出∠ABO +∠ACO ，再求出∠ABO 1000+∠ACO 1000的度数，最后利用∠BO 1000C =∠BAC +∠ABO 1000+∠ACO 1000求解即可．【详解】(1)如图，连接AD 并延长至点E∵∠BDE=∠BAD+∠B,∠CDE=∠CAD+∠C,又∵∠BDC=∠BDE+∠CDE,∠BAC=∠BAD+∠CAD,∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C (2)①由(1)可知∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX∵∠A=60°，∠BXC=90°∴∠ABX+∠ACX=∠BXC-∠A=90°-60°=30°②由(1)可知∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE∵∠BAC=60°，∠BEC=130°∴∠ABE+∠ACE=∠BEC-∠BAC=130°-60°=70°∵BF平分∠ABE，CF平分∠ACE∴ABF=12ABE,ACF=12ACE∴∠BFC=∠BAC+∠ABF+∠ACF=∠BAC+12(∠ABE+∠ACE)=95°(3)由(1)可知∠BOC=∠BAC+∠ABO+∠ACO∵∠BOC=m°，∠BAC=n°∴∠ABO+∠ACO=∠BOC-∠BAC=m°-n°∵BO i，CO i分别是∠ABO、∠ACO的2020等分线(i=1，2，3，⋯，2018，2019)∴∠ABO1000+∠ACO1000=m°-n°2020×1000=50m°-50n°101∴∠BO1000C=∠BAC+∠ABO1000+∠ACO1000=50m°+51n°101【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是解题的关键．模型2、风筝模型(鹰爪模型)或角内翻模型图1图21)鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；2)鹰爪模型(变形)：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。

勾股定理解析折叠问题含详细的答案

A
D
BF AF2 AB2 102 82 6
FC=BC-BF=10-6=4 设EC=x ,则EF=DC－EC=(8－x)
E
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
EC²=FC²=EF² 即x²＋4²=（8－x）²，x=3，
B
F
C
图2
∴EC的长为3cm。
探究二如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
利用勾股定理解决折叠问题
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；
2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若∠B=30°，AC= ，求DC的长。
3
B
E D
C
图1
A(B)
长方形中的折叠
例2：如图2所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，
∴AF=AD=10cm，EF=ED，
AB=8 ，DC=DE＋EC =EF＋EC=8， ∴在Rt△ABF中
么∠AEG=
还原。
140°
AEBຫໍສະໝຸດ 图aDAFC
B
E 20° 20° G
图b
D' A
F C' B
C
D
E
G
图c
如果再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数
是

乔乔的数学错题集文档 (5)

济南外国语（2005）细细观察找出规律（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷7= 。

四张卡片内的数是有规律的，你能找出它们的规律吗？请写出A= .如图，每一条线段的端点上两数之和是该线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少？你能用最简单的方法算出得数吗？3.下图是经过改造的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔。

如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入几号球袋？要求画出球的运行路线。

1. 小华准备到商店为班级购买3个暖水瓶（不带盒子），每个暖瓶的直径均为 15厘米，为携带方便，需用绳子将他们捆起来，请你帮他想一想绳子的长度至少要大于多少厘米？（只捆一圈）2. 你能用图形表示下面的式子吗？结果是多少？要求画出草图。

6413211618141211------3.从长为40厘米，宽为30厘米的长方形钢板的左上角截取一块长为20厘米，宽为10厘米的长方形。

下脚料如下图。

工人师傅要将这块下脚料作适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等的正方形工件（接缝忽略不计）（1）请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上图形的拼接方案。

在下图中分别画出分割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹）。

想出尽可能多的方案就可以加分吆！（2）你能算出你的设计方案中接缝的长度吗？济南外国语（2006）1.41800.356810.3155⨯+⨯-⨯=3.远望巍巍塔七层，红灯层层倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？9.设计师为城市中心广场设计了一个半径为8米的圆形花坛，并在花坛的外侧设计了部分绿化带（如下图）绿化带的形状是有一个半径为1米的圆形沿花坛外侧滑动而形成的。

你能帮设计师算一算绿化带的面积是多少吗？（)14.3(=π10.小智和小慧一起做图形变换游戏，小智画了一个面积为1的，小慧将ABC 的三条边分别向形外延长一倍，得到新的（即A 是DC 的中点，B 是AE 的中点，C 是EF 的中点）。

