弹塑性力学第十一章
合集下载
弹塑性力学-11 柱体扭转
第
十
一
柱体自由扭转
章
Free Torsion of Column
弹性力学基本方程
1. 平衡方程 2. 几何方程 3. 本构方程
ij, j fi 0
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
ij ij 2Gij
4. 应力边界条件
n j ij pi
5. 位移边界条件
ui ui 应用弹性力学
无体力时
zx
G
x
y
zy
G
y
x
x yx zx 0
x y z
xy y zy 0
x y z
xz yz z 0
x y z
2
x 2
2
y 2
0
或 2 0
11.2 位移法方程
4. 边界条件
y n cos(n, z) 0
侧面边界 自由表面 M
l
Mz
l l
x xy
m yx m y
n n
zx zy
X Y
x
l
y z
xy
0
l xz m yz n z
Z
zx
G
x
y
zy
G
y
x
l xz m yz 0
11.2 位移法方程
4. 边界条件
十
一
柱体自由扭转
章
Free Torsion of Column
弹性力学基本方程
1. 平衡方程 2. 几何方程 3. 本构方程
ij, j fi 0
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
ij ij 2Gij
4. 应力边界条件
n j ij pi
5. 位移边界条件
ui ui 应用弹性力学
无体力时
zx
G
x
y
zy
G
y
x
x yx zx 0
x y z
xy y zy 0
x y z
xz yz z 0
x y z
2
x 2
2
y 2
0
或 2 0
11.2 位移法方程
4. 边界条件
y n cos(n, z) 0
侧面边界 自由表面 M
l
Mz
l l
x xy
m yx m y
n n
zx zy
X Y
x
l
y z
xy
0
l xz m yz n z
Z
zx
G
x
y
zy
G
y
x
l xz m yz 0
11.2 位移法方程
4. 边界条件
弹塑性力学习题集_很全有答案_
题 2—41 图
题 2—42 图
第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程
试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。 1 （设ν = 0.5 ） (2) σ = kε (1) γ 8 = τ 8 ; G 3—2* 试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系， 由应变能公式证明 G、 E、 ν之 间的关系为： 1 G= 2(1 + ν ) 1 1 3—3* 证明：如泊松比ν = ，则 G = E ， λ → ∞ ， k → ∞ , e = 0 ，并说明此时上述 2 3 各弹性常数的物理意义。 3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据 单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限 σ s 与 τ s 的关系。 3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来 1 证明泊松比ν 的上下限为： 0 < ν < 。 2 2 3—6* 试由物体三向等值压缩的应力状态来推证：K = λ + G 的关系， 并验证是否与 3 E K= 符合。 3(1 − 2v) 3—7 已知钢材弹性常数 E1 = 210Gpa，v1 = 0.3， 橡皮的弹性常数 E 2 =5MPa，v 2 = 0.47， 试比较它们的体积弹性常数（设 K1 为钢材，K2 为橡皮的体积弹性模量） 。 3—8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（ σ 1 ≠ 0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0 ） ，其主应变
《弹塑性力学》第十一章 塑性力学基础
作业：图示桁架各杆截面面积为 A , 材料为理
想弹塑性 ,求荷载 P 与 C 点竖向位移 关系。
A
DB
l
C
P
2021/8/9
20
§11-2 一维问题弹塑性分析
2.梁的弹塑性弯曲 2.1 假设: (1)材料为理想弹塑性;
(2)平截面假设(适用于l h);
s
-s
(3) 截面上正应力 x 对变形影
结论：静水压力与塑性变形无关。
2021/8/9
13
§11-2 一维问题弹塑性分析
1.拉压杆的弹塑性问题
EA
N1
图示为两端固定的等
P
N2
截面杆(超静定杆)，
x ab
设材料为理想弹塑性材料，
在x = a 处（b a）作用一
逐渐增大的力P。
s
平衡条件 : N1+N2=P
变形协调条件：a+b=0
o s
理想弹塑性模型
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足
屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变
形存在。卸载按线性弹性。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
o O’
p e
软钢 -
合金钢 -
2021/8/9
5
想弹塑性 ,求荷载 P 与 C 点竖向位移 关系。
A
DB
l
C
P
2021/8/9
20
§11-2 一维问题弹塑性分析
2.梁的弹塑性弯曲 2.1 假设: (1)材料为理想弹塑性;
(2)平截面假设(适用于l h);
s
-s
(3) 截面上正应力 x 对变形影
结论：静水压力与塑性变形无关。
