第七节(2)二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程资料讲解
先求 y y ex 的特解
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
特别地 y py qy Aex
2
A
p
ex , q
不是特征方程的根
y
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
A x 2ex 2
是特征方程的重根
例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
代入上式 2Aj 4, A 2 j,
y* 2 jxe jx 2x sin x (2x cos x) j, 所求非齐方程特解为 y 2x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.
例4 求方程 y y x cos 2x 的通解.
一、 f ( x) ex Pm ( x) 型
设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
().Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x)
(1) 若不是特征方程的根，2 p q 0, 可设 Q( x) Qm ( x), y Qm ( x)ex;
分别是 Pm ( x)e( j )x 的实部和虚部 考虑方程 y py qy Pm ( x)e( j )x , 辅助方程
可设 y xkQm ( x)e( j )x
Qm ( x)是m次复系数多项式
记Qm ( x) Q1( x) jQ2( x)
Q1( x),Q2( x)均是m次实系数多项式
y xk[Q1( x) jQ2( x)]ex (cosx j sinx) xkex[(Q1( x)cosx Q2( x)sinx) j(Q1( x)sinx Q2( x)cosx)]
二阶常系数非齐次线性方程.
称
称为二阶非齐次线性微分方程。 y py qy 0 （2）
为 (1) 的相应的齐次方程。
*
在上一节，我们讨论了方程（2）的解的结构和他的解法 本节将讨论方程（1）的解的结构和解法 我们在讨论一阶线性微分方程时，先讨论一阶线性齐次微分 方程 得
f ( x) 0 f ( x)
所以 y Y ( x) y* ( x)是方程（）的通解。 1
定理4.4、设 Yi ( x) (i 1, 2)分别为方程 y py qy fi ( x)的解， 则 Y1 ( x) Y2 ( x) 是方程 y py qy f1 ( x) f 2 ( x) 的解。
1:求 由于 0 不是特征根, 则设 y ax b 将 y 代入方程得:
y ' a
a 1 1 b 3
y '' 0
3ax 2a 3b 3x 1
3a 3 2a 3b 1
1 则一个特解为 y x 3 3x 所以，原方程的通解为 y c1e
y Qn ( x)e x
(2).当 是特征单根时: 2 p q 0, 2 p 0, 因此 Q( x) 是 n 次多项式, Q ( x) 是n+1次多项式, 则设
y xQn ( x)e x
(3).当 是特征重根时: 2 p q 0, 2 p 0,
4b0 1
*
4(b1 b0 ) 0
1 2 2x 1 1 y x e x 2 4 4 1 2 2x 1 1 2x 综上 原方程的通解为 y (C1 C2 x)e x e x 2 4 4
高等数学第十二章第七讲 二阶常系数非齐次线性微分方程
x
Pm ( x )e x cos x ,
难点：如何求特解？
第十二章
一、
f ( x ) e x Pm ( x ) 型
设非齐方程特解为 y Q( x )e x 代入原方程
().Q( x ) ( 2 p )Q( x ) (2 p q )Q( x ) Pm ( x )
代入方程得 A 1 2j 1 1 1 jx y xe x sin x j x cos x 2j 2 2 1 * 取实部得 y2 x sin x 2 1 x * * * 原方程的特解 y y1 y2 (e x sin x ) 2 1 x 所求通解为 y c1 cos x c2 sin x 2 (e x sin x )
( j ) x
Qm ( x )是m次复系数多项式
记Qm ( x ) Q1 ( x ) jQ2 ( x )
Q1 ( x ), Q2 ( x )均是m次实系数多项式
第十二章
y x k [Q1 ( x ) jQ2 ( x )]e x (cosx j sinx )
x k e x [(Q1 ( x ) cos x Q2 ( x ) sinx ) j (Q1 ( x ) sinx Q2 ( x ) cos x )]
对应齐方程通解 Y C1 cos x C2 sin x ,
解
用常数变易法求非齐方程通解
设 y c1 ( x ) cos x c2 ( x ) sin x,
w( x ) 1,
c1 ( x ) sin x ln sec x tan x C1 , c2 ( x ) cos x C 2
第十二章
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
二阶常系数非齐次线性微分方程
