分解因式 Microsoft Word 文档
(完整word版)人教版八年级数学因式分解方法技巧.docx
因式分解方法技巧专题一分解因式的常用方法：一提二套三分，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。
常见错误：1、漏项，特别是漏掉2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化3、分解不彻底首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”［例题］把下列各式因式分解：1.x(y-x)+y(y-x)-(x-y)22. a5-a3.3(x 2-4x) 2-48[点拨 ]看出其中所含的公式是关键练习1、3x 12 x3 2 、2a( x21) 22ax23、3a26a4、56x3yz+14x 2y2z－21xy 2z25、－ 4a3＋ 16a2b－ 26ab26、m416n 4二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法： 1 提公因式法 2 平方差公式法。
先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 时，关键是正确确定公式中a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。
平方差公式运用时注意点：根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：A 、多项式为二项式或可以转化成二项式；B 、两项的符号相反；C、每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；D 、首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；E、对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式[例题 ]分解因式： 3(x+y) 2-27[点拨 ]先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解练习1)x 5－ x32) m416n43)25－ 16x221222124)9a －4b .5）25－ 16x ;6） 9a －4b .专题三三项式的分解因式 : 如果一个能分解因式，一般用到下面 2 种方法： 1 提公因式法 2 完全平方公式法。
因式分解顺利通关(基础+拔高+真题演练)(Word版+答案)
因式分解精华1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2.分解因式的一般方法： （1）提公共因式法. （2）运用公式法.①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±（3）十字相乘法。
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.①对于二次三项式，若存在 ，则 ②首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.（4）分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 3.分解因式的步骤：2x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++ 专题知识回顾(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ),完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】（2019•江苏无锡）分解因式4x 2－y 2的结果是（ ） A ．（4x +y ）（4x ﹣y ） B ．4（x +y ）（x ﹣y ） C ．（2x +y ）（2x ﹣y ） D ．2（x +y ）（x ﹣y ）【例题2】（2019贵州省毕节市） 分解因式：x 4﹣16＝ ． 【例题3】（2019广东深圳）分解因式：ab 2－a=____________．【例题4】（2019黑龙江哈尔滨）分解因式：22396ab b a a +-= ． 【例题5】（经典题）把下列各式分解因式：（1）1522--x x ； （2）2265y xy x +-．【例题6】（2019山东东营）因式分解：x （x －3）－x+3=____________．【例题7】（2019湖北咸宁）若整式x 2+my 2（m 为常数，且m ≠0）能在有理数范围内分解因式，则m 的值可以多少（写一个即可）．【例题8】（经典题）把ab ﹣a ﹣b+1分解因式。
整式乘法与因式分解讲义(word版)
第十四章 整式的乘法与因式分解14.1.1 同底数幂的乘法知识点1 同底数幂的乘法运算同底数幂相乘，底数 ，指数 。
即=•n m a a 1.计算： 52x x ⋅ = ；________； x ·x 2= ；a • a 3•a 5 = ； =⨯555m _______； =⋅+13m m x x ________； x 3n ·x 2n-2＝ ； (－a)·(－a)3＝ ；(－a)4·a 3＝．）（23x x x -⋅= ________； －=⋅23a a ________； =-⋅)(52x x ________；=⨯⨯-34222________； 389)2()2()2(-⨯-⨯- ＝ ； －x 2·(－x)4·(－x)3＝２.若2n ＋2n ＋2n ＋2n＝8，则n ＝ . 3.已知a 2·ax －3＝a 6，那么x 的值为 .若27＝24·2x，则x ＝ .4.计算： (m －n)·(n－m)3·(n －m)4＝ 知识点2 同底数幂的乘法的逆运算例.若3x =5, 3y =7.求3x+y值。
举一反三：1、42=m ，162=n ，求nm +2．2. 若，，，求的值．3.已知,32=x 求32+x 的值。
4．n x =5，用含有n m 、的代数式表示14x ．５．已知4x ＝8，4y ＝32，求x ＋y 的值.14.1.2 幂的乘方幂的乘方底数 ，指数 。
