第三章导数与微分习题答案

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经济管理类微积分龚德恩第二版参考答案第三章导数与微分

（２）已知 y ＝ f （３）
a ＋ x
２
x
４２
，则 y ′ ＝
f （ θn ）＝
（５）设 y ＝f （ x ）＝x 在点（１，１）处的切线与 x 轴的交点为（ θn ，０），则 nｌｉｍ
n
１（４）曲线 y ＝２在点（－１，１）的切线方程为 x ；
ｄ（ａｒｃｓｉｎ x ）＝ｄ（ａｒｃｃｏｓ x ）
１６．求下列各数的近似值：（１）２解
１．００１
（３）ｓｉｎ２９° ；
；（２）ｌｎ１．００２；（４）
３
７６．
（２ｌｎ２） Δ x．（１）令 f （ x ）＝２，ｄ f ＝
x x
取 x０＝１，Δ x－０．００１，则２
１．００１１１
≈ f （１）＋ｄf ｜ x ０＝１， Δ x ＝０．００１＝２＋０．００２ × ｌｎ２≈２．００１３８６（ｌｎ２≈０．６９３１）．ｌｎ（１．００２） ≈ f（１）＋ｄf
边际收益为
于是，边际利润为
１８．已知某产品的需求函数和总成本函数分别为：其中 x 为销售量，P 为价格．解利润函数为
１１０． L′ （ x）＝［ R （ x）－ C（ x）］ ′ ＝ R′ （ x）－ C′ （ x）＝２－（x ＋２） x p＝１０００－２ x ，C （ x ）＝５０００＋２０ x
２２
∴y ′ （ x）＝ｌｉｍ Δ x ０
→
＝（x ＋ Δ x）－ x ＋３Δ x＝（２ x ＋３＋ Δ x） Δ x Δ y ＝ｌｉｍ（２ x ＋３＋ Δ x）＝２x ＋３． Δ x Δx → ０

第三章导数与微分习题及答案

第三章导数与微分同步练习一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。

2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。

3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。

4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。

5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将。

6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为。

7、已知x x y ln =，则)10(y = 。

8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。

9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。

10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。

11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。

二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（）A 、不连续B 、极限不存在Ｃ、连续且可导Ｄ、连续但不可导４、下列函数在[]1,1-上可微的有（）Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（）Ａ、在0=x 处极限不存在Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（）Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对７、已知)(x f e y =，则y ''＝（）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。

《高等数学一》第三章导数与微试题模拟课后习题汇总(含答案解析)

第三章导数与微分[单选题]1、设函数，则高阶导数=（）A、12!B、11!C、10!D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶导数计算.因为多项式的最高次幂为11，故=0.[单选题]2、f(x)=4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程为( )A、y＝x－2B、y＝x＋2C、y＝－x＋2D、y＝－2x＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】f(x)＝4x－x3, f(－1)＝－4＋1＝－3,故(－1,－3)在所给的曲线上. 又f ' (x)＝4－3x2故f ' (－1)＝4－3＝1∴过(－1,－3)的切线方程为y＝(x＋1)－3＝x－2.[单选题]3、y＝cos3x－cos3x的导数为( )A、3(sin3x－sinxcos2x)B、3(sin3x＋sinxcos2x)C、3(sinx－sinxcos2x)D、3(sin3x－sin3xcos2x)【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】 y’＝(cos3x)' －(cos3x) '＝3cos2x(－sinx)－(－sin3x)×3＝3(sin3x－sinxcos2x)[单选题]4、设y＝x n＋e－x，则y(n)(0)＝（）A、n!＋(－1)nB、n!C、n!＋(－1)n－1D、n!－1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y(n)(x)＝n！＋(－1)n e－x，从而y(n)(0)＝n!＋(－1)n[单选题]5、设函数f(x)＝arctanx,求=( )A、-2B、1C、3D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]6、设y＝lnx，则y(n)＝()A、(－1)n n!x－nB、(－1)n(n－1)!x－2nC、(－1)n－1(n－1)!x－nD、(－1)n－1n!x－n＋1【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】y′＝x－1,y′′＝－1!x－2, y′′′＝2!x－3,…. y(n)＝ (－1)n－1(n－1)!x－n[单选题]7、已知函数，则f(x)在点x=0处()A、连续但导数不存在B、间断C、导数f ’(0)=－1D、导数f ’(0)=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】所以，f(x)在点x=0处间断，答案为B.[单选题]8、y＝(2x2－x＋1)2的导数为( )A、2(2x2－x＋1)(4x－1)B、(2x2－x＋1)(4x－1)C、(2x2－x＋1)(4x＋1)D、(2x2＋x＋1)(4x－1)【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】y’＝2(2x2－x＋1)(2x2－x＋1)’＝2(2x2－x＋1)(4x－1)[单选题]9、设函数f（x）在x0点可微是f（x）在该点可导的( )A、充分必要条件B、充分条件C、必要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】设函数f（x）在x0点可导是f（x）在该点可微的充要条件，对于一元函数，两者是等价的。

第三章导数与微分习题

习题三1．根据导数的定义求下列函数的导数：（1）221x y -= （2）21x y = （3）32x y =2．给定函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 为常量，求：)(x f '，)0(f '，)21(f '，)2(a b f -' 3．一物体的运动方程为s ＝t 3＋10，求该物体在t ＝3时的瞬时速度。

4．求在抛物线y ＝x 2上点x ＝3处的切线方程。

5．自变量x 取哪些值时，抛物线y ＝x 2与y ＝x 3的切线平行？6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-<≤+=x x x x x f 113101)(2在点x ＝1处是否可导？为什么？7．讨论函数y ＝x|x|在点x ＝0处的可导性。

8．用导数定义求⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(1)(x s x xx f 在点x ＝0处的导数。

9．设⎩⎨⎧<<--+≤<-+=101101)1ln()(x xx x x x f 讨论f （x ）在x ＝0处的连续性与可导性。

10．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0)1ln(1sin )(12x s x x x f x 在点x ＝0处是否继续？是否可导？11．讨论⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<+≤<+≤=x xx x x x x x f 2212101201)(2在x ＝0，x ＝1，x ＝2处的连续性与可导性。

12．求下列各函数的导数（其中a ，b 为常量）：（1）532+-=x x y （2）b a x y +=（3）3412+-=xx y （4）2222x x y += （5）x x y 31-= （6）)12(2-=x x y（7）)11)(1(-+=x x y （8）x x y 2)1(+=（9）ba b ax y ++= （10）))((b x a x y --=（10）)1)(1(a b bx ax y ++=13．求下列各函数的导数（其中a ，b ，c ，d ，n 为常量）：（1）)3)(2)(1(+++=x x x y（2）x x y ln =（3）x x y n ln = （4）x y alog = （5）11-+=x x y （6）215xx y += （7）x x x y --=223 （8）n cx b a y += （9）x x y ln 1ln 1+-= （10）2211xx x x y +--+= 14．求下列各函数的导数：（1）x x x y cos sin += （2）xx y cos 1-=（3）x x x y tan tan -= （4）xx y cos 1sin 5+= （5）x x x x y sin sin += （6）x x x y ln sin ⋅= 15．求曲线x y sin =在点x ＝π处的切线方程。

第三章导数及其应用含详细答案

第三章导数及其应用刷速度一、选择题1. 已知曲线上一点，则（）A．B．C．D．答案.2. 已知′(1),则f′(0)等于( )A. B C D 2e解:由′(1),得:f′(x)′(1),取得:f′(1)′(1),所以,f′(1)故f′(0)′(1), 因此，本题正确答案是:B.3. 如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数（）。

A: B: C: D:答案详解B解析:本题主要考查函数的单调性。

当函数为减函数时，函数的导数小于零，根据图象，在区间内导函数小于零，即为减区间。

故本题正确答案为B。

4. 函数,的最大值为( )A. B. 1 C. D.答案详解C解:令得或当时,或;当时,当时;当时,;当时,所以函数的最大值为所以C选项是正确的解析:求出函数的导函数,令导数为0求出根,判断根左右两边导函数的符号,求出函数的极值及端点值,在其中选出最大值.5. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A. 3 B 2 C 1 D答案详解A解析:函数的定义域为，函数的导数为，由，得，解得或（舍去），选A.6. 函数有极值的充要条件是A、a≥1或a≤0B、a>1或a<0C、a≥1或a<0D、0<a<1答案B解析【分析】将函数f(x)有极值转化成f′(x)有两不等的根，再利用判别式进行判定即可．【解答】函数有极值则f′(x)=ax2+2ax+1=0有两不等的根当a=0时，无解当a≠0时，Δ>0．即4a2-4a>0解得a>1或a<0，故选B．7. 若在上是减函数，则的取值范围是（）。

A: B: C: D:答案详解D解析:本题主要考查导数的应用。

由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，令，因为，所以。

要使，即需要小于等于其最小值，所以。

8.9.函数有三个相异的零点,则a的取值范围是( )A. B C D答案C解:函数,,,,,,, ,,函数在单调递减,单调递增,,使得函数有三个零点,必须:,计算得出.所以C选项是正确的.10. 已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为________．答案2解析切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．三个方程联立即可求出a的值．解答：设切点P（x 0，y 0），则y 0=x 0+1，y 0=ln（x 0+a），又∵切线方程y=x+1的斜率为1，即，∴x 0+a=1，∴y 0=0，x 0=-1，∴a=2．故答案为：211.12，设是定义在R上的函数,其导函数为f′(x),若′(x) , ,则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A. B C D解:设,则g′(x)′(x)′(x),′(x),, ′(x)′(x),是R上的增函数, 又,的解集为,即不等式的解集为所以B选项是正确的.二、填空题13.、曲线在点处的切线方程是。

高中数学导数与微分练习题及参考答案2023

高中数学导数与微分练习题及参考答案2023一、选择题1.设y=(x-2)^2, 则y的导数为A. 2(x-2)B. (x-2)^2C. 2(x-2)^2D. 1/(x-2)2.已知函数f(x)=2x^3+x^2-4x, 则f'(2) =A. 2B. 20C. -8D. 283. 设f(x)=3x^(1/3)+2x^(-1/3), 则f'(x)=A. (6/x)^(1/3)B. (9/x^(2/3))C. (1/x^(4/3))D. 3(x^2/3)-2(x^-4/3)4. 若y=log_2(x^2+1), 则y''=A. [2(x^2+1)]/[ln2(x^2+1)^3]B. [2(x^2-1)]/[ln2(x^2+1)^3]C. [2(x^2+1)]/[ln2(x^2+1)^2(x^2-1)]D. [2(x^2-1)]/[ln2(x^2+1)^2(x^2+1)]5. 已知f(x)=5^x-3x, 则f'(log_53)=A. 2ln5-3/ln5B. 2ln5+3/ln5C. 2ln5-1/ln5D. 2ln5+1/ln5二、计算题1. 求函数y=4x^3-6x^2+2x的导数。

2. 已知函数f(x)=e^x/(x^2-4), 求f'(x)。

3. 已知y=sinx/x, 求y'(0)。

4. 若f(x)=x^3-3x^2+2, 求f(x)在x=2处的切线方程。

5. 求函数y=xlnx的导函数。

6. 求函数y=ln(x^2+1)的导函数。

7. 求直线y=2x-5与函数y=x^2-x+2的交点坐标。

8. 已知f(x)=xlnx, 求f''(x)。

三、应用题1. 筒形的长为20cm，半径为5cm，求其外表面积变化率和体积变化率，当半径增加0.05cm时，长增加0.1cm。

2. 一枚铜币的半径为3cm，厚度为0.2cm，求其体积在半径扩大到4cm时的变化率。

第三章导数及其应用参考答案

数的单调递减区间为(0,1]．
7.答案 D
解析依题意得，f′(x)＝aex＋cos x≥0，
即
a≥－coesx x对
x∈
－π，0 2
恒成立，
设
g(x)＝－coesx x，x∈
－π，0 2
，
x＋π
g′(x)＝ 2sin 4 ，令 g′(x)＝0，则 x＝－π，
ex
4
－π，－π 当 x∈ 2 4 时，g′(x)<0；
2 13.解 (1)∵f(x)＝4ln x－mx2＋1，
∴f′(x)＝4－2mx， x
∴f′(1)＝4－2m，
∵函数 f(x)在(1，f(1))处的切线与直线 2x－y－1＝0 平行，∴f′(1)＝4－2m＝2，
∴m＝1.
(2)∵对于任意 x∈[1，e]，f(x)≤0 恒成立，
∴4ln x－mx2＋1≤0，在 x∈[1，e]上恒成立，
由 f′(x)<0，得 x>－1， a
0，－1
－1，＋∞
函数 f(x)在
a 上单调递增，在 a
上单调递减.
(2)①当 a＝0 时，函数 f(x)在(0，1]内有 1 个零点 x0＝1;
0， 1
1 ，＋∞
②当 a>0 时，由(1)知函数 f(x)在 2a 上单调递增，在 2a
上单调递减．
若 1 ≥1，即 0<a≤1时，f(x)在(0,1]上单调递增，由于当 x→0 时，f(x)→－∞且 f(1)＝－a2－a<0
e4
(e4 ,e)
g′(x)
＋
0
－
g(x)
极大值
1
∴函数
g(x)在区间[1，e]上的最大值

高等数学习题详解-第3章导数与微分.