第七章常微分方程7.11 二阶常系数非齐次线性微分方程数学与统计学院赵小艳1 2 1 主要内容型的解法 )(t e qx x p x m tϕμ=++ t v t e t v t e qx x p x t t sin )(cos )(ϕϕμμ或=++ 型的解法1 2 1 主要内容型的解法 )(t e qx x p x m tϕμ=++ t v t e t v t e qx x p x t t sin )(cos )(ϕϕμμ或=++ 型的解法对应齐次方程通解结构),()()(*t x t X t x +=021=++x a x a x 设非齐次方程特解为 .)()(*te t Z t x μ=代入原方程,)()(t e t F m t ϕμ=,为常数其中μ.)(0111b t b tb t b t m m m m m ++++=-- ϕ1 型的解法 )(t e qx x p x m t ϕμ=++ ,)()(')(*t t e t Z e t Z t x μμμ+= tt t e t Z e t Z e t Z t x μμμμμ)()('2)(")(2*++= )()()()()2()(2121t t Z a a t Z a t Z m ϕμμμ=+++'++''对应齐次方程通解结构),()()(*t x t X t x +=021=++x a x a x 设非齐次方程特解为 .)()(*te t Z t x μ=代入原方程,)()(t e t F m t ϕμ=,为常数其中μ.)(0111b t b tb t b t m m m m m ++++=-- ϕ1 型的解法 )(t e qx x p x m t ϕμ=++ )()()()()2()(2121t t Z a a t Z a t Z m ϕμμμ=+++'++'',不是特征方程的根即μ,0)1(212≠++a a μμ()(),0111B t B t B t B t Z t Z m m m m m ++++==-- .)()(*i t m B t e t Z t x 的同次幂，定出代入原方程比较两端μ=设 将是特征方程的单根，μ,0)2(212=++a a μμ,022≠+a μ),()()(01B t B t B t t Z t t Z m m m +++== 可设.)()(*tm e t Z t t x μ=则 是特征方程的重根，μ,0)3(212=++a a μμ,021=+a μ),()(2t Z t t Z m =可设.)()(2*tm e t Z t t x μ=设非齐次方程特解为 .)()(t e t Z t x μ=*代入原方程 )()()()()2()(2121t t Z a a t Z a t Z m ϕμμμ=+++'++''是特征方程的单根，μ,0)2(212=++a a μμ,022≠+a μ),()()(01B t B t B t t Z t t Z m m m +++== 可设.)()(*tm e t Z t t x μ=则 是特征方程的重根，μ,0)3(212=++a a μμ,021=+a μ),()(2t Z t t Z m =可设.)()(2*t m e t Z t t x μ=,)()(*t Z e t t x m tk μ=特解⎪⎩⎪⎨⎧=重特征根是是单特征根不是特征根2,2,1,0μμμk 综上, 可推广到n 阶方程（k 是重根次数）.,)()(t e t F m t ϕμ=.)(次多项式是待确定的m t Z m.652的通解求方程t te x x x =+- 解 对应齐次方程的通解为 对应齐次方程的特征方程为 ,0652=+-λλ.3,221==λλ.3221tt e C e C X +=,2*t e x =代入得 例1 设特解为 t )(B At +,)()(t e t F m ϕ=非齐次的特解 t t e Bt At e B At x 222)(2)2(+++=* te B t B A At 22))(22(+++=t t eB A At e B t B A At x 222))(24())(22(2++++++=* t e B A t B A At 22)42)48(4(++++=t B B A t B B A B A =-++++-+542)6)(1048(,)()(*t Z e t t x m t k μ=特解⎪⎩⎨=重特征根是是单特征根2,2,1μμk.652的通解求方程t te x x x =+- 解 对应齐次方程的通解为 对应齐次方程的特征方程为 ,0652=+-λλ.3,221==λλ.3221tt e C e C X +=代入得 例1 非齐次的特解 t B B A t B B A B A =-++++-+542)6)(1048(t B A At =-+-22,1,21-=-=⇒B A .1212*t e t t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=原方程通解为 .21223221t t t e t t e C e C x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=,0212⎩⎨⎧=-=-⇒B A A ,)()(*t Z e t t x m t k μ=特解⎪⎩⎨=重特征根是是单特征根2,2,1μμk ,)()(t e t F m ϕ=,2*t e x =设特解为 t )(B At +1 2 1 主要内容 型的解法 )(t e qx x p x m t ϕμ=++ t v t e t v t e qx x p x t t sin )(cos )(ϕϕμμ或=++ 型的解法t υt e t F t υt e t F t μt sin )()(cos )()(ϕϕμ==或可证明:是方程若)()()(t ix t x t x I R ±=)()(2121t f i t f x a x a x ±=++的解, 则 121()(),R x t x a x a x f t ++=是方程的解122()().I x t x a x a x f t ++=是方程的解构造辅助方程υtt ie υt t e x a x a x t t sin )(cos )(21ϕϕμμ+=++ 然后分出其实部和虚部， 2型的解法 t v t e t v t e qx x p x tt sin )(cos )(ϕϕμμ或=++ ()()i υt e t μϕ+=),(21t F x a x a x =++ 利用1的方法，求出它的特解， 得到所求微分方程的特解.