全国名校高中数学优质学案(附详解)专题2.5简单复合函数的求导法则导学案

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高中数学简单复合函数的求导法则学案北师大选修

2.5 简单复合函数的求导法则一、学习目标1、能用求导法则及导数公式求某些简单函数的导数；2、会求简单复合函数（形如()y f ax b =+）的导数.二、重点难点：理解并应用求导法则.三、课前练习：求下列函数的导数（1）7653y x x x =+- （2）3cos y x x =- （3）3sin y x x =（4）()()35138y x x =-+ （5）y x=（6）cos 1sin x y x =+（7）(21y x =+（8）sin x y x = （9）22ax bx y cx d +=+四、典型例题已知可导函数()y f u =，且(),0u ax b a b a =+≠为常数,，求dy dx .五、课堂练习1、求下列函数的导数（1）()1035y x =- （2）()2254y x =- （3）()8174y x =-（4）()3435y x =- （5）y =（6）()5ln 57y x =+（7）()ln 54y x =+ （8）21x y e+= （9）213x y -=（10）()cos 35y x =+ （11）cos3x y e x = （12）()()232123y x x =--（13）()32sin5y x x =+ （14）cos3sin 2y x x = （15）()()()123y x x x =+++2、从时刻0t =开始()t s 内，通过某导体的电量（单位：库仑）可以由公式223q t t =+表示.求第5秒时和第7秒时的电流强度't q ，说明什么时刻电流强度达到43A ？六、选做题：设l 是1y x=图象的一条切线，证明l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.。