即：()=nma[（32）3]4＝ ；(102)8； ________；[（x 2）3]7 ＝ ；(1) (x m )2＝ ； (a m ＋1)2＝ . (负号的处理)________；________； 52)(x x ⋅-=________； －（a 2）7 ＝ ；（－a s ）3＝ ； [（－6）3]4＝ ； [(－a)3]5＝ ； [(－x)3]2＝ .23)(m a - ＝ ； ________ 2313-m m x x +⋅=（）（）________．(综合运用)（x 3）4·x 2＝ ； •________；________．()()3224a a ⋅- =________；5342])[()(p p p -⋅-⋅-＝________；________．(－a 2)3·a 3＋(－a)2·a 7－5(a 3)3＝ ； [(x ＋y)3]6＋[(x ＋y)9]2＝ .知识点2 幂的乘方的逆运算例3.已知x n =5，y n =3，求（xy ）3n 的值。
(完整word版)因式分解的16种方法
因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法.而在竞赛上,又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法,待定系数法，双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法，求根公式法,换元法，长除法，除法等。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如:()1332--=+-x x x x )分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“—"号，使括号内的第一项的系数成为正数.提出“-"号时，多项式的各项都要变号.提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；(2）提公因式并确定另一个因式:①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式;③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
(完整word版)因式分解的常用方法及练习题
因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）平方差公式：(a+b)(a -b) = a 2-b 2(2) 完全平方公式：(a ±b)2= a 2±2ab+b 2(3) 立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)(4) 立方差公式：a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2) （5）完全立方公式：(a±b)³＝a ³±3a ²b ＋3ab ²±b ³ 下面再补充两个常用的公式： (6)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(7)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 三、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：652++x x 672+-x x练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘法分解因式 Microsoft Word 文档 (2)
十字相乘法虽然比较难学,但是─旦学会le它,用它来解题,会给wo们带来非常多方便,以下是我对十字相乘法提出旳一些个人见解。
1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，还运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。
2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
3、十字相乘法比较难学。
5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，オ符合本题解：因为 1 -21 ╳6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 25 ╳-4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成有关x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为 1 -31 ╳-5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
数学北师大版八年级下册《分解因式》
注：先识别公式，再找出对应的a、b
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b) 把下列各式分解因式：
1 ）a2－82 = (a+8) (a －8) 看（1 谁 2 －y2 =(4x+y) (4x －y) （ 2 ） 16x 2 快 1 2 又 (3) 3 － y + 4x2=(2x + 1 y) (2x － 1 y) 9 对 3 3
(4)x2 －25y 2 ＝ x2 －(5y)2
(5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式
(6) －x2+25y2 = 25y2－x2 =(5y)2 －x2
成果展示
能运用平方差公式分解的多项 式有哪些特征 （ 2 ）2－（ ）２ -△ )
2=(
+△ ) ( 2 2
学以致用
例1：把下列各式分解因式 （1）25－16x2; (2)
牛刀小试
把下列各式分解因式： (m-a)2 - (n+b)2 x2 - (a+b-c)2 a3-a
你会帮张大爷求出长方形地的长和宽吗？
a2-4b2 =(a+2b)(a-2b) a a
b b
a-2b
a+2b
谈谈你这节课的收获
1、会用a2 - b2=(a+b)(a - b)分解因式 2、分解因式的顺序是
注：a、b可以是单项式，多项式
火眼金睛
下列各式能否用平方差公式分解因式，如果能， 把它写成 （）2－（）２ 的形式。 (1)x² +y² ； (3)-x² +4y² ； (5) 0.81a2 1 36
(2)9-y² ； (4)-x² -y² ； (6) 4x4 - 9
(完整word版)因式分解
