湖南师范大学附属中学2016届高三数学下学期模拟试题(三)文(扫描版)
湖南省湖南师范大学附属中学2016届高三第七次月考文数试题含解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 为虚数单位，复数z 满足(1)z i i +=，则z =（ ）A ．12 B ．2C ．1D 【答案】B考点：复数的运算．2.“4a =”是“直线(2)310a x ay +++=与直线(2)30a x ay -+-=相互平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：当两直线平行时，(2)3(2)a a a a +=-，解得0a =或4a =．选A ．考点：充分不必要条件的判定；直线的位置关系．3.执行如图所示的程序框图，若4m =，则输出的n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 【答案】B【解析】试题分析：程序框图的本质是判断首项为1，公差为13的等差数列从第几项开始不小于m ，易知23n n a +=，由4n a ≥解得10n ≥，故输出的n 的值为10．选B ． 考点：程序框图的应用．4.已知实数[]1,1x ∈-，[]0,2y ∈，则点(,)P x y 落在区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，内的概率为（ ）A ．34 B ．14 C ．18 D ．38【答案】D考点：几何概型及其概率的计算． 5.已知4cos()25πθ-=，且sin cos 1θθ->，则sin(22)θπ-=（ ）A ．2425-B ．1225-C ．45-D ．2425【答案】A 【解析】试题分析：由s i nc o s 1θθ->可知c o s 0θ<，又4s i n5θ=，∴3c o s 5θ=-．∴s i n (22)2s i n cθπθθ-= 2425=-，故选A ． 考点：三角函数的基本关系式及诱导公式的应用．6.设21,(lg ),ln10a b e c === ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a c b >> D ．c b a >> 【答案】C 【解析】试题分析：211lg ,(lg ),lg ln102a e b e c e =====，∵10lg 2e <<，故选C ． 考点：对数的运算性质的应用．7.如图所示，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ）A ．． C ．．【答案】B考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图换元空间几何体及空间几何体的提及的计算，着重考查了学生的空间想象能力和运算能力及转化的数学思想方法，属于基础题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，根据空间几何体的侧面积（表面积）或体积公式求解，同时准确计算也是解答的一个易错点．8.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为,,10,11,9x y ．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y -的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D 【解析】 试题分析：∵10119105x y ++++=，∴20x y +=．∵22s =，∴22(10)(10)8x y -+-=，∴2220()2008x y x y +-++=，∴22208x y +=．由20x y +=．∴2192xy =，∴222216x y x y xy -=+-=，∴4x y -=．选D ．考点：统计的平均数与方差的计算．9.已知平面向量OA OB OC 、、满足：1,0OA OB OC OA OB ====．若,(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则x y +的最大值是（ ）A ．2B ．1C ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由1OC =得22()1OC xOA yOB =+=，得221x y +=，设cos ,sin x y θθ==，则cos sin )4x y πθθθ+=+=+，所以x y +C ．考点：向量的运算．10.设双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的一条渐近线与抛物线2y x =的一个交点的横坐标为0x ，若01x >，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．D ．)+∞ 【答案】C考点：双曲线的几何性质的应用．11.已知R 上可导函数()f x 的图像如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集为（ ）A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．(,2)(1,2)-∞-C ．(,1)(1,0)(2,)-∞--+∞D ．(,1)(1,1)(3,)-∞--+∞【答案】D考点：函数导数与函数的单调性的应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，着重训练了一元二次不等式及其不等式组的解法和分类讨论的数学思想的应用，属于基础题，本题的解答中，由原函数的单调性得到导数的符号，即()f x 的图象可知，在(,1),(1,)-∞-+∞上()0f x '>，在(1,1)-上()0f x '<，把不等式转化为不等式组，求解不等式组中每组不等式的解集，通过取并集求解不等式的解集． 12.函数()ln (0)xf x x a a=->，若0x R ∃∈，使得[]11,2x ∀∈都有10()()f x f x <，则实数a 的取值范围是（ ）A.(0,1) B ．(1,2) C ．(2,)+∞ D ．(0,1)(2,)+∞【答案】D 【解析】 试题分析：11()(0)f x x x a'=->，当(0,)x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；故max ()()f x f a =，0x R ∃∈，使得[]11,2x ∀∈都有10()()f x f x <，即1()()f a f x >对[]11,2x ∀∈恒成立，故[]1,2a ∉，所以实数a 的取值范围是(0,1)(2,)+∞．选D ．考点：利用导数研究函数的单调性及函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及函数的恒成立问题的求解，着重考查了函数的极值、最值的求解与应用及转化的数学思想方法，属于中档试题，本题的解答中，求解函数的导数11()(0)f x x x a'=->得出函数的单调性，确定max ()()f x f a =，再把[]11,2x ∀∈都有10()()f x f x <转化为1()()f a f x >对[]11,2x ∀∈恒成立，即可求解参数a的取值范围．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.已知集合{}22|1,|lg(1)M x N y y x x ⎧⎫=<==+⎨⎬⎩⎭，则R N C M =________．【答案】[]0,2 【解析】试题分析：由[)(,0)(2,),0,M N =-∞+∞=+∞，所以[]0,2R N C M =．考点：集合的运算． 14.已知关于x 的不等式17x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，则实数a 的最小值为________． 【答案】5考点：基本不等式的应用．15.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个在区间[]0,1上的均匀随机数i y（*,110i N i ∈≤≤），其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为________． 【答案】3(1)5e -考点：随机数模拟试验的应用．【方法点晴】本题主要考查了利用随机试验及几何概型模拟估算曲边形的面积的应用，属于基础题，着重考查了试题的创新性，需仔细审题、认真分析．本题的解答中，根据题设表格中的数据可知，向矩形区域101x ey ≤≤⎧⎨≤≤⎩内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，根据几何概型的面积比，估算曲边三角形的面积． 16.我们把形如(0,0)by a b x a=>>-的函数称为“莫言函数”，其图像与y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心且与“莫言函数”的图像有公共点的圆称为“莫言圆”．则当1a b ==时，“莫言点”的坐标是________；且“莫言圆”的面积的最小值是________． 【答案】3π 【解析】试题分析：由题意得，当1a b ==时，“莫言函数”为1()1f x x =-，其图象与y 轴的交点坐标为(0,1)-，所以“莫言点”的坐标是(0,1)．显然()f x 为偶函数，且当0x ≥时，1()1f x x =-，则()f x 的大致图象如图所示．由图知，当“莫言圆”与函数()(1)f x x >的图象相切时，圆面积最小．设“莫言圆”圆心为C ，在函数1()(1)1f x x x =>-图象上任取一点(,)P x y ，则22222112(1)()1111PC x x x x x =+-=+-+---222121()3()33111x x x x x x =+-+=-+≥---，即PC ≥3π．考点：函数与方程的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的新定义的应用，给出了“莫言函数”、“莫言点”、“莫言圆”的定义，求解圆的最小面积等问题，着重考查了函数的图象、圆的方程、两点间的距离公式与圆的面积求法等知识，属于中档试题，本题的解答中，根据已知中关于“莫言函数”、“莫言点”、“莫言圆”的定义，利用1a b ==，可求出“莫言点”的坐标，画出莫言函数的图象，进而可判断“莫言圆”与函数()(1)f x x >的图像相切时，圆面积最小，求解圆的面积的最小值．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，cos 1B B -=，且1b =． （1）若512A π=，求c 的值； （2）设AC 边上的高为h ，求h 的最大值． 【答案】（1（2因为14C A B b ππ=--==，,由正弦定理，得sinsin 4sin sin 3b C c B ππ====． ．．．．．．．6分 （2）因为11sin ,,1223ABC S bh ac B B b π∆====，则sin 2ac B h b ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 由余弦定理，得222222cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac =+-=+-≥-=，则1ac ≤，所以2h ≤a c =时取等号，所以h的最大值为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：正弦定理及余弦定理的应用．18.（本小题满分12分）-P为侧如图，四棱锥S ABCD棱SD上的点．⊥；（1）求证：AC SDBE平面PAC？若存在，（2）若SD⊥平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，使得//SE EC的求:值；若不存在，试说明理由．SE EC=．【答案】（1）证明见解析；（2）:2:1【解析】⊥；（2）试题分析：（1）先证明AC⊥平面SBD，然后利用线面垂直的性质，即可证明AC SD=，然后可求出利用线面平行的性质定理确定E的位置，即在SP上取一点N，使得PN PDSE EC的值．:-是正试题解析：（1）连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意得四棱锥S ABCD四棱锥,⊥，所以SO AC⊥，又因为正方形ABCD中，AC BD所以AC⊥平面SBD，⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∵SD⊂平面SBD，所以AC BD考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．19.（本小题满分12分）对于数列{}n x ，若任意*n N ∈，都有212n n n x x x +++<成立，则称数列{}n x 为“减差数列”．设数列{}n a是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，已知1371,4a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式，并判断数列{}n S 是否为“减差数列”；（2）设(2)n n n b na t a =-+，若数列345,,,b b b 是“减差数列”，求实数t 的取值范围．【答案】（1）112n n a -=，数列{}n S 是“减差数列”；（2）(1,)+∞． 【解析】考点：等差、等比数列的综合应用．20.（本小题满分12分）已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A 是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为12，点B在x 轴上，AB AF ⊥，,,A B F 三点确定的圆C 恰好与直线30x +=相切．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，P 为线段MN 的中点，设O为椭圆中心，射线OP交椭圆于点Q，且OM ON OQ+=．若存在，求k的值，若不存在，则说明理由．【答案】（1）22143x y+=；（2）不存在，理由见解析．（2）直线l 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，设1122(,),(,)M x y N x y ，00(,),(,)p P P x y Q x y ． 由22(1)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，化简得：2222(34)8(412)0k x k x k +++-=． ∴2212122284,34234p x x k k x x x k k +--+===++，考点：圆与圆锥曲线的综合应用；圆的切线方程；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了圆与圆锥曲线的综合应用、圆的切线方程、椭圆的标准方程，着重考查了代入法的应用，解答的关键是建立与动点坐标之间的关系，有一定的综合性，属于中档试题，本题第二问的解答中，假设存在，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，代入椭圆22143x y +=的方程，化简可得：2222(34)8(412)0k x k x k +++-=，利用韦达定理可得22122284,3434p k k x x x k k--+==++，进而求得点P 是解答此问的关键． 21.（本小题满分12分）已知函数1()(2)(1)2ln ,()x f x a x x g x xe -=---=（a R ∈,e 为自然对数的底数）．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1(0,)2上无零点，求a 的最小值；（3）若对任意给定的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调减区间为(]0,2，单调增区间为[)2,+∞；（2）24ln 2-；（3）3(,2]1a e ∈-∞--．