2021/8/9
13
§11-2 一维问题弹塑性分析
1.拉压杆的弹塑性问题
EA
N1
图示为两端固定的等
P
N2
截面杆(超静定杆)，
x ab
设材料为理想弹塑性材料，
在x = a 处（b a）作用一
逐渐增大的力P。
s
平衡条件 : N1+N2=P
变形协调条件：a+b=0
o s
理想弹塑性模型
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足
屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变
形存在。卸载按线性弹性。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
o O’
p e
软钢 -
合金钢 -
2021/8/9
5
《弹塑性力学》第十一章塑性力学基础
本构方程
描述了塑性变形过程中应力和应变之 间的关系，是全量理论的核心。
04
塑性变形的分析方法
有限元法在塑性力学中的应用
有限元法是一种数值分析方法，通过将连续的求 解域离散化为有限个小的单元，利用这些单元的 组合来逼近整个求解域，从而求解复杂的工程问 题。
在塑性力学中，有限元法被广泛应用于分析各种 材料的塑性变形行为。通过建立合适的塑性本构 模型，有限元方法可以模拟材料的弹塑性行为， 并预测其应力、应变和位移等响应。
几何方程
描述了塑性变形过程中应变和位移之 间的关系，是塑性力学的基本方程之 一。
塑性变形的增量理论
流动法则
描述了塑性变形过程中应力和应变增量之间的关系，是增量理论的核心。
屈服准则
描述了材料在受力达到屈服点时的行为，是增量理论的重要概念。
塑性变形的全量理论
全量应力和全量应变
描述了塑性变形过程中应力和应变的 状态，是全量理论的基本概念。
THANK YOU
感谢聆听
通过塑性力学分析，可以预测混凝土在复杂应力状态下的裂缝形成和发展，为结构的补 强和维护提供依据。
混凝土本构关系
塑性力学为混凝土提供了丰富的本构关系模型，能够描述其在复杂应力路径下的非线性 行为，为数值模拟和实验研究提供理论支持。
土壤的塑性变形分析
土壤稳定性分析
在土壤稳定性分析中，塑性力学考虑了土壤在剪切 和压缩作用下的非线性行为，有助于评估斜坡、地 基等土体的稳定性。
描述了塑性变形过程中应力和应变之 间的关系，是全量理论的核心。
04
塑性变形的分析方法
有限元法在塑性力学中的应用
有限元法是一种数值分析方法，通过将连续的求 解域离散化为有限个小的单元，利用这些单元的 组合来逼近整个求解域，从而求解复杂的工程问 题。
在塑性力学中，有限元法被广泛应用于分析各种 材料的塑性变形行为。通过建立合适的塑性本构 模型，有限元方法可以模拟材料的弹塑性行为， 并预测其应力、应变和位移等响应。
几何方程
描述了塑性变形过程中应变和位移之 间的关系，是塑性力学的基本方程之 一。
塑性变形的增量理论
流动法则
描述了塑性变形过程中应力和应变增量之间的关系，是增量理论的核心。
屈服准则
描述了材料在受力达到屈服点时的行为，是增量理论的重要概念。
塑性变形的全量理论
全量应力和全量应变
描述了塑性变形过程中应力和应变的 状态，是全量理论的基本概念。
THANK YOU
感谢聆听
通过塑性力学分析，可以预测混凝土在复杂应力状态下的裂缝形成和发展，为结构的补 强和维护提供依据。
混凝土本构关系
塑性力学为混凝土提供了丰富的本构关系模型，能够描述其在复杂应力路径下的非线性 行为，为数值模拟和实验研究提供理论支持。
土壤的塑性变形分析
土壤稳定性分析
在土壤稳定性分析中，塑性力学考虑了土壤在剪切 和压缩作用下的非线性行为，有助于评估斜坡、地 基等土体的稳定性。
15第10章经典弹塑性本构关系、第11章岩土本构关系和第12章 弹塑性力学边值问题分析(第15讲)
线性
全量理论适用于： （1）小变形＋（2）简单加载
简单加载：在加载过程中物体内每一点的各个应力分量 按比例增长的。即在简单加载时，各应力分量与一个共 同的参数成比例，即：
σ
0 ij
是某一非零的参考应力状态，α
(t)
是一个单调增加的参数。
在小变形情况下，满足以下三个条件：
（1）荷载按比例增长。 （2）材料是不可压缩的。 （3）应力强度与应变强度之间有幂函数的关系。 伊留申简单加载定律
=
3εi 2σ i
s ij
③ 应力强度是应变强度的确定函数
σi = φ (εi )
因此，全量本构方程为：
ε ii
=
1− 2ν E
σ ii
eij
=
3εi 2σ i
Sij
σi = φ (εi )
弹塑性：
σ
ij =
2φ (ε 3ε i
i
)
eij
+ 3Kεmδij
非线性
弹性：
偏张量 球张量
σ ij = 2Geij + 3Kε mδij
eij = ϕsij
3
ε ij
=
(1+ν )σij E
−
ν E
σ
kkδ
ij
推导得出：
ε ii
=
σ ii 2G
弹塑性力学第11章—变分原理及其应用
11.1 基本概念
11.1.1 真实状态与可能状态
在变分原理中，把同时满足弹塑性力学全部基本方程的 应力或应变状态，称为真实状态；把已知满足部分基本方程 的应力或应变状态，称为可能状态。 可能状态又可以分为变形可能状态和静力可能状态，变 形可能状态要求满足几何方程和位移边界条件，静力可能状 态要求满足平衡方程和应力边界条件。 由变形可能状态出发，我们可以得到虚位移的概念。所 谓虚位移，是指从某一几何可能的位移状态变化到无限临近 的另一几何可能的位移状态，期间发生的微小位移，记作
1 ′ = σ ij ε ij U0 2
∂U 0 = σ ij ∂ε ij
′ U0
O
dεx
′ εx
εx
应变能密度和余能密度的一阶导数分别为
′ ∂U 0 = ε ij ∂σ ij
11.1 基本概念 以上分别介绍了应变能与余能的概念。在变分原理中， 应变能对应的是基于位移的变分原理，而余能对应于基于应 力的变分原理，以下分别进行介绍。