因式分解(一）一、因式分解1、下列各式从等号左边到右边的变形中，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？(1)(a＋b）(a－b）＝a2－b2；（2)3x3－6x2－3x＝3x（x2－2x－1)（3）m3－m2＋m＝m（m2－m）（4）x2＋2x－3＝x（x＋2）－32、下列各因式分解正确的是（）A ﹣x2＋（﹣2）2＝（x－2）（x＋2）B x2＋2x－1＝(x－1）2C 4x2－4x＋1＝（2x－1)2D x2－4x＝x（x＋2）（x－2）3、若代数式x2＋ax可以分解因式,则常数a不可以取( ）A ﹣1B 0C 1D 24、多项式x2－2x－3因式分解的结果是（）A (x－1）(x＋3）B （x＋1)（x－3）C （x－1）（x－3）D （x＋1）(x＋3)5、（x－5)（x－3）是多项式x2－px＋15因式分解的结果，则p的值是( )A 2B ﹣2C 8D ﹣86、若分解因式x2＋mx－15＝(x＋3）（x＋n），则m的取值是（)A ﹣5B 5C 2D ﹣27、向阳学校买来钢笔若干支，可以平均分给（x－1）名同学，也可以哦平均分给（x－2）名同学(x为正整数），用代数式表示钢笔数量，不可能的是（）A 3（x－1）（x－2)B x2＋3x＋2C x2－3x＋2D x3－3x2＋2x8、已知:x3＋8x2＋5x＋a能被x2＋3x－10整除，求a的值二．提公因式法1、把多项式8a3b3c－6a3b3c2＋4a3b2c2分解因式，应提出的公因式是（）A 2a3b2cB a2b2cC 2a2b2cD 4a3b2c2、下列多项式中，没有公因式的是( ）A a（x＋y）和(x＋y)B 32（a＋b）和（﹣x＋b）C 3b(x－y）和2（x－y)D （3a－3b）和6（b－a)4、把﹣6x n－3x2n分解因式的结果是（）A 3（﹣2x n－x2n）B ﹣3x n（2＋x n）C ﹣3（2x n＋x2n）D ﹣3x n（2－x n＋1）5、将多项式m（n－2）－m2（2－n)分解因式,结果为（）A （n－2）（m＋m2）B (n－2）(m＋m2）C m（n－2）（m＋1）D m（n－2）（m －1）6、把下列多项式分解因式（1）3x 2－6xy ＋x （2)﹣4m 3＋16m 2－26m (3)(a －b)3－（a －b ）2（4)3m （x －y ）－n （y －x) （5）（x －y)4＋x(x －y ）3－y （y －x ）3 （6）2（a －3）2－a ＋37、计算（1）2022－404 (2）2016^2－2015^22015^2 (3)已知a ＋b ＝5，ab=3，求a 2 b ＋ab 2的值（4）已知x 2＋x ﹣1＝0，求x 3＋2x 2＋2010的值 （5)若a 5＋a 4b ＋a 4＋a ＋b ＋1＝0,且3a ＋2b ＝1，求a 、b 的值（6）化简1＋x ＋x （1＋x)＋x （1＋x ）2＋……＋x （1＋x ）20138、求证32000－4×31999＋10×31998能被7整除9、证明:一个三位数百位上的数字与个位上的数字交换位置，则原数与新数之差能被99整除。
(完整word版)较复杂的因式分解
1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-（5+7y)x-(22y2—35y+3),可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即—22y2+35y—3=(2y—3)(-11y+1）．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y—3)］［2x+(-11y+1)］=（x+2y—3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：（x+2y）（2x-11y）=2x2—7xy-22y2;（x—3)（2x+1)=2x2-5x—3;(2y-3)（-11y+1）=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）;（2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2—3xy—10y2+x+9y—2;（2）x2—y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x—y—2；（4）6x2—7xy—3y2—xz+7yz—2z2．解(1）原式=(x-5y+2)（x+2y-1)．（2）原式=（x+y+1）(x—y+4）．(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解．原式=（y+1)（x+y-2）．（4)原式=（2x-3y+z)（3x+y-2z）．说明（4)中有三个字母,解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0（n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g （x)，…等记号表示，如f（x）=x2—3x+2，g（x)=x5+x2+6，…，当x=a时,多项式f（x)的值用f（a)表示．如对上面的多项式f（x）f(1)=12—3×1+2=0；f（-2)=（-2）2—3×（—2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1（因式定理）若a是一元多项式f(x）的根，即f(a)=0成立，则多项式f（x)有一个因式x—a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根,则必有p是a0的约数,q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f（x)的整数根均为a n 的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式:x3-4x2+6x—4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数:±1，±2,±4，只有f（2）=23-4×22+6×2—4=0，即x=2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x—2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式（x-2)．原式=（x3—2x2)-（2x2—4x)+（2x-4)=x2(x—2)—2x(x—2)+2（x—2)=(x—2)（x2-2x+2）．解法2 用多项式除法，将原式除以（x-2），所以原式=（x—2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是—4的约数，反之不成立，即—4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对—4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4—3x3+7x2—3x-2．