习题3-11．设某产品的总成本C是产量q的函数:C=q2+1，求(1) 从q=100到q=102时，自变量的改变量∆q；(2) 从q=100到q=102时，函数的改变量∆C；(3) 从q=100到q=102时，函数的平均变化率；(4) 总成本在q=100处的变化率.解：(1) ∆q=102-100=2,(2) ∆C=C(102)-C(100)=(1022+1)-(1002+1)=404(3) 函数的平均变化率为∆CC(q0+∆q)-C(q0)404∆q=∆q=2=202.(4) 总成本在q=100处的变化率为C(q)-C(100)21002qlim→100q-100=qlimq-→100q-100=qlim→100(q+100)=2002．设f(x)=f'(4). 解f'(4)=limf(x)-f(4)x→4x-4=limx→4x-4=lim1x→4=23．根据函数导数定义，证明(cosx)'=-sinx. 证根据函数导数定义及“和差化积”公式，得h(cosx)'=limcos(x+h)-cosxhsin=-sinx. h→0h=-hlim→0sin(x+2)⋅h24．已知f'(a)=k，求下列极限： (1) limf(a-x)-f(a)x→0x; (2) limf(a+x)-f(a-x)x x→0解 (1) limf(a-x)-f(a)x=-limf(a-x)-f(a)-x=-f'(a)=-k;x→0x→0(2) limf(a+x)-f(a-x)x→0x=limf(a+x)-f(a)+f(a)-f(a-x)x→0x=limf(a+x)-f(a)f(a-x)-f(a)x+limx→0x→0-x=f'(a)+f'(a)=2k5．已知f(0)=0.f'(0)=1，计算极限limf(2x)x→0x.解 limf(2x)f(2x)-f(0)x=2limx→0x→02x=2f'(0)=26．求下列函数的导数：(1) y=x5；(2) y=- 1 -(3) y=e-x； (5) y=lgx；(4) y=2xex; (6) y=sin 34x-π4解(1) (x5)'=5x4；314；(2) '=(x4)'=(3) (e-x)'=e-xlne-1=-e-x；1xln10(4) (2xex)'=[(2e)x]'=(2e)xln(2e)=2xex(ln2+1); (5) (lgx)'= (6) (sin π4；)'=0⎧sinx,⎩x,7．问函数f(x)=⎨x<0x≥0在x=0处是否可导？如可导，求其导数.解考察x=0处的左、右导数f-'(0)=lim-h→0f(0+h)-f(0)f+'(0)=lim+h→0hf(0+h)-f(0)h=lim-h→0sinhhhh=1,=lim+h→0=1,所以，函数在x=0处的可导，且f'(0)=1. 8．讨论函数⎧-x,x≤0⎪f(x)=⎨2x,0<x<1⎪2⎩x+1,x≥1在点x=0和x=1处的连续性与可导性.解 (1)考察x=0处的左、右导数f-'(0)=lim-h→0f(0+h)-f(0)hf(0+h)-f(0)h=lim-h→0-hh2hh=-1, =2,f+'(0)=lim+h→0=lim+h→0所以，函数在x=0处不可导；又limf(x)=limf(x)=0=f(0),所以，函数在x=0处连续. x→0-x→0+(2) 考察x=1处的左、右导数f-'(1)=lim-x→1f(x)-f(1)x-1x-1=lim-x→12x-2x-1=2,f+'(1)=lim+x→1f(x)-f(1)=lim+x→1(x+1)-2x-1=2,所以，函数在x=1处的可导，且f'(1)=2.9．求等边双曲线y=线方程.- 2 -1x在点⎛1⎫,2⎪处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法⎝2⎭解由导数的几何意义，得切线斜率为'1⎛1⎫k=y'x=3= ⎝x⎪⎭x=1/2=-x2x=1/2=-4. 所求切线方程为y-2=-4 ⎛x-1⎫⎝2⎪, 即⎭4x+y-4=0. 法线方程为y-2=1⎛4 x-1⎫⎪, 即⎝2⎭2x-8y+15=0.10．求曲线y=lnx在点(e,1)处的切线与y轴的交点. 解曲线y=lnx在点(e,1)处的切线斜率为k=y'=⎛1x=1 ⎫⎪=1⎝x⎭x=ee故切线方程为y-1=1e(x-e).上式中，令x=0，得y=0.所以，曲线y=lnx在点(e,1)处的切线与y轴的交点为(0,0).习题3-21．求下列函数的导数：(1) y=x2+3x-sinx；(2) y=x(3) s=t+ln2； (4) y=xcosx⋅lnx x(5) y=x+1x-1； (6) y=ex2+1解 (1) y'=2x+3-cosx; (2) y'=(x3)'+2(x-52)'-(x-3)'=3x2+5x-72-3x-4;(3) s'='sint+t)'+0=t;(4) y'=x'cosx⋅lnx+x(cosx)'⋅lnx+xcosx(lnx)'=cosx⋅lnx-xsinx⋅lnx+cosx (5) y'=(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'- (x-1)2=2； (x-1)2x(6) y'=eex)'(x2+1)-(x2+1)'exx2+1=((x2+1)2ex(x2+1)-2xex2ex=(x2+1)2=(x-1)(x2+1)2 .2．求下列函数在给定点处的导数：(1) y=xarccosx,求y'；x=12(2) ρ=θtanθ+secθ，求dρdθ;θ=π4- 3 -(3) f(x)=lnf'(0).解 (1) y'=x'arccosx+x(arccosx)'=arccosx-1y'=arccos1πx=122-3- (2) dρ2dθ=tanθ+θsecθ+secθtanθdρdθπ=1+ππθ=44⋅2+1=2 (3) f(x)=3x-122ln(e3x+1)，f'(x)=332-2(e3x+1)故f'(0)f'(0)=32-32(1+1)=33．曲线y=x3-x+2上哪一点的切线与直线2x-y-1=0平行？解 y'=3x2-1,令y'=2，即3x2-1=2，得x=1或x=-1，代入原曲线方程都有：y=2，故所求点为：(1,2)或(-1,2).4．求下列函数的导数：(1) y=lnsinx； (2) y=(x3-1)10；(3) y=(x+cos2x)3；(4) y=ln(5) y=sin2x⋅sinx2； (6) y=tan[ln(1+x2)] ； x(7) y=2sin1x ; (8)y=elnx；(9)y=ln(x+； (10)y=xa2-x22+a22arcsinxa(a>0)解(1) y'=1sinx⋅(sinx)'=cosxsinx=cotx；(2) y'=10(x3-1)9(x3-1)'=30x2(x3-1)9；(3) y'=3(x+cos2x)2(x+cos2x)'=3(x+cos2x)2(1+2cosx⋅(-sinx))=3(x+cos2x)2(1-sin2x)；(4) y=ln=1ln(x-2)-1ln(x2+1)32y'=13(x-2)-1122x2+1(x+1)'=13(x-2)-xx2+1;(5) y'=2sinxcosx⋅sinx2+sin2x⋅cosx2⋅2x=sin2x⋅sinx2+2xsin2x⋅cosx2；- 4 -(6) y'=sec2[ln(1+x2)]⋅[ln(1+x2)]'12x=sec2[ln(1+x2)]⋅2221+x2(1+x)'=1+x2sec[ln(1+x)] ；1(7) y'=2sin11sinxln2⋅(sin1sin xx)'=2ln2⋅cos1x(1 x)'=-2xln2x2 cos1x; xx(8)y'=elnx(x xxx'lnx-x(lnx)' xlnx)' =elnln22eln；x=lnx-1lnx 22 (9)y'= x+'=+'=+(10)y'= 22+2=2+5．已知f(u)可导，求下列函数的的导数：(1) y=f(cscx)； (2) y=f(tanx)+tan[f(x)].解 (1) y'=f'(cscx)⋅(cscx)'=-f'(cscx)⋅cscx⋅cotx (2) y'=f'(tanx)⋅(tanx)'+sec2[f(x)]⋅f'(x) =sec2x⋅f'(tanx)+sec2[f(x)]⋅f'(x).习题3-31．求下列由方程所确定的隐函数y=y(x)的导数dydx：(1) x4-y4=4-4xy； (2)； ysinx+cos(x-y)=0;(3) ex-ey-sinxy=0；(4) arctanyx=ln.解 (1)方程两边同时对自变量x求导，得4x3-4y3dydx=-4y-4xdydx, (y3-x)dy3dx=x+y,故dydx=x3整理得 +yy3-x；(2) ycosx+sinx⋅dydydx-sin(x-y)⋅(1-dx)=0整理求得dy-y)-ycosxdx=sin(xsin(x-y)+sinx(3) ex-eydydydx-cosxy(y+xdx)=0求得dyxdx=e-ycosxyey+xcosxy- 5 -(4) 1.xy'-y111+(y2x2=2x2+y2(2x+2yy') x)整理求得 xy'-yx+yy'x2+y2=x2+y2故 dyydx=x+x-y.2．求曲线x3+3xy+y3=5在点(1,1)处的切线方程和法线方程. 解方程两边同时对自变量x求导，得3x2+3y+3xy'+3y2y'=0解得 dy+x2dx=-y2， y+x在点(1,1)处，y'(1,1)=-1，于是，在点(1,1)处的切线方程为y-1=-1(x-1)，即x+y-2=0,法线方程为 y-1=1(x-1)即y=x.3．用对数求导法求下列各函数的导数dydx:(1) y=xsinx(x>0)； (2) y=xa+ax+xx；(3) y= (4) (sinx)y=(cosy)x. 解 (1)等式两边取对数lny=sinx⋅lnx两边对x求导得1yy'=cosx⋅lnx+sinx⋅1x,故 dydx=xsixn⎛ cosx⋅lnx+sinx⋅1⎫⎝x⎪.⎭(2) y'=axa-1+axlna+(xx)'=axa-1+axlna+xx(x⋅lnx+1) (3) y=12[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)] 11⎛1111yy'=2 +-2-x-3-⎫⎝x-1xx-4⎪⎭得y'=11⎫+-1-1x-1x-2x-3x-4⎪.⎭(4) ylnsinx=xlncosyy'lnsinx+ycotx=lncosy-xtany⋅y' dydx=lncosy-ycotxxtany+lnsinx4．求下列参数方程所确定的函数的导数dy dx：- 6 -⎧x=t-t2(1) ⎨； (2) ⎧⎨x=acos3θ⎩y=1-t2⎩y=asin3θ. 解 (1) dyy'(t)-2tdx=x'(t)=1-2t (2) dyy'(θ)asin2θ⋅cosθdx=x'(θ)=33acos2θ⋅(-sinθ)=-tanθ5．求椭圆⎨⎧x=6cost⎩y=4sint在t=π4相应点处的切线方程.解 dy(4sint)'dx=y'(t)4cost2x'(t)==-6sint=-3cott.(6cost)'t=π4时，切线斜率为dyπdxt=π=-243，x(4)=y(π4)=.故所求切线方程为y-=-23(x- .习题3-41．求函数y=x2当x由1改变到1.005的微分. 解因为dy=y'dx=2xdx, 由题设条件知 x=1，dx=∆x=1.005-1=0.005 故所求微分为 dy=2⨯1⨯0.00=50 .2．求函数y=sin2x在x=0处的微分. 解所求微分为dy=(sin2x)'x=0dx=2cos2xx=0dx=2dx3．求下列各微分dy:(1) y=e3xcosx； (2) y=sin2xx2；(3) y=ln(1+e-x2)；(4) y=arctan(5) exy=3x+y2； (6) xy2+x2y=1. 解 (1) dy=cosxd(e3x)+e3xd(cosx)=cosx⋅3e3xdx-e3x⋅sinxdx=e3x(3cosx-sinx)dx；22xdx2(2) dy=xdsin2x-sin2x2cos2xdx-2xsin2xx4=x4dx=2(xcos2x-sin2x)x3dx； -x2(3) dy=1(1+e-x2)=-2xe1+-x2d1+e-x2dx； (4)dy==12) (1+x- 7 -=;(5)方程两边对求微分exy(xdy+ydx)=3dx+2ydy.整理得 (xexy-2y)dy=(3-yexy)dx 解得 dy=3-yexy； xexy-2ydx(6) 方程两边对求微分y2dx+2xydy+2xydx+x2dy=0.整理得 (2xy+x2)dy=-(y2+2xy)dx 解得 dy=-2xy+y2x2+2xydx4．计算下列各数的近似值: (1) e0.03；(2) 解(1) e0.03≈1+0.03=1.03；(2)===≈2(1-15⋅116)=1.975.5．在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) d()=3dx; (2) d()=2xdx;(3) d()=sinωt dt；(4) d(cosx2)=()d. 解(1) 3x+c;(2) x2+c; (3) -1ωcosωt；(4) d(cosx2)=-2xsinx2dxd=即dx=，x故d(cosx2)=-4x2d.习题3-51．求下列函数的二阶导数：(1) y=x3+8x-cosx； (2) y=(1+x2)arctanx；(3) y=xex2； (4) y=xx.解(1) y'=3x2+8+sinx,y''=6x+cosx；(2) y'=2xarctanx+1,y''=2arctanx+2x1+x2；(3) y'=ex2+2x2ex2,y''=2xex2+4xex2+4x2ex2=2xex2(3+2x2)；(4) lny=xlnx,1yy'=lnx+1,y'=xx(lnx+1)y''=(xx)'(lnx+1)+xx(lnx+1)'=xx(1+lnx)2+xx-12. 验证函数y=C2x-3x1e+C2e(其中C1,C2为任意常数)满足方程- 8 -y''+y'-6y=0.证：y'=2C1e2x-3C2e-3x,y''=4C1e2x+9C2e-3x(4C1e2x+9C2e-3x)+(2C1e-3C2e2x-3x)-6(C1e2x+C2e-3x)=0.3．设函数y=f(x)二阶可导，求下列函数的二阶导数： (1) y=f(sinx)； (2) y=x2f(lnx). 