y ( x ) = y ( x ) + εη ( x )
dy = y ′ ( x ) dx
η ( x )是与 y ( x )具有相同光滑程度的同类函数。 其中ε 是无穷小量，
这种因函数的直接变化（非自变量x的变化）引起的增量为
δ y ( x ) = y ( x ) − y ( x ) = εη ( x )
弹塑性力学 陈明祥版的 课后习题答案
建立起普 遍适用的理 论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解
法的严密性和普遍适用性为特点；
2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；
3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠
进行度量。
四、 弹塑性力学的基本任务
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
二、 弹塑性力学的研究对象
在研究对象上，材料力学的研究对象是固 体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。
弹塑性力学研究对象也是固体，是不受 几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术 问题需求的物体。
造成两者间这种差异的根本原因是什么呢？
三、弹塑性力学的基本思路与研究方法
1、弹塑性力学分析问题的基本思路
◆ 法国科学家库伦(C.A.Corlomb1773年）、 屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、 圣文南和莱 ( M.Levy ) 波兰力学家胡勃(M.T.Houber 1904年）、 米塞斯(R.von Mises1913年）、 普朗特(L.Prandtl 1924) 罗伊斯(A.Reuss 1930)、享奇 （H.Hencky)、 纳戴(A.L.Nadai) 、伊留申(A.A.Ииьющин)
弹塑性力学能量原理与变分法
∵ 0 < μ < 1/2 ， ∴ Vε≥0 即弹性体的形变势能是非负的量。 （11-3） 将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程（8-17） 比较，可得：
∂vε = σ x, ∂ε x
∂vε =σ y, ∂ε y ∂vε = τ zx , ∂γ zx
∂vε =σz, ∂ε z
∂vε = τ yz , ∂γ yz
§11-1 弹性体的形变势能
1. 形变势能的一般表达式
单向拉伸： 外力所做的功： P P l0
W = 1 PΔl 2
O
由于在静载（缓慢加载）条件下， 其它能量损失很小，所外力功全部转化 杆件的形变势能（变形能） Vε ：
Δl Δl Δl
P
1 Vε = W = PΔl = 1 P Δl (lA) 2A l 2 = 1 σ xε x (lA) 2
第十一章 能量原理与变分法
要点：（1）弹性体形变势能的计算、变分法 的基本思想 （2）位移变分法 —— 最小势能原理、里兹（Ritz）法、
伽辽金（Galerkin）法
（3）应力变分法 —— 最小余能原理、卡氏
（Castigliano）定理
（4）位移变分法、应力变分法的应用
主 要 内 容
§11-1 §11-2 §11-3 §11-4 §11-5 §11-6 §11-7
3. 弹性力学问题的数值解法： （a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程） 基本思想： 将导数运算近似地用差分运算代替； 将定解问题转变为求解线性方程组。 实质：将变量离散。—— 有限差分法； 典型软件：FLAC （b）对变分方程进行数值求解 基本思想：将求解区域离散， 离散成有限个小区域（单元）， 在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理 （变分原理）确定其最优解。 —— 将问题转变为求解大型的线性方程组。 —— 有限单元法、边界元法、离散元法 等 典型软件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP， NASTRAN，ABAQUS 等； —— 基于有限元法的分析软件； UDEC —— 基于离散元法的分析软件；
∂vε = σ x, ∂ε x
∂vε =σ y, ∂ε y ∂vε = τ zx , ∂γ zx
∂vε =σz, ∂ε z
∂vε = τ yz , ∂γ yz
§11-1 弹性体的形变势能
1. 形变势能的一般表达式
单向拉伸： 外力所做的功： P P l0
W = 1 PΔl 2
O
由于在静载（缓慢加载）条件下， 其它能量损失很小，所外力功全部转化 杆件的形变势能（变形能） Vε ：
Δl Δl Δl
P
1 Vε = W = PΔl = 1 P Δl (lA) 2A l 2 = 1 σ xε x (lA) 2
第十一章 能量原理与变分法
要点：（1）弹性体形变势能的计算、变分法 的基本思想 （2）位移变分法 —— 最小势能原理、里兹（Ritz）法、
伽辽金（Galerkin）法
（3）应力变分法 —— 最小余能原理、卡氏
（Castigliano）定理
（4）位移变分法、应力变分法的应用
主 要 内 容
§11-1 §11-2 §11-3 §11-4 §11-5 §11-6 §11-7
