2 刚体

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转动惯量实验报告-理论力学

理论力学转动惯量实验报告实验小组成员：1453352 郭佳林 1453422 贺春森 1453442 刘美岑 1450051 万丽娟 1453208 王玮实验时间：2015年5月24日13：30——15：30实验地点：同济大学四平路校区力学实验中心【实验概述】转动惯量是描述刚体转动中惯性大小的物理量，它与刚体的质量分布及转轴位置有关。

正确测定物体的转动惯量，对于了解物体转动规律，机械设计制造有着非常重要的意义。

然而在实际工作中，大多数物体的几何形状都是不规则的，难以直接用理论公式算出其转动惯量，只能借助于实验的方法来实现。

因此，在工程技术中，用实验的方法来测定物体的转动惯量就有着十分重要的意义。

IM-2 刚体转动惯量实验仪，应用霍尔开关传感器结合计数计时多功能毫秒仪自动记录刚体在一定转矩作用下，转过π角位移的时刻，测定刚体转动时的角加速度和刚体的转动惯量。

因此本实验提供了一种测量刚体转动惯量的新方法，实验思路新颖、科学，测量数据精确，仪器结构合理，维护简单方便，是开展研究型实验教学的新仪器。

【实验目的】1.了解多功能计数，计时毫秒仪实时测量（时间）的基本方法。

2.用刚体转动法测定物体的转动惯量。

3.验证转动的平行轴定理。

4.验证刚体定轴转动惯量与外力矩无关。

【实验原理】1.转动力矩、转动惯量和角加速度的关系系统在外力矩作用下的运动方程错误！未找到引用源。

（1）由牛顿第二定律，可知：砝码下落时的运动方程为：即绳子的张力砝码与系统脱离后的运动方程（2）由方程（1）和（2）可得：（3）2.角速度的测量错误！未找到引用源。

（4）若在t1、t2时刻测得角位移θ1、θ2，则（5）（6）所以，由方程（5）和（6），可得：3.转动惯量J的理论公式1)设圆形试件，质量均匀分布，总质量为M，其对中心轴的转动惯量为J，外径为D1,，内径为D2，则2）平行轴定理：设转动体系的转动惯量为J0，当有M1的部分质量原理转轴平行移动d的距离后，则体系的转动惯量为：【实验器材】1.实验仪器IM-2刚体转动惯量实验仪（含霍尔开关传感器、计数计时多功能毫秒仪、一根细绳、一个质量为100g的砝码等，塔轮直径从下至上分别为30mm、40mm、50mm、60mm，载物台上的孔中心与圆盘中心的距离分别为40mm、80mm、120mm）（如下图）2.实验样品1)一个钢质圆环（内径为175mm，外径为215mm，质量为933g）2)两个钢质圆柱（直径为38mm，质量为400g）【实验步骤】1.实验准备在桌面上放置IM-2转动惯量实验仪，并利用基座上的三颗调平螺钉，将仪器调平。

实验2 刚体转动惯量的测定

1实验2 扭摆法测定物体的转动惯量【实验目的】1.熟悉转动惯量测试仪的使用方法。

2.掌握测试仪常数（弹簧的扭转常数）K 的测定。

3.用扭摆法测定几种不同形状物体的转动惯量，并与理论值进行比较。

【实验仪器】转动惯量测试仪，空心金属圆柱体、实心塑料圆柱体、塑料圆球、细金属杆。

【实验原理】将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。

根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M 与所转过的角度θ成正比，即M ＝－K θ （2-1）式中，K 为弹簧的扭转常数，根据转动定律 M ＝I β式中，I 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，由上式得 IM＝β （2-2）令 LK =2ω 忽略轴承的磨擦阻力矩，由（2-1）、（2-2）得θωθθβ222-=-==Kdtd上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速度与角位移成正比，且方向相反。

此方程的解为：2θ＝Acos(ωt ＋φ)式中，A 为谐振动的角振幅，φ为初相位角，ω为角速度，此谐振动的周期为 KIT πωπ22==（2-3）由（2-3）可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期，并在I 和K 中任何一个量已知时即可计算出另一个量。