解 (1)求导数dydx22dydx=f'(sinx)⋅(sinx)'=cosx⋅f'(sinx)，于是=(cosx)'⋅f'(sinx)+cosx⋅f''(sinx)⋅(sinx)'=cos2x⋅f''(sinx)-sinx⋅f'(sinx) (2) dydx22dydx=2xf(lnx)+xf'(lnx)=2f(lnx)+2f'(lnx)+f'(lnx)+f''(lnx)=2f(lnx)+3f'(lnx)+f''(lnx).dydx224．对下列方程所确定的函数y=y(x)求(1) ey+xy=e2；(2) ln解 (1)方程两边对x求导：yx=arctan.ey'+y+xy'=0y得 y'=-因此求得dydx22ye+xy.=-y'(e+x)-y(e⋅y'+1)(e+x)-yyyyyy2-yy(e+x)-y(e⋅(e+x)y2yy2y+1)=-=2xy+2ye-ye(e+x)y3；(2) 方程两边对x求导1x+y22(x+yy')=11+yx22xy'-yx2得 y'=因此求得dydx22x+yx-y.=(1+y')(x-y)-(x+y)(1-y')(x-y)2(x+y)(x-y)3222=- 9 -5．对下列参数方程所确定的函数y=y(x)求d2y： dx2 (1) ⎧⎪x=t2-2t⎨⎧x=a(t-sint).⎪⎩y=t3-3t(t≠1)； (2) ⎨⎩y=a(1-cost)解(1) dy)t2-33dx=y'(tx'(t)=32t-2=2(t+1).321)'故 dy(t+3； dx2=2t-2=4(t-1)(2) dy'(t)a(1-cost)'dx=yx'(t)==sint1-cost.a(t-sint)'(sint2)'故 dycostdx2=1-a(1-cost)cost(1-cost)-sint⋅sint2=(1-cost)a(1-cost)-1a(1-cost)2(t≠2nπ,n∈Z).6．求下列函数的n阶导数：(1) y=sin2x； (2) y=ln(x+1)； (3) y=1(4) x2； -1y=x(x+1)(x+2) (x+n). 解(1) (sin2x)(n)=(1-cos2xn)2)((1-cos2x)'=-12x)=-122⋅2(-sin2⋅2cos⎛π 2x+⎫⎝2⎪,⎭(1+cos2x2)''=-12⋅22⎡-sin⎛π⎫⎤1⎫⎢2⎛ππ⎣ 2x+⎝2⎪⎭⎥=-⋅2cos⎦2 2x++⎝22⎪,⎭(sin2x)(n)=(1+cos2x(n)nπ2)=-2n-1cos(2x+2)；(2) [ln(x+1)]'=1x+1[ln(x+1)]''=-1(x+1)2 ,[ln(x+1)](3)=2(x+1)3[ln(x+1)](n)=(-1)n-1(n-1)!(x+1)n； (3) y=11x2-1=12(x-1-1x+1), n故y(n)=(-1)n!⎡11⎤2⎢⎣(x-1)n+1-(x+1)n+1⎥;⎦(4) y=x(x+1)(x+2) (x+n)=xn+1+(1+2+ +n)xn+ - 10 -y(n)=(n+1)!x+n(n+1)2n!=(x+n2)(n+1)!复习题3（A）1．已知f'(x0)=k(k为常数)，则 (1) lim=;∆x1(2) limn[f(x0+)-f(x0)]=n→∞n∆x→0f(x0+2∆x)-f(x0)(3) limf(x0+h)-f(x0-2h)hf(x0+2∆x)-f(x0)∆xh→0= .1.解 (1)2k; (2) k; (3) 3k. (1) lim ∆x→0=2limf(x0+2∆x)-f(x0)2∆x∆x→0=2k;(2) limn[f(x0+n→∞1nf(x0+)-f(x0)]=limn→∞1)-f(x0)n=k; 1(3) lim=limf(x0+h)-f(x0-2h)h→0hf(x0+h)-f(x0)h=limnf(x0+h)-f(x0)+f(x0)-f(x0-2h)h-2hh→0h→0+2limh→0f(x0-2h)-f(x0)=3k.2．函数y=f(x)在点x0处的左导数f-'(x0)和右导数f+'(x0)都存在，是f(x)在x0可导的( )A. 充分必要条件；B. 充分但非必要条件；C. 必要但非充分条件；D. 既非充分又非必要条件. 2 ．答C. f(x)在x0可导的充分必要条件是f-'(x0)和f+'(x0)都必须存在且相等；反之，f-'(x0)和f+'(x0)都存在，不能保证f(x)在x0可导.3．函数f(x)=sinx在x=0处 ( A. 可导； C. 不连续；)B. 连续但不可导； D. 极限不存在.3．答B. 函数f(x)=sinx在x=0连续；但f-'(0)=-1≠f+'(0)=1，故f(x)=x在x=0不可导.4．设f(x)对定义域中的任意x均满足f(x+1)=mf(x)，且f'(0)=n则必有 ( )A. f'(1)不存在；B. f'(1)=m；C. f'(1)=n； 4．答D. f'(1)=limh→0D. f'(1)=mn.hf(1+h)-f(1)=mlimf(h)-f(0)hh=mf'(0)=mnh→0=limmf(h)-mf(0)h→05．解答下列各题： (1)设y=ln2，求y'；- 11 -(2) 设y=xa+ax+xx+aa(a>0,a≠1)，求dydx；(3)设y=x2⋅f(e2x)，f(u)可导，求dy；(4) y=，求dy；dx(5) 求曲线xy-sin(x+y)=0在点(π，0)的切线与法线方程;(6) 已知函数y=y(x)由方程⎧⎨x=acos3tdyd2y⎩y=asin3t 确定，求dx，dx2;(7) 设f'(sinx)=cos2x+cscx，求f''(x);(8) 设y=x3，求x+1y(n)(n≥3).25.解(1)y'='=2x2x⋅cot(2) y'=axa-1+axlna+(xx)' 由对数求导法，可求得(xx)'=xx(1+lnx) 故y'=axa-1+axlna+xx(1+lnx)；(3) dy=2xdx⋅f(e2x)+x2⋅f'(e2x)de2x=2xf(e2x)dx+x2⋅f'(e2x)⋅2e2xdx =2x[f(e2x)+xe2x⋅f'(e2x)]dx；(4)取对数 lny=1⎡2⎢xlnb+b(lna-lnx)+a(lnx-lnb)⎤⎣a⎥⎦两边求导 11⎛bbayy'=2 ln-+⎫⎝axx⎪⎭故y'=1⎛ba-b2 ln+⎫⎝ax⎪⎭(5) 两边求导y+xy'-cos(x+y)(1+y')=0 得y'=cos(x+y)-y，故1x-cos(x+y)y'(π，0)=-π+1 因此切线方程为 y=-1π+1(x-π),法线方程为y=(π+1)(x-π); (6) dy)3asin2t⋅costdx=y'(tx'(t)=3acos2t⋅(-sint)=-tant d2y(-tant)'-sec2tsec4tdx2=3acos2t⋅(-sint)=3acos2t⋅(-sint)=3asint；(7) 由f'(sinx)=cos2x+cscx=1-2sin2x+1sinx 知f'(x)=1-2x2+1x故f''(x)=-4x-1x2;- 12 -(8) y=y(n)x3x+1n+1=x-1+1x+13=x-x+1+21x+1=(-1)⋅n!n(x+1)(n≥3).⎧ax+b,x<16．设函数f(x)=⎨2 在x=1处可导，求a,b的值.x≥1⎩x,6．解：因可导必连续，所以lim-(ax+b)=lim+x=1,得a+b=1x→1x→12考察x=1处的左、右导数f-'(1)=lim-x→1f(x)-f(1)x-1f(x)-f(1)x-1=lim-x→1ax+b-1x-1=lim-x→1ax-ax-1=af+'(1)=lim+x→1=lim+x→1x-1x-12=2,所以，得到a=2,b=-1.7. 设函数g(x)在x=a点连续, 且f(x)=(x-a)g(x), 证明f(x)在x=a的可导，并求出f'(a).7.证:因g(x)在x=a点连续,故limg(x)=g(a)，x→a又limf(x)-f(a)x-ax-a故f(x)在x=a的可导，f'(a)=g(a) x→ax→a=lim(x-a)g(x)-0=limg(x)=g(a)x→a8．验证函数y=C11+C2e其中C1,C2为任意常数)满足方程4xy''+2y'-y=0.8．证：因y'=y''=-C1-C2e, (C1C1-C2e+14x+C2e故4xy''+2y'-y=4x⎢- ⎣+2C1(4C1e2x⎡C1-C2e+14x(C1+C2e⎤⎥⎦-C2e⎤⎥-C1⎦(+C2e=02x+9C2e-3x)+(2C1e-3C2e2x-3x)-6(C1e+C2e-3x)=0.（B）1. 设函数f(x)在x=0连续，下列命题错误的是( ) A. 若limB. 若lim f(x)xf(x)xx→0存在，则f(0)=0；存在，则f'(0)存在；x→0C. 若limf(2x)+f(x)xf(x)-f(-x)xx→0存在，则f(0)=0；存在，则f'(0)存在.D. 若limx→01.答：D.- 13 -A.正确，因为limf(0)=x→0f(x)xx→0存在，则limfx()=，0又f(x)在x=0连续，所以x→0limfx()；= 0f(x)B.正确，因为若limC.正确，因若limx→0x→0xf(2x)+f(x)xx→0存在，则f'(0)=limx→0f(x)-f(0)x=limf(x)x存在；x→0存在，x→0x→0则lim［f(2x)+f(x)］=limf(2x)+limf(x)=2f(0)=0,故f(0)=0； D.错，如f(x)=x, lim2. 若f(t)=limt(1+x→∞f(x)-f(-x)xx→02tx=0，但f'(0)不存在.1x)，则f'(t)= .1x)2tx2. (1+2t)e2t，f(t)=limt(1+x→∞=te,所以f'(t)=(te)'=(1+2t)e.f(1)-f(13x-)x=1，则曲线y=f(x)2t2t2t3．设周期函数f(x)在(-∞,∞)周期为3，且lim在点(4,f(4))的切线斜率为 . 3． -3，f'(4)=lim=limf(x+4)-f(4)x=-3limx→0x→0x→0=limf(x+1)-f(1)x=-3,x→0=-limf(1)-f(x+1)xx→0=f(1)-f(1-t)-tf(1)-f(1-x)x→04. 已知f(x)=3x(x-1)(x-2) (x-10)(x+1)(x+2) (x+10)f(x)-f(1)，求f'(1).(x-1)(x-2) (x-10)4. 解：f'(1)=limx-11-1⋅(-2) (-9)=- =lim=x→1(x+1)(x+2) (x+10) 110 2⋅3 9⋅10⋅11 x-1(x-2) (x-10)x→1=lim(x+1)(x+2) (x+10)x→15.设f'(a)存在，求limxf(a)-af(x)x-axf(a)-af(x)xf(a)-af(a)+af(a)-af(x)=lim5. 解：limx→ax→ax-ax-af(x)-f(a)=f(a)-alim=f(a)-af'(a)x→ax-ax→a.6.设f(x)=max{x6.解：f(x)=max{x，在区间(0，2)内求f'(x).0<x≤1, =1<x<2⎪⎩x,f(x)-f(1)x-1考察x=1处的左、右导数f-'(1)=lim-x→1=lim-x→1x-1=lim-x→1=12,- 14 -f+'(1)=lim+x→1f(x)-f(1)x-1=lim+x→1x-1x-1=1,所以，函数在x=1处不可导.故所求导数为：⎧⎪0<x<1' f(x)=⎨1<x<2⎪⎩1,7. 设函数g(x)在x=x0点连续, 且f(x)=x-ag(x), 讨论f(x)在x=x0的可导性. 7. 解：f'(x0)=limf(x)-f(x0)x-x0x→x0x→x0=limx-x0g(x)x-x0x→x0(1)若g(x0)≠0，则g(x0)limx-x0x-x0不存在，此时f(x)在x=x0不可导=0，此时f(x)在x=x0可导.(2)若g(x0)=0，则 f'(x0)=limx-x0g(x)x-x0x→x08. 验证下列命题：(1) 若定义在(-∞,∞)内以周期为T的周期函数f(x)可微，则f'(x)也是以周期为T的周期函数.(2) 若函数f(x)在(-a,a)内是可微奇(偶)函数，则f'(x)(-a,a)内必为偶(奇)函数. 8. 证: (1)因f(x+T)=f(x),又f'(x)=limf(x+h)-f(x)h→0f'(x+T)=limhf(x+T+h)-f(x+T)h,因此h→0=limf(x+h)-f(x)hh→0=f'(x)(2) 若函数f(x)在(-a,a)内是可微奇函数，则有f'(-x)=lim=limf(-x+h)-f(-x)hh→0=lim-f(x-h)+f(x)hh→0f(x-h)-f(x)-hh→0=f'(x),即证得：若函数f(x)在(-a,a)内是可微奇函数，则f'(x)(-a,a)内必为偶函数. 同理可证得：若函数f(x)在(-a,a)内是可微偶函数，则f'(x)(-a,a)内必为奇函数.9. 设函数f(x)可微，且f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy，f'(0)=3，求f(x). 9. 解：由f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy，令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)，得f(0)=0f'(x)=lim=limf(y)yf(x+y)-f(x)yy→0=limf(x)+f(y)-2xy-f(x)yy→0y→0-2x=f'(0)-2x=3-2x22因此f(x)=3x-x+C(C为任意常数)，又f(0)=0则C=0，故f(x)=3x-x 10. 设在(-∞,∞)内函数f(x)有定义, 且f(0)=0，f'(0)=C(C≠0)，又g(x)=esinx+x2co, sx对任意x,y有关系式f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)成立，证明f'(x)=C⋅g(x)10. 证：f'(x)=limf(x+y)-f(x)yy→0=limf(x)g(y)+f(y)g(x)-f(x)yy→0- 15 -=f(x)limg(y)-1yyy→0+g(x)limf(y)yf(y)-f(0)y y→0=f(x)limg(y)-g(0)y→0+g(x)limy→0=f(x)g'(0)+g(x)f'(0) 又 g'(x)=exsin2x+exsin2x-sinx，得g'(0)=0 故f'(x)=C⋅g(x).- 16 -。

