高二数学圆锥曲线方程优化训练
高二必修数学同步训练题第二章圆锥曲线
高二必修数学同步训练题第二章圆锥曲线高中最重要的阶段，大家一定要掌握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了14年高二必修数学同步训练题，希望对大家有协助。
1.从球外一点引球的切线，那么()A.可以引有数条切线，一切切点组成球的一个大圆B.可以引有数条切线，一切切点组成球的一个小圆C.只可以引两条切线，两切点的连线过球心D.只可以引两条切线，两切点的连线不过球心【解析】依据球的切线性质知B正确.【答案】 B2.球的半径R=6，过球外一点P作球的切线长为8，那么P 点到球面上恣意一点Q的最短距离为()A.3B.4C.5D.6【解析】设点P到球心的距离为d，那么d=62+82=10.PQ的最短距离为10-6=4.【答案】 B3.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图2-1-4所示，那么截面图能够是()图2-1-4A.①③B.②③C.①④③D.①②③【解析】依据截面的位置不同，可失掉的截面外形能够是①②③，但不能够为④，应选D.【答案】 D4.三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=2r，那么球的体积与三棱锥体积之比是()A. B.2C.3D.4【解析】如下图，由题意知OA=OB=OS=r，易知△ACB为直角三角形，所以V球V锥=43r313122r2r=4.【答案】 D二、填空题5.假定三棱锥的三个正面两两垂直，且侧棱长均为3，那么其外接球的外表积是________.【解析】三棱锥的三个正面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，设其外接球的半径为R，那么有(2R)2=(3)2+(3)2+(3)2=9，外接球的外表积为S=4.【答案】 96.如图2-1-5所示，球O的面上四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，那么球O的体积等于________. 图2-1-5【解析】∵DA平面ABC，BC平面ABC，AC平面ABC，DABC，DAAC.又BCAB，ABDA=A，BC平面ABD，BCDB，那么DC的中点即为球心O.又DA=AB=BC=3，AC=6，DC=3，球O的体积V球=43(32)3=92.【答案】 92查字典数学网小编为大家整理了14年高二必修数学同步训练题，希望对大家有所协助。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质优化练习新人教A版选修2-1
2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.2 双曲线的简单几何性质优化练习新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.2 双曲线的简单几何性质优化练习新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2 双曲线的简单几何性质[课时作业］［A组基础巩固］1．设双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)的虚轴长为2，焦距为2错误!，则双曲线的渐近线方程为（)A．y＝± 错误!x B．y＝±2xC．y＝± 错误!x D．y＝± 错误!x解析：由题意得b＝1，c＝错误!。
∴a＝错误!，∴双曲线的渐近线方程为y＝± 错误!x，即y＝±错误!x.答案：C2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（)A．2 B．2 2 C．4 D．42解析:将双曲线2x2－y2＝8化成标准方程错误!－错误!＝1，则a2＝4,所以实轴长2a＝4。
答案：C3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于（)A．－错误! B．－4 C．4 D.错误!解析：∵方程mx2＋y2＝1表示双曲线,∴m<0.将方程化为标准方程为y2－错误!＝1.则a2＝1，b2＝－1 m .∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴可知b＝2a，∴b2＝4a2，∴－1m＝4,∴m＝－错误!.答案：A4．中心在原点，实轴在x轴上,一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是（) A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4解析：令y＝0,则x＝－4,即c＝4,又c2＝a2＋b2，a＝b，∴c2＝2a2，a2＝8。
2023-2024学年高二数学单元速记——圆锥曲线的方程(压轴题专练)(解析版)
第三章圆锥曲线的方程（压轴题专练）一、选择题A ．(1,4)-B ．(1,2)【答案】A【分析】先求得p ，然后联立方程组并写出根与系数关系，求得直线MQ 、直线QN ，进而确定正确答案.【详解】直线1:22p l y x ⎛=+⎫⎪⎝⎭，即240x y p -+=，依题意，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线240x y -+=,25p ==，所以抛物线方程为24y x =，直线():1l y k x =+，由()214y k x y x ⎧=+⎨=⎩消去x 并化简得2440ky y k -+=，216160,11k k ∆=->-<<，且0k ≠，设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y ，则124y y =.由131322311313444MQ y y y y k y y x x y y --===-+-，直线MQ 的方程为()13411y x y y +=-+，所以()1113411y x y y +=-+，即()()3111144y y y x =++-，则122111334y y y y y y +++=-，故31341y y y +=-+，所以323441y y y +=-+，所以()2323440y y y y +++=，直线QN 的方程为()22234y y x x y y -=-+，即()()223244y y y y x x -+=-，则()222222334y y y y y y x y =--+-，故()232340y y y y y x -++=，所以1,4==-x y ，也即直线QN 过定点()1,4-.故选：A.【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的方法有：根据焦点或准线来求、根据抛物线的定义来求、利用待定系数法来求、通过已知条件列等量关系式，化简后得到抛物线的标准方程.求解直线和抛物线的交点，可通过联立方程组来求解.【答案】A【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，结合离心率可得11211a c e a e c⎧=⎪⎨⎪=⎩，在12PF F △中，利用余弦定理可得112e =，进而结合椭圆性质可知：当Q为椭圆短轴顶点时，12FQF ∠取到最大值，分析求解即可.【详解】由题意可知：12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，又因为1122121ce a c e a e e ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩，可得11211a ce a e c⎧=⎪⎨⎪=⎩，由直线1PF 与y 轴的交点的坐标为230,2a⎛⎫⎪⎝⎭可得12cos PF F ∠=，在12PF F △中，由余弦定理可得()()()()()2221212112212112122cos 222a a c a a PF F F PF PF F PF F F a a c ++--+-∠==⋅+⋅()22212121111211a a c c c a a c e c e c c e e ++===+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，1121e e =+，整理得42118210e e +-=，解得2114e =或2112e =-（舍去），且10e >，所以112e =，由椭圆性质可知：当Q 为椭圆短轴顶点时，12FQF ∠取到最大值，此时12111sin22F QF c e a ∠===，且()120,πFQF ∠∈，则12π0,22F QF ⎛∠⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12π26F QF ∠=，即12π3F QF =∠.故选：A..【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于找到12cos PF F ∠的两种表达方式，构造了关于1e 的方程，从而得解.【答案】B【分析】根据已知条件依次求得,P Q 两点的坐标，由此可求得12k k ⋅的值.【详解】设椭圆标准方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线的标准方程为22221x y s t-=，则22222a b s tc -=+=，由c a =，2222445,5a c c a ==，所以2222221,55b ac a a b =-==，所以椭圆方程可化为2225x y a +=，由2222225x y a x y c⎧+=⎨+=⎩，两式相减得222214,2y a c b y b =-==±，2222115,442x c b b x=-==±，则1,2A b ⎫⎪⎪⎝⎭，根据对称性可知,A C 关于原点对称，,A B 关于x 轴对称.则11,,,,,022B b C b P ⎫⎛⎫⎫--⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线CP的方程为12b y x b x ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭.将1,22A b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入22221x y s t -=得222215144b bs t -=，由222222222151444b b s t s t a b b ⎧-=⎪⎨⎪+=-=⎩，解得223s b =或225s b =，而225a b =，s a <，所以223s b =，所以222243t b b b =-=，所以双曲线方程可化为222213x y bb-=，由2222132x y bb y x b ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-⎪⎪⎪⎭⎩消去y 并化简得22762550x b +-=，设()00,Q x y ，解得001,3838xy b ==-，所以1,3838Q b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以12121122383AC AQ b bk k k k k +====⋅=.故选：B【点睛】本题中，涉及圆和双曲线、圆和椭圆、直线和双曲线等图象的“交点”，求交点的坐标，主要是通过联立方程组来进行求解，要注意运算的准确性，另外也要注意运算的速度.在双曲线和椭圆中，,,a b c 的关系是不相同的.【答案】D【分析】先求出以2F为圆心的圆的方程，求出()A ，()3,0B c ，求出直线1F A 的方程后结合距离公式可求M 的坐标，代入双曲线方程后可求离心率.【详解】设双曲线的半焦距为c ，因为以2F 为圆心的圆过1F，故该圆的半径为2c ，故其方程为：()2224x c y c -+=，令0x =，则y =，结合A 在y 轴正半轴上，故()A ，令0y =，则x c =-或3x c =，故()3,0B c .故100()FA k c -=--，故直线1:F A y =.设()()0M m m +<，因为A 在y 轴的正半轴上，1F 在x 轴的负半轴上，故0m <，而2BM c ==，故())22212439c m c -+=，整理得到：221649m c =，故23m c =-，故3M y =，所以222241931c ca b -=，故()22241931e e e -=-，解得242e =或42，又因为1e >，则21e >，则242e =，12e +=.故选：D.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在圆锥曲线上等合理构建.【答案】D【分析】对于①，利用导数的几何意求出过点()00,P x y 的切线方程，再与渐近线方程联立可求出,A B 的横坐标，然后与0x 比较可得答案，对于②，由“等线”的定义结合重心的定义分析判断，对于③④，由多边形重心的定义可知四边形1AF BF ，其重心H 必在12AF F △与12BF F △重心连线上，也必在1AF B △与2AF B 重心连线上，12PF F △重心设为G ，则l 即为直线GH ，然后由重心的性质可证得GH ∥AB ，从而可得结论.【详解】解：①：设()00,P x y ，当00y >时，设0y >，则由22221x ya b-=，得y =，所以y '=k =所以切线方程为00)y y x x -=-，因为点()00,P x y 在双曲线上，所以2200221x y a b-=0a y b =，22222200b x a y a b -=，所以20000020()()bx b x y y x x x x a a y a y b-=-=-⋅，所以2222220000a y y a y b x x b x -=-，所以222222220000b x x a y y b x a y a b -=-=，所以00221x x y ya b-=，同理可求出当00y <时的切线方程为00221x x y ya b-=，当00y =时，双曲线的切线方程为x a =±，满足00221x x y ya b-=，所以过P 点切线方程为00221x x y ya b-=，渐近线方程为by x a=±联立两直线方程得00A ax x y a b=-，00B ax x y a b=+故有22002222A B x x x x x y a b +==-，故PA PB =②：设多边形顶点坐标为(),i i x y ，其中1,2,3i n= 设“等线”方程为0y kx b --=，则(),i i x y到等线的距离为：i d =又因为等线将顶点分为上下两部分，则有d =∑上部分d=∑∑下部分dd =∑∑上部分下部分从而1ni ==整理得1111n ni i i i y k x bn n ===⋅+∑∑即等线l 必过该多边形重心．③④：考察12PF F △重心，设()00,P x y ，则重心00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭．对于四边形1AF BF ，其重心H 必在12AF F △与12BF F △重心连线上，也必在1AF B △与2AF B 重心连线上，则l 即为直线GH ．设12AF F △与12BF F △重心分别为,E F ，则12OE OF EA FB ==，所以EF ∥AB ，因为G 为12PF F △的重心，所以OE OGEA GP=，所以EG ∥AB ，所以,,E F G 三点共线，因为H 在EF 上，所以GH ∥AB ，过00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，因为直线AB 为00221x x y ya b -=，所以直线AB 的斜率为2020x b k a y =⋅，所以直线GH 的方程为20002033y x x b y x a y ⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，整理得0022331x x y ya b-=，所以直线l 方程0022331x x y ya b-=，由①的求解过程可知该方程为2222331x y a b-=切线方程，所以③正确，④错误，故①②③正确．故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的性质和导数的几何意义的应用，考查新定义，解题的关键是对“等线”定义的正确理解和重心的找法，考查计算能力，属于难题.【答案】C【分析】直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断（1），（2），分别求出点,A B 处的切线方程，联立切线方程求点P 的坐标，即可判断（3），设200,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用两点间距离，结合二次函数求最值，即可判断（4），【详解】对于（1），设1122(,),(,)A x y B x y ，由243y xx my ⎧=⎨=+⎩，得24120y my --=，由216480m +>，所以12124,12y y m y y +==-，所以12121212(3)(3)OA OB x x y y my my y y ⋅=+=+++21212(1)3()9m y y m y y =++++212(1)3493m m m =-++⋅+=-，所以（1）正确，对于（2），因为(9,6)M -，直线AM 与BM 倾斜角互补，所以12121212666609966AM BM y y y y k k x x my my +++++=+=+=----，所以1212212122(66)()7206()36my y m y y m y y m y y +-+-=-++，所以22244(66)720122436m m m m m -+--=--+，所以22448720m m --=，且221224360m m --+≠，所以2230m m --=，且21m ≠解得3m =，所以（2）正确，对于（3），设点A 在x 轴上方，B 在x 轴下方，设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x轴上方的抛物线方程为y =x轴下方的抛物线方程为y =-，此时在点A处的切线的斜率为112k y ==，在点B处的切线的斜率为222k y ==，所以在点A 处的切线方程为211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，在点B 处的切线方程为222224y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，方程化简为211122yy x y =+，222122yy x y =+，两式相除化简得1212344y y x -===-3）正确，对于（4），设200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于(3,0)Q，所以MQ =当204y =时，MQ取得最小值4）错误，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线切线方程的求法，解题的关键是直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，然后逐个分析，考查计算能力，属于较难题.