本实验用一个几何形状规则的物体，它的转动惯量可以根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到，再算出本仪器弹簧的K 值。

若要测定其它形状物体的转动惯量，只需将待测物体安放在本仪器顶部的各种夹具上，测定其摆动周期，由公式（2-3）即可算出该物体绕转动轴的转动惯量。

理论分析证明，若质量为m 的物体绕通过质心轴的转动惯量为I O 时，当转轴平行移动距离X 时，则此物体对新轴线的转动惯量变为I O ＋mx 2。

称为转动惯量的平行轴定理。

【实验内容】1. 测定弹簧的扭转常数，调整测试仪座底脚螺丝，使水平仪的气泡位于中心。

由于弹簧的扭转常数K 值不是固定常数，它与摆动角度略有关系，摆角在90º左右基本相同，在小角度时变小。

2刚体基本运动

1 r2 n1 i 2 r1 n2
2.齿轮传动
r11= –r22;
1 n1 i12 2 n2
r2 r1 z2 z1
r1
r2
3.齿轮箱传动
1 z2 ; 2 z1
3 z4 ; 4 z3
z1
4
z4
1
z2
上二式相乘，並有：2=3
3
i14
α r ω (ω r )
at an
12
z

例：一矢量 rAB 绕 z轴以角速度定轴转动， drAB 试证： dt ω rAB B z' 证明： r r r
rB rA rAB
k
AB
B
A
x
O' i y x'
A
j y'
drAB drB drA vB v A dt dt dt
l
vA
M
vM
vM v A
B
aM a A
vA l
其中则

π π 0 cos t 4 4 π π v A l 0 cos t 4 4
16
方向垂直O1A
π π v A l 0 cos t 4 4
O1 φ O2
A点的切向加速度 2
l B
l
n A
a
O
a
A
角速度矢量：
大小:
d dt

表征转角变化
y x
方向: 转动方向，右手螺旋确定指向

ω k
单位:
rad/s
工程中转速n：一分钟转过的圈数

2 n 60

刚体2

三、经典力学的时空观（绝对时空观）经典力学的时空观（绝对时空观）
1.空间的绝对性（长度测量与参照系无关）空间的绝对性（长度测量与参照系无关）空间的绝对性 2.时间的绝对性（时间测量与参照系无关）时间的绝对性（时间测量与参照系无关）时间的绝对性
1.空间的绝对性（长度测量与参照系无关）空间的绝对性（长度测量与参照系无关）空间的绝对性
由角动量守恒得：由角动量守恒得：
I1
I2
J1ω1 − J2ω2 = ( J1 + J2 ) ω
J1ω1 − J2ω2 ω= J1 + J2 1 1 1 2 2 2 ∆Ek = ( J1 + J2 ) ω − J1ω1 + J2ω2 2 2 2
ω1
ω2
ω
−J1J2 (ω1 +ω2 ) = <0 J1 + J2
Δmi C× hc hi Ep=0
∆Ep = ∆mi ghi
∑E = ∑∆mgh
p i
i
∑∆mh = mg
m
i i
= mghc
2.刚体的动能： 2.刚体的动能：刚体的动能 3.刚体的机械能守恒定律： 3.刚体的机械能守恒定律：刚体的机械能守恒定律
1 2 EK = Jω 2
A外 + A非保内 = Ek 2 + Ep2） (Ek1 + Ep1) （ −
已知：已知：R = 0.2 m ， m =1kg，v o = 0，
h =1.5 m
· m t R
t =3 s 。
绳轮无相对滑动，
v0=0
不可伸长，绳不可伸长，
h
求：轮对 O轴 J=？
· m t

期末复习2(刚体)