高中数学第二章导数及其应用5简单复合函数的求导法则学案北师大版选择性

§5简单复合函数的求导法则最新课程标准学科核心素养能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数．1.了解复合函数的概念．(数学抽象) 2．利用复合函数的求导法则会求简单复合函数的导数．(数学运算)3．利用复合函数的求导法则会解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)[教材要点]要点一复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成____________，称这个函数为函数y＝f (u)和u ＝φ(x )的____________，记作____________，其中u为中间变量．要点二复合函数的求导法则复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为y x′＝____________．即y对x的导数是__________________．状元随笔(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y ′＝(ax＋b) ′·f ′(ax＋b)＝af ′(ax＋b)．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝log3(x＋1)是由y＝log3t及t＝x＋1两个函数复合而成的．( )(2)函数f(x)＝e－x的导数是f′(x)＝e－x.( )(3)函数f(x)＝ln (1－x)的导数是f′(x)＝.( )(4)函数f(x)＝sin 2x的导数是f′(x)＝2 cos 2x．( )2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是( )A．y＝ln (x－2) B．y＝ln x＋x－2C．y＝(x－2)ln x D．y＝ln 2x3．若函数f(x)＝3cos (2x＋)，则f′()等于( )A．－3 B．3C．－6 D．64．曲线y＝e－x在点(0，1)的切线方程为________．题型一求复合函数的导数例1 求下列函数的导数(1)y＝；(2)y＝cos (2 021x＋8)；(3)y＝e1－3x；(4)y＝ln (2x－6)．方法归纳复合函数求导的步骤跟踪训练1 (1)y＝(2x－1)4；(2)y＝；(3)y＝sin (－2x＋)；(4)y＝102x＋3.题型二复合函数的导数与曲线的切线问题例2 (1)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________．(2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，则实数a的值为__________．方法归纳准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．跟踪训练2 (1)设曲线y＝e ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．(2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，则切线l的方程为________；若直线l与圆C：x2＋y2＝相交，则实数u的取值范围为________________________________________________________________________．题型三复合函数的导数在实际问题中的应用例 3 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin (t＋)(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．方法归纳将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．跟踪训练3 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝( ) A．5太贝克 B．75ln 2太贝克C．150ln 2 太贝克 D．150太贝克易错辨析对复合函数求导不完全致错例4 函数y＝x e1－2x的导数y′＝________．解析：y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋x e1－2x·(1－2x)′＝e1－2x＋x e1－2x(－2)＝(1－2x)e1－2x.答案：(1－2x)e1－2x【易错警示】出错原因纠错心得对e1－2x 的求导没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全致错．复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，分步计算时，每一步都要明确是对哪个变量求导．[课堂十分钟]1．y＝5的导数是( )A．54B．5C．104D．542．函数y＝e2x－4在点x＝2处的切线方程为( )A．2x －y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．e x－y －2e ＋1＝0D．e x＋y ＋2e－1＝03．(多选题)下列导数运算正确的有( )A．′＝B ．′＝(x＋1)e xC．′＝2e2xD．′＝4．已知f(x)＝sin ，则f′＝____________．5．设函数f(x)＝a e x ln x＋.(1)求导函数f′(x)；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．§5简单复合函数的求导法则新知初探·课前预习要点一x的函数复合函数y＝f(φ(x))要点二y u′·u x′y对u的导数与u对x的导数的乘积[基础自测]1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．解析：函数y＝ln (x－2)是由函数y＝ln u和u＝g(x)＝x－2复合而成的，A符合；函数y＝ln 2x是由函数y＝ln u和u＝2x复合而成的，D符合，B与C不符合复合函数的定义．故选AD.答案：AD3．解析：由题意得f′(x)＝－6sin (2x＋)，∴f′()＝－6sin＝6sin＝6×＝3.答案：B4．解析：∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，∴y′|x＝0＝－1，∴切线方程为y－1＝－x，即x＋y－1＝0.答案：x＋y－1＝0题型探究·课堂解透题型一例1 解析：(1)设u＝φ(x)＝3－4x，则y＝f(u)＝＝u－4，∴y′x＝y′u·u′x＝(u－4)′·(3－4x)′＝(－4u－5)·(－4)＝＝.(2)设u＝φ(x)＝2 021x＋8，则y＝f(u)＝cos u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(cos u)′·(2 021x＋8)′＝(－sin u)·2 021＝－2 021sin (2 021x＋8)．(3)设u＝φ(x)＝1－3x，则y＝f(u)＝e u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(e u)′·(1－3x)′＝e u·(－3)＝－3e1－3x.(4)设u＝φ(x)＝2x－6，则y＝f(u)＝ln u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(ln u)′·(2x－6)′＝×2＝＝.跟踪训练1 解析：(1)设u＝φ(x)＝2x－1，则y＝f(u)＝u4，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.(2)设u＝φ(x)＝1－2x，则y＝f(u)＝＝，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝)′·(1－2x)′＝)·(－2)＝＝.(3)设u＝φ(x)＝－2x＋，则y＝f(u)＝sin u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(sin u)′·(－2x＋)′＝cos u·(－2)＝－2cos (－2x＋)．(4)设u＝φ(x)＝2x＋3，则y＝f(u)＝10u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(10u)′·(2x＋3)′＝(10u·ln 10)×2＝(2ln 10)102x＋3.题型二例2 解析：(1)设x>0，则－x<0，因为x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，所以f(－x)＝e x－1＋x，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝e x－1＋x，f′(x)＝e x－1＋1，f′(1)＝e1－1＋1＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即：2x－y＝0.(2)因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，所以f′(1)＝2a－2，所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝.答案：(1)2x－y＝0 (2)跟踪训练2 解析：(1)令y＝f(x)，则曲线y＝e ax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(x)＝(e ax)′＝a e ax.所以f′(0)＝a e0＝a，故a＝2.(2)f′(x)＝2ax＋(x<2)，∴f′(1)＝2a－2 又f(1)＝a，∴切线l的方程为：y－a＝(2a－2)(x－1)，即2(a－1)x－y＋2－a＝0.若直线l与圆C：x2＋y2＝相交，则圆心到直线l的距离d＝<.解得a>，即实数a的取值范围为(，＋∞)．答案：(1)2 (2)2(a－1)x－y＋2－a＝0 (，＋∞)题型三例3 解析：设f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝t＋.由复合函数求导法则得s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cos x·＝cos .将t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos ＝(m/h)．它表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.跟踪训练3 解析：M′(t)＝，由M′(30)＝＝－10ln 2，解得M0＝600，所以M(t)＝，所以t＝60时，铯137的含量为M(60)＝＝600×＝150(太贝克)．故选D.答案：D[课堂十分钟]1．解析：令u＝3x2＋2x，则y＝u5，∴u′x＝6x＋2，y′u＝5u4，∴y′x＝y′u·u′x＝5.故选A.答案：A2．解析：∵y＝e2x－4，求导得y′＝2e2x－4，则当x＝2时，y′＝2e0＝2，所以切线的斜率为2.又当x＝2时，y＝e2x－4＝e0＝1，所以切点为(2，1)．所以切线方程为2x－y－3＝0.故选A.答案：A3．解析：对于A，′＝′＝－x－2＝－，故错误；对于B, ′＝x′e x＋x′＝(x＋1)e x，故正确；对于C, ′＝′e2x＝2e2x，故正确；对于D, ′＝′＝，故错误．故选BC.答案：BC4．解析：由f(x)＝sin ，可得f′(x)＝cos ·′＝，故f′＝＝－.答案：－5．解析：(1)由f(x)＝a e x ln x＋，得f′(x)＝(a e x ln x)′＋′＝a e x ln x＋.(2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f(x)得f(1)＝b，∴b＝2.将x＝1代入导函数f′(x)中，得f′(1)＝a e＝e，∴a＝1.。