分析因为9的约数有±1,±3，±9；-2的约数有±1,±为：所以，原式有因式9x2—3x—2．解9x4-3x3+7x2—3x—2=9x4-3x3-2x2+9x2—3x-2=x2（9x3—3x-2）+9x2-3x-2=(9x2-3x—2）(x2+1)=（3x+1)(3x—2)（x2+1）说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x—2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f（x），如果能找到一个一次因式(x-a），那么f(x)就可以分解为（x-a)g（x)，而g(x)是比f（x)低一次的一元多项式,这样，我们就可以继续对g(x）进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程（或方程组),解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=（x+2y）（x+y），若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+（m+n）x+（m+2n)y+mn,比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=（x+2y+3）(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4—2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法,若原式有有理根，则只可能是±1,±7（7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解,只能分解为(x2+ax+b)（x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b）(x2+cx+d）=x4+（a+c)x3+(b+d+ac)x2+（ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1,d=—7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组,直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式:(1）x2—8xy+15y2+2x-4y-3；（2）x2—xy+2x+y-3;(3)3x2—11xy+6y2-xz—4yz—2z2．2．用求根法分解因式：(1）x3+x2-10x—6；(2)x4+3x3-3x2-12x—4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：（1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x—9。
(完整word版)因式分解的16种方法
Fpg因式分解の16 種方法因式分解沒有普遍の方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。
而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式輪換對稱多項式法，餘數定理法，求根公式法，換元法，長除法，除法等。
注意三原則1 分解要徹底2 最後結果只有小括弧3 最後結果中多項式首項係數為正(例如：3x2x x 3x 1 )分解因式技巧1. 分解因式與整式乘法是互為逆變形。
2. 分解因式技巧掌握：①等式左邊必須是多項式；②分解因式の結果必須是以乘積の形式表示；③每個因式必須是整式，且每個因式の次數都必須低於原來多項式の次數；④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。
注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。
基本方法⑴提公因式法各項都含有の公共の因式叫做這個多項式各項の公因式。
如果一個多項式の各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積の形式，這種分解因式の方法叫做提公因式法。
具體方法：當各項係數都是整數時，公因式の係數應取各項係數の最大公約數；字母取各項の相同の字母，而且各字母の指數取次數最低の；取相同の多項式，多項式の次數取最低の。
如果多項式の第一項是負の，一般要提出“ -”號，使括弧內の第一項の係數成為正數。
提出“ 號時，多項式の各項都要變號。
提公因式法基本步驟：(1)找出公因式；(2)提公因式並確定另一個因式：①第一步找公因式可按照確定公因式の方法先確定係數在確定字母；②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得の商即是提公因式後剩下の一個因式，也可用公因式分別除去原多項式の每一項，求の剩下の另一個因式；③提完公因式後，另一因式の項數與原多項式の項數相同。
口訣：找准公因式，一次要提淨；全家都搬走，留 1 把家守；提負要變號，變形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b) 。
分解因式法(新) Microsoft Word 文档
2.4 分解因式法班级_________________ 姓名____________-一、知识导航：1、 提公因式法：=++mc mb ma2、平方差公式：22b a -= ； 完全平方公式：222b ab a +±=3、把方程的一边变为0，而另一边可以分解成 的乘积，然后利用a ×b=0,则a=0或b=0,把一元二次方程变成 ，从而求出方程的解，我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。
