因式分解(完全平方)

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因式分解—完全平方公式

因式分解是将一个代数式分解为若干个乘积的形式，其中每个乘数都是不可再分解的因子。因式分解在数学中有着广泛的应用，在解方程、化简表达式、证明定理等方面都是必不可少的工具。"完全平方公式"是因式分解中一个重要的概念，它可以用来将一元二次三项式分解为两个完全平方的乘积形式。下面我将详细介绍因式分解的基本概念和完全平方公式的应用。

首先，我们来看一元二次三项式的一般形式：$ax^2+bx+c$。其中，$a, b, c$都是常数，并且$a \neq 0$。我们的目标是将这个三项式分解成两个完全平方的乘积形式。

要想将一元二次三项式分解为两个完全平方的乘积形式，我们需要根据一元二次三项式的常数项$c$来判断因式分解的形式。如果$c$为正数，我们可以将三项式分解为两个完全平方的乘积形式。否则，当$c$为负数时，我们需要进行配方操作，然后再进一步分解。

首先，我们来看$c$为正数的情况。在这种情况下，我们可以根据常数项$c$来构造两个因式，使得它们的平方和等于$c$，然后将这两个因式乘到$x$上。例如，当$c=4$时，我们可以构造两个因式$x+2$和$x-2$，使得$(x+2)(x-2)=x^2-4$。这样，我们就将$x^2-4$分解为两个完全平方的乘积$(x+2)(x-2)$。

更一般地，当$c$为正数时，我们可以根据常数项$c$的平方根

$\sqrt{c}$来构造分解因式。具体地，我们可以将分解因式设为

$(x+\sqrt{c})$和$(x-\sqrt{c})$，然后将它们相乘。这样，我们就可以将$x^2-c$分解为两个完全平方的乘积$(x+\sqrt{c})(x-\sqrt{c})$。

因式分解中的完全平方公式

03 完全平方公式在因式分解中应用
识别完全平方项
观察多项式中的项，寻找是否存在形如 $a^2$ 和 $b^2$ 的平方项，以及是否存在 $2ab$ 的乘积项。若存在，则多项式可能包含完全平方项。
验证完全平方：确保 $a^2$、$b^2$ 和 $2ab$ 的系数满足完全平方的条件，即中间项的系数是 $a$ 和 $b$ 系数的乘积的 2 倍。
式分解。
提高题
例如 $x^4 + 2x^2 + 1$， $a^2b^2 - 2ab + 1$ 等，学生需要灵活运用完全平方公式及其变形进行因式分解。
拓展题
例如 $x^2 + 2xy + y^2 - 4$， $a^2 - 2ab + b^2 - c^2$ 等，学生需要综合运用多种因式分解方法进行解答。
因式分解中的完全平方公式
目录
• 完全平方公式基本概念 • 完全平方公式推导过程 • 完全平方公式在因式分解中应用 • 典型例题解析与技巧指导 • 学生自主练习与互动环节 • 课堂小结与拓展延伸
01 完全平方公式基本概念
定义与性质
定义
完全平方公式是指形如 $a^2 + 2ab + b^2$ 或 $a^2 - 2ab + b^2$ 的多项式，它可以表示为 $(a+b)^2$ 或 $(a-b)^2$ 的形式。

完全平方公式分解因式

ax^2+bx+c=(mx+n)^2+rx+s

其中m，n，r，s为实数。将右侧的完全平方式展开，可得：

(mx+n)^2=m^2x^2+2mnx+n^2

将等式两边展开，得：

m^2x^2+2mnx+n^2+rx+s=ax^2+bx+c

将其中的同类项合并，得：

(m^2-r)x^2+(2mn)x+(n^2+s)=ax^2+bx+c

根据二次多项式相等的性质，可得以下等式：

m^2-r=a

2mn=b

n^2+s=c

解上述等式组即可求得m，n，r，s的值。进而可将二次多项式

ax^2+bx+c分解为(mx+n)^2+rx+s的形式。下面以具体例子进行分解因式的过程。

例1：分解因式x^2+4x+4

根据完全平方公式分解因式的公式，设分解为(mx+n)^2+rx+s，那么有：

mx+n=x+2

将上式平方展开，可得：

(mx+n)^2=(x+2)^2=x^2+4x+4

因此，将x^2+4x+4分解为(x+2)^2的形式。

例2：分解因式x^2-6x+9

类似地，将x^2-6x+9分解为(mx+n)^2+rx+s的形式，那么有：

mx+n=x-3

将上式平方展开，可得：

(mx+n)^2=(x-3)^2=x^2-6x+9

因此，将x^2-6x+9分解为(x-3)^2的形式。

例3：分解因式4x^2-4x+1

根据完全平方公式分解因式的公式，设分解为(mx+n)^2+rx+s，那么有：

mx+n=2x-1

将上式平方展开，可得：

(mx+n)^2=(2x-1)^2=4x^2-4x+1

因此，将4x^2-4x+1分解为(2x-1)^2的形式。

完全平方公式因式分解

完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。完全平方公式：

两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。

（a+b）²=a²﹢2ab+b²

两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。

﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²

扩展：

掌握用完全平方公式因式分解的特征.