高二数学复合函数的求导法则教案

高二数学复合函数的求导法则教案教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。

函数导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅> ()x y f x e == 'x y e =()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 xcos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714），过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716．四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数五．回顾总结六．布置作业。

高中数学第二章变化率与导数 2.5 简单复合函数的求导法则教案 2数学教案

简单复合函数的求导法则一、复习：1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2. 两个函数的和、差、积、商的求导法则法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、探究新课（一）、自主学习学生阅读课本49页“实例分析”。

1. 复合函数的定义：一般地，对于两个函数)(u f y =和b ax x u +==)(ϕ，给定x 的一个值，就得到了u 的值，进而确定了y 的值，这样y 可以表示成x 的函数，我们称这个函数为函数)(u f y =和)(x u ϕ=的复合函数，记作))((x f y ϕ=。

其中u 为中间变量。

2.复合函数))((x f y ϕ=的导数为：)()(]))(([''='='x u f x f y x ϕϕ (x y '表示y 对x 的导数)3.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数4.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．（二）、典例精讲例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴ 32)2(x y -=； ⑵2sin x y =；⑵ ⑶)4cos(x y -=π； ⑷．解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； ⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；⑷函数由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2、求函数13+=x y 的导数。

5.简单复合函数的求导法则导学案

主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：§5简单复合函数的求导法则【学习目标】1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则；2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。

【重点、难点】重点：简单复合函数的求导法则；难点：复合函数的导数。

【使用说明与学法指导】1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；1、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；【自主探究】1.复合函数对两个函数)(x f y =和)(x g y =，如果通过变量u ，y 表示成______的函数，我们称这个函数为函数)(x f y =和)(x g y =的复合函数，记作，_________其中为________变量.2.复合函数的导数如果函数)(x f 、)(x u 有导数,那么_____='xy 【合作探究】求下列函数的导数（1）82)21(x y += （2）33x x y +=（3）)(cos 2b ax y += （4） )12ln(+-=x y1、 )ln 1(2x xey x += （6）x x y -+=11ln2、曲线x ey x 3cos 2=在)1,0(处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程。

3、已知函数2()(2)2x f x ln x a=--，a 为常数。

(1)求(3)f '的值；（2）当3x =时，曲线()y f x =在点0(3)y ，处的切线经过点(11)--，，求a 的值。

【巩固提高】1、求下列函数的导数（1）y =2)13(1-x （2）y =21sin2x +sin x（3）y =sin 3(3x +4π) （4）22cos 53sin x x y +=2、已知,)1()(102x x x f ++=求)0()0(f f '3、已知曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线1l 平行直线014=--y x ，且点0P 在第三象限（1）求点0P 的坐标（2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程。

高中数学第二章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则学案含解析北师大版选修2_2

§2.5 简单复合函数的求导法则1.了解复合函数的概念.(难点)2.掌握复合函数的求导法则.(重点)3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 复合函数的概念阅读教材P 49倒数第2行以上部分，完成下列问题. 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )＝ax ＋b ，给定x 的一个值，就得到了u 的值，)x (φ＝u 和)u (f ＝y 我们称这个函数为函数，的函数x 可以表示成y 这样，的值y 进而确定了.为中间变量u 中其，))x (φ(f ＝y 记作，复合函数的下列函数不是复合函数的是( ) A.y ＝－x 3－1x ＋1 B.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 C.y ＝1ln xD.y ＝(2x ＋3)4 【解析】A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A. 【答案】A 教材整理2 复合函数的求导法则阅读教材P 49最后两行至P 50部分，完成下列问题. 复合函数y ＝f (φ(x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )的导数间的关系为y x ′＝.的导数的乘积x 对u 的导数与u 对y 的导数是x 对y 即.′x u ′·u y(ln 2x )′等于( )A.12xB.1xC.1xln 2D.ln 2x【解析】(ln 2x)′＝12x (2x)′＝1x.【答案】B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.【精彩点拨】分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系.【自主解答】(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的.(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的.(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的.判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数.[再练一题]1.指出下列函数由哪些函数复合而成.。