二、典型例题：例1 解下列方程：（1）x x 452=（2）)2(2-=-x x x（3）025)1(2=-+x（4）0962=++x x练习：解下列方程（1）0)4)(2(=-+x x（2）)12(3)12(4+=+x x x例2 解下列方程：（1）x x x -=-4)4(4（2）62)3(2+=+x x（3）22)12()1(-=+x x（4）2422+=+y y y例3 解下列方程：（1）0672=+-x x （2）01242=-+x x练习：解下列方程（1）01001012=++x x （2）12)3)(2(=--x x三、拓展提高：解下列方程：（1）2225(1)16(2)x x -=+ （2）3121242=+-x x（3）04732=++x x （4）2(27)5(27)40x x ---+=四、课堂检测：1、一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（ ）Ａ．11 Ｂ．11或13Ｃ．13 Ｄ．11和13 2、用恰当的方法解下列方程： （1）0)52)(3(=-+x x （2）2(21)3(12)y y -=-（3）21x x -= （4）0452=+-x x。
分解因式doc
1.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于 ( )A.3B.-5C.7.D.7或-12.下列各式是完全平方式的是（ ）A 、x 2-x+14B 、1+4x 2C 、a 2+ab+b 2D 、x 2+2x-1 3.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A 22)(b a -+B mn m 2052-C 22y x --D 92+-x4.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）A. –3B. 3C. 0D. 15.一个正方形的边长增加了2cm ，面积相增加了32cm 2，则这个正方形的边长为（ ）A 、6cm B 、5cm C 、8cm D 、7cm6 如图从边长为（a ＋4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为()1a +cm 的正方形(0)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）.A ．22(25)cm a a + B ．2(315)cm a + C ．2(69)cm a + D ．2(615)cm a +7. 若b a ,是正数，2,1==-ab b a ，则b a +=（ ）.A.－3B.3C.±3D.98. 将代数式142-+x x 化成q p x ++2)(的形式为（ ）A.3)2(2+-xB.4)2(2-+x C 5)2(2-+x D.4)2(2++x9. 已知102103m n ==，，则3210m n +=__ . 10 分解因式2x 2 − 4x + 2的最终结果是（ ）A ．2x (x − 2)B ．2(x 2 − 2x + 1)C ．2(x − 1)2D ．(2x − 2)211.如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”（ ）A.28B.56C.60D. 12412. 若2,2a b a b +=-≥且，则（ ） A ．b a 有最小值12 B ．b a 有最大值1 C ．a b 有最大值2 D ．a b 有最小值98-13 把四张形状大小完全相同的小正方形卡片（如图○1）不重叠的放在一个底面为长方形（长为m cm ，宽为n cm ）的盒子底部（如图○2）盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图○2中两块阴影部分的周长和是（ ）A ． 4m cmB ． 4n cmC ．2(m ＋n )cmD ． 4(m －n )cm14. 若949)7(22+-=-bx x a x ，则b a +之值为何（ ）A ．18B ．24C ．39D ． 4515. 把代数式 322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．2(3)x x y -D ．23()x x y -16.若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是 A 0x y z ++= B 20x y z +-= C 20y z x +-=D 2=0x z y +- 17. 若2m n -=，5m n +=，则22m n -的值为 ．18. 若622=-n m ，且2m n -=，则=+n m ．19.分解因式：2168()()x y x y --+-= .20分解因式：321a a a +--=______________=-142x_________________． 21. 分解因式：3m (2x －y )2-3mn 2＝ _________：229x y -=_______________．22 分解因式：32214a a b ab -+-= 。
(完整word)(精华讲义)数学北师大版八年级下册因式分解
因式分解一、概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，开展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四那么运算，又为学习分式打好根底；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
二、因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原那么1分解要彻底2最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正〔例如：-3 x2 +x=-x(3x-1)〕根本方法1】提取公因式这种方法比拟常规、简单，必须掌握。
有时提公因式后再用公式法。
常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例1： 2 x2 -3x解： =x(2x-3)针对性练习：提公因式法1. 用提取公因式法分解因式正确的选项是〔〕A.12 abc－ 9a2b2=3abc(4 － 3ab)x2y－3xy+6y=3y( x2－x+2y)C. －a 2+ －=－ (－ + ) D.2 +5 － = (x2+5 ) ab ac a a b c x y xy y y x2.以下多项式中 , 能用提公因式法分解因式的是 ( )A.x 22+2x2+y22-xy+y23.如果 b－ a=－6， ab=7，那么 a2b－ ab2的值是( )B.－42 D. － 134.将下面各式进行因式分解(1) a3 b212ab 3c6a3b 2c(2)21a2b 14ab27ab8(3) ma2-4ma+4a(4) -28y4-21y 3+7y25. 2x－y= 1，xy =2，求 2x4y3－x3y4的值 .86. (4 x-2 y-1) 2+xy 2 =0，求4x2y-4x2y2-2xy2的值.【随堂练习】1、分解因式：．2、分解因式：；3.分解因式：2】公式法将式子利用公式来分解，也是比拟简单的方法。