解 齐次方程的通解 .sin cos 21x C x C Y +=)2sin 2(cos x i x x y y +=+'',2不是特征根i =μ(),)(ˆ2*ix e B Ax x y+=故令代入辅助方程,得 ,03413⎩⎨⎧=-=-B Ai A .9431i B A -=-=⇒，对应齐次方程的特征方程为 ,012=+λ.,21i i -==λλ作辅助方程 ,)(2)('ˆ22*ix ix e B Ax i Ae x y ++=,)(44)("ˆ222*ixix e B Ax i iAe x y ++=非齐次的特解 4-,2ix xe =解 齐次方程的通解 .sin cos 21x C x C Y +=,2不是特征根i =μ(),)(ˆ2*ix e B Ax x y+=故令代入辅助方程,得 ,03413⎩⎨⎧=-=-B Ai A .9431i B A -=-=⇒，对应齐次方程的特征方程为 ,012=+λ.,21i i -==λλ作辅助方程 非齐次的特解 ix e i x x y 2*)9431()(ˆ--=∴)2sin 2)(cos 9431(x i x i x +--=.)2sin 312cos 94(2sin 942cos 31i x x x x x x +-+-=原方程通解为 .2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=（取实部） )2sin 2(cos x i x x y y +=+'',2ix xe =),(21t F x a x a x =++ ,sin )()(cos )()(t υt e t F υt t e t F t μt μϕϕ==或若的特解 ,)()()(*t iv μk et Z t t x ±=.)()(),(21同次的实系数多项式是与其中t t Z t Z ϕ求 υt t ie υt t e x a x a x t t sin )(cos )(21ϕϕμμ+=++.为特征值的重数是其中iv k ±μ同次数的复值多项式得与)(t ϕ).()()(t I i t R t Z ±=)sin (cos ))()(()(*vt i vt e t I i t R t t x tμk ++=则{}]sin )(cos )([]sin )(cos )([vt t R vt t I i vt t I vt t R e t t μk ++-=其实部与虚部分别是υt t e x a x a x t cos )(21ϕμ=++.sin )(21的特解与υt t e x a x a x t ϕμ=++ 可直接设其特解为 ()υt t Z υt t Z e t t x t μk sin )(cos )()(21*+=实数域内的待定系数法()()i υt e t μϕ+=.2sin 52的一个特解求方程t e x x x t=+-解 ,21是特征方程的单根i υi +=+μ ().2sin 2cos )(t B t A e t t x t +=*设方程的特解为例3 特征方程 ,0522=+-λλ.21,2121i i -=+=λλ则 )(t x *=()()()()t B t A te t B t A e t B t A e t x t x t x t x tt t 2sin 42cos 42cos 22sin 22cos 22sin 2)()()()(--++-++-+-+=**** ()t B t A e t x t x t x t 2cos 42sin 4)(5)(2)(+-+-=*** 即 ()t e t B t A e tt 2sin 2cos 42sin 4=+-整理得 .0,41=-=∴B A .t e t t x t 2cos 41)(-=*方程的特解为)(t x* ()t B t A e t 2sin 2cos ++()t B t A te t 2cos 22sin 2+-+.12)4()5()6(的通解求方程-=-+x y y y 解 ,40重根是特征方程的=μ ()().ˆ454Bx Ax B Ax x x y+=+=∴设方程的特解为例4 特征方程 ,02456=-+λλλ().2,1,40321-===λλλ重则 方程的通解为 代入原方程,得 .961,2401=-=∴B A 对应齐次方程的通解为().652433221C x C x C x C e C e C x Y x x +++++=-,45)(ˆ34Bx Ax x y+=',1220)(ˆ23Bx Ax x y +='',2460)(ˆ2Bx Ax x y +=''',24120)(ˆ)4(B Ax x y +=,120)(ˆ)5(A x y =.0)(ˆ)6(=x y ,148240120-=--x B Ax A ().9624045652433221x x C x C x C x C e C e C x y x x +-+++++=-。
二阶常系数非齐次线性微分方程
则上述方程的一个特解为 取其实部就是题设方程的一个特解
小结
自由项为 及
的二阶常系数非齐次线性方程特解的求解.