修悟学院·宏志分院1制作道具用卡纸剪四个全等的直角三角形纸片

1.制作道具：用卡纸剪四个全等的直角三角形纸片（两直角边分别为15cm，20cm）拼成含有正方形的图案，要求：①拼图时直角三角形纸片不能重叠；②至少给出3种不同的拼法（下学期将分班级进行优秀作品展示）2.下图是按要求拼出的图案，设直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c（1）试用两种不同的计算方法计算图中大正方形（或小正方形）的面积。

从中你发现勾股定理的证明了吗？（2）在拼出的其他图案中再试一试，看看哪些图案中能用类似的方法证明勾股定理，请写出证明过程3.以“了不起的数学家”为主题制作一份《数学手抄报》。

要求：1.用八开纸，具有创意，做到精美。

2.具体内容至少包括①数学家的个人事迹，成就②提出的数学定理和证明过程③数学家提出的一些重要数学方法等等3.文字与图形相结合，各部分用不同颜色着色1.以最崇拜的数学家为内容制作ppt.内容要求：①数学家的简介②数学家的小故事③数学家的成就④数学家名言2.以“勾股定理我知道”为内容制造手抄报要求：用八开纸，具有创意，做到精美。

具体内容至少包括①勾股定理简介②相关数学家③证明方案至少4种（画出图形，各部分用不同颜色着色，并写出证明过程）④勾股定理地延伸应用“勾股定理”我会证！---至少设计三种证明方案要求：1.在以下空格里设计图形面积变化，实现勾股定理证明；2.要求用至少3种不同颜色着色，标注图形变化内在规律；3.力争图形精美，准确，图形变化规律一目了然，可适当添加说明；4.工整的写出定理证明过程。

班级设计者姓名图案设计图案备注说明定理证明活动2弹簧的长度跟外力的大小之间有密切的关系，在一定的限度内，可以直观地看出所挂物体的质量越大，弹簧的长度也越长，那么弹簧的长度跟所挂物体的质量大小之间具有怎样的关系呢？请你进行试验，将试验数据填入下表，并根据试验数据建立弹簧的长度跟所挂物体的质量大小之间关系的函数模型。

试验次数第1次第2次第3次第4次第5次钩码的质量x/g050100150200弹簧的长度y/mm活动3请你选择一个可以应用函数模型解决的问题(如：乒乓球反弹高度实验、温度计的摄氏温度与华氏温度等)，并建立合适的函数模型。