10.0 rad/s 方向垂直纸面向外.
2
2分
0112质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，转动惯量为M r2/2．绕过盘的边缘挂有质量为m，长为l 的匀质柔软绳索（如图）．设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为S时，绳的加速度的大小.
Mr
a
S
解：选坐标如图所示，任一时刻圆盘两侧的绳长分别为x1、x2 选长度为x1、x2的两段绳和绕着绳的盘为研究对象．设a为绳的加速度，β为盘的角加速度，r为盘的半径，为绳的线密度，且在1、 2两点处绳中的张力分别为T1、T2，则 = m / l， a = rβ ① 2分 x2 g－T2 = x2 a ② 1分 T1－x2 g = x1 a ③ 1分 (T1－T2 ) r = ( 1 M＋r)r 2β ④ 4分
O m
v
解：碰撞时，系统的角动量守恒
1 2 2 m ' vl ( ml m ' l ) 3

m 'v 1 ( m m ')l 3 15.4rad s
1
m, l
O
m
v
棒转动：用转动定律求解 1 M r ( ml 2 m ' l 2 ) 3 1
2
M = J
-k = J d / dt
d
k dt J

0 / 2
0
1

d
t
0
k dt J
t ＝ (J ln2) / k
（质点与刚体碰撞）
一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O转动．棒的质量为m = 1.5 kg，长度为 1 2 l = 1.0 m，对轴的转动惯量为J = 3 ml .初始时棒静止．今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图所示．子弹的质量为m= 0.020 kg，速率为v = 400 m· s-1．试问： (1) 棒开始和子弹一起转动时角速度有多大？ (2) 若棒转动时受到大小为Mr = 4.0 N· m的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度？ m, l

8.刚体2

H.Yin上节内容H.Yin一、力矩的功§3-3定轴转动中的功能关系dtP =dt 移，任何一对内力作功为零。

H.Yin二、刚体的转动动能§3-3定轴转动中的功能关系H.Yin三、定轴转动的动能定理合外力矩对绕定轴转动刚体做功=刚体转动动能增量§3-3定轴转动中的功能关系H.Yin四. 定轴转动的功能原理则E k +E p =常量。

E p =0§3-3定轴转动中的功能关系H.Yin[例水平位置，然后让它自由下落。

求：c mgh J +221ωh 0=ωH.Yin解三：Lω=例1解H.Yinl N N N +=42例1解H.Yin§3-4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律一、刚体的角动量i i i L m r ω⎛⎞=Δ⎜⎟⎝⎠∑2J ω=L J ω=H.Yin刚体角动量定理：作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。

二、定轴转动刚体的角动量定理§3-4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律H.Yin 三、角动量守恒定律M =d L d t若=M 0，则L =c 但角动量可在内部传递。

const J M i iiz z ==∑ω时，当外0H.Yin§3-4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律H.Yin刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式F x mv mv =−∫22011d 22M J J θωω=−∫22011d 22H.Yin[例ωω1、J =+(J )12＜0ωωJ 1J 有机械能损失。

ω;2.对接过程中的机械能损失。

求：1.对接后共同的角速度H.Yin两摩擦轮对接。

若对接前两轮的角速度为dt22ω例2H.Yint∫t2222112r J r J +例2解H.Yin求：双臂收缩1初始转速为ω,m [ 例3] 人和转盘的转动惯量为J 0,械能增量。

哑铃的质量为2r r 1变为时的由角速度及机r r 12m m J 0ω1由角动量守恒非保守内力作正功，机械能增加1210)2(ωmr J +2220)2(ωmr J +=12202102)2()2(ωωmr J mr J ++=2121022220)2(21)2(21ωωΔmr J mr J E k +−+=0}1)2()2({)2(2122021021220>−+++=mr J mr J mr J ωH.Yin[例4自由转动。