二、填空题【答案】24y x=【分析】设||4(0)NF t t =>，表示出|,|AB RF t ===，利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于,a p 的方程，即可求得p ，即得答案.【详解】由2:2(02)C y px p a =<<可知(,0)2pF ，设||4(0)NF t t =>，则|,|AB RF t ===，则||3NR t =，故222||()(||22p AB a NR -+=，即222())92pa t -+=①；又点((0)N a a >在抛物线2:2(02)C y px p a =<<上，故||42pNF a t =+=②，且122pa =，即6pa =③，②联立得22122030a ap p -+=，得23a p =或6a p =，由于02p a <<，故23a p =，结合6pa =③，解得2p =，故抛物线方程为24y x =，故答案为：24y x=【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找出参数,a p 间的等量关系，从而列出方程组，即可求解.为该椭圆上一点，且满足【答案】5/0.8【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得22143F P b P F =，再根据正弦定理可知外接圆半径R =，由等面积法可知内切圆半径)r a c =-，再根据面积比即可计算出离心率45e =.【详解】根据题意画出图象如下图所示：利用椭圆定义可知122PF PF a +=，且122F F c =；又1260F PF ∠=︒，利用余弦定理可知：()2222212121212121212122cos 22PF PF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-∠==221212424122a PF PF c PFPF --==，化简可得22143F P b P F =；所以12PF F △的面积为122124sin 6031122PF F b S PF PF =︒=⨯ ；设12PFF △的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ；由正弦定理可得12122s 2sin n 603i R c F F c F PF ==∠=︒，可得3R c =；易知12PF F △的周长为121222l PFPF F F a c=++=+，利用等面积法可知()122123PF F lr a c r S ===+ ，解得)r a c ==-；又12PF F △的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即22π64πRr=，所以8R r =，即可得28R c a r c ==-，所以108c a =；离心率45c e a ==.故答案为：45.【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式12S lr =可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.【答案】3【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得MB PB BN k k k =-=-，再由正切的和角的公式得到2213b a =，结合双曲线离心率公式即可得解.【详解】由题意可知：()(),0,,0A a B a -如图，设00(,)P x y ，可得直线的斜率分别为0000,PA PB y y k k x a x a==+-，因为点P 在双曲线上，则2200221x y a b -=，整理得200200y y b x a x a a ⋅=-+，所以22PA PBb k k a⋅=，设点11(,)M x y ，可得直线,MA MB 的斜率1111,MA MB y y k k x a x a==+-，因为点11(,)M x y 在椭圆上，则2211221x y a b +=，整理得211211y y b x a x a a⋅=--+，所以22MA MBb k k a ⋅=-，即22PA MB b k k a⋅=-，可得MB PB BN k k k =-=-，所以直线MB 与NB 关于x 轴对称，又因为椭圆也关于x 轴对称，且,M N 过焦点F ，则MN x ⊥轴，令(c,0)F ，则2b MF NF a==，因为222tan a c a ac AMF b b a ++∠==，222tan a c a acBMF b b a--∠==，则()tan tan tan tan 1tan tan AMF BMFAMB AMF BMF AMF BMF∠+∠∠=∠+∠=-∠⋅∠22222222222231a ac a aca b b a ac a ac b a b b +-+===-+---⋅，解得2213b a =，所以双曲线的离心率3e a ==.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；.【答案】2/0.5【分析】设直线l 的方程,代入椭圆方程,由韦达定理,弦长公式及中点坐标公式,求得中点坐标Q 坐标,求得AB 垂直平分线方程,当0y =时,即可求得P 点坐标,代入即可求得||PF ,即可求得||||PF AB ,即可求得a 和c 的关系,即可求得椭圆的离心率.【详解】因为倾斜角为π4的直线过点F ，设直线l 的方程为:y x c =-,()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点()00,Q x y ,联立22221y x c x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为()2222222220a b x a cx a c a b +-+-=，2222212122222 2,a c a c a b x x x x a b a b -∴+==++，2224ab AB a b ∴=+，212022. 2x x a cx a b+==+20022b cy x c a b∴=-=-+AB ∴的垂直平分线为:222222b c a c y x a b a b ⎛⎫+=-- ++⎝⎭,令0y =,解得322P c x a b =+,322,0c P a b ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭.2222||P b cPF c x a b ∴=-=+,||1||24c PF AB a ∴==,则12c a =,∴椭圆C 的离心率为12,故答案为:12.【点睛】关键点睛：运算能力是关键；本题考查简椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线的垂直平分线的求法,属于较难题.【答案】2⎣⎦【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形21PF QF 为矩形，故221PF Q PF F S S = ，求出212P P c F F⋅≥，再根据122PF PF a +=，利用勾股定理得到2122PF PF b ⋅=，得到222b c ≥，再根据C 上存在关于坐标原点对称的两点,P Q ，使得12PQ F F =，得到22b c ≤，得到2c a ≥，得到离心率.【详解】连接11,QF PF ，由题意得，12,OP OQ OF OF ==，又12PQ F F =，所以四边形21PF QF 为矩形，故221PF Q PF F S S = ，所以()22121112228PF c F c P =≥⋅，故212P P c F F ⋅≥，又122PF PF a +=，由勾股定理得2221212PF PF F F +=，即()22121224PF PF PF PF c +-⋅=，2122PF PF b ⋅=，故222b c ≥，即22222c a c -≥，故2223a c ≥，2223c a ≤解得c a ≤，又C 上存在关于坐标原点对称的两点,P Q ，使得12PQ F F =，故22b c ≤，所以b c ≤，即222a c c -≤，所以222a c ≤，2212c a ≥，解得2c a ≥，综上，C 的离心率的取值范围是23⎥⎣⎦.故答案为：23⎢⎣⎦(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).【答案】【分析】依题意可得椭圆方程表示为2222143x y c c+=，设直线l 为x my c =-()0m >，()11,A x y ，()22,B x y ，()10y <，根据面积公式及椭圆的定义得到()12334r r r +=，再由1322r r r +=，即可得到2175y y=-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到1y 、2y ，代入解得.【详解】因为椭圆的离心率为12c e a ===所以2a c =，224a c =，223b c =，则椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=，设直线l 为x my c =-()0m >，()11,A x y ，()22,B x y ，()10y <，由2222143x my c x y c c=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()22243690m y mcy c +--=，显然0∆>，所以122643mc y y m +=+，2122943c y y m-=+，则20y >，由()()2122121332211||(||||||)222ABF S F F y y c y y AB AF BF r r a =-==⋅=-++ ，由()12211111121211||(||||||)22AF F S F F y y AF AF c r a c F F r ⋅==-=+-=++⋅ ，由()12222212121211||(||||||)22BF F S F F y y BF BF F F r r c a c =⋅=+=⋅++= ，又21212ABF AF F BF F S S S =+ ，所以()()1232a c a c r r r a +++=，所以()12334r r r +=，又1322r r r +=，所以1275r r =，又11cy a r c -=+，22c a ycr =+，所以2175y y =-，所以121543mcy m -=+，222143mc y m =+，所以2222152********mc mc c m m m --⋅=+++，所以218m =，则m =或m =，所以直线l的斜率为1m=.故答案为：【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.三、解答题(1)求双曲线C 的标准方程．(2)如图所示，点P 是曲线C 上任意一动点曲线E 于点Q （第一象限），过点【答案】(1)224x y -=(2)2【分析】（1）由题意设C ：22x y m -=，将()代入解方程即可得出答案.（2）设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，设AQ QB λ=，表示出Q 点坐标，代入E ：221x y -=方程，即可求得,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，进一步求出,K J 的坐标，而KQA BQJ BKJ S S S += ，而12BKJ S KB JB =⋅ ，代入化简结合基本不等式即可得出答案.【详解】（1）由题意设C ：22x y m -=，将()代入得到4m =，∴曲线C ：224x y -=．（2）设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，(),Q x y ，则224m n -=（*）设AQ QB λ=，则()(),,AQ x m y QB x n y λλ=-==-- ，解得：,,1111m n m n x y Q λλλλλλ⎛⎫== ⎪++++⎝⎭，代入E ：221x y -=方程，得()()2221m n λλ-=+，结合（*）式可知()()21130n λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦由于0λ>，则()2130n λλ+++>，所以1λ=．所以Q 是A 、B 的中点，,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭．因为四边形OAPB 是矩形，(),0A m ，,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以Q 为四边形OAPB 的中心，所以AQ BQ =，在AQK 与BQK △中，AQ BQ =，分别以,AQ BQ 为底时，高相同，所以KQA KQB S S = ，则KQA BQJ KQB BQJ BKJ S S S S S +=+=△△△△△，因为过双曲线221x y -=上一点,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为122m n x y -=，所以直线KJ 的方程为：122m nx y -=即2mx ny -=，因为K B y y n ==，所以22,n K n m ⎛⎫+⎪⎝⎭，令0x =，所以20,J n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()222211221222BKJn n S KB JB n m n mn++=⋅=⋅+===，，令222t n =+>，BKJS =△，令240s t =->，2BKJS ==△．当且仅当16s s=，即4s =，28t =，22n =时，取得最小值．【点睛】关键点睛：建立BJK 的面积S 与n 的表达式至关重要，可利用KQA KQB S S = ，,K J 的坐标和三角形面积公式，以224m n -=为桥梁得出S 与n 的表达式，最后根据基本不等式可求得面积的取值范围.在双曲线【答案】(1)188x y -=(2)证明见解析【分析】（1）由已知条件，列方程组求22,a b ，可得双曲线标准方程；（2）设直线l 的方程与双曲线联立方程组，设,A B 两点坐标，表示出直线AP ，得点Q 坐标，表示出12,k k ，结合韦达定理，证明12k k -为定值.【详解】（1）由题意，双曲线2222:1x y C a b-=()3,1M -在双曲线C 上，可得22222911a b c e a c a b ⎧-=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得28a =，28b =，所以双曲线的方程为22188x y -=.（2）双曲线C 的左焦点为()4,0F -，当直线l 的斜率为0时，此时直线为0y =，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去；当直线l 的斜率不为0时，设:4l x my =-，联立方程组2248x my x y =-⎧⎨-=⎩，消x 得()221880m y my --+=，易得0∆>，由于过点F 作直线l 交C 的左支于,A B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以12281m y y m +=-，12281y y m =-，由直线()1:24AP y k x -=+，得()12,22Q k -+，所以2121222222222y k y k k x my ----==+-，又11111224PA y y k k x my --===+，所以()()()()12121121121212222222222y my my y k y y k k k my my my my ---------=-=--()2111112224222my y my mk y my my --+++=-，因为1112y k my -=，所以1112k my y =-，且1212y y my y +=，所以()()()1212121212122222m y y y y k k my my y y y ---===--+-，即12k k -为定值.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【答案】(1)214y +=(2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据题意可得2PF d=，即可求解；（2）利用韦达定理结合14OM ON k k ⋅=-，可得22241m k =+，再利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形的面积，进而可求解.【详解】（1）设P 点坐标为(),,PFx y d =化解可得：2214x y +=.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线和椭圆方程可得：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：()222148440k x kmx m +++-=，所以222222644(14)(44)16440k m k m k m ∆=-+-=-+>，即2241k m +>，则2121222844,1414km m x x x x k k --+=⋅=++，14OM ON k k ⋅=- ，()()121212121144kx m kx m y y x x x x +⋅+∴=-⇒=-()2212121214k x x km x x m x x +++⇒=-，把韦达定理代入可得：22222228(14)144444k m k m k m m -+++=---，整理得()22241*m k =+，满足224k m +>，又MN =，而O 点到直线MN 的距离d =，所以12OMNS d MN =△把()*代入，则1OMN S =△，可得OMN S △是定值1.