3. 弹性力学问题的数值解法： （a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程） 基本思想： 将导数运算近似地用差分运算代替； 将定解问题转变为求解线性方程组。 实质：将变量离散。—— 有限差分法； 典型软件：FLAC （b）对变分方程进行数值求解 基本思想：将求解区域离散， 离散成有限个小区域（单元）， 在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理 （变分原理）确定其最优解。 —— 将问题转变为求解大型的线性方程组。 —— 有限单元法、边界元法、离散元法 等 典型软件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP， NASTRAN，ABAQUS 等； —— 基于有限元法的分析软件； UDEC —— 基于离散元法的分析软件；
第十一章塑性本构关系
9
11
1 E
33
11
22 ,12
1
E
12
也可改写为偏应力率和偏应变率之间的关系：
eij
1
E
sij
1
2
sij
10
kk
1 2
E
kk
1 3k
kk
11
和
M ijkl
ij kl
是两个四阶的弹性张量，为正定的
满足对称性条件：
Lijkl Ljikl M ijkl M jikl
Lijlk Lklij
M ijlk
M
klij
4
满足互逆关系：Mijkl Lklpq
L M ijkl klpq
1 2
ip jq iq jp
rp 0
s
s
rp
o
x
Mp
2R3 s
3
1
1 4
rp R
3
Ml
2R3 s
3
Me
1 2
R
3
弹塑性力学习题及答案
DOC 文档资料
本教材习题和参考答案及部分习题解答
第二章
2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk
pk δδδδδ=;
答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;
解：(3)()ijp klp ki lj
ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ij
ji a a =，则0ijk jk e a =。
（需证明）
2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：
2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a c
b a b b b
c a b c c a c b c c
证：因为1
231
111232221
2
33
3
3i i i i i i i i i i i i i i
i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以
1
231111232221
2
33
3
3
1
231
1112
322
212
333
3det det()i i
i i i i i i
i i i i i i
i i
i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤
第十一章塑性本构关系详解
3
ij
2
ij
ij 。最后，再
通过某一弹性卸载路径使应力由
回ij3到初值
4
ij
i，j1 此段材料未产生
新的塑性变形。
得不等式：
2
ij
1
ij
p ij
1 2
ij
p ij
0
其中： ijp dijp 表示塑性应变增量 ij d ij 表示应力增量
得以下几个推论： 由不等式：
2
ij
1
ij
p ij
1 2
ij
p ij
0
推论1：如果把应力的起始点取在加载面上，而且仍然能构
造出上述的应力闭循环的话，由 Drucker公设可知材料一定是
稳定的。
400 0 0
例题11-1
设一点的应力张量为：
ij
（0）
0
200
0
MPa
400 0 0
0 0 200
当它变为：
ij
（1）
0
300
0
MPa
0 0 300
300 0 0
或变为：
ij
（2）
0
100 0 MPa 时，是加载还是卸载？
0 0 0
解（1） 以最大切应力作为判断依据：
（0） max
二、硬化材料的加卸载准则
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答
目录
第二章习题答案.......................................
第三章习题答案.......................................
第四章习题答案.......................................
第五章习题答案.......................................
第六章习题答案.......................................
第七章习题答案.......................................
第八章习题答案.......................................
第九章习题答案.......................................
第十章习题答案.......................................
第十一章习题答案.....................................
第二章习题答案
2.6设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。
解该平面的法线方向的方向余弦为
而应力矢量的三个分量满足关系
而法向分量满足关系最后结果为
2.7利用上题结果求应力分量为时，过平面
处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系
可求得。
最终的结果为
2.8已知应力分量为，其特征方程为三次
弹塑性力学习题集(有图)
~
弹塑性力学习题集
[
殷绥域李同林编
!