数学作文三角形的稳定性的实验

数学作文三角形的稳定性的实验哇，今天我们做了一个超级有趣的实验！老师说，这个实验可以帮我们了解三角形的稳定性。

我知道你们肯定很好奇，什么是三角形的稳定性呢？其实就是三角形是怎么保持不变的，不管我们怎么摆弄它。

一开始，老师拿出了好多好多的彩色纸片，还有一些小木棍。

我看了看那些木棍，心想：“哇，这么多木棍，是不是要做一个木棍城堡呢？”老师看到我在想什么，笑了笑说：“今天我们要用这些木棍做三角形，然后测试它们的稳定性。

”我们先用纸片做了一个小小的三角形，每个边都用木棍搭成。

老师告诉我们，三角形的边是直的，而且三角形的每个角都是固定的，这样它才会很稳定。

哇，我心想，三角形怎么这么神奇呢？我决定亲自动手试一试。

“老师，我可以用这些木棍做一个三角形吗？”我举手问道。

老师点点头，于是我开始动手了。

我先把三根木棍摆成了一个三角形，边边角角都对齐得好好的。

然后，我把这个三角形放在桌子上，想着：“这下它肯定很稳！”可是，我刚一放下，三角形就晃晃悠悠地倒了。

我惊讶地睁大了眼睛，心想：“怎么回事？明明是我做的呀！”老师走过来，拍拍我的肩膀说：“小朋友，这个三角形不稳定是因为你的木棍没有固定好。

三角形要稳定，必须要每个角和边都要准确。

”于是，我重新做了一个三角形，这次我用了胶水把木棍粘在了一起。

哇，这下我做的三角形真的稳住了！老师说：“看，这就是三角形的稳定性。

只要每个角的边都不变，三角形就会保持稳定。

”我开心地笑了笑，心里想着：“原来三角形这么厉害啊！”接着，老师让我们用三角形做一个小小的塔楼。

我们用纸片和木棍做了好多三角形，然后把它们一个个叠在一起。

我做的塔楼越来越高，高得像一座小小的山一样。

虽然有点晃，但我还是觉得好玩极了。

“老师，我做的这个塔楼是不是也很稳定呢？”我问道。

老师笑眯眯地说：“你的塔楼很棒，只要每一层都保持三角形的稳定性，它就会越来越稳。

”我高兴地跳了起来：“太好了，我的塔楼真的是最棒的！”最后，老师让我们试着把三角形的木棍拼成其他的形状，比如正方形和长方形。

布符三角形的折叠方法

布符三角形的折叠方法布符三角形是一种非常有趣的折纸艺术，它由三个相等的正方形组成，通过特定的折叠方式将它们转化成一个三角形。

下面将介绍如何通过简单的步骤来完成布符三角形的折叠。

材料准备首先，我们需要准备一些必要的材料，包括：1. 三张相等大小的正方形纸片。

这些纸片可以使用普通的打印纸或者颜色不同、质地不同的彩色纸制作。

2. 一支笔或者铅笔。

这支笔用来标记折叠线和方向。

3. 一条直尺。

这条直尺用来帮助我们画出精确的折叠线。

步骤一：画出基本图案首先，我们需要在每张正方形纸片上画出基本图案。

具体步骤如下：1. 将每张纸片放在桌子上，确保它们都是正方形，并且边长相等。

2. 在第一张纸片上画出一个正方形，并且将其分成四个小正方形。

具体方法是：从左上角开始，沿着边缘向右、向下分别划分两条平行线，然后再沿着这两条平行线分别向下、向右画出两条垂直线，最后就可以将整个正方形分成四个小正方形了。

3. 在第二张纸片上也画出一个相同的正方形，并且将其分成四个小正方形。

同样是从左上角开始，沿着边缘向右、向下分别划分两条平行线，然后再沿着这两条平行线分别向下、向右画出两条垂直线。

4. 在第三张纸片上也画出一个相同的正方形，并且将其分成四个小正方形。

同样是从左上角开始，沿着边缘向右、向下分别划分两条平行线，然后再沿着这两条平行线分别向下、向右画出两条垂直线。

步骤二：折叠基本图案接下来，我们需要按照一定的顺序对每张纸片进行折叠。

具体步骤如下：1. 将第一张纸片对折成一个长方形，并且将其展开。

2. 将第一张纸片沿着中心横线对折，并且将其展开。

3. 将第一张纸片沿着中心竖线对折，并且将其展开。

4. 将第二张纸片对折成一个长方形，并且将其展开。

5. 将第二张纸片沿着中心横线对折，并且将其展开。

6. 将第二张纸片沿着中心竖线对折，并且将其展开。

7. 将第三张纸片对折成一个长方形，并且将其展开。

8. 将第三张纸片沿着中心横线对折，并且将其展开。

把一张正方形纸剪一刀数学题

把一张正方形纸剪一刀数学题
把一张正方形纸剪一刀可以变成若干个形状和大小不同的三角形纸片。

对于数学题来说，可以根据剪一刀后得到的三角形纸片的数量、大小、形状等因素，设计出不同的题目。

例如：
1. 题目：给定一张正方形纸和一把剪刀，要求将其剪成若干个大小和
形状相同的三角形纸片，并要求拼成一个多边形，问拼成的多边形的
边数是多少？
2. 题目：给定一张正方形纸和一把剪刀，要求将其剪成若干个边长不
同的三角形纸片，并将它们拼成一个正方形，求正方形的边长是多少？
3. 题目：将一张正方形纸剪一刀，要求得到的三角形纸片能够完全覆
盖整个正方形纸，有多少种剪法？
这些问题可以根据具体的要求和难度，采用不同的方法来解决。