中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案

第三章中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( ) A ．18+=x y B ．142+=x y C ．21xy = D ．x y sin = 2．函数()xx f 1=满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 3．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则 ( ) A ．对任意()b a x ,∈，有()()x g x f = B ．存在()b a x ,0∈，使()()00x g x f =C ．对任意()b a x ,∈，有()()0C x g x f +=(0C 是某个常数)D ．对任意()b a x ,∈，有()()C x g x f +=(C 是任意常数) 5．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( )A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ．一个极值点 6．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( ) A ．17 B ．11 C ．10 D ．97．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( )A ．()M x f ≥B ．()M x f >C ．()M x f ≤D ．()M x f < 8．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θC ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θD ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ9．若032<-b a ，则方程()023=+++=c bx ax x x f ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根10．求极限xx x x sin 1sinlim20→时，下列各种解法正确的是 ( )A ．用洛必塔法则后，求得极限为0B ．因为xx 1lim0→不存在，所以上述极限不存在 C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x x x x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数212x xy +=，在 ( ) A ．()+∞∞-,单调增加 B ．()+∞∞-,单调减少 C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少 D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加12．曲线xe y x+=1 ( )A ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ．无拐点 13．指出曲线23x xy -=的渐近线 ( ) A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D ．只有水平渐近线14．函数()()312321--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 ( )A ．4729B ．0C ．1D ．无最小值 15．求()201ln lim x x x x +-→16．求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x 11ln 1lim 0 17．求x xx 3cos sin 21lim6-→π18．求()xx x1201lim +→19．求xx arctgx ln 12lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→π20．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。