试题解析：（1）当1a =时，2()12ln ,()1f x x x f x x'=--=-， 由()0,2;()0,02f x x f x x ''>><<<． 故()f x 的单调减区间为(]0,2，单调增区间为[)2,+∞． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）因为()0f x <在1(0,)2r =上恒成立不可能，故要使函数()f x 在1(0,)2上无零点， 只要对任意的1(0,)2x ∈，()0f x >恒成立，即对1(0,)2x ∈，2ln 21x a x >--恒成立． 令2ln 1()2,(0,)12x l x x x =-∈-，则2222(1)2ln 2ln 2()(1)(1)x x x x x l x x x --+-'=-=--．此时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下：∵20,(),()2ln ,()(2)(1)222x f x f a f e a e a a→→+∞=-=-----， ∴对任意给定的(]00,x e ∈，在区间(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立， 当且仅当满足下列条件2()02()1f a f e ⎧≤⎪-⎨⎪≥⎩，即22ln 02(2)(1)21a a a e ⎧-≤⎪-⎨⎪---≥⎩②③令22()2ln,(,2)2h a a a a e =-∈-∞--，[]2()12ln 2ln(2)122a h a a a a ''=---=-=--，考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求解闭区间上的函数的最值．【方法点晴】本题主要考查了利用函数的导数取值的正负确定函数的单调性，利用导数求解闭区间上的函数的最值，同时掌握不等式的恒成立问题的求解问题，是一道压轴题，试题难度较大，着重考查了转化的数学思想方法和分类讨论的思想的应用和运算能力的培养，需仔细解答，本题的解答中对1(0,)2x ∈时，()0f x >恒成立，即对1(0,)2x ∈，2ln 21x a x >--恒成立．令2ln 1()2,(0,)12x l x x x =-∈-，利用函数的最值求解，同时根据()f x 单调区间得到关于a 的不等式组22ln 02(2)(1)21a a a e ⎧-≤⎪-⎨⎪---≥⎩，令22ln 02a a -≤-中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值，即可求出22ln 02a a-≤-恒成立，得到221a e ≤--，求解a 的取值范围． 请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()6πρθ=-． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(,)P x y 是直线l 与圆面4sin()6πρθ≤-y +的取值范围．【答案】（1）2220x y x ++-=；（2）[]2,2-．（2）设z y =+，由圆C的方程222220(1)(4x y x x y ++-=⇒++=，所以圆C的圆心是(1-，半径是2．将112x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入z y =+，得z t =-，又直线l 过(1C -，圆C 的半径是2，由题意有：22t -≤≤．所以22t -≤-≤，y +的取值范围是[]2,2-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化；直线参数方程的应用．23.（本小题满分10分） 设不等式2120x x -<--+<的解集为M ,,a b M ∈.（1）证明：111364a b +<； （2）比较14ab -与2a b -的大小 ，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）142ab a b ->-，理由见解析．考点：绝对值不等式的求解；不等式的证明．。
湖南师大附中2016届高三月考试卷
湖南师大附中届高三月考试卷（二）数学（理科）一、选择题（此题共小题，每题分，满分分）.已知复数，则｜｜＝（）..2..【答案】【解读】由于＝－，因此｜｜＝，应选.已知向量,则向量b能够为.（，）．（，一 ).（，）.（，一）【答案】【解读】设.某大学共有学生人，此中专科生有人，本科生有人，研究生有人．现采纳分层抽样的方法检查学生利用因特网查找学习资料的状况，抽取的样本为人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取. 人，人人. 人，人，人. 人，人，人. 人，人人【答案】【解读】专科生：本科生：研究生＝：：＝：：抽取专科生人数：抽取研究生人数：180 5 ＝人，抽取本科生人数：18010＝人，18 181803＝人，应选。
18.设为等比数列｛｝的前项和，S5 ＝，则S2. . .一.一【答案】【解读】.当时，履行如下图的程序框图，输出的值为、、、、【答案】【解读】当＝时，≤，是，进入循环，＝时，≤，是，进入循环＝，＝时.函数y 2x的图象大概为：ln x【答案】【解读】.若，且，则的值为（）.已知,是两个不一样的平面，，是两条不一样的直线，现给出以下命题：①若，则；②若③若④若.此中正确命题的个数是....如图，用一边长为 2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个纸巢，将体积为4的球放在纸巢上方，则球的最高点与纸巢底面的距离为3．对于使()≤建立的全部常数中，我们把的最小值叫做（）的上确界，若且的上确界为、已知双曲线x2 y 21(a 0, b 0) 与抛物线＝有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，a2 b2若｜｜＝，则双曲线的离心率为、已知函数的两个极值点分别为，且点（，）表示的平面地区为，若函数的图像上存在地区内的点，则实数的取值范围是（）二、填空题（此题共小题，每题分，满分分）.设会合.直线＝被圆：所截得的弦长为一个三位自然数百位、十位、个位上的数字挨次为，，，当且仅当有两数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如等）．若，且互不同样，任取一个三位自然数，则它为“有缘数”的概率是．如图，椭圆,椭圆的左、右焦点分别为 , ，过椭圆上一点和原点作直线交圆于，两点，若｜｜·｜｜，则｜｜·｜｜的值为三、解答题：（分）、（本是满分分）在△中，、、分别为角，，的对边，且()求；()若＝，点是线段中点，且，若角大于，求△的面积。
湖南师范大学附属中学2016届高三第二次模拟考试数学理科
湖南师范大学附属中学2016届高三第二次模拟考试数学（理科）本试卷分Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数103iz a i =+-（a ∈R ），若z 为纯虚数，则2a i -=（ ）A ．B ．2CD ．32．已知集合1,12P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()(){}10Q x x a x a =---<，则使得P Q ≠∅的一个充分不必要条件是（ ） A ．11a -<<B ．0a a -<<C ．112a -<<D ．01a <<3．在22x ⎫⎪⎭（x *∈N ）的展开式中，若只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．120C ．90D ．454．某中学高三年级理科学生共有1 000名，在某次模拟考试中，该年级的理科数学成绩近似服从正态分布N (110,100)，则在这次模拟考试中，估计该年级理科数学成绩在120分以上的人数约是（参考数据：如果随机变量()2,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=．）（ ） A ．148B ．159C ．317D ．3415．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()50f x f x +-=，且 函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，若()12f -=，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 为奇函数，且()20162f =- B ．()f x 为奇函数，且()20162f = C ．()f x 为偶函数，且()20162f =-D ．()f x 为偶函数，且()20162f =6．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别与直线l 相交于点A ，B ，若△AFB 为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．C D7．设数列{}n a 的n 项和为n S ，已知()221n n S na n n =--（n *∈N ），且619S a a >，则1a 的取值范围是（ ） A ．()5,3-B ．()3,5-C ．()15,1-D ．()1,15-8．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，其中图象是高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y给出下列四个结论： ①()f x 的最小正周期为π；②()f x 的最大值为2；③14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；④6f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数．其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．49．计算机执行如图所示的程序，则输出的S 的值为（ ）A ．30B ．120C ．360D ．72010．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积是（ ） A ．32π B ．20π C ．16π D ．10π11．已知实数x ，y 满足210310x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则2z y x =--的取值范围是（ ）A ．[-3,1]B ．33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．已知函数()23415123415x x x x f x x =+-+-++，()23415123415x x x x g x x =-+-+--，设函数()()()11h x f x g x =+⋅-，若()h x 的零点都在区间(),a b (),,a b a b <∈Z 内，则b a -的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为 选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某种活性细胞的存活率()%y 与存放温度x （℃）之间有如下几组样本数据：经测算，6℃时，该种细胞的存活率的预报值为 %．14．已知两个非零向量a ，b 满足：对任意λ∈R ，λ-≥-a b a b 恒成立，且2=b ，则⋅=a b ．15．设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，过原点O 作l 的垂线，垂足为M ，当OA OB ⋅取最小值时，点M 的轨迹方程是 ．16．已知又穷数列1a ，2a ，…，11a 满足：10a =，114a =，且()111,2,,10k k a a k +-==．则符合上述条件的不同数列共有 个．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C =60°，c =．（1）若△ABC 的面积为a b +的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，求a b +的取值范围． 18．（本小题满分12分）某中学教学教研组共有30位老师，多数人爱好体育锻炼，经体检调查，这30位老师的健康指数（百分制）如右茎叶图所示．体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般．（1）根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼的人数的分布列和数学期望．观测值公式：()()()()()()22a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++如图1，四边形PBCD 是等腰梯形，BC ∥PD ，PB=BC=CD=2，PD=4，A 为PD 的中点，将△P AB 沿AB 折起，使PC=2，如图2． （1）证明：AB ⊥PC ；（2）求二面角B -PC -D 的余弦值．20．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）与圆E ：2220x y y +--=在第一象限相交于点P ，椭圆C 的左、右焦点1F ，2F 都在圆E 上，且线段1PF 为圆E 的直径．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且直线l 与y 轴相交于D 点，M 为线段AB 的重大，O 为坐标原点，若1OM OD ⋅=，求OM AB ⋅的最大值． 21．（本小题满分12分）已知函数()21x f x e ax bx =---，其中e 为自然对数的底数，a ，b 为实常数．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()11y e x =--，求函数()f x 的值域； （2）若()10f =，且存在()12,0,1x x ∈，使得()()120f x f x <成立，求实数a 的取值范围． 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩（α为参数），点1,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在曲线C 上对应的参数4πα=．（1）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（2）过点P (1,0)作斜率为2的直线l ，交曲线C 于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x =--+，设不等式()20f x -<<的解集为M ． （1）求集合M （用区间表示）；（2）若a M ∈，b M ∈，证明：412ab a b ->-．。
湖南师大附中2016届高三月考试卷三
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炎德 英才大联考理科数学 ! 附中版 " !! )
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2016届湖南师范大学附中高三上学期月考(三)数学(文)试题(解析版)解析