2020-2021学年北师大版数学选修2-2学案：2.5 简单复合函数的求导法则 Word版含解析

5 简单复合函数的求导法则授课提示：对应学生用书第21页[自主梳理]一、复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )＝ax ＋b .给定x 的一个值，就得到了u 的值，进而确定了y 的值，这样y 可以表示成x 的函数，我们称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )的复合函数，记作________，其中________为中间变量．二、复合函数的求导法则复合函数y ＝f (φ(x ))的导数为： y ′(x )＝[f (φ(x ))]′＝________.[双基自测]1．函数y ＝(3x －4)2的导数是( ) A ．4(3x －2) B ．6x C ．6x (3x －4)D ．6(3x －4)2．函数y ＝e 2x－4在x ＝2处的切线方程为( )A ．2x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．e x －y －2e ＋1＝0D ．e x ＋y ＋2e －1＝03．已知函数f (x )＝(2x －1)2的导数为f ′(x )，则f ′(1)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－3x 的导数为________． 5．函数f (x )＝(2x ＋1)5，则f ′(0)的值为________． [自主梳理]一、y ＝f (φ(x )) u 二、f ′(u )φ′(x ) [双基自测]1．D y ′＝[(3x －4)2]′＝2(3x －4)·3＝6(3x －4)． 2．A y ′＝(e 2x －4)′＝e 2x －4·(2x －4)′＝2e 2x －4，所以k ＝2e 2×2－4＝2.把x ＝2代入y ＝e 2x －4，得y ＝1，所以切点为(2,1)．所以函数y ＝e 2x－4在x ＝2处的切线方程为y －1＝2(x －2)，所以2x －y －3＝0.3．D f ′(x )＝2(2x －1)×2＝8x －4，则f ′(1)＝8×1－4＝4.4．3sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x y ′＝⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π4－3x ′＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ·(－3)＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x . 5．10 f ′(x )＝5(2x ＋1)4·(2x ＋1)′＝10(2x ＋1)4，∴f ′(0)＝10.授课提示：对应学生用书第22页探究一复合函数的导数运算[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln(6x ＋4)； (3)y ＝e 2x ＋1；(4)y ＝2x －1； (5)y ＝sin(3x －π4)；(6)y ＝cos 2x .[解析] (1)y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝6(3x －2) ＝18x －12.(2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2.(3)y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1. (4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1 .(5)y ′＝cos(3x －π4)·(3x －π4)′＝3cos(3x －π4)．(6)设y ＝u 2，u ＝cos x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2u ·(－sin x )＝－2sin x cos x ＝－sin 2x .复合函数求导的关键是选择中间变量，必须正确分析复合函数是由哪些基本初等函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，要善于把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量，求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏．此外，还应特别注意求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．1．求下列函数的导数：(1)y ＝1(1－3x )4；(2)y ＝sin x 2； (3)y ＝sin 2(2x ＋π3)；(4)y ＝1＋x 2.解析：(1)令u ＝1－3x ，则y ＝u －4，y ′＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5·(1－3x )′＝12u －5＝12(1－3x )5.(2)令u ＝x 2，则y ＝sin u ，所以y ′＝cos u ·u ′＝cos x 2·2x ＝2x cos x 2. (3)令y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2＝2sin(2x ＋π3)·cos(2x ＋π3)·2＝2sin(4x ＋2π3)．(4)令u ＝1＋x 2，则y ＝u ＝u 12，∴y ′＝12u －12·(1＋x 2)′＝x1＋x 2.探究二复合函数导数的综合问题[例2] 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s (t )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋5π6(0≤t ≤24)，其中s 的单位是m ，t 的单位是h ，求函数在t ＝18时的导数，并解释它的实际意义．[解析] 设f (x )＝3sin x ，x ＝φ(t )＝π12t ＋5π6.由复合函数求导法则得s ′(t )＝f ′(x )·φ′(t )＝3cos x ·π12＝π4cos ⎝⎛⎭⎫π12t ＋5π6. 将t ＝18代入s ′(t )，得s ′(18)＝π4cos 7π3＝π8(m/h)．它表示当t ＝18 h 时，潮水的高度上升的速度为π8m/h.将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．2．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝() A．5太贝克B．75ln 2太贝克C．150ln 2太贝克D．150太贝克解析：∵M′(t)＝－130M02－t30·ln 2，∴M′(30)＝－130×12M0ln 2＝－10ln 2，∴M0＝600.∴M(t)＝600×2－t30，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．答案：D对复合函数求导因层次不清而致误[例3]函数y＝sin n x cos nx的导数为________．[解析]y′＝(sin n x)′cos nx＋sin n x(cos nx)′＝n sin n－1x(sin x)′cos nx＋sin n x(－sin nx)·(nx)′＝n sin n－1x cos x·cos nx－sin n x sin nx·n＝n sin n－1x(cos x cos nx－sin x sin nx)＝n sin n－1x cos[(n＋1)x]．[答案]n sin n－1x cos[(n＋1)x][错因与防范]本题解答过程中对cos nx求导时，易漏掉对nx求导而导致求导错误．对较复杂函数求异时，先判定该函数是否为复合函数，若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