)
~
中国地质大学·力学教研室
二○○三年九月
》
目录
弹塑性力学习题 (1)
第二章应力理论.应变理论 (1)
；
第三章弹性变形.塑性变形.本构方程 (6)
第四章弹塑性力学基础理论的建立及基本解法 (8)
第五章平面问题的直角坐标解答 (9)
第六章平面问题的极坐标解答 (11)
第七章柱体的扭转 (13)
]
第八章弹性力学问题一般解.空间轴对称问题 (14)
第九章* 加载曲面.材料稳定性假设.塑性势能理论 (15)
第十章弹性力学变分法及近似解法 (16)
第十一章* 塑性力学极限分析定理与塑性分析 (18)
第十二章* 平面应变问题的滑移线场理论解 (19)
`
附录一张量概念及其基本运算.下标记号法.求和约定 (21)
习题参考答案及解题提示 (22)
>
前言
弹塑性力学是一门理论性较强的技术基础课程，它与许多工程技术问题都有着十分密切地联系。应用这门课程的知识，能较真实地反映出物体受载时其内部的应力和应变的分布规律，能为工程结构和构件的设计提供可靠的理论依据，因而受到工程类各专业的重视。
·
《弹塑性力学习题集》是专为《弹塑性力学》（中国地质大学李同林、殷绥域编，研究生教学用书。）教材的教学使用而编写的配套教材。本习题集紧扣教材内容，选编了170余道习题。作者期望通过不同类型习题的训练能有助于读者理解和掌握弹塑性力学的基本概念、基础理论和基本技能，并培养和提高其分析问题和解决问题的能力。鉴于弹塑性力学课程理论性强、内容抽象、解题困难等特点，本书对所编习题均给出了参考答案，并对难度较大的习题给出了解题提示或解答。
弹塑性力学习题集_很全有答案_
间的关系为 ε oB =
1 γ xy 。 （用弹塑性力学转轴公式来证明） 2
题 2—33 图
2 — 34
设 一 点 的 应 变 分 量 为 ε x = 1.0 × 10 −4 ， ε y = 5.0 × 10 −4 ， ε z = 1.0 × 10 −4 ，
ε xy = ε yz = 1.0 × 10 −4 ， ε zx = 3.0 × 10 −4 ，试计算主应变。
题 2 —5 图
题 2 —6 图
G=
Fra Baidu bibliotek
E 2(1 + v)
2—8 用材料力学方法试求出如题 2—8 图所示受均布载荷作用简支梁内一点的应力状 态，并校核所得结果是否满足平衡微分方程。
题 2 —8 图
2—9
已知一点的应力张量为： 50 80 50 σ ij = 0 − 75 MPa − 30 (对称)
2—35* 已知物体中一点的应变分量为
10 4 − 2 −4 ε ij = 4 5 3 × 10 − 2 3 − 1
试确定主应变及最大主应变的方向。 2—36* 某一应变状态的应变分量 γ xy 和 γ yz =0， 试证明此条件能否表示 ε x 、ε y 、ε z 中 之一为主应变？ 2—37 已知下列应变状态是物体变形时产生的：
3—1
为 ε 1 = 1.7 × 10 −4 ， ε 2 = 0.4 × 10 −4 。已知ν = 0.3，试求主应变 ε 3 。
1 γ xy 。 （用弹塑性力学转轴公式来证明） 2
题 2—33 图
2 — 34
设 一 点 的 应 变 分 量 为 ε x = 1.0 × 10 −4 ， ε y = 5.0 × 10 −4 ， ε z = 1.0 × 10 −4 ，
ε xy = ε yz = 1.0 × 10 −4 ， ε zx = 3.0 × 10 −4 ，试计算主应变。
题 2 —5 图
题 2 —6 图
G=
Fra Baidu bibliotek
E 2(1 + v)
2—8 用材料力学方法试求出如题 2—8 图所示受均布载荷作用简支梁内一点的应力状 态，并校核所得结果是否满足平衡微分方程。
题 2 —8 图
2—9
已知一点的应力张量为： 50 80 50 σ ij = 0 − 75 MPa − 30 (对称)
2—35* 已知物体中一点的应变分量为
10 4 − 2 −4 ε ij = 4 5 3 × 10 − 2 3 − 1
试确定主应变及最大主应变的方向。 2—36* 某一应变状态的应变分量 γ xy 和 γ yz =0， 试证明此条件能否表示 ε x 、ε y 、ε z 中 之一为主应变？ 2—37 已知下列应变状态是物体变形时产生的：
3—1
为 ε 1 = 1.7 × 10 −4 ， ε 2 = 0.4 × 10 −4 。已知ν = 0.3，试求主应变 ε 3 。
11-弹塑性力学-总结与复习
2
③八面体应力(111);如何求?有何意义? 八面体应力( ) 如何求?有何意义? 等效应力:等效的含义,求解? ④等效应力:等效的含义,求解?
σe =
1 3 (σ x σ y )2 + (σ y σ z )2 + (σ z σ x )2 + 6(τ ij )2 = τ8 2 2
σ e = f ( I12 + 3I 2 ) ~ τ 8
总结与复习 (Summarization and Review)
2种基本求解方法: 种基本求解方法: 种基本求解方法 1. 位移法:含义,求解过程,例题; 位移法:含义,求解过程,例题; 2.应力法:含义,如何保证解的连续性? .应力法:含义,如何保证解的连续性? ——应力函数的引入 应力函数的引入 应力函数: 定义)条件: 应力函数:(定义)条件: 应力平衡条件; ① ~ σ ij ;②应力平衡条件;③应变连续条件 平面问题: 平面问题: 4 4 4 +2 2 2 + 4 =0 直角坐标系) (直角坐标系) 4
σ ij → σ 1 , σ 2 , σ 3 → I1 , I 2 , I 3
' ′ ′ σ ij → I1′, I 2 , I 3
求解方法
总结与复习 (Summarization and Review)
②主剪应力(110);最大剪应力: τ max = 主剪应力( ) 最大剪应力:
③八面体应力(111);如何求?有何意义? 八面体应力( ) 如何求?有何意义? 等效应力:等效的含义,求解? ④等效应力:等效的含义,求解?