2016届湖南师范大学附中高三上学期月考（三）数学（文）试题及解析一、选择题1．已知i为虚数单位，若复数i z i⋅=，则||z=（）A．1 BCD．2【答案】C【解析】试题分析：根据复数的运算，可知1izi==--，所以||z==C．【考点】复数的运算．2．已知下面四个命题：①“若20x x-=，则0x=或1x=”的逆否命题为“0x≠且1x≠，则20x x-≠”②“1x<”是“2320x x-+>”的充分不必要条件③命题:p存在x R∈，使得20010x x++<，则:p⌝任意x R∈，都有210x x++≥④若p且q为假命题，则p，q均为假命题其中真命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】试题分析：由题可知，①正确，②为充分不必要的条件，②正确，特称命题的否定为全称命题，所以③显然正确；若p且q为假命题，则,p q至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．【考点】1、命题的真假；2、逻辑关系．3．在等比数列{}na中，1n na a+<，286a a⋅=，465a a+=，则46aa等于（）A．56B．65C．23D．32【答案】D【解析】试题分析：由已知：465a a+=，466a a⋅=，即4a，6a为方程2560x x-+=的两解．由于1n na a+<，所以43a=，62a=，∴4632aa=．故选D．【考点】1、等比数列的性质；2、方程的解．4．某程序框图如图所示，若输出的57S=，则判断框内为（）A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k > 【答案】A【解析】试题分析：2k =时，2124S =⨯+=，否，进入循环，当3k =时，24311S =⨯+=，否，进入循环，当4k =时，211426S =⨯+=，否，进入循环，当5k =时，226557S =⨯+=，是，输出57，根据选项判定，54>成立，所以选A ． 【考点】1、程序流程图；2、循环结构．5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cA b<，则ABC ∆为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 【答案】A【解析】试题分析：根据定理：sin cos sin c C A b B =<，那么sin sin cos C B A <，根据A B C π++=，所以sin sin()C A B =+，所以sin()sin cos A B B A +<，整理为：sin cos 0A B <，三角形中sin 0A >，所以cos 0B <，那么2B ππ<<．【考点】．1、正弦定理；2、三角形形状的判定．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积等于（ ）A ．822+B ．1122+．1422+．15【答案】A【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体为一个直四棱柱，底面是直角梯形，两底边长分别为1，2，高为1，直四棱柱的高为2，所以底面周长为221121142++++=+(42)282+⨯=+A ．【考点】1、空间几何体的三视图；2、柱体体积的计算．7．已知平面上不重合的四点,,,P A B C 满足0PA PB PC ++=，且0AB AC mAP ++=，那么实数m 的值为（ ）A ．2B ．3-C ．4D ．5 【答案】B【解析】试题分析：由题可知，根据向量的减法有，AB PB PA =-，AC PC PA =-，于是有()()PB PA PC PA mPA -+-=，故(2)0m PA PB PC --++=，又因为0PA PB PC ++=，所以21m --=，即3m =-．故选B ．【考点】向量的线性运算．8．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ） A ．964 B ．12 C ．164D ．18【答案】D【解析】试题分析：根据几何概型，小蜜蜂安全飞行的轨迹为棱长为2的正方体内部，所以所求的概率：332814648P ===，故选D ．【考点】几何概型．9．关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A．(,1)-∞ B．(,1]-∞ C．(1,)+∞ D．[1,)+∞【答案】A【解析】试题分析：因为[1,4]x∈，则不等式220x ax+-<可化为：222xa xx x-<=-，设2()f x xx=-，[1,4]x∈，由题意得只需max[()]a f x<，因为函数()f x为区间[1,4]上的减函数，所以max[()](1)1f x f==，故选A．【考点】1、不等式的解集；2、函数的单调性．10．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A AB B为椭圆顶点，2F为右焦点，延长12B F与22A B交于点P，若12B PA∠为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．52⎫-⎪⎪⎝⎭B．52⎛-⎝⎭C．51⎛-⎝⎭D．51⎫-⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：由题意，两个向量2122,F B B A的夹为角钝角；21(,)F B c b=--，22(,)B A a b=-，则20ac b-+<，即220a ac c--<，即210e e+->，解得512e>，即5112e<<．故选D．【考点】1、向量的运算；2、椭圆的离心率．11．已知函数2()ln(||1)1f x x x=++，则使得()(21)f x f x>-的x的范围是（）A．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B．()1,1,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭C．()1,+∞ D．1,3⎛⎫-∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】试题分析：函数()f x为偶函数，且当0x≥时，()()2ln11f x x x=+++增函数；所以使得()(21)f x f x >-的x 满足21x x x -<-<，即得113x <<，正确答案为A ．【考点】1、函数的性质；2、不等式的解法．【思路点晴】本题考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题目；先根据函数的解析式里面有绝对值和平方，得出该函数是偶函数，再根据函数在[)0,+∞上是增函数，得()(21)f x f x >-等价于()()21f x f x >-， 解不等式即可求出x 的取值范围．12．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，(1)()()0x f x f x '-->恒成立，(2)a f =，1(3)2b f =，1)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a c b << D ．c b a << 【答案】A【解析】试题分析：构造函数()()1f x g x x =-，当(1,)x ∈+∞时2()(1)()()0(1)f x x f x g x x '--'=>-，即函数()g x 单调递增，∴(2)(2)(2)21f a f g ===-，1(3)(3)(3)231f b f g ===-，1)c f g ===，∴(2)(3)g g g <<，即c a b <<，故选A ．【考点】1、导函数；2、不等式的解法．【易错点晴】本题考查的是导函数的应用、函数比大小的方法，属于难题；该类题目是考试中综合性较强的题，也是易错题；比较几个数的大小，常用的方法有：1、作差比大小；2、作商比大小；3、找中间量法；4、函数的单调性；利用导函数大于零，得到函数是单调递增的，利用函数的单调性可以比较出几个数的大小，做题时要仔细． 二、填空题13．对于实数a 和b ，定义运算(1),(1),a b a b a b b a a b+≥⎧*=⎨+<⎩，则式子1221ln ()9e -*的值为 ．【答案】9【解析】试题分析：因为(1),(1),a b a b a b b a b a +≥⎧*=⎨+>⎩，而1221ln 239e -⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，所以1221ln 3(21)99e -⎛⎫*=⨯+= ⎪⎝⎭．【考点】1、对数运算；2、新定义问题．14．已知函数()f x x α=的图象过点(4,2)，令1(1)()n a f n f n =++，n N *∈．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S = ．1【解析】试题分析：由函数()f x x α=的图象过点(4,2)得：142,2αα==，从而()f x =∴n a ==，从而2015(20161S =+++=．【考点】1、函数的性质；2、数列的性质． 15．已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 ． 【答案】【解析】试题分析：由题意可得存在0(,0)x ∈-∞满足0220001()ln()2x x e x x a +-=-+-+，即001ln()02x e x a ---+=有负根，∵当x 趋近于负无穷大时001ln()2x e x a ---+也趋近于负无穷大，且函数1()ln()2x h x e x a =---+为增函数（或令100000x a e =-<时，100001()100002a eh x e -=--<，令120x x <<时，可知21()()0h x h x ->，所以()h x 为增函数），∴1(0)ln 02h a=->，即1ln 2a <，∴0a <<，∴a 的取值范围是．【考点】1、函数的性质；2、参数的取值范围．【思路点晴】本题考查的是函数的图象和性质、函数的零点、函数的单调性、函数的极限等综合知识，属于中档题；由题意知存在0(,0)x ∈-∞满足0220001()ln()2x x e x x a +-=-+-+，根据函数单调性的定义法得出函数1()ln()2x h x e x a =---+是增函数，所以最大值要大于0，得到0a <<以求出实数a 的取值范围．三、解答题16．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表： 感 染 未感染 总 计 服用 10 40 50 未服用 20 30 50 总计 30 70 100附表：2()P K k ≥ 0．100．05 0．025 k2．7063．8415．024参照附表，在犯错误的概率不超过（填百分比）的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” ． 【答案】5%【解析】试题分析：22100(10302040) 4.762 3.84130705050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”． 【考点】1、独立性检验；2、概率．【易错点晴】本题考查的是独立性检验问题，属于简单题；本题给出了2⨯2列联表，按照题目中给出的观测值，根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算出2K 的值，计算过程是本题最容易出错的地方，记得先约分，一定约到最简再进行运算，很多同学一上来就进行计算，每步都出现估算值，到最后导致误差过大． 17．已知函数()cos sin 6f x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象向下平移14个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求使1()2g x >成立的x 的取值集合．【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π；（2）使1()2g x >成立的x 的取值集合为{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈．【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式、和差公式，把函数()f x 的解析式化简成11sin 2264x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期为π；（2）根据三角函数的性质，使1()2g x >成立，即1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，解不等式5222,666k x k k Zπππππ+<+<+∈即得到x 的取值集合为{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈．试题解析：（1）因为211()cos cos 2cos cos 22f x x x x x x x ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭．1111112(1cos 2)2cos 2sin 2442224264x x x x x π⎛⎫⎛⎫=++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以()f x 的最小正周期T π=．（2）由题设，()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由1()2g x >，得1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则5222,666k x k k Z πππππ+<+<+∈．所以3k x k πππ<<+，k Z ∈．故x 的取值集合时{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈．【考点】1、函数的周期性；2、三角函数的单调性． 18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3(1)2n n S a =-． （1）求1a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且35148,20b b b b +=-+=．设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ．证明：对任意n N *∈，15()32n n T n ++-⋅是一个与n 无关的常数．【答案】（1）1a 的值为3，数列{}n a 的通项公式3nn a =；（2）证明过程详见试题解析． 【解析】试题分析： （1）当已知数列{}n a 的前n 项和nS ，求通项时要分1n =和2n ≥两种情况讨论，利用1n n n a S S -=-，得到数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，故111333n n nn a a q --=⋅=⋅=；由等差数列的性质，得2(1)(2)42n b n n=+-⨯-=-，所以(42)3nn c n =-⋅；则1232303(2)3(42)3nn T n =⋅+⋅+-⋅++-⋅，再由错位相减法可得1515()322n n T n ++-⋅=-，因此对任意n N *∈，15()32n n T n ++-⋅是一个与n 无关的常数．试题解析：（1）当1n =时，113(1)2S a =-，即11233a a =-，所以13a =． 因为3(1)2n n S a =-，则113(1)2n n S a --=-(2)n ≥． 两式相减，得13()2n n n a a a -=-，即13n n a a -=(2)n ≥．所以数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，故111333n n nn a a q --=⋅=⋅=．（2）因为354+28b b b ==-，则44b =-．又1420b b +=，则12b =．设{}n b 的公差为d ，则413b b d-=，所以2d =-， 所以2(1)(2)42n b n n=+-⨯-=-．由题设，(42)3nn c n =-⋅，则1232303(2)3(42)3nn T n =⋅+⋅+-⋅++-⋅．23132303(62)3(42)3n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅，两式相减，得23223(2)3(2)3(2)3(42)3n nn T n -=⋅+-⋅+-⋅++-⋅--⋅．