第5课时简单复合函数的求导法则(导学案)

课堂导学
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第一章
第第5一课章时
第 20 页
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【变式设问】求曲线 f(x)=e2x+1 过点 - 1 ,0 的切线方程.
2
提示:设切点为(x0,e2��0+1),则切线 l 的斜率为 k=2e2��0+1,故切线方程为 y-
e2 ��0 +1 =2e2 ��0 +1 (x-x0),将点
3 则,并结合导数公式和法则求习题熟练掌握复合函数求养数学运算的素养
一些简单复合函数的导数导法则的应用
3
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第第5一课章时
第4 页
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重点:能够利用复合函数的求导法则,对形如 f(ax+b)的复合函数求导. 难点:简单复合函数的求导法则的应用.
4
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2020
导学案课堂同步用书
选修2-2
第一章导数及其应用第5课时1 简单复合函数的求导法则
金太阳教育研究院
1
1 课前预学
目
2 课堂导学
录
3 课上固学
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第一章第5课时
第2 页
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序号
知识目标
学法建议
能力素养
阅读教材,合作探究,初步
2
3
23
(3)函数 y=lg(3-2x)是由函数 y=lg u 和 u=3-2x 复合而成.
7
课前预学
课堂导学

2.5简单复合函数的求导法则课件-高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

数几何意义的相应题型的解法.
环节四
学以致用
1.求下列函数的导函数
′

2
1 = 2 + 3 ;
2 =
−0.05+1
;
= 8 + 12
′
= −0.05
−0.05+1
3 = sin + (其中π，p均为常数)
′ = cos +
2.求下列函数的导函数
5
1 = 2 + 1 ;

5
关系s(t)＝3sin( t＋ )(0≤t≤24)，其中s的单位
12
6
是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，
并解释它的实际意义．

解：函数s(t)＝3sin(
12
t＋
5
)可以看作函数f(x)＝3sinx和x＝φ(t)
6

12
5
＝
t＋的复合函数，其中x是中间变量．由导数公式表可得
油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关
于t的函数解析式为
= = + .
油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少?
分析
由题意知，时间t决定油膜的半径r，进而决定油膜的面积S，所以
可得S关于的函数解析式为
= = 2 + 1 2 .
油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率就是函数 = 的导数.
100
数解析式为 ℎ = ℎ =
,求函数在 = 3时的
2+1
导数，并解释它的实际意义.
100
是由函数
2+1
100
和函数

2.5简单复合函数的求导法则课件高二下学期数学北师大版选择性

(2)y'=(sin 2x)'+(cos 2x)'=2cos 2x-2sin 2x.
2
(3)设 y=u ,u=ln x,则
于是
1
yu'=2u,ux'=,
2ln
yx'=yu'·ux'= ,即

2ln
y'= .

探究点三
与复合函数有关的切线问题
【例3】 (1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(
变式训练1[人教B版教材例题]求下列函数的导数.
(1)h(x)=e5x-1;
(2)f(x)=ln(2x+1);
(3)y= 2-1;
(4)y=sin 2 +
π
3
.
解 (1)h(x)=e5x-1可以看成f(u)=eu与u=g(x)=5x-1的复合函数,因此
h'(x)=f'(u)g'(x)=(eu)'(5x-1)'=eu×5=5e5x-1.
(2)y'=(e-x)'sin 2x+e-x·(sin 2x)'=-e-xsin 2x+2e-xcos 2x.
4
4
重难探究·能力素养速提升
探究点一
求复合函数的导数
【例1】求下列函数的导数.
(1)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x- π );(3)y=ln(4x-1);(4)y=
4
e
2 .
分析先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导.
解 (1)设y=u2,u=4-3x,则yu'=2u,ux'=-3,于是yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)=18x-24,即