刚体动力学2

令
J = ∑ mi ri 2
转动惯量
转动定律
M = Jβ
刚体是特殊质点系，转动定律和质心运动定律非常相似：
G G M = Jβ
G G F = mac
4
§3.3 转动惯量
一、转动惯量的物理意义转动惯量特点
J = ∑ mi ri = ∑ J i
2
第第三三章章
转动惯量是转动惯性的量度
质量是平动惯性的量度
桌面支持力对轴不产生力矩，摩擦力矩使圆盘转动停止。设转动方向为正，转动定律
o
ω0
R
dω −M f = J β = J dt
14
第三三章章设圆盘的体密度 ρ ，厚度 l，在圆盘上第半径r处，取宽为dr的细圆环为质元。质量dm=ρdV=2πrlρdr ，摩擦力df=μN=μgdm G G G 2 d M = 2 πμρ glr dr 力矩 dM f = r × df 大小 f
转动定律
第第三三章章
o x 1 2 M = Fy = J β = ml β 3 y F = F = ma x方向上的质心运动定理 ∑ x cx c
【解】只有F的力矩引起转动，转动定律
线量和角量关系，细杆的质心在l/2处
F y
l acx = ac = β 2
解得
2 y= l 3
17
【例】如图所示，两物体的质量
J = ∑ mi ri
2
2
J = ∫r dm
质量体分布 dm ρ= dV J = ∫V r 2 ρ d V
6
一些常见刚体的转动惯量一些常见刚体的转动惯量
第第三三章章
细杆
1 2 J = ml 12

刚体2

ω1R1 = −ω2 R2
正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，由于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反, 柱接触时摩擦力大小相等、方向相反,力矩和冲量矩的大小正比于半径,方向相同: 大小正比于半径,方向相同: R 1 fdt = R 1 fdt = J 1 ( ω 1 − ω 10 ) ∫ ∫ ∫ R 2 fdt = R 2 ∫ fdt = J 2 ( ω 2 − ω 20 )
Li = ri ∆mi vi = ri ∆miω
所以刚体绕此轴的角动量为：所以刚体绕此轴的角动量为：
L =
∑
i
L i = ( ∑ ∆ m i ri 2 )ω = J ω
i
刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯量J 和角速度ω 的乘积。
2、刚体的角动量定理
d L 微分形式：质点的角动量定理为： A：微分形式：质点的角动量定理为： M ＝ dt d L i 对质点组讨论: 对质点组讨论 = M
l m ho
c l hc h=3h0/2
h’
a
b
解:碰撞前单摆摆锤的速度为
v0 =
2 gh 0
摆锤的速度为v 令碰撞后直杆的角速度为ω，摆锤的速度为＇。由角动量守恒，由角动量守恒，有
1 ml ( v 0 − v ′ ) = J ω , 式中 J = ml 3 在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的: 在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:
dr
F P
θ
x
2、刚体定轴转动的动能定理刚体上所有质元的动能之和为：刚体上所有质元的动能之和为：
E
K
1 = 2
∑
i
∆ m iv

理论力学第二章刚体的基本运动

0
nπ 式中n为转速单位：转/ 分(r/min) 。山东大学土建与水利学院工程力学系 THEORETICAL MECHANICS 30
§ 2.2 刚体绕定轴的转动
3.角加速度
描述角速度变化的快慢程度
2
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) α与同号，刚体加速转动；
THEORETICAL MECHANICS
山东大学土建与水利学院工程力学系
§2.4 轮系的传动比
1 n1 r2 Z2 i1,2 2 n2 r1 Z1
此结论对于锥齿轮传动和带轮传动同样适用。在一些复杂轮系（如变速器）中包含有几对齿轮。可将每一对齿轮的传动算出后，将它们连乘起来，变为可得总的传动比。
392.8 62.5 转 2π
THEORETICAL MECHANICS
山东大学土建与水利学院工程力学系
例题
例2- 3 轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径
成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。
00, 0.
M

O
a
60
THEORETICAL MECHANICS
解： AB 杆为平移， O1A 为定轴转动。根据平移的特点，在同一瞬时，M、A两点具有相同的速度和加速度。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学土建与水利学院工程力学系
例题
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
ds dv vA 3π （m/s) a A t 0 dt dt
§ 2.1 刚体的平行移动

002刚体力学习题汇总(答案)