σe =
1 3 (σ x σ y )2 + (σ y σ z )2 + (σ z σ x )2 + 6(τ ij )2 = τ8 2 2
σ e = f ( I12 + 3I 2 ) ~ τ 8
总结与复习 (Summarization and Review)
2种基本求解方法: 种基本求解方法: 种基本求解方法 1. 位移法:含义,求解过程,例题; 位移法:含义,求解过程,例题; 2.应力法:含义,如何保证解的连续性? .应力法:含义,如何保证解的连续性? ——应力函数的引入 应力函数的引入 应力函数: 定义)条件: 应力函数:(定义)条件: 应力平衡条件; ① ~ σ ij ;②应力平衡条件;③应变连续条件 平面问题: 平面问题: 4 4 4 +2 2 2 + 4 =0 直角坐标系) (直角坐标系) 4
σ ij → σ 1 , σ 2 , σ 3 → I1 , I 2 , I 3
' ′ ′ σ ij → I1′, I 2 , I 3
求解方法
总结与复习 (Summarization and Review)
②主剪应力(110);最大剪应力: τ max = 主剪应力( ) 最大剪应力:
弹性力学主要内容及参考书目《弹性力学》
《弹性与塑性力学》（例题与习题）
Baidu Nhomakorabea
教材与主要参考书
教材： 《弹性力学》（上册，第三版）
徐芝纶 编 高等教育出版社 （Timoshenko）编 科学出版社 同济大学出版社 清华大学出版社
参考书：《弹性理论》 铁木辛柯
《弹性力学》 吴家龙 编
《弹性理论基础》 陆明万等 编 《弹性力学学习方法及解题指导》
王俊民 编 徐秉业 编 同济大学出版社 机械工业出版社
弹性力学
弹性力学的主要章节内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章 绪 论 平面问题的基本理论 平面问题的直角坐标解答 平面问题的极坐标解答 平面问题的复变函数解答 温度应力的平面问题 平面问题的差分解 空间问题的基本理论 空间问题的解答 等截面直杆的扭转 能量原理与变分法 弹性波的传播
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Et E
E( s
)
线性强化弹塑性模型
s(1
Et E
) Et s(1 )
Et
Et E 1
2021/3/9
10
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
在实际问题中，有时当弹性应变 e p 塑性
应变，可忽略弹性变形。
上述两种模型分别简化为： s 时, = 0
s =s
P Pe (1 a b)b Pa (P Pe )b
EA
EA(1 a b)
2021/3/9
18
§11-2 一维问题弹塑性分析
(3)塑性解：
N1=sA , N2=sA
P Pp
Pe
则最大荷载 Pp=2sA
——极限荷载
e
这时杆件变形显著增加，丧失承载能力
2021/3/9
19
§11-2 一维问题弹塑性分析
作业：图示桁架各杆截面面积为 A , 材料为理 想弹塑性 ,求荷载 P 与 C 点竖向位移 关系。
A
DB
l
C
P
2021/3/9
20
§11-2 一维问题弹塑性分析
2.梁的弹塑性弯曲 2.1 假设: (1)材料为理想弹塑性;
(2)平截面假设(适用于l h);
s
-s
(3) 截面上正应力 x 对变形影
M
A
x
ydA
2b
y0
0
s
y y0
ydy
h2
y0
s ydy
b
s
h2 4
y02 3
当y0=h/2时： M M e
b
s
h2 4
h2 12
s
bh 6
2
——最大弹性弯矩
2021/3/9
24
§11-2 一维问题弹塑性分析
s
s
s
+ h/2
s
y0 -
-
y0 +
s
y
x
s
y y0
+
s
M
2021/3/9
22
§11-2 一维问题弹塑性分析
s
s
+ h/2
s
y0 -
y0
y
+
s
x
s
y y0
弹塑性阶段：Mp M Me
弯矩继续增大，截面上塑性区域向中间扩展， 塑性区域内的应力保持不变，截面上弯矩为
2021/3/9
23
§11-2 一维问题弹塑性分析
s
s
+ h/2
s
y0 y0
+
s
y
x
s
y y0
2021/3/9
14
§11-2 一维问题弹塑性分析
（1）弹性解：
当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为
a
N1a EA
b
N2b EA
代入变形协调方程为
N1a N2b 0 或
EA EA
a N2 N1 b
由于b a，所以 N1 N2 ，将 N2 N1 a b
代入平衡方程。
2021/3/9
15
§11-2 一维问题弹塑性分析
（2）梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系
M=EI ( M Me ), 或
M
EI
将应力与弯矩关系式 My代入上式,可得
I
Ey
2021/3/9
28
§11-2 一维问题弹塑性分析
在弹塑性阶段，由于梁弯曲 时截面仍然保持平面，可得
s 或
Ey0
s
y0 y0
+
s
y
x
s
y y0
第十一章 塑性力学基础
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型 §11-2 一维问题弹塑性分析
§11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力 e等 效应变 e、罗德（Lode）参数