23162(333)(42)3n n n +=-+++--⋅．所以1119(13)1553(2)3()31322n n n n T n n -++-=-++-⋅=-+-⋅-． 故1515()322n n T n ++-⋅=-为常数． 【考点】1、等差数列的性质；2、等比数列的通项公式；3、错位相减法．19．如图1，在Rt ABC ∆中，60ABC ∠=,90BAC ∠=，AD 是BC 上的高，沿AD 将ABC ∆折成60的二面角B AD C --，如图2．（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）设E 为BC 的中点，2BD =，求异面直线AE 与BD 所成的角的大小． 【答案】（I ）证明过程详见试题解析；（II ）异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60． 【解析】试题分析：（I ）由题意得AD CD ⊥，AD BD ⊥；又CD BD D =，则AD ⊥平面BCD ；因为AD ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ．（2）取CD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥BD ，所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角；连结AF 、DE ，由2BD =，则1EF =；由勾股定理和余弦定理求得2221AF AD DF =+=、225AE AD DE =+=．在AEF∆中，由余弦定理得2221cos 22AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅，所以异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60．试题解析：（1）因为折起前AD 是BC 边上的高，则当ABD ∆折起后，AD CD ⊥，AD BD ⊥．又CDBD D =，则AD ⊥平面BCD ．因为AD ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ．（2）取CD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥BD ，所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角．连结AF 、DE ．由2BD =，则1EF =，23AD =6CD =，3DF =． 在Rt ADF ∆中，2221AF AD DF =+=在BCD ∆中，由题设60BDC ∠=，则2222cos 28BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=，即27BC =从而172BE BC ==222cos 227BD BC CD CBD BD BC +-∠==⋅． 在BDE ∆中，2222cos 13DE BD BE BD BE CBD =+-⋅∠=．在Rt ADE ∆中，225AE AD DE =+=．在AEF ∆中，2221cos 22AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅． 所以异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60．【考点】1、面面垂直的判定定理；2、异面直线所成的角．20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =．已知椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>的右焦点1F 与抛物线C 的焦点重合，且离心率为12． （1）求抛物线C 和椭圆E 的方程；（2）若过椭圆E 的右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求三角形OAB （O 为坐标原点）的面积OAB S ∆的最大值．【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =；椭圆E 的方程为22143x y +=； （2）三角形OAB 的面积OAB S∆的最大值为32．【解析】试题分析：（1）设0(,4)Q x ，代入抛物线方程，得08x p =，根据焦点弦公式得2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =．在椭圆E 中，11,2c c a ==，∴22,3a b ==，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=；（2）由题意可知，设直线AB 的方程为1x my =-，11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线方程与椭圆方程联立得22(34)690m y my +--=，根据韦达定理得12y y +、12y y 的表达式，代入面积公式2121211||||||22OAB S OF y y y y ∆=⋅-=-中，根据基本不等式和函数的单调性得()(1)10g t g ≥=，因此OAB S∆的最大值为32．试题解析：（1）设0(,4)Q x ，代入22(0)y px p =>，得08x p =，∴8||PQ p =，又5||||||24p QF PQ PQ =+=，85824p p p +=⨯，∴2p =． ∴抛物线C 的方程为24y x =．在椭圆E 中，11,2c c a ==，∴2222,3a b a c ==-=．椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）由题意可知，设直线AB 的方程为1x my =-，且11(,)A x y 、22(,)B x y ，由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my +--=，122634m y y m +=+，122934y y m =-+ 2121211||||||22OABS OF y y y y ∆=⋅-=-==令21m t +=，则1t ≥，OAB S ∆==，又∵1()9g t t t =+在[1,)+∞上单调递增，∴()(1)10g t g ≥=．∴OAB S∆的最大值为32．【考点】1、抛物线的性质；2、椭圆的性质；3、最值问题．【思路点睛】本题考查的是抛物线的定义、椭圆的性质、最值问题，属于中档题；先根据抛物线的定义求出p 的值，进而用待定系数法求得椭圆的标准方程；圆锥曲线问题一般都是设而不求的数学思想，把直线方程和椭圆方程联立得到关于x 的二次方程，用韦达定理写出两个根的关系，求出弦长公式，代入三角形面积公式中，由函数的单调性得到最值．21．已知函数()2xf x e ax =+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为0，求a 的值． （3）若对于任意0x ≥，()xf x e -≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）当(,ln(2))x a ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；（2）a 的值为2e-；（3）a 的取值范围为[1,)-+∞．【解析】试题分析：（1）分0a ≥和0a <两种情况对函数求导，通过导函数的正负，得到原函数的单调性；由（1）可知，当0a ≥时，函数()20xf x e ax =+>，不符合题意．当0a <时，()2x f x e a '=+，因为，当(,ln(2))x a ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．分ln(2)1a -≤和ln(2)1a ->两种情况分别讨论，得2e a =-；（3）构建新函数()2x xg x e e ax -=-+，()2x x g x e e a -'=++．经分析可知当1a ≥-时，对于任意0x ≥都有()0g x ≥成立；当1a <-时，存在0(0,ln(x a ∈-，使0()0g x <，不符合题意．所以，a 的取值范围为[1,)-+∞．试题解析：（1）当0a ≥时，函数()20xf x e a '=+>，()f x 在R 上单调递增； 当0a <时，()2xf x e a '=+，令20x e a +=，得ln(2)x a =-，所以，当(,ln(2))x a ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．（2）由（1）可知，当0a ≥时，函数()20xf x e ax =+>，不符合题意． 当0a <时，()2xf x e a '=+，因为，当(,ln(2))x a ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．①当ln(2)1a -≤，即02ea -≤<时，()f x 最小值为(1)2f a e =+．解20a e +=，得2ea =-，符合题意．②当ln(2)1a ->，即2ea <-时，()f x 最小值为(ln(2))22ln(2)f a a a a -=-+-． 解22ln(2)0a a a -+-=，得2e a =-，不符合题意．综上，2ea =-．（3）构建新函数()2x x g x e e ax -=-+，()2x xg x e e a -'=++． ①当22a ≥-，即1a ≥-时，因为2x x e e -+≥，所以()0g x '≥．（且1a =-时，仅当0x =时，()0g x '=．）所以()g x 在R 上单调递增．又(0)0g =，所以，当1a ≥-时，对于任意0x ≥都有()0g x ≥．…（10分）②当1a <-时，解20x x e e a -++<，即2()210x x e ae ++<，得x a e a -<<-其中01a <-<，1a ->．所以ln(ln(a x a -<<-+，且ln(0a -<，ln(0a ->．所以()g x 在(0,ln(a -上单调递减．又(0)0g =，所以存在0(0,ln(x a ∈-，使0()0g x <，不符合题意． 综上，a 的取值范围为[1,)-+∞．【考点】1、函数的单调性；2、最值问题；3、分类讨论的数学思想．【技巧点晴】本题考查的是函数的单调性、最值问题、恒成立问题等，属于难题；此类问题一般分两到三问，前面一问到两问相对简单，利用导函数大于等于0等价于原函数单调递增（导函数小于等于0等价于原函数单调递减）得到单调性；最后一问一般都需要构造新函数，研究新函数的性质，再利用分类讨论的数学思想，从而求出实数a 的取值范围．22．选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t为参数，0απ≤<），射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点,,A B C ．（1）求证：|||||OB OC OA +=；（2）当12πϕ=时，,B C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值．【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）m 的值为2，α的值为23π．【解析】试题分析：（1）依题意先表示出||OA ，||OB ，||OC ，根据三角函数公式得||||OB OC +=|OA ϕ=．（2）把,B C 两点的极坐标2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭化为直角坐标为(3,B C ，又因为经过点,B C的直线方程为2)y x =-，所以22,3m πα==．试题解析：（1）依题意||4cos OA ϕ=，||4cos()4OB πϕ=+，||4cos()4OC πϕ=-． 则||||4cos()4cos()44OB OC ππϕϕ+=++-sin )sin )|OA ϕϕϕϕϕ=-++==．（2）当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭化为直角坐标为(3,B C ，2C 是经过点(,0)m 且倾斜角为α的直线，又因为经过点,B C 的直线方程为2)y x =-，所以22,3m πα==．【考点】1、极坐标与直角坐标；2、参数方程． 23．选修4—5：不等式选讲已知函数,1()1,01x x f x x x≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩，()()|2|g x af x x =--，a R ∈．（1）当0a =时，若()|1|g x x b ≤-+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围； （2）当1a =时，求函数()y g x =的最小值．【答案】（1）实数b 的取值范围为[1,)-+∞；（2）函数()y g x =的最小值为0． 【解析】试题分析：（1）当0a =时，()|1||1||2|g x x b b x x ≤-+⇔-≤-+-等价于|1||2||(1)(2)|1x x x x -+-≥---=，所以实数b 的取值范围是[1,)-+∞．当1a =时，先写出函数()g x 的表达式，再分段讨论每个区间的最小值；依题意得当1x =时，函数()y g x =取得最小值0． 试题解析：（1）当0a =时，()|2|g x x =--(0)x >，()|1||1||2|g x x b b x x ≤-+⇔-≤-+-|1||2||(1)(2)|1x x x x -+-≥---=，当且仅当12x ≤≤时等号成立．所以实数b 的取值范围是[1,)-+∞．（2）当1a =时，12,01()22,122,2x x x g x x x x ⎧+-<<⎪⎪=-≤≤⎨⎪>⎪⎩，当01x <<时，1()220g x x x =+->=；当1x ≥时，()0g x ≥，当且仅当1x =等号成立； 故当1x =时，函数()y g x =取得最小值0．【考点】1、绝对值不等式的解法；2、分段函数；3、最值问题．。
湖南师大附中2016-2017学年高三(下)月考数学试卷(文科)(7)(解析版)