2
(3) v l
3 gl sin
10、如图所示，长为 l 的轻杆，两端各固定质量分
别为 m 和 2m 的小球，杆可绕水平光滑固定轴 O 在竖直面内转动，转轴 O 距两端分别为
解：受力分析如图，可建立方程：
2mg T2 2ma ┄① T1 mg ma ┄②
1 2 l和 l．轻杆原来静止在竖 3 3
2、对于一根质量分布均匀的木棒，质量 m,长度为 L,以木棒端点为轴旋转的转动惯量为 J1=
1 2 ml , 3
以木棒中点为轴旋转的转动惯量为 J2=
1 2 ml ,则 J1 是 J2 的 12
3、如图 1 所示的圆锥摆，绳长为 l ，绳子一端固定在 O 点，另一端系一质量为 m 的质点，以匀角速度绕竖直轴线作圆周运动，绳子与轴线的夹角为
得： t
(2)相碰时小球受到的冲量为
2m2 (v1 v2 ) 。 m1 g
Fdt (mv) mv mv
0
由①式求得
Fdt mv mv
0
J 1 Ml 3 l
-3-
Mr Lee 制作，内部交流
a r ， J mr / 2 ┄⑤
2
联立，解得： a
1 11 g ， T mg 。 4 8
9、如图所示，一匀质细杆质量为 m ，长为 l ，可绕
杆于水平位置由静止过一端 O 的水平轴自由转动，开始摆下．求：
2 2 2l l mv0 l m v l m( ) 2 2m ( ) 2 3 3 3 3
以逆时针为正向，有：
v0
J v ml
④

刚体的知识点总结

刚体的知识点总结一、刚体的概念刚体是物理学中的一个重要概念，它是指在运动或静止过程中，形状和大小不发生改变的物体。

刚体具有以下特点：1. 刚体的分子结构相对固定，对外力的变形能力非常小。

2. 刚体受到外力作用时，其内部分子之间的相对位置发生微小变化，但整体上保持不变。

3. 刚体在变形后会恢复原状，即使外力作用消失后也会保持所受外力时的状态。

刚体的概念在物理学中有重要的应用，在力学、动力学、静力学等领域都有广泛的应用。

二、刚体的基本性质1. 自由度刚体在运动过程中具有自由度的概念，即刚体在空间中的自由度是指其可以围绕固定坐标系的运动方式。

2. 平移运动刚体在空间中可以进行平移运动，即整个刚体的位置随时间发生变化，但其形状和大小保持不变。

3. 旋转运动刚体在空间中也可以进行旋转运动，即围绕某一固定点或者固定轴进行旋转运动，这种运动称为刚体的自由旋转。

4. 刚体的定点定轴运动刚体在空间中也可以进行以某一固定点为中心或者以某一固定轴为旋转轴的运动，这种运动称为刚体的定点定轴运动。

5. 定点定轴自由度刚体在空间中具有三个定点定轴自由度，即刚体的位置可以变化，且可以绕三个固定轴进行旋转运动。

6. 刚体的平移自由度刚体在空间中具有三个平移自由度，即刚体在空间中可以相对于三个坐标轴进行平移运动。

7. 刚体的旋转自由度刚体在空间中具有三个旋转自由度，即刚体在空间中可以绕三个坐标轴进行旋转运动。

以上是刚体的基本性质，了解这些性质有助于我们在物理学研究中更深入地理解刚体的运动规律。

三、刚体的运动学分析1. 刚体的速度刚体在空间中的运动状态可以用速度来描述，刚体的速度分为线速度和角速度。

线速度是描述刚体中任一点的速度，通常用矢量来表示，可以用向量表示。

角速度则是描述刚体的旋转运动状态，通常用矢量来表示，可以用向量表示。

2. 刚体的加速度刚体在运动中会受到外力的影响，导致其速度发生变化，这种速度变化的率就是刚体的加速度。

第2章刚体

MBM Ag T1 T2 M A MB
例3.己知：质量为m、径为R的均匀圆盘。初角速度 0, 绕中心轴逆时针转动。空气对圆盘表面单位面积的摩擦力正比其线速度,即 f kv 。不计轴承处的摩擦。求：圆盘在停止转动时所转过的圈数N=? 解：r 不同时，f 不同，力臂也不同，需划分微元求M 1. 取刚体m为研究对象，轴为O。 dS
P点线加速度
向轴加速度
dv d dr a r r v dt dt dt
定轴转动
z
刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动
相同， , 变成代数量 ω ,α d v r v dt
r
P
a n r
力矩的正方向：方向相同的力矩取正与与方向相反的力矩取负 2. 定轴下可不写角标 z M J
3. ∝ M，方向相同，瞬时关系，对同一轴。
4.与牛顿第二定律比较
F ma M J