练习题
P360 习题8-7 1,2
二阶常系数非齐次线性微分方程 的一般形式：
根据解的结构定理 , 其通解为
齐次方程的通解 非齐次方程的特解
求非齐次方程特解的方法 — 待定系数法：
根据 f ( x) 的特殊形式 ,确定特解 的待 定形式,代入原方程比较两端表达式，以确定 待定系数 .
一、
为实数,
设特解为
为 m 次多项式.
其中 为待定多项式,
例1 求方程
的一个特解.
解 题设方程的自由项为 其中
型，
特征方程为
不是特征方程的根 .
设特解为
代入方程 :
比较系数, 得Biblioteka 于是，所求特解为例2
解 本题 其根为
特征方程为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为
代入方程，得
比较系数, 得
因此，特解为 所求通解为
的通解.
二、
求形如 或
的方程的特解。
由欧拉公式知， 分别是 的实部和虚部。
代入原方程，可得
(1)若 不是特征方程的根,
则
为 m 次多项式
从而得到特解
(2)若 是特征方程的单根 , 即
为m 次多项式, 故特解形式为
(3) 若 是特征方程的重根 ,即
是 m 次多项式, 故特解形式为
小结：
对于自由项
的方程，
当 是特征方程的 k 重根时, 可设特解的
形式为
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
（1） （2）
分析思路:
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
02
03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。
7-7.二阶常系数非齐次线性微分方程
P (x)表示m次多项式 m
f ( x) = eλx P ( x) 型 m •一、
* λx 设非齐方程特解为 y = Q(x)e 代入原方程
y′′ + py′ + qy = f (x)
y = Q(x)e
*
(2)
猜想
λx
y*′ = eλ x λQ ( x ) + Q′ ( x )
y = xQm (x)e ;
*
λx
特解
Q′( X ) 是 次 项 m 多 式
(3) 若λ是特征方程的重根， Q′′( X ) 是m次多项式 是特征方程的重根，
λ + pλ + q = 0,
2
2λ + p = 0,
可设 Q ( x ) = x 2 Qm ( x ),
综上讨论
y = x Qm (x)e .
1 x 通解ϕ ( x) = C1 cos x + C2 sin x + e 2
1 x 特解ϕ ( x) = ( cos x + sin x + e ) . 2
布置作业
P347 习题 7-8
1. (8)；2.(3). ；
P304------习题 习题7-2 习题
7.小船从河边 出发驶向对岸 小船从河边0出发驶向对岸 小船从河边 出发驶向对岸……. 解：设小船的航行路线C： 设小船的航行路线 ： y h v 水流 0 x
dy cos x ( 3) + y cot x = 5e , y dx
x=
π
1 3 2 −x y = x − x + 2x + c1 + c2e 3
第七节二阶常系数非齐次线性微分方程
C2
原方程通解为
y
(C1 x
C2 )e2 x
x2(1 6
x
1 )e2x 2
.
例3 一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子
上，运动开始时，链条的一边下垂８米，另一边
下垂１０米，试问整个链条滑过钉子需多少时间．
解 设链条的线密度为 ,
经过时间t,链条下滑了 x 米,
8m
则由牛顿第二定律得
18 d 2 x (10 x)g (8 x)g,
解: 将特解代入方程得恒等式
(1 a b) ex (2 a) ex (1 a b) x ex c ex
1a b 0 比较系数得 2 a c
1 a b 0
a0 b 1 c2
故原方程为
y ex xex
对应齐次方程通解: Y C1 e x C 2 ex
f ( x) ex[Pl cosx Pn sinx] 利用欧拉公式
e x [ Pl
e ix
eix 2
Pn
e ix
eix ]
2i
( Pl Pn )e( i ) x ( Pl Pn )e( i ) x
2 2i
2 2i
P( x)e(i )x P ( x)e(i )x ,
对应齐次方程通解 Y C1 cos x C2 sin x,
i 是单根, 故 y* x( Acos x B sin x),
代入原方程,得 A 2, B 0 所求非齐次方程特解为 y 2x cos x,
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.