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2.1 分解因式一、教学目标1．经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。
2．了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。
3．感受整式乘法在解决问题中的作用。
二、教学重难点探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。
三、教学过程设计1.创设情景，导出问题（1）读一读：首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象.教师进行情景的多媒体演示（演示章头图）.章首图力图通过一幅形象的图画——对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家展现了本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法——类比思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。
（2）想一想：993-99能被100整除吗？你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？今天我们大家一起来研究一下这个问题。
2.探索交流，概括概念想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。
小时是这样做的（1）小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？（2）993-99还能被哪些正整数整除。
答案：（1）小明将993-99通过分解因数的方法，说明993-99是100的倍数，故993-99能被100整除。
（2）还能被98，99，49，11等正整数整除。
归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。
议一议：现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。
鼓励学生类比数的分解将a3-a分解。
做一做：计算下列各式：（1）（m+4）（m-4）= ;（2）（y-3）2= ；（3）3x（x-1）= ；（4）m（a+b+c）=.根据上面的算式填空：（1）3x2-3x=（）（）（2）m2-16=（）（）（3）ma+mb+mc=（）（）（4）y2-6y+9=（）（）请问，通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？答案：第一组：（1）m2-16；（2）y2-6y+9；（3）3x2-3x；（4）ma+mb+mc；第二组：（1）3x（x-1）；（2）（m+4）（m-4）；（3）m（a+b+c）；（4）（y-3）2。
第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，它们这间恰好是一个互逆的关系。
议一议：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能在举一些类似的例子加以说明吗？与同伴交流。
（引导学生区分这良种互逆的恒等变形，从而引出下面分解因式的概念。
）概括：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
3.巩固应用，拓展研究课本P40随堂练习。
（学生单独完成，然后相互评价结果，互相指正，让学生在这一过程加深对分解因式概念的掌握。
）教师在学生相互评价之后可指出因式分解的要求：（1）分解的结果要以积的形式表示；（2）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；（3）必须分解到每个多项式因式不能再分解为止。
4.练习巩固，促进迁移（1）下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（）A．（x+3）（x-3）=x2-9 B．x2+x-5=（x-2）（x+3）+1C．a2b+ab2=ab（a+b）D．答案：C（2）证明：一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，则新数与原数之差能被99整除。
证明：设原数百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，则原数可表示为100x+10y+z，交换位置后数字为100 z +10y+ x。
则：（100 z +10y+ x）-（100x+10y+z）=100 z-100x+x-z=100（z-x）-（z-x）=99（z-x）则原结论成立。
（3）（陕西省，中考题）如图3-1①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长了b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②所示），通过教育处两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2D．a2-b2=（a+b）（a-b）答案：D。
5.回顾联系，形成结构想一想：分解因式与整式乘法有什么关系？（如果把整式乘法看作一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程；如果把多项式的因式分解看作一个变形过程，那么整式乘法就是它的逆过程。
因此，整式乘法与多项式的因式分解互为逆过程。
这种互逆关系，一方面说明两者的密切关系，另一方面又说明了两者的根本区别。
）（通过归纳总结，使学生对多项式的因式分解与整式乘法两者的密切关系，从而更好得理解多项式的因式分解。
）6.课外作业与拓展北师大版八年级（下）P17－P182.2 提公因式法一、教学目标1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。
2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。
3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。