经济数学(导数与微分习题及答案)

第三章函数的导数与微分习题 3－11. 根据定义求下列函数的导数: (1)x y 1= (2)x y cos =(3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y =解 (1) 因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆ =x x x x x ∆-∆+→∆11lim 0=01lim ()x x x x ∆→-+∆=21x -所以 21y x '=-.(2) 因为 00cos()cos 'limlim x x y x x x y x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆所以 sin y x '=-(3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ∆→∆→∆+∆+-+==∆∆ =x x a x ∆∆→∆0lim =a所以 y a '= (4) 因为00'limlim x x y y x ∆→∆→∆==∆ =)(lim 0x x x x x x +∆+∆∆→∆ 所以y '=. 2. 下列各题中假定)(0'x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =∆-∆-→∆)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0('f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0('f 存在) (4) A h h x f h x f h =--+→)()(lim 000解（1）因为 x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000 =x x f x x f x ∆--∆--→∆)()(lim 000=)(0'x f -故 )(0'x f A -=.(2) 因为 x x f x )(lim 0→=0)0()(lim 0--→x f x f x =)0('f故 )0('f A =.(3) 因为 x f tx f x )0()(lim 0-→=tx f tx f t x )0()0(lim 0-+→=)0('tf故)0('tf A =. (4) 因为 000()()limh f x h f x h h →+-- =)()(0'0'x f x f +=)(20'x f 故)(20'x f A =. 3.已知2,,x y x ⎧=⎨⎩11≥<x x , 求d d y x 解由已知易得当1<x 时, x y 2'=, 当1x >时, 1'=y又 1)1()(l i m )1(1'--=+→+x f x f f x =11lim 1--+→x x x =1 1)1()(lim )1(1'--=-→-x f x f f x =11lim 21---→x x x =2即)1('f 不存在.故'2,()1,x f x ⎧=⎨⎩ 11><x x . 4. 如果f (x )为偶函数，且(0)f '存在，证明(0)0f '=.证由于f (x )为偶函数，所以 f (-x ) = f (x )则 00()(0)()(0)(0)lim lim 00x x f x f f x f f x x →-→---'==----故 (0)0f '=.5.讨论下列函数在0=x 处的连续性和可导性： (1) 21sin ,0,x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 00=≠x x (2) cos y x =(3)2,,x y x ⎧=⎨-⎩ 00<≥x x 解 (1) 因为 0()(0)'(0)lim 0x f x f f x →-=-所以函数 21sin ,0,x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 00=≠x x 在0=x 处可导，从而也连续.(2) 因为0()(0)'(0)l i m 0x f x f f x →-=- 所以函数cos y x =在x = 0处可导，从而也连续.(3)因为 200lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===所以函数)(x f 在0=x 处连续.又因为 2'00()(0)0(0)lim lim 000x x f x f x f x x +++→→--===--故'(0)f 不存在, 即函数)(x f 在0=x 不可导. 6. 设函数2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，为使函数f (x ) 在x = 1处连续且可导，a ,b 应取什么值？解由题意，有首先可得 a+b = 1 即 b = 1－a又因为 211(1)lim 21x x f x --→-'==-所以a = 2 ,于是b = －1.故当a = 2, b = －1时，函数f (x ) 在x = 1处连续且可导.7.求曲线2x y =在点（-1，1）处的切线方程.解因 1'2,'2x y x y =-==-故曲线2x y =在点（-1，1）处的切线方程为12(1)y x -=-+即 21y x =--.8*.设曲线f (x ) = x n 在点 (1, 1) 处的切线与x 轴的交点为(a n ，0),求lim ()n n f a →∞. 解因为 1(1)n x f nx n ='==所以曲线()n f x x =在点（1, 1）处的切线方程为y －1 = n ( x －1)切线与x 轴的交点为1(1,0)n -，即11n a n =- 从而1()(1)nn f a n =-习题 3－21 求下列函数的导数：（1）52423+-=x x y （2）x y x ln 2=(3 )x x y sin 23= (4) 4tan 3-=x y(5) )32)(23(x x y -+= (6) x x xy ln 1ln += (7) x x e y x 22+= (8) t t y cos 1sin 1++=解（1）x x y 4122'-=. (2) x x y x x 2)2)(2(ln ln '+=.(3) x x x x y cos 2sin 632'+=.(4) x y 2'sec 3=.(5) )3)(23()32(2'-++-=x x y =x 125--. (6) x x x x x x y 22'ln 1ln 1-+-==x x x x 22ln 1ln 1--.(7) 2'4222x x e x e x y x x -=-=42222x x xe e x x x --. (8)2')cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos t t t t t y t +-+-+==2cos sin 1(1cos )t t t +++.2. 求下列函数在给定点的导数：（1）x xe y =, 求0'|=x y（2）θθθρcos 21sin +=, 求0'|=θρ（3）553)(2x x x f +-=, 求)0('f 和)2('f . 解 (1) 因为x x xe e y +=', 所以 10|000'=+==e e y x(2) 因为'11sin cos sin sin cos 22θρθθθθθθθ=+-=+ 所以 '211|sin cos 22222θπθπππρ==+=.(3) 因为 x x x x f 52)5()5(3)(2'+---==x x 5253+-所以 53)0('-=f , 51)2('-=f . 3. 求21123(1)n x x nx x -++++≠的和. 解注意到 1()n n x nx -'=，有4. 求曲线2sin x x y +=上横坐标为0=x 的点处的切线方程和法线方程. 解当0=x 时，0=y , 且有 x x y 2cos '+=则 00cos |0'+==x y =1 习题 3－31. 求下列函数的导数：（1）223x y -= （2）32x e y = （3）x y arcsin= (4))ln(22x a x y ++= （5）2cos ln x e y -= (6）x y 1arctan =解 (1))4(23212'x x y --==. (2) 33'2222(6)6x x y e x x e ==. (3)x x y 2111'-==)1(21x x -.(4)y '=+=. (5) 22222'1(sin )(2)2tan cos x x x x x y e e x xe e e -----=--=.(6) )1(11122'x x y -+==211x +-. 2. 求下列函数的导数：（1）x e y x2cos 2-= （2）)]ln[ln(ln x x y =（3）nx x y n cos sin = （4）x x y 22ln 2-= 解（1）'221()cos 2(sin 2)22xx y e x e x --=-+-⋅ ()21cos 24sin 22xe x x -=-+.(2)[]1'ln[ln(ln )]ln(ln )ln y x x x -=+⋅. (3) nx x x n y n cos cos sin 1'-=n nx x n )sin (sin -+ sin cos(1)n n x n x =+. (4) xx y 2'ln 22-=)ln 221(22x x -+x x 1)ln 2(- =x x 2ln 22-x x x 2ln 2ln --.3. 设f 可导，求下列函数的导数d d yx ：（1）)(e x x e f y += （2）)(sin 2cos 2x f x y -= （3）n a x f y )]([2+= （4）)]ln ([x x f f y += （5）)arctan 1(x x f e y +=解（1）()'1dy ()d x e x e f e x e ex x -=++.（2）'2d 2sin 2(sin )d y x f x x=--x x cos sin 2. =x x f x 2sin )(sin 2sin 22'--2sin 22(sin )x f x '⎡⎤=-+⎣⎦. (3) 212d [()]()2d n y n f x a f x a x x -'=+⋅+⋅1222()()n nx f x a f x a -'⎡⎤=+⋅+⎣⎦. (4) []d 1(1)(ln )(ln )dx y f f x x f x x x ''=+⋅+⋅+. (5) 1(arctan )d d f x x y e x +=)arctan 1('x x f +)111(22x x ++- 1(arctan )2211arctan (1)f x xf x e x x x +⎛⎫'=-+ ⎪+⎝⎭.4设2ln(1), >0()0, 0 , ().sin , 0x x f x x f x x x x ⎧⎪+⎪⎪'==⎨⎪⎪<⎪⎩求解当x > 0时，[]1()ln(1)1f x x x ''=+=+ 当x < 0时，222sin sin 2sin ()x x x x f x x x '⎛⎫-'== ⎪⎝⎭当x = 0时，由00()(0)ln(1)(0)lim lim 0x x f x f x f x x +++→→-+'==-得(0)1f '=. 故 221, 01()1, 0sin 2sin , 0x x f x x x x x x x ⎧<⎪+⎪⎪'==⎨⎪-⎪<⎪⎩ .5. 设2()1 ()()ln f x y a f x f x a '==且，证明2y y '=. 证由复合函数的求导法则，得将 1()()ln f x f x a '=代入上式, 可得即 2y y '=.6. 设函数f 可导，且y = f (a + t ) －f (a － t ), 求0d d t yt =.解因为 d ()()()() d y f a t a t f a t a t t ''''=+⋅+--⋅-故 0d ()()2()d t y f a f a f a t ='''=+=.*7 设()lim x x x t f t t x t →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求()f t '. 解因为1lim lim 1x x x x t x t x t x t x →∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭ 所以 2()l i m l i m x x t x x x t x t f t t t t e x t x t →∞→∞++⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故22()()(12)t t f t t e e t ''=⋅=+. 习题 3－41. 求下列函数的二阶导数：（1）x xe y 2= （2）)1ln(2x y -=（3）x y arctan = （4）)21(sin 2x y +=（5）)1ln(2x x y ++= （6）2(1)arctan y x x =+ 解 (1)2222(12)x x x y e xe e x '=+=+2222(12)24(1)x x x y e x e e x ''=⋅++⋅=+.(2) 因为)1ln(2x y -==)1ln()1ln(x x ++- 所以 ='y x x --+1111=''y 22222112(1)(1)(1)(1)x x x x -+-=-+--. (3) ='y 211x +, =''y 22)1(2x x +-.(4) ()2sin(12)cos(12)22sin 212)y x x x '=++⋅=+()()2cos21248cos212y x x ''=+⋅=+.(5)='y =()3221x y x ''==-+.(6)='y 2211arctan 2x x x x +++=1arctan 2+x x 2. 已知)(''x f 存在，且0)(≠x f ，求22d d yx .（1）)(2a x f y += （2）)](ln[x f y = 解 (1) '22d ()22()d y f x a x xf x a x '=+⋅=+2222()4()f x a x f x a '''=+++. (2) 'd 1()d ()y f x x f x =2'''''''2222d ()()()()()()[()]d ()()y f x f x f x f x f x f x f x x f x f x --==.3. 设f (x ) 的n 阶导数存在，求 []()()n f ax b +. 解因 []()()()f ax b f ax b a af ax b '''+=+⋅=+………………………………故 []()()()()n n n f ax b a f ax b +=+. 4. 验证函数x e y xsin =满足关系式022'''=+-y y y . 解因 x e y x sin '=x e x cos +''sin x y e x =x e x c o s+x e x c o s +x e x s i n -=x e x cos 2 故 '''22y y y -+=x e x cos 2x e x sin (2-)cos x e x +x e x sin 2+=0. 5.求下列函数的n 阶导数的一般表达式：(1)ln y x x = (2) 3x y =解 (1) 因(4)23112ln 1,, , ,y x y y y x x x ''''''=+==-= 故 ()1(1)(2)! (2)n n n n y n x --⋅-=≥.（2）23ln 3,3ln 3, x x y y '''=⋅=⋅ 故 ()3(ln 3)n x n y =⋅.*6 设22411x y x -=-，求y (100). 解2224133114411211x y x x x x -⎛⎫==+=+- ⎪---+⎝⎭ 而 (100)(100)1011011100!1100!, 11(1)(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭习题 3－51. 求由下列方程确定的隐函数的导数'y ：（1）yx e xy += （2）)arctan(2xy xy x =+ （3）1=-y xe y （4）033=-+a y x （a 为常数）解（1）方程两边同时对x 求导, 得解方程得 ='y y x y x e x ye ++--.(2) 方程两边同时对x 求导，得解方程得 3222222xy x y y x y ++'=-.(3) 方程两边同时对x 求导, 得解方程得 ='y y yxe e -1.(4) 方程两边同时对x 求导, 得解方程得='y 22y x -. 2. 求曲线2ln ()cot 02y y x x e π-+-=在点（e , 1）处的切线方程。