§11-4 屈服条件 §11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力 §11-6 弹塑性应力应变关系增量理论
2021/3/9
得
N1 P /(1 a b)
最大弹性荷载
N2 (P a b) (1 a b)
Pe N1(1 a b) s A(1 a b)
力P 作用点的伸长为
e
N1a EA
Pea (1 a )EA
sa
E
b
2021/3/9
16
§11-2 一维问题弹塑性分析
(2)弹塑性解Pp P Pe : P = Pe 后，P 可继续增大，而 N1=sA 不增加
结论：静水压力与塑性பைடு நூலகம்形无关。
2021/3/9
13
§11-2 一维问题弹塑性分析
1.拉压杆的弹塑性问题
EA
N1
图示为两端固定的等
P
N2
截面杆(超静定杆)，
x ab
设材料为理想弹塑性材料，
在x = a 处（b a）作用一
逐渐增大的力P。
s
平衡条件 : N1+N2=P
变形协调条件：a+b=0
o s
理想弹塑性模型
响为主要的;
M
x
M
y
2021/3/9
21
§11-2 一维问题弹塑性分析
2.2梁具有两个对称轴截面的弹塑性弯曲:
(1) 梁的弯矩
M
x
M
在线弹性阶段
y
b
弹性极限状态（设矩形截面）: M=Me
hz y
在 截 面 上 y=h/2 处 ， max
s
Meh 2I
Me bh2 6
或 M e ——s 最b6h大2 弹性弯矩
中性轴的位置的确定：
2021/3/9
32
§11-2 一维问题弹塑性分析
b -
h
z
+
y
s
在弹性阶段：应力为直线分布，中性轴通过 截面的形心。
最大弹性弯矩 Me = s W
2021/3/9
33
§11-2 一维问题弹塑性分析
b
F2
-
-
h
z
+
+ F1
y
s
s
在弹塑性阶段：中性轴的位置由截面上合力 为零来确定: F1 = F2
z a
2021/3/9
36
§11-2 一维问题弹塑性分析
2.4 超静定梁的极限荷载
超静定梁由于具有多余约束，因此必须有 足够多的塑性铰出现，才能使其变为机构。
下面举例说明这个过程。
P
一端固定、一端简支 A 的等截面梁，跨中受集
l/2 C
l/2
B
中荷载作用。
2021/3/9
37
§11-2 一维问题弹塑性分析
（a段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA
力 P 作用点的伸长取决于b 段杆的变形
b
N2b EA
(P
s A)b
EA
2021/3/9
17
§11-2 一维问题弹塑性分析
b
N2b EA
(P
s A)b
EA
Pe s A(1 a b) s A Pe (1 a b)
1
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.1单向拉压实验：
不同材料在单向拉压实验中，有不同的 应力－应变曲线。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
软钢 -
o O’
p e
合金钢 -
2021/3/9
2
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
C
软钢 - s A B
o
p
e
p
e
A
x
ydA
2b
y0 0
s
y y0
ydy
h2
y0
s ydy
b
s
h2 4
y02 3
当y0=
0时：M
M
p
sbh2
4
——极限弯矩
2021/3/9
25
§11-2 一维问题弹塑性分析
Me
s
bh2 6
M
M
p
sbh2
4
令 =Mp/Me=1.5（矩形截面） —— 截面形状系数。
截面形状
1.5
1.7
1.15-1.17
Et
s
s+Et
o
理想刚塑性模型
o
线性强化刚塑性模型
2021/3/9
11
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.3金属材料在静水压力实验：
前人（Bridgman）对大量金属进行水压力实验 及拉压和静水压力联合实验，得到下列结果：
1.在静水压力(高压) p 作用下, 金 属 体 积 应 变
映出反向加载的屈服极限 ’’s s —— 称为
包辛格效应（Bauschinger. J. 德国人）。
BC
包辛格效应
A
’s s
o
O’
’
s’’
2021/3/9
7
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
小结：
（1）在弹性阶段（ s）： = e 应力应变关系一
一对应。
（2）当应力达到初始屈服条件（ =s时），材料 进入弹塑性阶段， = e+ p，应力－应变关系不再
当软钢应力达到A点后，软钢有明显屈服 （塑性流动）阶段。
经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为
强化阶段，BC段），但强化阶段 增幅较少。
A
s
B
C
’s s
A
B
软钢 -
o
p
e
p
e
o
O’
p e
C
合金钢 -
2021/3/9
4
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段
y0
s E
代入梁弹塑性弯曲时M的表达式
M
b
s
h2 4
y02 3
得
2021/3/9
29
§11-2 一维问题弹塑性分析
M
b
s
h2 4
1 3
s E
2
M Mp Me
( M Me )
o e
(3) 梁弹塑性弯曲时的卸载：
卸载是以线弹性变化，卸载后梁截面的弯
矩M=0, 但截面内的应力不为零，有残余 应力存在。以矩形截面为例：
2021/3/9
26
§11-2 一维问题弹塑性分析
Me
s
bh2 6