二阶常系数非齐次线性微分方程
二、线性微分方程的解的结构
1.二阶非齐次方程解的结构: 1.二阶非齐次方程解的结构: 二阶非齐次方程解的结构
y′′ + py′ + qy = f ( x) (1)
y′′ + py′ + qy = 0
(2)
是方程(1)的解， (1)的解 定理 1 如果函数 y*( x)是方程(1)的解，Y( x)是方 的解. 程(2)的解，那末 y = Y( x) + y*( x)仍是(1)的解. (2)的解， 的解 （ c1 ,c2是任意常数） 是任意常数）
这里 f ( x )仅 取两 种形 式 ： 1. f ( x ) = Pm ( x )e λ x 2. f ( x ) = e λ x ( A cos ω x + B sin ω x )
设非齐方程特解为 y* = Q( x)eλ x
1、f ( x ) = Pm ( x )e λ x 型
代入原方程
′′( x ) + ( 2λ + p)Q′( x ) + (λ2 + pλ + q )Q ( x ) = Pm ( x ) Q
练 习 题
求下列微分方程的通解: 一、求下列微分方程的通解: 1、 y ′′ + a 2 y = e x ； 2、 y ′′ + 3 y ′ + 2 y = 3 xe − x ； 3、 y ′′ + 4 y = x cos x ； 4、 y ′′ − y = sin 2 x . 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解: 二、求下列各微分方程满足已给初始条件的特解: 1、 y ′′ − 4 y ′ = 5 , y x = 0 = 1 , y ′x = 0 = 0 ； 2、 y ′′ − 2 y ′ + y = xe x − e x , y x =1 = 1 , y ′x =1 = 1；
二阶常数系数非齐次方程解法
二阶常数系数非齐次方程解法二阶常数系数非齐次方程是大学数学课程中的一个重要内容。
在解决实际问题中，常常需要求解这类方程的通解。
本文将着重讲解二阶常数系数非齐次方程的解法。
二阶常数系数非齐次方程的一般形式为$$y''+ay'+by=f(x)$$其中$a$和$b$为常数，$f(x)$为已知函数。
要解决这个方程，我们需要先求解对应的齐次方程$$y''+ay'+by=0$$齐次方程的解为$$y_c=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$$其中$r_1$和$r_2$是齐次方程的特征根，$c_1$和$c_2$是待定系数。
特征根的求法为解方程$$r^2+ar+b=0$$解得$$r_1=\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2},\quad r_2=\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}$$接下来，我们需要利用待定系数法求得非齐次方程的特解。
特解的形式根据$f(x)$的形式而定。
当$f(x)$为多项式时，特解的形式为对应的多项式；当$f(x)$为三角函数时，特解的形式为对应的三角函数；当$f(x)$为指数函数或幂函数时，特解的形式为对应的指数函数或幂函数。
例如，当$f(x)=e^{mx}$时，特解的形式为$y_p=Ae^{mx}$，其中$A$是待定系数。
将特解代入非齐次方程，解出待定系数$A$。
如果特解的形式和齐次方程的解重复，则需要乘上$x$的幂次，直到与齐次方程的解不同为止。
最终的通解为$y=y_c+y_p$。
对于特殊情况，如$f(x)$是多项式乘以指数函数的形式，可以尝试通过变形将其化为多项式或者指数函数加上一个乘积的形式再进行求解。
总之，二阶常数系数非齐次方程的解法需要求解齐次方程和非齐次方程的特解。
通过待定系数法可以求得正确的特解，并得到最终的通解。
在实际问题中，需要仔细分析方程的形式和已知函数的性质，选择合适的解法求解。
二阶常系数非齐次线性微分方程
例2 求微分方程y′′5y′+6y=xe2x的通解. 解 齐次方程y′′5y′+6y=0的特征方程为r25r +6=0, 其根为r1=2, r2=3. 因为f(x)=Pm(x)eλx=xe2x, λ=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得 >>> 2b0x+2b0b1=x. 比较系数, 得b0 = 1 , b1=1, 故 y*= x( 1 x1 e2x . ) 2 2 提示: 2b0=1, 2b0b1=0. 齐次方程y′′5y′+6y=0的通解为Y=C1e2x+C2e3x .
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一, f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(*) (1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0的根, 则 y*=Qm(x)eλx.
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一, f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(*)
提示:
y*′′+py*′+qy* =[Q(x)eλx]′′+[Q(x)eλx]′+q[Q(x)eλx] =[Q′′(x)+2λQ′(x)+λ2Q(x)]eλx+p[Q′(x)+λQ(x)]eλx+qQ(x)eλx =[Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)]eλx.