【步步高学案导学设计】高中数学 2.5 简装复合函数的求导法则课时作业北师大版选修2-2

§5 简单复合函数的求导法则课时目标 1.理解复合函数的变量之间的关系，会将复合函数分解成简单函数.2.理解复合函数的求导法则，会求形如y ＝f (ax ＋b ) (a ≠0)的函数的导数．1．复合函数对于两个函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )＝ax ＋b ，给定x 的一个值，就得到了u 的值，进而确定了y 的值，这样y 可以表示成x 的函数，我们称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )的复合函数，记作y ＝f (φ(x ))．其中u 为中间变量．2．复合函数的导数函数y ＝f (φ(x ))的导数为y ′x ＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )·φ′(x )．一、选择题1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝(x －1)3．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<04．函数y ＝sin(4x ＋5)的导数是( )A ．y ′＝cos(4x ＋5)B ．y ′＝4cos(4x ＋5)C ．y ′＝4sin(4x ＋5)D ．y ′＝－4cos(4x ＋5)5．函数y ＝(3x －6)5的导数是( )A ．y ′＝5(3x －6)4B ．y ′＝15(3x －6)4C ．y ′＝5(3x )4D ．y ′＝－15(3x －6)46．函数y ＝(2 010－8x )8的导数为( )A ．8(2 010－8x )7B ．－64xC ．64(8x －2 010)7D ．64(2 010－8x )7二、填空题7．已知函数y ＝f (x )的导数为f ′(x )＝2x ，则函数y ＝f (2x －1)的导数是__________．8．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1处的切线斜率为________． 9．函数y ＝log 3(2x 2＋1)的导数是______________．三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝sin 2x ； (2)y ＝(sin x ＋1)2.11．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4e－x＋1－2在点M(1，－3)处的切线平行的直线方程．能力提升12．曲线y＝(2x－2)3在点(2,8)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为多少？13．求函数y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离．1．复合函数求导的关键是选择好中间变量，然后按公式求导．2．利用复合函数的导数，可以解决曲线的切线等数学问题．答案作业设计1．D [y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.]2．A [显然选项B、C、D不符合题意，对于选项A，f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)，因为f′(x)＝3(x－1)2＋3，所以f′(1)＝3.]3．B [当x<0时，－x>0，因为f(x)＝－f(－x)，g(x)＝g(－x)，所以，f′(x)＝[－f(－x)]′＝f′(－x)>0，g′(x)＝[g(－x)]′＝－g′(－x)<0.]4．B [函数可以看作是y＝sin u和u＝4x＋5的复合，所以y′＝(sin u)′(4x＋5)′＝4cos(4x＋5)．]5．B [函数可以看作是y＝u5和u＝3x－6的复合，所以y′＝(u5)′(3x－6)′＝15(3x －6)4.]6．C [y′＝[(2 010－8x)8]′＝8(2 010－8x)7·(2 010－8x)′＝－64(2 010－8x)7＝64(8x －2 010)7.]7．8x －4解析令u ＝2x －1，f (2x －1)＝f ′(u )(2x －1)′＝2u ·2＝4(2x －1)＝8x －4.8．0解析 y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， x ＝π3时，y ′＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2·π3＋π3＝0. 9.4x x 2＋解析令y ＝log 3u ，u ＝2x 2＋1，则y ′＝(log 3u )′(2x 2＋1)′＝1u ln 3·(4x )＝4x x 2＋. 10．解 (1)引入中间变量u ＝φ(x )＝2x ，则函数y ＝sin 2x 是由函数f (u )＝sin u 和u ＝φ(x )＝2x 复合而成，因f ′(u )＝cos u ， u ′＝φ′(x )＝2，由复合函数求导法则可得，y ′＝(sin 2x )′＝f ′(u )φ′(x )＝2cos 2x .(2)引入中间变量u ＝φ(x )＝sin x ＋1，则函数y ＝(sin x ＋1)2是由函数f (u )＝u 2和u ＝φ(x )＝sin x ＋1复合而成，因f ′(u )＝2u ，u ′＝φ′(x )＝cos x ，由复合函数求导法则可得y ′＝[sin x ＋1)2]′＝f ′(u )φ′(x )＝2(sin x ＋1)cos x .11．解因为y ′＝(3x 2－4e －x ＋1－2)′＝6x ＋4e －x ＋1，所以过点(1，－3)切线的斜率为k ＝y ′＝6＋4＝10，所以过P (－1,2)与切线平行的直线方程为y －2＝10(x ＋1)，即y ＝10x ＋12.12．解因为f ′(x )＝[]x －3′＝6(2x －2)2，所以f ′(2)＝6(4－2)2＝24，曲线在(2,8)处的切线方程为y －8＝24(x －2)，切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0. 所以，三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－53·8＝43. 13．解因为y ＝ln(2x －1)可看成y ＝ln u 和u ＝2x －1的复合函数，所以y ′＝[ln(2x －1)]′＝(ln u )′(2x －1)′＝1u ·2＝22x －1，设切点坐标P (x 0，y 0)，根据导数的几何意义，则有22x 0－1＝2，所以x 0＝1，y 0＝ln(2x 0－1)＝0，所以切点为P (1,0)，故所求的最短距离d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5.。

