2021年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.7抛物线学案文

2021年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.7抛物线学案文

[知识梳理]

1．抛物线的定义

平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

3．必记结论

(1)抛物线y 2

＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

p

2，0的距离|PF |＝x 0＋p

2，也称

为抛物线的焦半径．

(2)y 2

＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a

4，0，准线方程为x ＝－a

4.

(3)直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．

①y 1y 2＝－p 2

，x 1x 2＝p 2

4

.

②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③

1

|AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2p

sin 2α(α为AB 的倾斜角)．

⑤以AB 为直径的圆与准线相切．

⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°. [诊断自测] 1．概念思辨

(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )

(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )

(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2

＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )

答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2．教材衍化

(1)(选修A1－1P 64A 组T 2)抛物线y ＝1a

x 2

(a ≠0)的焦点坐标为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4或⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，－a 4

B.⎝

⎛

⎭⎪⎫

0，－a 4

C.⎝ ⎛

⎭⎪⎫

0，a 4

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫a

4，0 答案 C

解析 把方程写成x 2

＝ay ，若a >0，则p ＝a

2，焦点为F ⎝ ⎛

⎭⎪⎫

0，a 4；若a <0，则p ＝－a

2，开

口向下，焦点为F ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

0，a 4.故选C.

(2)(选修A1－1P 61例4)若过抛物线y 2

＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )

A ．8

B ．16

C ．32

D ．64

答案 B

解析 由抛物线y 2

＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2

＝8x ，得(x －2)2

＝8x ，即x 2

－12x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.故选B.

3．小题热身

(1)抛物线y 2

＝4x 的焦点到双曲线x 2

－y 2

3＝1的渐近线的距离是( )

A.12

B.

3

2

C ．1 D. 3

答案 B

解析 由抛物线y 2

＝4x ，有2p ＝4⇒p ＝2，焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，不妨取其中一条3x －y ＝0，由点到直线的距离公式，有d ＝|3×1－0|

(3)2＋(－1)

2＝32.故选B.

(2)(xx·正定一模)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a 0)经过C ，F 两点，则b

a

＝________.

答案 1＋ 2

解析 |OD |＝a 2，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a

2＋b ，b ，

又抛物线y 2

＝2px (p >0)经过C ，F 两点，

从而有⎩⎪⎨

⎪⎧

(－a )2

＝2p ×a 2

，b 2

＝2p ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2＋b ，即⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝p ，

b 2

＝ap ＋2bp ，

∴b 2

＝a 2

＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a 2－2·b

a

－1＝0，又b a

>1，

∴b a

＝1＋ 2.

题型1 抛物线的定义及应用

典例

(xx·浙江高考)若抛物线y 2

＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．

抛物线定义法．

答案 9

解析 设M (x 0，y 0)，由抛物线方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.

[条件探究1] 将典例条件变为“过该抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，若|AF |＝3”，求△AOB 的面积．

解 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2

－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝32

2

.

[条件探究2] 将典例条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中

A (3,2)”．求M 点坐标及此时的最小值．