瞬时关系只适用于惯性系。
M ~ F J ~ m ~ a
例4：某飞轮直径 d=50cm, 绕中心垂直轴转动，转动惯量 J=2.4千克· 2, 转速n0=1000转/分，若制动米时闸瓦对轮的压力为 N=50千克力，闸瓦与轮间的滑动摩擦系数 =0.4 问：制动后飞轮转过多少圈停止？ f (1) 求
O
2. 取逆时针转为正方向。
r
t 0,
0
3. 用积分法求力矩。
m
在半径为r、宽度为dr的面积元dS上的质元具有相同的线速度v。则dS上阻力的大小为:
0
dF f dS f 2 r dr
考虑盘的上下表面，故阻力矩大小为

理论力学刚体学力2

惯量椭球方程
5. 惯量主轴及其求法一般坐标系下的惯量椭球
I xx x2 + I yy x2 + I zz z 2 − 2I yz yz − 2I zx zx − 2I xy xy = 1
若取椭球三主轴为坐标轴，交叉项消失，若取椭球三主轴为坐标轴，交叉项消失，得到主轴坐标系下的惯量椭球
I1 x2 + I 2 y 2 + I3 z 2 = 1
其动量矩为：其动量矩为：
转动惯量 I = ∑ mi ρi2
i =1
n
令
I = mk
2
k=
回转半径
转动惯量的计算 1. 离散分布的物体 2. 连续分布的物体
I = ∑ mi ρi2
i =1 n
I m
说明：说明： 1) 刚体的转动惯量是由总质量、质量分布、转轴的位置三刚体的转动惯量是由总质量、质量分布、个因素决定; 个因素决定 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同, 凡是提到转动惯量, 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同凡是提到转动惯量必须指明它是对哪个轴的才有意义; 必须指明它是对哪个轴的才有意义 3) 物体由A和B两部分组成则有 I = IA + IB ,其中、IA和物体由和两部分组成两部分组成,则有其中I、其中 IB是相对于同一转轴是相对于同一转轴.
动能和角动量简化为
1 2 T = ( I1ωx 2 + I 2ωy + I3ωz2 ) 2 r r r r J = I1ωx i + I 2ωy j + I3ωz k
均匀长方形薄片绕对角线的转动惯量。例1 均匀长方形薄片绕对角线的转动惯量。例2：3.7 ：
x2 y2 z2 如椭球方程为：如椭球方程为： 2 + 2 + 2 = 1，试求此椭球绕其三个中心主轴 a b c 转动时的中心主转动惯量。转动时的中心主转动惯量。设此椭球的质量为 m ，并且密度ρ

实验2刚体转动惯量的测定

实验2 刚体转动惯量的测量[预习思考题]1．实验中的刚体转动惯量实验仪是由哪几部分组成的？2．实验中可以通过什么方法改变转动力矩？3．实验中刚体转动过程的角加速度如何测得？转动惯量是描述刚体转动中惯性大小的物理量，对于绕定轴转动的刚体，它为一恒量，以J表示，即式中，mi为刚体上各个质点的质量，ri为各个质点至转轴的距离。

由此可见，物体的转动惯量J与刚体的总质量、质量分布及转轴的位置有关。

对于几何形状规则、对称和质量分布均匀的刚体，可以通过积分直接计算出它绕某定轴的转动惯量。

对于形状复杂或非匀质的任意物体，则一般要通过实验来测定，例如，机械零件、电机的转子、炮弹等。

测定物体的转动惯量有多种实验方法，主要分为扭摆法和恒力矩转动法两类。

本实验介绍用塔轮式转动惯量仪测定的方法，是使塔轮以一定形式旋转，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系，进行转换测量。