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在数学的领域中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。
它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们深入探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法以及相关例题。
首先，我们来明确一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中＄p$、＄q$ 是常数，＄f(x)＄是一个已知的函数。
为了求解这个方程，我们通常分为两个步骤：第一步，先求解对应的齐次方程：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$ 。
对于这个齐次方程，我们假设它的解为＄y ＝ e^｛rx}＄，代入方程中得到特征方程：＄r^2 ＋ pr ＋ q ＝ 0$ 。
通过求解这个特征方程，可以得到两个根＄r_1$ 和＄r_2$ 。
当＄r_1$ 和＄r_2$ 是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄；当＄r_1 ＝ r_2$ 是相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝（C_1 ＋ C_2x)e^｛r_1x}＄；当＄r_1$ 和＄r_2$ 是一对共轭复根＄r_{1,2} ＝＼alpha ＼pm ＼beta i$ 时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos(＼beta x) ＋ C_2\sin(＼beta x)）＄。
第二步，求出非齐次方程的一个特解＄y_p$ 。
求特解的方法通常根据＄f(x)＄的形式来决定。
常见的形式有以下几种：1、当＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄P_n(x)＄是＄n$ 次多项式。
如果＄＼alpha$ 不是特征根，设特解为＄y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄Q_n(x)＄是与＄P_n(x)＄同次的待定多项式；如果＄＼alpha$ 是特征方程的单根，设特解为＄y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼alpha x}＄；如果＄＼alpha$ 是特征方程的重根，设特解为＄y_p ＝x^2Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在学习高等数学的过程中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的知识点。
理解和掌握它的解法，对于解决许多实际问题和理论研究都具有重要意义。
首先，我们来了解一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中$p$、＄q$是常数，＄f(x)＄是一个已知函数。
其解法的关键在于先求出对应的齐次方程的通解，然后再求出非齐次方程的一个特解，最终将两者相加得到非齐次方程的通解。
对于齐次方程$y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$，我们可以通过特征方程$r^2＋ pr ＋ q ＝ 0$来求解。
特征方程的根有三种情况：1、两个不相等的实根$r_1$和$r_2$，此时齐次方程的通解为$y_c＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄。
2、两个相等的实根$r$，通解为$y_c ＝（C_1 ＋C_2x)e^｛rx}＄。
3、一对共轭复根$＼alpha ＼pm ＼beta i$，通解为$y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos\beta x ＋ C_2\sin\beta x)＄。
接下来，我们重点讨论如何求非齐次方程的特解。
根据$f(x)＄的形式，通常使用待定系数法来求解。
常见的$f(x)＄形式有以下几种：1、＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$P_n(x)＄是$x$的$n$次多项式。
若$＼lambda$不是特征根，设特解为$y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$Q_n(x)＄是与$P_n(x)＄同次的待定多项式。
若$＼lambda$是特征方程的单根，设特解为$y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
若$＼lambda$是特征方程的重根，设特解为$y_p ＝ x^2Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄。
2、＄f(x) ＝ e^｛＼lambda x}P_l(x)＼cos\omega x ＋ Q_m(x)＼sin\omega x$若$＼lambda ＼pm ＼omega i$不是特征根，设特解为$y_p ＝ e^｛＼lambda x}R_{l+m}（x)＼cos\omega x ＋ S_{l+m}（x)＼sin\omegax$，其中$R_{l+m}（x)＄和$S_{l+m}（x)＄是与$P_l(x)＄和$Q_m(x)＄同次的待定多项式。
二阶常系数非齐次微分方程的通解和特解
二阶常系数非齐次微分方程的通解和特解二阶常系数非齐次微分方程是指形如y''+py'+qy=F(x)的微分方程，其中p和q是常数，F(x)是已知的函数，y是未知函数。
这类微分方程的解法包括通解和特解。
首先考虑非齐次微分方程的通解。
通解一般分为两部分，即其对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解。
对于齐次微分方程y''+py'+qy=0，它的特征方程为r^2+pr+q=0，其中r是未知常数。
根据特征方程的根的情况分为三种情况：1. 当特征根为实数时，即r1≠r2，则齐次微分方程的通解为y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。
其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。
2. 当特征根为复数时，即r1=r2=α+iβ，实部为α，虚部为β，则齐次微分方程的通解为y=e^(αx)(C1cosβx+C2sinβx)。
其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。
3. 当特征根为重根时，即r1=r2=r，则齐次微分方程的通解为y=(C1+C2x)e^(rx)，其中C1和C2是任意常数，可以通过给定的边界条件计算得到。
对于非齐次微分方程y''+py'+qy=F(x)，我们可以采用常数变易法求出它的特解：设非齐次微分方程的特解为y1(x)，则y1''+py1'+qy1=F(x)令y1=A(x)e^(mx)，其中A(x)是待定函数，m是未知常数将y1代入上式得到A(x)和m的关系式：A''e^(mx)+2Am'e^(mx)+Am^2e^(mx)+pA'e^(mx)+pAm'e^(mx )+qAe^(mx)=(F(x))/e^(mx)整理得到A''+2mA'+(m^2+p)A=(F(x))/e^(mx)此时我们可以令(A(x))'=0，使得A(x)是一个常数，从而得到一个特解y1=C(e^(mx))，其中C是未知常数。
4.7.2二阶常系数线性微分方程——非齐次线性微分方程(1)
（2）若 是特征方程的单根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) x Qm ( x), y xQm ( x)ex ;
（3）若 是特征方程的重根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) x2Qm ( x), y x 2Qm ( x )e x .
