2018.1杭州一模及答案

杭州市2017学年第一学期高三年级教学质量检测数学试题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}
[]22,0,4A x x B =+≤=，则()R C A
B =（ ）
A. R
B.{}0
C.{}
,0x x R x ∈≠ D.∅ 2.双曲线2
2
14
y x -=的渐近线方程为（ ）
A.
1
2y x =± B.2y x =± C.2y x =± D.2
y x =± 3.设数列{}n a 的通项公式为*
2()n a kn n N =+∈，则“2k >”是“数列{}n a 为递增数列的”
（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.若函数()f x 的导函数'
()f x 的图象如图所示，则（ ）
A. 函数()f x 有1个极大值，2个极小值
B. 函数()f x 有2个极大值，2个极小值
C. 函数()f x 有3个极大值，1个极小值
D. 函数()f x 有4个极大值，1个极小值
5.若直线y x =与曲线x m
y e +=（m R ∈，e 为自然对数的底数）相切，则m =（ ）
A. 1
B. 2
C. 1-
D. 2-
【解】因为1x e x ≥+ 即x
y e =与1y x =+相切，
设x m t +=，则有,t y e y t m ==-相切，1m =-
6.设不等式组01y x y y mx ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，所表示的区域面积为()S m R ∈，若1S ≤，则（ ）
A. 2m ≤-
B. 20m -≤≤
C. 02m <≤
D. 2m ≥
【解】画出0
1y x y ≥⎧⎨
+≤⎩
部分，即图中颜色区域， y mx ≥表示直线上方，
当m →-∞1
2
S →，选A.
7.设函数2
()1
x f x b a =
+-（0a >且1a ≠），则函数()f x 的奇偶性（ ） A. 与a 无关，且与b 无关 B. 与a 有关，且与b 有关 C. 与a 有关，但与b 无关 D. 与a 无关，但与b 有关
【解】1122()1111
x x x x x
a a g x a a a +-+===+---为奇函数，所以D.
8.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=，,D E 分别是,BC AB 的中点，AB AC ≠，且AC AD >.设PC 与DE 所成角为α，PD 与平面ABC 所成角为β，二面角P BC A --为γ，
则（ ）
A.αβγ<<
B.αγβ<<
C.βαγ<<
D.γβα<< 【解析】如图，DE //AC ,PC 与DE 所成角=PCA α∠
PA ⊥平面ABC ，所以PD 与平面ABC 所成角PDA β=∠
作AH BC ⊥，二面角P BC A --的平面角=PHA γ∠
由题意AH AD AC << 故tan tan tan γβα>>，选A.
9.设函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记M 为函数()y f x =在[1,1]-上的最大值，
N 为a b +的最大值，则（ ） A. 若13M =
，则3N = B. 若1
2
M =，则3N = C. 若2M =，则3N = D. 若3M =，则3N =
【解】因为选项都是3N =，考虑2,1a b =-=，则有2
()21f x x x =-+
易得()y f x =在[1,1]-上的最大值为2，选C. 做得太快，还是来验证一下吧！：
()()(){}
{}max 1,1,0max 1,1,M f f f a b a b b =-=++-+
{}111
1max ,111a b M M a b M a b M a b a b a b M M a b M b M
⎧++≤--≤+≤-⎪⎧-+≤⇒⇒+-=+≤±⎨⎨
-≤-≤+⎩⎪
≤⎩， 要让3N =，可以令2M =
10.在四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AD BC 的中点，设AD BC m ⋅=，
AC BD n ⋅=，
若1,AB EF CD ==（ ） A. 21m n -= B. 221m n -=
C. 21m n -=
D. 221n m -=
【解】猜测可能考基底吧，毕竟数量积都是不同起点
(
)()
AD BC m AD AC AB AC BD n AC AD AB ⎧⋅==⋅-⎪⎨
⋅==⋅-⎪⎩
注意到共同点，直接相减
+=m n AD AB AC AB AB CD -=-⋅⋅⋅,
看图易知为负，所以猜D. 下面证明：
取,BF CF 中点,G H ，则有
22m n AB CD EG EH EF GF -=⋅=⋅=-
由中线长公式()
22222
322
EG EH EF GF GF +=+⇒=
1
2
m n AB CD EG EH -=⋅=⋅=-
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11.设复数5
2z i
=
-（其中i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ，虚部为 . 12.在一次随机实验中，事件A 发生的概率为p ，事件A 发生的次数为ξ，则期望
E ξ= ，方差D ξ的最大值为 .
13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，3,sin 2sin a b C A ===，则
sin A = ，设D 为AB 边上一点，且2BD DA =，则BCD ∆的面积为 .
14.如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ，表面积为 .
15.在二项式25()()a x a R x
+∈的展开式中，若含7
x 的项的系数为10-，则a = .
B
16.有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外均相同）各4只，都分别标有字母,,,A B C D ，任意取出4只，字母各不相同且三种颜色齐备的取法共有 种.（用数字作答）
【解】先考虑那种颜色拿了两个球，再是这两个求分别是哪两个字母；接着剩下两个颜色分别与剩下的两个字母组合：1
2
2
34236C C A ⨯=
17.已知单位向量12,e e 的夹角为3
π
，设122a e e λ=+，则当0λ<时，a λ+的取值范围是 .
【解】考虑到所求为数，直接平方纯代数化进行运算：
a λλλλ+=+=
设()((),00,0P A O λ-则有a PA PO λ+=- 当γ→-∞，1o A PA PO x x -→-=-， 当0λ→，02PA PO OA -→-=，
设11x λ+=<，则有()231a x x f x λ+=
+-=
若[)()
())
0,1,,1,2x f x f x ∈∈
若()()()()
,0,1
,1x f x f x ∈-∞=-∈-
故()1,2a λ+∈-
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）设向量(23sin ,cos ),(cos ,2cos )a x x b x x =-=，
() 1.f x a b =⋅+
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）若方程2
()()f x t t t R =-∈无实数解，求t 的取值范围.
19.（本小题满分15分）如图，在三棱锥A BCD -中，60BAC BAD DAC ∠=∠=∠=，
2AC AD ==
， 3.AB =
（1）证明：AB CD ⊥；
（2）求CD 与平面ABD 所成角的正弦值.
20.（本小题满分15分）设函数2
2
()().1f x x R x
=∈+ （1）求证：2
()1f x x x ≥-++；
（2）当[1,0]x ∈-时，函数()2f x ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.
21.（本小题满分15分）已知椭圆22
:
132
x y C +=，直线:(0)l y kx m m =+≠， 设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.。