北师版数学高二-选修2-2教学设计2.5简单复合函数求导

复合函数的求导1．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量的基本函数或关于自变量的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．如函数，由，复合而成；函数由，，复合而成．2．复合函数的求导法则：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．注：（1）分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量．（2）分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是变量的系数．如，而．（3）根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．（4）复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写．例1 指出下列函数的复合关系：（1），；（2），，．分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构．【解析】：函数的复合关系分别是：（1），；（2），，．评注：解决复合关系问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．例2 求下列函数的导数：（1）； 51(13)y x =-5y u -=13u x =-y =ln y u =12u v =21v x =+(())f g x ()y f u =()u g x =x u x y y u '''=(sin 3)3cos3x x '=(sin 3)cos3x x '≠m y u =n u a bx =+ln y u =13u v =2x u e =+m y u =n u a bx =+ln y u =13u v =2x u e =+4312y x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）．分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏．其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．【解析】：（1）方法1：设，，则。

2.5 简单复合函数的求导法则导学案(高中数学选修2-2 北师大版)

2.5简单复合函数的求导法则1.理解复合函数的概念,了解简单复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数(仅限于形如f(ax+b)的函数)的求导.如果物体运动的路程为s=ln(2t+1),那么t=2 s时的瞬时速度是多少?问题1:中学数学中常用的基本初等函数有哪些?中学数学中常用的基本初等函数有:y=xα,y=a x,y=log a x,y=sin x,y=cos x,y=tan x,y=cot x等.问题2:复合函数如何拆分?讨论复合函数的构成时,“内层”“外层”函数一般应是基本初等函数,如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成,所以在求复合函数的导数时,先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的,特别要注意将哪一部分看作一个整体,然后按照复合次序从外向内逐层求导.问题3:利用复合函数的求导法则如何求抽象函数y=f(ax+b)的导数呢?令ax+b=u,则y'=f'(u)u'(x)= =f'(ax+b)·a=af'(ax+b).问题4:复合函数的求导步骤有哪些?如果函数f(u)、u(x)有导数,那么[f(u(x))]'= .第一步:(从外向内分解成基本函数直到中间变量);第二步:层层(将分解所得的基本函数进行求导);第三步:还原(将各层基本函数的导数相乘,并将中间变量还原为原来的自变量).1.函数y=(3x-2)2的导数为().A.y'=2(3x-2)B.y'=6xC.y'=6x(3x-2)D.y'=6(3x-2)2.函数y=x2cos 2x的导数为().A.y'=2x cos 2x-x2sin 2xB.y'=2x cos 2x-2x2sin 2xC.y'=x2cos 2x-2x sin 2xD.y'=2x cos 2x+2x2sin 2x3.f(x)=(3x-a)2,且f'(1)=6,则a= .4.求下列函数的导数.(1)y=(x+1)2-lg x;(2)y=.复合函数的定义指出下列函数是怎样复合而成的.(1)y=(3+5x)2;(2)y=log3(x2-2x+5);(3)y=cos 3x.简单复合函数的导数求下列函数的导数:(1)y=(2x-1)4;(2)y=;(3)y=sin(-2x+);(4)y=102x+3.简单复合函数导数的应用求曲线f(x)=e2x+1在点(-,1)处的切线方程.指出下列函数由哪些函数复合而成:(1)y=ln;(2)y=;(3)y=cos(x+1).求下列函数的导数.(1)y=e3x;(2)y=5log2(2x+1).曲线f(x)=e2x cos 3x在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.1.下列函数不是复合函数的是().A.y=-x3-+1B.y=cos(x+)C.y=D.y=(2x+3)42.函数y=的导数是().A.y'=B.y'=C.y'=-D.y'=-3.设曲线f(x)=e ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= .4.已知a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线.求切线l的方程.(2014年·江西卷)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.考题变式(我来改编):。