该方法属于恒力矩转动法。

转动惯量是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要参数，实验测定刚体的转动惯量具有十分重要的意义，是高校理工科物理实验教学大纲中的一个重要基本实验。

一、实验目的1．学习用转动惯量仪测定刚体的转动惯量。

2．研究作用于刚体上的外力矩与角加速度的关系。

3．验证转动定律及平行轴定理。

二、实验仪器IM－2刚体转动惯量实验仪及其附件（霍尔开关传感器、砝码等）和MS－1型多功能数字毫秒仪。

三、仪器介绍1．滑轮2．滑轮高度和方向调节组件3．挂线 4．塔轮组5．铝质圆盘承物台6．样品固定螺母7．砝码 8．磁钢9．霍尔开关传感器10．传感器固定架11．实验样品水平调节旋钮（共3个）12．毫秒仪次数预置拨码开关，可预设1－64次13．次数显示屏14．时间显示屏 l5．次数+1查阅键 16．毫秒仪复位键17．+5V电源接线柱18．电源GND（地）接线柱 19．INPUT输入接线柱 20．输入低电平指示 21．次数-1查阅键图4-3-1 IM-2刚体转动惯量实验仪和MS－1型多功能数字毫秒仪结构示意图IM-2刚体转动惯量实验仪主要由绕竖直轴转动的铝质圆盘承物台、绕线塔轮、霍尔开关传感器、磁钢、滑轮组件、砝码等组成。

刚体力学2

§2.2 力矩转动定律
一.力矩 M = Fd = Fr sin
r ⊙M
r r r 力矩矢量式：力矩矢量式： M = r × F
r o r d
r F
按右手螺旋法则右手螺旋法则如图力矩的方向为⊙ 右手螺旋法则要按右旋规则定义坐标轴：要按右旋规则定义坐标轴：
Y j
( )
X (i
v
r r r r r r r r r vZ i × j = k j × k = i k × i = j (k ) r r r 相同单位 r r 反序： j × i = k i ×i = 0 矢量叉乘：
转动惯量的计算: 三.转动惯量的计算转动惯量: 转动惯量转动惯性大小的量度转动惯量与下列因素有关：转动惯量与下列因素有关： ①质量大小 ; 转轴位置； ②转轴位置；相对轴的质量分布. ③相对轴的质量分布. ---- 称为转动惯量三要素说一个刚体的转动惯量时，只有指出该刚体相对某一转轴的转动惯量才有明确的意义。
v
)
1
二.转动定律转动惯量 (转动定律由牛顿定律而来) r r 质量元mi , 外力 Fi , 内力 f i
r fi O
r ri mi
O′
2
θi i
r Fi
r r r Fi + f i = mi ai
法向 Fi cos i + f i cos θ i = mi ain = miω ri 切向 Fi sin i + f i sin θ i = mi ait = mi β ri 法向力通过转轴, 力矩为零, 故不予考虑;
λ dx =
I = ∫ x 2 λdx =
d L / 2
d +L / 2

鲁科版高中物理选修2-2：刚体的转动及平衡

分别测出A、B、C、D间的距离。分析此时杆的受力
情况。
画出直杆的受力分析示意图（如图右）
从实验数据可以看出
F1 + F2 = G + G1 或 F1 + F2 – G – G1 = 0
以A为转动轴，计算各力对A轴的力矩的代数和，得到
F2×AB – G×AC – G1×AD = 0 若以B为转动轴，计算各力对B轴的力矩的代数和，可得到
需将力分别向垂直于轴以及平行于轴方向做正交分解，如图所示
对轴的有效力矩应为：
MM
rFr

siFn

Fh
(3)力矩迭加原理

MM MMii
力矩方向？
z
r

F

z
F//

F
h
r

A
F
6
三、刚体转动定律
第i个质元 Fi fi miai
切线方向 Fi fi miai
z L mivi ri miri2 ( miri2 ) J
i
i
i