二、教学重难点教学重点用提公因式法把多项式分解因式教学难点探索多项式因式分解方法的过程三、教学过程设计第一课时1.创设情景，导出问题张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。
他来到文具商店，经过选择决定买单价16元的钢笔10支，5元一本的笔记本10本，4元一瓶的墨水10瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以9折出售，问共需多少钱。
(让学生独立完成，然后选取两种比较多用的方法展示)关于这一问题两位同学给出了各自的做法。
方法一：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=144+45+36=225（元）方法二：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=10×90%（16+5+4）=225（元）请问：两位同学计算的方法哪一位更好？为什么？答案：第二位同学（第二种方法）更好，因为第二种方法将因数10×90%放在括号外，只进行过一次计算，很明显减小计算量。
（使学生在具体的实际问题解决过程中发现提取公因数便于计算，从而使他们初步感知提取公因式方法的实际应用。
）2.探索交流，概括概念（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？（2）将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流。
讨论概括：（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式b，我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。
如b就是多项式ab+bc的公因式。
同样，多项式3x2+x各项都含有相同的公因式x，多项mb2+nb-b各项都含有相同的公因式b。
（有了上面的情景，学生在刚回顾因数意义的同时，很容易说明因式的含义。
）（2）这里意在让学生根据因式分解的意义尝试进行分解。
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
这种分解因式的方法叫做提公因式法。
3.巩固应用，拓展研究例1 将下列各式分解因式：（1）3x+6；（2）7x2-21x；（3）8a3b2-12ab3c+abc；（4）-24x3-12x2+28x答案：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）（2）7x2-21x=7x·x-7x·3=7x（x-3）（3）8a3b2-12ab3c+abc=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·c=ab（8a2b-12b2c+c）（4）-24x3-12x2+28= -（24x3+12x2-28）= -（4x•6x2+4x•3x-4x•7 ）= -4x(6x2+3x-7)想一想：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？（进一步体会分解因式与整式乘法的互逆关系）4.练习巩固，促进迁移（1）写出下列多项式的公因式：(课本练习)① ma+mb ②4kx-8ky ③ 5y3+20y2④ a2b-2ab2+ab（2）把下列各式分解因式：①3x2-6xy+x ②-4m3+16m2-26m答案：（1）3x2-6xy+x=x（3x-6y+1）（2）-4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13）（3）利用分解因式计算：①33×0.48+85×0.48-18×0.48 ② 7.18×2.25+28.5×0.225-2.03×2.255.回顾联系，形成结构想一想：这节课我们学了写什么？（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）6.课外作业与拓展北师大版八年级（下）P12－P13第二课时1.课前热身，复习回顾想一想：什么是公因式？怎样提取公因式？做一做：（1）下列用提取公因式法分解因式正确的是（）A．a3+2a2+a=a(a2+2a) B．-x2y+4x2y2-7xy=-xy(x-4xy+7)C．6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x+6) D．a(a-b)2+ab(a-b)=(a+ab)(a-b)（2）（-3）2005+（-3）2004等于（通过提问和几个练习使学生回忆上节课的内容，为本节课的学习作好准备。
）2.应用拓展，深化研究把下列各式分解因式：① a（x-3）+2b（x-3）；②5（x-y）3+10（y-x）2。
答案：①a（x-3）+2b（x-3）=（x-3）（a+2b）②5（x-y）3+10（y-x）2=5（x-y）3+10[-（x-y）]2=5（x-y）3+10（x-y）2=5（x-y）2（x-y+2）（此题是上节课的延伸，公因式由前节课的单项式过渡到多项式，难度逐渐提高，符合学生的认知规律。
）第1小题在教学时引导学生把（x-3）看作一个整体，从而解决工艺市是多项式的情况；第2小题是在第1小题的基础上，进一步解决符号问题。
教学时要引导学生正确理解（x-y）与（y-x），（x- y）2与（y-x）2的关系。
3.练习巩固，促进迁移课本练习P45“做一做”（加强学生的符号感）3.巩固应用，拓展研究（1）把下列各式分解因式：①3x2-6xy+x ②-4m3+16m2-26m答案：①3x2-6xy+x=x（3x-6y+1）②-4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13）（2）（3）把下列各式分解因式：①4q（1-p）3+2（p-1）2②3m（x-y）-n（y-x）③m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）答案：①4q（1-p）3+2（p-1）2=2（1-p）2（2q-2pq+1）②3m（x-y）-n（y-x）=（x-y）（3m+n）③m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）=2am（x+y）（4）计算①已知a+b=13,ab=40,求a2b+ab2的值；②1998+19982-19992答案：①a2b+ab2=ab（a+b）,当a+b=13时，原式=40×13=520②1998+19982-19992=-1999（5）比较2002×20032003与2003×20022002的大小。