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y C1ex C2e2x ,
2 是单根，设 y x( Ax B)e2x ,
代入方程, 得 2Ax B 2A x
A
1 2
,
于是 y x( 1 x 1)e2x
B 1
2 原方程通解为
y
C1e x
C2e2x
x( 1 2
x
1)e2x
第四章 微分方程
第七节二阶常系数线性微分方程 ——非齐次线性方程之
f ( x) ex Pm ( x) 型
二阶常系数 非齐次线性方程 对应齐次方程
通解结构
y py qy f ( x )
y py qy 0
y Y y
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
1 f ( x) ex Pm ( x) 型
综上讨论
设 y xkexQm ( x) ,
0 k 1
2
不是根 是单根 是重根
上述结论可推广到 n 阶常系数非齐 注意：
次线性微分方程（k是重根次数）.
例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x的通解.
解： 对应齐次方程为 y 3 y 2 y 0 ,
特征方程 r 2 3r 2 0,
.
例2 求微分方程 y 2 y 3 y 3 x 1 的特解.
解：对应齐次方程为 y 2 y 3 y 0 ,
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1 1 y = C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x + x + x sin 2 x . 8 8
小结
λx
(待定系数法 待定系数法) 待定系数法
(1) f ( x ) = e Pm ( x ), (λ可以是复数） 可以是复数）
y = xk eλxQm (x);
( 2) f ( x ) = e [ Pl ( x ) cos ωx + Pn ( x ) sin ωx ],
∵ λ = 2i 不是特征方程的根 ,
设 y* = ( Ax + B )e 2 ix ,
代入辅助方程
1 4 4 Ai − 3 B = 0 ∴ A = − ，B = − i , 3 9 − 3A = 1 1 4 2 ix * ∴ y = ( − x − i )e , 3 9
1 4 = ( − x − i )(cos 2 x + i sin 2 x ) 3 9 1 4 4 1 = − x cos 2 x + sin 2 x − ( cos 2 x + x sin 2 x )i , 3 9 9 3
( y )′′ = (4d − 4cx ) cos 2 x − (4c + 4dx ) sin 2 x ,
* 2
1 代入 y′′ + 4 y = cos 2 x，得 2
1 4d cos 2 x − 4c sin 2 x = cos 2 x , 2 1 c = 0， 4d = ， 1 2 * 由 ∴ y2 = x sin 2 x; 即 1 8 d= ， − 4c = 0， 8
∵ λ = 2 是重根， 设 y∗ = x 2 ( Ax + B)e 2 x = Q( x)e 2 x , 是重根， 代入方程, 代入方程 得 Q′′( x ) = Pm ( x ), 6 Ax + 2 B = x + 1
1 1 A = , B = . 于是 y∗ = x2 ( 1 x + 1)e2 x 6 2 6 2
第七节 (2) 二阶常系数非齐次线性微分方程
y′′ + py′ + qy = f (x) ( p, q 为常数)
根据解的结构定理 , 其通解为 ①
y =Y+ y*
齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 — 待定系数法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 的待定形式
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
(λ +iω ) x
( λ − iω ) x
,
k ( λ + iω ) x
设 y′′ + py′ + qy = P( x)e
, y = x Qm ( x )e
∗ 1
,
设 y′′ + py′ + qy = P( x)e
(λ −iω ) x
, y = x Qm ( x )e
k
∗ 2
( λ − iω ) x
2
o x
解此方程得
1 −1 x ( t ) = (e 3 2
gt
+e
1 gt 3
) − 1,
整个链条滑过钉子 ,即 x = 8,
代入上式得
3 t= ln( 9 + 80 ). (秒) g
Ⅱ. f ( x) = e [Pl ( x) cosωx + Pn ( x) sinωx] 型
λx
f ( x ) = e [ Pl cos ωx + Pn sin ωx ] 利用欧拉公式
1 4 所求非齐方程特解为 y = − x cos 2 x + sin 2 x , 3 9
（取实部） 取实部）
1 4 y = C1 cos x + C 2 sin x − x cos 2 x + sin 2 x . 原方程通解为 3 9
注意 Aeλx cosωx, Aeλx sinωx
分别是 Ae(λ+iω ) x 的实部和虚部.