2、刚体定轴转动的角动量定理
dL
d
(J) J d
J M
dt dt
dt
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
O ri
v i
mi
若 M 0 则 L J =常量
13
刚体平衡
14
•刚体平衡的条件：
选用不容易变形的直杆代表扁担。用弹簧测力计测出它自身的重量G，再设法测
出杆的重心C。
用细线拴住杆的A、B两点，把它挂在两个弹
簧测力计下面，并在D处挂4个钩码（其总重量G1 ），如图所示。调节测力计的高低，使杆在水平方向上平衡。

2刚体力学

J ( mi ri2 )
i
刚体对给定轴的转动惯量(moment of inertia) 刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。比较：
1 2 Ek J 2
1 2 E k mv 2

二、转动惯量对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成
J r dm

刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体.
各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。
一、刚体的平动和转动平动：用质心运动讨论
刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A B A B
A B

转动：对点、对轴
定轴转动：各质元均作圆周
转轴
运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。

ω
花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速.
ω

例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l,质量为M. 解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹有:
M
子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：
2
J C R dm R dl
2
2
R
2
R dl R 2R mR
2 L
L
J R dm R dm mR
2 2
2
若为薄圆筒（不计厚度）, 转动惯量？
2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
t2 L2 Mdt dL J 2 J1
外力矩对系统的角冲量(冲量矩)等于角动量的增量. 若J可以改变,则

刚体2

t1 L1
L J
对定轴转动的刚体， M 外dt J 2 J 1
t1
t2
对非刚体， M 外dt J 2 2 J11
t1
t2
——积分形式
五. 刚体的角动量守恒定律
若M 外 0 L守恒
说明：（1）对定轴刚体
J为恒量， 1 J 2 1 2 J
(D) 开始时 A＝ B，以后 A＜ B．
［ C ］
例5. 均质细棒：m1、 l ，水平轴O，小球m2与棒相碰，碰前碰后如图，设碰撞时间很短，棒保持竖直，求碰后棒的角速度。 O 解：系统对O轴角动量守恒
注意：系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。
§5.4 定轴转动中的功能关系一.转动动能(rotational kinetic energy)
∴对刚体， A外
M
外
d
三、刚体定轴转动的动能定理 d M 外 J J 对定轴转动，用代数量运算。
d M外 J dt d （若＜0，则M为负——阻力矩）
dt
dt
A外
2

d d M 外 d J dt
2
对定轴转动，J为恒量，则
1 1 2 A外 J 2 J12 E k ——动能定理 2 2
（2）对非刚体，J 可变，则
（3）角动量守恒定律是自然界最普遍的客观规律之一。
J11 J 2 2

五. 应用举例（1）茹可夫斯基凳、花样滑冰、跳水、体操等。
§5-3 转动惯量的计算 J mi ri2 定义：
J r 2 dm 对连续分布的刚体，
m
i

3-2 刚体的定轴转动定理

d d d d dt d dt d
d d
3g cosd d 2l 3g 0 2l cosd 0 d 3g 1 2 si n 2l 2
3 g sin l
例3．匀质圆盘的质量为m，半径为R，在水平
桌面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘与桌面之间的摩擦系数为μ，求圆盘从以角速度ω0 旋转到静止需要多少时间？解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支持力和摩擦力，前两个力对中心轴的力矩为零。在圆盘上任取一个细圆环，半径为r，宽度为dr，整个圆环所受摩擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和。由于圆环上各个质点所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取ω0的方向为正方向，则整个圆环所受的力矩为
dL M dt
对刚体上的每个视为质点的质量元应用这个结论，从而得出刚体在外力矩的作用下角动量的变化规律。
3－2 刚体的定轴转动定律
一、定轴转动定律的推导
考虑如图所示刚体上的任意两个质量元，第i个质量元mi，所在处的位矢为 r ，施加的外力 F i
i
第j个质量元 mj，所在处的位矢 r 为 j，施加的外力 F
注意以下几点： 1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的； 2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负； 3.当系统中既有转动物体又有平动物体时，则对转动物体按转动定律建立方程，对于平动物体按牛顿定律建立方程。
例１、一个质量为M、半径为R的定滑轮
（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的定轴O 物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。 · m t R 绳 v0=0 h