此外，还可以考虑其他更复杂的剪一刀问题，例如多次剪一刀的问题等。

希望以上建议对你有帮助！如果你有更具体的要求或问题，请告诉我，我会尽力回答。

有数学味的“折纸中的相似问题”再探讨

㊀㊀㊀㊀㊀有数学味的折纸中的相似问题再探讨有数学味的折纸中的相似问题再探讨Һ赵正萍㊀（江苏省高邮市送桥镇初级中学，江苏㊀高邮㊀２２５６５１）㊀㊀ʌ摘要ɔ 折纸中的相似问题这一课例，折射出了一节数学味浓的数学实验课教学主要是通过操作㊁观察㊁抽象㊁分析㊁归纳等思维活动获得数学结论的．这一课例让一张纸产生了教学价值，使学生体验到了数学的学习从听数学变成了做数学，从被动接受变成了主动探究．学生通过做数学实验体验发现的乐趣，感悟数学的真谛，发展数学思维，提高自身在实践中解决问题的能力和创新意识，逐步积累数学活动经验．ʌ关键词ɔ折纸；数学实验；操作观察；数学建模案例背景：对于数学实验而言，许多学者给出了不尽相同的界定．曹一鸣认为，数学实验是指实验者为获得某种数学理论㊁检验某个数学猜想㊁解决某类数学问题，运用一定的物质手段，在数学思维活动的参与下，在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学探索活动［１］．数学实验课就是为数学实验搭建的平台，是数学实验的数学环境，是激发学生数学思维的催化剂，是数学探索活动的一种新的模式，让学生从有意义的接受学习，转变为有意义的发现学习．有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆，动手实践㊁自主探索与合作交流才是学生学习数学的重要方式．‘义务教育数学课程标准（２０１７年版）“提出：教师要结合教学内容，落实双基走向四基，培养两能发展为四能，促进学生数学学科素养的发展．数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志．数学活动经验需要在做的过程和思的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的．教师在教学折纸中的相似问题这节课时，不能假借折纸操作，将本课上成一节只用相似解题的课，也不能上成只让学生折纸的劳技课，而是要通过问题串让学生学会运用折纸呈现出折叠类问题，同时构建相似问题的数学模型，要将这节课上成一节数学实验与数学思维并存㊁有数学味的实验课．案例描述：师：折纸可以产生全等图形，那么会不会产生相似图形呢？活动一㊀任意三角形纸片的折纸问题１．出示一张三角形纸片，请你通过折纸的方式，将øＡ翻折，折痕为ＤＥ，Ａ点的对应点为Ｆ点．师：观察翻折前后产生了哪些相等的量？生：Ａ点可能落在形内㊁形上㊁形外．ＤＡ＝ＤＦ，ＥＡ＝ＥＦ，øＡＤＥ＝øＦＤＥ，øＡＥＤ＝øＦＥＤ，øＡ＝øＤＦＥ．（学生通过动手操作立即发现Ａ点翻折后的位置有三种不同情况）师：线段ＡＦ与线段ＤＥ有什么关系？生：根据轴对称的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分，即ＤＥ垂直平分ＡＦ．师：能通过折叠，使图形中产生相似的三角形吗？生：折成平行相似型（图１）或折成斜交相似型（图２）．（学生折出不同的折痕）师追问：当折成平行相似中的Ａ型相似时，怎样折ＤＥ一定平行ＢＣ？生：折成平行相似中的Ａ型相似时，先折出高线ＡＦ，再对折，使点Ａ与点Ｆ重合，这时折痕ＤＥ平行于ＢＣ．图１㊀图２㊀图３在这一环节中，学生通过动手操作参与到学习中，通过观察获得感官刺激，感悟到折纸中蕴含的轴对称变换知识．其次，学生折纸产生相似三角形，在头脑中出现相似三角形基本图形，通过动手操作找出相似模型，直观形象．教师的追问再一次让学生把折纸与数学知识联系在了一起．师：折叠时，如果Ａ点落在边ＢＣ上（如图３），那么әＢＤＦ和әＣＥＦ一定相似吗？生：不一定．师：怎样改变图形的形状可以实现әＢＤＦ和әＣＥＦ相似呢？学生自然想到需要改变әＡＢＣ的形状，引出活动二，过渡自然，调动学生的学习兴趣．活动二㊀特殊三角形纸片的折纸问题２．将问题１中纸片的形状改为等边三角形，点Ａ恰好落在ＢＣ边上的点Ｆ处，әＤＦＢ与әＣＥＦ相似吗？师：折一折，观察并找出图中所有的相似三角形．㊀图４生：折成图４，Ｆ是ＢＣ上任意一点时，әＢＤＦʐәＣＦＥ，әＡＤＥʐәＦＤＥ（且全等）．师：想一想，如果图中四个三角形两两都相似，那么折痕ＤＥ需要满足什么条件？