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.16．如图，()(),00M a a >是抛物线24y x =对称轴上一点，过点M 作抛物线的弦AB ，交抛物线于A ，B .(1)若2a =，求弦AB 中点的轨迹方程；(2)过点M 作抛物线的另一条弦CD ，若AD 与y 轴交于点E ，连接ME ，BC ，求证：ME BC ∥.【答案】(1)224y x =-(2)见解析【分析】（1）由2a =,设其方程为(2)y k x =-,联立方程后,结合韦达定理及中点公式,可得弦AB 中点的轨迹方程;（2）用两点式求得AB 的方程为:()211222y t t t t x -+=，CD 的方程为:()433422y t t t t x -+=,由AB ,CD 都经过点M ,故1234t t t t a ==,进而求得ME BC k k =,根据直线平行的充要条件得到ME BC ∥.【详解】（1）设AB 方程为2x ky =+,联立22, 4x ky y x=+⎧⎨=⎩得2480y ky --=，则212124,44y y k x x k +=+=+,设AB 中点(x,y)P ,则22,22y k x k ==+,因此弦AB 中点P 的轨迹方程为224y x =-.（2）证明:设()()221122,2,,2A t t B t t ，()()223344,2,,2C t t D t t --，其中1234,,,t t t t 均为正数，用两点式求得AB 的方程为:()211222y t t t t x -+=,CD 的方程为:()433422y t t t t x -+=,因为AB ,CD 都经过点M ,故1234t t t t a ==,AD 的方程为:()411422y t t t t x -+=,AD 与y 轴交点为141420,t t E t t ⎛⎫⎪-⎝⎭，()14412ME t t k a t t =-，而()2314222323411422222BC t t t t k a a t t t t a t t t t +====----，,.ME BC k k ME BC ∴=∴ 【点睛】本题考查的知识点是直线与圆雉曲线的综合应用,抛物线的简单性质,联立方程,设而不求,韦达定理,是解答此类问题的关键.【答案】(1)142x y +=(3)存在，()0,2Q .【分析】（1）由离心率及过点)M列方程组求解,a b .（2）设直线l 为1y kx =+与椭圆方程联立，将1212AOB S x x =⋅- 表达为k 的函数，由基本不等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出()0,2Q ，设点B 关于y 轴的对称点B '，证得,,Q A B '三点共线得到QA PAQB PB=成立.【详解】（1）根据题意，得222222211c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的斜率显然存在，故设直线l 为1y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2212420k x kx ++-=，因为直线l 恒过椭圆内定点()0,1P ，故0∆>恒成立，12122242,1212k x x x x k k +=-=-++，故12111222AOBS x x =⋅===-，令1t t≥，所以22211AOB t S t t t=�祝++1t =，即0k =时取得等号，综上可知：AOB （3）当l 平行于x 轴时，设直线与椭圆相交于,C D 两点，如果存在点Q 满足条件，则有||||1||||QC PC QD PD ==，即QC QD =，所以Q 点在y 轴上，可设Q 的坐标为()00,y ；当l 垂直于x ,M N 两点，如果存在点Q 满足条件，则有||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =，所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则点Q 的坐标为()0,2；当l 不平行于x 轴且不垂直于x 轴时，设直线l 方程为1y kx =+，由（2）知12122242,1212k x x x x k k --+==++，又因为点B 关于y 轴的对称点B '的坐标为()22,x y -，又11111211QA y kx k k x x x --===-，22222211QB y kx k k x x x '--===-+--，则121220QA QB x x k k k x x '+-=-=，所以QA QB k k '=，则,,Q A B '三点共线，所以12QA QA x PAQBQB x PB==='；综上：存在与点P 不同的定点Q ，使QA PAQB PB=恒成立，且()0,2Q ..【点睛】方法点睛：直线0Ax By C ++=与椭圆22221x y a b+=交于,M N ，当且仅当2222220a A b B C +-=时，MON S 取得最大值2ab .【答案】(1)证明见解析(2)存在，3124m =【分析】（1）将点(2,-代入抛物线方程求出p ，直线与抛物线联立方程组，由0OA OB ⋅=，利用向量数量积和韦达定理，求出12m k =-，可得直线所过定点.（2）设两条直线1l 与2l 的方程，分别与抛物线方程联立，求出弦长，由d =和||||10MN AB -=，求m 的值.【详解】（1）证明：将点(2,-代入22y px =，得244p =，即6p =．联立212,,y x y kx m ⎧=⎨=+⎩得212120ky y m -+=，由0km ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212m y y k =，()222212121221212144y y y y m x x k=⋅==．因为0OA OB ⋅= ，所以212122120m mx x y y k k+=+=恒成立，则12m k =-，所以1l 的方程为(12)y k x =-，故直线1l 过定点(12,0)．（2）联立212,2,y x y x m ⎧=⎨=+⎩得224(412)0x m x m +-+=，则122123,,4x x m m x x +=-+⎧⎪⎨=⎪⎩且22(412)1648(32)0m m m ∆=--=->，即32m <，12||AB x =-==，设2:2l y x n =+，同理可得||MN =因为直线2l 在1l 的右侧，所以n m<，则d ==，即5n m =-．所以||||10MN AB -===3124m =，因为313242<，所以满足条件的m 存在，3124m =.【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【答案】(1)22184x y +=(2)证明见解析，定点坐标为()0,1【分析】（1）根据左焦点可知c 的值，根据点)在椭圆上，可以得到另一组关系式，从而求出a ，b .（2）先设直线ST 的斜截式方程，再联立直线和椭圆方程，结合韦达定理将P 点纵坐标为4的信息转化为直线方程系数的值或关系，从而找出直线所过定点.【详解】（1）因为椭圆E 的左焦点()12,0F -，可得2c =，由定义知点)到椭圆的两焦点的距离之和为2a ，2a =((=++=，故a =则2224b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为22184x y +=.（2）由椭圆的方程22184x y +=，可得()()0,2,0,2M N -，且直线ST 斜率存在，设()()1122,,,S x y T x y ，设直线ST 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程22184x y +=联立得：()222214280kx kmx m +++-=，则2121222428,2121km m x x x x k k --+==++直线SM 的方程为1122y y x x -=+ ，直线TN 的方程为2222y y x x +=- ，由直线SM 和直线TN 交点的纵坐标为4得，12122622x x y y =-+即1212322x x y y =-+又因点()11,S x y 在椭圆22184x y +=上，故2211184x y +=，得()1111222y x y x -+=-，同理，点()22,T x y 在椭圆22184x y +=上，得()12212232y x y x -+=+，即()()121232220x x y y +++=即()()121232220x x kx m kx m +++++=即()()()()2212122322220k x x k m x x m ++++++=即()()()()()()22222232824428821021k m km m km m m k k +-++-++++=+化简可得288160m m +-=，即220m m +-=，解得2m =-或1m =，当2m =-时，直线ST 的方程为2y kx =-，直线ST 过点N ，与题意不符.故1m =，直线ST 的方程为1y kx =+，直线ST 恒过点()0,1【点睛】本题主要考查直线与椭圆关系中的直线恒过定点问题，遵循“求谁设谁”的思路，将目标直线设为y kx m =+的形式，将条件转化为m 的值或k 与m 的关系式，从而得出定点，侧重数学运算能力，属于偏难题.【答案】(1)抛物线的方程为24y x =，准线方程为=1x -(2)证明见解析，定点坐标为()2,0或()6,0-【分析】（1）根据已知得出直线l的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得出p ；（2）设:1l x my =+，联立方程根据韦达定理得出12,y y 的关系.进而表示出,OA OB 的方程，求出M ，N 的坐标，得出圆的方程.取0m =，即可得出定点坐标.【详解】（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x ⎫=-⎪⎝⎭.联立抛物线与直线的方程2322p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎨⎝⎭⎪=⎩可得，22704p x mx -+=.设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理可得127x x p +=，则12816AB x x p p =++==，所以2p =.所以，抛物线的方程为24y x =，准线方程为=1x -.（2）设直线:1l x my =+，联立直线与抛物线的方程214x my y x=+⎧⎨=⎩可得，2440y my --=.所以，124y y m +=，124y y =-.又1114OA y k x y ==，14:OA l y x y =，所以182,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.同理可得282,N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设圆上任意一点为(),Q x y ，则由0QM QN ⋅= 可得，圆的方程为()2128820x y y y y ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得，()()222221128864228160x y y x y my y y y y ⎛⎫+++++=++--= ⎪⎝⎭.令0m =，可得2x =或6x =-，所以，以MN 为直径的圆过定点，定点坐标为()2,0或()6,0-.【点睛】思路点睛：直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令变参数为0，得出方程，求解即可得出求出定点的坐标.。
高二数学圆锥曲线习题及答案.docx
（数学选修 1-1 ）第二章圆锥曲线 [ 提高训练 C 组] 及答案一、选择题1．若抛物线y 2x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（）1 2 1 2 ) 121 2A ．( , 4 )B ．( ,4 C ． (,) D ．(,4)484 4 82．椭圆x 2y 21上一点 P 与椭圆的两个焦点F 1 、 F 2 的连线互相垂直，49 24则△ PF 1F 2 的面积为（）A ． 20B ． 22C ． 28D ． 243．若点 A 的坐标为 (3, 2) ， F 是抛物线 y 2 2x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使MFMA 取得最小值的 M 的坐标为（）A ．0,0B ．1 ． 1, 2D ．2,2,1C24．与椭圆x 2 y 2 1共焦点且过点 Q (2,1) 的双曲线方程是（ ）4A ． x 2 y 21 B ．x 2y21 C ． x 2y 21D ． x 2y 21243325．若直线 ykx 2 与双曲线 x 2 y 26 的右支交于不同的两点，那么 k 的取值范围是（ ）A ．（ 1515 B ．（ 0,15 C ．（15D ．（15 ）3,3 ））,0 ） , 13336．抛物线 y2x 2 上两点 A( x 1 , y 1 ) 、 B( x 2 , y 2 ) 关于直线yx m 对称，且x 1 x 21，则 m 等于（ ）235A ．B ． 2D ． 32C ．2二、填空题x2y21的焦点 F1、 F2，点P为其上的动点，当∠F1P F2为钝角时,点P横坐标的取值1．椭圆49范围是。
2．双曲线tx2y2 1 的一条渐近线与直线2x y 1 0 垂直，则这双曲线的离心率为___。
3．若直线y kx2与抛物线 y28x 交于A、B两点，若线段AB 的中点的横坐标是 2 ，则AB ______。
4．若直线y kx1与双曲线 x2y24始终有公共点，则 k 取值范围是。
高二数学高效课堂资料《圆锥曲线与方程》自主训练
高二数学高效课堂资料《圆锥曲线与方程》自主训练一、 选择题:1、已知椭圆２２ｙｘ＋＝１２５９上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个焦点的距离等于（ ）A 、1B 、3C 、6D 、82、双曲线２２ｙｘ－＝１４９的渐近线方程是（ ） A 、4x ±9y=0 B 、9x ±4y=0 C 、2x ±3y=0 D 、3x ±2y=03、抛物线２ｙ＝４ａｘ（a ¹0）的焦点坐标是（ ）A 、（a,0）B 、(-a,0)C 、(0,a)D 、(0,-a)二、填空题：4、如果椭圆的一个焦点坐标为（2，0），过此焦点且垂直于x 轴的弦的长等于１０３，那么这个椭圆的标准方程是 ；5、已知双曲线２２２２ｙｘ－＝１ａｂ（a>0,b>0）的左右焦点分别为,１２ＦＦ,过１Ｆ的直线与左支相交于A 、B 两点，如果|||||+=２２｜ＡＦＢＦ２ＡＢ,那么|AB|= 6、在抛物线２ｘ＝２ｙ上与点M （0,2）距离最近的点的坐标是 ；7、过原点的直线L 与双曲线２２ｙｘ－＝１４３相交于两点，则L 的斜率的取值范围是 8、设抛物线２ｙ＝４ｘ与过其焦点的斜率为1的直线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则·uuu r uuu r ＯＯA B = ;9、椭圆22194x y +=的焦距等于 ；10、抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且它过点则抛物线的方程是11、双曲线22124y x -=的焦点坐标是 ；12、与双曲线228x y -=有共同焦点且经过点P （4,6）的椭圆的方程为 ；13、已知双曲线与椭圆221925x y +=的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则此双曲线的方程为 。
14、已知双曲线的渐近线方程为340x y ?，它的焦点是椭圆221105x y +=的长轴端点，则此双曲线的方程为 .15、已知方程22149x y k k +=--，则（1）若表示椭圆，则k 的范围是 ，焦点坐标是 ；（2）若表示双曲线，则k 的范围是 ，焦点坐标是 .16、过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心任作一直线交椭圆于P,Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则PFQ V 的周长的最小值等于 ；三、解答题：17、已知椭圆2214520x y +=上一点P 与两个焦点的连线互相垂直，求点P 的坐标.18、已知抛物线24x y =的弦AB 经过它的焦点F ，弦AB 的长为20，求直线AB 的方程。
高考总复习优化设计二轮用书数学考点突破练12 圆锥曲线的方程与性质
5
5
因为=2 ,所以 = 3 =(-3 , 3 ,-3),所以=(3,- 3 , 3).
设平面 PAD 的法向量为 n=(x,y,z),
- = 0,
· = 0,
则
得
+ 2 - 2 = 0,
· = 0,
2
令 y=1,则 x=0,z=1,所以 n=(0,1,1)为平面 PAD 的一个法向量,
即 AD 为∠CAB 的角平分线.
∵AC=AB,∴AD 为等腰三角形 CAB 的高所在的直线,即 AD⊥BC.
∵PA⊥AB,PA⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC⊂平面 ABDC,∴PA⊥平面 ABDC.
又 BC⊂平面 ABDC,∴PA⊥BC.
∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面 PAD,
∵PD⊂平面 PAD.∴BC⊥PD.
2
2
3
2π
π
=2[sin α+sin( -α)]=2 3sin(α+ ).
3
6
2π
π
π 5π
∵α∈(0, ),α+ ∈( , ),
3
6
6 6
π
π
当 α=3时,sin(α+6)=1,S 四边形 ABDC 取最大值 2 3,
π
即当四棱锥 P-ABDC 体积最大时,∠CAD=∠BAD=3.
过点 A 在平面 ABDC 内作直线 AE⊥AB,交 于点 E,
1 2 3 4 5 6
(2)由(1)得,PA 为四棱锥 P-ABDC 的高.
∵PA=4,∴当四边形 ABDC 的面积取最大值时,四棱锥 P-ABDC 体积最大.