2016-2017学年湖南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）（7）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合∁R（M∩N）等于（）A．（﹣∞，]B．（，1）C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．[1，+∞）2．已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列说法中正确的是（）A．若分类变量X和Y的随机变量K2的观测值k越大，则“X与Y相关”的可信程度越小B．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值具有一定的随机性，x，y间的这种非确定关系叫做函数关系C．相关系数r2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小4．如图是某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，这些数据的中位数是（），去掉一个最低分和最高分所剩数据的平均数是（）A．86.5，86.7 B．88，86.7 C．88，86.8 D．86，5，86.8 5．在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．下面四个推理，不属于演绎推理的是（）A．因为函数y=sinx（x∈R）的值域为[﹣1，1]，2x﹣1∈R，所以y=sin（2x﹣1）（x∈R）的值域也为[﹣1，1]B．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，将此结论放到空间中也是如此D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论7．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin ∠CED=（）A．B．C．D．8．已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m（m 为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣69．若实数数列：﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（）A．或B．或C．D．10．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（）A．12πB．24πC．36πD．48π11．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C．D．312．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈（﹣2，2），函数y=h（x）的零点个数（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．14．已知△ABC的外接圆半径为8，且sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC的面积为．15．已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则3x+6y的最小值为．16．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．18．已知二次函数f（x）=ax2﹣4bx+2．（Ⅰ）任取a∈{1，2，3}，b∈{﹣1，1，2，3，4}，记“f（x）在区间[1，+∞）上是增函数”为事件A，求A发生的概率；（Ⅱ）任取（a，b）∈{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}，记“关于x的方程f（x）=0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．20．如图，设双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，已知C l的离心率为，且△ABF的面积S=1﹣．（Ⅰ）求双曲线C l的方程；（Ⅱ）设抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F，动直线l与C2相切于点P，与C2的准线相交于点Q试推断以线段PQ为直径的圆是否恒经过y轴上的某个定点M？若是，求出定点M的坐标；若不是，请说明理由．21．已知f（x）=e x，g（x）=﹣x2+2x+a，a∈R．（Ⅰ）讨论函数h（x）=f（x）g（x）的单调性；（Ⅱ）记φ（x）=，设A（x1，φ（x1）），B（x2，φ（x2））为函数φ（x）图象上的两点，且x1＜x2．（ⅰ）当x＞0时，若φ（x）在A，B处的切线相互垂直，求证x2﹣x1≥1；（ⅱ）若在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA||FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．2016-2017学年湖南师大附中高三（下）月考数学试卷（文科）（7）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合∁R（M∩N）等于（）A．（﹣∞，]B．（，1）C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合M，N，再根据集合的交集个补集计算即可【解答】解：∵集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，∴M=（﹣1，1），N=（﹣，2），∴M∩N=（﹣，1）∴∁R（M∩N）=（﹣∞，]∪[1，+∞）故选：C【点评】本题考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题2．已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由题意求得b，进一步求得复数z﹣b在复平面上对应的点的坐标得答案．【解答】解：由的实部为﹣1，得，得b=6．∴z=﹣1+5i，则z﹣b=﹣7+5i，在复平面上对应的点的坐标为（﹣7，5），在第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．下列说法中正确的是（）A．若分类变量X和Y的随机变量K2的观测值k越大，则“X与Y相关”的可信程度越小B．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值具有一定的随机性，x，y间的这种非确定关系叫做函数关系C．相关系数r2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小【考点】相关系数．【分析】分别根据变量相关的定义和性质分别进行判断即可得到结论．【解答】解：A．若分类变量X和Y的随机变量K2的观测值k越大，则“X与Y相关”的可信程度越大，∴A错误．B．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值具有一定的随机性，x，y间的这种非确定关系叫做相关关系，∴B错误．C．相关系数r2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越强，∴C错误．D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小，∴D正确．故选：D．【点评】本题主要考查变量相关系数的性质，比较基础．4．如图是某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，这些数据的中位数是（），去掉一个最低分和最高分所剩数据的平均数是（）A．86.5，86.7 B．88，86.7 C．88，86.8 D．86，5，86.8【考点】频率分布直方图．【分析】根据茎叶图中的数据，利用中位数和平均数的定义求出结果即可．【解答】解：由茎叶图知，这组数据共有7个，按从小到大的顺序排在中间的是88，所以中位数是88；去掉一个最高分94和一个最低分79后，所剩数据为84，85，88，88，89，它们的平均数为（84+85+88+89）=86.8．故选：C．【点评】本题考查了根据茎叶图中的数据，求中位数和平均数的应用问题，是基础题．5．在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】结构图．【分析】先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络进行分解；再将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个知识点并逐一写在矩形框内；最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连，从而形成知识结构图．“求简单函数的导数”是建立在熟练掌握“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”基础上的，故三者均为其上位．【解答】解：根据知识结构图得，“求简单函数的导数”是建立在熟练掌握“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”基础上的，故“基本求导公式”，“函数四则运算求导法则”和“复合函数求导法则”均为“求简单函数的导数”的“上位”要素，共有3个．故选：C．【点评】本题主要考查了结构图的组成与应用问题，是基础题目．6．下面四个推理，不属于演绎推理的是（）A．因为函数y=sinx（x∈R）的值域为[﹣1，1]，2x﹣1∈R，所以y=sin（2x﹣1）（x∈R）的值域也为[﹣1，1]B．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，将此结论放到空间中也是如此D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论【考点】演绎推理的基本方法．【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，因此不有助于发现新结论．【解答】解：C中的推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D中的推理都是演绎推理．故选C．【点评】本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．7．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin ∠CED=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦．【解答】解：法一：利用余弦定理在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cos∠CED=，∴sin∠CED==．故选B．法二：在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，由正弦定理得，即．故选B．【点评】本题综合考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题，题后要注意总结做题的规律．8．已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m（m 为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】根据已知可得f（0）=0，进而求出m值，得到x≥0时，f（x）的解析式，先求出f（ln5），进而可得答案．【解答】解：∵f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，故f（﹣x）=﹣f（x），故f（0）=0∵x≥0时，f（x）=e x+m，∴f（0）=1+m=0，m=﹣1，即x≥0时，f（x）=e x﹣1，则f（ln5）=4f（﹣ln5）=﹣f（ln5）=﹣4，故选：B．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，难度中档．9．若实数数列：﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（）A．或B．或C．D．【考点】双曲线的简单性质；等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列求出a2，然后代入曲线方程，求解双曲线的离心率即可．【解答】解：因为﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，所以a22=﹣1×（﹣81）=81，a2=﹣9（等比数列的奇数项同号），所以圆锥曲线的方程为x2﹣=1，其中a=1，b=3，c==，离心率为e==，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，等比数列的应用，考查计算能力．10．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（）A．12πB．24πC．36πD．48π【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正方体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体面对角线长也是2，∴得AG==a，所以正方体棱长a=2∴Rt△OGA中，OG=a=1，AO=，即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR2=12π．故选A．【点评】本题主要考查了将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于中档题．11．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C．D．3【考点】基本不等式．【分析】依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．【点评】本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．12．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈（﹣2，2），函数y=h（x）的零点个数（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数的导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组，求解a，b．令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]，当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．得，f（x）=x3﹣3x，令f（x）=t，h（x）=f（f（x））﹣c，则h（x）=f（t）﹣c．c∈（﹣2，2），先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，∴一2，﹣1，1，2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f （2）=2．此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根．同理，在（一2，一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x3，x4，x5，满足|x i|＜2，i=3，4，5．现考虑函数y=h（x）的零点：（i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点．（i i ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|t i|＜2，i=3，4，5．而f（x）=t i有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3．【考点】进行简单的合情推理．【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．14．已知△ABC的外接圆半径为8，且sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC的面积为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】sinA：sinB：sinC=2：3：4，利用正弦定理可得a：b：c=2：3：4，利用余弦定理可得cosA，sinA=．再利用正弦定理可得=2×8，解得a，即可得出三角形面积．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：4，∴a：b：c=2：3：4，cosA==，sinA==．∴=2×8，解得a=16×=2．∴b=3，c=4．∴S=bcsinA=3×4×=．故答案为：．【点评】本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则3x+6y的最小值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据几何图形求解出O点的坐标，先求出，的坐标，再由=x+y，运用向量的坐标相等求解出x，y的值，得出3x+6y=，运用基本不等式求解即可得出最小值．