(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.

(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.

(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.

【解析】

完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.

(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】

(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.

因式分解-完全平方公式

知识回顾：
1、将下列各式分解因式
1、4x2-9y2
2、a2-b2
• 2、计算下列各式：
• (1)、(m-4n)2
(2)、(m+4n)2
• (3)、(a+b)2
(4)、(a-b)2
• 3、根据上题的算式将下列各式分解因式：
• (1)、m2-8mn+16n2 (2)、m2+8mn+16n2
• (3)、a2+2ab+b2
4
6 a2 2ab 4b2 否
请补上一项，使下列多项
式成为完全平方式
1 x2 __2_x__y__ y2
2 4a2 9b2 ___1_2_a_b_
3 x2 _4__x_y__ 4 y2
4 a2 __a_b____ 1 b2
4
5 x4 2x2 y2 ____y_4_
a2 2abb2 ab2
(4)、a2-2ab+b2
回忆完全平方公式
ab 2 a2 2abb2
ab 2 a2 2abb2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
a2 2abb2 ab2
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式

完全平方公式分解因式

在代数学中，完全平方公式是一种因式分解方法，用于将一个二次三项式分解为两个二次项的乘积。它由以下公式给出：

a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2

其中a和b是任意实数。在这篇文章中，我们将详细介绍完全平方公式的应用和证明，并提供一些例子来帮助读者理解。

首先，让我们来看看为什么这个公式成立。我们将用代数的方法来证明它。

首先，考虑一个二次三项式(a+b)^2、根据乘法法则，我们可以将其展开为：

(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

我们可以看到，展开后得到的结果是一个完全平方公式。因此，我们证明了完全平方公式的正确性。

现在，让我们用完全平方公式来分解一些二次三项式。考虑以下的二次三项式：

x^2+6x+9

我们注意到，这个三项式是一个完全平方公式。具体来说，它可以分解为：

x^2+6x+9=(x+3)^2

通过使用完全平方公式，我们可以将一个二次三项式化简为一个更简单的二次项表达式。这在解决数学问题和方程时非常有用。

接下来，我们将提供一些例子，以帮助读者更好地理解完全平方公式的应用。

例子1：将二次三项式x^2+10x+25分解为两个二次项的乘积。

根据完全平方公式，我们可以将其分解为：

x^2+10x+25=(x+5)^2

因此，x^2+10x+25可以写成(x+5)^2的形式。

例子2：将二次三项式4x^2-12x+9分解为两个二次项的乘积。

因式分解-完全平方公式

因式分解 $$(x + 5)^2$$ $$(3x - 2)^2$$ $$(2x + 3)^2$$
结论
通过学习和运用完全平方公式，您将能够轻松因式分解二次方程，并更好地理解和分析数学问题。继续锻炼和实践，您的因式分解技巧将日益提高。
完全平方公式的形式
完全平方公式的形式为：$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$，其中a和b是实数。
解决问题的步骤
1. 将二次方程按照一般形式表示：$$ax^2 + bx + c$$ 2. 识别出平方项的系数a和常数项c 3. 计算平方项系数的一半，即$$\frac{b}{2a}$$ 4. 使用完全平方公式，进行平方项和常数项的加法和乘法操作 5. 将结果写成两个平方项相加的形式
因式分解-完全平方公式
本演讲将为您介绍因式分解的重要内容——完全平方公式，从定义到实例，让您轻松学会并享受因式分解的乐趣。
完全平方公式的定义
完全平方公式是一种用于因式分解的数学技巧，适用于一元二次方程。它能够将一个二次方程转化为两个平方项的乘积，并且是唯一的。
使用完全平方公式的优势
• 快速因式分解复杂的二次方程 • 方便计算方程的根和解空间 • 提供准确的二次方程表达形式
完全平方公式的实例
源自文库例子1
假设有一个二次方程：$$x^2 + 6x + 9$$，我们可以使用完全平方公式将其因式分解为：$$(x + 3)^2$$。