M
M
p
sbh2
4
截面弯矩达到极限弯矩时，其附近无限靠
近的相邻两截面可发生有限相对转角，该截面
称为塑性铰。
对于静定梁，截面弯矩达到极限弯矩时，
结构变成机构，承载力已无法增加。这种状态 称为极限状态。
2021/3/9
27
§11-2 一维问题弹塑性分析
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足
屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变
形存在。卸载按线性弹性。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
o O’
p e
软钢 -
合金钢 -
2021/3/9
5
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
而对于合金钢，无明显屈服，当 s时进
入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变
是一一对应关系，而要考虑加载变形历史。
（3）对于有明显屈服流动且强化阶段较小的材料， 屈服条件采用初始屈服条件。对于无明显屈服流 动且强化阶段较高的材料，将有后继屈服函数产生。
（4）有些强化材料具有包辛格效应。
2021/3/9
8
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.2 常见的几种简化力学模型
2021/3/9
30
§11-2 一维问题弹塑性分析
s
-
+
+ -
+ +
s
- = +-
s
M I
y
y y0
x
y
s 0
y M I
y
y0 y y0
s
M I
y
y y0
2021/3/9
31
§11-2 一维问题弹塑性分析
2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:
M
x
y
b
M
z
h
y
具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点： 随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。
e=V/V=p/k成正比，当p达到或超过金属材料 的s时，e与p 仍成正比；并且除去压力后，
体积变化可以恢复，金属不发生塑性变形。
2021/3/9
12
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
2. 金属受静水压力和拉压联合作用与金属单 独受拉压作用比较，发现静水压力对初始屈
服应力 s没有影响。
形，卸载按线弹性。对于强化特性明显的材料，
由O’点继续加载，在O’B段又是线性弹性变化，
当 达到B点再次发生塑性变形，
’s s
A
B
o
O’
p e
C - ’s=0——后继屈服函数 ’s=’s( p)
2021/3/9
6
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
当卸载后，反向加载时，有些金属材料反
1. 理想弹塑性模型：
s
加载时： =E s = s s
o s
理想弹塑性模型
2021/3/9
9
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
2. 线性强化弹塑性模型：
加载时： =E s
Et
s
E
= E s+ Et ( - s ) s
o s
s
Et ( s
) s
’s s
A
BC
合金钢 -
o
O’
p e
当应力－应变曲线在OA范围内变化，材料
为弹性变化。当应力达到 s时（软钢有明显
屈服发生(AB段），合金钢无明显屈服发生） 将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的
条件为
2021/3/9
3
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
f () = - s = 0 初始屈服条件（函数）
Mp，当荷载增加到 极限荷载时，跨中 MP
Pe<P<PP
弯矩达到Mp 。
A
C
B
极限荷载 Pp 的确 MP
Pl 4
定可采用静力法，
也可采用虚功法 。
MP
2021/3/9
39
§11-2 一维问题弹塑性分析
静力法
P
根据平衡方程
A l/2 C l/2
2021/3/9
34
§11-2 一维问题弹塑性分析
b
F2
s
-
-
-
h
z
+
+ F1
+
y
s
s
s
在塑性流动阶段：受拉区应力和受压区应力均为 常数，中性轴的位置由截面上合力为零来确定:
F1 = F2 或 s A1 = s A2
得 A1 = A2 ——中性轴的位置由受拉区截面面
积等于受压区截面面积确定。
2021/3/9
1）在线弹性阶段
P
固定端弯矩最大，
A l/2 C l/2
B
M
A
6 32
Pl
M
e
6Pl/32
P
A
C
B
2）在弹塑性阶段：固定
5Pl/32
端首先发生塑性区域， 随着荷载增加、固定端 MP
Pe<P<PP
成为第一个塑性铰。
A
C
B
2021/3/9
38
§11-2 一维问题弹塑性分析
3）极限状态
P
固定端弯矩保持 A l/2 C l/2 B
35
§11-2 一维问题弹塑性分析
极限弯矩 Mp = s (S1 + S2 )
S1 和S2 分别为面积A1和A2对等面积轴的静矩。
作业：已知理想弹塑性材料的屈服极限为 s ,
试求(1)图示梁截面的极限弯矩 Mp ,（2）当M / Me =1.2 时， y0 的值为多少 ?
a) y
b) a y
a
z
a