2π
2π
设∠CAD=α,则∠BAD= -α,α∈(0, ),
学年高中数学第二章圆锥曲线与方程.抛物线..抛物线及其标准方程优化练习新人教A版选修_2
抛物线及其标准方程[课时作业] [A 组 根底稳固]1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以所求抛物线标准方程为 y 2＝8x 或x 2＝y ，应选C.答案：C2．抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，那么x 0＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，应选A. 答案：A3．假设动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，那么M 点的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x解析：根据抛物线定义可知，M 点的轨迹是以F 为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，p ＝8，∴其轨迹方程为y 2＝16x ，应选D. 答案：D4．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.假设抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，那么抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：抛物线的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，焦点到渐近线的距离为|a ×p2|a 2＋b2＝2，即ap ＝4a 2＋b 2＝4c ，所以c a ＝p 4，双曲线的离心率为c a ＝2，所以c a ＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .应选D. 答案：D5．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，那么△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1,0)，作准线l ，那么l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.答案：A6．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，那么p 的值为________． 解析：依题意得，直线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x ＝－p2的距离等于半径4，于是有3＋p2＝4，即p ＝2. 答案：27．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，定点A (0,2)．假设线段FA 的中点B 在抛物线上，那么B 到该抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0， 线段FA 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，1，。
高考数学快速提升成绩题型训练——圆锥曲线
高考数学快速提升成绩题型训练——圆锥曲线1. 已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m , 0)，经过点A(m , 0)，以λa +b 为方向向量的直线与经过点B(- m , 0)，以λb - 4a 为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ． (1) 求点P 的轨迹E ；(2) 若52=m ，F(4, 0)，问是否存在实数k 使得以Q(k , 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E 交于M 、N 两点，并且|MF| + |NF| =53．若存在求出k 的值；若不存在，试说明理由．2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为3，它的两焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与直线F 1F 2的夹角为α，且221tan =α，l 与线段F 1F 2的垂直平分线的交点为P ，线段PF 2与双曲线的交点为Q ，且1:2:2=QF PQ ，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.3. 在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点，OM ON OM 552,5||==. 过点M 作MM 1⊥y 轴于M 1，过N 作NN 1⊥x 轴于点N 1，N N M M OT 11+=. 记点T 的轨迹为曲线C ，点A （5，0）、B （1，0），过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点P 、Q （点Q 在A 与P 之间）. （1）求曲线C 的方程；（2）证明不存在直线l ，使得|BP|=|BQ|；（3）过点P 作y 轴的平行线与曲线C 的另一交点为S ，若AQ t AP =，证明.BQ t SB =4. 已知离心率为25的双曲线C 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1、F 2在x 轴上，双曲线C 的右支上一点A 使021=⋅AF AF 且21AF F ∆的面积为1。
（1） 求双曲线C 的标准方程；（2） 若直线m kx y l +=:与双曲线C 相交于E 、F 两点（E 、F 不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C 的右顶点D 。
高二数学圆锥曲线方程优化训练
第八章 圆锥曲线方程(一)椭圆与双曲线●知识网络●范题精讲【例1】 已知椭圆的两焦点为F 1(0；－1)、F 2(0；1)；直线y =4是椭圆的一条准线. (1)求椭圆方程；(2)设点P 在椭圆上；且|PF 1|－|PF 2|=1；求tan ∠F 1PF 2的值. 解析:本题考查椭圆的基本性质及解题的综合能力.(1)设椭圆方程为22b x +22a y =1(a >b >0).由题设知c =1；ca 2=4；∴a 2=4；b 2=a 2－c 2=3.∴所求椭圆方程为32x +42y =1.(2)由(1)知a 2=4；a =2.由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=4；又|PF 1|－|PF 2|=1；∴|PF 1|=25；|PF 2|=23. 又|F 1F 2|=2c =2；由余弦定理cos ∠F 1PF 2=||||2||||||212212221PF PF F F PF PF -+=23252449425⨯⨯-+=53. ∴tan ∠F 1PF 2=1cos 1212-∠PF F =1925-=34. 【例2】 已知双曲线x 2－22y =1；过点A (2；1)的直线l 与已知双曲线交于P 1、P 2两点.(1)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程； (2)过点B (1；1)能否作直线l ′；使l ′与已知双曲线交于两点Q 1、Q 2；且B 是线段Q 1Q 2的中点?请说明理由.(1)解法一:设点P 1、P 2的坐标分别为(x 1；y 1)、(x 2；y 2)；中点P 的坐标为(x ；y )；则有x 12－221y =1；x 22－222y=1；两式相减；得2(x 1+x 2)(x 1－x 2)=(y 1+y 2)(y 1－y 2). 当x 1≠x 2；y ≠0时； 由x 1+x 2=2x ；y 1+y 2=2y ； 得y x 2=2121x x y y --. ①又由P 1、P 2、P 、A 四点共线； 得21--x y =2121x x y y --. ②由①②得y x 2=21--x y ； 即2x 2－y 2－4x +y =0.当x 1=x 2时；x =2；y =0满足此方程；故中点P 的轨迹方程是2x 2－y 2－4x +y =0. 解法二:设点P 1、P 2、中点P 的坐标分别为(x 1；y 1)、(x 2；y 2)、(x ；y )；直线l 的方程为y =k (x －2)+1；将l 方程代入双曲线x 2－22y=1中；得(2－k 2)x 2+2k (2k －1)x +2k 2－3=0；则x 1+x 2=2)12(22--k k k ；x 1x 2=22322--k k ； y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2－4k =2)12(42--k k .于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=--=+=.2)12(22,2)12(2221221k k y y y k k k x x x当y ≠0时；由①②得k =yx2.将其代入①；整理得2x 2－y 2－4x +yl 倾斜角为90°时；P点坐标为(2；0)仍满足此方程；故中点P 的轨迹方程为2x 2－y 2－4x +y =0.(2)解:假设满足题设条件的直线l ′存在；Q 1、Q 2的坐标分别为(x 3；y 3)、(x 4；y 4)；同(1)得2(x 3+x 4)(x 3－x 4)=(y 3+y 4)(y 3－y 4).∵x 3+x 4=2；y 3+y 4=2；∴4343x x y y --=2(x 3≠x 4)；即l ′的斜率为2.∴l ′的直线方程为y －1=2(x －1)； 即y =2x －1.∵方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=12,1222y x x y 无解；与假设矛盾；∴满足条件的直线l ′不存在.【例3】 如下图；已知△OFQ 的面积为S ；且OF ·FQ =1；① ②(1)若S 的范围为21<S <2；求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围； (2)设|OF |=c (c ≥2)；S =43c ；若以O 为中心；F 为焦点的椭圆经过点Q ；当|OQ |取得最小值时；求此椭圆的方程.分析:本题考查向量的基本知识、三角知识及最值问题在解析几何中的综合运用.解:(1)∵OF ·FQ =1；∴|OF |·|FQ |·cos θ=1.又21|OF |·|FQ |·sin(180°－θ)=S ； ∴tan θ=2S ；S =2tan θ.又21<S <2；∴21<2tan θ<2；即1<tan θ<4； ∴4π<θ<arctan4.(2)以OF 所在的直线为x 轴；以OF 的过O点的垂线为y 轴建立直角坐标系(如下图).∴O (0；0)；F (c ；0)；Q (x 0；y 0).设椭圆方程为22a x +22by =1.又OF ·FQ =1；S =43c ；∴(c ；0)·(x 0－c ；y 0)=1.①21·c ·|y 0|=43c . ②由①得c (x 0－c )=1⇒x 0=c +c1. 由②得|y 0|=23.∴|OQ |=2020y x +=49)1(2++c c .∵c ≥2；∴当c =2时；|OQ |min =49)212(2++=234；此时Q (25；±23)；F (2；0). 代入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.4,1494252222b a b a∴a 2=10；b 2=6.∴椭圆方程为161022=+y x . 评析:新知识(向量)在几何中的应用是值得关注的趋势. ●试题详解高中同步测控优化训练(十一)第八章 圆锥曲线方程(一)(A 卷)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分；请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内；第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分；考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题；每小题3分；共30分) x 2+3y 2=6的焦距是B.2(3－2)5D.2(3+2)解析:将2x 2+3y 2=6化为标准方程为32x +22y =1；∴a 2=3；b 2=2；c 2=3－2=1； 焦距2c =2×1=2. 答案:Ax 2+Ry 2=1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆；则R 的取值范围是 A.R >0 B.0<R <2 C.0<R <4 D.2<R <4解析:将方程变为412x +Ry 12=1；由已知可得41<R 1；∴0<R <4.答案:CM 在椭圆上；椭圆方程为252x +162y =1；M 点到左准线的距离为2.5；则它到右焦点的距离为解析:∵a =5；b =4；∴c =3.两准线间的距离为2·c a 2=2×352=350.M 到左准线的距离为2.5；则M 到右准线的距离为350－2.5=685. 设椭圆右焦点为F ；则685||MF =a c =53；∴|MF |=8.5. 答案:D22a x －22b y =1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列；则双曲线的离心率是C.34D.35 解析:由2b =a +c 得4b 2=a 2+2ac +c 2； 即3c 2－2ac －5a 2=0；∴3e 2－2e －5=0.∴e =35. 答案:D92x －162y =1的两焦点为F 1、F 2；点P 在双曲线上；且直线PF 1、PF 2倾斜角之差为3π；则△PF 1F 2的面积为33解析:由题意可知|PF 1|－|PF 2|=6；∠F 1PF 2=3π；|F 1F 2|=10.由余弦定理；得|F 1F 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+|PF 1|·|PF 2|； ∴|PF 1|·|PF 2|=64. ∴S =21×64sin 3π=163；选A. 答案:A252x +92y =1的焦点为焦点；离心率e =2的双曲线方程是 A.62x －122y =1 B.62x －142y =1 C.42x －142y =1 D.42x －122y =1 解析:a 2=25；b 2=9；则c 2=16；c =4；椭圆焦点坐标为(4；0)、(－4；0). 双曲线的焦点仍为(4；0)、(－4；0)；由于e =2；c =4； ∴a =2；b 2=c 2－a 2=12.∴双曲线方程为42x －122y =1.答案:D22a x －22b y =1和椭圆22m x +22b y =1(a >0；m >b >0)的离心率互为倒数；那么以a 、b 、m 为边的三角形是解析:双曲线22a x －22b y =1的离心率e 1=ac =a b a 22+；椭圆的离心率e 2=mb m 22-.∵e 1与e 2互为倒数；∴e 1e 2=1；即a b a 22+·mb m 22-=1；整理得a 2+b 2=m 2.∴以a 、b 、m 为边的三角形是直角三角形. 答案:B22)1(3)1(3+++y x =|x +y －2|表示的曲线是P (x ；y )到定点(－1；－1)和定直线x +y －2=0距离之比为26. 答案:Bm x 2+n y 2=1(m >n >0)和双曲线22a x －22b y =1(a >b >0)有相同的焦点F 1、F 2；P 是两条曲线的一个交点；则|PF 1|·|PF 2|的值是A.m －aB.21(m －a ) C.m 2－a 2D.m －a解析:|PF 1|+|PF 2|=2m ；|PF 1|－|PF 2|=2a ； ∴|PF 1|=m +a ；|PF 2|=m －a .∴|PF 1|·|PF 2|=m －a . 答案:AF 1、F 2为椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的焦点；M 为椭圆上一点；MF 1垂直于x 轴；且∠F 1MF 2=60°；则椭圆的离心率为A.21 B.22 C.33D.23分析:本题考查如何求椭圆的离心率.解:∵MF 1⊥x 轴；∴M 点的横坐标为x M =－c .把x M 代入椭圆方程22a x +22by =1中；得y M =22ab ；如下图所示.在Rt △MF 1F 2中；tan ∠F 1MF 2即2ac =3b 2.∴3a 2－2ac －3c 2=0. 每一项都除以a 2；得3－2e －3e 2=0； 解得e 1=33或e 2=－3 (舍). 答案:C第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题；每小题4分；共16分)F 1(－4；0)、F 2(4；0)；椭圆的弦AB 过点F 1；且△ABF 2的周长为20；那么该椭圆的方程为__________.解析:△ABF 2的周长:|AF 2|+|AF 1|+|BF 2|+|BF 1|=2a +2a =4a =20； ∴a ∵c =4；∴b =3.∴椭圆的方程为252x +92y =1.答案: 252x +92y =1P 是椭圆上的一点；F 1、F 2是椭圆的两个焦点；∠PF 1F 2=90°；∠PF 2F 1=30°；则椭圆的离心率是__________.解析:因为e =a c =a c22=||||221PF PF c +； 于是在△PF 1F 2中；由正弦定理知e =︒+︒︒30sin 90sin 60sin =33.答案:33 M (10； 38)；渐近线方程为y =±31x 的双曲线方程为__________.分析:本题考查依据条件求双曲线的方程.解:设双曲线的方程为(x －3y )(x +3y )=m (m ∈R ；且m ≠0)；因双曲线过点M (10；38)；所以有(10－3×38)(10+3×38)=m ；得m =36. 所以双曲线方程为x 2－9y 2=36；即362x －42y=1.答案: 362x －42y =1k x -42+12-k y =1表示的曲线为C ；给出下列四个命题: ①曲线C 不可能是圆；②若1<k <4；则曲线C 为椭圆；③若曲线C 为双曲线；则k <1或k >4； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆；则1<k <25. 其中正确的命题是__________. 解析:当4－k =k －1；即k =25时表示圆；否定命题①；显然k =25∈(1；4)； ∴否定命题②；若曲线C 为双曲线；则有(4－k )(k －1)<0；即4<k 或k <1；故命题③正确；若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆；则4－k >k －1>0；解得1<k <25；说明命题④正确. 答案:③④三、解答题(本大题共5小题；共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)设椭圆的中心为坐标原点；它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点连成60°的角；两准线间的距离等于83；求椭圆方程.解:∵椭圆右焦点F (c ；0)如图；则∠AFB =60°；△AFB 为等边三角形； 于是有a =2b .① 又由两准线间的距离等于83；得2222ba a -=83.②联立①②两方程；解得a =6；b =3.故所求椭圆方程为362x + 92y =1.16.(本小题满分10分)已知椭圆162x +42y =1；过点P (2；1)引一条弦；使它在这点被平分；求此弦所在的直线方程.解:∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.164,16422222121y x y x ①－②得(x 1－x 2)(x 1+x 2)+4(y 1－y 2)(y 1+y 2)=0； ∴2121x x y y --=－)(42121y y x x ++=－1242⨯⨯⨯=－21=k AB .∴l AB 的方程为y －1=－21(x －2). 17.(本小题满分12分)求以椭圆642x +162y =1的顶点为焦点；且一条渐近线的倾斜角为65π的双曲线方程.分析:已知渐近线方程为bx ±ay =0；中心在原点；求双曲线的方程.可设双曲线方程为 b 2x 2－a 2y 2=λ(λ≠0)；根据其他条件；确定λ的正负.解:椭圆的顶点坐标为(±8；0)、(0；±4).∵双曲线渐近线方程为x ±3y =0； 则可设双曲线方程为x 2－3y 2=k (k ≠0)；即kx 2－32k y =1.