完全平方公式分解因式的方法

完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以被写成两个一次多项式的平方和的形式，例如 $x^2+6x+9$ 就是一个完全平方：$x^2+6x+9 = (x+3)^2$。

分解完全平方的方法有多种，其中最常用的是配方法和直接提取平方根法。下面我们分别介绍这两种方法。

一、配方法

1. 将二次项系数 $a$ 除以 $2$，得到系数 $m=frac{a}{2}$。

2. 将常数项 $c$ 和 $m$ 的平方相减，得到差值 $n=c-m^2$。

3. 将原式按照 $x^2+2mx+m^2+n$ 的形式写出来。

4. 将 $x^2+2mx+m^2$ 分解成 $(x+m)^2$。

5. 将 $(x+m)^2+n$ 分解成 $(x+m+sqrt{n})(x+m-sqrt{n})$。

例如，对于 $x^2+6x+9$ 这个完全平方，我们可以按照以上步骤进行分解：

1. $m=frac{6}{2}=3$。

2. $n=9-3^2=0$。

3. 原式为 $x^2+2times3x+3^2$。

4. $x^2+2times3x+3^2=(x+3)^2$。

5. $(x+3)^2+0=(x+3+sqrt{0})(x+3-sqrt{0})=(x+3)^2$。

因此，$x^2+6x+9$ 可以分解为 $(x+3)^2$。

二、直接提取平方根法

对于形如 $x^2+2mx+m^2$ 的完全平方，我们可以直接提取平方

根得到 $(x+m)^2$。

例如，$x^2+6x+9$ 就可以直接提取平方根得到 $(x+3)^2$。

需要注意的是，直接提取平方根的方法只适用于完全平方的情况，如果是一般的二次多项式，就需要使用配方法等其他方法进行因式分解了。

用完全平方公式进行因式分解

例1：下列各式是不是完全平方式
(1)a2+b2+2ab 是 (2)-2xy+x2+y2 是
(3)6x2-9xy+10y2不是(4)4a2+12ab+9b2 是
(5)x2+x+
1 4
是 (6)a2+6ab+b2 不是
(7)-x2+2xy-y2 是 (8)x2+y2
不是
例2：请补上一项，使下列多项式成为完全平方式。
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
简记为：(a±b)2=a2±2ab+b2
就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算。
a2±2ab+b2=(a±b)2
多项式
整式的乘积形式
因此完全平方公式满足：把一个多项式化成几个（“两
个”）整式的积的形式，这种变形实际上就是我们学过的因式分解的变形。
(2) 4(m+n)2+24(m+n)+36
解：原式=[2(m+n)]2+ 2×2（m+n)×6+62
=[2(m+n)+6]2
=(2m+2n+6)2

因式分解完全平方公式

本文旨在介绍因式分解完全平方公式，帮助读者更好地理解和应用该公式。请注意，本文不包含真实姓名和引用。

1. 什么是完全平方公式？

完全平方公式是一种用于因式分解二次方程的方法。对于形如ax^2 + bx + c的二次多项式，如果其可以被写成(a1x + b1)^2的形式，那么我们称其为完全平方形式。在求解二次方程或进行因式分解时，可以利用完全平方公式进行简化和化简。

2. 完全平方公式的表达式

完全平方公式可以表示为：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。

3. 如何应用完全平方公式进行因式分解？

为了利用完全平方公式进行因式分解，我们需要先将二次多项式化简为完全平方形式。

考虑二次多项式x^2 + 6x + 9。我们可以看出该多项式的第一项是x的平方，第二项是2倍于x的系数的乘积，第三项是常数项的平方。我们可以将其写成(x + 3)^2的形式，进而完成因式分解。

4. 完全平方公式的应用领域

完全平方公式在数学中有广泛的应用。它可以用于求解二次方程、因式分解多项式、简化复杂的数学表达式等。在代数学、高等数学、物理学和工程学等领域中，都会涉及到使用完全平方公式简化和解决问题。

本文介绍了因式分解完全平方公式的概念、表达式和应用领域。通过理解和掌握完全平方公式，读者可以更好地处理与二次方程相关的问题，并在数学和相关学科中取得更好的成绩和进展。

希望本文能对您的学习和应用有所帮助。

因式分解(完全平方公式)