（学生讨论㊁交流发现：ＤＥ是等边三角形ＡＢＣ的中位线且Ａ点的对应点Ｆ在ＢＣ的中点处）㊀㊀㊀㊀㊀师追问：如果әＡＢＣ为等腰直角三角形，әＤＦＢ与әＥＦＣ仍然相似吗？需要满足什么特殊条件？（学生有了前面的学习经验，通过动手操作即可找出答案）活动三㊀矩形纸片的折纸师：刚刚研究了折叠三角形纸片产生的一些相似情形，如果翻折四边形纸片能否产生相似三角形呢？哪种四边形通过翻折产生相似三角形的可能性更大呢？生：矩形．㊀图５问题３．如图５，一张矩形（非正方形）的纸片ＡＢＣＤ，把øＢ沿ＡＦ对折，使点Ｂ恰好落在ＣＤ边上的点Ｅ处．师：请同学们按照要求，翻折准备好的纸片，找出图中的相似三角形．生：әＥＡＦʐәＢＡＦ（且全等），әＤＡＥʐәＣＥＦ．（一张矩形纸片中øＢ翻折后的位置也有三种情况，对点Ｂ落在边上的特殊情况进行探究学习，操作后学生立即看出了一线三等角中的相似模型）师追问１：图５中这四个直角三角形一定两两相似吗？生：不一定．师追问２：要使这四个直角三角形任意两个都相似，四个直角三角形中的锐角应满足什么条件？生：四个直角三角形中的最小锐角是３０度．师追问３：满足上述条件的四个三角形相似时，矩形长和宽的比是多少？（小组讨论）生１：通过设Ｋ法，设ＣＦ＝ｘ，运用勾股定理等知识求出了长ʒ宽＝ＡＥʒＡＤ＝２ʒ３．生２：运用锐角三角函数求出ＡＤＡＥ＝ｃｏｓ３０ʎ＝３２．师追问４：此时，Ｅ点在什么特殊位置？生：Ｅ在ＣＤ的中点处．师追问５：你能将手中的纸片通过折叠㊁度量或其他方法裁剪出符合上述要求的矩形吗？（学生想出了两种方法）在这一环节中，学生通过折纸找出一线三等角中的相似三角形模型，用所学的知识找出了四个直角三角形出现两两相似时，纸片长与宽的比值要求．教师又追问：一张矩形纸片怎样折可以满足上述要求？其实怎样折，就是在矩形纸片中构造出等边三角形ＡＢＥ．出乎意料的是学生有不止一种的折纸方案．一节课在折探折中，进行了折纸问题解决方案总结（图６）．图６案例反思：１．折纸为学生提供了实验探究学习的平台整节课从最基本的三角形入手，通过问题串的层层逼近，让学生在折纸中感悟相似，让学生经历由简单到复杂㊁由特殊到一般的探索过程．从一般三角形到特殊三角形（等边三角形和等腰直角三角形），再从一般四边形到特殊四边形（矩形）的过程，让学生深刻领会折叠的本质是轴对称，而轴对称的本质是图形全等的不变性，涉及利用勾股定理列方程㊁相似中的一线三等角模型㊁特殊角的三角函数等核心知识和方法，对学生动态变化㊁数形结合㊁逻辑推理㊁数学计算与数学建模等数学素养的提高产生了积极影响．２．实验操作中的启发实验操作是培养学生观察想象和逻辑思维能力的重要途径．学生通过观察可以猜想数学结论，通过操作可以验证逻辑推理得到的结论，还可以通过操作发现模型，运用所学知识解决问题或固化数学结论．学习折叠类问题的基本策略流程是：实验操作观察猜想推理论证建模求解．因此，数学实验课的设计一定要有立意，必须建立在思维活动上，如果离开了数学思维活动，数学实验课就会变成一节按实验程序操作的活动课，这样就失去了数学味道，偏离了数学实验课教学的轨道．３．提升了学生的数学素养折纸出发找相似三角形回到怎么折这一过程，通过数学问题的诱发，从操作开始，最后又回到操作上，让学生边折边发现，将操作活动与想象㊁抽象㊁推理㊁计算联系在一起，让学生的大脑发挥寻找㊁验证㊁构建等功能，激发学生的创新意识，让学生在思考和提问中合作㊁讨论㊁交流㊁实现数学思维与数学方法的自我完善，使学生在数学技能和数学思维得到发展的同时，自身数学素养也逐步提升．４．给教师教学的启示折叠型操作问题就是运用轴对称变换的性质解决问题，一直是中考的热点．单独提到轴对称的性质，学生大多能够理解和掌握．但具体到某些现实情境时，学生常常会感到困惑，其主要原因是学生不能把折叠问题快速转化抽象出对应的数学模型，不会将数学问题进行直观化的理解和设计．针对这种情况，在今后的教学中，教师要舍得花时间，让学生通过动手实验完成知识的学习，给学生充足的时间和空间，让他们动手做㊁动手画，让学生体验数学的乐趣．学生在做中学，在思中悟，体验到数学学习在变听数学为做数学，变被动接受为主动探究．学生通过做数学实验体验发现的乐趣，感悟数学的真谛，发展数学思维和智慧，提高实践能力和创新意识，逐步积累数学活动经验［２］．ʌ参考文献ɔ［１］曹一鸣．数学实验教学模式探究［Ｊ］．课程㊃教材㊃教法，２００３（０１）：４６－４８．［２］喻平，董林伟．初中数学实验的本质解析［Ｊ］．课程㊃教材㊃教法，２０１６（０８）：８９－９５．。