若以(±8；0)为焦点；则k +3k=64；得k =48；双曲线方程为482x －162y =1；若以(0；±4)为焦点；则－3k－k =16；得k =－12；双曲线方程为42y －122x =1.18.(本小题满分12分)如下图；双曲线42x －22by =1(b ∈N *)的两个焦点为F 1、F 2；P 为双曲线上一点；|OP |<5；|PF 1|、|F 1F 2|、|PF 2|成等差数列；求此双曲线方程.①②解:∵|PF 1|、|F 1F 2|、|PF 2|成等差数列； ∴|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|=4c . 又|PF 1|－|PF 2|=2a =4；∴|PF 1|=2c +2；|PF 2|=2c －2.根据中线定理有|PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)<2(52+c 2)； ∴(2c +2)2+(2c －2)2<2(52+c 2). ∴8c 2+8<50+2c 2. ∴c 2<7；即4+b 2<7.∴b 2b ∈N *；∴b =1.∴所求双曲线方程为42x －y 2=1.19.(本小题满分12分)在△ABC 中；已知B (－2；0)、C (2；0)；AD ⊥BC 于点D ；△ABC的垂心为H ；且AH =31HD .(1)求点H (x ；y )的轨迹G 的方程；(2)已知P (－1；0)、Q (1；0)；M ||PQ ||MQ 能成等差数列吗?若能；求出M 点的坐标；若不能；请说明理由.(1)解:∵H 点坐标为(x ；y )；则D 点坐标为(x ；0)；由定比分点坐标公式可知；A 点的坐标为(x ；34y ). ∴BH =(x +2；y )；CA =(x －2；34y ). 由BH ⊥CA 知x 2－4+34y 2=0；即42x + 32y =1； ∴G 的方程为42x +32y =1(y ≠0).(2)解法一:显然P 、Q 恰好为G 的两个焦点； ∴|MP |+|MQ |=4；|PQ |=2.||MP ||PQ ||MQ ||MP ||MQ ||PQ ∴|MP |·|MQ |=| MP |+|MQ |=4. 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+,4||||,4||||MQ MP MQ MP 可得|MP |=|MQ |=2； ∴M 点为42x +32y =1的短轴端点. ∴当M 点的坐标为(0； 3)或(0；－3)||MP ||PQ ||MQ 成等差数列.解法二:设M 点的坐标为(x ；y )；显然P 、Q 恰好为42x + 32y =1的两个焦点； ∴|MP |+|MQ |=4；| PQ |=2. ||MP ||PQ ||MQ 成等差数列； ||MP ||MQ ||PQ 由椭圆第二定义可得|MP |=a +ex ；|MQ |=a －ex ； ∴)4(211+x +)4(211x -x =0.∴M 点的坐标为(0； 3)或(0；－3).∴当M 点的坐标为(0；3)或(0；－3)||MP ||PQ ||MQ 成等差数列.。
【2019最新】高中数学第二章圆锥曲线与方程2-1曲线与方程优化练习
【2019最新】高中数学第二章圆锥曲线与方程2-1曲线与方程优化练习[课时作业][A组基础巩固]1．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称解析：同时以－x替x，以－y替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．答案：C2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )解析：方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，∴x≤0，故选B.答案：B3．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是( ) A．y＝2x2B．y＝8x2C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1解析：设AP中点为(x，y)，则P(2x,2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，∴2y＝8x2－1.答案：C4．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝ 2.即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.答案：D5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅ 解析：当0＜a ≤1时，两曲线只有一个交点(如图(1))；当a ＞1时，两曲线有两个交点(如图(2))．答案：A6．方程x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋12＝0表示的图形为________．解析：对方程左边配方得(x －2)2＋2(y ＋2)2＝0.∵(x －2)2≥0,2(y ＋2)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2.从而方程表示的图形是一个点(2，－2)．答案：一个点(2，－2)7．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆心C 的轨迹方程为________． 解析：设圆心C (x ，y )，由题意得x －2＋y －2＝y ＋1(y >0)， 化简得x 2＝8y －8.答案：x 2＝8y －88．已知l 1是过原点O 且与向量a ＝(2，－λ)垂直的直线，l 2是过定点A (0,2)且与向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，λ2平行的直线，则l 1与l 2的交点P 的轨迹方程是________，轨迹是________． 解析：∵kl 1＝2λ，∴l 1：y ＝2λx ；kl 2＝－λ2，l 2：y ＝－λ2x ＋2，∴l 1⊥l 2，故交点在以原点(0,0)，A (0,2)为直径的圆上但与原点不重合，∴交点的轨迹方程为x 2＋(y －1)2＝1(y ≠0)．答案：x 2＋(y －1)2＝1(y ≠0) 以(0,1)为圆心，1为半径的圆(不包括原点)9．已知定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求M 点的轨迹方程．解析：作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知|OM |＝12|AB |＝3. 所以M 的轨迹为以原点O 为圆心，以3为半径的圆，故M 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝9.10．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP →·MN →＝4，求动点P 的轨迹方程．解析：由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，∴MN →＝(x ，－2y )，∴OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2，依题意知，x 2－2y 2＝4，因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4.[B 组 能力提升]1．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0解析：由两点式，得直线AB 的方程是 y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0， 线段AB 的长度|AB |＝＋2＋42＝5. 设C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10， 即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.答案：B2．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是点M 的坐标满足方程y ＝－2x 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：点M 在曲线y 2＝4x 上，其坐标不一定满足方程y ＝－2x ，但当点M 的坐标满足方程y ＝－2x 时，则点M 一定在曲线y 2＝4x 上，如点M (4，－4)．答案：B3．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝12，则点P 的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，则PM →＝(－2－x ，－y )，PN →＝(2－x ，－y )．于是PM →·PN →＝(－2－x )(2－x )＋y 2＝12，化简得x 2＋y 2＝16，此即为所求点P 的轨迹方程．答案：x 2＋y 2＝164．直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5,0)，再由OM ⊥MP ，得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2， 所以x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254. 因为点M 应在圆内，故所求的轨迹为圆内的部分．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254，x 2＋y 2＝16得两曲线交点的横坐标为x ＝165，故所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ＜165. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ＜165 5．已知等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个顶点是B (3,5)，求另一个顶点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解析：设另一顶点C 的坐标为(x ，y )，依题意，得|AC |＝|AB |，由两点间距离公式，得x －2＋y －2＝－2＋－2. 化简，得(x －4)2＋(y －2)2＝10.因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合，且B ， C 不能为⊙A 的一直径的两个端点．①因为B ，C 不重合，所以点C 的坐标不能为(3,5)，②又因为点B 不能为⊙A 的一直径的两个端点，由x ＋32＝4，得x ＝5.点C 的坐标不能为(5，－1)．如图，故点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝10 ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5和⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5y ＝－1除外. 点C 的轨迹是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，除去点(3,5)，(5，－1)．6．已知直线y ＝mx ＋3m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，求实数m 的取值范围． 解析：直线y ＝m (x ＋3)过定点(－3,0)，曲线y ＝4－x 2即x 2＋y 2＝4(y ≥0)表示半圆，由图可知m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，255.。
2017-2018学年高二数学人教A版选修2-1优化练习：第二章 章末检测(二) 圆锥曲线与方程
章末检测(二) 圆锥曲线与方程 时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是( ) A.3 B ． 6 C ．3D ．6解析：双曲线的焦点到渐近线的距离等于b ，即b ＝ 6. 答案：B2．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．4 B ．6 C ．7D ．8解析：由渐近线方程y ＝32x ，且b ＝3，得a ＝2，由双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝4，又|PF 1|＝3， ∴|PF 2|＝7. 答案：C3．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析：(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.答案：C4．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：A5．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1D.x 26＋y 22＝1解析：由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2，∴a 2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为x 26＋y22＝1，故选D.答案：D6.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析：由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝k >|OF |， ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． 答案：A7．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ， 且|PF |＝5，则△MPF 的面积为( )A ．5 6 B.2534 C ．20D ．10解析：由题意，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则|PF |＝|PM |＝y 204＋1＝5，所以y 0＝±4，所以S △MPF ＝12|PM |·|y 0|＝10. 答案：D8．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( ) A ．3x ＋2y －4＝0 B ．4x ＋6y －7＝0 C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B. 答案：B9．已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( )A ．y 2＝2(x －1)B ．y 2＝4(x －1)C ．y 2＝x －1D ．y 2＝12(x －1)解析：设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22y ＝y 02，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2y 0＝2y，由于y 20＝x 0，所以4y 2＝2x －2， 即y 2＝12(x －1)．答案：D10．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．－2解析：易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时， 四边形PF 1QF 2的面积最大．此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)， ∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案：D11．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.52D.32解析：由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时，为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2. 答案：A12．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，94 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由题意：B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，∴k ＝b 2ac ＋a＝a －c a ＝1－e ，∴13<1－e <12，∴12<e <23，故选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，若椭圆上一点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆的离心率e ＝________.解析：由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝4，所以2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝1，所以e ＝c a ＝12. 答案：1214．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点， 若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________． 解析：由双曲线的方程可知a ＝1，c ＝2， ∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， ∴|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝8， ∴2|PF 1||PF 2|＝4，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝8＋4＝12， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 315．过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________.解析：由题意可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，与x 2＝2py 联立得A ，B 两点的横坐标为x A ＝－33p ，x B ＝3p ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33p ，16p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p ，32p ，所以|AF |＝23p ， |BF |＝2p ，所以|AF ||BF |＝13. 答案：1316. 已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1， 则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，∴|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)如果直线l 过定点M (1,2)且与抛物线y ＝2x 2有且只有一个公共点，求直线l 的方程．解析：①当直线l 的斜率不存在时，x ＝1与对称轴平行，有一个交点；②当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y －2＝k (x －1)， 与y ＝2x 2联立，得2x 2－kx ＋k －2＝0， 由Δ＝k 2－8(k －2)＝0得k ＝4， 所以直线l 的方程为y ＝4x －2.综上，直线l 的方程为x ＝1或y ＝4x －2.18．(12分)已知双曲线的中心在原点，过右焦点F (2, 0)作斜率为 35的直线，交双曲线于M ，N 两点，且|MN |＝4，求双曲线方程．解析：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由右焦点为F (2,0)知c ＝2，b 2＝4－a 2，则双曲线方程为x 2a 2－y 24－a 2＝1.