2022年《学案5.2.3简单复合函数的导数》优秀教案

简单复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数＝f u和u＝g，如果通过中间变量u，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数＝f u和u＝g的复合函数，记作＝f g．思考：函数＝og2＋1是由哪些函数复合而成的？[提示]函数＝og2＋1是由＝og2u及u＝＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法那么复合函数＝f g的导数和函数＝f u，u＝g的导数间的关系为′＝′u·u′，即对的导数等于对u的导数与u对的导数的乘积．1．判断正误正确的打“√〞，错误的打“×〞1函数＝inπ的复合过程是＝in u，u＝π．2f ＝n3－1那么f ′＝错误!．3f ＝2co2，那么f ′＝2co2＋22in2．[提示]2中f ′＝错误!3中，f ′＝2co 2－22in 2[答案]1√2×3×2．函数＝的导数是A．B．C．－D．－C[∵＝，∴′＝－2×错误!×3－1′＝－]3．以下对函数的求导正确的选项是A．＝1－23，那么′＝31－22B．＝og22＋1，那么′＝C．＝co错误!，那么′＝错误!in错误!D．＝22－1，那么′＝22n 2D[A中，′＝－61－22，∴A错误；B中，′＝，∴B错误；C中，′＝－错误!in错误!，∴C错误；D中′＝22－1n 2×2－1′＝22n 正确．]1＝e2＋1；2＝；3＝5og21－；4＝错误![解]1函数＝e2＋1可看作函数＝e u和u＝2＋1的复合函数，∴′＝′u·u′＝e u′2＋1′＝2e u＝2e2＋12函数＝可看作函数＝u－3和u＝2－1的复合函数，∴′＝′u·u′＝u－3′2－1′＝－6u－4＝－62－1－4＝－3函数＝5og21－可看作函数＝5og2u和u＝1－的复合函数，∴′＝′u·u′＝5og2u′·1－′＝错误!＝4∵n 3′＝错误!×3′＝错误!∴′＝错误!＝错误!＝错误!1．解答此类问题常犯两个错误1不能正确区分所给函数是否为复合函数；2假设是复合函数，不能正确判断它是由哪些根本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤[跟进训练]1．求以下函数的导数：1＝103－2；2＝ne＋2；3＝错误![解]1令u＝3－2，那么＝10u所以′＝′u·u′＝10u n 10·3－2′＝3×103－2n 102令u＝e＋2，那么＝n u∴′＝′u·u′＝错误!·e＋2′＝错误!3′＝错误!′＝错误!＋错误!′＝错误!＋错误!＝错误!1＝co错误!错误!；2＝2＋tan[思路探究]先将给出的解析式化简整理，再求导．[解]1∵＝co错误!错误!＝co错误!in错误!－co2错误!＝错误!in －错误!1＋co ＝错误!in －co －错误!，∴′＝＝错误!in －co ′＝错误!co ＋in ．2因为＝2＋错误!，所以′＝2′＋错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误![解]由题意可知，设切点＝2错误!，解得m＝8或－12即实数m的值为8或－122．变条件、变结论把本例1条件变为“假设直线＝＋b是＝n ＋2的切线，也是＝n＋1的切线〞，求b的值．[解]函数＝n ＋2的导函数为′＝错误!，函数＝n＋1的导函数为′＝错误!设曲线＝n ＋2和曲线＝n＋1上的切点横坐标分别为m，n，那么该直线方程可以写成＝错误!·－m＋n m＋2，也可以写成＝错误!－n＋n n＋1．整理后比照得错误!解得错误!因此b＝1－n 2利用导数的几何意义解题时的注意点1求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出2切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组3如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件4与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个1．求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为根本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．2．和与差的运算法那么可以推广[f 1±f 2±…±f n]′＝f ′1±f ′2±…±f ′n．1．函数＝2－1n的复合过程正确的选项是A．＝u n，u＝2－1B．＝u－1n，u＝2C．＝t n，t＝2－1n D．＝t－1n，t＝2－1[答案]A2．函数＝2co 2的导数为A．′＝2co 2－2in 2B．′＝2co 2－22in 2C．′＝2co 2－2in 2D．′＝2co 2＋22in 2B[′＝2′co 2＋2co 2′＝2co 2＋2－in 2·2′＝2co 2－22in 2]3．f ＝n3－1，那么f ′1＝________错误![f ′＝错误!×3－1′＝错误!，∴f ′1＝错误!＝错误!]4．f ＝e－，那么f 在＝2处的切线斜率是________．－错误![∵f ＝e－，∴f ′＝e－－e－＝1－e－，∴f ′2＝－错误!根据导数的几何意义知f 在＝2处的切线斜率为＝f ′2＝－错误!]5．求以下函数的导数：1＝e2；2＝1－33[解]1′＝e2·2′＝e2·2＝2e22′＝31－321－3′＝－91－32或′＝－812＋54－9。

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