【解答】解：根据题意，建立坐标系如图，过O作AB的垂直平分线，垂足为E，则A（0，0），C（，0），B（﹣a，），E（，），O（，m），∵∠BAC=120°，∴，化简得，∴O（，），∴，，，∵=x+y，∴解得，，∴3x+6y=3（）=≥+6=6+，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，结合基本不等式求解，属于中档题，关键是准确求解向量的坐标．16．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（0，] ．【考点】分段函数的应用．【分析】曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt（**）令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于0＜a≤，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．故答案为：（0，]．【点评】本题考查分段函数的运用，注意向量垂直条件的运用和中点坐标公式，考查构造法和函数的单调性运用，属于中档题．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4），再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴a n=2n．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．∴数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4）=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．∴S n=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知二次函数f（x）=ax2﹣4bx+2．（Ⅰ）任取a∈{1，2，3}，b∈{﹣1，1，2，3，4}，记“f（x）在区间[1，+∞）上是增函数”为事件A，求A发生的概率；（Ⅱ）任取（a，b）∈{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}，记“关于x的方程f（x）=0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；几何概型．【分析】（Ⅰ）因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5=15个，函数f（x）的图象关于直线x=对称，若事件A发生，则a＞0且≤1，由此利用列举法能求出A发生的概率．（Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}对应的平面区域为Rt△AOB，由此利用几何概型能求出B 发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5=15个．因为函数f（x）的图象关于直线x=对称，若事件A发生，则a＞0且≤1．数对（a，b）的取值为（1，﹣1），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣1），（3，1）共5种．所以P（A）==．（Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}对应的平面区域为Rt△AOB，如图．其中点A（6，0），B（0，），则△AOB的面积为××6=．若事件B发生，则f（1）＜0，即a﹣4b+2＜0．所以事件B对应的平面区域为△BCD．由，得交点坐标为D（2，1）．又C（0，），则△BCD的面积为×（﹣）×2=1．所以P（B）==．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型的合理运用．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【考点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥平面PEF，RG∥PD，由此能证明GR⊥平面PEF．（Ⅱ）设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，由三棱锥的体积V=，能求出棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，∴PD⊥平面PEF，∵=，即，∴在△PDH中，RG∥PD，∴GR⊥平面PEF．解：（Ⅱ）正方形ABCD边长为4，由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，=2，S△DEF=S△DPE=4，∴S△PDF=6，设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，则三棱锥的体积：=，解得r=，∴三棱锥P﹣DEF的内切球的半径为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的内切的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．如图，设双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，已知C l的离心率为，且△ABF的面积S=1﹣．（Ⅰ）求双曲线C l的方程；（Ⅱ）设抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F，动直线l与C2相切于点P，与C2的准线相交于点Q试推断以线段PQ为直径的圆是否恒经过y轴上的某个定点M？若是，求出定点M的坐标；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知得，由此能求出双曲线方程．（Ⅱ）由题设，抛物线C2的方程为x2=8y，准线方程为y=﹣2，由y=，得，设P（），则直线l的方程y=，联立y=﹣2，得Q（），假设存在定点M（0，m）满足题设条件，由已知条件求出m=2，故以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M（0，2）．【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，C l的离心率为，且△ABF的面积S=1﹣，∴，解得a=，∴双曲线方程为﹣x2=1．（Ⅱ）由题设，抛物线C2的方程为x2=8y，准线方程为y=﹣2，由y=，得，设P（），则直线l的方程为y﹣=，即y=，联立y=﹣2，得Q（），假设存在定点M（0，m）满足题设条件，则对任意点P恒成立，∵，，则，即对任意实数x0恒成立，∴，解得m=2，故以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M（0，2）．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．已知f（x）=e x，g（x）=﹣x2+2x+a，a∈R．（Ⅰ）讨论函数h（x）=f（x）g（x）的单调性；（Ⅱ）记φ（x）=，设A（x1，φ（x1）），B（x2，φ（x2））为函数φ（x）图象上的两点，且x1＜x2．（ⅰ）当x＞0时，若φ（x）在A，B处的切线相互垂直，求证x2﹣x1≥1；（ⅱ）若在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；（Ⅱ）（i）法一：求出x2﹣x1的解析式，根据基本不等式的性质判断即可；法二：用x1表示x2，根据不等式的性质判断即可；（ii）求出A、B的坐标，分别求出曲线在A、B的切线方程，结合函数的单调性确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）h（x）=e x（﹣x2+2x+a），则h′（x）=﹣e x[x2﹣（a+2）]当a+2≤0即a≤﹣2时，h′（x）≤0，h（x）在R上单调递减；当a+2＞0即a＞﹣2时，h′（x）=﹣e x[x2﹣（a+2）]=﹣e x（x+）（x﹣），此时h（x）在（﹣∞，﹣）和（，+∞）上都是单调递减的，在（﹣，）上是单调递增的；（Ⅱ）（ⅰ）g′（x）=﹣2x+2，据题意有（﹣2x1+2）（﹣2x2+2）=﹣1，又0＜x1＜x2，则﹣2x1+2＞0且﹣2x2+2＜0，⇒（﹣2x1+2）（2x2﹣2）=1，法1：x2﹣x1= [（﹣2x1+2）+（2x2﹣2）]≥=1当且仅当（﹣2x1+2）=（2x2﹣2）=1即x1=，x2=时取等号法2：x2=1+，0＜1﹣x1＜1⇒x2﹣x1=1﹣x1+≥2=1当且仅当1﹣x1=⇒x1=时取等号（ⅱ）要在点A，B处的切线重合，首先需在点A，B处的切线的斜率相等，而x＜0时，φ′（x）=f′（x）=e x∈（0，1），则必有x1＜0＜x2＜1，即A（x1，ex1），B（x2，﹣ +2x2+a）A处的切线方程是：y﹣ex1=ex1（x﹣x1）⇒y=ex1x+ex1（1﹣x1），B处的切线方程是：y﹣（﹣+2x2+a）=（﹣2x2+2）（x﹣x2）即y=（﹣2x2+2）x++a，据题意则⇒4a+4=﹣ex1（ex1+4x1﹣8），x1∈（﹣∞，0）设p（x）=﹣e x（e x+4x﹣8），x＜0，p′（x）=﹣2e x（e x+2x﹣2）设q（x）=e x+2x﹣2，x＜0⇒q′（x）=e x+2＞0在（﹣∞，0）上恒成立，则q（x）在（﹣∞，0）上单调递增⇒q（x）＜q（0）=﹣1＜0，则p′（x）=﹣2e x（e x+2x﹣2）＞0，⇒p（x）在（﹣∞，0）上单调递增，则p（x）＜p（0）=7，再设r（x）=e x+4x﹣8，x＜0r′（x）=e x+4＞0，⇒r（x）在（﹣∞，0）上单调递增，⇒r（x）＜r（0）=﹣7＜0则p（x）=﹣e x（e x+4x﹣8）＞0在（﹣∞，0）恒成立即当x∈（﹣∞，0）时p（x）的值域是（0，7）故4a+4∈（0，7）⇒﹣1＜a＜，即为所求．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA||FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|FA||FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017河南一模）设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；。
湖南师范大学附属中学2017-2018学年高三月考(三)数学(文)试题 Word版含答案
湖南师范大学附属中学2017-2018学年高三月考（三）数学（文）试题一、选择题1．已知i 为虚数单位，若复数2i z i =-，则｜z ｜＝ A ．1BC D ．2 2．已知下面四个：①“若20x x -=，则x ＝0或x ＝l ”的逆否为“若x ≠0且x ≠1，则20x x -≠” ②“x ＜1”是“x 2一3x ＋2＞0”的充分不必要条件③P ：存在0x ∈R ，使得0x 2＋x 0十1＜0，则p ⌝：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0④若P 且q 为假，则p ，q 均为假 其中真个数为A ．1B 、2C 、3D ．43．在等比数列｛n a ｝中，12846,6,5n n a a a a a a +<=+=，则46a a 等于 A 、56 B 、65 C 、23 D 、324．某程序框图如图所示，若输出的S ＝57，则判断框内为 A 、k ＞4？ B 、k ＞5？ C 、k ＞6？ D ．k ＞7？ 5，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cA b<，则△ABC 为A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、锐角三角形D 、等边三角形6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积等于A ．8＋B ． 11＋C 、14＋D ．157．已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0PA PB PC ++=，且0AB AC mAP ++=，那么实数m 的值为A 、2B ．一3C 、4D 、58、一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 A 、964 B 、12 C 、164D 、189．若关于x 的不等式x 2十a x 一2＜0在区间［1，4］上有解，则实数a 的取值范围为 A ．（一∞，1） B 、（一∞，1〕 C 、（1，＋∞） D 、［1，＋∞）10．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A l ，A 2，B 1，B 2为椭圆顶点．F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PA 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是A 、（22，1）B 、（0，22）C 、（0，12）D 、（12，1）11、已知函数()ln(||1)f x x =+()(21)f x f x >-的x 的取值范围是A 、（13，1） B 、（－∞，13）(1,)+∞ C 、(1,)+∞ D 、（－∞，13） 12．定义在R 上的可导函数f （x ），当x ∈（1，＋∞）时，（x 一1）'f （x ）一 f （x ）＞0恒成立，1(2),(3),1)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 的 大小关系为 A ．c ＜a ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜c ＜b D ．c ＜b ＜二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．对于实数a 和b ，定义运算，则式子1221ln *()9e -的值为14．已知函数f （x ）＝ax ，的图象过点（4，2），令记数列{n a }的前n 项和为Sn ，则S 2015＝15．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率不超过 （填百分比）的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” 16·已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）已知函数f （x ）＝cos sin()6x x π+（1）求函数f （x ）的最小正周期；’（2，将函数，y ＝f （x ）的图象向下平移14个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y ＝g （x ）的图象，求使g （x ）＞12成立的x 的取值集合。
湖南师范大学附属中学2016届高三下学期高考模拟(三)数学(文)试题 含答案
数学（文科）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。
若复数()()1,z i bi b R =-∈对应的点在直线y x =上，则实数b 的值为( )A ．0B ．1C ．—1D ．32.若,,,a b c R a b ∈>，则下列不等式成立的是（ ） A ．1b a< B ．22ab > C ．2211a bc c >++ D ．a c b c >3。
0002sin 45cos15sin 30-的值等于（ ）A ．12B ．22C ．32D ．14。
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ )A ．83B ．8C ．453D ．455。
已知点(),P x y 的可行域是如图阴影部分（含边界），若目标函数()2,0z x ay a =->取得最小值的最优解有无数个，则a 的取值为(）A ．1B ．2C ．6D ．86.如图12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12,C C 在第一象限的公共点，若121F FF A =，则2C 的离心率是（)A ．13B ．23C ．15D ．257。