直线MN 的方程为：y ＝35(x －2)，代入双曲线方程整理，得(20－8a 2)x 2＋12a 2x ＋5a 4－32a 2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12a 220－8a 2，x 1x 2＝5a 4－32a 220－8a 2. ∴|MN |＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫352×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝85×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12a 220－8a 22－4·5a 4－32a 220－8a 2＝4. 解得：a 2＝1，∴b 2＝4－1＝3. 故所求双曲线方程为：x 2－y 23＝1.19．(12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，且过点P (2,2)，过F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． (1)求抛物线的方程；(2)设直线l 是抛物线的准线，求证：以AB 为直径的圆与准线l 相切． 解析：(1)设抛物线y 2＝2px (p >0)，将点(2,2)代入得p ＝1. ∴y 2＝2x 为所求抛物线的方程．(2)证明：设l AB 的方程为：x ＝ty ＋12，代入y 2＝2x 得：x 2－(1＋2t 2)x ＋14＝0，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝1＋2t 22.∴点M 到准线l 的距离d ＝x 0＋12＝1＋2t 22＋12＝1＋t 2，又AB ＝x 1＋x 2＋p ＝1＋2t 2＋1＝2＋2t 2，∴d ＝12AB ，故以AB 为直径的圆与准线l 相切．20．(12分)正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．解析：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0.因为x 1>0，x 2>0,2p >0，所以x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即点A ，B 关于x 轴对称．由此得∠AOx ＝30°，所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p .所以|AB |＝2y 1＝43p .21．(13分)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解析：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M ，N 的坐标分别为M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1， ①∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1， ∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk .又|AM |＝|AN |， ∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ， 即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2. 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上可得，m 的取值范围是12<m <2.22．(13分)已知椭圆E 的方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其右焦点为F 2(1,0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)过椭圆E 的左顶点A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆E 交于(不同于点A 的)两点M ，N .问：直线MN 是否一定经过x 轴上一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解析：(1)∵椭圆E 的右焦点为F 2(1,0)，∴c ＝1，左焦点为F 1(－1,0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上． ∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝(1＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋(1－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝4.∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知A 点坐标为(－2,0)，设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)3x 2＋4y 2＝12⇒(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2， 同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6k 2－83k 2＋4，－12k 3k 2＋4. 若6－8k 23＋4k 2＝6k 2－83k 2＋4，则得k 2＝1，即直线MN 的方程为x ＝－27，此时过x 轴上一点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.当k 2≠1时，假设直线MN 过x 轴上一定点Q ′(m,0)，则Q ′M →∥NQ ′→，又Q ′M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6－8k 23＋4k 2－m ，12k 3＋4k 2，NQ ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m －6k 2－83k 2＋4，12k 3k 2＋4，爱看书的康强爱看书的康强 则由Q ′M →∥NQ ′→，解得m ＝－27.∴直线MN 过x 轴上一定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.。
苏教版高中数学选修圆锥曲线知能优化训练
1．动点M 到定点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B ⎝⎛⎭⎫－12，0的距离之和是2，则动点M 的轨迹是________． 解析：根据椭圆的定义判断，要注意定义中的“常数”是否大于AB .答案：椭圆2．到定点F (6,0)和定直线x ＝－6的距离相等的点的轨迹是________．解析：根据抛物线的定义判断，要注意定点不在定直线上．答案：抛物线3．已知A (－1,0)，B (1,0)，P 为动点，且|P A |＋|PB |＝4，则点P 的轨迹为________． 解析：∵|P A |＋|PB |＝4>|AB |＝2，∴P 的轨迹为椭圆．答案：以A ，B 为焦点的椭圆4．已知直线l ：x ＋2y －3＝0，点F (2,1)，P 为平面上一动点，过P 作PE ⊥l 于E ，|PE |＝|PF |.则点P 的轨迹为________．解析：∵点F (2,1)不在直线l 上，且|PE |＝|PF |，∴点P 的轨迹为抛物线．答案：抛物线一、填空题1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则点P 的轨迹是________． 解析：由于两点间的距离为10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应是一条射线．答案：一条射线2．若点P 到点(1,1)的距离和到直线2x ＋3y －5＝0的距离相等，则点P 的轨迹是________．解析：由于点(1,1)满足等式2x ＋3y －5＝0，即点(1,1)在直线2x ＋3y －5＝0上，故不满足抛物线的定义，而是过点(1,1)且垂直于直线2x ＋3y －5＝0的直线．答案：直线3．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是________． 答案：线段4．若一动点到点(3,0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则该动点的轨迹是________．解析：由题意可知，动点到点(3,0)的距离等于它到直线x ＝－3的距离，由抛物线的定义知动点的轨迹是抛物线．答案：抛物线5．若点M 到定点F 和到定直线l 的距离相等，则下列说法正确的是________．①点M 的轨迹是抛物线；②点M 的轨迹是一条与x 轴垂直的直线；③点M 的轨迹是抛物线或一条直线．解析：当点F 不在直线l 上时，点M 的轨迹是以F 为焦点、l 为准线的抛物线；而当点F 在直线l 上时，点M 的轨迹是一条过点F ，且与l 垂直的一条直线．答案：③6．动圆过点(0,1)且与直线y ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹为________．答案：抛物线7．已知两定点F 1(－5,0)、F 2(5,0)，动点P 满足PF 1－PF 2＝2a ，则当a ＝3和a ＝5时，P 点的轨迹分别是________．解析：平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|的正数)的点的轨迹是双曲线．当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)；当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线．故填双曲线的一支和一条射线．答案：双曲线的一支和一条射线8．下列各曲线是圆锥曲线的是________．①到两定点F1，F2的距离之和等于常数2a(a>0)的点的轨迹；②到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的点的轨迹；③到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹．解析：本题考查的是圆锥曲线的定义．对于①，缺少条件2a>|F1F2|，当满足该条件时，动点的轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点的轨迹不存在，所以①不正确．对于②，缺少条件0<2a<|F1F2|，当满足该条件时，动点的轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是直线F1F2上的两条以F1，F2为端点的射线；当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在，所以②不正确．对于③，缺少条件F不在直线l上，当满足该条件时，动点的轨迹是抛物线；当点F在直线l上时，动点的轨迹是过点F与直线l垂直的一条直线，所以③不正确，故填④.答案：④二、解答题9．已知F1，F2是平面α内的定点，并且|F1F2|＝2c(c>0)，M是α内的动点，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>0)，试判断动点M的轨迹．解：当2a>2c，即a>c时，动点M到两定点的距离之和大于两定点之间的距离，由椭圆的定义知，动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆；当2a＝2c，即a＝c时，动点M到两定点F1，F2的距离之和等于线段F1F2的长，所以点M是线段F1F2上的点，即动点M的轨迹是线段F1F2；当0<a<c时，动点M无轨迹．综上所述，当a>c时，动点M的轨迹是椭圆；当a＝c时，动点M的轨迹是线段；当0<a<c时，动点M无轨迹．10．求满足下列条件的动圆圆心M的轨迹．(1)与⊙C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2,0)；(2)与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切；(3)与⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与⊙C2：(x－3)2＋y2＝1内切．解：设动圆M的半径为r.(1)∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，∴|MC|＝r－ 2.∴|MA|＝r，∴|MA|－|MC|＝2，且2<4.∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支．(2)∵⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，∴|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋2.∴|MC2|－|MC1|＝1，且1<2.∴点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的上支．(3)∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切，∴|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1.∵|MC1|－|MC2|＝4，且4<6，∴点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支．11．已知定直线l及定点A(A不在l上)，n为过点A且垂直于l的直线，设N为l上任意一点，线段AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证点P的轨迹为抛物线．证明：如图所示，建立平面直角坐标系，并且连结P A，PN，NB.由题意知PB垂直平分AN，且点B关于AN的对称点为P，∴AN也垂直平分PB.∴四边形P ABN为菱形∴|P A|＝|PN|.∵AB⊥l，∴PN⊥l.故点P符合抛物线上点的条件：到定点A的距离和到定直线l的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线．。
苏教版数学高二-山东省潍坊第一中学高二上学期数学《圆锥曲线方程》练习题
高二数学圆锥曲线与方程练习题一、选择题1、椭圆2214x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 等于（ Ｃ．72 Ｄ．4 2、双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（ ）Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ． Ｄ．与m 有关3、焦点为(06)，且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） Ａ．2211224x y -= Ｂ．2212412y x -= Ｃ．2212412x y -= Ｄ．2211224y x -= 4、抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（ ）Ａ．24y x = Ｂ．28y x = Ｃ．24y x =- Ｄ．28y x =-5、焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ）Ａ．216y x = 或212x y =- Ｂ．216y x =或216x y =Ｃ．216y x =或212x y = Ｄ．212y x =-或216x y = 6、椭圆22213x y m m+=-的一个焦点为(01)，，则m 等于（ ）Ａ．1 Ｂ．2-或1 Ｄ．537、若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是（ ）Ａ．14 Ｂ．12 8、经过双曲线228y x -=-的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（ ）Ｃ． Ｄ．9、一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） Ａ．(02)， Ｂ．(02)-， Ｃ．(20)， Ｄ．(40)，10、已知抛物线24x y =的焦点F 和点(18)A P -，，为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是（ ）Ａ．16Ｂ．12 Ｃ．9 Ｄ．6二、填空题11、已知椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12F F ，连线的夹角为直角，则12PF PF =· ．12、已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率为 ． 13、已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线在x 轴上方的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．14、点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________． 15、过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(0<b <a )中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是______．三、解答题16、已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．17、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，椭圆与直线280x y ++=相交于点P Q ，，且PQ =18、已知F1、F2为椭圆x2＋y22＝1的上、下两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，求△ABF2面积的最大值．19、已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x225＋y29＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求MA＋MB的最值．19．如图1，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左顶点为B F ，为右焦点，离心率e =，过F 作平行于AB 的直线交椭圆于C D ，两点，作平行四边形OCED ，求证：E 在此椭圆上．20、若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)，A 2为椭圆的右顶点且AA 2⊥BA 2，求证：直线l 过定点．21．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆方程；(2)求m 的取值范围．圆锥曲线与方程测试答案：一、选择题：CADDA BDBCC二、填空题：11、48 12、5/4或5/3 13、2＋1 14、2x－y－15＝015、bc三、解答题：16、解如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)．∵e＝ca＝2，∴c＝2a.由双曲线的定义，得|PF1－PF2|＝2a＝c，在△PF1F2中，由余弦定理，得：F1F22＝PF21＋PF22－2PF1·PF2cos 60°＝(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2(1－cos 60°)，即4c2＝c2＋PF1·PF2.①又S△PF1F2＝123，∴12PF1·PF2sin 60°＝123，即PF1·PF2＝48.②由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12，∴所求的双曲线方程为x24－y212＝1.17、解：3cea==3c=．由222c a b=-，得224a b=．