折纸奥数题

折纸奥数题是一种结合了折纸艺术和数学思维的题目。

通常，这类题目会要求学生在折纸的过程中，运用几何知识、空间想象力以及逻辑推理能力来解决问题。

以下是一个简单的折纸奥数题示例：
题目：有一张正方形的纸，如何只通过折叠，使得纸上的一个点距离纸的四条边的距离都相等？
解答思路：
首先，将正方形纸对折，使其对角线重合，形成一个等腰三角形。

这时，三角形的顶点即为所求的点，它到三条边的距离都相等。

接下来，将纸展开，找到正方形的中心点（即对角线交点）。

然后，将纸沿着通过中心点的任意一条直线对折，使纸分为两个相等的部分。

这时，新的折痕与原来的对角线相交于一点，这一点即为所求的点，它到四条边的距离都相等。

通过以上的步骤，我们可以得出答案：所求的点即为两条对角线和一条通过中心点的折痕的交点。

这个点的位置满足题目要求，即它到纸的四条边的距离都相等。

折纸奥数题不仅可以锻炼学生的数学思维和空间想象力，还可以培养他们的创造力和动手能力。

通过实际操作和观察，学生可以更深入地理解几何知识，并学会运用这些知识来解决实际问题。

菱形问题分类例析

菱形问题分类例析动手操作折菱形折纸是一种既有趣味性，同时也能培养我们的动手操作能力和思维能力的一种活动，通过折纸可以得到许多美丽的图案，下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形。

一、从三角形纸片中折出菱形例1将一张三角形的纸片ABC按照如下的折叠步骤进行折叠：（1）将三角形的纸片ABC 沿过B点的某条直线折叠，使BC 与BA重合，得到折痕与AC的交点D。

（2）再将三角形的纸片图ABC沿某条直线折叠，使点B与点D重合，得到折痕与BA、BC的交点E、F。

则四边形EBFD是菱形。

分析：关键利用轴对称的性质得到相应的边等和角等，然后熟练利用菱形的判定进行说理。

本题说明四边形EBFD是菱形的方法很多，下面一一予以说明。

解：由第一步折叠可知：/ ABD= Z CBD，由第二步折叠可知：EF垂直平分BD ,・•・ BE=DE , DF=BF, OD=OB ,:丄 ABD= / EDB .:丄 EDB= / CBD .又•・•/ EOD= / FOB,・・・A EOD轻\FOB,・・・DE=BF・•・ BE=DE=DF=BF .•••四边形EBFD是菱形（四边相等的矩形是菱形）.二、从矩形纸片中折出菱形例2、把一张矩形的纸ABCD按照如下的折叠步骤进行折叠：将矩形的纸片ABCD沿某条戾\ E nA 直线折叠，使点B与点D重合，人/ / >0/得到折痕与AD、BC的父点E、F。

B\ C 则四边形EBFD是菱形。

图、分析：虽然纸片不同，但方法同例 1 一样，说明四边形EBFD是菱形的方法还有很多，下面只选种予以说明。

解：由折叠可知：EF垂直平分BD, •BE=DE，DF=BF，OD=OB，:丄 EBD= / EDB .•・•四边形ABCD是矩形，・•・AD II BC,・・・/ EDB= / FBD，又I / EOD= / FOB，二△EOD 轻\FOB，二DE=BF・•・ BE=DE=DF=BF .・•・四边形EBFD是菱形（四边相等的矩形是菱形）.菱形中的计算题在矩形中，常见的计算题有求线段的长，角的度数，图形的周长与面积等。

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