导数和微分练习题(答案版)

1. 13arctan )1()(2+--=x x x x f ,求f’(1) 2. 设1lim )()1()1(2+++=--∞>-x n x n n e b ax e x x f 是区间),(+∞-∞内是可导函数，试确定常数a,b 3. 设f(x)是周期为2的周期函数，且在点x=1处连续，22cos ]3)(ln[lim 1=+>-xx f x π,求曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程。

4. 设函数在),(+∞-∞内有定义，对任意的x,y 都有)()()(x f e y f e y x f y x +=+,e f =)0(',求f （x ）的表达式5. 设函数0,)(;0,)()(==≠-=-x a x f x x e x x f xϕ,其中的)(x ϕ具有二阶导数，且1)0(',1)0(-==ϕϕ1) 确定常数a 的值，使得f （x ）在x=0时连续2) 求f’(x);3) 讨论f’(x)在区间),(+∞-∞内的连续性6. 设函数)()()(x g x f x F =，如果f(x)在x 0点可导，g （x ）在x 0点连续不可导，证明：F(x)在x 0点可导⇔f(x 0)=07. 设曲线y=f(x)与曲线y e y x =-++)14tan(π在（1,0）处有公切线. 1）求公切线方程2）计算极限)1(lim +∞>-n n nf n 8. 设f(x)是周期为3的连续函数，在点x=0的某一邻域内恒有x x x f x f 2tan 6)tan 1(2)tan 1(+=--+,已知f(x)在点x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(10.f(10))处的切线方程。

9. 设函数f(x)在x ≤x 0时具有二阶导数，00200,)()()(;),()(x x c x x b x x a x F x x x f x F >+-+-=≤=,试确定常数a ，b ，c ，使得F(x)在x 0处二阶可导。

数学分析高等数学导数与微分习题有答案

导数与微分重点:倒数的定义,基本初等函数求导公式,各类求导法则,二阶导数,连续与可导的关系,导数与微分的关系,导数的几何意义难点:导数的定义,复合函数求导,高阶导数例题:例1 试确定a 、b 之值,使函数,0()1ln(1),0x x ae be x f x x x x-⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩在内可导,并求例2 设 31s i n ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 证明()f x 在0x =处连续,可微,且导函数在0x =处连续,但'()f x 在0x =处不可导例3 设()f u 在u t =处可导,求01lim (0)r r r f t f t a r a a →⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为常数例4 求下列函数的导数'y(１)2(2)(0)x xy x x x =+>(２)arctan y = (３)1ln1xy x +=-例5 设()x ϕ和()x ψ是可导函数,求函数y =的导数.例6 设()y y x =由方程22()()y f x xf y x+=确定,其中()f x 是x 的可微函数,试求'y .例7 已知22'(),''()0.'()()x f t d yf t y t f t f t dx =⎧≠⎨=-⎩求例8 设()0f x>且处处可微,求ln() ()()f xdff x.例9 求下列函数的高阶导数(１)23(6)(2)(23)(34),y x x x y =+++求(２)44() sin cos,.n y x x y =+求(３)2()21,.nxxy ye-=求(４)()2156n y yx x=++，求.例10 设函数()f x 满足:(１) 对于任意实数12,x x ,有1212()()()f x x f x f x +=(２) ()f x 在0x =可导,且'(0)1f =. 证明: ()f x 可导且'()()f x f x =作业题:求平面曲线2y x =与1(0)y x x =<的公切线方程.答案：例1 试确定a 、b 之值,使函数,0()1ln(1),0x x ae be x f x x x x-⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩在内可导,并求解: 欲使()f x 在内可导,只需()f x 在0x=处连续,可导,由lim ()lim()x xx x f x ae be a b ---→→=+=+ 00011lim ()lim ln(1)lim 11xx x f x x x x+++→→→=+==+ 而()f x 在0x=处连续,得1a b += (1)00()(0)'(0)lim lim x x x x f x f ae be a bf a b x x ----→→-+--===+ 00(1)(1)lim lim x x x x a e b e x x---→→--=+ 00lim lim x x x x a b a b x x--→→-=-=-- 00ln(1)()()(0)'(0)lim lim x x x a b f x f x f x x+++→→+-+-== 20011ln(1)11lim lim 22x x x x x x x ++→→-+-+===- 由()f x 在0x=处可导,得12a b -=- (2)联立(1)与(2)解得14a =,34b =.所以当14a =,34b =时,()f x 在0x =处可导,且213,044'()11ln(1),0(1)x x e e x f x x x x x x-⎧-≤⎪⎪=⎨⎪-+>+⎪⎩例2 设31sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩证明()f x 在0x =处连续,可微,且导函数在0x =处连续,但'()f x 在0x =处不可导证: 因为3001lim ()lim sin 0()x x f x x f x x→→===,故()f x 在0x =处连续,又 320001sin()(0)1'(0)lim lim lim sin 0,x x x x f x f x f x x x x→→→-====故()f x 在0x =处可导,也可微.当0x ≠时,211'()3sin cos .f x x x x x=-20011lim '()lim(3sin cos )0'(0).x x f x x x f x x→→=-==故导函数'()f x 在0x =处连续,但00'()'(0)11lim lim(3sin cos ).x x f x f x x x x→→-=-不存在故导函数'()f x 在0x =处不可导例11 设()f u 在u t =处可导,求01lim (0)r r r f t f t a r a a →⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为常数解: 01lim r r r f t f t r a a →⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦0()()()()lim r r r f t f t f t f t a a r →+-+--= 00()()()()11lim lim()r r r r f t f t f t f t a a r r a a a a→→+---=+-112'()'()'()ft f t ft a a a=+=例12 求下列函数的导数'y(１) 2(2)(0)x xy x x x =+>(２)arctan y =(３)1ln1xy x +=-(１) 解:221'()'[(2)]',,x x x y x x y x =+=令111'ln 2ln ,22ln y y x x x y ==+21'(22ln )xy x x =+. 令 2222'1(2),ln ln(2),ln 22xy y x y x x x y ===+21'(2)(ln 2)2xy x x =+故2'2(1ln )(2)(1ln 2)x xy x x x x =+++ (２) 解:31'12y x x=+-2331321222x x x x x-=+--232x -=(３) 解:1ln ln 1ln 11x y x xx +==+---2112'111y x x x=+=+--例13 设()x ϕ和()x ψ是可导函数,求函数y=的导数.解:''y =()'()()'()x x x x +=例14 设()y y x =由方程22()()y f x xf y x +=确定,其中()f x 是x 的可微函数,试求'y .解: 对原式左右求导有22'()'()()'()'2y y f x y f x f y x f y y x+++= 解得 22'()()'2()'()x y f x f y y yf x xf y --=+例15 已知22'(),''()0.'()()x f t d yf t y t f t f t dx =⎧≠⎨=-⎩求解:'()''()'()''()dydy f t tf t f t dt tdx dx f t dt +-===22()1"()dy d dx d y dt dx dx f t dt==例16 设()0f x >且处处可微,求ln ()()()f x df f x . 解: 2'()()'()ln ()ln ()ln ()()'()()()f x f x f x f x f x f x f x df f dx f x f x f x ⋅-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]2ln ()'()1ln ()'()()f x f f x f x f x dx f x -⎡⎤=⋅⋅-⋅⎢⎥⎣⎦例17 求下列函数的高阶导数(１) 23(6)(2)(23)(34),y x x x y =+++求(２)44()sin cos ,.n y x x y =+求(３)2()21,.n x x y y e-=求(４)()2156n y y x x =++，求.(１) 解:23655(2)(3)()108(),y x x x p x x p x =+=+其中5()p x 为x 的５次多项式,故(6)1086!y =(２) 解: 将原函数变形得 22222(sin cos )2sin cos y x x x x =+-2111cos 41sin 21222x x -=-=-1(3cos 4)4x =+,故()114c o s (4)4c o s (4).422nnn nnyx x ππ-=+=+ (３) 解: 将原函数变形得22(1)x y e x -=-故()22212(2)(1)(2)()(1)(2)n n x n x n xy x e nx e n n e ----=-------(４) 解: 将原函数变形得111(2)(3)(2)(3)y x x x x ==-++++故 1111'(1)!(2)(3)nn n y n x x ++⎡⎤=-⋅⋅-⎢⎥++⎣⎦例18 设函数()f x 满足:(１) 对于任意实数12,x x ,有1212()()()f x x f x f x +=(２) ()f x 在0x =可导,且'(0)1f =. 证明: ()f x 可导且'()()f x f x =证: 首先()f x 不恒为零,否则有'(0)0f =,与题设矛盾.于是至少存在一点0x ,使0()0f x ≠.这样,由000()(0)()(0)f x f x f x f =+=可得(0)1f =.设为内任一点,则00()()()()()'()lim lim x x f x x f x f x f x f x f x x x∆→∆→+∆-∆-==∆∆ 00()1(0)(0)lim ()lim ()x x f x f x f f x f x x x∆→∆→∆-+∆-=⋅=⋅∆∆ ()'(0)f x f f x==即()f x 可导且'()()f x f x =.作业题:求平面曲线2y x =与1(0)y x x =<的公切线方程.解: 设公切线分别与曲线2y x =和1(0)y x x=<相切于点2(,)M ξξ,11(,)M ηη,并与x 轴交于点00(,0)M x ,见图,因为公切线是曲线2y x =在点2(,)M ξξ处切线,故其斜率为2k ξ= (1)其方程为22()y x ξξξ-=-,即22y x ξξ=-……… (２)或002()y x x ξ-=-,即022y x x ξξ=-…… (３)公切线也是曲线1y x=在点11(,)M ηη处的切线,故其斜率为21k η=-…………………………（４）其方程为211()y x ηηη-=--,即22xy ηη=-+…… (５)或210()y x x η-=--,即22x xy ηη=-+…. (６)由(２)、(３)可得, 02x ξ=由(５)、(６)可得, 02x η=所以4ξη=由(１)、(４)、(７)可解得2ξ=-,12η=-.故所求公切线方程为 44y x =--。

2023年人教版数学导数与微分练习题及答案

2023年人教版数学导数与微分练习题及答案数学是一门科学，也是一门重要的学科。

其中，导数与微分作为数学中的基础概念，在解析几何、微积分等领域具有重要作用。

为了帮助同学们更好地掌握导数与微分的知识，以下是2023年人教版数学导数与微分的练习题及答案。

希望能对同学们的学习有所帮助。

1. 练习题一：已知函数f(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 2，求f(x)在x = 1处的导数。

解答：首先，我们需要求函数f(x)的导数。

导数的定义是函数在某一点的斜率，可以用极限来表示。

对于题目中的函数f(x)，我们可以利用幂函数的导数公式求得导数f'(x)。

f'(x) = 3x^2 - 4x - 3然后，我们代入x = 1，求得f'(1)。

f'(1) = 3(1)^2 - 4(1) - 3 = -4所以，函数f(x)在x = 1处的导数为-4。

2. 练习题二：已知函数g(x) = e^x + 2x - 1，求g(x)在x = 2处的导数。

解答：函数g(x)可以看作由指数函数和一次函数相加的形式。

我们知道，指数函数的导数仍然是指数函数，一次函数的导数是常数。

首先，我们求指数函数e^x的导数。

(e^x)' = e^x然后，我们求一次函数2x的导数。

(2x)' = 2因此，可以得到函数g(x)的导数公式。

g'(x) = (e^x)' + (2x)' = e^x + 2接下来，我们代入x = 2，求得g'(2)。

g'(2) = e^2 + 2 ≈ 9.39所以，函数g(x)在x = 2处的导数约为9.39。

3. 练习题三：已知函数h(x) = ln(x^2 + 1)，求h(x)在x = 0处的导数。

解答：函数h(x)是一个以自然对数为底的对数函数，我们知道对数函数的导数可以用导数的链式法则来求解。

首先，我们求内层函数x^2 + 1的导数。

3微分中值定理与导数的应用习题解答

第三章微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1．填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2．选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . xe xf =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明：令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='xx x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故 )(2c o t a r c t an ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ，使0)(1='ξf ．同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ．又)(x f '在],[21ξξ上符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5．证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根．证明：设621)(32x x x x f +++=，则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ，使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6．设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数．证明：存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明：由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ．同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=- 证明：只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >．证明：设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此，当π<<x 0时，x xxcos sin >．（２）当 0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ．证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而bba b a a b a -<<-ln ．§3.1 洛毕达法则1．填空题（１） =→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim(sin )xx x +→=1２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ． ==∞→∞→nn n n n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２）在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． x x x x sin lim +∞→D ． x nx e x +∞→lim3．求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim．（２）20222lim x x x x -+-→．解： 20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ．（３）30tan sin limxxx x -→ ．解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-．（４） 20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim xx e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ．（５）x x x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x xx +='， x x x x xx ln 1lim1+--→＝xx x xx 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６） )111(lim 0--→x x e x ．解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→xx e x x e e x x x xx x x（７） xx xtan 0)1(lim +→ ．解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xx x xxxx x x x x x x eeeex．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→．解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xxx 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９） n n n ∞→l i m ．解：因为1lim1limln 1lim===∞→∞→∞→xxxxx x x eex ，所以nn n ∞→lim=1．§3.3 泰勒公式１．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ．解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2．求函数xe x xf 2)(=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ，所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ．3．求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=．解：设xx f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=，则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求． 4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→．解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-，故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ．5．设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 2==→f x x f x ,证明在)1,0(内存在一点ξ,使0)(='''ξf ．证明：因为 0)(lim20=→x x f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+= （ξ介于0与x 之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空题（１）函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调增加．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 0>．（４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，=b 29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2．单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A . xy -=2),(∞+-∞ B . xy e = )0,(-∞C . x y ln = ),0(∞+D . x y sin = ),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A . )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2．求下列函数的单调区间（１）1--=x e y x．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加；当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ，当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加；当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解： 011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3．证明下列不等式（１）证明：对任意实数a 和b , 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令xxx f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当 0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=, 021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6sin 3x x x ->．4．讨论方程k x x =-sin 2π(其中k 为常数)在)2,0(π内有几个实根．解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ，由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos )2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是k -,最小值是k ---242arccos 2ππ．（１）当,0≥k 或242arccos 2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２）当0242arccos2<<--k ππ时,有两个实根；（３）当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5．试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解： c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩ 解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解： 222)1(11-+-='x x y , 323)1(62-+=''x xx y ,令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-<x 或10<<x 时, 0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πxx >2sin 证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时, 0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1．填空题（１）函数xx y 2=取极小值的点是1ln 2x =-．（２）函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１）设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ C ）A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２）已知)(x f 对任意)(x f y =满足xex f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（ B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C. ))(,00x f x （为拐点D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( Ａ )A ．取得极大值B ．取得极小值C ．无极值D ．不一定有极值3．求下列函数的极值（１） ()3/223x x x f -=．解：由13()10f x x-'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x '==-，令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4．求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值．解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5．在半径为R 的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大．解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=，由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π )20(R h <<，由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=．由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34Rh =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大．6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？解: 设AD x =, B 与C 间的运费为y , 则 )100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ），其中k 是某一正数．由 0)34005(2=-+='xx k y , 得15=x .由于k y x 400|0==, k y x 380|15==, 2100511500|+==x y , 其中以k y x 380|15==为最小, 因此当AD =15=x km 时, 总运费为最省．7．宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解：问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos += )2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='，由0='l 得3tan abt =, 此时233232)(b a l +=，故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6 函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线.解：由 -∞=+-→231)1(limx x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线．因为 2)1(lim )(lim ,1)1(limlim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x 所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。