由222214280x yb bx y⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，，消去x，得2228160y y b++-=．由根与系数关系，得124y y+=-，212162by y-=．222222121121212()()5()5[()4]10PQ x x y y y y y y y y=-+-=-=+-=，即25[162(16)]10b--=，解得29b=，则236a=．所以椭圆的方程为221369x y+=18、解由题意，F1F2＝2.设直线AB方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程2x2＋y2＝2，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则x A＋x B＝－2kk2＋2，x A·x B＝－1k2＋2，∴|x A－x B|＝8k2＋1k2＋2.S△ABF2＝12F1F2·|x A－x B|＝22×k2＋1k2＋2＝22×1k2＋1＋1k2＋1≤22×12＝ 2.当k2＋1＝1k2＋1，即k＝0时，S△ABF2有最大面积为 2.19、解因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则A′(－4,0)，由椭圆定义知MA＋MA′＝10.如图所示，则MA＋MB＝MA＋MA′＋MB－MA′＝10＋MB－MA′≤10＋A′B.当点M在BA′的延长线上时取等号．所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，(MA＋MB)max＝10＋A′B＝10＋210.又如图所示，MA＋MB ＝MA＋MA′－MA ′＋MB ＝10－(MA′－MB)≥10－A′B，当M在A′B的延长线上时取等号．所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，(MA＋MB)min＝10－A′B＝10－210.20、证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋m，x24＋y23＝1，得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m2k2－163＋4k2m2－3>0，x1＋x2＝－8mk3＋4k2，x1x2＝4m2－33＋4k2.即⎩⎪⎨⎪⎧3＋4k2－m2>0，x1＋x2＝－8mk3＋4k2，x1x2＝4m2－33＋4k2.又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3m2－4k23＋4k2.∵椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2⊥BA2，∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.∴3m2－4k23＋4k2＋4m2－33＋4k2＋16mk3＋4k2＋4＝0.∴7m 2＋16km ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2>0. 当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)， 直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，∴直线l 过定点． 21、解 (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上 ， 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0， 由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )．∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22.∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时不成立，∴k 2＝8－2m 29m 2－4＞0， 得49＜m 2＜4，此时Δ＞0. ∴m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.。
高二数学圆锥曲线必刷练习题
高二数学圆锥曲线必刷练习题在高二数学学习中，圆锥曲线是一个重要的知识点，对于学生来说，掌握圆锥曲线相关的知识和解题技巧是非常必要的。
本文将介绍一些高二数学圆锥曲线的必刷练习题，帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
练习题1：椭圆的焦点坐标已知椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，椭圆的离心率为e。
求椭圆的焦点坐标。
解析：椭圆的焦点坐标可以通过长轴、短轴和离心率来确定。
根据定义，离心率e等于焦距与长轴之比。
而两个焦点的横坐标分别为(ae,0)和(-ae,0)，纵坐标均为0。
因此，椭圆的焦点坐标为(ae,0)和(-ae,0)。
练习题2：抛物线的焦点和准线已知抛物线的焦点坐标为F(a, b)，准线方程为y = -b/a。
求抛物线的焦点和准线的方程。
解析：根据抛物线的定义，焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
根据焦准定理，可以得到焦点的坐标为F(a, b)。
而准线的方程为y = -b/a。
练习题3：双曲线的渐近线和离心率已知双曲线的方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1。
求双曲线的渐近线和离心率。
解析：双曲线的渐近线可以通过求解直线与双曲线的交点来确定。
将直线的方程(y = mx + c)代入双曲线的方程，得到一个关于m和c的方程组。
解方程组可以得到直线的方程。
另外，双曲线的离心率e满足以下关系：e^2 = (a^2 + b^2)/a^2。
练习题4：椭圆与直线的交点数已知椭圆的方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，直线的方程为y = mx + c。
求椭圆与直线的交点数。
解析：将直线的方程代入椭圆的方程，得到关于m和c的二次方程，解该方程可以得到直线与椭圆的交点坐标。
通过判别式可以确定交点个数。
当判别式大于零时，有两个交点；当判别式等于零时，有一个交点；当判别式小于零时，无交点。
练习题5：双曲线与直线的位置关系已知双曲线的方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，直线的方程为y = mx + c。
高二优化训练数学第八章圆锥曲线方程一B卷(附答案)
高中同步测控优化训练(十二)第八章 圆锥曲线方程(一)(B 卷)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的 A.4倍 B.9倍 C.12倍 D.18倍解析:设两条准线间的距离是焦距的k 倍，则c a 22=2ck ,k =(ca )2.由已知得a =3c ,∴k =(ca)2=32=9.答案:B2.椭圆252x +92y =1上一点P 到左焦点F 1的距离为2，M 是线段PF 1的中点，则M 到原点O 的距离等于A.2B.4C.6D.8解析:如图，易知|OM |=21|PF 2|, 而|PF 2|=2a －|PF 1|=2×5－2=8,∴|OM |=4. 答案:B3.AB 为过椭圆22a x +22b y =1中心的弦，F (c ,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是A.b 2B.abC.acD.bc 解析:设A (x 0,y 0),B (－x 0,－y 0),S △ABF =S △OFB +S △OF A =21c ·|y 0|+21c ·|－y 0|=c ·|y 0|.∵点A 、B 在椭圆22a x +22by =1上,∴|y 0|的最大值为b . ∴S △ABF 的最大值为bc . 答案:D4.函数y =x2的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹,则这两个定点间的距离为A.8B.42C.4D.22分析:本题主要考查双曲线的定义.y解:函数y =x2x －y =0. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=,0,2y x xy 得⎪⎩⎪⎨⎧==2,211y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,2,222y x 即顶点为A 1(2,2),A 2(－2,－2).∵e =a c=2c =2,∴c =2. 根据双曲线的定义,两定点间的距离为2c =4. 答案:C5.点P 在椭圆7x 2+4y 2=28上，则点P 到直线3x －2y －16=0的距离的最大值为 A.131213 B.131613 C.132413 D.132813 解析:化椭圆方程为参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin 7,cos 2y x (α为参数).∴点P 到直线3x －2y －16=0的距离为 d =13|16sin 72cos 6|--αα=1316|)cos(8|-+ϕα.∴d max =1324=131324. 答案:C6.一动圆与圆x 2+y 2=1外切，而与圆x 2+y 2－6x +8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是 A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.圆解析:已知x 2+y 2=1的圆心为O (0,0),半径为r 1=1,圆x 2+y 2－6x +8=0的圆心为A (3，0),半径为r 2=1.设动圆的圆心为P ，半径为r , 则|PO |=1+r ,|P A |=r －1. 则有|PO |－|P A |=2<|OA |=3, ∴轨迹为双曲线的一支. 答案:A7.过原点的直线l 与双曲线42x －32y =－1有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是A.(－23，23)B.(－∞,－23)∪(23,+∞)C.［－23,23］D.(－∞,－23］∪［23,+∞)解析:双曲线方程32y －42x =1,其渐近线的斜率k =±23,当直线l 的斜率为±23时，直线与渐近线重合，直线l 与双曲线无交点，排除C 、D.又双曲线的焦点在y 轴上，当－23<k <23时，直线与双曲线无交点. 答案:B8.设P 是双曲线22ax －92y =1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF 1|=3,则|PF 2|等于A.1或5B.6C.7D.9 分析:本题考查双曲线的定义.y x解:∴可求得a 2=4.∴双曲线的方程为42x －92y =1,2a =4.如图,可知P 点在左支上. 由双曲线定义,|PF 2|－|PF 1|=4, ∴|PF 2|=4+3=7. 答案:C9.椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a ,焦距为2c ,静放在点A 的小球(小球的半径忽略不计)从点A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是A.4aB.2(a －c )C.2(a +c )D.4a 或2(a －c )或2(a +c ) 分析:本题属信息迁移题,考查学生灵活应用知识的能力. 解:设靠近A 的长轴端点为M ，另一长轴的端点为N .若小球沿AM 方向运动,则路程应为2(a －c )；若小球沿ANM 方向运动,则路程为2(a +c )；若小球不沿AM 与AN 方向运动,则路程应为4a .答案:D10.椭圆a 2x 2+y 2=a 2(0<a <1)上离顶点A (0，a )距离最远的点恰好是另一个顶点A ′(0， －a ),则a 的取值范围是A.(22，1) B.［22，1) C.(0，22)D.(0，22］解析:由对称性，可设P 点坐标为(221ay -,y ),∴|AP |2=1－22ay +(y －a )2 =221aa -y 2－2ay +a 2+1. ∵0<a <1,∴221a a -<0,开口向下.∴对称轴y =123-a a ≥－a .解得22≤a <1.答案:B第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知点M (－3，0)、N (3，0)、B (1，0)，⊙O 与MN 相切于点B ，过M 、N 与⊙O 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为__________.解析:如图，|PM |－|PN |=|P A |+|AM |－|PC |－|CN |=|MA |－|NC |=|MB |－|NB |=4－2=2.∴P 点的轨迹是以M 、N 2=8. ∴方程为12x －82y =1(x >1).答案:x 2－82y =1(x >1)12.点M 到一个定点F (0，2)的距离和它到一条定直线y =8的距离之比是1∶2，则M 点的轨迹方程是__________.解析:根据椭圆第二定义可知，椭圆焦点为(0，2)，y =c a 2=8,e =21.由c =2,c a 2=8,得a =4,满足e =a c =42=21.∴椭圆方程为162y +122x =1.答案: 162y +122x =113.椭圆92x + 42y =1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P横坐标的取值范围是__________.解析:设P 点横坐标为x 0,则|PF 1|=a +ex 0=3+35x 0,|PF 2|=a －ex 0=3－35x 0.∠F 1PF 2为钝角，当且仅当|F 1F 2|2－|PF 1|2－|PF 2|2>0,解之即得－53<x 0<53.答案:－553<x 0<553 14.设点A (－2，3)，椭圆162x + 122y =1的右焦点为F ，点P 在椭圆上移动.当|P A |+2|PF |取最小值时,P 点的坐标是__________.解析:设椭圆的右准线为l ,过A 作AN ⊥l 于N ，AN 交椭圆于P ，则P 点就是所求的点，坐标为(23，3).事实上，易知椭圆离心率为21. |P A |+2|PF |=|P A |+2×21|PN |=|P A |+|PN |， (|PN |是P 到相应准线的距离.显然|P ′A |+|P ′N ′|>|AP |+|PN |).答案:(23,3)三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)设椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2,0),左准线l 1与x 轴交于点N (－3,0),过点N 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆于A 、B 两点.(1)求直线l 和椭圆的方程；(2)求证:点F 1(－2,0)在以线段AB 为直径的圆上.(1)解:可知直线l :y =33(x +3). 由c =2及ca 2=3,解得a 2=6,∴b 2=6－22=2.∴椭圆方程为62x +22y =1.(2)证明:联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==-+),3(33,06322x y y x 将②代入①,整理得2x 2+6x +3=0.设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则x 1+x 2=－3,x 1x 2=23. 方法一:k A F 1·k B F 1=211+x y ·222+x y =)2)(2()3)(3(312121++++x x x x =[]4)(239)(321212121++++++x x x x x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯++-⨯+4)3(22339)3(323=－1,∴F 1A ⊥F 1B ,即∠AF 1B =90°.∴点F 1(－2,0)在以线段AB 为直径的圆上.方法二:F 1·F 1=(x 1+2,y 1)·(x 2+2,y 2)=(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2 =x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+31［x 1x 2+3(x 1+x 2)+9］ =34x 1x 2+3(x 1+x 2)+7=0, ∴F 1A ⊥F 1B ,则∠AF 1B =90°.∴点F 1(－2,0)在以线段AB 为直径的圆上.16.(本小题满分10分)设F 1、F 2是双曲线x 2－y 2=4的左、右两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为M ，求点M 的轨迹方程.解:如图,F 1(－22，0)、F 2(22，0)、M (x ,y )，延长F 1M 与PF 2相交于点N ，设N (x 0,y 0). 由已知可得M 为F 1N 的中点,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=+=⇒-=.22,2222220000y y y y x x x x ① ②又|NF 2|=|PN |－|PF 2|=|PF 1|－|PF 2|=2a =4, ∴(x 0－22)2+y 02=16.∴(2x +22－22)2+(2y )2=16.∴x 2+y 2=4.评注:适当运用平面几何知识把条件进行转化，会给我们解题带来方便.17.(本小题满分12分)如图，某农场在P 处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路P A 或PB 送到庄稼地ABCD 中去，已知P A =100 m ，PB =150 m ，∠APB =60°.能否在田地ABCD 中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路P A 送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB 送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.ABCD P解:设M 是这种界线上的点， 则必有|MA |+|P A |=|MB |+|PB |, 即|MA |－|MB |=|PB |－|P A |=50.∴这种界线是以A 、B 为焦点的双曲线靠近B 点的一支.建立以AB 为x 轴，AB 中点O 为原点的直角坐标系，则曲线为22a x －22by =1,其中a =25,c =21|AB |.∴c =257,b 2=c 2－a 2=3750.∴所求曲线方程为6252x －37502y =1(x ≥25,y ≥0).18.(本小题满分12分)已知点F (1，0)，直线l :x =2.设动点P 到直线l 的距离为d ,且|PF |=22d ,32≤d ≤23. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若PF ·OF =31，求向量OP 与OF 的夹角.解:(1)根据椭圆的第二定义知，点P 的轨迹为椭圆.由条件知c =1,ca 2=2,∴a =2.e =a c =21=22满足|PF |=22d .∴P 点的轨迹为22x +12y =1.又d =c a 2－x ,且32≤d ≤23,∴32≤2－x ≤23.∴21≤x ≤34. ∴轨迹方程为22x +y 2=1(21≤x ≤34).(2)由(1)可知，P 点的轨迹方程为22x +y 2=1(21≤x ≤34),∴F (1,0)、P (x 0,y 0).OF =(1,0),OP =(x 0,y 0),=(1－x 0,－y 0).∵PF ·OF =31,∴1－x 0=31. ∴x 0=32,y 0=±37.又·=||·||·cos θ, ∴1·x 0+0·y 0=2020y x +·1·cos θ.∴cos θ=2200y x x +=979432+=112=11112. ∴θ=arccos11112. 19.(本小题满分12分)(1)求右焦点坐标是(2,0),且经过点(－2,－2)的椭圆C 的标准 方程；(2)对(1)中的椭圆C ,设斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,AB 的中点为M ,证明:当直线l 平行移动时,动点M 在一条过原点的定直线上；(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.解:(1)由题中条件,设椭圆的标准方程为22a x +22by =1,a ＞b ＞0,∵右焦点为(2,0),∴a 2=b 2+4,即椭圆的方程为422+b x +22by =1.∵点(－2,－2)在椭圆上,∴442+b +22b=1.解得b 2=4或b 2=－2(舍),由此得a 2=8,即椭圆的标准方程为82x +42y =1.(2)设直线l 的方程为y =x +m ,与椭圆C 的交点为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,148,22y x m x y 得12x 2+16mx +8m 2－32=0,即3x 2+4mx +2m 2－8=0.∵Δ＞0,∴m 2＜12,即－23＜m ＜23.则x 1+x 2=－34m ,y 1+y 2=x 1+m +x 2+m =32m ,∴AB 中点M 的坐标为(－32m ,3m).∴线段AB 的中点M 在过原点的直线x +2y =0上.(3)如下图,作两条平行直线分别交椭圆于点A 、B 和点C 、D ,并分别取AB 、CD 的中点M 、N ,连结直线MN ；又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于点A 1、B 1和点C 1、D 1,并分别取A 1B 1、C 1D 1的中点M 1、N 1,连结直线M 1N 1,那么直线MN 和M 1N 1的交点O 即为椭圆中心 .。