λx
y = x e [R ( x)cosωx + R ( x)sinωx];
k
λx
(1) m
( 2) m
只含上式一项解法：作辅助方程 求特解 求特解, 只含上式一项解法：作辅助方程,求特解 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解. 特解的实部或虚部 得原非齐方程特解
补充题: 补充题
y′′ − 4 y′ + 4 y = 6 x 2 + 8e 2 x 1. 写出微分方程
例3
一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子
上，运动开始时，链条的一边下垂８米，另一边 运动开始时， 的一边下垂８ 下垂１０米 下垂１０米，试问整个链条滑过钉子需多少时间． １０
解
设链条的线密度为 µ ,
8m 10m
经过时间 t , 链条下滑了 x 米,
则由牛顿第二定律得
d x 18 µ 2 = (10 + x ) µg − ( 8 − x ) µg , dt g g x ( 0 ) = 0, x ′ ( 0 ) = 0. 即 x′′ − x = , 9 9
,
∴ y ∗ = x k e λx [Q m e iωx + Q m e − iωx ]
( ( = x k e λx [ Rm1) ( x ) cos ωx + Rm2 ) ( x ) sin ωx ], ( ( 其中 Rm1) ( x ), Rm2 ) ( x )是m 次多项式， m = max{l , n} 次多项式，
Q′′ (x)
+ (λ + p λ + q ) Q(x) = P (x) m
2
(2) 若λ 是特征方程的单根 , 即
y* = xQm ( x) eλ x 次多项式, 为m 次多项式 故特解形式为
(3) 若 λ 是特征方程的重根 , 即
则Q′′(x)是 m 次多项式 故特解形式为 y* = x2Qm ( x) eλ x 次多项式,故特解形式为
0 λ ± iω不是根 k= , 1 λ ± iω是单根
注意 上述结论可推广到高阶常系数非齐次线性微分方 程.
例4 求方程 y′′ + y = 4sin x 的通解. 解 特征方程 2 + 1 = 0, 特征根 1,2 = ±i r r 对应齐次方程通解 Y = C1 cos x + C 2 sin x ,
* ∴ y1 = Ax 2 + Bx + C
Hale Waihona Puke * y2 = Dx 2e 2 x （重根） 重根）
* * y * = y1 + y2 = Ax 2 + Bx + C + Dx 2 e 2 x .
2. 写出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
(2) y(4) +y′′ = x + ex + 3sin x
代入原方程 , 得 (1) 若 λ 不是特征方程的根 不是特征方程的根, 则取
y′′ + py′ + qy = f (x) Q (x)x 为 m 次待定系数多项式 λ 2 从而得到特解 e [ Q′′ (x) + ( 2λ + p ) Q′ (x) + (λ + p λ + q ) Q(x) ] 形式为 y* x eλ x Qm (x) . λ= = e P (x) m
1 1 2x 原方程通解为 y = (C1 + C2 x)e + x ( x + )e . 6 2
2x 2
1 1 2x 原方程通解为 y = (C1 x + C2 )e + x ( x + )e . 6 2
2x 2
′′ − 4 y′ + 4 y = ( x + 1)e2x , y 法二 2x ( y′ − 2 y)′ − 2( y′ − 2 y) = ( x + 1)e , e−2 x ( y′ − 2 y)′ − 2e−2 x ( y′ − 2 y) = x + 1, −2 x [e ( y′ − 2 y)]′ = x + 1, 1 2 −2 x e ( y′ − 2 y) = x + x + C1 , 2 1 2 −2 x (e y)′ = x + x + C1 , 2 1 3 1 2 −2 x e y = x + x + C1 x + C2 6 2
∵ λ = i 是单根 ,
故 y = x( A cos x + B sin x ),
*
代入原方程,得 代入原方程 得
∴ A = − 2, B = 0
y ∗ = −2 x cos x , 所求非齐次方程特解为
原方程通解为 y = C1 cos x + C 2 sin x − 2 x cos x .
法二 对应齐次方程通解 作辅助方程
I.
f (x) = eλ x P (x) 型 m
λ 为实数 , P (x) 为 m 次多项式 . m 设特解为 y* = eλ x Q(x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 , ′ = eλ x[ λ Q(x) + Q′ (x) ] y*
y*′′ = eλ x[ λ2 Q(x) + 2λ Q′ (x) + Q′′ (x) ]
λx
e iωx + e − iωx e iω x − e − iω x λx ] = e [ Pl + Pn 2 2i Pl Pn ( λ + iω ) x Pl Pn ( λ − iω ) x = ( + )e + ( − )e 2 2i 2 2i
= P ( x )e