高等数学习题详解-第3章导数与微分

习题3-11．设某产品的总成本C 是产量q 的函数:2+1C q =，求 (1) 从100q =到102q =时，自变量的改变量q ∆； (2) 从100q =到102q =时，函数的改变量C ∆； (3) 从100q =到102q =时，函数的平均变化率； (4) 总成本在100q =处的变化率. 解：(1) q ∆=102-100=2,(2) (102)(100)C C C ∆=-=22102+1)-(100+1)=404( (3) 函数的平均变化率为00()()4042022C q q C q C q q +∆-∆===∆∆. (4) 总成本在100q =处的变化率为100()(100)lim 100q C q C q →--22100100100lim lim (100)200100q q q q q →→-==+=- 2．设()f x =(4)f '.解44()(4)(4)lim4x x f x f f x →→-'==-12x →==3．根据函数导数定义，证明(cos )sin x x '=-.证根据函数导数定义及“和差化积”公式，得0cos()cos (cos )limh x h x x h →+-'=0sin2limsin()22h hhx h →=-+⋅sin x =-.4．已知()f a k '=，求下列极限：(1) 0()()lim;x f a x f a x→-- (2) 0()()lim x f a x f a x x→+--解 (1) 00()()()()limlim ();x x f a x f a f a x f a f a k x x →→----'=-=-=-- (2) 0()()lim x f a x f a x x →+--=0()()()()lim x f a x f a f a f a x x →+-+--00()()()()lim lim x x f a x f a f a x f a x x→→+---=+-()()2f a f a k ''=+= 5．已知.0)0(=f (0)1f '=，计算极限0(2)lim.x f x x→ 解 00(2)(2)(0)lim=2lim 2(0)22x x f x f x f f x x →→-'== 6．求下列函数的导数： (1) 5y x =；(2) y =(3) x y e -=； (4) 2x x y e =; (5) lg y x =；(6) sin 4y π=解(1) ()545x x '=；(2) 31443()4x x -''==；(3) 1()ln x x x e e e e ----'==-；(4) (2)[(2)](2)ln(2)2(ln 21)x x x x x x e e e e e ''===+;(5) 1(lg )ln10x x '=；(6)(sin )04π'=7．问函数⎩⎨⎧=,,sin )(x x x f 00≥<x x 在0=x 处是否可导？如可导，求其导数.解考察0=x 处的左、右导数(0)f -'=0(0)(0)lim h f h f h -→+-0sin lim 1,h hh-→== (0)f +'=0(0)(0)limh f h f h+→+-0lim 1h hh +→==, 所以，函数在0=x 处的可导，且(0)1f '=.8．讨论函数2,0()2,011,1x x f x x x x x ⎧-≤⎪=<<⎨⎪+≥⎩在点0=x 和1x =处的连续性与可导性.解 (1)考察0=x 处的左、右导数(0)f -'=0(0)(0)lim h f h f h-→+-0lim 1,h hh -→-==-(0)f +'=0(0)(0)lim h f h f h +→+-02lim 2h hh+→==, 所以，函数在0=x 处不可导；又0lim ()lim ()0(0)x x f x f x f -+→→===,所以，函数在0=x 处连续. (2) 考察1x =处的左、右导数(1)f -'=1()(1)lim 1x f x f x -→--122lim 2,1x x x -→-==-(1)f +'=1()(1)lim 1x f x f x +→--21(1)2lim 2,1x x x +→+-==- 所以，函数在1x =处的可导，且(1)2f '=.9．求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫⎝⎛2,21处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.解由导数的几何意义，得切线斜率为31/21x x k y x =='⎛⎫'== ⎪⎝⎭1/2214x x ==-=-.所求切线方程为,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2142x y 即.044=-+y x法线方程为,⎪⎭⎫⎝⎛-=-21412x y 即.01582=+-y x10．求曲线ln y x =在点(),1e 处的切线与y 轴的交点. 解曲线ln y x =在点(),1e 处的切线斜率为111x x ek y x e==⎛⎫'=== ⎪⎝⎭故切线方程为11()y x e e-=-.上式中，令0x =，得0y =.所以，曲线ln y x =在点(),1e 处的切线与y 轴的交点为()0,0.习题3-21．求下列函数的导数：(1) 23sin y x x x =+-；(2) 631x y x +=；(3) ln 2s t =+； (4) cos ln y x x x =⋅(5) 11x y x +=-； (6) 21xe y x =+解 (1) y '=23cos x x +-;(2) 57332422()2()()353y x x x x x x ----''''=+-=+-;(3) sin )0s t t '''=+t ; (4) cos ln (cos )ln cos (ln )y x x x x x x x x x ''''=⋅+⋅+cos ln sin ln cos x x x x x x =⋅-⋅+ (5) 22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x ''+--+--'==--； (6) 22222()(1)(1)1(1)x x xe e x x e y x x ''+-+'==++ 222222(1)2(1)(1)(1)x x xe x xe x e x x +--==++ . 2．求下列函数在给定点处的导数： (1) arccos ,y x x =求12x y ='；(2) tan sec ρθθθ=+，求4;d d πθρθ=(3) ()f x =，求(0)f '. 解 (1) y '=arccos +(arccos )x x x x ''=arccos x12x y ='=11arccos23π(2)2d tan sec sec tan d ρθθθθθθ=++4d 121d 4πθρπθ==+⋅=2π(3) 331()ln(1)22x f x x e =-+，333()22(1)x f x e '=-+ 故(0)f '333(0)22(11)4f '=-=+ 3．曲线32y x x =-+上哪一点的切线与直线210x y --=平行？解 231y x '=-,令2y '=，即231=2x -，得=1x 或=-1x ，代入原曲线方程都有：2y =，故所求点为：()1,2或()-1,2.4．求下列函数的导数： (1) x y sin ln =； (2) 310(1)y x =-；(3) 23(cos )y x x =+；(4) y =(5) 22sin sin y x x =⋅； (6) 2tan[ln(1)]y x =+ ；(7) 1sin 2xy = ;(8)ln x xy e=；(9)ln(y x =；(10))0(arcsin 22222>+-=a ax a x a x y 解(1) y '=()1sin sin x x '⋅cos cot sin x x x ==；(2) 39323910(1)(1)30(1)y x x x x ''=--=-；(3) 2223(cos )(cos )y x x x x ''=++223(cos )(12cos (sin ))x x x x =++⋅-223(cos )(1sin 2)x x x =+-；(4) 211ln(2)ln(1)32y x x ==--+y '=2211(1)3(2)21x x x '-+-+=213(2)1x x x --+; (5) 2222sin cos sin sin cos 2y x x x x x x '=⋅+⋅⋅222sin 2sin 2sin cos x x x x x =⋅+⋅；(6) 222sec [ln(1)][ln(1)]y x x ''=+⋅+=222222212sec [ln(1)](1)sec [ln(1)]11x x x x x x'+⋅+=+++ ； (7) 1sin 12ln 2(sin )x y x ''=⋅=1sin 112ln 2cos ()xx x'⋅1sin22ln 21cos xx x =-;(8)ln ()ln x x x y e x ''= ln 2ln (ln )ln x x x x x x e x ''-==ln 2ln 1ln xx x e x -；(9)y x ''=22==；(10)22y '=22=5．已知)(u f 可导，求下列函数的的导数： (1) (csc )y f x =； (2) (tan )tan[()]y f x f x =+. 解 (1) (csc )(csc )y f x x '''=⋅=(csc )csc cot f x x x '-⋅⋅ (2) 2(tan )(tan )sec [()]()y f x x f x f x ''''=⋅+⋅=22sec (tan )sec [()]()x f x f x f x ''⋅+⋅.习题3-31．求下列由方程所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x： (1) 4444x y xy -=-； (2)； sin cos()0y x x y +-=;(3) sin 0x ye e xy --=；(4) arctan y x=解 (1)方程两边同时对自变量x 求导，得33d d 4444d d y y x y y x x x -=--, 整理得 33d ()d y y x x y x -=+,故33d d y x y x y x+=-； (2) d d cos sin sin()(1)0d d y yy x x x y x x+⋅--⋅-= 整理求得d d y x =sin()cos sin()sin x y y xx y x---+(3) d d cos ()0d d x y y y e exy y x x x--+= 求得 d d y x =cos cos x y e y xy e x xy-+(4)2222111.(22)21()xy y x yy y x x y x'-'=+++ 整理求得 2222xy y x yy x y x y ''-+=++ 故 d d y x =x yx y+-.2．求曲线3335x xy y ++=在点(1,1)处的切线方程和法线方程.解方程两边同时对自变量x 求导，得2233330x y xy y y ''+++=解得 d d y x =22y x y x+-+，在点(1,1)处，(1,1)1y '=-，于是，在点(1,1)处的切线方程为11(1)y x -=--，即20x y +-=, 法线方程为 11(1)y x -=-即y x =.3．用对数求导法求下列各函数的导数d d y x: (1) sin (0)x y x x =>； (2) a x x y x a x =++；(3) y =(4) (sin )(cos )y x x y =.解 (1)等式两边取对数ln sin ln y x x =⋅两边对x 求导得11cos ln sin ,y x x x y x'=⋅+⋅ 故 sin d 1cos ln sin d x y x x x x x x ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭.(2) ()1ln a x x y ax a a x -''=++()1ln ln 1a x x axa a x x x -=++⋅+(3) []1ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)2y x x x x =-+----- 11111121234y y x x x x ⎛⎫'=+-- ⎪----⎝⎭得11111234y x x x x ⎫'=+--⎪----⎭.(4) ylnsin cot ln cos tan y x y x y x y y ''+=-⋅ d d y x =ln cos cot tan ln sin y y x x y x-+ 4．求下列参数方程所确定的函数的导数d d yx：(1) 221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩； (2) 33cos sin x a y a θθ⎧=⎨=⎩. 解 (1) d ()d ()y y t x x t '='212t t -=- (2) 22d ()3sin cos d ()3cos (sin )y y a x x a θθθθθθ'⋅=='⋅-=tan θ- 5．求椭圆6cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=相应点处的切线方程.解 d ()d ()y y t x x t '='()()4sin 4cos 2cot 6sin 36cos t t t t t '===--'. 4t π=时，切线斜率为4d 2d 3t y xπ==-，()4x π=()4y π=.故所求切线方程为2(3y x -=-- .习题3-41．求函数2x y =当x 由1改变到1.005的微分. 解因为d d 2d ,y y x x x '== 由题设条件知 1x =，d 1.00510.005x x =∆=-=故所求微分为 d 210.0050.0y =⨯⨯= 2．求函数sin 2y x =在0x =处的微分.解所求微分为00d (sin 2)d 2cos2d x x y x x x x =='===2d x 3．求下列各微分d y : (1) 3cos xy e x =； (2) 2sin 2xy x =； (3) 2ln(1)x y e -=+；(4) y = (5) 23xy e x y =+；(6) 221xy x y +=.解 (1) 33d cos d()d(cos )x x y x e e x =+=33cos 3d sin d xxx e x e x x ⋅-⋅=3(3cos sin )d x e x x x -；(2) 22244dsin 2sin 2d 2cos 2d 2sin 2d d x x x x x x x x xy x x x--== 32(cos 2sin 2)d x x x x x -=；(3) 222212d d(1)d1x xx x xe y e x e ----=+=-+；(4) d y =2)x =+=(5)方程两边对求微分(d d )3d 2d xy e x y y x x y y +=+.整理得 (2)d (3)d xy xy xe y y ye x -=- 解得 3d d 2xyxy ye y x xe y-=-；(6) 方程两边对求微分22d 2d 2d d =0y x xy y xy x x y +++.整理得 22(2)d (2)d xy x y y xy x +=-+ 解得 222d d 2xy y y x x xy+=-+4．计算下列各数的近似值:(1) 0.03e； (2)解(1) 0.0310.03e ≈+=1.03；(2)==112(1)516=≈-⋅=1.975. 5．在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) d()3d x =; (2) d()2d x x =;(3) d()sin d t t ω=； (4) 2d(cos )(x =.解(1) 3x c +;(2) 2x c +;(3) 1cos t ωω-；(4) 22d(cos )2sin d x x x x =-x = 即d x =，故22d(cos )4x x =-.习题3-51．求下列函数的二阶导数：(1) 38cos y x x x =+-； (2) 2(1)arctan y x x =+； (3) 2x y xe =；(4) xy x =.解(1) 238sin y x x '=++,6cos y x x ''=+； (2) y '=2arctan 1x x +,y ''=222arctan 1xx x ++； (3) y '=2222x x e x e +,y ''=2222244x x xxe xe x e ++=222(32)x xe x +；(4) ln ln y x x =,1ln 1y x y'=+,y '=(ln 1)xx x +y ''=21()(ln 1)(ln 1)(1ln )x x x x x x x x x x x -''+++=++2. 验证函数2312x xy C e C e-=+(其中12,C C 为任意常数)满足方程60y y y '''+-=.证：23122-3x x y C e C e -'=,231249x x y C e C e -''=+232323121212(49)(2-3)6()x x x x x x C e C e C e C e C e C e ---++-+0=. 3．设函数()y f x =二阶可导，求下列函数的二阶导数： (1) (sin )y f x =； (2) 2(ln )y x f x =.解 (1)求导数d (sin )(sin )cos (sin )d yf x x x f x x'''=⋅=⋅，于是 22d (cos )(sin )cos (sin )(sin )d yx f x x f x x x'''''=⋅+⋅⋅ =2cos (sin )sin (sin )x f x x f x '''⋅-⋅ (2) d 2(ln )(ln )d yxf x xf x x '=+ 22d d yx =2(ln )2(ln )(ln )(ln )f x f x f x f x ''''+++=2(ln )3(ln )(ln )f x f x f x '''++. 4．对下列方程所确定的函数)(x y y =求22d d yx：(1) 2y e xy e +=；(2) arctan y x=.解 (1)方程两边对x 求导0y e y y xy ''++=得 yyy e x'=-+. 因此求得222d ()(1)d ()y y y y ye x y e y x e x ''+-⋅+=-+ =2()(1)()y y y y y y y e x y e e x e x e x --+-⋅+++-+=2322()y y y xy ye y e e x +-+； (2) 方程两边对x 求导2222211()1xy yx yy y x y x x'-'+=++得 x yy x y+'=-. 因此求得222d (1)()()(1)d ()y y x y x y y x x y ''+--+-=- = 2232()()x y x y +-5．对下列参数方程所确定的函数)(x y y =求22d d yx：(1) 2323x t t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(1)t ≠； (2) ⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x . 解(1) d ()d ()y y t x x t '='2333(1)222t t t -==+-. 故 22d d y x 3(1)222t t '+=-=34(1)t -； (2) d ()d ()y y t x x t '='()()1cos sin 1cos sin a t t ta t t '-==-'-. 故 22d d y xsin ()1cos (1cos )t t a t '-=- 2cos (1cos )sin sin (1cos )(1cos )t t t tt a t --⋅-=-21(1cos )a t --).,2(Z n n t ∈≠π 6．求下列函数的n 阶导数：(1) 2sin y x =； (2) ln(1)y x =+； (3) 112-=x y ； (4) (1)(2)()y x x x x n =+++.解(1) 2()()1cos 2(sin )()2n n x x -=1cos 211()2(sin 2)2cos 2,2222x x x π-⎛⎫'=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭221cos 211()2sin 22cos 2,222222x x x πππ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=-⋅-+=-⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2()()1cos 2(sin )()2n n x x +==12cos(2)2n n x π--+；(2) []1ln(1)1x x '+=+[]21ln(1)(1)x x ''+=-+ ,[](3)32ln(1)(1)x x +=+ []()1(1)!ln(1)(1)(1)n n nn x x --+=-+； (3) 21111()1211y x x x ==---+, 故()11(1)!112(1)(1)n n n n n y x x ++⎡⎤-=-⎢⎥-+⎣⎦; (4) 1(1)(2)()(12)n n y x x x x n x n x +=+++=+++++()(1)(1)!!()(1)!22n n n ny n x n x n +=++=++ 复习题3（A ）1．已知0()f x k '=(k 为常数)，则(1) 000(2)()limx f x x f x x∆→+∆-=∆;(2) 001lim [()()] n n f x f x n→∞+-=(3) 000()(2)limh f x h f x h h→+--=. 1.解 (1)2k ; (2) k ; (3) 3k .(1) 000000(2)()(2)()lim 2lim 2x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆=2k ;(2) 00001()()1lim [()()]lim 1n n f x f x n n f x f x nn→∞→∞+-+-==k ;(3) 000()(2)lim h f x h f x h h →+--=00000()()()(2)lim h f x h f x f x f x h h →+-+--000000()()(2)()lim +2lim 2h h f x h f x f x h f x h h→→+---=-=3k . 2．函数)(x f y =在点0x 处的左导数0()f x -'和右导数0()f x +'都存在，是()f x 在0x 可导的( )A . 充分必要条件；B . 充分但非必要条件；C . 必要但非充分条件；D . 既非充分又非必要条件. 2 ．答C . ()f x 在0x 可导的充分必要条件是0()f x -'和0()f x +'都必须存在且相等；反之，0()f x -'和0()f x +'都存在，不能保证()f x 在0x 可导.3．函数()sin f x x =在0=x 处 ()A . 可导；B . 连续但不可导；C . 不连续；D . 极限不存在.3．答B . 函数()sin f x x =在0=x 连续；但(0)1(0)1f f -+''=-≠=，故()s i n f x x =在0=x 不可导.4．设()f x 对定义域中的任意x 均满足(1)()f x mf x +=，且(0)f n '=则必有 ( )A . (1)f '不存在；B . (1)f m '=；C . (1)f n '=；D . (1)f mn '=.4．答D . 0(1)(1)(1)limh f h f f h→+-'=00()(0)()(0)lim lim h h mf h mf f h f m h h →→--== (0)mf mn '==5．解答下列各题：(1)设ln 2y =，求y '；(2) 设a x x a y x a x a =+++(0,1)a a >≠，求d d y x； (3)设22()x y x f e =⋅，)(u f 可导，求d y ；(4) y =d d y x ；(5) 求曲线sin()0xy x y -+=在点(0)π，的切线与法线方程;(6) 已知函数)(x y y =由方程 ⎩⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 确定，求d d y x ，22d d y x ; (7) 设(sin )cos 2csc f x x x '=+，求()f x '';(8) 设31x y x =+，求()n y (3)n ≥.5.解(1)y '=22'=2cot x x ⋅(2) y '=1ln ()a x x ax a a x -'++由对数求导法，可求得()(1ln )x x x x x '=+故y '=1ln (1ln )a x x ax a a x x -+++； (3) 2222d 2d ()()d x x x y x x f e x f e e '=⋅+⋅=22222()d ()2d x x x xf e x x f e e x '+⋅⋅ =2222[()()]d x x x x f e xe f e x '+⋅；(4)取对数 1ln ln (ln ln )(ln ln )2b y x b a x a x b a ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦两边求导 1y y '=1ln 2b b a a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭故y '=1ln 2b a b ax -⎛⎫+ ⎪⎝⎭(5) 两边求导cos()(1)0y xy x y y ''+-++=得cos()cos()x y yy x x y +-'=-+，故(0)1+1y ππ-'=，因此切线方程为 1()1y x ππ=--+,法线方程为(1)()y x ππ=+-; (6) d ()d ()y y t x x t '='223sin cos 3cos (sin )a t t a t t ⋅=⋅-=tan t - 22d d y x 2(tan )3cos (sin )t a t t '-=⋅-22sec 3cos (sin )ta t t -=⋅-=4sec 3sin t a t； (7) 由21(sin )cos 2csc 12sin sin f x x x x x'=+=-+知21()12f x x x '=-+故()f x ''=214x x--;(8) 3321111111x x y x x x x x -+===-+++++ ()n y =1(1)!(1)n nn x +-⋅+(3)n ≥. 6．设函数2,(),ax b f x x +⎧=⎨⎩ 11x x <≥在1x =处可导，求,a b 的值.6．解：因可导必连续，所以211lim ()lim 1x x ax b x -+→→+==,得1a b += 考察1x =处的左、右导数(1)f -'=1()(1)lim 1x f x f x -→--111lim lim 11x x ax b ax a a x x --→→+--===--(1)f +'=1()(1)lim 1x f x f x +→--211lim 2,1x x x +→-==- 所以，得到2,1a b ==-.7. 设函数()g x 在x a =点连续, 且()()()f x x a g x =-, 证明()f x 在x a =的可导，并求出()f a '.7.证:因()g x 在x a =点连续,故lim ()()x ag x g a →=，又()()limx a f x f a x a →-- ()()0limlim ()()x a x a x a g x g x g a x a →→--===- 故()f x 在x a =的可导，()f a '=()g a8．验证函数12y C C e =+(其中12,C C 为任意常数)满足方程420xy y y '''+-=.8．证：因12y C C e '=-,12121(4y C C e C C e x''=-++故12121424(4xy y y x C C e C C e x ⎡⎤'''+-=-++⎢⎥⎣⎦(121220C C e C C e ⎤+--+=⎥⎦232323121212(49)(2-3)6()x x x x x x C e C e C e C e C e C e ---++-+0=.（B ）1. 设函数()f x 在0x =连续，下列命题错误的是( )A . 若0()lim x f x x→存在，则(0)0f =；B . 若0()lim x f x x→存在，则(0)f '存在；C . 若0(2)()lim x f x f x x→+存在，则(0)0f =；D . 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在.1.答：D .A .正确，因为0()limx f x x→存在，则0l i m ()=0x f x →，又()f x 在0x =连续，所以0(0)l i m ()=0x f f x →=； B .正确，因为若0()limx f x x →存在，则0()(0)(0)lim x f x f f x →-'==0()lim x f x x →存在；C .正确，因若0(2)()lim x f x f x x→+存在，则0lim(2)()=lim (2)lim ()=2(0)0x x x f x f x f x f x f →→→++=［］,故(0)0f =； D .错，如()f x x =, 0()()lim0x f x f x x→--=，但(0)f '不存在.2. 若21()lim (1)txx f t t x→∞=+，则()f t '= .2. 2(12)t t e +，221()lim (1)txt x f t t te x→∞=+=,所以()f t '=2()t te '=2(12)t t e +.3．设周期函数()f x 在()-∞∞,周期为3，且0(1)(1)li m 13x f f xx→--=，则曲线)(x f y =在点(4(4))f ,的切线斜率为 .3． -3，00(4)(4)(1)(1)(4)limlim x x f x f f x f f x x →→+-+-'==0(1)(1)limx f f x x →-+=-=0(1)(1)lim x f f t t →--=-0(1)(1)3lim 33x f f x x→--=-=-, 4. 已知(1)(2)(10)()(1)(2)(10)x x x f x x x x ---=+++，求(1)f '.4. 解：(1)f '1()(1)lim 1x f x f x →-=-1(1)(2)(10)(1)(2)(10)lim 1x x x x x x x x →---+++=- 1(2)(10)1(2)(9)lim (1)(2)(10) 2391011x x x x x x →---⋅--==+++⋅⋅⋅=1110 - 5.设()f a '存在，求()()lim x a xf a af x x a→--.5. 解：()()()()()()lim lim x a x a xf a af x xf a af a af a af x x a x a→→--+-=--()()()lim x a f x f a f a a x a→-=--=()()f a af a '-6.设()max{f x x =，在区间(02)，内求()f x '. 6.解：()max{,,f x x x ==⎪⎩0112x x <≤<<,考察1x =处的左、右导数(1)f -'=1()(1)lim 1x f x f x -→--111,2x x --→→===(1)f +'=1()(1)lim 1x f x f x +→--11lim 1,1x x x +→-==- 所以，函数在1x =处不可导.故所求导数为：1()1,f x ⎧⎪'=⎨⎪⎩0112x x <<<<7. 设函数()g x 在0x x =点连续, 且()()f x x a g x =-, 讨论()f x 在0x x =的可导性.7. 解：0000000()()()()limlimx x x x x x g x f x f x f x x x x x →→--'==-- (1)若0()0g x ≠，则0000()lim x x x x g x x x →--不存在，此时()f x 在0x x =不可导(2)若0()0g x =，则0000()()lim 0x x x x g x f x x x →-'==-，此时()f x 在0x x =可导.8. 验证下列命题：(1) 若定义在()-∞∞,内以周期为T 的周期函数()f x 可微，则()f x '也是以周期为T 的周期函数.(2) 若函数()f x 在()a a -,内是可微奇(偶)函数，则()f x '()a a -,内必为偶(奇)函数.8. 证: (1)因()()f x T f x +=,又0()()()lim h f x h f x f x h→+-'=,因此00()()()()()lim lim h h f x T h f x T f x h f x f x T h h→→++-++-'+===()f x '(2) 若函数()f x 在()a a -,内是可微奇函数，则有0()()()lim h f x h f x f x h →-+--'-=0()()lim h f x h f x h →--+=0()()lim h f x h f x h→--=-=()f x ', 即证得：若函数()f x 在()a a -,内是可微奇函数，则()f x '()a a -,内必为偶函数. 同理可证得：若函数()f x 在()a a -,内是可微偶函数，则()f x '()a a -,内必为奇函数.9. 设函数()f x 可微，且()()()2f x y f x f y xy +=+-，(0)3f '=，求()f x . 9. 解：由()()()2f x y f x f y xy +=+-，令0x y ==,则(0)(0)(0)f f f =+，得(0)0f =()()()limy f x y f x f x y →+-'=0()()2()lim y f x f y xy f x y→+--= 0()lim2y f y x y→=-(0)232f x x '=-=-因此()f x 23x x C =-+(C 为任意常数)，又(0)0f =则C =0，故()f x 23x x =- 10. 设在()-∞∞,内函数()f x 有定义, 且(0)0f =，(0)f C '=(0C ≠)，又2()s i n c o s xg x e x x =+, 对任意,x y 有关系式()()()()()f x y f x g y f y g x +=+成立，证明()()f x C g x '=⋅10. 证：0()()()lim y f x y f x f x y →+-'=0()()()()()lim y f x g y f y g x f x y→+-=00()1()()lim()limy y g y f y f x g x y y →→-=+00()(0)()(0)()lim ()limy y g y g f y f f x g x y y→→--=+ =()(0)()(0)f x g g x f ''+又 2()sin sin 2sin x x g x e x e x x '=+-，得(0)0g '= 故 ()()f x C g x '=⋅.。