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第八章 圆锥曲线方程(一)椭圆与双曲线●知识网络●范题精讲【例1】 已知椭圆的两焦点为F 1(0，－1)、F 2(0，1)，直线y =4是椭圆的一条准线. (1)求椭圆方程；(2)设点P 在椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|=1，求tan ∠F 1PF 2的值. 解析:本题考查椭圆的基本性质及解题的综合能力.(1)设椭圆方程为22b x +22a y =1(a >b >0).由题设知c =1，ca 2=4,∴a 2=4,b 2=a 2－c 2=3.∴所求椭圆方程为32x +42y =1.(2)由(1)知a 2=4,a =2.由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=4，又|PF 1|－|PF 2|=1,∴|PF 1|=25，|PF 2|=23. 又|F 1F 2|=2c =2,由余弦定理cos ∠F 1PF 2=||||2||||||212212221PF PF F F PF PF -+=23252449425⨯⨯-+=53.∴tan ∠F 1PF 2=1cos 1212-∠PF F =1925-=34. 【例2】 已知双曲线x 2－22y =1,过点A (2，1)的直线l 与已知双曲线交于P 1、P 2两点.(1)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程；(2)过点B (1，1)能否作直线l ′,使l ′与已知双曲线交于两点Q 1、Q 2，且B 是线段Q 1Q 2的中点?请说明理由.(1)解法一:设点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，中点P 的坐标为(x ,y ),则有x 12－221y =1,x 22－222y=1,两式相减，得2(x 1+x 2)(x 1－x 2)=(y 1+y 2)(y 1－y 2). 当x 1≠x 2,y ≠0时, 由x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y , 得y x 2=2121x x y y --. ①又由P 1、P 2、P 、A 四点共线， 得21--x y =2121x x y y --. ②由①②得y x 2=21--x y , 即2x 2－y 2－4x +y =0.当x 1=x 2时，x =2,y =0满足此方程，故中点P 的轨迹方程是2x 2－y 2－4x +y =0. 解法二:设点P 1、P 2、中点P 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)、(x ,y ),直线l 的方程为y =k (x －2)+1,将l 方程代入双曲线x 2－22y =1中，得(2－k 2)x 2+2k (2k －1)x +2k 2－3=0,则x 1+x 2=2)12(22--k k k ,x 1x 2=22322--k k , y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2－4k =2)12(4--k k .于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=--=+=.2)12(22,2)12(2221221k k y y y k k k x x x当y ≠0时，由①②得k =yx2.将其代入①，整理得2x 2－y 2－4x +y =0.当l 倾斜角为90°时，P 点坐标为(2，0)仍满足此方程，故中点P 的轨迹方程为2x 2－y 2－4x +y =0.(2)解:假设满足题设条件的直线l ′存在，Q 1、Q 2的坐标分别为(x 3,y 3)、(x 4,y 4),同(1)得2(x 3+x 4)(x 3－x 4)=(y 3+y 4)(y 3－y 4).∵x 3+x 4=2,y 3+y 4=2,∴4343x x y y --=2(x 3≠x 4),即l ′的斜率为2.∴l ′的直线方程为y －1=2(x －1)， 即y =2x －1.∵方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=12,1222y x x y 无解，与假设矛盾,∴满足条件的直线l ′不存在.【例3】 如下图，已知△OFQ 的面积为S ，且²=1，① ②(1)若S 的范围为21<S <2,求向量与FQ 的夹角θ的取值范围； (2)设||=c (c ≥2),S =43c ,若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取得最小值时，求此椭圆的方程.分析:本题考查向量的基本知识、三角知识及最值问题在解析几何中的综合运用.解:(1)∵²FQ =1,∴||²|FQ |²cos θ=1.又21|OF |²|FQ |²sin(180°－θ)=S , ∴tan θ=2S ,S =2tan θ.又21<S <2,∴21<2tan θ<2,即1<tan θ<4, ∴4π<θ<arctan4.(2)以OF 所在的直线为x 轴，以OF 的过O 点的垂线为y 轴建立直角坐标系(如下图).∴O (0,0),F (c ,0),Q (x 0,y 0).设椭圆方程为22a x +22by =1.又OF ²FQ =1，S =43c ,∴(c ,0)²(x 0－c ,y 0)=1.① 21²c ²|y 0|=43c .②由①得c (x 0－c )=1⇒x 0=c +c1. 由②得|y 0|=23. ∴|OQ |=2020y x +=49)1(2++c c .∵c ≥2,∴当c =2时，|OQ |min =49)212(2++=234,此时Q (25，±23)，F (2，0). 代入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.4,14942522b a b a∴a 2=10,b 2=6.∴椭圆方程为161022=+y x . 评析:新知识(向量)在几何中的应用是值得关注的趋势. ●试题详解高中同步测控优化训练(十一)第八章 圆锥曲线方程(一)(A 卷)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.椭圆2x 2+3y 2=6的焦距是A.2B.2(3－2)C.25D.2(3+2)解析:将2x 2+3y 2=6化为标准方程为32x +22y =1，∴a 2=3,b 2=2,c 2=3－2=1， 焦距2c =2³1=2. 答案:A2.方程4x 2+Ry 2=1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则R 的取值范围是 A.R >0 B.0<R <2 C.0<R <4 D.2<R <4解析:将方程变为412x +Ry 12=1,由已知可得41<R 1,∴0<R <4.答案:C3.已知点M 在椭圆上，椭圆方程为252x +162y =1,M 点到左准线的距离为2.5，则它到右焦点的距离为A.7.5B.12.5C.2.5D.8.5解析:∵a =5,b =4,∴c =3.两准线间的距离为2²c a 2=2³352=350.M 到左准线的距离为2.5，则M 到右准线的距离为350－2.5=685. 设椭圆右焦点为F ，则685||MF =a c =53,∴|MF |=8.5. 答案:D4.若双曲线22a x －22by =1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是A.2B.3C.34D.35 解析:由2b =a +c 得4b 2=a 2+2ac +c 2, 即3c 2－2ac －5a 2=0,∴3e 2－2e －5=0.∴e =35. 答案:D5.双曲线92x －162y =1的两焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且直线PF 1、PF 2倾斜角之差为3π,则△PF 1F 2的面积为A.163B.323C.32D.42解析:由题意可知|PF 1|－|PF 2|=6，∠F 1PF 2=3π,|F 1F 2|=10.由余弦定理，得|F 1F 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+|PF 1|²|PF 2|,∴|PF 1|²|PF 2|=64. ∴S =21³64sin 3π=163,选A. 答案:A6.以椭圆252x +92y =1的焦点为焦点，离心率e =2的双曲线方程是A.62x －122y =1B.62x －142y =1C.42x －142y =1D.42x －122y =1 解析:a 2=25,b 2=9,则c 2=16,c =4,椭圆焦点坐标为(4，0)、(－4，0). 双曲线的焦点仍为(4，0)、(－4，0)，由于e =2,c =4, ∴a =2,b 2=c 2－a 2=12. ∴双曲线方程为42x －122y =1.答案:D7.已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22m x +22by =1(a >0,m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边的三角形是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析:双曲线22a x －22b y =1的离心率e 1=ac =a b a 22+，椭圆的离心率e 2=mb m 22-.∵e 1与e 2互为倒数，∴e 1e 2=1,即ab a 22+²m b m 22-=1,整理得a 2+b 2=m 2.∴以a 、b 、m 为边的三角形是直角三角形.答案:B8.方程22)1(3)1(3+++y x =|x +y －2|表示的曲线是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线D.不能确定解析:数形结合法.动点P (x ,y )到定点(－1,－1)和定直线x +y －2=0距离之比为26. 答案:B9.若椭圆m x 2+n y 2=1(m >n >0)和双曲线22a x －22by =1(a >b >0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|²|PF 2|的值是A.m －aB.21(m －a ) C.m 2－a 2D.m －a解析:|PF 1|+|PF 2|=2m ,|PF 1|－|PF 2|=2a , ∴|PF 1|=m +a ,|PF 2|=m －a .∴|PF 1|²|PF 2|=m －a . 答案:A10.已知F 1、F 2为椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的焦点,M 为椭圆上一点,MF 1垂直于x 轴,且∠F 1MF 2=60°,则椭圆的离心率为A.21 B.22C.33 D.23 分析:本题考查如何求椭圆的离心率.解:∵MF 1⊥x 轴,∴M 点的横坐标为x M =－c .把x M 代入椭圆方程22a x +22b y =1中,得y M =22ab ,如下图所示.在Rt △MF 1F 2中,tan ∠F 1MF 2=121MF F F =222a b c=3, 即2ac =3b 2.∴3a 2－2ac －3c 2=0. 每一项都除以a 2,得3－2e －3e 2=0, 解得e 1=33或e 2=－3 (舍). 答案:C第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.若椭圆的两个焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，椭圆的弦AB 过点F 1，且△ABF 2的周长为20，那么该椭圆的方程为__________.解析:△ABF 2的周长:|AF 2|+|AF 1|+|BF 2|+|BF 1|=2a +2a =4a =20, ∴a =5.又∵c =4,∴b =3.∴椭圆的方程为252x +92y =1.答案: 252x +92y =112.已知P 是椭圆上的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，∠PF 1F 2=90°,∠PF 2F 1=30°,则椭圆的离心率是__________.解析:因为e =a c =a c22=||||221PF PF c +, 于是在△PF 1F 2中，由正弦定理知e =︒+︒︒30sin 90sin 60sin =33. 答案:3313.经过点M (10,38),渐近线方程为y =±31x 的双曲线方程为__________.分析:本题考查依据条件求双曲线的方程.解:设双曲线的方程为(x －3y )(x +3y )=m (m ∈R ,且m ≠0),因双曲线过点M (10,38),所以有(10－3³38)(10+3³38)=m ,得m =36. 所以双曲线方程为x 2－9y 2=36,即362x －42y =1.答案: 362x －42y =114.方程k x -42+12-k y =1表示的曲线为C ，给出下列四个命题:①曲线C 不可能是圆；②若1<k <4,则曲线C 为椭圆；③若曲线C 为双曲线，则k <1或k >4； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <25. 其中正确的命题是__________. 解析:当4－k =k －1,即k =25时表示圆，否定命题①,显然k =25∈(1,4), ∴否定命题②；若曲线C 为双曲线，则有(4－k )(k －1)<0,即4<k 或k <1,故命题③正确；若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则4－k >k －1>0,解得1<k <25,说明命题④正确. 答案:③④三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)设椭圆的中心为坐标原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点连成60°的角，两准线间的距离等于83，求椭圆方程.解:依题意，设所求椭圆方程为22a x +22by =1,∵椭圆右焦点F (c ,0)与短轴两端点A 、B 连成60°的角， 如图，则∠AFB =60°,△AFB 为等边三角形， 于是有a =2b .① 又由两准线间的距离等于83，得2222ba a -=83.②联立①②两方程，解得a =6,b =3.故所求椭圆方程为362x + 92y =1.16.(本小题满分10分)已知椭圆162x +42y =1,过点P (2，1)引一条弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线方程.解:如图，设弦与椭圆的两交点坐标为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2).又P (2,1),∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.164,16422222121y x y x ①－②得(x 1－x 2)(x 1+x 2)+4(y 1－y 2)(y 1+y 2)=0, ∴2121x x y y --=－)(42121y y x x ++=－1242⨯⨯⨯=－21=k AB .∴l AB 的方程为y －1=－21(x －2). 17.(本小题满分12分)求以椭圆642x +162y =1的顶点为焦点,且一条渐近线的倾斜角为65π的双曲线方程.分析:已知渐近线方程为bx ±ay =0,中心在原点,求双曲线的方程.可设双曲线方程为 b 2x 2－a 2y 2=λ(λ≠0),根据其他条件,确定λ的正负.解:椭圆的顶点坐标为(±8,0)、(0,±4).∵双曲线渐近线方程为x ±3y =0, 则可设双曲线方程为x 2－3y 2=k (k ≠0)，即kx 2－32k y =1.若以(±8,0)为焦点,则k +3k=64,得k =48,双曲线方程为482x －162y =1；若以(0,±4)为焦点,则－3k－k =16,得k =－12,双曲线方程为42y －122x =1.18.(本小题满分12分)如下图，双曲线42x －22by =1(b ∈N *)的两个焦点为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，|OP |<5,|PF 1|、|F 1F 2|、|PF 2|成等差数列，求此双曲线方程.① ②解:∵|PF 1|、|F 1F 2|、|PF 2|成等差数列， ∴|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|=4c . 又|PF 1|－|PF 2|=2a =4,∴|PF 1|=2c +2,|PF 2|=2c －2.根据中线定理有|PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)<2(52+c 2), ∴(2c +2)2+(2c －2)2<2(52+c 2). ∴8c 2+8<50+2c 2. ∴c 2<7,即4+b 2<7.∴b 2<3.又b ∈N *,∴b =1.∴所求双曲线方程为42x －y 2=1.19.(本小题满分12分)在△ABC 中,已知B (－2,0)、C (2,0),AD ⊥BC 于点D ,△ABC 的垂心为H ,且=31.(1)求点H (x ,y )的轨迹G 的方程；(2)已知P (－1,0)、Q (1,0),M 是曲线G 上的一点,||MP ||PQ ||MQ 能成等差数列吗?若能,求出M 点的坐标；若不能,请说明理由.(1)解:∵H 点坐标为(x ,y ),则D 点坐标为(x ,0),由定比分点坐标公式可知,A 点的坐标为(x ,34y ). ∴BH =(x +2,y ),CA =(x －2,34y ). 由BH ⊥CA 知x 2－4+34y 2=0,即42x + 32y =1,∴G 的方程为42x +32y =1(y ≠0).(2)解法一:显然P 、Q 恰好为G 的两个焦点, ∴||+||=4,||=2. ||MP ||PQ ||MQ 成等差数列,||MP ||MQ ||PQ ∴||²||=| |+||=4.由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+,4||||,4||||MQ MP 可得||=|MQ |=2, ∴M 点为42x +32y =1的短轴端点. ∴当M 点的坐标为(0, 3)或(0,－3)时||MP ||PQ ||MQ 成等差数列.解法二:设M 点的坐标为(x ,y ),显然P 、Q 恰好为42x + 32y =1的两个焦点, ∴||+|MQ |=4,| PQ |=2. ||MP ||PQ ||MQ 成等差数列, ||MP ||MQ ||PQ 由椭圆第二定义可得|MP |=a +ex ,|MQ |=a －ex , ∴)4(211+x +)4(211x -=1.解得x =0.∴M 点的坐标为(0, 3)或(0,－3). ∴当M 点的坐标为(0,3)或(0,－3)时||MP ||PQ ||MQ 成等差数列.。