直线()11y k x =-+与椭圆2219x y m+=恒有交点，则m 的取值范围是（)A ．9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()9,99,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．()9,99,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8.如图,位于A 处的海面观测站获悉,在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在A 处南偏西30°且相距20海里的C 处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往B 处求助，则sin ACB ∠=（ ）A ．217B ．2114C ．32114D ．21289.设命题0:p xR ∃∈，使()20020x x a a R ++=∈，则使得p 为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a >-B ．2a <C ．1a ≤D ．0a <10。
2016届湖南师范大学附中高三上学期月考(三)数学(文)试题(解析版)
2016届湖南师范大学附中高三上学期月考（三）数学（文）试题及解析一、选择题1．已知i为虚数单位，若复数i z i⋅=，则||z=（）A．1 B．2【答案】C【解析】试题分析：根据复数的运算，可知1izi==--，所以||3z C．【考点】复数的运算．2．已知下面四个命题：①“若20x x-=，则0x=或1x=”的逆否命题为“0x≠且1x≠，则20x x-≠”②“1x<”是“2320x x-+>”的充分不必要条件③命题:p存在x R∈，使得20010x x++<，则:p⌝任意x R∈，都有210x x++≥④若p且q为假命题，则p，q均为假命题其中真命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】试题分析：由题可知，①正确，②为充分不必要的条件，②正确，特称命题的否定为全称命题，所以③显然正确；若p且q为假命题，则,p q至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．【考点】1、命题的真假；2、逻辑关系．3．在等比数列{}na中，1n na a+<，286a a⋅=，465a a+=，则46aa等于（）A．56B．65C．23D．32【答案】D【解析】试题分析：由已知：465a a+=，466a a⋅=，即4a，6a为方程2560x x-+=的两解．由于1n na a+<，所以43a=，62a=，∴4632aa=．故选D．【考点】1、等比数列的性质；2、方程的解．4．某程序框图如图所示，若输出的57S=，则判断框内为（）A ．4?k >B ．5?k >C ．6?k >D ．7?k > 【答案】A【解析】试题分析：2k =时，2124S =⨯+=，否，进入循环，当3k =时，24311S =⨯+=，否，进入循环，当4k =时，211426S =⨯+=，否，进入循环，当5k =时，226557S =⨯+=，是，输出57，根据选项判定，54>成立，所以选A ． 【考点】1、程序流程图；2、循环结构．5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若c o s cA b<，则ABC ∆为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 【答案】A【解析】试题分析：根据定理：sin cos sin c C Ab B =<，那么sin sin cos C B A <，根据A B C π++=，所以sin sin()C A B =+，所以sin()sin cos A B B A +<，整理为：sin cos 0A B <，三角形中sin 0A >，所以cos 0B <，那么2B ππ<<．【考点】．1、正弦定理；2、三角形形状的判定．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积等于（ ）A ．8+．11+．14+．15【答案】A【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体为一个直四棱柱，底面是直角梯形，两底边长分别为1，2，高为1，直四棱柱的高为2，所以底面周长为1124++=(428⨯=+A ．【考点】1、空间几何体的三视图；2、柱体体积的计算．7．已知平面上不重合的四点,,,P A B C 满足0P AP B P C ++=，且0A B A C m A P ++= ，那么实数m 的值为（ ）A ．2B ．3-C ．4D ．5 【答案】B【解析】试题分析：由题可知，根据向量的减法有，AB PB PA =- ，AC PC PA =-，于是有()()P B P A P C P A m P A -+-= ，故(2)0m P A P B P C --++=，又因为0P A P B P C ++= ，所以21m --=，即3m =-．故选B ．【考点】向量的线性运算．8．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ） A ．964 B ．12 C ．164D ．18【答案】D【解析】试题分析：根据几何概型，小蜜蜂安全飞行的轨迹为棱长为2的正方体内部，所以所求的概率：332814648P ===，故选D ．【考点】几何概型．9．关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞ 【答案】A【解析】试题分析：因为[1,4]x ∈，则不等式220x ax +-<可化为：222x a x x x -<=-，设2()f x xx =-，[1,4]x ∈，由题意得只需max [()]a f x <，因为函数()f x 为区间[1,4]上的减函数，所以max [()](1)1f x f ==，故选A ．【考点】1、不等式的解集；2、函数的单调性．10．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆顶点，2F 为右焦点，延长12B F 与22A B 交于点P ，若12B PA ∠为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭ B．⎛ ⎝⎭ C．⎛ ⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】试题分析：由题意，两个向量2122,F B B A的夹为角钝角；21(,)F B c b =--，22(,)B A a b =-，则20ac b -+<，即220a ac c --<，即210e e +->，解得e >，即1e <<．故选D ．【考点】1、向量的运算；2、椭圆的离心率．11．已知函数()ln(||1)1f x x =+()(21)f x f x >-的x 的范围是（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．()1,+∞ D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】试题分析：函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()()ln 1f x x =++增函数；所以使得()(21)f x f x >-的x 满足21x x x -<-<，即得113x <<，正确答案为A ．【考点】1、函数的性质；2、不等式的解法．【思路点晴】本题考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题目；先根据函数的解析式里面有绝对值和平方，得出该函数是偶函数，再根据函数在[)0,+∞上是增函数，得()(21)f x f x >-等价于()()21f x f x >-，解不等式即可求出x 的取值范围．12．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，(1)()()0x f x f x '-->恒成立，(2)a f =，1(3)2b f =，1)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a c b << D ．c b a << 【答案】A【解析】试题分析：构造函数()()1f x g x x =-，当(1,x ∈+∞时2()(1)()()0(1)f x x f x g x x '--'=>-，即函数()g x 单调递增，∴(2)(2)(2)21f a f g ===-，1(3)(3)(3)231f b f g ===-，1)c f g ===，∴(2)(3)g g g <<，即c a b <<，故选A ．【考点】1、导函数；2、不等式的解法．【易错点晴】本题考查的是导函数的应用、函数比大小的方法，属于难题；该类题目是考试中综合性较强的题，也是易错题；比较几个数的大小，常用的方法有：1、作差比大小；2、作商比大小；3、找中间量法；4、函数的单调性；利用导函数大于零，得到函数是单调递增的，利用函数的单调性可以比较出几个数的大小，做题时要仔细． 二、填空题13．对于实数a 和b ，定义运算(1),(1),a b a b a b b a a b+≥⎧*=⎨+<⎩，则式子1221ln ()9e -*的值为 ．【答案】9【解析】试题分析：因为(1),(1),a b a b a b b a b a +≥⎧*=⎨+>⎩，而1221ln 239e -⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，所以1221ln 3(21)99e -⎛⎫*=⨯+= ⎪⎝⎭．【考点】1、对数运算；2、新定义问题．14．已知函数()f x x α=的图象过点(4,2)，令1(1)()n a f n f n =++，n N *∈．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S = ．1【解析】试题分析：由函数()f x x α=的图象过点(4,2)得：142,2αα==，从而()f x =∴n a ==，从而20151S =+++ ．【考点】1、函数的性质；2、数列的性质．15．已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 ．【答案】【解析】试题分析：由题意可得存在0(,0)x ∈-∞满足0220001()ln()2x x e x x a +-=-+-+，即001ln()02x e x a ---+=有负根，∵当x 趋近于负无穷大时001ln()2x e x a ---+也趋近于负无穷大，且函数1()ln()2x h x e x a =---+为增函数（或令100000x a e =-<时，100001()100002a eh x e -=--<，令120x x <<时，可知21()()0h x h x ->，所以()h x 为增函数），∴1(0)ln 02h a =->，即1ln 2a <，∴0a <<，∴a的取值范围是．【考点】1、函数的性质；2、参数的取值范围．【思路点晴】本题考查的是函数的图象和性质、函数的零点、函数的单调性、函数的极限等综合知识，属于中档题；由题意知存在0(,0)x ∈-∞满足0220001()ln()2x x e x x a +-=-+-+，根据函数单调性的定义法得出函数1()ln()2x h x e x a =---+是增函数，所以最大值要大于0，得到0a <<以求出实数a 的取值范围．三、解答题16．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表： 感 染 未感染 总 计 服用 10 40 50 未服用 20 30 50 总计 30 70 100附表：2()P K k ≥0．10 0．05 0．025 k2．7063．8415．024参照附表，在犯错误的概率不超过（填百分比）的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” ． 【答案】5%【解析】试题分析：22100(10302040) 4.762 3.84130705050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”． 【考点】1、独立性检验；2、概率．【易错点晴】本题考查的是独立性检验问题，属于简单题；本题给出了2⨯2列联表，按照题目中给出的观测值，根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算出2K 的值，计算过程是本题最容易出错的地方，记得先约分，一定约到最简再进行运算，很多同学一上来就进行计算，每步都出现估算值，到最后导致误差过大． 17．已知函数()cos sin 6f x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象向下平移14个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求使1()2g x >成立的x 的取值集合．【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π；（2）使1()2g x >成立的x 的取值集合为{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈．【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式、和差公式，把函数()f x 的解析式化简成11sin 2264x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期为π；（2）根据三角函数的性质，使1()2g x >成立，即1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，解不等式5222,666k x k k Zπππππ+<+<+∈即得到x 的取值集合为{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈．试题解析：（1）因为211()cos cos 2cos cos 22f x x x x x x x ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭．1111112(1cos 2)2cos 2sin 2442224264x x x x x π⎛⎫⎛⎫=++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以()f x 的最小正周期T π=．（2）由题设，()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由1()2g x >，得1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则5222,666k x k k Z πππππ+<+<+∈．所以3k x k πππ<<+，k Z ∈．故x 的取值集合时{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈．【考点】1、函数的周期性；2、三角函数的单调性． 18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3(1)2n n S a =-． （1）求1a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且35148,20b b b b +=-+=．设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ．证明：对任意n N *∈，15()32n n T n ++-⋅是一个与n 无关的常数．【答案】（1）1a 的值为3，数列{}n a 的通项公式3nn a =；（2）证明过程详见试题解析．