3章微分中值定理与导数应用习题解答

第3章微分中值定理与导数应用习题解答1.验证中值定理的正确性（1) 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈，因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.(2) 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性.解因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ.(3) 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性. 解因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续, 在)2 ,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x .化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2 ,0(π内有解, 即确实存在)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--.2. 证明题:(1)证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为 01111)(22≡---='x x x f ,所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .(2)若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.证明设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.(3)若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明: 在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0.又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0.(4) 设a >b >0, n >1, 证明: nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ). 因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) .3. 用洛必达法则求下列极限: (1)22)2(sin ln limx x x -→ππ; (2)nn m m ax a x a x --→lim; (3)x xx 2tan ln 7tan ln lim0+→; (4)x x x 3tan tan lim 2π→;(5)2120lim x x e x →; (6)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→1112lim 21x x x ; (7)x x xa )1(lim +∞→; (8)xx xsin 0lim +→; 解: (1)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(2)nm n m n m ax nn m m ax a nm na mx nx mx a x a x -----→→===--1111limlim. (3)2000021sec 77ln tan 77tan 272tan 7lim lim lim lim 11ln tan 22tan 727sec 22tan 2x x x x x x x x x x x x x x→+→+→+→+⋅⋅====⋅⋅.(4))sin (cos 23)3sin (3cos 2lim31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x -⋅-==⋅=→→→→ππππ 3sin 3sin 3lim cos 3cos lim22=---=-=→→x xx x x x ππ.(5)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 2101222t t t t x x xx e t e x e e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt ). (6)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (7)解法1 因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而 221()ln(1)1lim (ln(1)limlim 11x x x aa axa x x x x x x→∞→∞→∞⋅-+++==- limlim 1x x ax aa x a →∞→∞===+ ,所以 a x ax x x x e exa ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . 解法2 lim 1lim 1axxa ax x a a e x x →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(8) 因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而 00ln lim sin ln lim csc x x x x x x →+→+= 2001sin lim lim 0csc cot cos x x x x x x x x→+→+==-=-⋅ ，所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .4. 验证下列各题: (1) 验证极限xxx x sin lim+∞→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 1)s i n 1(l i m s i n l i m =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x xx x sin lim+∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx xx x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则.(2) 验证极限xx x x sin 1sinlim20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 0011sin sin lim sin 1sinlim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sinlim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则. 5. 将下列函数展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式(1) 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1)所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n nn x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-.(2) 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解因为f '(x )=e x +x e x ,f ''(x )=e x +e x +x e x =2e x +x e x , f '''(x )=2e x +e x +x e x =3e x +x e x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ;f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+=)()!1(1!2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.6. 确定下列函数的单调区间:(1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx x y 6941023+-=; 解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.7.证明下列不等式::(1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x ,也就是 x x +>+1211.(2)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0,也就是2x >x 2.8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ;(3) y =(x +1)4+e x .解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720,35(.(2)y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.9.求函数的极值:(1) y =2x 3-6x 2-18x +7； (2) y =x -ln(1+x )； (3) y =-x 4+2x 2 .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在x =-1处取得极大值17, 在x =3处取得极小值-47.(2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0.(3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.10.求下列函数的最大值、最小值: (1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4;(2) y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4).解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.11.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0, 得唯一驻点π+=440x .因为0203>=''xS , 所以π+=440x 为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省. 12.从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角ϕ取多大时, 做成的漏斗的容积最大？解漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为 l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =, 222242ϕππ-=-=Rr R h .漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π).2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2π)内取得最大值, 而V 在(0, 2π)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当ϕ π362=时, 漏斗的容积最大.13.一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解房租定为x 元, 纯收入为R 元.当x ≤1000时, R =50x -50⨯100=50x -5000, 且当x =1000时, 得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R . 令R '=0得(1000, +∞)内唯一驻点x =1800. 因为0251<-=''R , 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R =57800.因此, 房租定为1800元可获最大收入.。

第三章导数与微分答案

第三章导数与微分（1）抛物线2x y =在点（ )1,1(- ）处的切线平行于直线0142=-+x y 。

（7）设函数)(x f y =在点x 可导，则函数)()(x kf x g =（k 是常数）在点x （可导）（可导、不可导）。

（8）设函数)(x f 在点0x 处可导且12)2()2(lim000=--+→xx x f x x f x , 则=')(0x f （21）。

（9）一物体的运动方程为1023+=t s ，此物体在2=t 时瞬时速度为（ 24 ）。

（10）设1)(lim0+=→k xx f x ，)(x f 在0=x 连续，则=')0(f （ 1+k ）。

（11）xx y cos =，则y '=（ x x x x xx cos )ln sin cos (- ）。

（12）()()x x f 21ln +=，()0f ''=（ 4- ）。

2、选择题（1）在抛物线2x y =上过⎪⎭⎫⎝⎛41,21点的切线是（ B ） A ．平行于ox 轴 B ．与ox 轴构成45C ．与ox 轴构成135； D ．平行于oy 轴。

（2）过点)3,1(，且切线斜率为x 2的曲线方程)(x y y =应满足的关系是（ C ） A ．x y 2=' B ．x y 2=''C ．31(2=='），y x y D ．3)1(,2==''y x y （3）设函数)(x f 定义在[a ，b]上，判断（ A ）正确。

A ．)(x f 可导，则)(x f 连续（4）设可微函数()x f 定义在[a ，b]上，点],[0b a x ∈的导数的几何意义是：（ C ）。

A ．0x 点的切向量 B ．0x 点的法向量 C ．0x 点的切线的斜率 D ．0x 点的法线的斜率（6）设函数)(x f 在点0x 不可导，则（ D ）。

高数上册第三章微分中值定理和导数的应用习题答案

《高等数学教程》第三章习题答案习题3-1 (A)1. 34=ξ 2. 14-=πξ习题3-2 (A)1. (1)31 (2) 81- 1)12()11()10(1)9(31)8(21)7()6(21)5(1)4(3)3(31e e --∞习题3-2 (B)1. n a a a e e 21)8(1)7(0)6(2)5(21)4(32)3(1281)2(41)1(--2. 连续4. )(a f ''5. )0()1(g a '=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+''≠--+'='0]1)0([210]c o s )([]s i n)([)()2(2x g x x x x g x x g x x f(3) 处处连续.习题3-31. 432)4()4(11)4(37)4(2156)(-+-+-+-+-=x x x x x f2. 193045309)(23456+-+-+-=x x x x x x x f3. )40(,)(cos 3]2)()[sin sin(31tan 4523<<+++=θθθθx x x x x x x4.)10()]4(4[16!4)4(15)4(5121)4(641)4(412432<<-+---+---+=θθx x x x x x5. )10()(!)1(2132<<+-++++=θn nxx O n x x x x xe6. 645.1≈e7. 430533103.1;3090.018sin )2(1088.1;10724.330)1(--⨯<≈⨯<≈R R8. 121)3(21)2(23)1(-习题3-4 (A)1. 单调减少2. 单调增加3. .),23()23,()1(内单调下降在内单调上升；在+∞-∞.),2[]2,0()2(内单调增加在内单调减少；在+∞ .),()3(内单调增加在+∞-∞.),21()21,()4(内单调增加在内单调减少；在+∞-∞ .),[]0[)5(内单调下降在上单调上升；，在+∞n n7. (1) 凸 (2) 凹（3）内凸内凹，在在),0[]0,(+∞-∞ （4）凹 8. ），（内凹，拐点内凸，在）在（82),2[]2,(1-+∞-∞ ），（内凹，拐点内凸，在）在（222),2[]2,(2e+∞-∞ 内凹，无拐点）在（),(3+∞-∞），（），（：内凹，拐点，内凸，在），，）在（2ln 1;2ln 1]11[1[]1,(4--∞+--∞ ），（内凸，拐点内凹，在）在（3arctan 21),21[]21,(5e +∞-∞ ），（凹，拐点），、凸，在、）在（001[]0,1[]1,0[]1,(6∞+---∞ 9. 29,32=-=b a10. a = 3, b = -9, c = 811. a = 1, b = -3, c = 24, d = 16习题3-4 (B)1. .)1,21(),1()21,0()0,()1(内单调增加在内单调减少；、、在∞+-∞.]22,32[]32,2[)2(内单调下降在内单调上升；在πππππππ+++k k k k .],32[),[]32,()3(内单调下降在内单调上升；、在a a a a ∞+-∞ 2. .1)3(10)2(1)1(是有一个实根时有两个实根时无实根ea e a e a =<<>3. .)2,0(内只有一个实根在π8. .9320时及当=≤k k 9. 在）（凹，拐点凹，在2,),[],(a b b b +∞-∞ 12. 82±=k 习题3-5 (A)1. .1)2(,5)0()1(==y y 极小值极大值.0)0(,4)2()2(2==-y e y 极小值极大值.25)16(,1)4()3(==y y 极小值极大值.205101)512()4(=y 极大值.45)43()5(=y 极大值.0)0()6(=y 极小值 (7) 没有极值. .)()8(1e e e y =极大值.3)1()9(=y 极大值.0)5()1(,18881)21()10(3==-=y y y 极小值极大值2. .14)2(,11)3()1(-==y y 最小值最大值.22)2ln 21(,2)1()2(1=-+=-y e e y 最小值最大值.2ln )41(,0)1()3(-==y y 最小值最大值3. 提示：可导函数的极值点必为驻点，.在题设条件下无驻点所以可证明y '4. .29)1(-=y 最大值5. .27)3(=-y 最小值6. .3)32(,2为极大值==f a7. .21,2-=-=b a8. 长为100m ，宽为5m.9. .1:1:;22,233===h d v h v r ππ 10. .44ππππ++aa ，正方形周长为圆的周长为11. .3843a a h π时，最小体积为锥体的高为=12. .22.1.776小时时间为公里处应在公路右方13. .6000)2(1000)1(==x x14. .45060075.3元件，每天最大利润为元，进货量为定价为 15. .167080,101利润=p习题3-5 (B)1. 1,0,43,41==-==d c b a 2. x = 1为极小点，y (1) = 1为极小值3. 当c = 1时，a = 0，b = -3，当c = -1时，a = 4，b = 5.4. 296)(23++-=x x x x P5. (1) f (x ) 在x = 0处连续；(2) 当ex 1=时，f (x ) 取极小值；当 x = 0时f (x ) 取极大值. 6. 310=x 当时，三角形面积最小7. 323)2()(11)1(032=--=-l x x x x y 8. .1222-≥<b b b b 时为，当时为当 9. 400 10.bc a 2 11. c a e bd L ae bd q -+-=+-=)(4)(,)(2)1(2最大利润eqedd -=η)2( ed q 21)3(==得当η 12. 2)2()4(25)1(=-=t t x 13. 156250元14. (1) 263.01吨 (2) 19.66批/年（3）一周期为18.31天（4）22408.74元15. 2)2()111(1)()1(-+-+=e n n n n M n16. 提示：.)1()1(ln )1()(22是极小值，证明令f x x x x f ---=习题3-6 (A)1. (1) x = 0, y = 1; (2) x = -1, y = 0; (3) x = -1, x = 1, y = 0 ; (4) x = 1, x = 2, x = -3.2. 略习题3-6 (B)1. ex y e x 1,1)1(+=-=（2）x= -1,x=1,y= -2 （3）y=x, x=0 （4）y= -2, x=0 4121,21)5(-=-=x y x2. 略习题3-7 (A)1. k=22. x x k sec ,cos ==ρ3. 02sin 32t a k =4. a a k t 4,41,===ρπ 5. 233)22ln ,22(处曲率半径有最小值- 习题3-7 (B)1. 略2. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)2(),2(,332323132323131x a y y a x axyR 曲率圆心3. 8)2()3(22=++-ηξ4. 约1246 (N) [提示：作匀速圆周运动的物体所受的向心力为Rmv F 2=]5. 16125)49()410(22=-+--ηπξ 习题3-81.19.018.0<<ξ 2. 19.020.0-<<-ξ 3. 33.032.0<<ξ 4. 51.250.2<<ξ总复习题三一. (1)B (2)B (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B (9)C (10)C] 二. 25)8(/82)7()0,1()6(3)5(63)4()22,22()3(2ln 1)2(2)1(3s cm π+--x x x xeyx y 4)1(,)1(4)10()9(2222+++=三. 9)3(0)2(3)1(,7541,6,50,40,31,221,123---e⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-''≠++-'='-0)1)0((210)1()()()()1(,82x g x x e x x g x g x x f x上连续在),()()2(+∞-∞'x f 9, 略四、证明题和应用题 6．)027.0,025.0()2(450449)1(7．)2,2(b a P8．12ln 31,2ln 3121-+ 9．%82.0%13)3(173)2(20)1(总收益增加，时，若价格上涨当=-p pp10．略。