金融问题
在金融领域，完全平方公式可以帮助我们计算和分析复杂的财务模型。
结论和要点
完全平方公式是因式分解中一种重要的工具，它适用于拆分平方三项式。它可以用于解决方程，简化表达式，并应用于几何学、物理学和金融学等领域。
2wenku.baidu.com
Step 2
确定m和n的值，使得(mx + n)^2等于原始多项式。
3
Step 3
根据得到的m和n，将原始多项式因式分解成完全平方公式。
完全平方公式应用举例
几何问题
使用完全平方公式，我们可以解决一些涉及到面积和周长的几何问题。
物理学问题
完全平方公式在物理学中的应用很广泛，特别是在解决运动和力学问题时。
完全平方公式的形式
1 一般形式
对于平方三项式$ax^2 + bx + c$，完全平方公式的形式为$(mx + n)^2$。
2 m和n的计算
通过比较系数，我们可以确定m和n的值。具体计算步骤在下个部分介绍。
完全平方公式的用途
1 求解方程
通过因式分解和完全平方公式，我们可以解决一些复杂的二次方程。
因式分解(完全平方公式)
因式分解是将一个多项式拆分成两个或多个全新的多项式的过程。完全平方公式是因式分解中的一种重要工具，用于拆分平方三项式。
因式分解概述

因式分解完全平方公式例题

因式分解是数学中一个重要的概念，完全平方公式是因式分解中的一个常用方法。在这篇文章中，我们将介绍完全平方公式的基本原理，并用例题加以说明。

完全平方公式是指一个二次三项式的平方能够被因式分解为两个平方的和或差。这个公式的应用范围广泛，不仅在代数中有用，还在实际问题中有很多应用。

完全平方公式的一般形式是(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，其中a 和b是任意实数。这个公式可以简单地证明，我们可以用分配律展开(a + b)^2，得到a^2 + ab + ab + b^2，然后合并相同项，即得到a^2 + 2ab + b^2。

使用完全平方公式的基本步骤是，首先将待因式分解的二次三项式写成完全平方的形式，然后根据公式进行因式分解。

下面我们通过一些例题来说明完全平方公式的应用。

例题1：将x^2 + 6x + 9进行因式分解。

解：我们看到这个三项式的第一项是x的平方，第二项是2倍x的系数，第三项是3的平方，符合完全平方公式的形式。所以我们可以将这个三项式写成(x + 3)^2的形式。因此，x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2。

例题2：将4x^2 - 12x + 9进行因式分解。

解：我们可以先将这个三项式除以4，得到x^2 - 3x + 9/4。然后我们观察x^2和9/4，可以发现这两个项的平方能够得到

x^2和9/4，而-3x这个项正好是2倍x乘以-3/2的结果。所以我们可以将这个三项式写成(x - 3/2)^2的形式。因此，4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2。

利用完全平方公式因式分解

当我们遇到一个多项式无法因式分解的时候，可以考虑使用完全平方

公式来进行因式分解。完全平方公式是一种通过加减法将一个二次多项式

转化为一个平方的方法。

完全平方公式如下：

(a+a)^2=a^2+2aa+a^2

(a−a)^2=a^2−2aa+a^2

我们以一个具体例子来说明这个方法。假设我们要因式分解

a^2+6a+9这个二次多项式。我们可以将这个多项式写成一个完全平方

的形式。

根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以将

a^2+6a+9写成(a+3)^2的形式。

因此，a^2+6a+9=(a+3)^2

接下来我们来看一个更复杂的例子。假设我们要因式分解

a^2+8a+12这个二次多项式。我们可以尝试将这个多项式写成两个完全

平方的和的形式。

首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于12，而它们的和等于8、通过试错的方法，我们可以得出这两个数是2和6

然后，我们可以使用这两个数将a^2+8a+12进行因式分解。

a^2+8a+12=(a+2)(a+6)

通过这种方法，我们成功将a^2+8a+12因式分解为两个一次多项式的乘积。(a+2)(a+6)即为该多项式的因式分解形式。

除了上述的二次多项式，我们还可以使用完全平方公式来因式分解更复杂的多项式。例如，a^4+10a^2+25这个四次多项式。

我们可以将a^4+10a^2+25写成一个完全平方的形式。

根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以尝试将a^4+10a^2+25写成(a^2+5)^2的形式。