【解析】试题分析： （1）当已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求通项时要分1n =和2n ≥两种情况讨论，利用1n n n a S S -=-，得到数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，故111333n n nn a a q --=⋅=⋅=；由等差数列的性质，得2(1)(2)42n b n n =+-⨯-=-，所以(42)3nn c n =-⋅；则1232303(2)3(42)3n n T n =⋅+⋅+-⋅++-⋅ ，再由错位相减法可得1515()322n n T n ++-⋅=-，因此对任意n N *∈，15()32n nT n ++-⋅是一个与n 无关的常数．试题解析：（1）当1n =时，113(1)2S a =-，即11233a a =-，所以13a =． 因为3(1)2n n S a =-，则113(1)2n n S a --=-(2)n ≥． 两式相减，得13()2n n n a a a -=-，即13nn a a -=(2)n ≥． 所以数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，故111333n n nn a a q --=⋅=⋅=．（2）因为354+28b b b ==-，则44b =-．又1420b b +=，则12b =．设{}n b 的公差为d ，则413b b d -=，所以2d =-， 所以2(1)(2)42n b n n =+-⨯-=-．由题设，(42)3n n c n =-⋅，则1232303(2)3(42)3n n T n =⋅+⋅+-⋅++-⋅ ．23132303(62)3(42)3n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，两式相减，得23223(2)3(2)3(2)3(42)3n nn T n -=⋅+-⋅+-⋅++-⋅--⋅ ．23162(333)(42)3n n n +=-+++--⋅ ．所以1119(13)1553(2)3()31322n n n n T n n -++-=-++-⋅=-+-⋅-． 故1515()322n n T n ++-⋅=-为常数． 【考点】1、等差数列的性质；2、等比数列的通项公式；3、错位相减法．19．如图1，在R t A B C ∆中，60ABC ∠= ,90BAC ∠=，AD 是BC 上的高，沿AD 将ABC ∆折成60的二面角B AD C --，如图2．（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）设E 为BC 的中点，2BD =，求异面直线AE 与BD 所成的角的大小． 【答案】（I ）证明过程详见试题解析；（II ）异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60．【解析】试题分析：（I ）由题意得AD CD ⊥，AD BD ⊥；又CD B D D = ，则AD ⊥平面BCD ；因为AD ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ．（2）取CD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥BD ，所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角；连结AF 、DE ，由2BD =，则1EF =；由勾股定理和余弦定理求得AF =、5AE ==．在AEF∆中，由余弦定理得2221cos 22AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅，所以异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60 ．试题解析：（1）因为折起前AD 是BC 边上的高，则当ABD ∆折起后，AD CD ⊥，AD BD ⊥．又CD BD D = ，则AD ⊥平面BCD ．因为AD ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ．（2）取CD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥BD ，所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角．连结AF 、DE ．由2BD =，则1EF =，AD =6CD =，3DF =． 在Rt ADF ∆中，AF ==在BCD ∆中，由题设60BDC ∠=，则2222cos 28BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=，即BC =从而12BE BC ==222cos 2BD BC CD CBD BD BC +-∠==⋅ 在BDE ∆中，2222cos 13DE BD BE BD BE CBD =+-⋅∠=．在Rt ADE ∆中，5AE =．在AEF ∆中，2221cos 22AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅． 所以异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60．【考点】1、面面垂直的判定定理；2、异面直线所成的角．20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =．已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>的右焦点1F 与抛物线C 的焦点重合，且离心率为12． （1）求抛物线C 和椭圆E 的方程；（2）若过椭圆E 的右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求三角形OAB （O 为坐标原点）的面积OAB S ∆的最大值．【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =；椭圆E 的方程为22143x y +=； （2）三角形OAB 的面积OAB S ∆的最大值为32．【解析】试题分析：（1）设0(,4)Q x ，代入抛物线方程，得08x p =，根据焦点弦公式得2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =．在椭圆E 中，11,2c c a ==，∴22,3a b ==，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=；（2）由题意可知，设直线AB 的方程为1x my =-，11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线方程与椭圆方程联立得22(34)690m y my +--=，根据韦达定理得12y y +、12y y 的表达式，代入面积公式2121211||||||22OAB S OF y y y y ∆=⋅-=-中，根据基本不等式和函数的单调性得()(1)10g t g ≥=，因此OAB S ∆的最大值为32．试题解析：（1）设0(,4)Q x ，代入22(0)y px p =>，得08x p =，∴8||PQ p =，又5||||||24p QF PQ PQ =+=，85824p p p +=⨯，∴2p =． ∴抛物线C 的方程为24y x =．在椭圆E 中，11,2c c a ==，∴2222,3a b a c ==-=．椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）由题意可知，设直线AB 的方程为1x my =-，且11(,)A x y 、22(,)B x y ，由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my +--=，122634m y y m +=+，122934y y m =-+ 2121211||||||22OABS OF y y y y ∆=⋅-=-==令21m t +=，则1t ≥，OAB S ∆==，又∵1()9g t t t =+在[1,)+∞上单调递增，∴()(1)10g t g ≥=．∴OAB S ∆的最大值为32．【考点】1、抛物线的性质；2、椭圆的性质；3、最值问题．【思路点睛】本题考查的是抛物线的定义、椭圆的性质、最值问题，属于中档题；先根据抛物线的定义求出p 的值，进而用待定系数法求得椭圆的标准方程；圆锥曲线问题一般都是设而不求的数学思想，把直线方程和椭圆方程联立得到关于x 的二次方程，用韦达定理写出两个根的关系，求出弦长公式，代入三角形面积公式中，由函数的单调性得到最值．21．已知函数()2x f x e ax =+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为0，求a 的值． （3）若对于任意0x ≥，()x f x e -≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）当(,l n(2))x a ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(l n (2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；（2）a 的值为2e-；（3）a 的取值范围为[1,)-+∞．【解析】试题分析：（1）分0a ≥和0a <两种情况对函数求导，通过导函数的正负，得到原函数的单调性；由（1）可知，当0a ≥时，函数()20xf x e ax =+>，不符合题意．当0a <时，()2x f x e a '=+，因为，当(,ln(2))x a ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．分ln(2)1a -≤和ln(2)1a ->两种情况分别讨论，得2e a =-；（3）构建新函数()2x x g x e e ax -=-+，()2x xg x e e a -'=++．经分析可知当1a ≥-时，对于任意0x ≥都有()0g x ≥成立；当1a <-时，存在0(0,ln(x a ∈-+，使0()0g x <，不符合题意．所以，a 的取值范围为[1,)-+∞．试题解析：（1）当0a ≥时，函数()20xf x e a '=+>，()f x 在R 上单调递增； 当0a <时，()2xf x e a '=+，令20x e a +=，得l n (2)x a =-，所以，当(,l n (2)x a ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．（2）由（1）可知，当0a ≥时，函数()20xf x e ax =+>，不符合题意． 当0a <时，()2xf x e a '=+，因为，当(,ln(2))x a ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．①当ln(2)1a -≤，即02ea -≤<时，()f x 最小值为(1)2f a e =+．解20a e +=，得2ea =-，符合题意．②当ln(2)1a ->，即2ea <-时，()f x 最小值为(ln(2))22ln(2)f a a a a -=-+-． 解22ln(2)0a a a -+-=，得2e a =-，不符合题意．综上，2ea =-．（3）构建新函数()2x x g x e e ax -=-+，()2x xg x e e a -'=++． ①当22a ≥-，即1a ≥-时，因为2x x e e -+≥，所以()0g x '≥．（且1a =-时，仅当0x =时，()0g x '=．）所以()g x 在R 上单调递增．又(0)0g =，所以，当1a ≥-时，对于任意0x ≥都有()0g x ≥．…（10分）②当1a <-时，解20x xe e a -++<，即2()210x xeae ++<，得x a e a -<<-其中011a <-，1a ->．所以ln(ln(a x a -<<-+，且ln(0a --<，ln(0a -+>．所以()g x 在(0,ln(a -上单调递减．又(0)0g =，所以存在0(0,ln(x a ∈-+，使0()0g x <，不符合题意． 综上，a 的取值范围为[1,)-+∞．【考点】1、函数的单调性；2、最值问题；3、分类讨论的数学思想．【技巧点晴】本题考查的是函数的单调性、最值问题、恒成立问题等，属于难题；此类问题一般分两到三问，前面一问到两问相对简单，利用导函数大于等于0等价于原函数单调递增（导函数小于等于0等价于原函数单调递减）得到单调性；最后一问一般都需要构造新函数，研究新函数的性质，再利用分类讨论的数学思想，从而求出实数a 的取值范围．22．选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t为参数，0απ≤<），射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点,,A B C ．（1）求证：|||||OB OC OA +=； （2）当12πϕ=时，,B C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值．【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）m 的值为2，α的值为23π．【解析】试题分析：（1）依题意先表示出||OA ，||OB ，||OC ，根据三角函数公式得||||OB OC +=|OA ϕ=．（2）把,B C 两点的极坐标2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭化为直角坐标为(1(3,B C ，又因为经过点,B C的直线方程为2)y x =-，所以22,3m πα==．试题解析：（1）依题意||4cos OA ϕ=，||4cos()4OB πϕ=+，||4cos()4OC πϕ=-． 则||||4cos()4cos()44OB OC ππϕϕ+=++-sin )sin )|OA ϕϕϕϕϕ=-++=．（2）当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭化为直角坐标为(1(3,B C ，2C 是经过点(,0)m 且倾斜角为α的直线，又因为经过点,B C 的直线方程为2)y x =-，所以22,3m πα==．【考点】1、极坐标与直角坐标；2、参数方程． 23．选修4—5：不等式选讲已知函数,1()1,01x x f x x x≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩，()()|2|g x af x x =--，a R ∈．（1）当0a =时，若()|1|g x x b ≤-+对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围； （2）当1a =时，求函数()y g x =的最小值．【答案】（1）实数b 的取值范围为[1,)-+∞；（2）函数()y g x =的最小值为0． 【解析】试题分析：（1）当0a =时，()|1||1||2|g x x b b x x ≤-+⇔-≤-+-等价于|1||2||(1)(2)|1x x x x -+-≥---=，所以实数b 的取值范围是[1,)-+∞．当1a =时，先写出函数()g x 的表达式，再分段讨论每个区间的最小值；依题意得当1x =时，函数()y g x =取得最小值0． 试题解析：（1）当0a =时，()|g x x =--(0x >，()|1||1||2|g x x b b x x ≤-+⇔-≤-+-|1||2||(1)(2)|1x x x x -+-≥---=，当且仅当12x ≤≤时等号成立．所以实数b 的取值范围是[1,)-+∞．（2）当1a =时，12,01()22,122,2x x x g x x x x ⎧+-<<⎪⎪=-≤≤⎨⎪>⎪⎩，当01x <<时，1()220g x x x =+->=；当1x ≥时，()0g x ≥，当且仅当1x =等号成立； 故当1x =时，函数()y g x =取得最小值0．【考点】1、绝对值不等式的解法；2、分段函数；3、最值问题．。