高二数学推理与证明习题精选

高二数学推理与证明单元测试卷
一、 选择题：
1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤.
2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”
C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“
a b a b
c c c
+=+ （c ≠0）” D.“
n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n
（b ）”
3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ⊆/平面α，直线a ≠
⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误
的，这是因为 （ ）
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。

(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。

5、在十进制中0123
2004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2
＋…＋a
n ＋1
=a
a n --+112， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是 （ ）
(A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 3
7、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A ．当n=6时该命题不成立
B ．当n=6时该命题成立
C ．当n=8时该命题不成立
D ．当n=8时该命题成立
8、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n
”（+∈N n ）时，
从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 （ ）
A ．12+k
B ．)12(2+k
C ．
11
2++k k D ．
1
2
2++k k
9、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211n
n n n +++++=-++-+-
时，若已假设2(≥=k k n 为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证
（ ）
A ．1+=k n 时等式成立
B ．2+=k n 时等式成立
C ．22+=k n 时等式成立
D ．)2(2+=k n 时等式成立
10、数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2， S 3，猜想当n ≥1时，S n =
（ ）
A ．121
2-+n n
B ．12
12--n n
C ．
n
n n 2
)
1(+ D ．1－
1
2
1-n
11、根据下列图案中圆圈的排列规律，第2008个图案的组成情形是( )．
A ．其中包括了l003×2008 +1个◎
B ．其中包括了l003×2008 +1个●
C ．其中包括了l004×2008个◎
D ．其中包括了l003×2008个● 12、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当a ≥b 时，
；
当a ＜b 时，
.则函数
的最大值等于（ ）
A ．―1
B ．1
C ．6
D ．12
填空题：
13、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。

14、 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：222BC AC AB =+。

若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .
15、从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第n 个等式为_________________________.
16、设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f = ； 当ｎ＞４时，()f n ＝ （用含n 的数学表达式表示）。

三、解答题：
17、（8分）求证： (1)6+7>22+5 (2)223)a b ab a b ++≥+
18、用数学归纳法证明：n n 53
+能被6整除；
19、若a,b,c 均为实数，且,,,
求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0。

20、用数学归纳法证明： n n ≤-+++++1
214131211 ；
21、观察（1）000000tan10tan 20tan 20tan60tan60tan101;++=
（2）000000
tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++= 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论 并加以证明。

22、已知正项数列{}n a 和{n b }中，a 1 = a （0＜a ＜1），a b -=11 当n ≥2时，
2
1
1
11----=
=n n n n n n a b b a a ， (1)证明：对任意，*
N n ∈有1=+n n b a ； (2)求数列{}n a 的通项公式；
(3)记n n n n S b a c ，12
+=为数列{}n c 的前n 项和，求n S
第四十一中学高二数学选修2-2《推理与证明测试题》答案
一、
选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
DCABB CABBB
二、 填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分. 11、14 12、
13、
14
、 5 ；
三、解答题：本大题共6题，共58分。

15、证明：（1） ∵222a b ab +≥,
23a +≥,
23b +≥ ;
将此三式相加得
222(3)2a b ab ++≥++,
∴223)a b ab a b ++≥+.
（2）要证原不等式成立，
只需证（6+7）2
>（22+5）2
， 即证402422>。

∵上式显然成立,
∴原不等式成立.
16、可以用综合法与分析法---略
17、可以用反证法---略
18、（1）可以用数学归纳法---略 （2）当1+=k n 时，左边+≤-+++-+++
=+k k k k )1
2121()121211(1 （k k k 212121+++ ）12
12+=⋅+=k k k k
=右边，命题正确
19、可以用数学归纳法---略
20、解：
（1）证明：用数学归纳法证明
① 当n=1时，a 1+b 1=a+（1-a ）=1，命题成立：②假设n=k （k ≥1且*N k ∈）时命题成立，
即a k +b k =1， 则当1+=k n 时，111+++=+k k k k b a b a =
()
111111222==-=
-+=
-+
-k
k k k k
k k k
k
k
k
k b b
a b a a b a b a b a ∴当1+=k n 时，命题也成立 综合①、②知，1=+n n b a 对*N n ∈恒成立
（2）解；∵()
，n
n n
n n n
n
n n n n a a a a a a b a b a a +=
--=
-==++11112211∴
11111+=+=+n n n n a a a a ，即11
11
=-
+n n a a ③ ∴数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是公差为1的等差数列，其首项是，a a 111=∴()1111⨯-+=n a
a n ，从而()a
a n =
（3）解：∵()1112
+++===n n n n n n n
n a a b a a b a c ， ③式变形为11++-=n n n n a a a a ， ∴1+-n n n a a c ，
∴()()()na
a
a a a a a a a a a c c c S n n n n n +-=-=-++-+-=+++=++1111322121 ∴na a a S n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-=∞→∞
→1lim lim
2k 项。