因式分解完全平方练习题

因式分解是数学中的一个重要概念，它在代数学中有着广泛的应用。因式分解

的目的是将一个多项式表达式分解成多个乘积形式，以便更好地理解和处理数

学问题。其中，完全平方是一种特殊的多项式形式，它具有重要的性质和特点。下面，我将给大家提供一些因式分解完全平方的练习题，帮助大家巩固和加深

对这一概念的理解。

1. 将多项式 x^2 + 6x + 9 进行因式分解。

解析：我们可以观察到，x^2 + 6x + 9 是一个完全平方的形式，它可以写成 (x

+ 3)^2 的形式。因此，答案是 (x + 3)^2。

2. 将多项式 4x^2 - 12x + 9 进行因式分解。

解析：我们可以观察到，4x^2 - 12x + 9 是一个完全平方的形式，它可以写成

(2x - 3)^2 的形式。因此，答案是 (2x - 3)^2。

3. 将多项式 x^2 + 4x + 4 进行因式分解。

解析：我们可以观察到，x^2 + 4x + 4 是一个完全平方的形式，它可以写成 (x

+ 2)^2 的形式。因此，答案是 (x + 2)^2。

4. 将多项式 9x^2 - 12x + 4 进行因式分解。

解析：我们可以观察到，9x^2 - 12x + 4 是一个完全平方的形式，它可以写成

(3x - 2)^2 的形式。因此，答案是 (3x - 2)^2。

通过以上的练习题，我们可以看到因式分解完全平方的过程其实并不复杂。我

们只需要观察多项式的形式，判断是否为完全平方，并将其分解成乘积形式即可。这样的练习题有助于培养我们的观察力和分析能力，提高解决数学问题的

因式分解(完全平方公式)课件

1
确定多项式的类型
首先，我们需要确定多项式的类型，是一个二次方程还是其他类型的多项式。
2
提取公因子
然后，我们可以尝试提取多项式的公因子，使其更容易进行因式分解。
3
应用完全平方公式
接下来，我们可以根据所学的完全平方公式，将多项式分解成平方因子。
因式分解(完全平方公式)的例子
二次方程
多项式
例如，我们可以用因式分解(完全平方公式)来解决二次方程的问题。
总结和要点
1 因式分解(完全平方公式)
因式分解(完全平方公式)是将多项式分解成较简单的因子的方法。
2 应用广泛
因式分解(完全平方公式)在解决方程、化简多项式等数学问题中有广泛的应用。
3 多种类型
根据多项式的类型和特性，我们可以选择不同的因式分解(完全平方公式)。
3 因式分解(完全平方公式)
因式分解(完全平方公式)是将多项式分解成平方因子的特殊方法。
完全平方公式的原理
1 平方公式
平方公式是指一个二次方程的两个解之和等于系数b的相反数，而两个解的乘积等于系数 c。
2 完全平方公式的推导
完全平方公式的推导基于平方公式，通过对多项式进行平方运算。
3 常用的完全平方公式
常用的完全平方公式包括平方差公式和平方和公式。
完全平方公式的应用
求解方程
完全平方公式可以帮助我们求解二次方程，找到方程的解。

运用完全平方公式分解因式

完全平方公式是一种分解因式的方法，适用于形如$a^2+2ab+b^2$或$a^2-2ab+b^2$的二次多项式。根据完全平方公式，可将这样的二次多项式分解为$(a+b)^2$或$(a-b)^2$。

例如，对于多项式$x^2+6x+9$，我们可以使用完全平方公式将其进行因式分解。根据完全平方公式，我们知道该多项式可以写成$(x+3)^2$的形式。因此，因式分解的结果为$(x+3)(x+3)$或$(x+3)^2$。

接下来，我们将介绍用完全平方公式分解因式的步骤。

步骤1：观察多项式是否满足完全平方公式的形式。一个二次多项式可以写为$a^2+2ab+b^2$或$a^2-2ab+b^2$。

步骤2：确定$a$和$b$的值。根据多项式中的系数和幂运算，我们可以计算出$a$和$b$的值。例如，在$x^2+6x+9$中，$a$的值是$x$，$b$的值是$3$。需要注意的是，$a$和$b$的值可能是复数。

步骤3：将$a$和$b$的值代入完全平方公式。对于多项式

$a^2+2ab+b^2$，可以将其分解为$(a+b)^2$。而对于多项式$a^2-

2ab+b^2$，可以将其分解为$(a-b)^2$。

步骤4：将多项式分解为完全平方公式的形式。根据步骤3，我们将多项式分解为$(a+b)^2$或$(a-b)^2$的形式。例如，在$x^2+6x+9$的例子中，我们可以将其分解为$(x+3)^2$。

步骤5：检查因式分解的正确性。可以通过展开因式分解后的形式来验证因式分解的正确性。例如，在$(x+3)^2$的情况下，我们可以将其展开为$x^2+6x+9$，与原多项式相同。